O大宝健
内容概要
名称 主要内容
基本概念 微分方程，方程的阶，方程的解;通解;特解，初始条件 常见微分方一阶微分方程 可分离变量型
程及其解法 齐次微分方程
可化为齐次的微分方程
一阶线性微分方程
贝努利方程
全微分方程
高阶微分方程 可降阶的高阶方程
高阶线性 方程解的结构理论
微分方程 齐次线性微分方程解法
非齐次线性微分方程解法
欧拉方程
其他 刘维尔公式，常数变异法，微分方程组求解，微分方程的应用
?12.1微分方程的基本概念
内容概要
名称 定义
微分方程 表示未知函数，未知函数的导数或微分与自变量的关系的方程。未知函数是一元函数
的微分方程称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。阶微分方程形如n微分方程的阶
(n)(n,1)(n),,，其中可以不出现，必须出现。 F(x,y,y,？,y),0x,y,y,？,yy微分方程的解 y,,(x)代入微分方程使微分方程成为恒等式的函数。确切的说，设函数在区间I
(n),上有阶连续导数，如果在区间上，，则称 IF(x,,(x),,(x),？,,(x)),0n
(n),y,,(x)函数是微分方程的解。 F(x,y,y,？,y),0
阶微分方程的含有个相互独立的任意常数的解。 nn通解
特解 不含任意常数的方程的解为特解。 初始条件 确定微分方程通解中任意常数的条件。 所有解 通解以及不能包含在通解中的解。 积分曲线 微分方程解的图形。
课后习题全解 1( 指出下列微分方程的阶数:
知识点:微分方程阶的定义
2,,?(1); x(y),4yy，3xy,0
解:出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，?方程的阶数为1。 y？
注:通常会有同学误解成未知函数的幂或的导数的幂。 yy
2,例:(错解)方程的阶数为2。() ？(y)
2,,,?(2); xy，2y，xy,0
解:出现的未知函数的最高阶导数的阶数为2，? 方程的阶数为2。 y？
,,,,,xy，5y，2y,0?(3);
解:出现的未知函数的最高阶导数的阶数为3，?方程的阶数为3。 y？
(7x,6y)dx，(x，y)dy,0?(4)。
(n),思路:先化成形如 的形式，可根据题意选或作为因变量。 yF(x,y,y,？,y),0x
dy6y,7x,解:化简得 ，出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，?方程的阶数为1。 y？dxx，y
2, 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 知识点:微分方程的解的定义 。
思路:将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
2,xy,2y?(1)， ; y,5x
2,y,10x解:将， 代入原方程得 y,5x
2 左边右边， ,x,10x,2,5x,2y,
2 所以是所给微分方程的解。 y,5x
2,,?(2); y，,y,0,y,Ccos,x，Csin,x12
,， 解: y,,,Csin,x，,Ccos,x12
22,,将， ， y,,,Ccos,x,,Csin,xy,Ccos,x，Csin,x1212
代入原方程得 :
2222,, 左边右边， ,,,Ccos,x,,Csin,x，,(Ccos,x，Csin,x),,y，,y1212
是所给微分方程的解。 所以y,Ccos,x，Csin,x12
22y2,,,? (3); y,y，,0,y,Cx，Cx122xx
2,,,解:将， ， ， y,Cx，Cxy,C，2Cxy,2C12212
代入原方程得:
2CCxCxCx2，42(，)y221212,,,yyC,，,2,，,0,左边=右边～ 222xxxx
2所以是所给微分方程的解。 y,Cx，Cx12
,x,x12,,,?(4)～ ; y,Ce，Cey,(,，,)y，,,y,0121212
22,x,x,x,x,x,x121212,,,y,C,e，C,e解:将，，， y,Ce，Cey,C,e，C,e1122121122
: 代入原方程得
,,, 左边 ,y,(,，,)y，,,y1212
22xxxxxx,,,,,,121212,C,e，C,e,(,，,)(C,e，C,e)，,,(Ce，Ce)11221211221212
,0, 右边 ，
,x,x12所以是所给微分方程的解。 y,Ce，Ce12
2,,,,,y,ln(xy)?? 3. 验证由方程所确定的函数为微分方程 的解; (xy,x)y，xy，yy,2y,0
y11,,,y,ln(xy)y,解: 将的两边对求导得: y,，y，即。 xxy,xxy
再次求导得:
2,,,y(xy,x),y(y，xy,1),xy,y，y1x2,,,,, 。 y,,,,(,y,yy，y)22xy,xy(xy,x)(xy,x)
11x,,,,注意到由 ，可得 ， y,，yy,xy,1xyy
112,,,,,,,,,所以 ， y,,[,(xy,1)y,yy，y],,(,xy,yy，2y)xy,xxy,x
2,,,,,从而 ， (xy,x)y，xy，yy,2y,0
y,lnxy 即由所确定的函数是所给微分方程的解。
注:在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。
1,,,xy,yy，1,0y,2y,Cx，C? 4. (是任意常数)是方程的通解，求满足初始条件的x,0C
特解。
11y,2解:将初始条件，代入通解得 ，从而， 2,C,x,0C2
1 所以所求特解为。 y,x，22
,x,,,y，2y，y,0?5. (为任意常数)是方程的通解，求满足初始条件y,(C，Cx)eC,C1212
,y,4,y,,2的特解。 x,0x,0
,x,x,y,4解:将，代入通解得 ， 所以 ， y,Ce,(4，Cx)eC,4221x,0
,y,,2将，代入上式得 ，所以 ， ,2,C,4C,222x,0
,x所以所求特解为 。 y,(4，2x)e
223,u(x)??6.设函数是方程的通解，求。 y,(1，x)u(x)y,y,(1，x)1，x
y2,,解: 由题意得 ，即 ， y,(1，x)u(x)，2(1，x)u(x),(1，x)u(x)1，x
23,2(1，x)u(x)代入所给微分方程得 =， (1，x)u(x)，2(1，x)u(x),(1，x)
,u(x),1，x即 ，
2xu(x),(1，x)dx，x，CC积分得 := (为任意常数)即为所求。 ,2
P(x,y)QPQ??7 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被y轴平分，试写出该曲线满足的微x
分方程。
1y,y(x)P(x,y)解:设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为， ,,y
(,x,0)PQQ由题目条件知中点的横坐标为0，所以点的坐标为，
y,01从而有 ， ,,,x，xy
,yy，2x,0即 为该曲线满足的微分方程。
1f(x)???8.求连续函数使它满足f(tx)dt,f(x)，xsinx。 ,0
思路:利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条
件。
t,0,u,0t,1,u,xdu,xdt解:令，则 ，且有，， u,tx
x1原方程化简为， f(u),du,f(x)，xsinx,0x
