,,汪迪生汪鹏君

:宁波大学 电路与系统研究所,浙江 宁波 :,,,,,,

摘 要 :通 过对包含无关项布尔逻辑函数 ::展 开式和 ::展 ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,::,开式的研究 结 合基于系数矩阵的 展 开式极性转换算法 提 出了一种包含无关 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

项逻辑函数 展开式最小化算法 首 先将包含无关项逻辑函数 展开式转换为 展开式 ,并 用系数 ,,,, ,,:, ,,,, 矩阵的形式表示 ;然 后删除函数中的冗余变量 ,归 纳出 一 种 包 含 无 关 项 展 开 式 最 小 化 算 法 ,得 到 与 项 数 较 ,,,,

少的 展开式 ;最 后随机选取个 基准电路进行测试 ,结 果表明该算法能有效地优化电路面积,,,, ,,,,,, , 关 键 词 :无 关项;极性转换;展开式;最小化,,,,

:::::中图分类号 ,,,, 文献标志码 , 文章编号 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,:,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,, ，,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,

,:,,,,,,,,,;,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,

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,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, :;;;,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,

,,,, 随 着 电 子 技 术 的 发 展具有更好的 可 测 性,,:,

,,,,门的物理实现问题已得到较好解决但 目前集成 引 言 ,

,电路的自动设计方法 主 要 针 对 布 尔 逻 辑 基 于 ,, ,逻辑的 技 术 有 待 完 善因 此 开 发 逻 辑 自 ,,:,,:,,, ,, 数字 电 路 可 用 与或非 运 ,,,:,,:,

动综合与优化技术有着重要意义,,, 算组成完备集的布尔逻辑实现 也 可用 ,:,,,,

:逻辑函数 通 常 用 布 尔 逻 辑 :::,:,:,,,,,,,,,,异或与运 算组成完备集的 逻 ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,::、,辑实现部分电路如算术运算电路奇偶 校验电 展开式表示故 展开式一般由布尔逻辑展 ,,,,,,,

:,路和通信系统电路等由 于 用 开式转换得到运算使用频繁逻辑优化技术主要包含 逻 ,:, ,,, ,,

、、、,逻辑 实 现 在 面 积功耗和 延 时等方面具有优 辑电路的面积功 耗延 时优化其中面积可以通过 ,, ,,,,,,势与 门不同的是门的每一个输入变 ,:, 最小化展开式中的与 项 数 来 实 现 虽 然 目 前 的 ,:,,,,

,化都会引起输出变化 所 以用 逻辑实现的电路,, 逻辑优化方法通常不考虑布尔逻辑函数中存在的无

:收稿日期 ,,,,,,,,,,, 基金项目 国家自然科学基金资助项目::,:,,,,,,,,,,,,,,,,,

作者简介 汪: 迪生::,男 硕, 士研究生 主要从事高信息密度和低功耗集成电路理论及设计研究, ,,,,,, ,:通信作者 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,

第 期 汪迪生 ，等 :包 含无关项的 展开式最小化算法,,,,, ,,

，，关项但 合 理 利 用 无 关 项 可 进 一 步 优 化 可知展 开 由表展开式中变量有 种呈现 ,, ,,,,, ,

, ，,,(,，，式如 文献 提 出的基于系数矩阵 方式即种 极 性当展开式极性为 即 所 有 ,,,,,,,,,,, ,,,,,

，)，变量均取极性 时展 开 式 与 项 和 展 展 开 式 最 小 化 算 法利 用 无 , ,,,, ,:, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,，，，开式与项完全一致 在 这 种 情 况 下将 展 开 式 关项减少展开式与项数 速度较快且占用内存较,:,

中的 (操作替换成 操作就可以得到变量极 :, ,:, 展 开 式 和 ,,,,少 ,,,, ,,,,,,,,,,,,,, , ,

，)性均为 ，的 展开式而 其他极性的 展 开 式 是 , ,,,, ,,,, 种 常 见 的 逻 辑 展 开 式,,,,,,, , ,, ,,, ,展开式可由极性的 展开式转换得到 ，,,,,,,,,与 展开式相比展 开 式 极 性 空 间 更 ,,,,,,,,

