范文一:★分段函数的极限和连续性
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分段函数的极限和连续性
x (0,x,1),
,1,f(x), (x,1) 例 设,2,
1 (1,x,2),,
(1)求在点处的左、右极限,函数在点处是否有极限, f(x)f(x)x,1x,1(2)函数在点处是否连续, f(x)x,1
3)确定函数的连续区间( (f(x)
x,xx分析:对于函数在给定点处的连续性,关键是判断函数当时的极限是f(x)00
f(x)否等于;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续( 0
解:(1) limf(x),limx,1,,x,1x,1
limf(x),lim1,1,,x,1x,1
? limf(x),1x,1
函数f(x)在点处有极限( x,1
1(2)?f(1),,limf(x) x,12
f(x)函数在点处不连续( x,1
f(x)(3)函数的连续区间是(0,1),(1,2)(
xf(1)f(x)说明:不能错误地认为存在,则在处就连续(求分段函数在分界点x,10
的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同(只有
limf(x),limf(x),limf(x)才存在( ,,x,xx,xx,x000
函数的图象及连续性
2x,4f(x),例 已知函数, x,2
f(x)(1)求的定义域,并作出函数的图象;
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x(2)求的不连续点; f(x)0
3)对补充定义,使其是R上的连续函数( (f(x)
分析:函数是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围,f(x)
给函数补充定义,使其在R上是连续函数,一般是先求,再让f(x)limf(x)x,x0
即可( f(x),limf(x)0x,x0
解:(1)当时,有( x,2,0x,,2
,,,,因此,函数的定义域是,,,,2:,2,,,
2x,4f(x),,x,2.当时, x,2x,2
其图象如下图(
x,,2f(x)(2)由定义域知,函数的不连续点是( 0
f(x),x,2(3)因为当时, x,2
所以 limf(x),lim(x,2),,4x,,2x,,2
f(x)因此,将的表达式改写为
2,x,4x(,,2),fx(), x,2,
,,4(x,,2),
f(x)则函数在R上是连续函数(
说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意
化简后的函数与原来的函数定义域是否一致(
利用函数图象判定方程是否存在实数根
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3例 利用连续函数的图象特征,判定方程是否存在实数根( 2x,5x,1,0
分析:要判定方程是否有实根,即判定对应的连续函数的图象是否f(x),0y,f(x)与x轴有交点,因此只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可(
3f(x),2x,5x,1解:设,则是R上的连续函数( f(x)
,,xf(x),0x 又,因此在,3,0内必存在一点,使,所以f(0),1,f(,3),,38,0000
3是方程的一个实根( 2x,5x,1,0
3所以方程有实数根( 2x,5x,1,0
说明:作出函数y,f(x)的图象,看图象是否与x轴有交点是判别方程f(x),0是否
3f(x),2x,5x,1有实数根的常用方法,由于函数是三次函数,图象较难作出,因此这种方法对本题不太适用(
函数在区间上的连续性
2x,4f(x),,,0,2例 函数在区间(0,2)内是否连续,在区间上呢, x,2
分析:开区间内连续是指内部每一点处均连续,闭区间上连续指的是内部点连续,左点处右连续,右端点处左连续(
2x,4f(x),,x,2解:(且) x,Rx,2x,2
0,x,2任取,则limf(x),lim(x,2),x,2,f(x) 000x,xx,x00
f(x)? 在(0,2)内连续(
f(x)f(x)但在处无定义,? 在处不连续( x,2x,2
,,0,2f(x)从而在上不连线
说明:区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线(
函数在某一点处的连续性
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n1,x1f(x),(lim),x(0,x,,,)例 讨论函数在与点处的连续性 x,x,1nn,,1,x2分析:分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法,也是一种重要的数学思想( 明确讨论对象,确立分类标准,正确进行分类,以获得阶段性的结论,最后归纳综合得
出结果,是分类讨论的实施方法(本题极限式中,若不能对x以1为标准,分三种情况分别
讨论,则无法获得的表达式,使解答搁浅( f(x)