x2f(u)du,xf(x)，xsinx即， ,0
2,两边关于求导得， f(x),f(x)，xf(x)，2xsinx，xcosxx
,f(x),,2sinx,xcosx化简得，
f(x),(,2sinx,xcosx)dx,cosx,xsinx，C 两边积分得 即为所求函数。 ,
高数C经管类答案第四版
?12.3 一阶线性微分方程
内容概要 名称 标准形式 解法或通解形式
dydy 形如，是可分离变量方程，通解为解法:1.齐次线性方程，P(x)y,Q(x)，P(x)y,0dxdx一阶,P(x)dx,Q(x),0若称为一阶线; yCe ,线性
2. 非齐次线性方程的通解为 性齐次微分方程，否则称为微分
,P(x)dxP(x)dx,,一阶线性非齐次微分方程。 ， y,e[Q(x)edx，C],方程
,P(x)dx,P(x)dxP(x)dx,,,或。 yCeeQ(x)edx,，,
dyn贝努形如 ,n1,n，得 ，令解法:方程的两边同除以yy，P(x)y,Q(x)dxdyn 利型 ，P(x)y,Q(x)ydz1,n ，(1,n)P(x)z,(1,n)Q(x)， 得 ，解得线性微分方程z,ydxdx
(,0， 1) n的解，回代即得原方程通解。
1.求下列微分方程的解:
知识点:一阶线性微分方程的解法。
dy?(1) ; ，2xy,4xdx
P(x),2xQ(x),4x解: ，，代入公式得
,2xdx2xdx,,y,e(4x,edx，C) ,
22,xx ,e(4x,edx，C),
222,xx,x,e(2e，C)， ,Ce，2
2,xy,Ce，2原方程通解为。
dy12?(2) ; ,y,2xdxx
12P(x),,解:，， 代入公式得 Q(x),2xx
11dx,dx,,2xx y,e[2x,edx，C] ,
12 ,x(2x,dx，C),x
23。 ,x(x，C),x，Cx
dy3?(3) ; (x,2),y，2(x,2)dx
dy12解:原方程变形为。 ,y,2(x,2)dxx,2
12其中，， P(x),,Q(x),2(x,2)x,2
11,dxdx,,2,2,2xx代入公式得 y,e[2(x,2),edx，C],
12,(x,2)[2(x,2),dx，C] ,x,2
23, ,(x,2)[(x,2)，C],(x,2)，C(x,2)
即为原方程通解。
22,?(4) ; (x，1)y，2xy,4x
22x4x,y，y,解:原方程变形为。 22x，1x，1
22x4xQ(x),P(x),其中， ， 22x，1x，1
22xx2,dxdx4x,,22，1，1xxy,e(,edx，C)代入公式得 ,2x，1
214x1423,[,(x，1)dx，C],(x，C),2223x，1x，1x，1
即为原方程通解。
dy2???(5) ; (y,6x)，2y,0dx
思路:微分方程中函数关系可以依解题方便来定。本题中若将y看作的函数，不便解题，若将看作yxx
dx，P(y)x,Q(y)的函数，则可改写成一阶线性微分方程，通解公式为 dy
,P(y)dyP(y)dy,,x,e[Q(y),edy，C]。 ,
dx31,x,,y解:原方程变形为: 。 dyy2
31P(y),,令，， Q(y),,yy2
33dy,dy,,1yy代入公式得 x,e[(,y),edy，C],2
11113323 ,y(，C),y，Cy,y(,y,dy，C),32y22y
即为原方程通解。
y?? (6) ; ydx，(1，y)xdy,edy
思路:同题(5)
ydxye1，，x,。 解: 原方程变形为dyyy
y1，ye(),P(y),Qy令 ，， yy
11y,(，1)dy(，1)dy,,eyy代入公式得原方程通解为 x,e(,edy，C),y
y2y1e1e,,yyy,e[,yedy，C],e,(，C) ,yyy2
y1e,y,(，Ce)y2 。
dy1,???(7) ; dxxcosy，sin2y
思路:同题(5)
dxdx解: 原方程变形为,xcosy，sin2y，即,xcosy,sin2y。 dydy
P(y),,cosyQ(y),sin2y令 ，，代入公式得
cosydy,cosydy,,x,e(sin2yedy，C) ,
siny,sinysiny,siny,e(sin2yedy，C),e,(2sinycosyedy，C) ,,
siny,sinysiny,siny,siny,e,(,2sinyde，C),e,(,2sinye，2edsiny，C) ,,
siny,siny,sinysiny。 ,e,(,2sinye,2e，C),,2siny,2，Ce
dy222?? (8) (x,2xy,y)，y,0; dx
dx12解: 原方程变形为。 ，(,)x,12dyyy
12P(y),,,Q(y),1令 ，代入公式得 2yy
2112(,)dy(,)dy,,22yyyy x,e[edy，C],
11,12yy ,ye(edy，C)2,y
111,222yyy,ye(e，C),y，Cye。
,,,y，f(x)y,f(x)f(x); ???(9)
,,P(x),f(x)Q(x),f(x)f(x)解:，， 代入公式得
,,,f(x)dxf(x)dx,,,y,e(f(x)f(x)edx，C) ,
,f(x)f(x),,e(f(x)f(x)edx，C), ,f(x)f(x),e,(f(x)de，C),
,f(x)f(x)f(x),e,(f(x)e,edf(x)，C) ,
,f(x)f(x)f(x),f(x)。 ,e,(f(x)e,e，C),f(x),1，Ce
2.求下列微分方程满足初始条件的特解: dyy,2?(1) ， ; ，3y,8x,0dx
解:由通解公式得
,3dx3dx88,3x3x,3x3x,3x,,(8)(),eedx，C,ee，C,，Ce。 y,e(8,edx，C),,33
2y,2C,,由， 得， x,03
2,3xy,(4,e)故所求特解为。 3
dyy,0?(2) ,ytanx,secx，; x,0dx
解:由通解公式得
tanxdx,tanxdx11,,,(secx,cosxdx，C),(x，C)。 y,e(secx,edx，C),,cosxcosx
，得， 由y,0C,0x,0
故所求特解为。 y,xsecx
(x,y)2x，y? 3. 求一曲线的方程， 这曲线通过原点，并且它在点 处的切线斜率等于。
,y,2x，y解:由题意知，并且y,0， x,0
dx,dxx,x,, 由通解公式得 y,e(2xedx，C),e(2xedx，C),,
xx,x,x,Ce,2x,2 。 ,e(,2xe,2e，C)由y,0， 得 ， C,2x,0
x故所求曲线的方程为。 y,2(e,x,1)
xxy(x)y(x)??4 设连续函数满足方程，求。 y(x),y(t)dt，e,0
x,解:方程两边关于求导，得 ，为一阶线性非齐次微分方程。 y(x),y(x)，ex
利用公式得通解为
dxdx,xxx,,y,e(eedx，C),e(dx，C) 。 ,e(x，C),,
y,1由，得C,1， x,0
x故所求曲线的方程为。 y,e(x，1)
5(求下列伯努利方程的通解:
知识点:伯努利方程的解法。
2,??(1); y,3xy,xy
dy11,3x,x解: 原方程可变形为， 2dxyy
dzdy,1,2zyy令， ,,,,dxdx
dz代入原方程得线性方程:。 ，3xz,,xdx
,3xdx3xdx,,z,e[(,x),edx，C]代入通解公式得 ,