， 大优化效果更佳本 文通过对包含无关项布尔逻,(，，，)，(例 四变量函数, ,,,,,,,,,, , ,?，辑函 数以及 展 开 式 的 研 究提出了一种将,,,, ，，，，，)()、的 和展开式极 性 为,,,,,,,,,,:, ,,,,,, 包含 无 关 项 布 尔 逻 辑 函 数 展 开 式 转 换 为 ,:, ():时的 展开式分别如下,,,,,,,,,, ，最 小 展开式的算法减少 展开式与,,,, ,,,, 珔珔珔珔珔珔珔珔,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 项数从而优化相应的 逻辑电路的面积,,,, , 珚珚珚珚， (),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,珔珔珔珔珔珔珔珔???? ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,, ,,,, 珚珚珚珚， () ??逻辑函数表示方法 , ,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,珚珚珚珚珚?????,,,,,,,,,,,, , ,, ,, ,,, 珚珚珚珚珚)(?,,,,,,,,, ,,,,, ,,,, 不包含无关项的逻辑函数 展开式与,,, ,:,

包含无关项的逻辑函数 展开式,,, ,:, 展开式 ,,,,:)逻辑函数中可能出现以下 种情况输 入变 , ,，任一变量完全确定的布尔逻辑函数 均 可展 , ，量的某些取值组合根本不会或者不允许出现 这 种 ,,,:开成如下的标准 形式,:, ，对输入变量所加的限制称为约束 在这些变量取值 , , ,, );的最小项称为约束项组合下值等于输 入变量 ,,(，?，， ()，，?，) ,,,,,,,, ,,,,,,,;,,, ?,,, ，的某些取值组合下函数值是 或者 皆可并 不影, , ? ? ? ? ，响电路的功能在这些变 量取值组合下值等于 的, 其中“”代表 操作;??代:,?,,,,,,, ,,,,,,;, ?，表展开式中的最小项珚 , ， ,，,代 ,,;,, ,,,? ; ; ; , ? 显然约束项与任意项对函数值 最小项称为任意项,;表最小项 在表达式中出现与否 下 标可表示成 ,, ,? :二进制形式与的关系如下，, , , , ,, 或者电路的功能不构成影响 是否写入函数式无关 ? ? ;,,, ,,,;,; ; 珚，，,;,; ,,烄 ? ，紧要因此约束项 和任意项统称为逻辑函数的无关 ,; , 烅 ，，?，)(,,,;,, ,，,, 最小项简称无关项变量包含无关项逻辑函数的，，,, ,,,;; ,烆 ,,,, :展开式如下,:, ，同理也可将布尔逻辑函数 展开 成 形 ,,,, (，，?，，?，),,,,,,,, ,,,,,,,;, :式, , , ,, , ,, , ， ?， (),,,, , ,,,,,,,, ,,, ,, ? ? , (，，?，，?，)， (),,, ,,, ? ,,,,, ,,,,,,,,,;,？,, ? , ,,, , ,,

()，()，与式相 比式 引 入 了 无 关 项 其 中 ,,,,,,“” ; 其 中 代 表 操 作极 性 ,:, , , ? ?,,,

??，，，,代表变量在展开式,,,,,,;,,,; ,,,,,,,? ，,，,代表无关项系数表示 不属于 ,, ,,,, ,,,, ?? ? ? ? 中的出现方式;??代表展开式，，表示 属于无关项?表示 无关项,,,,,,, ,,,, ,,,, ,？, ,,,,,,;, ?珚与不同时为 , ，，,;,，, , ,, ,,; ;;, ? ? ?，代表与 ,中的第个与项,, ,, ,, , ,

;项在表达式中出现与否下 标可表示为二进制 ？, ,(，，，)(，例 四变量函数, ,,,,,,,,,, ,,?? ? ? ;与 以 及 的关系如表 形式,,;,; ; ; ，，，，，)(，，，，，), ,,, , ,, , ,, ,中 无 关 , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ?所示, (，，，，，)，项是 否 写 入 函 数 式 无 关 紧 要 假 ,,,,,,,,?取值表 ; 表 , ,(，，)(，，): 设写入函数式而不写入函数式,,,,,,,,? ,,,,,, ,,,,,,,,,,,; (，，，)(，，，，，，，，，),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,, ; ,; ,; ,; ?