1讨论在与点处的连续性,若作出的图像,则可由图像的直观信f(x)f(x)x,x,12
息中得出结论,再据定义进行解析论证(
由于的表达式并非显式,所以须先求出的解析式,再讨论其连续性,其中f(x)f(x)
n极限式中含,故须分类讨论( x
解:(1)求f(x)的表达式:
n1lim,x10,,,n?当时,() fx,,x,,x,xx,1n1lim10,x,,,n
1n()1,01,x?当时, ()limfx,,x,,x,,xx,1,,x101,n()1,x
n1,1f(x),lim,x,0?当时, x,1nx,,1,1
0,0,x,1,
,f(x),0,x,1? ,
,,x,1,x,,,,
f(x)(2)讨论在点处的连续性: x,1
?limf(x),limx,1,limf(x),lim(,x),,1,,x,,1x,,1x,1x,1
f(x)?不存在,在点处不连续 limf(x)x,1,x,1
1f(x)(3)讨论在点处的连续性: x,2
11lim()lim,lim()limfx,x,fx,x, ,,,,111122x,x,x,x,2222
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11lim()lim,lim()lim?fx,x,fx,x, ,,,,111122x,x,x,x,2222
111?,在点处连续( f(x)limf(x),,f()x,1222x,2
根据函数的连续性确定参数的值
3,x,xx(1,),,0f(x)例 若函数在处连续,试确定a的值 x,0,
,a,x,0,
3x解: limf(x),lim(1,x),,xx00
31,,x,lim(1,x),,x,0 ,,
3,e,f(0),a,
欲f(x)在处连续, x,0
3必须使,故 a,elimf(x),f(0)x,0
说明:利用连续函数的定义,可把极限转化为函数值求解(
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范文二:分段函数的极限和连续性
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分段函数的极限和连续性
x (0,x,1),
,1, 例 设f(x), (x,1),2,
1 (1,x,2),,
(1)求在点处的左、右极限,函数在点处是否有极限, f(x)f(x)x,1x,1(2)函数在点处是否连续, f(x)x,1
3)确定函数的连续区间( (f(x)
分析:对于函数在给定点处的连续性,关键是判断函数当时的极限是f(x)xx,x00
否等于;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续( f(x)0
解:(1) limf(x),limx,1,,x,1x,1
limf(x),lim1,1,,x,1x,1
? limf(x),1x,1
函数在点处有极限( f(x)x,1
1(2) ?f(1),,limf(x)x,12
函数在点处不连续( f(x)x,1
(3)函数的连续区间是(0,1),(1,2)( f(x)
说明:不能错误地认为存在,则在处就连续(求分段函数在分界点f(1)f(x)xx,10
的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同(只有
才存在( limf(x),limf(x),limf(x),,x,xx,xx,x000
函数的图象及连续性
2x,4f(x),例 已知函数, x,2
(1)求的定义域,并作出函数的图象; f(x)
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(2)求的不连续点; f(x)x0
3)对补充定义,使其是R上的连续函数( (f(x)
分析:函数是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围,f(x)
给函数补充定义,使其在R上是连续函数,一般是先求,再让f(x)limf(x)x,x0
即可( f(x),limf(x)0x,x0
解:(1)当时,有( x,2,0x,,2
因此,函数的定义域是 ,,,,,,,,2:,2,,,
2x,4当时, f(x),,x,2.x,2x,2
其图象如下图(
(2)由定义域知,函数的不连续点是( f(x)x,,20
(3)因为当时, f(x),x,2x,2
所以 limf(x),lim(x,2),,4x,,2x,,2
因此,将的表达式改写为 f(x)
2,x,4x(,,2),fx(), x,2,
,x,4(,,2),
则函数在R上是连续函数( f(x)
说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意
化简后的函数与原来的函数定义域是否一致(
利用函数图象判定方程是否存在实数根
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3例 利用连续函数的图象特征,判定方程是否存在实数根( 2x,5x,1,0