3322333222,xx,xx,x111,22222(),e,e，C,Ce, 即 y,e(,xedx，C) ， ,33
32,x112原方程的通解为,Ce,。 3y
4,??(2) ; 3xy,y,3xylnx,0
1dy11,,lnx解: 原方程可变形为 ， 43dx3xyydzdy,3,4zyy令， ,,,,3dxdx
dz1代入原方程化简 为一阶线性非齐次微分方程， ，z,,3lnxdxx
11,dxdx,,xx 通解为 ， z,e[,3lnx,edx，C],
1133,322 即， y,[,3xlnxdx，C],(,xlnx，x，C),xx24
133C,,xlnx，x，原方程的通解为。 324xy
dy114??(3); ，y,(1,2x)ydx33
dy1111，,(1,2x)解: 原方程可变形为 ， 43dx33yy
dzdy,3,4zyy令， ,,,,3dxdx
dz代入原方程得线性方程。 ,z,2x,1dx
dx,dx,,z,e[(2x,1),edx，C]通解为 ， ,
,3x,xxy,e[(2x,1)edx，C],,2x,1，Ce 即 ， ,
1x原方程的通解为。 ,Ce,2x,13y
dylnx12??(4),y,y; dxxx
dy1lnx,2,1yy解: 原方程可变形为，,， dxxxdzdy,1,2zyy令， ,,,,dxdx
dz1lnx,z,,代入原方程得线性方程:。 dxxx
11dx,dxlnx,,xxz,e[,,edx，C]通解为:， ,x
lnxlnx11, 即， y,x[,dx，C],x(，，C)2,xxx
,1原方程的通解为。 y,lnx，1，Cxxxxln1ln1ln1注:。 ,dx,xd,,dx,，，Cln22,,,xxxxxx
4223,y，y,xy??(5); x
41,,dy2233y，y,x解:原方程可变形为， dxx
14,,dz1dy33yz,y,,令，， dx3dx
dz212,z,,x 代入原方程化简得一阶线性微分方程: 。 dx3x3
22dx,dx1,,233xx利用公式求通解得 ， z,e[,x,edx，C],3
12427,1133333即y,x[,xdx，C],x(,x，C)， ,37
12,1333y,,x，Cx所以原方程的通解为。 7
dy32??(6); ，x(y,x)，x(y,x),1dx
dudy解: 令 u,y,x，， ,,1dxdx
du32原方程可变形为， ，xu,,xudx
du,2,13即 u，xu,,x， dx
dzdu,1,2z,uu令 ，， ,,dxdx
dz3代入原方程化简得一阶线性方程 。 ,xz,xdx
xdx,xdx3,,z,e[x,edx，C]利用公式求通解得 ， ,
22222xxxxx,,,132,22222即 。 u,e[xedx，C],e(,xe,2e，C),
2x,122(y,x),,x,2，Ce原方程的通解为，
2x2,12y,x，(,x,2，Ce)即。
222222xxxxxx2,,,,,,x3222222222xedx,,xde,,xe,2ed(,),,xe,2e，C注: ,,,2
6.作适当的变换求下列方程的通解:
思路: 经过变量代换， 某些方程可以化为变量可分离的方程， 或化为已知其求解方法的方程通常用到
2的有， ，等等。 u,x，yu,xyu,y
dy??(1) ; x，x，sin(x，y),0dx
du解: 令，则原方程化为 ， u,x，yx(,1)，x，sinu,0dxdu 即为可分离变量方程， x,,sinudx
C求通解得 cscu,cotu,。 x
u,x，y 将代入上式得:
Ccsc(x，y),cot(x，y),原方程的通解 。 xdy1??(2); ,，1dxx,y
du11,,，1解:令u,x,y，则原方程化为 ， 即dx,,udu， dxu
12x,,u，C两边积分得 。 12
将代入上式得: u,x,y
12x,,(x,y)，C原方程的通解 ， 12
2 即 。 (x,y),,2x，C(C,2C)1
22???(3) (y，xy)dx，(x,xy)dy,0;
dyy(xy，1),解:原方程变形为 ， dxx(xy,1)
dux,udyudxu,xy,令，，， y,2dxxx
duu(u，1)x,u,代入原方程化简得 ， dxu,1
2du2ux,即为可分离变量类型方程， dxu,1
1,Cuu,e求通解得 。 2x
将代入上式得: u,xy
1,xyCy,xe原方程的通解为 。
2dyxysinx，,???(4) ; dx2y
dy2解:原方程变形为， 2y,xy，sinxdx
dudy2,2y令，， u,ydxdx
du代入原方程化简得 ， ,xu，sinxdx
du即 为一阶线性微分方程。 ,xu,sinxdx22xx,,xdxxdx,,22求得通解。 u,e(sinxedx，C),e(esinxdx，C),,22xx,222原方程通解为。 y,e(esinxdx，C),
注:1.课本答案有误;
2x,2 2.积分没有办法有初等函数表示，可保留。 esinxdx,
dy2???(5) ; cosy,cosxsiny,sinydx
dudyu,siny,cosy解:令，， dxdx
du2代入原方程化简得 ， ,ucosx,udx
du2即 为贝努里微分方程。 ,u,ucosxdx
dzdu,1,2z,uu令，， ,,dxdx
dz代入原方程得 为一阶线性微分方程， ，z,,cosxdx
x,1dxdx,e(sinx，cosx),x,,利用通解公式得z,e(,cos,xedx，C),e(，C) ,2
sinx，cosx,x化简得 ， z,,，Ce2
sinx，cosx,1,x即， u,,，Ce2
sinx，cosx,1,x原方程的通解为。 (siny),,，Ce2
高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案
1,x2,1,，x,0,11 判定函数 f(x), 在x,0处是否连续,x2，1,,1， x,0,
11xx21,21, ff()lim00,,,,1解:(00)lim1，,,11,，x,,00x00xx21，21，
所以是的一个跳跃间断点xfx,0()
1,xx(1，xe)，,1,x,0,,2 f(x),ax，b ，1,x,2确定a，b之值，使f(x)在x,0及x,2处都连续(,
,1，4x ，2,xc，,,,
因在处连续fxx(),,0
fff()()(),,,，000
即，ebbbe,,？,
而在处连续fxx()2,,
fff(20)(2)(20),,,，
ffabae(20)(2)22,,,，,，
f(20)1423，,，，,
3,e令，23aea，,, 2
3,ln()10,,xx，，,3 已知fx(),求(fx(),,12xsin ，x,0,x,
ffffxx()()()()0000000,,，,,,，在处连续
33fxf()(),01ln(),x,xf()lim0limlim0,,,,,,xxx000000,,,,,,xxx
12xsinfxf()(),0xf()lim0,,,lim0,，xx,，,，0000xxf()00, ,
2,3x，x,0,3,x,1 fx(),,,11,2xsincos,,x0，,xx,
32b5.要使点(1,3)为曲线的拐点，则,的值为, , ay,ax，bx
3993 (A)a,,,b,(B)a,,b,,2222
(C)a,,3,b,6(D)a,2,b,1
35曲线的拐点是, , y,(x,1)
(A)(,1,8)(B)(1,0)
(C)(0,,1)(D)(2,1)
