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范文一：角的平分线的性质与判定
角的平分线的性质与判定2
角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分线上。 ．．．．
角平分线的画法： ．．．．．．．．
例1. 已知O 是△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，若OD ＝5，△ABC 的周长等于20，则△ABC 的面积等于S △ABC ＝
例2. 如图，ΔABD 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形，则S?ABO ：S?BCO ：S?CAO 等于
______.
1例3. 如图：在△ABC 中, ∠BAC=90°, ∠ABD=∠ABC,BC ⊥DF, 垂足为F,AF 交BD 于E 。求证：
AE=EF. 2
例4. 如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE=CD，EF=AC．求证：EF ∥
AB.
例5. 如图，∠A+∠D=1800，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上．
(1)探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系;(2)探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．
1
范文二：角的平分线的性质与判定
角平分线的性质和判定
主讲教师：肖瑜
【知识精讲】
一、本节知识结构框图
二、与角平分线有关的重要定理及性质
1．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角的平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3．证明方法:
(1) 证明线段相等的方法
① 证明两条线段所在的两个三角形全等.
② 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 证明角相等的方法
① 利用平行线的性质进行证明.
② 证明两个角所在的两个三角形全等. ③ 利用角平分线的判定进行证明.
(3) 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法. 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义进
行证明.
【典例剖析】
1．点D 在AC 上，∠BAD =∠DBC ，请作图探究下列问题： (1) △BDC 内部是否有到∠BAD
两边等距离的点？如果有，有几个？ (2) △BDC 内部是否有到∠BAD 和∠DBC 两边等距离的点？ 如果有，有几个？
1
F
E
B
2．如图，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F . 求证：DE =DF .
A
E D
C F
3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE =BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等.
求证：AD 平分∠BAC .
4．如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，P A =PC .
求证：∠PCB +∠BAP =180°
.
【王牌例题】
1．如图，在△ABC 中，AE 是∠A 的外角平分线，D 是这条角平分线上的一个动点，就D 的
位置而言，你能猜想出AB +AC 与BD +DC 的大小关系吗？并证明你的猜想
.
2
2．如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC 、AB 于C 、D
两点. 求证：AD =AB +DC
.
3. 已知：P 为△ABC 中∠BAC 的平分线上的一点，BF ∥PC ，CE ∥PB . 求证：BE ＝CF .
【课堂回顾】
由角平分线构造全等的方法： 1．过D ，分别作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，如图1. 2．截取AE ＝AC ，如图2；
延长AC ，使AE ＝AB ，如图3. 3．过D ，作EF ⊥AD ，如图4.
E
B B
图2 图3
B
E B
图1
E
E B
图4
F
3
范文三：角平分线的性质与判定练习
八年级数学小卷子（五）B
出题人：马丽 审卷人：樊俊丽 班级：________姓名：________ 一、选择题 （30分）
1. 下列判断错误的是（ ）
A 、有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C 、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D 、有一边对应相等的两个等边三角形全等
2、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足， 在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△
D A
ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
F C
3、. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90o ， BD是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，A
CD =3，AE =4，则△ABD 的面积是（ ）
A 、9 B、12 C、6 D、15
4、. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB 是一个任意角，在边O A ，OB 上分别取OM =ON ，再分别过M 、N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ， 则△OMP ≌△ONP 的依据是 （ ） A 、AAS B、ASA C、SSS D、HL
5. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？（ ）
A 、三角形中线的交点 B、三角形高线的交点 C 、三角形角平分线的交点 D、以上答案都不对
6. 如图，△ABC 中，∠C =90o，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB ，E 点是AB 的中点，DB = 3cm，且DE =1.5cm，则AC 等于（ ） A ．3cm B ．7.5cm
C ．6cm D ．4.5cm
C
D E
E
B
A
二、填空（30分）
7如图，把长方形ABCD 沿AE 翻折，使点D 落在BC 边上的点F 处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE=_______°
。
（7题图） （ 8题图） 8、已知：如图，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，
则AB_____AC+CD。(填 <、>或=)
9、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平
分线交BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ， 则 D ∠B=________°。 10、如图、在△ABC 中，∠ABC ＝90°AB ＝7，
BC ＝24，AC ＝25。则△ABC 的角平分线的交点
到边的距离为_________。
11、已知，如图，∠ABP ＝∠CBP ，P 为BN
且PD ⊥BC 于D ，AB+BC＝2BD ，
则：∠BAP+∠BCP ＝________ °。
12、如图、OP 平分∠BOD ，
AB ＝CD
，△PCD 的面积等于20，则△PAB 的面积
是__________。
三、简答题 13、（10分）如图 、A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。DE 平分∠ADC ，
求证：AE 平分∠DAB 。
B A 14、（10分）如图、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且
∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。
C
15、（10分）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，
且∠DAE=∠FAE
求证：AF=AD+CF
12、（10分）如图 、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线
AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD＝AC 。
范文四：角平分线的性质和判定
1、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到___________相等．
2、到三角形三边距离相等的点是（ ）
A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
例1、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
l1l2
l3
第3题 第4题
练习1、如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
练习2、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A. 4cm B. 6cm
C. 10cm D. 以上都不对
练习3、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ）
A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不能确定
C
C
BEE
ADB
练习题3 练习题4
练习4、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
练习题5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
练习题5 练习题6
练习题6、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=____. 练习题7、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
A P B M
例3、如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C． 求证：AC＝BC
练习题8、已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.求证：AD平分∠BAC
A
E
F 2
B
C
练习题9、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数
例4、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
练习题10、如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
A
F
C D E B
练习题11、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）
A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
范文五：角平分线的性质与判定教学设计
角平分线的性质与判定教学设计
教 材：人教版教材八年级（上）§11.3. 执 教： 【教学目标】
1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．
2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．
3．通过师生互动以及多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情．
【教学重点】 角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用． 【教学难点】 角平分线判定定理的证明与应用 【教学方法】 启发探究式． 【教学过程】 一、复习引入： 1．角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线． 数学语言：
如图1，∵ OC 是∠AOB 的平分线， 1
∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠AOB ）． 图1
2
2．角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC ？（可由学生任选方法画出OC ）． 可以用量角器量或用折纸的方法
3．如果手头只有圆规和直尺，纸又不能折该怎么办呢？
如图2，是一个角平分仪，其中OM=ON,MD=ND。
将点O 放在角的顶点,OM 和ON 沿着角的两边放
下, 沿OD 画一条射线OE,OE 就是角平分线，你能说明它的道理吗?