() ,珚, , , ,; 系数矩阵,,,

珚, ,,,; ; ; 变量逻辑函数的 展开式与 展开, ,:, ,,,,

() 江 大 学 学 报理 学版第 卷 浙,, ,, ,,, ,:式均可用一个行列的系数矩阵表示行的行与第,, , ，，()完全指定的因此当矩阵 第 ,,;,

,,??,，，，是 所有元素均相同或者其中之一为 时变 量 ,,,,,,, ,; ,,,,, ,

，冗余的此时可以删 除冗余变量 简 化逻辑函数 ,,;,()，矩阵 是函数的系数中的元素 , ,, ,,,,,,,,,,,,:具体步骤如下 ??)(，由式及 表 可 知无 论 在 展 开 式 ,;,,,,, ,:, , 的 将极性展开式用系数,,,, ,,,,,,, ,，还是 因展开式中变 量均以 种状态出现,,,, , ,

;，矩阵表示令;,, 此可以按照 出 现 的 形 式 将 矩 阵 转 换 为 一 个 ,;,, ，否 则按照如果跳转到 ,,,,;,,,,,,,; 进,,,,,():列的新矩阵第行 行由下标为 ,,,,,,,;,,,,,();， 行矩阵转换得到新的系数矩阵 ,,;

????()，;的系数组成第行由下标为 第行和第行的元素相加 将 ,,, ,,,,,,,,, ,,,,,, ,,;,,

，如 果 的 结 果 中 有 出 现说 明 ,,,,, ,,,,, , ()，的系数组成同理新矩阵 也可以还原成原 ,, ,,,;并跳转到, ;,;,,,,,, ,来的矩阵, ，;不是冗余变量令 ; )():(例的系数矩阵分别如下 式, ,,,，的结果中没有出现说明 如果,,,,, ,,,,,,(): ,,，式的系数矩阵,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ，，:是冗余变量可删除具体方法如下 ,; )，,,,,,,,, 给无关项指定合适的 函数值 使 矩阵上下两 ,; ,,: ()按转换可得 ,, ,,,,,,,,,,,, :、，行相等如果结果为或 者 则 矩阵中相应位置,,, (): ,,，，;式的系数矩阵上下行的元素值不变 如 果结果为 则 使矩阵中 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,

,,,,,,,, ;，相应元素均置为如 果结果为 则使矩阵中相应 ,, ,,; (): 按 转换可得,, ,,,,;元素均置为, ,,,,,,,,

,,, (): ,,，式的系数矩阵,,,,,,,,,,,,,,,,,,, )()，取矩阵 两行的任何 一行将 两行 列,,,;,,,,,,,,,,,, ();矩阵 变为一行列的矩阵 ,,;,,,; (): 按转换可得 ,, ,,,,);令并跳转到 ,,,,,,,,,;,;,,,,,, ,，()、()()，，其中和 分别是个系数矩阵记录删除的变量 更 新变量总数更 新 ,,, ,,,,,,,,,,,,

、和进行转换得到的新矩阵以 系数矩阵 ,, , ,,,,,,

，对于包含无关项逻辑函数 展开式为 区别 ,:, (，，，，) 例 逻 辑 函 数 , ,,,,,,,,,,,,

，，无关项与最小项在系数矩阵中用表示无关项,, (，，，，，，，，，，，，，),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ?(，，，)(， 例逻辑 函 数 , ,,,,, ,,,,,,, ? (，，，，，，，，，)删 除 冗 余 变 ,,,,,,,,,,,,,,,,, ? ，，，，，)(，，，，，)的 系数矩阵 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:量的过程 :及以为例转换得到的新矩阵分别如下 ,, ,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,，(,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ), ， ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, (),,, ,, , , (),,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,, ,，, , ,,,,,,,,,,,,,,,, (),,, ,,,,,,,,,,,,,,,,, 冗余变量的删除 , ，, , ,,,,,,,,,,,,,,,, (),,,,

,,,,,,,,,,,,,,,, ，逻辑函数中部 分变量并不对函数的功能造成 ，, , ,,,,,,,,,,,,,,,, , ，，影响称为冗余变 量如 极性 的 展开,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,

():,,, ,式可表示成如下形式 , , , ,,,,,,,,,,,,,,,, (，?，，?，)，(,,,,以上各矩阵中只有矩阵 第 行和第 行元,,,,;, , , , , ) , 珚?(，?，，，?，)?? ,,,,,,;,,,,,;,,;,,,;,，素相加的结果中没有出现所以变量为冗余变 ,,,

(，?，，，?，)(),,,,, ,,,,,;,,;,,, ，量按 照 处 理 得 到 新 的 系 数 矩 阵 为 ,,,,, , ,，，对于不包含无关项的逻辑函数 若 则 表 明 ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ，函数无关为冗余变量如 果函 的值与变量, ,; ,; , ()，数用矩阵 表示则 第 行与第 行是完全 , , ,;, , 包含无关项 展开式最小化 , ,,,, 一致的,