2xt,arctan,dy6 设确定了则yyx,,(),,22dxyt,，ln(1),
2C ()2()AB( (21，t
12()2(1)().( )CtD( 答 ，,22t
fahfahx(,),(，2),7设在处可导且，求极限lim。 x,af(x)f(a),bx,0h
()()()(),,，,2fahfafahfa,, 原式,,lim,2,,h,0,2hh,,
,,fafab()(),23,,,,
8
()()()()()()fxxfx，,,fxfxfxfx，，,,,2limlim, ,,xx,,00,x,x
()fx,，， ,，lim2x,,,x,0,x，，
又 (得？ffff()()()()00000,，,
,,fx()fxf()(),0？,limlim,f()01,,,,xx,,00,,xx
？fxx()12,，,
9
f(cosx),f(1)f1,(cosx,1),f(1)cosx,1,,lim,lim,，22x,x,00cosx,1xx 1,,,,,f(1),2？f(1),,4,2,
x10 设函数由方程确定求xxyyxydx,，，,(),4,1y
dxxdy,()1,y,1
,,3dy
11 求由方程确定的隐函数的微分yxxyydysincos().,，,0
yxxycossin()，， 得 dy,,dxsinsin()xxy，，
yxxycossin()，， 解法 2dyydx,,,dx,xsinsin()xxy，，
x2xtdy，,,2t12 lim1设 ，，求,ytxe,,，,,2,,xxtdx,,,
2txt2yt,，lim()1,te x,,xt,
2t，dyet()121,,，t 2tdx22e
dy1d()dt()，2dydxtdx2 ,,,/t22dxdxdtdte2
213 设 ，求(yxchxxyx,，,,lncos(tan)cot()()31,
12 sin(tan)secy,,3233xx,,,2cos(tan)3x
2 ，shx,cot(x,1),chx,csc(x,1)
21,xsecx14 ,设 ，求,yay,，cos
1，x
22secx ，,2sectanlnxxaa
3215 设 ，求yxx,，，1dy
123211(1)xxx，，,23 dyxxdxdx,，，,，,,(1)(1)1223321，x(1)，x
16 设 其中二阶可导求(yfxfxfxy,，(tan)tan()(),,,
22 yfxxfxfx,(tan)secsec()(),，,,,,
422yfxxxxfx,(tan)secsectan(tan),，,,,,,, 222 ，,,2sec()tan()()sec()()fxfxfxxfxfx，,,,,,,
fx()217 设 其中二阶可导求(yfxfxy,，2()(),,,fx() 222ln()()()yfxfxfx,,，,,,,
22fxfx()()222222(ln)()ln()()yfxfxfx,,，,，,,,,,,,,,,
，2fxfx()(),,
dy,2x设方程确定求的值xyetgyyyxln(),,(),，,,,,00y18 ,0xdx2
x22x lnsecy，yeyy,，,20,,,y
1,,,当x,0时,y,，y(0),(2,ln) 424
y 已知是由方程的确定的隐函数求yxyeycos,，,1,19
及该方程所表示曲线点处的切线方程(,).00
ycosyy,, ， cossinyxyyey,,，,0,,yxye,sin
yyx()(,)0100,,,,，点切线方程为,
220 设 求(yxxxdy()ln(sinsin),，，1
2令 ，uxyuu,,，，sinln()1
dy则 y,dudu
lnx定义域 (,)02，,y,,(ln)x ,2x
221 . 解得驻点 x,1 , x,e12
1 x222 (0 , 1) (e , ，,)(1 , e) e
, ， , 0 0 y'
y
2,，,，故函数单调减区间是0,1,e,，, 2,, 单调增区间是1,e
2,x23 确定函数的上凸、下凸区间和拐点. f(x),xe
解 f的定义域为( ,, , ，, ),
22,x22,x,,,,,f(x),0 . 令, f(x),e(1,2x),f(x),2x(2x,3)e
解得
33 , 0 , . x,,x,x,12322
3333,,在区间( ,, , , ) , ( , , 0 ) , ( 0 , ) , ( , ，, )内 的符号依次为 f2222
33,,,,,333322,,,,，. 拐点为: , , ， , , , ，,, , e , ( 0 , 0 ) , , e., ？,,,,2222,,,,
1
n25 试证当时 xxnxn,,,,110ln()()
1
n 令 在上连续fxnxxfx()()ln,(),,,,，,11，,
11,111nn, fxxx,,,,()(1)xx
当，，xnfx,,100(),,
故在，上单调增fx()1，,，,
1
n 则当时有 xfxf,,,110()() 即 ln()xnx,,1
xx证明:xee,,126
当时等号成立x,0,
xx当时令xfxxee,,,，01() x则 fxxe(),,
27
f(x),,，设f(x)在,0，，,上满足f(0),0,f(x),0，证明在(0，，,)内单调增x
f(x)令F(x), 证明 x
,xf(x),f(x), F(x),2x
令，在，上连续gxxfxfx()()(),,，,0,，,当时x,0
gxxfxfxfxxfx()()()()(),，,,,0,,,,,,,
gx()在，上单调增0，,，,
即gxg()(),,00
？,当时 xFx00(),, 从而在，内单调增加Fx()()0，,
27
,设f(x)在[0，a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0),0,f(x)单调增
，,试证在0,a上 af(x),xf(a)
fx()令 Fx(),,,()0xa x
xfxfx()(),,Fx(),, 2x
而 fxfxfxfx()()()(),,,00,,,,,
fxf()(),,,,故Fx(),,0, x
即在上单调增Fxa()[,]0
？,,,当时0xaFxFa()()
fx()()fa ,xa
？,afxxfa()()
2x证明恒等式在时成立2arctanarctan.x,,,,，,,1x28 21,x
2x证令:()arctanarctanFxx,,22 1,x则当时可导1,,，,xFx,()
2221214(),，xx且Fx(),,,,2222x1，x()1,x21，()2 1,x
22 ,,,0221，xx1，
即当时即xFxCFxF,,,,13,(),()(),
2x 故当时恒成立12,,，,,xx,arctanarctan,,21,x29
2应用拉格朗日中值定理证明:对任意实数x,有2xarctanx,ln(1，x)且等号仅当
x,0时成立.
2 证明:令F(x),2xarctanx,ln(1，x),则F(x)可导,且F(0),0
2x2x,F(x),2arctanx，,,arctanx 221，x1，x
当在上用拉格朗日中值定理得xx,00,[,]
,,FxFxx()()arctan(),,,,,,0200
得F(x),0
当在上用拉格朗日中值定理得xx,00,[,]:
Fxfxx()()arctan(),,,,,,0200,,
仍有Fx(),0
2 综上述对一切x有2xarctanx,ln(1，x)且仅当x,0时等号成立.