4．学生通过角平分仪的演示，小组合作想出尺规作角平分线的方法。
5. 平分平角∠AOB
1）通过上面的步骤，得到射线OC 以后，把它反向延长得到直线CD ，直线CD 与直线AB 是什么关系？
2）结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
6. 创设探究角平分线性质的情境：
用两个全等的30°的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30°．学生可能拼出的图形是：
（拼法1） （拼法2） （拼法3） 选择第一种拼法提出问题：
（1） P 是∠DOE 平分线上一点，PD 、PE 与∠DOE 的边有怎样的位置关系？ （2）点P 到∠DOE 两边的距离可以用哪些线段来表示？ （3）PD 、PE 有怎样的数量关系？ 二、探究新知：
（一） 探索并证明角平分线的性质定理： 1．实验与猜想：
引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？ 引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：
命题1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等． 2．证明与应用： （学生独立书写过程）
已知：如图4，OC 是∠AOB 的平分线，P 为OC 上任意一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ． 求证：PD ＝PE ．(证明过程略
)
图4
由此得到：
定理1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等． （角平分线的性质定理） 数学语言：
如图4，∵ P 是∠AOB 的平分线OC 上一点， PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，
∴ PD ＝PE ． 练习
（1）判断正误，并说明理由：
①如图5， ②如图6，
∵ P 是∠AOB 的平分线 ∵ PD ⊥OA 于D ，
OC 上任意一点， PE ⊥OB 于E ， ∴ PD ＝PE ． ∴ PD ＝PE ．
图5 图6
（2）填空：如图7，△ABC 中，∠C ＝90°， AD 平分∠BAC ，CD ＝3cm ，则点D 到AB 的距 离为 cm ．
图7 定理1说明：
“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那么，反过来会怎么样呢？(引出逆命题)
（二）探索并证明角平分线的判定定理： 1、写出逆命题
命题2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平
分线上． 2．证明与应用： （学生自己完成）
已知：如图8， PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD ＝PE ．
求证：点P 在∠AOB 的平分线上．（证明过程略）
图8
由此得到：定理2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． （角平分线的判定定理） 数学语言：
如图8，∵ PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD ＝PE ， ∴ 点P 在∠AOB 的平分线上． 练习
1、如图9，已知△ABC 中，D 是BC 上一点，且DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，DE=DF 求证：∠1＝∠2
图9
2、如图 10，在直线L 上找出一点P ，使得P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等
定理2说明：具有“到角的两边距离相等”性质的点，无一例外都在“角的平分线上”（不会漏掉一个具有这样性质的点）． 师生共同小结两个定理的区别与联系：
两个定理互为逆定理．它们的应用不同，定理1用于证明两条线段相等，定理2用于证明两个角相等．
三、综合应用：
已知：如图11，∠1＝∠2，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 、CD 交于点O ． 求证：OC=OB． 证明：∵ ∠1＝∠2，
CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴ OE=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在△EOC 和△DOB 中， ∠3＝∠4（对顶角相等）， OE=OD（已证），
∠CEO=∠BDO=90°（已知）， ∴ △EOC ≌△DOB （ASA ），
∴ OC=OB（全等三角形对应边相等）． 题目拓展
若∠1＝∠2与OC=OB互换，怎么证明？
四、师生共同总结：
图11
1．通过本节课的实验、观察、比较、猜想、论证，得出了角平分线的性质定理和判定定理．并学会了运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理．
2．我们知道了能够运用角平分线的性质定理和判定定理证明两条线段相等或两个角相等．
3．通过把实际问题转化为数学问题，可以培养我们应用数学的意识．
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