由于无关项所对应的函数值为 或者是没有,,

包含无关项 电路可以在保持其功能不变,,,,

第 期 汪迪生 ,等 :包 含无关项的 展开式最小化算法,,,,, ,,

,:的情况下用结 构与面积等不尽相同的展开式实 中无关项的值

,,;,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,现影响 展开式具体形式的有无关项的值以,, ,,,,

,,,,,,,, 及变 ,,,量的极性因此首先指定无关项的值得到不包::,第行和第行,,,, ,, ,,,, ,, , ,关项的 再 按与项数最少的原则展开式含无 ,,,, ,,,,,,,,

进行 极性变换从而实现 展开式最小化,,,, , ,,,,,,,, 熿燄;相加得 ,,,,,,,, 指定无关项的值,,,

燀燅 ,,,,,,,,,逻辑函数的输入变量取值组合为无关项时 逻

:,,由矩阵转换结果有,,,, ,,,,,,,,, ,,,辑函数的输出值取 还是 是不确定的为 便于表 , ,

,,;,,,,,,,,,,,,,,,,, ,示将此输 出值称为无关项的值逻 辑 函 数 的 ,,:,

,,;,,从 而 展开式中无关项的值一般 为 然 而在 ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,展开,,,:, ,

,;,式转化为 某 些 无 关 项 的 且因此变量取极性展 开 式 的 过 程 中,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,值为可减少 由 此提 出 展开式的与项数,,,,, ,::,::;更新 ,,,, ,,,, ,,, ,, , ,一种指定无 关 项 的 值 从 而 减 少 展 开 式 与 ,,,, ,,,,,,,, ,:项数的算法步骤如下 ::,将 矩 阵 还 原 为 ,,,, , ,,, ,, ,

,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根据 进 行矩阵转换得 到新的系数 ,,,,, ,,

展开式最小化,,, ,,,, ::;矩阵 ,,,

,极 性 影 响 从 而 影 响 电 路 的 结 构,,,, ::第 统计矩阵 行和第行元素,,,,, ,,,, ,

、电 路 的 面 积功 耗 和 速 度展 开 式 ,,,, ,,,,, ;,中的数量分别计为 和 ,,,,,,,

,,中每一个变量 有 因 此 个极性展开式的 , ,,,, ::第将 行元素和第 行元素相 ,,,,, ,,,, , ,极性空间非 常 巨 大 极 性 优 化 是 展 开 式 最 ,,,, ,,加统计结果中的次数 记为 记 结果中值为 ,,,,,

穷尽搜索最佳极性能够得到最优 小化的重要内容,,且第行为的次数为 记结果中值为且 第 ,,,,,,,

,的 但 需要消耗较多的时间本 文利 展开式,,,, ,;行为的次数为 ,,,,,,

,用系数矩阵的特点在系数矩阵转换的过程中确定 ,的 极 性设 为 确 定 变 量 个 变 量 ,,,,, ,, , ,,变量 极 性减 少 步 骤 展 开 式 与 项 数 目,,,, 、、,:分别如下,,,,,,,,,,,,,,, :如下 ; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

;令,,,, ;,, , ; ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,得 到 新 的 系 数 矩 阵 进 行 矩 阵 转 换如果最小则取极性,,,,, 最小则 ,,,,,,,,,,,, ,, , ,;取极性最小则取极性 ,,,,,,,, ,::; ,,;:::,统计矩阵 第 行和第 行元素 若 取极性 将 矩 阵 中 的 元 素 ,,,,, ,,;, , ,,,,, ,,, ,,

,,::中的数量分别计为 和将 第行 ;,,,,,,,,,;,变为, ,元素和第行元素进行异或结 果中 的数量计为:,,, 若取极性则第行中元素变为作 ,,, ,,,,

,为新矩阵的第行将 第 行与第 行相加之后结 ;,, , ,,,

,、:;果进行如下处理结 果为 则 保持不变结 果为 ,, ,为确定变量 的极性定 义 个变量 ,,,,, ,; , 、,,;则用替换结果为则 且第 行为 替换 ,,,, , ,, 、、:如下,,,,,,,,,,,,,,,

;,,为结果为且第行为 则 处 理之 替换为 ; ,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,;后作为第行, ; ,,,,,,,,,,,,,

:,若取极性则第行中元素变为作 ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,为新矩阵的第行将 第 行与第 行相加之后结 ,, , ,,判断个值的大小取极性 最小则 , ,; ,,,,,,,,,,,,、 ,; :;果进行如下处理结 果为 则 保持不变结 果为 最小则取极性最小则取极性,,,; ,,,,,,,; ,,,,,