分析:要判定方程是否有实根,即判定对应的连续函数的图象是否f(x),0y,f(x)与x轴有交点,因此只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可(
3解:设,则是R上的连续函数( f(x),2x,5x,1f(x)
又,因此在内必存在一点,使,所以f(0),1,f(,3),,38,0,,,3,0xf(x),0x000
3是方程的一个实根( 2x,5x,1,0
3所以方程有实数根( 2x,5x,1,0
说明:作出函数的图象,看图象是否与x轴有交点是判别方程是否y,f(x)f(x),0
3有实数根的常用方法,由于函数是三次函数,图象较难作出,因此这种f(x),2x,5x,1
方法对本题不太适用(
函数在区间上的连续性
2x,4例 函数f(x),在区间(0,2)内是否连续,在区间上呢, ,,0,2x,2
分析:开区间内连续是指内部每一点处均连续,闭区间上连续指的是内部点连续,左点处右连续,右端点处左连续(
2x,4解:(且) f(x),,x,2x,Rx,2x,2
任取,则 0,x,2limf(x),lim(x,2),x,2,f(x)000x,xx,x00
? 在(0,2)内连续( f(x)
但f(x)在处无定义,? f(x)在处不连续( x,2x,2
从而在上不连线 f(x),,0,2
说明:区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线(
函数在某一点处的连续性
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n1,x1例 讨论函数在与点处的连续性 f(x),(lim),x(0,x,,,)x,1x,n,,n21,x
分析:分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法,也是一种重要的数学思想( 明确讨论对象,确立分类标准,正确进行分类,以获得阶段性的结论,最后归纳综合得
出结果,是分类讨论的实施方法(本题极限式中,若不能对x以1为标准,分三种情况分别
讨论,则无法获得的表达式,使解答搁浅( f(x)
1讨论在与点处的连续性,若作出的图像,则可由图像的直观信f(x)f(x)x,x,12
息中得出结论,再据定义进行解析论证(
由于的表达式并非显式,所以须先求出的解析式,再讨论其连续性,其中f(x)f(x)
n极限式中含,故须分类讨论( x
解:(1)求的表达式: f(x)
n1lim,x10,,,n()?当时, fx,,x,,x,xx,1n1lim10,x,,,n
1n()1,01,x?当时, x,1()limfx,,x,,x,,xx,,101,n()1,x
n1,1?当时, f(x),lim,x,0x,1n,,x1,1
0,0,x,1,
,?f(x),0,x,1 ,
,,x,1,x,,,,
(2)讨论在点处的连续性: f(x)x,1
?limf(x),limx,1,limf(x),lim(,x),,1,,x,,1x,,1x,1x,1
?不存在,在点处不连续 f(x)limf(x)x,1,x,1
1(3)讨论在点处的连续性: f(x)x,2
11lim()lim,lim()limfx,x,fx,x, ,,,,111122x,x,x,x,2222
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11lim()lim,lim()lim ?fx,x,fx,x,,,,,111122x,x,x,x,2222
111?,在点处连续( f(x)limf(x),,f()x,1222x,2
根据函数的连续性确定参数的值
3,x,xx(1,),,0f(x)例 若函数在处连续,试确定a的值 x,0,
,a,x,0,
3x解: limf(x),lim(1,x),,xx00
31,,x,lim(1,x),,,0x ,,
3,e,f(0),a,
欲在处连续, f(x)x,0
3必须使,故 limf(x),f(0)a,ex,0
说明:利用连续函数的定义,可把极限转化为函数值求解(
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范文三:函数一致连续性的证明
函数一致连续性的证明 20o7年第5
青海师专(教育科学)
JOURNALOFQINGHAIJUNIORTEACHERs'CoLLEGE (EducationScience)
文章编号:1007—0117(2007)05—0045—03
函数一致连续性的证明
邢玉红
青海西宁810008) (青海师范大学数学与信息科学系,
摘要:本文综述了证明函数一致连续的几个结论,并举例说明其应用,对学生对函数一致连续性的理解和证明具有一
定的指导作用.
关键词:函数;连续;一致连续
中图分类号:0174
文献标识码:B
函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一,学生对证明函数一致连续的掌握往往不够.
事实上,函数的一致连续性是函数的整体性质,它克服了连续性的占一语言中=(占,)与占和两个元
的依赖关系,要求仅与占有关,所以一致连续的函数是连续的,从定义出发证明函数的一致连续性有较大困
难.在本文给出了函数一致连续证明的几个方法,并举例说明其应用,以供读者参考.