2x,x当时，证明:011,,，,，xexsin31 2
2x,x令在，上连续 fxex()sin()[],(),，,，,10100f 2
,x fxexx()cos,,，,, ,,xx fxexxe()sinsin(),,,,,,,11,,
当时 在上单调减01001,,xfxfx(),(),,,,,，, 故fxf()(),00,,,
同理 fxf()(),,00
2 x,x 即 ex，,，sin12
23xx,证明当时，:cos0,,,,，xx132 226
32xx,，，令f(x),,，1,cosx在0,上连续 ,,622，，
2xfx()sin,,，xx,2
1fxxx()cos,,，,,
1fxx()sin,,,,,
33
2由y,0,x,8,y,x围成的曲线边三角形OAB,在曲边OB上求一点,使得过此点
2所作的y,x的切线与OA,AB所围成的的三角形面积最大
2 设曲线上任一点为，则过该点的切线为:(),xx
2 Y,x,2x(X,x)
x2切线与轴的交点，与的交点，x()(())08828xxxx,,，2
于是所围的三角形的面积为:
1xx22 S,,,，,,,,()()()()828xxx1608xx,,224
3SxS ,,,,,160,,16x,23
16256,,？在点，处作切线，所围面积最大 ,,39,,
34
,114 原式,xd()2,0cosx2
,,1x1144,,,dx 022,022coscosxx
,,14,,tanx 042
,1 ,,42
35
26,x2,,xx,,2 原式,2xedx,,,()22xee02,0e
2，，xln(1x)1求36dx. 2,，1x
2dxxxln()11，，122,，，，ln()(ln()xdxdx 11,,2,2，x21，x1
212,，，，ln()arctan.1xxc ,,4
xdxxx2求.37 ，解 设 则 112，,,,,etetedxtdt. ,x，e1
2tdt ？,原式,2dt22,,,1,1tt()t
t,1 ,ln，ct，1
21t,x,ln，,,，，，cxec211ln. ，，2()t，1
,则xf(x)dx,38__________. 已知的一个原函数是fxxx()(sin)ln,1，,,,xfxdxxfxfxdxxfxxxc()()()()(1sin)ln,,,,，,， ,,
,，，,，,，xxxxxxccosln(1sin)(1sin)ln
？，，,，应填:cosln(1sin)(1ln).xxxxxc
xdxxdx39. ，解 求,,,,，xxxdxcotcotxdx(cot)22,,,,sinxsinx
,,，，xxxccotlnsin.
1,lnx求dx.40 2,x
1ln11111111,x解dxdxxdxdxxc,，,,，,,,，，，ln()lnln222,,,,xxxxxxxxx
1 ,，ln.xcx
2x,4令x,2sect dx,2sect,tant dt41，解 求xd.,x
2tant,2sect,tant ？ 原式,dt,2sect
22 ,2tant dt,2(sect,1) dt,,
,2tant,2t，C
22 ,x,4,2arccos，Cx
12由定积分几何意义，试画出与积分 xxxdx对应的区域的图形。,,2,2,,042
并计算出它的面积(
1 原式,三角形面积,圆面积的四分之一 ,1,,4图未画
12(11xxdx，，,,,,1
,,11()()AB，， 43 2224
1,,()2()CD，， 答( C )244
axdx设，则,,0a,,a1cos，x
()1 ()0AB 44
3 答( ()2 ()CaDaB )4
2设曲线x,y,x,2,y及y,0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;45
(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.
,,2245.解 :sinVxydxxxdx,,22,, y,,00
,,,222,,,,,22,,xdxxxxdxcos(coscos) ,,000
,,,222,,22,,sinx解 :sinVxydxxxdx,,22,, y0,,00
,,,222,,,,,22,,xdxxxxdxcos(coscos) ,,000,2,,22,,sinx 0
xxyeytt,，()d48求方程的解。 ,0
由已给方程得
x,yye()1,,,xx (1)的通解为 yxeCe,，,,y12(),0x,
x由初始条件(2)确定 故原方程的解为 yxe,，()1C,1
yyxxcossin2，,,,, 48求微分方程初值问题的解。 ,y,1,,x,2,
,cosdcosdxxxx,,yexexC,，sind2,,,
,sinsinxx解: ,,，exexC2sindsin,,,
,sinx,,，22sinxCe
1,sinx由初始条件求得，所以 yxe,,，22sinCe,
2求微分方程的通解。 yyxy(arctan)1,,，,
dx1arctany原方程化为 ，x,22dy11，y，yddyy,,,,,22yarctan,,11，，yy,arctanyxeC,，eyd ,，,Ceyarctan1,,,21，y,,,,
250求微分方程的通解，其中为正实数。 cosyayx，,a,,
特征方程的根为，相应齐次方程的通解为 rai,,
yCaxCax,，cossinC12
1a,1y,cosx，方程有特解为，故通解为 若p2a,1
1yCaxCax,，，x cossincos122a,1
yxAxBx,，(cossin)若，设特解为，代入方程得 a,1p
xy,sinx ，故方程的通解为 p2
xcossinsinyCxCx,，，x 122
x51求微分方程的通解。 6925sinyyyex,，,,,,
2r,3rr,，,690特征方程的根为，相应齐次方程的通解为 12,
3x yCCxe,，()C12
xyeAxBx,，(cossin)设特解为，代入方程得 p
AB,,43,
3xx故方程的通解为 yCCxeexx,，，，()(cossin)4312
混凝土上册习题答案(第四版)
第3章 受弯构件的正截面受弯承载力
3.1 已知梁的截面尺寸b ?h =250mm ?500mm ，承受的弯矩设计值
M =90kN ?m ，采用混凝土强度等级C30，HRB335钢筋，环境类别为一类。求所需纵向钢筋截面面积。
解：由附表4-4可知，环境类别为一类，C30时梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，
故取a s =35mm ，则 h 0=500-35=465mm
查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f y =300N /mm 2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 55
M 90?106
αs ===0. 116 22
α1f c bh 01. 0?14. 3?250?465
ξ=1--2s =1--2?0. 116=0. 124<ξb =0.="" 55="" γs="">
1+-2s
2
=
1+-2?0. 116
=0. 938
2
90?106
A s ===688mm 2
f y γs h 0300?0. 938?465
M
选用3
18 A s =763mm 2
验算：x =0. 124?465=57. 66mm <ξb h="" 0="0." 55?465="255." 75mm="">
ρ=
f 7631.43
=0.61%>ρmin =0.45t =0.45?=0.21%
250?500f y 300
同时ρ>0.2%，可以。
3.2 已知矩形截面简支梁，梁的截面尺寸b ?h =200mm ?450mm ，弯矩设计值
M =140kN ?m ，采用混凝土强度等级C40，HRB400钢筋，结构安全等级为
二级，环境类别为二类a 。求所需纵向受拉钢筋的截面面积。
解：由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C40时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ，
故取a s =40mm ，则 h 0=450-40=410mm
查表得：f c =19. 1N /mm 2、f t =1. 71N /mm 2、f y =360N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
M 140?106
αs ===0. 218 22
α1f c bh 01. 0?19. 1?200?410
ξ=1--2αs =1--2?0. 218=0. 249<ξb =0.="" 518="" γs="">
1+-2αs
2
=
1+-2?0. 218
=0. 875
2
140?106
A s ===1084mm 2
f y γs h 0360?0. 875?410
M
选用3
22，A s =1140mm 2
验算适用条件：（1）适用条件（1）已经满足；
（2）ρ=
f 1140
=1. 27%>ρmin =0. 45t =0. 214%
200?450f y
同时ρ>0. 2%，可以。
3.5 已知一双筋矩形截面梁，b ?h =200mm ?500mm ，混凝土强度等级为C25，
HRB335钢筋，截面弯矩设计值M =260kN ?m ，环境类别为一类。试求纵向受拉钢筋和纵向受压钢筋截面面积。
解：假定受拉钢筋放两排，设a s =60mm ，a s =35mm
则h 0=500-60=440mm
查表得：f c =11. 9N /mm 2、f t =1. 27N /mm 2、f y =300N /mm
2
'
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 55
M 260?106
αs ===0. 564>αs , max =0. 399 22
α1f c bh 01. 0?11. 9?200?440
如果设计成单筋矩形截面，将会出现超筋情况。若不能加大截面尺寸，又不能提高混凝土强度等级，则应设计成双筋矩形截面。
令ξ=ξb ，则x =0. 55?440=242mm
A s 1=
α1f c bx 1. 0?11. 9?200?242
f y
=
300
=1920mm 2
2
M u 1=α1f c bh 0ξb (1-0. 5ξb ) =184kN ?m
M u 2=M -M u 1=260-184=76kN ?m
76?1062
A s 2===626mm '
f y (h 0-a s ) 300?(440-35)
M u 2
故A s =A s 1+A s 2=2546mm 2 A s =A s 2=626mm 受拉钢筋选用3受压钢筋选用2
25+3
22 A s =2613mm 2
'
2
22 A s =760mm
'
2
3.6 T形截面梁，
''
b f =550mm , b =250mm , h =750mm , h f =100mm
，承受弯矩设