:,; :取极性矩阵不作任何改变 ,,; ,,; ,,,;则用替换结 果为 且第 行为 则 用 ,, , ,, , 、,,,,取 极 性 原 矩 阵 第 行 为 新 矩 阵 第 ,, ,,;,替换结果为且第行为则用替换处理之 ,,,,,,行原矩阵第行与 第 行的异或结果为新矩阵的 第,, ;后作为第行, ;行, ::将矩阵 还原为 ,,,, ,,,,, ,:,取 极 性 原 矩 阵 第 行 为 新 矩 阵 第 ,,; ,, ,,,例指定系数矩阵 , ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,行原矩阵第行与 第 行的异或结果为新矩阵的 ,,

:: 江 大 学 学 报理 学版第 卷 浙,, ,,

表实验结果; ,第行,

,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;::,将矩阵 还原为 ,,,,;,;,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,直到变量处理完毕 重复步骤,,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, , ,,例的 极系数矩阵 , ,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, , , ,, ,,,,, ,, ,,,,,, :性优化步骤 ,,,,,,, , , ,, ,,,,, ,, ,,,,,, ,,;,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, , , ,, ,,,,, , ,,,,,, ,,,,,,,, 熿燄 ,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,,, , , ,, ,,,,,,,,::,;,,,, ,, ,,,,,,,,,, ,, , ,,,,,, , , ,, ,,,,, ,, ,,,,,,, ,,,,,,,, 燀燅,,,,,,,, ,,,,,,, ,, , ,, ,,,,, ,, ,,,,,, :,,矩 阵 转 换 结 果 有,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,, , ,, ,,,,, ,, ,,,,,,

;,,,,, ,,,,,, ,, , ,, ,,,,, ,, ,,,,,,,

,,,,,,, ,, , , ,,,,, , ,,,,,, ,,;从 而 ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,, , ,,, ,,,,, ,,, ,,,,,, ,;且因此变量取极性,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,, , , ,,,,, , ,,,,,, ,,,,,,,, ::,::;更新 ,,,,, ,, , ,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,, ,,,, , ,,, ,, , ,,,,,,,, ,,,,,, ,, , ,,, ,,,,, ,,, ,,,,,,

,,,,, ,, , ,,, ,,,,, ,,, ,,,,,:: , ,, 将 矩 阵 还 原 为 , ,, ,, ,

,,; ,,,,,, ,, , ,,, ,,,,, ,,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,、重复步骤 可得变 量 极性 ,,,,, ,,, ,,,, ,均为因此该函数转换为 展开式的极性为 ,,,,, 结 论 , ,,,系数矩阵 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

提出了一种包含无关项逻辑函数 展开 ,,,, 实验结果与分析 , 式最小化算法该 算法用系数矩阵表示包含无关项 , ,,的逻辑函数并删除函数中的冗余变量 在极性转换 ,本文提出的算 法 已 用 在 语 言 实 现, ,,,,,,, ,的同时指定 无 关 项 的 值 实 现 展 开 式 最 小,,,, ,,内存的计算机上环境 ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,化随机选 取 个 基 准 电 路测 试 结 果 表 ,,, ,,,, 下用 编译实 验所采用的测试电路为 ,,,,,,,,,, ,明本算法 能 有 效 减 少 逻 辑 函 数 展 开 式 的 ,,,, ,鉴 于 本 算 法 主 要 针 对 单 输 出 电 路,,,,,,,,,,,

,与项数从而减 少 所 提算法对 电路的面积,,,, ,,,电路因此 对 于 多 输 出 电 路随机选取一位进行优

包含无关项逻辑函数的 展开式最小化进行 ,,,, ,,,化为验证算法的有 效性 将 文献 提 出的基于系 ,,

,了初步探索为 电 路 逻 辑 综 合 提 供 了 参 考 ,,,, 数矩阵的包含 无 关 项 展 开 式 最 小 化 算 法 的 ,,,,

依据, 优化结果与本算法的优化结果进行比较 实 验结果 ,

,“”,“ 如表所示其中表示测试电路的 名称 ,,,,,,,,

:::参考文献 ,,,,,,,,,,”,“”, 表 示 输 入 变 量 数表 示 所 优 化 输 出 位,,,,,, ”“”,,和分别表示文献算法以及本文算法优 ,,,, ,“ ,“”化后展开式的与项数 相 应 算 法 的 程 序 运 行 ,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,,,

时间, ,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,

,,,,,,由表 ,,,,,, ,, ,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,可 知 与 文 献 算 法 相 比 本 文 算 法 ,,, ,