定义?设)为定义在区间,上的函数,若对任意的占>0,存在=(占)>0,使得对任何,"?,,
只要I一I<6,就有I)一)I<占,则称函数)在区间,上一致连续. 显然,若)在区间,上满足Lipschitz条件:I)一")ILI一I,则函数)在区间,上必
一
致连续.
函数)在区间,上一致连续有多种等价叙述,即一致连续函数存在多种刻画. 刻画1函数)在区间[0,b]一致连续.厂()在区间[0,b]连续,即闭区间函数的连续性与一致连
续性不做区分.
刻画2函数)在区间(a,b)内一致连续仁)在区间(a,b)内连续,且极限a+0)=limf() 与b—O)=limf()都存在.—'6一
刻画3函数)在,上一致连续甘对,上任意两数列{}和{Y},当lim(x一Y)=0. 有limFf()一Y)]=0.
刻
当
也
更便于
定
4函数)在,上一致连续,Yx,Y?,,3A>O甘V占>0,Vx,y?,,3A>0, I'厂()一.厂(Y)I七.,,,,,.,.
I戈一YI,n'R..,一.,二y,.'
用连续模和柯西数列刻画一致连续的,这多种形式的刻画会给函数一致连续性的证明带来便利,也
解函数的一致连续性.下面将给出几种证明函数一致连续的方法并举例说明其应用.
.
1若)在区间,上有定义)在区间,上一致连续的充要条件是
')一)I_0
20o7—04一l8
邢玉红(1972一),女,青海西宁人,青海师范大学数学与信息科学系讲师. ?
45?
收稿日期:
作者简介:
青海师专(教育科学)
定理2设)在[口,+?)上连续,且g()在[口,+?)上一致连续,且一lira+[g()一)]=0,则 )在[0,+?)上一致连续.
定理3若函数)在[口,+?)上连续,N.1imf(x)存在,则函数)在[口,+?).上一致连续. 同理可证:若函数)在(口,6)内连续,.N.1imf(x)与细)存在,则函数)在[口,b]上一致连续.
,
定理4若)在区间,上有定义)在区间,上非一致连续的充要条件是在,上存在两个 数列,",使lira(x一")=0,但当n一?时,[)--A~lln)](表示不趋近于,或不接近)? 定理5若)在区间,上可导,其导数f(x)在区间,上有界,则)在区间,上一致连续. 由此可见,如果函数)在区间,上可导,则函数)在区间,上满足Lipschi~条件. 定理6.厂()在区间,上一致连续的充要条件是V>0及x,y?,,存在正数,使得当 J羔)_-一J>M时恒有I)一,,)I<l—YI
证明:(1)必要性:因)在区间,上一致连续,则对任意的>0,存在8>o,使得对任何,Y?,,只要
I—YI<6,就有I)一,,)I<.或I)-A,,)I?,必有I—YI<6.令=, 反设I)一Y)I?
令口=I)一,,)I,则存在正整数K>1,使得(K一1)?口?,令卢=u_,则口?卢<2&
不妨设)<厂(y)(<y):
因为)<厂()+卢?)+口=Y),由连续函数介值性定理,
j.?(,Y],使.)=)+卢.同理j?(.,Y],使:)=-)+
如此做下去得<l<……<<,规定0=,=y.那么对每个i, 因为.)一):卢?,故由一致连续的定义,有.一?6,i=1,2,……|i}, 从而,II?=譬?警=,与已知矛盾.
(2)充分性:由于v8>0及,,,?,,存在正数,使得当I_二辱I>时恒有
I)一,,)I<.现取6=寺.N:~lA)一,,)I?8必有II?或.I?, 此时I一yl=.)一,,)I?1?
这说明,对任何,Y?,只要I—YI<6, 就有I)一Y)I<.
即)在区间,上一致连续.
例1设)=snl
,证明)在区间[1,+?]上一致连续.
If(,)_Aii)?sl并一辩zn并一等I
s
f等一筹f+筹.2fco毕n举Ix'-x"l<-- 一
一
删=0'
即)=}在[1,+?)上一致连续.
方法2利用定理3,因):}在[1,+?)上连续,且}n?=0.
邢玉红:函数一致连续性的证明
即)=sn?在[1,+?)上一致连续.
