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刘盛洪
(温州技师学院 浙江?温州 325000)
中图分类号:G712 文献标识码:A 文章编号:1672-7894(2014)18-0056-02 摘 要 单调性是函数的一个重要性质, 也是数学应用的 2 高一数学对函数的单调性给出了定义———“疑云 重要方面, 但在教学实践中单调区间的边界表示却比较混 窦生”
乱,为此,本文对涉及单调性教学几个阶段的教科书内容进 行以人民教育出版社职业教育中心编著的《数学》基础版 了比较,提出自己的一点看法。 为例，当中有这样的定义:
关键词 函数 单调区间 表示方法 对函数 y=f(x)，如果在给定的区间上任意两个不相等的 A Preliminary Exploration on Methods of Expressing the 值 x、x，记?x=x-x，?y=(f x)-(f x) 122121
Monotonic Interval of Function // Liu Shengho ngy ?当 >0 时，那么就说，y=f(x)在这个区间上是增函数; AbstractMo notonicity is an important property of function, also ?x
当时，那么就说，y=f(x)在这个区间上是减函数。 is an important aspect of mathematics application, but in teaching
根据该定义容易判断:y=x+1 在(-?，+?)上是单调递 practice, the expression of the monotonic interval boundary is a
增的，(-?，+?)为单调递增区间;y=-x+1 在(-?，+?)上是 bit confusing. Therefore, the writer compares the textb ook con-
单调递减的，(-?，+?)为单调递减区间。 tents at several stages involving monotonicity, and puts forward
2 2 又如 y=x -4x+1=(x-2)-3 中，当 x?(-?，2)时是减函 some personal views .
数，当 x?(2，+?)时是增函数。从图像抛物线的特点 ，也可Key wordsfunc tion;monotonic interval;expression methods看出该结论。但细心的人提出，定义域中唯有 x=2 没有被提
到。x=2 的左边单调递减，右边单调递增，作为分界点的 2 到 函数单调性是函数的一个重要性质，也是数学应用的 底该给谁, 重要方面，更是我们的一个教学重点。然而，教学中单调区 该课本第 69 页有:“注:函数的单调区间，一般是指保 间的边界表示却比较混乱，不同的老师有不同的“喜好”。大 持单调性的最大区间。” 家不禁要问:数学的科学性哪里去了,为此笔者把涉及单调 22为此，函数 y=x-4x+1=(x-2)-3 的单调区间似乎更应 性教学几个阶段的教科书内容进行了比较。 该写成:减区间(-?，2,;增区间,2，+?)。 1 初中数学涉及的函数单调性知识———“朦朦胧胧” 可是 x=2 这点既给减区间又给增区间，显然不合理。在
如:一次函数 y=kx+b 教学实践中，一般老师都是这样做的:分界点只给一边，即
当 k,0 时，y 随着 x 的增大而增大; 都给左边区间或都给右边区间。那么这样就合理了吗,数学
当 k,0 时，y 随着 x 的增大而减小。 的科学性、严密性容许吗?
2如:二次函数 y=ax+bx+(ca?0) y ?问题还得回到函数单调性的定义中来 。?y >0 或 !?x ?x #b 当x< -="" 时,y="" 随着x="" 的增大而减小="" ;#="" #=""><0 是建立在两点比较的基础上的，x="2" 和左边比自然就归="" 2a="" #若="" a,0,"="" #="" 减区间，和右边比自然就归增区间了。但如果单单对="" x="2" 这="" #b="" #="" 当="" x="">- 时,y 随着 x 的增大而减大。 # 2a $ 点来说，没有比较也就无所谓增还是减了,也许对中学教学 ! 来说不必太细究了, #b 当x< -="" 时,y="" 随着x="" 的增大而减大="" ;#="" #="" 2a="" 2="" #="" 课本第="" 70="" 页第="" 3="" 题:证明函数="" :f="" x:="x在(0,+?)