,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,“”,,,与项数平 均 节 省 达 除 电 路 和 , ,,,,,, ,,,,,,,,

,, 张 会 红 ,汪 鹏 君 ,俞 海 珍 基 于新型极性转换技术的 ,,,“”,用 其 他 电 路 种算法优化结 果 相 同 外 , ,,,,,,,,

,电路面积优化 ,,电子与信息学报 ,, ,,,:,:, ,,,,,,,“”均有不同 程 度 节 省 其 中 电 路 与 项 数 节 ,,,,,,,:::,,,,,,,,,,, ,,省达 另 外 与 极 性 搜 索 方 法 不 同 本 算 法 ,,,,, ,, ,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,的程序运行时间并 没 有 随 变 量 个 数 的 增 加 线 性 增 ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,长 所 有电路 的 程 序 运 行 时 间 均 在 以 内 由 此 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,可见 本 算法能快 速 显 著 地 减 少 展 开 式 的 ,,,, ,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , ,,与项数, ,,,,,

::下转第页 ,,

第 期 钱 宸 ,等 :基 于 并行的全球海洋表面温度场等值线提取算法研究,,,,, ,, ,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,:,,,,,,,,,,

,, ,,,,,,,,,:,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, :, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,, :,:,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,:, ,,,,,,, , ,,,,,,:, ,,,,,, ,, 王涛 基 于 的程序分析与并行化研究 ,,郑 州:,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

解放军信息工程大学 ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,

,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,, ,:,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,, ,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,:,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, , ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,, , ,, ,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,::,::,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,:,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, :::,,,,,,,,,,, ,, ,高 性 能 编 程 实 ,,,,,:,,,,,,,, ,,,,, ,,,,

,,,:,:战聂 雪军 译 北 京 机械工业出版社 ,,,,,,,,,,

::上接第页 ,, ,:::,, 卜登立 ,江 建 慧 使用系数矩阵变换极性转换的 ,,,,,,,,,,,,,,,,

电路面积优化,,计算机辅助设计与图形学学 ,,,, ,,,, ,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,:::报,,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,

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,, 王振海 ,汪 鹏 君 ,俞 海 珍 ,等 基 于 算 法 的 ,,,,,,,,: ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,

电路延 时 和 面 积 优 化 ,,电路与系统学报 ,,,,,,,,,, :,,, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,

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, ,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,, 杨萌 ,徐 红英 针 对混合极性的并行表格技术的遗传算 法,,

,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,, ,,, ,,,, ,,,,,,,, , ,,,计算机辅助设计与图形学学报 ,,::: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,

,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,, ,,,,,,:,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,, 姚茂群 ,陈 偕雄 基于三角形结构计算 展 开 系 数 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,

,,:,,:::的新算法浙 江大学学报 理 学版 ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

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二项式展开式的常数项 若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为

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一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原

1

则。

1(回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2(适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3(布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问

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题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

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最小项

.

. L AB A C L

ABC AB C A BC A B C L A B B C D

L A B C D A B C D A B C D A BC D A BCD A B C D

m

10

m

.

L ABC AB C A BC A B C

111110011001

m 7m 6m 3m 1

.

L A B C D A B C D A B C D A BC D A BCD A B C D

000101000101011001111001

m 1m 4m 5m 6m 7m 9

.

1.()

1m . L

AB A C

1m

L m 7m 6m 3m 1

. L

A B B C D

1m

L m 1m 4m 5m 7m 9

2.

.

L AB AB 111110011

001ABC m 7m 6m 3m 1

.

1. L A , B , C , D m 1, 4, 5, 6, 7, 9

10.

x 2. L A , B , C , D

m 1, 4, 5, 6, 7, 9d 10, 11, 12, 13, 14, 15

m 1d X, 0.

3. L A , B , C , D m 1, 4, 5, 6, 7, 9d 10, 11, 12, 13, 14, 15X 10

X 1X 0

求展开式系数的类型及最大最小项

求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以

归类与解析，供读者参考。

n,(a，b)(n,N)一 、型

1064(2)xy,例1的展开式中项的系数是( ) (xy

(A)840 (B),840 (C)210 (D),210

1064rrr10,(2)xy,解析:在通项公式T,中令=4，即得的展开式中xy项的系数为rCyx(2),r，110

44=840,故选A。 C(2),10

185(x,)例2(展开式中的系数为 。 x

x

38,r13r8,rrrr52T,Cx(,),(,1)Cx8,r,5r,2解析:通项公式 ，由题意得，则，故所求的系x188r，2x

22(,1)C,28数为。 8

评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。 r

nm,(a，b),(c，d)(n,m,N)二 、型

21348(x,)，(x，)例3(的展开式中整理后的常数项等于 . xx

22rrrrrr34124,,34TCxCx,,,,()()(2)12,4r,0r,3()x,解析;的通项公式为,令，则,这时得r，144xx

121kkkkk882,,33348TCxCx,,,C2()()x,()x，的展开式中的常数项为=,32, 的通项公式为,令k，1884xxx

21148348C8,2k,0k,4(x,)，(x，)()x，，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数8xxx