计值M =500kN ?m ，选用混凝土强度等级为C40，HRB400钢筋，见图3-28，环境类别为二类a 。试求纵向受力钢筋截面面积A s 。若选用混凝土强度等级为C60，钢筋同上，试求纵向受力钢筋截面面积A s ，并比较两种情况。
解：（1）混凝土强度等级为C40时
由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C40时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ，
假定钢筋放两排，故取a s =60mm ，则 h 0=750-60=690mm 查表得：f c =19. 1N /mm 2、f t =1. 71N /mm 2、f y =360N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
判别截面类型：
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?19. 1?550?100?(690-0. 5?100) =672. 3kN ?m >M =500kN ?m
属于第一类T 形截面。
M 500?106
αs ==≈0. 1 22
α1f c b f h 01. 0?19. 1?550?690
ξ=1--2αs =1--2?0. 1=0. 10<ξb =0.="" 518="" γs="">
1+-2s
2
=
1+-2?0. 1
=0. 947
2
500?106
A s ===2125. 5mm 2
f y γs h 0360?0. 947?690
M
选取6
22 A s =2281mm 2
（2）混凝土强度等级为C60时
由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C60时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ， 仍假定钢筋放两排，故取a s =60mm ，则 h 0=750-60=690mm 查表得：f c =27. 5N /mm 2、f t =2. 04N /mm 2、f y =360N /mm 2
α1=0. 98、β1=0. 78、ξb =0. 499
判别截面类型：
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =0. 98?27. 5?550?100?(690-0. 5?100) =948. 6kN ?m >M =500kN ?m
属于第一类T 形截面。
M 500?106
αs ===0. 071
α1f c b f h 020. 98?27. 5?550?6902
ξ=1--2s =1--2?0. 071=0. 0735<ξb =0.="" 499="" γs="">
1+-2αs
2
=
1+-2?0. 071
=0. 963
2
500?106
A s ===2090mm 2
f y γs h 0360?0. 963?690
M
选取6
22 A s =2281mm 2
通过采用两种不同混凝土强度等级的计算比较，可以看出，提高混凝土强度等级对构件
截面承载力影响不大。
3.7已知T 形截面梁的尺寸为，
混凝土强度等级为C30，钢筋为HRB400，环境类别为一类，承受弯矩设计值M =300kN ?m ，求该截面所需的纵向受拉钢筋。
解：设a s =60mm ，则h 0=500-60=440mm
查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f y =360N /mm
2
''
b =200mm , h =500mm , b f =400mm , h f =80mm
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
判别截面类型
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?14. 3?400?80?(440-40) =183. 04kN ?m
属于第二类T 形截面。
A s 1=
α1f c (b f '-b ) h f
f y
=
1. 0?14. 3?(400-200) ?80
=635. 8mm 2
360
'''
M u 1=α1f c (b f -b ) h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?14. 3?200?80?(440-0. 5?80) =91. 52kN ?m
M u 2=M -M u 1=300-91. 52=208. 48kN ?m
αs =
M u 2
α1f c bh 02
208. 48?106
==0. 376 1. 0?14. 3?200?4402
ξ=1--2αs =1--2?0. 376=0. 502<ξb =0.="" 518="" γs="">
1+-2αs
2
=
1－2?0. 376
=0. 749
2
M u 2208. 48?106
A s 2===1757mm 2
f y γs h 0360?0. 749?440
故A s =A s 1+A s 2=635. 8+1757=2392. 8mm 2 选用5
25 A s =2454mm 2
第4章 受弯构件的斜截面承载力
4.1钢筋混凝土简支梁，截面尺寸b ?h =200mm ?500mm ，a s =35mm ，混凝土
为C30，承受剪力设计值V =1. 4?105N ，环境类别为一类，箍筋采用HPB235，求所需受剪箍筋。
解：查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f yv =210N /mm
（1）验算截面尺寸
2
h w =h 0=500-35=465mm
h w 465
==2. 325<4，属于厚腹梁 b="">
混凝土为C30，故取βc =1. 0
0.25βc f c bh 0=0. 25?1. 0?14. 3?200?465=332475N >V =140000N 截面符合要求。
（2）验算是否需要按计算配置箍筋
0. 7f t bh 0=0. 7?1. 43?200?465=93093N <>
故需要进行配箍计算。 （3）计算箍筋
箍筋采用6，双肢箍，则A sv 1=28. 3mm 2
V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv
nA sv 1
h 0 s
s =
1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0
=
1. 25?210?2?28. 3?465
=147mm
140000-93093
取s =120mm
故箍筋为6@120，双肢箍。 验算：ρsv =
nA sv 12?28. 3
==0. 236% bs 200?120
ρsv min =0. 24
f t 1. 43
=0. 24?=0. 163%<ρsv ，可以。="" f="" yv="">
4.2梁截面尺寸同上题，但V =6. 2?104N 及V =2. 8?105N ，应如何处理？
解：查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f yv =210N /mm
a. 当V =6. 2?10N 时 （1）验算截面尺寸
4
2
h w =h 0=500-35=465mm
h w 465
==2. 325<4，属于厚腹梁 b="">
混凝土为C30，故取βc =1. 0
0.25βc f c bh 0=0. 25?1. 0?14. 3?200?465=332475N >V =62000N
截面符合要求。
（2）验算是否需要按计算配置箍筋
0. 7f t bh 0=0. 7?1. 43?200?465=93093N >V
故只需按构造选取配箍即可。箍筋选用6@200，双肢箍。 b. 当V =2. 8?10N 时 （1）验算截面尺寸
5
h w =h 0=500-35=465mm
h w 465==2. 325<4，属于厚腹梁 b="">
混凝土为C30，故取βc =1. 0
0.25βc f c bh 0=0. 25?1. 0?14. 3?200?465=332475N >V =280000N 截面符合要求。
（2）验算是否需要按计算配置箍筋
0. 7f t bh 0=0. 7?1. 43?200?465=93093N <>
故需要进行配箍计算。 （3）计算箍筋
箍筋采用10，双肢箍，则A sv 1=78. 5mm 2
V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv
nA sv 1
h 0 s
s =
1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0
=
1. 25?210?2?78. 5?465
=102. 5mm
280000-93093
取s =100mm ，故箍筋为φ10@100，双肢箍。
验算：ρsv =
nA sv 12?78. 5
==0. 785% bs 200?100
ρsv min =0. 24
f t 1. 43
=0. 24?=0. 163%<ρsv ，可以。="" f="" yv="">
4.4图4-40所示简支梁，均布荷载设计值q =50kN /m （包括自重），混凝土为
C30，环境类别为一类，试求：（1）不设弯起钢筋时的受剪箍筋；（2）利用
现有纵筋为弯起钢筋，求所需箍筋；（3）当箍筋为8@200时，弯起钢筋应为多少？
150
+
—
剪力图（kN ）
解：（1）验算截面尺寸：
150
A 、B 支座边缘
处的剪力值大小为144kN
h w =h 0=600-35=565mm
h w 565==2. 26<4，属于厚腹梁 b="">
混凝土为C30，βc =1. 0
0. 25βc f c bh 0=0. 25?1. 0?14. 3?250?565=504968. 75N >V =144?103N
截面符合要求。
（2）验算是否按照计算配置箍筋
0. 7f t bh 0=0. 7?1. 43?250?565=141391. 25N <>
需按照计算配置箍筋。
（3）不设弯起钢筋时配箍计算
V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv
nA sv 1
h 0 s
nA sv 1V -0. 7f t bh 0144?103-0. 7?1. 43?250?565
===0. 018mm 2/mm s 1. 25f yv h 01. 25?210?565
选取箍筋8@200，双肢箍。 实有
nA sv 12?50. 3
==0. 503mm 2/mm s 200
验算：ρsv =
nA sv 1f
=0. 2012%>ρsv , min =0. 24t =0. 163%，可以。
bs f yv
（4）利用125以45°弯起，则弯起钢筋承担的剪力：
V sb =0. 8f y A sb sin αs =0. 8?300?490. 9?