上是" "="" 若="" a,0="" ,#="" #b3="" 当="" x="">- 增函数;课本第 77 页第 6 题:证明函数 :f x:=x在(-?,+?) # 时,y 随着 x 的增大而减小。 # 2a $ 上是增函数。粗看没有问题，但前者为什么不是,0，+?),如 两个例子都是表示函数的单调性，其中一次 函 数果 x=0 上没有单调性，那么后者的 x=0 点也有疑问, 2y=kx+b 的单调性取决于 k 的符号，而二次函数y=ax+bx+c 3 微积分中对函数单调性的判断———“显微镜下现 b (a?0) 的单调性由 a 的符号以及对称轴 x=- 决定。很显 原形” 2a
然，这里对函数单调性的描述都是直观的、粗线条的，没有 浙江科技出版社孔亚仙主编的供理工类各专业用的
《应用高等数学》，第 44 页定理 3.4。 细究单调区间问题。
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教改教法
框架和晶面，也能不断添加研究中最新发现的晶体结构 ，用4.2 教学既有统一要求又要实行多样化
以统一要求满足绝大多数学生的学习需求，以实现多 于网上交流。这种形式直观形象，充分展示人机交互生，使学
能迅速、深刻地理解晶体的结构。 样化满足不同学生的个性化学习需求。在常规讲授型模式
的教学基础上，采用主题探究型模式、小组协作性模式等， 3 构建课程群学习平台
充分发挥网络资源与环境的优势，改变以教师为中心的教 课程群是指在教学内容方面具有一定相关性的一系列
课程。这种相关性可以是同专业内具有内容衔接性的系列学传统 ，既发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的主体 课程，也可以是不同专业间共同开设的但要求有所不同的作用。
课程。课程群构建的主要依据是教学资源的相关性，即构成4.3 恰当地运用现代教育技术手段，可以丰富教学内容、提 课程群的若干门课程之间可以最大限度地利用资源库中的 高教学效果
教学资源。具体来说有几层含义:第一，课程间可以共享教 通过动画模拟、动态图表、3D 结构库等优质资源的开 学资源，避免重复建设;第二，不同课程从自身角度创建的 发，把优质的教学资源引入到教学中，加强学生对难点问题 资源可以相互作为参考和拓展，扩充资源数量;第三，来自 不的理解，提高学生的学习兴趣，给学生提供相关的感性认 同课程师生的贡献，能创建和提炼出一些精品，提升资源 识，突破教材重点和学习难点。 质
[5] 量。5 结语
四门化学基础课程是化学课程的分支，教学内容相互 化学基础课程教学资源整合，使化学基础课成为一个 衔接和互补，符合课程群建设的要求。基于学校开通的网络 有机的整体，在有限的学时内使学生获得了最大量系统的 教学平台，建立了化学基础课程群，把握课程间的联系，进 知识，激发了学习兴趣，培养了学生自主学习能力。同时也 行资源共享，同时便于学生网上学习和交流。课程群的建立 促进了教师不断地学习和创新，不断进行教学方法和教学 不但会加强各门课程的有机联系，还会更加突出学习的重 手段的改革，提高了自身的业务水平，为提高教学质量而做 点，有利于化解知识难点，这种知识链条式的学习过程，使 更多的努力。 学生享受学习的乐趣。网络教学平台也能加强与学生的沟
通与对学习效果的跟踪调查。 参考文献 4 教学方法和教学手段的创新 [1] 孙建华,肖贤珍,李卫华.高校基础化学课程体系的重构与改革 产业与科技[J].
新的课程体系大大缩减了学时，虽然删减了一些陈旧 论坛,2012(11):135-136.
的知识，整合了重复知识，但对教学提出了更高的要求。因 [2] 赵立杰,赵桦萍,白立明,李莉.基础化学课程改革初探 [J].化工时此，我们必须转变教学观念，探索新的教学方法和手段，保 刊,2010(11):68-69.
证教学质量的提高。 [3] 朱裕贞,黑恩成,顾达.工科基础化学课程改革创新的实践与思考 4.1 注重启发式教学，激发学生学习兴趣 [J].化工高等教育,2012:31-33.
兴趣是学生学习的原动力，有了兴趣学习变得不再枯[4] 刘勇平 ,刘长久,刘峥,吕慧丹“. 普通化学”多媒体课件的设计与开 发[J].广燥、乏味，学生才会变被动学习为主动学习，学习效果自然 东化工,2010:215-216.
事半功倍。在教学过程中教师的主要任务应该是充分发挥 [5] 刘新阳.基于课程群的生态化教学资源平台设计与应用[J].现代 学生的学习主体作用，引导学生积极思考，激发学生的求知 教育技术,2011(21):87-90.