,32，70,38项等于。

563(1,x),(1,x)例4(在的展开式中，含的项的系数是( ) x

,5,10(A) (B) 5 (C) (D) 10

333565633,,C,10,,,,C(1)(1,x),(1,x)20(1,x),(1,x)解析:中的系数, 中的系数为,故的xx56

310展开式中的系数为,故选D 。 x

nm,(a，b),(c，d)(n,m,N)评注:求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项

式加减法求得所求项的系数。

nm,(a，b)(c，d)(n,m,N)三 、型

1

273例5((x，1)(x,2)的展开式中项的系数是 。 x

163472733C(,2)C(,2)解析:(x,2)的展开式中、的系数分别为和，故(x，1)(x,2)的展开式中项xxx77

1634C(,2)C(,2)的系数为+=1008。 77

85例6(的展开式中的系数是( ) xx,，11x，，，，

,1414,2828 (A ) (B ) (C ) (D)

8458455CC(x，1)略解:的展开式中、的系数分别为和,故 展开式中的系数为xx,，11xxx，，，，8845CC,,14,故选B。 88

nm,(a，b)(c，d)(n,m,N)评注:求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘

法求得所求项的系数。

n,(a，b，c)(n,N)四 、型

x15(，，2)的展开式中整理后的常数项为 . 例7(2x

5kx1x1x1x1，，5,k55,kk2，()(，，2)解法一:=，通项公式, 的通项公式为,，TC2()(，)，2，15k,,2x2x2x2x，，

rrkrkr,,,,,,5(5)rrkkr525,,，,TCxx,2,Cx25,2r,k,0k，2r,5,令，则，可得或k,1,r,25,krk，,15

或。 k,3,r,1k,5,r,0

1152,1222,当时，得展开式中项为; CC22k,1,r,2542

311,当时,，得展开式中项为; k,3,r,1CC222202,,52

5当时，得展开式中项为。 k,5,r,0C4242,5

x11526325(，，2)，，,20242综上，的展开式中整理后的常数项为。 2x22

52102x1x，22x，2,,(x，2)(x，2)1055(x，2)(，，2)()解法二:===，对于二项式中，552x2x(2x)(2x)

55(2)C,632r10,rr1010,r,5r,5,，要得到常数项需，即。所以，常数项为。 T,Cx(2)r，110522

x1x15(，，2)(2)，，解法三:是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况:在5个相乘的三项式2x2x

x11x(2)，，中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，x22x

2

11x1133CCC,,,,,(2)202可得;从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式543x22

115x1222CC,,,,()22中取常数项相乘，可得;从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得(2)，，53222x

55=。 42C,(2)5

x11526325(，，2)综上，的展开式中整理后的常数项为。 20242，，,2x22

评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

mmn，,1()()()(,,1)abababmnNmn，，，，，，,,,五 、 型

262(1，x)，(1，x)，？，(1，x)例8(在的展开式中，项的系数是 。(用数字作答) x

222222C，C，C，C，C,35解析:由题意得项的系数为。 x23456

56783例9(在(1,x)，(1,x)，(1,x)，(1,x)的展开式中，含x的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) ,74 (D) ,121

5459(1)[1(1)](1)(1),,,,,,xxxx5678= ,解析:(1,x)，(1,x)，(1,x)，(1,x)1(1),,xx

445944中的系数为，中的系数为,126+5= 121,故选D。 C,5C,,126(1,x),(1,x),,,xx95

2评注:例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加;例9则从整体出发，把原式看作首相为x

5(1,x)，公比为(1,x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答

mmn，,1 ()()()(,,1)abababmnNmn，，，，，，,,,方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差