混凝土和箍筋承担的剪力：
2
=83. 31kN 2
V cs =V -V sb =144-83. 31=60. 69kN <0. 7f="" t="" bh="">
故按构造配置箍筋，选取6@200，双肢箍。
经过验算可知，纵筋弯起点处箍筋亦选取6@200，双肢箍。 （5）由以上计算可知，箍筋选取8@200时，不用设弯起钢筋。
5.1已知某多层四跨现浇框架结构的第二层内柱，轴心压力设计值N =1100kN ，楼层高H =6m ，混凝土强度等级为C20，采用Ⅱ级钢筋（HRB335钢筋）。柱截面尺寸为350mm ?350mm ，求所需纵筋面积。
解：根据《混凝土结构设计规范》规定：
l 0=1. 25H =1. 25?6=7. 5m
则：
l 07500==21. 43，查表6－1得：φ=0. 714 b 350
?
?
''由N =0. 9φ? f c A +f y A s ??得：
??1?N 1?1100?1032
? ? A s =-f A =?-9. 6?350?350=1786mm c ? 0. 9?0. 714? 0. 9φ300???f y ?'
选取4
25 A s =1964mm
'
2
'
A s 1964'ρ'===1. 6%>ρmin =0. 6%，可以
A 350?350
截面每一侧配筋率：
ρ'=
1964?0. 5'
=0. 8%>ρmin =0. 2%，可以
350?350
5.3已知柱的轴向力设计值N =800kN ，弯矩M =160kN ?m ；截面尺寸
b =300mm ，h =500mm ，a s =a 's =45mm ；混凝土强度等级为C30，采用
'及A s 。 HRB400级钢筋；计算长度l 0=3. 5m 。求钢筋截面面积A s
M 160?103
==0. 2m =200mm 解：e 0=3N 800?10
e a =20mm ，h 0=h -a s =455mm e i =e 0+e a =200+20=220mm
?1=0. 5
取?1=1
f c A 14. 3?300?500
=0. 5?=1. 34>1, 3
N 800?10
l 03.5
==7<15，取ζ2=1. 0="" h="">
1
η=1+
1400e i /h 0
1?l 0??3500?
? ??1?2=1+??1?1=1. 07 220?500??h ?1400?455
22
ηe i =1. 07?220=235. 4mm >0. 3h 0=136. 5mm
可以按大偏心受压计算：
e =ηe i +
h 500-a s =235. 4+-45=440. 4mm 22
x ??'''
Ne =α1f c bx h 0-?+f y A s ? h 0-a s ??，取ξ=ξb =0. 518
??2??
Ne -α1f c bh 0ξb (1-0. 5ξb )
A S =
f y ' h 0-a s ' 2
'
800?103?440. 4-1. 0?14. 3?300?4552?0. 518?(1-0. 5?0. 518) =
360?455-45=77mm 2<ρmin '="" bh="0." 002?300?500="300mm" 2取a="" s="" '="300mm">
''
N =α1f c bx +f y A s -f y A S
A s =
α1f c b ξb h 0-N +f y ' A s '
f y
1. 0?14. 3?300?0. 518?455-800?103=+300
360
=886mm 2
受拉钢筋选用2
25，A s =982mm ；受压钢筋选用2
2
16，A s =402mm 。
'
2
x =
''
N -f y A s +f y A s
α1f c b
800?103-360?402+360?982==235mm
1. 0?14. 3?300
ξ=
x 235==0. 517<ξb =0.="" 518="" h="">
故假定为大偏心受压是正确的。
垂直于弯矩作用平面的验算：
l 03. 5==11. 67，查表得?=0.955 b 0. 3
''N u =0. 9φ? f c A +f y A s +f y A s ????
=0. 9?0. 955?(14. 3?300?500+360?402+360?982) =2271864N >800?103N
满足要求。
6.1已知某构件承受轴向拉力设计值N =600kN ，弯矩M =540kN ?m ，混凝土强
度等级为C30，采用HRB400钢筋。柱截面尺寸为b =300mm ，h =450mm ，a =a '=45mm ；求所需纵筋面积。 M 540==0. 9m =900mm 解：e 0=N 600
为大偏心受拉。
e =e 0-h +a =720mm 2
h 0=450-45=405mm
假定x =x b =ξb h 0=0. 518?(450-45)=210mm
x ??Ne -α1f c bx b h 0-b ?2?'?A s =f y (h 0-a ')
210??600?10?720-1. 0?14. 3?300?210? 405-?2?? =360?405-453
=1248mm 2
选用325，A s '=1471mm 2。
+f y 'A s A s =α1f c bx b +N f y f y
1. 0?14. 3?300?210+600?103
=+1471 360
=5640mm 2
选用732，A s =5630mm 2。
混凝土上册习题答案(第四版)
第3章 受弯构件的正截面受弯承载力
3.1 解：由附表4-4可知，环境类别为一类，C30时梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，
故取a s =35mm ，则 h 0=500-35=465mm
查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f y =300N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 55
αs =
M
=
90?10
6
2
α1f c bh 0
2
1. 0?14. 3?250?465
=0. 116
ξ=1--2αs =1--2?0. 116=0. 124<ξb =0.="">
1+
-2αs 2
1+
-2?0. 116
2
γs =
==0. 938
A s =
M f y γs h 0
=
90?10
6
300?0. 938?465
=688mm
2
选用3
2
18 A s =763mm
验算：x =0. 124?465=57. 66mm <ξb h="" 0="0." 55?465="255." 75mm="">
ρ=
763250?500
=0.61%>ρm in =0.45
f t f y
=0.45?