方法3利用定理5()=一{?一,?[1+?),
J()J=—sn一J+Jc.s一J=l_,
厂()在区间[1,+?)上有界,则)在区间[1+?)上一致连续. 例2讨论函数)=(+2)在区间[1+?)上的一致连续性. 证明:方法1利用定理2,设g()=+3,因g()=1,即g()在区间[1,+?)上有界,所以,
g()在[1,+?)上一致连续.而)=(+2)e?在区间[1+?)上连续,且 li
…
m
,
[g()一)]=z[(+3)一(+2)e1]=0,则)在[1+?)上一致连续.
方法2利用定理5()=e?一e?:?(1一?一),?[1,+?),有J厂()ls4, 即厂()在区间[1,+?)上有界,则)在区间[1,+?)上一致连续.
例3证明函数(1)=;(2))=e在R上非一致连续.
证明:(1)在R上取两个数列=玎,:=,lim(x一:)=lim(一):0,
lim[f()一:)]=lim[(rt+1)一n]=1?0,
则)=在R上非一致连续.
(2)在R上取两个数列=In(n+1):=Inn,
lim(一)
=
lim[In(n+1)一Inn]=0
lim[)一:)]=lim[e"一e]
:lim[(n+1)一n]=1?0,
则)=e在R上非一致连续.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001.69—83.
[2]刘玉链.傅沛仁,数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,1991.124—145. [3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001. [4]孙本旺.教学分析中的典型立体和解题方法[M].长沙:湖南科技出版社,1981. [5]刘玉链,杨奎元,吕风.数学分析讲义学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1987.119—141
Function
Qinghai810007,China)
lfunctionandillustratesitsapplication,playing
?
47?
范文四:函数一致连续性的证明
青海师专学报(教育科学)
定理2设,(x)在[o,+*)上连续,且g(*)在[口,+。)上一致连续,且ffm[g(#)一以#)】=0,则
若函数以z)在[o,+*)上连续,且£f—以z)存在,则函数矗x)在[o,+*)上一致连续.,(x)在[n。+*)上一致连续.定理3
同理可证:若函数,(x)在(口,6)内连续,且fl,∥(z)与zf町0及x,yE,,存在正数肼,使得当I丛生_二监l>肘时恒有I,(x)一,(y)l0,存在6>0,使得对任何*,yE,,只要lx—yl1,使得(K—1)B≤d≤如,令芦=i?鲁,则口≤芦o及z,y∈,,存在正数_】If,使得当I篮掣I>肼时恒有I,(*)一,(y)I<.占现取占=寺设若I,(z)一,(y)l≥8必有I丛掣l《_|If或I页赫‘≥击,因为,(x。)一,(#。)=卢≥s,故由一致连续的定义,有£,一*。≥6,i=1.2,……^,此时h—yI=巧壶瑞。,(妁一贝y)J≥刍
这说明,对任何*,y∈,只要I
就有I,(*)一,(y)I<B
即,(*)在区间,上一致连续.
倒Ig—yI<6,设以z)=}寻旆÷,证明,(;)在区间[1,+*]上一致连续?
+l而”7—7。开“≯I+I等抽专一辫抽专I∞),只要l一一,I<6,
卜攀¨。季陋扎州蔓知在[1,+*)上连续,且兰已}÷}抽÷=o,
邢玉红:函散一致连续性的证明
即,(z)=}署s讯÷在[1,÷*)上一致连续.
方法3利用定理5,(z)=一i{可≯加÷一7斋÷,善E[1+∞),
?弛肛丢可№÷-+未%?一÷-=÷,
利用定理2,设g(#)=*+3,因g’(x)=1。即g’(#)在区间[1,+*)上有界,所以,
g(*)在[1,+*)上一致连续.而,(*)=(#+2)e上在区间[1+*)上连续,且
矗m,(;)在区间[1,+*)上有界,则苁#)在区间[1+。)上一致连续。例2讨论函数,(x)=(x+2)矿在区闻[1+*)上的一致连续性.证明:方法1Cg(¥)一,(£)]=≠溉【(*+3)一<£+2)一]=O,则兵£)在[1+*)上一致连续.