200422004例10((1,2x),a，ax，ax，...，ax若， (x,R)0122004

(a，a)，(a，a)，(a，a)，？，(a，a),_______则。(用数字作答) 01020302004

200422004(1,2x),a，ax，ax，...，axx,0a,1解析:在中，令，则， 00122004

2004a，a，a，a，？，a,(,1),1x,1令，则 01232004

(a，a)，(a，a)，(a，a)，？，(a，a)故 01020302004

aa，a，a，a，？，a,2004=2003+。 012320040

224234例11((a，a，a),(a，a)，则的值为( ) (23)xaaxaxaxax，,，，，，0241301234

(A) 1 (B) ,1 (C) 0 (D) 2

3

4234解析:在中， (23)xaaxaxaxax，,，，，，01234

4， x,1(2，3)令，可得a，a，a，a，a,01234

4 x,,1(2,3)令，可得a,a，a,a，a,01234

22所以，(a，a，a),(a，a)=(a，a，a，a，a)(a，a，a,a,a) 024130241302413

44,故选(2，3)(2,3)(a，a，a，a，a)(a,a，a,a，a)===1A。 0123401234

求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。评注:赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某

它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。

二项式中“最大项、最小项”的求解策略

二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决(在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同(

,(二项式系数最大项问题

1n，x(2)例, 已知的展开式中，第,项、第,项、第,项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式2

系数最大的项(

分析:要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件(先确定的值，再根据二项式系数的性质n

求解(

1n456，xCCC,,(2)解:的展开式中，第,项、第,项、第,项的二项式系数分别为( nnn2

4652CCC，,2由题意得，即(?,,或,14( nnnn,，,21980nnn

TT当n=7时，展开式中二项式系数最大的项为和， 45

135134334344TCxx,,()(2)TCxx,,()(2)70?，( 4757222

17777TTCxx,,()(2)3432当n,14时，展开式中二项式系数最大的项为，?( 88142

n()ab，评注:求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n

为偶数时中间一项的二项式系数最大( n

,(二项展开式中系数最大项问题

4

n例, 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项( (13)，x

nnn,,21CCC,,解:末三项的二项式系数分别为， nnn

nnn,,2121CCC，，,121由题设，得，即CC，，,1121( nnnnn

2?， ?舍去)( nn,,,15(16nn，,,2400

rrrrrTCxCx,,,(3)3?， ，11515r

TTTtt,t设项，项和的系数分别为，和， rr，1r，2rr，1r，2

rrrrrr,,，，1111tCtCtC,,,,,,3,3,3则( rrr15115215，，

rrrr,,11,CC,,,33,,1515设t最大，则 可知,11或=12( rr,r，1rrrr，，11CC,,,33,1515,

111111121212TCxTCx,,,,3,3?展开式中系数最大的项是( 12151315

7(12),x例, 求展开式中系数最大的项(

7(12),x解:展开式共有,项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号

TT内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需比较和两项57

系数大小即可(

443TCC系数(2),444577TCxx,,,(2)560,,,1，所以系数最大的项是第五项，( 57661TCC系数(2)4,777

评注:求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，

一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化(

,(二项展开式中指定项系数最大(小)项问题

mn2fxxxmnN()(1)(12)(,),，，，,例4 已知的展开式中含项的系数为11，求展开式中项系fx()xx，

数的最小值(

0011222()()()CCCCxCCx，，，，，，解:?,， fx()mnmnmn

11CCmn，，,，,2211mn,,112?，? mn

2335122222CCnn，,,，2423554()n,，?, mn816

2nN,?，?,3时，上式有最小值22(即展开式中项系数的最小值是22. nfx()x，

2评注:对于此类问题，可利用二项式定理展开，求出项的系数，再将问题转化为二次函数知识进行求解( x,(展开式中最大项(数值)问题

5

50例, 设，试问(1)，x展开式中第几项最大, x,2

解:设第，,项为且最大，则有 Trr，1

rrrr,,11,CC(2)(2),TT,,,5050rr，1,,,r29( ,,rrrr，，11TT,CC(2)(2),,rr，，12,5050,

50(1)，x?展开式中第30项最大(

评注:此类问题同第二类问题类似，常设出它的最大项，列不等式组，再确定该项(

6

数列之 等比数列之 前n项和之 奇数项、偶数项和

目标 计划 行动 反思 搏

我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

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专注 轻重缓急 劳逸结合 数列之 等比数列之 前 n 项和之 奇数项、偶数项和 知识点: ............................................................................................................................................................................... - 1 - 典型例题: ........................................................................................................................................................................... - 1 -

知识点:

等比数列 {}n a 的项数为偶数,则

q S =奇 偶 S

典型例题:

1. 一个有穷等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,求这个数列的公比及项数 .

本类题的特征是:__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是:__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

答案

1. 8, 2==n q

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