1.43300
=0.21%
同时ρ>0.2%，可以。
3.2 解：由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C40时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ，
故取a s =40mm ，则 h 0=450-40=410mm
22
查表得：f c =19. 1N /mm 、f t =1. 71N /mm 、f y =360N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
αs =
M
=
140?10
6
2
α1f c bh 0
2
1. 0?19. 1?200?410
=0. 218
ξ=1--2αs =1--2?0. 218=0. 249<ξb =0.="">
γs =
1+
-2αs 2
=
1+-2?0. 218
2
6
=0. 875
A s =
M f y γs h 0
=
140?10
360?0. 875?410
=1084mm
2
选用3
22，A s =1140mm 2
验算适用条件：（1）适用条件（1）已经满足；
（2）ρ=
1140200?450
=1. 27%>ρmin =0. 45
f t f y
=0. 214%
同时ρ>0. 2%，可以。
3.3 解：为了简化计算，取钢筋混凝土板结构层厚100mm ，且按等厚计算。取雨篷板的根
部进行配筋计算，截面宽度取单位板宽，截面高度取100mm 。
由附表4-4可知，环境类别为二类，C30时板的混凝土保护层最小厚度为20mm ，
故取a s =25mm ，则 h 0=100-25=75mm
22
查表得：f c =14. 3N /mm 、f t =1. 43N /mm 、f y =300N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 55
αs =
M
=
30?10
6
2
α1f c bh 0
2
1. 0?14. 3?1000?75
=0. 373
ξ=1--2αs =1--2?0. 373=0. 496<ξb =0.="">
1+
-2αs 2
1+
-2?0. 373
2
γs =
==0. 752
A s =
M f y γs h 0
=
30?10
6
300?0. 752?75
=1773mm
2
选用
2
12@70 则A s =1616mm
验算适用条件：（1）适用条件（1）已经满足；
（2）ρ=
16161000?75
=2. 154%>ρmin
h h 0
=0. 45
f t h f y h 0
=0. 304%
同时ρ>0. 2%
h h 0
=0. 32%，可以。
3.4 解：由附表4-4可知，环境类别为一类，C30时梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，
故取a s =25+
162
=33mm ，则 h 0=450-33=417mm
2
查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f y =360N /mm
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
ρ=
A s bh
=
804200?450
=0. 89%>ρmin =0. 2%，同时ρ>0. 45
f t f y
=0. 215%
ξ=ρ
f y
α1f c
=
A s
f y
bh 0α1f c
2
=0. 0096?
3601. 0?14. 3
=0. 242<ξb =0.="">
M
u
=α1f c bh 0ξ(1-0. 5ξ) =1. 0?14. 3?200?417
2
?0. 242(1-0. 5?0. 242)
=105. 8kN ?m >M =84kN ?m ，该梁正截面承载力满足要求，构件安全。
3.5 解：假定受拉钢筋放两排，设a s =60mm ，a s =35mm
则h 0=500-60=440mm
22
查表得：f c =11. 9N /mm 、f t =1. 27N /mm 、f y =300N /mm
'
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 55
αs =
M
=
260?10
6
2
α1f c bh
20
1. 0?11. 9?200?440
=0. 564>αs , max =0. 399
如果设计成单筋矩形截面，将会出现超筋情况。若不能加大截面尺寸，又不能提高混凝土强度等级，则应设计成双筋矩形截面。
令ξ=ξb ，则x =0. 55?440=242mm
A s 1=
α1f c bx
f y
=
1. 0?11. 9?200?242
300
=1920mm
2
M
u 1
=α1f c bh 0ξb (1-0. 5ξb ) =184kN ?m
2
M u 2=M -M u 1=260-184=76kN ?m
A s 2=
M u 2f y (h 0-a s )
'
=
76?10
6
300?(440-35)
=626mm
2
'22
故A s =A s 1+A s 2=2546mm A s =A s 2=626mm
受拉钢筋选用325+3
2
22 A s =2613mm
受压钢筋选用2
'
22 A s =760mm 2
3.6 解：（1）混凝土强度等级为C40时
由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C40时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ， 假定钢筋放两排，故取a s =60mm ，则 h 0=750-60=690mm 查表得：f c =19. 1N /mm 2、f t =1. 71N /mm 2、f y =360N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
判别截面类型：
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?19. 1?550?100?(690-0. 5?100) =672. 3kN ?m >M =500kN ?m
属于第一类T 形截面。
αs =
M
α1f c b f h
20
=
500?10
6
2
1. 0?19. 1?550?690
≈0. 1
ξ=1--2αs =1--2?0. 1=0. 10<ξb =0.="">
1+
-2αs 2
1+
-2?0. 12
γs =
==0. 947
A s =
M f y γs h 0
=
500?10
6
360?0. 947?690
=2125. 5mm
2
选取6
2
22 A s =2281mm
（2）混凝土强度等级为C60时
由附表4-4可知，环境类别为二类a ，C60时梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ， 仍假定钢筋放两排，故取a s =60mm ，则 h 0=750-60=690mm
22
查表得：f c =27. 5N /mm 、f t =2. 04N /mm 、f y =360N /mm
2
α1=0. 98、β1=0. 78、ξb =0. 499
判别截面类型：
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =0. 98?27. 5?550?100?(690-0. 5?100) =948. 6kN ?m >M =500kN ?m
属于第一类T 形截面。
αs =
M
α1f c b f h
20
=
500?10
6
2
0. 98?27. 5?550?690
=0. 071
ξ=1--2αs =1--2?0. 071=0. 0735<ξb =0.="">
1+
-2αs 2
1+
-2?0. 071
2
γs =
==0. 963
A s =
M f y γs h 0
=
500?10
6
360?0. 963?690
=2090mm
2
选取6
22 A s =2281mm 2
通过采用两种不同混凝土强度等级的计算比较，可以看出，提高混凝土强度等级对构件截面承载力影响不大。
3.7解：设a s =60mm ，则h 0=500-60=440mm
查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f y =360N /mm
2
α1=1. 0、β1=0. 8、ξb =0. 518
判别截面类型
'''
M '=α1f c b f h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?14. 3?400?80?(440-40) =183. 04kN ?m
属于第二类T 形截面。
A s 1=
α1f c (b f -b ) h f
f y
'
=
1. 0?14. 3?(400-200) ?80
360
=635. 8mm
2
'''
M u 1=α1f c (b f -b ) h f (h 0-0. 5h f ) =1. 0?14. 3?200?80?(440-0. 5?80) =91. 52kN ?m
M u 2=M -M u 1=300-91. 52=208. 48kN ?m
αs =
M
u 2
2
α1f c bh 0
=
208. 48?10
6
2
1. 0?14. 3?200?440
=0. 376
ξ=1--2αs =1--2?0. 376=0. 502<ξb =0.="">
1+
-2αs 2
1＋－2?0. 376
2
6
γs =
==0. 749
A s 2=
M
u 2
f y γs h 0
=
208. 48?10
360?0. 749?440
=1757mm
2
2
故A s =A s 1+A s 2=635. 8+1757=2392. 8mm 选用52
25 A s =2454mm
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