欲，使学生由要我学变为我要学。 编辑 李前锋 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :上接第 56 页:
3 设函数 f(x)在区间(a,b)内可导。如果在 (a,b)内 f('f( xx))>=0x，在那(-?，0)和(0，+?)上都是单调递增的，当 x <0 时，3=""> +?)上是单调递增的，当 x?0 时，f(x)>f(0)。点 x=0 是不同单 由此可见，如果函数 f(x)在(a,b)内 f(' x)>0，那么 f(x)在区 调性的分界点。 间(a,b)内单调增加，反之单调递减 。 4 结语 那么 f(' x)=0 时怎么样呢, 如果函数 f(x)在(a,b)内恒有 f(' x)=0，则 f(x)=c，即常数函 基于以上分析，函数单调性是相对于某个区间而言的， 数。显然常数函数没有增减性。 有比较才有增减性可言。不能单说某一点的单调性。如果驻 如果函数 f(x)在(a,b)内个别点处 f(' x)=0 呢,孔亚仙老师 点的两边的单调性不同，在表示单调区间时，分界点都不要 认为有些可导函数在某些区间内的个别点处导数等于零， 取，这在教学中是值得老师们注意的。 3 但函数在该区间内仍是函数。如函数 f (x)=x的导数 f(' x) 2=3x，在 x=0 时，f(' 0)=0，但它在(-?，+?)内是单调增加的。 2 参考文献 又如函数 (f x)=x的单调性，在 x=0 处如何处理,显然 3 2[1] 孔亚仙.应用高等数学[M].杭州 :浙江科技出版社.它在(-?，+?)内是没有单调性的。函数 f(x)=x和( f x)=x [2] 职业教育中心.数学[M].北京 :人民教育出版社.在(-?，+?)内都是连续的，x=0 都是驻点。所不同的是函数 编辑 李前锋 58 教 改教 法 函数的单调区问表示方法初探 刘 盛洪 ( 温 州技 师 学院 中图分类号: ,, , , 文献标识码 : , 浙江 ? 温州 , , , , , , ) 文章编号 : , , , , — , , , , ( , , , , ) , , — , , , , — , , 摘 要 1 单调 性是 函数的一个重要性质 ，也是 数学应用的 , 高一数 学对 函数 的单 调性 给 出 了定 义— —“ 疑 云 窦 生” 以人 民教育出版社 职业 教育中心编著的《 数学》 基 础版 为例 ， 当中有这 样的定义 : 重 要 方 面 ( 但在 教 学 实 践 中单 调 区 间 的边 界 表 示 却 比 较 混 乱， 为 此， 本 文 对 涉 及 单调 性 教 学 几 个 阶 段 的教 科 书 内容进 行 了比较 ， 提 出 自 己的 一 点看 法 。 关 键 词 函数 单 调 区间 表 示方 法 , ,, , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , ; ， , , , , , , , , , ,, , ; ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , ; 2 , ,, , , , , , , ; , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , ; , , , , ， , , , , , , , , , ,,, ,, , , , , , ,, ; , , , ,, , ,, ,, , , ; , , , , , , ; , , , , , ， ,, , , , , , , ; ,, , , 对函数 , , , 】 ， 如果 在给定的区间上任意两个不相等 的 值 , 、 , , , , , , , , ， ,, , , ( , , ) , , , ) 当 ,, ,时 ， 那 么就说 ， , , , ( , ) 在这个区间上是增 函数 ; 厶 当时 ， 那么就说 ， , , , , ( , ) 在这个 区间上是减 函数 。 根据该定义 容易判断 : , , , ， , 在( 一 , 。 ， ， ) 上是单 调递 , , , ; , , ; , ， , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , 3 , , , , , ; , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; , , , , , , , , ( , , , , , , , , , ，, , , , , , , , , ; , ,, , , , , , , , , , , , , , , , ; , , — , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , ; , , , ， , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , ,, ( ,, , ,, , , , , , , ; , , , , ; ,, , , , , , , ; , , , , , , , , ; , , , , , , , , , , ,, ,, , , , 增的 ， ( 一 。 