方法2利用定理5√’(z)=e}一鼍吕÷=e÷(1一÷一;),*e[1,+*),有l,(z)ls如,
即,(#)在区间[1,+*)上有界,则以#)在区间[1,+*)上一致连续.
例3证明函数(1I“g)=z2;(2l“#)=,在月上非一致连续.
证明:<1)在R上取两个数列x:=0■玎,z:=石,zim(*:一#:)=zfm(0■万一同=o,
fim盯(*:)一,z:)]=zfm[(n+1)一n]=l≠o,
则“#)=,在R上非一致连续.
(2)在昱上取两个数列#:=如(n+1)#:=£nn,
zf孵(z:一*:)
=zfm[h(n+1)一znⅡ]=0
“m[以*:)一,(#:)]=fim[驴‘4“’一eh]
=fim[(n+1)一n]=l≠o,
则,(z)=,在R上非一致连续.
●考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2∞i.∞一83
[2]刘玉链.傅沛仁,敷学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,1991.124一145.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.2001.
【4】孙本旺.救学分析中的典型立律和解题方法[M].长抄:湖南科技出版社.1981.[5
函数一致连续性的证明
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:邢玉红, XING Yu-hong青海师范大学,数学与信息科学系,青海,西宁,810008青海师专学报(教育科学)JOURNAL OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS' COLLEGE(EDUCATION SCIENCE)2007,27(5)1次
参考文献(5条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 2001
2. 刘玉链;傅沛仁 数学分析 1991
3. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 2001
4. 孙本旺 教学分析中的典型立体和解题方法 1981
5. 刘玉链;杨奎元;吕风 数学分析讲义学习指导书 1987
本文读者也读过(10条)
1. 冉凯. 畅文蔷 关于函数一致连续性证明的几个方法[期刊论文]-西安联合大学学报2002,5(4)
2. 杨峻. 何朝兵. YANG Jun. He Chao-bing 函数一致连续性的判定[期刊论文]-安阳师范学院学报2006(5)
3. 吴静. WU Jing 函数一致连续性的两点注记[期刊论文]-重庆职业技术学院学报2006,15(1)
4. 刘勇 关于一元函数一致连续性的讨论[期刊论文]-赤峰学院学报(自然科学版)2009,25(11)
5. 成波. 李延兴 函数一致连续性的一种新证法[期刊论文]-安康师专学报2006,18(4)
6. 袁南桥. YUAN Nan-qiao 一致连续函数的判别及分布[期刊论文]-四川文理学院学报(自然科学版)2007,17(2)
7. 张建建 函数一致连续性的几个证明方法[期刊论文]-和田师范专科学校学报2005(1)
8. 甘宗怀. 李秋林. GAN Zong-huai. LI Qiu-lin 关于可导函数一致连续性的判定定理[期刊论文]-高师理科学刊2009,29(5)
9. 祝丽萍. 帕尔哈提. 陈琳. 岳华 连续性和一致连续性的关系探讨[期刊论文]-昌吉学院学报2005(4)
10. 邢秀芝. 吴景珠. 王励冰. XING Xiuzhi. WU Jingzhu. WANG Libing 谈函数一致连续性的判别方法[期刊论文]-周口师范学院学报2010,27(2)
引证文献(2条)
1. 唐美燕 证明函数一致连续的几种方法[期刊论文]-贵州师范学院学报 2010(12)
2. 唐美燕 证明函数一致连续的几种方法[期刊论文]-贵州师范学院学报 2010(12)
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范文五:指数函数连续性的证明
数学科学学院 201211131946 杨梅
指数函数连续性的证明
证明:首先证明f x =a x 在x =0点的连续性。
不妨设a >1。对于任意给定的正数ε<1, 要使="" f="" x="" ?f="" 0="">1,><ε, 即|ax="">ε,><>
log a 1?ε <>
根据|log a 1?ε |>log a 1+ε , 可取δ=log a 1+ε 。
当|x|<δ时,|ax>δ时,|ax><ε成立,所以f x="a" x="" 在x="0点连续。" 其次证明一般情况下:即在x="c" ≠0点处函数f="" x="a" x="" 的连续性。="">ε成立,所以f>
log a 1?a ?c ε ?log><>
所以|a x ?c ?1|
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