。 ， ， 。 。 ) 为单调递增 区间; , —, ， , 在( 一 ， ， , 。 ) 上是 单调递减的 ， ( 一 ， ， 。 。 ) 为单调递减 区间。 又如 , ( 乱， , , ( 一 , ) 。 一 ,中 ， 当, ?( 一 ， , ) 时是 减 函 数， 当 ( , ， ， ) 时是增函数。从图像 抛物 线 4 的特点 ， 也可 看 出该结论。但细心的人提 出， 定义域 中唯有 , , , 没有被提 到。 , , ,的左边单调递减 ， 右边单调递增 ， 作为分界点 的 ,到 底该给谁, 函数单调性是 函数 的一个 重要 性质 ，也是数学应 用的 重要方 面， 更是我们的一个教学重点 。然 而 ， 教学 中单 调区 间的边界表示却 比较混乱 ， 不同的老师有不 同的“ 喜好” 。大 家不禁要问 : 数学 的科学性哪里去了,为此笔者把涉及单调 性教学几个 阶段的教科 书内容进行 了比较。 该课本第 , ,页有 : “ 注: 函数的单调 区间 ， 一般是 指保 持单调性的最大区间。” 为此 ， 函数 , , , ， , , ( 一 , ) , , ,的单 调 区间似乎更 应 该写成 : 减 区间 ( 一。 。 ， , , ; 增区间, , ， ， 。 。 ) 。 可是 , , , 这点既给减区间又 给增 区间 ， 显然不合理 。在 教 学实践 中 ， 一般老 5 师 都是这样做 的 : 分界点 只给一边 ， 即 ,初中数学涉及的函数单调性知识——“ 朦朦胧胧” 如: 一次函数 , , , , ， , 当, ,,时 ， , 随着 ,的增大而增大 ; 当 ,,,时 ， , 随着 ,的增大而减小 。 如: 二次函数 , , 似 ， , , ， ; ( 口 ?, ) ? 都给左边区间或都 给右边 区间 。 那么这样就合理 了吗, 数学 的科学性 、 严密性容许吗, 问题还得回到函数单调性的定义中来 。 ,, ,或 , , 厶 当 , 一 时， ,随着 的增大而减小; , , 若 , , , ， 当 , 一 一 时， ， ,随着 的增 大而减大 。 , , 6 , ,是建立在两 点 比较的基础 上的 ， , , ,和左 边 比 自然就 归 减 区间， 和右边 比 自然就归增 区间了。但 如果单单对 , , , 这 点来 说 ， 没有比较也就无所谓增还是减 了,也许对 中学教学 来说不必太细究 了, 当 , 一 时， ,随着 的增大而减 大; 若 , , , ， 二, 课 本第 , , 页第 , 题: 证 明函数 ) 在( , ， ， , 。 ) 上是 增 函数 ; 课 本第 , ,页第 , 题: 证明 函数 ， ( ) 在( 一 ， ， ) 上是增 函数 。 粗看没有问题 ， 但前者为什 么不是, , ， ， ) , 如 果, , ,上没有单调性 ， 那么后 者的 , , ,点也有疑问, 当 , 一 一 时， ,随着 的增大而减小 。 7 二, 两 个例 子 都 是 表 示 函数 的单 调 性 ，其 中一 次 函数 , , , , ， ,的单 调性取决 于 ,的符 号 ，而二次 函数 , , 黜。 ， , , ， ; ( , ? , ) 的 单 调 性 由 , 的 符 号 以 及 对 称 轴 , , 一 丢决 定 。 很 显 原 形” 然， 这里对 函数单调性 的描述都是 直观的 、 粗线 条的 ， 没有 细究单 调区间问题 。 , 微积 分 中对 函数 单调 性 的判 断—— “ 显 微镜 下现 浙 江科 技 出版社 孔 亚仙 主编 的供理 工类 各专 业用 的 《 应用高等数学》 ， 第, ,页定理 , ( , 。 ( 下转第 , ,页 ) 教 改教 法 8 框架和晶面 ， 也 能不 断添加研究 中最新 发现 的晶体结构 ， 用 于网上交流。这种形式直观形象 ， 充分 展示 人机交互 ， 使学 , ( ,教 学既有统一要求又要实行多样化 生能迅速 、 深刻地理解 晶体 的结构。 以统一要求满足绝大多数学 生的学习需求 ，以实现多 样化满足不 同学生 的个性化 学习需求。在常规讲授型模式 的教 学基础上 ， 采用 主题 探究型模式 、 小 组协作性 模式等 ， , 构建 课程 群学 习平 台 课程 群是 指在教学内容方面具有一定相关性 的一系列 课程。这种相关 陛可以是同专业 内具有 内容衔接性 的系列 充分发挥 网络 资源 与环境 的优势 ，改变以教师为 中心 的教 学传统 ， 既发挥教师的主导作 用 ， 又能充分体现学生的 主体 9 作用 。 课程 ，也可以是不同专业问共 同开设 的但要求有 所不 同的 课 程。 课程群构建的主要依据是教学资源的相关 性 ， 即构成 课程群的若干门课 程之间可以最大 限度地利用资 源库 中的 教学资源。具体来说有几层含义 : 第一 ， 课程 间可 以共享教 学资源 ， 避免重 复建设 ; 第二 ， 不 同课 程从 自身 角度创建 的 资源可 以相 互作为参考 和拓展 ， 扩充资 源数量 ; 第三， 来自 不同课程师生的贡献 ， 能创建和提炼 出一些 精品 ， 提升资源 质量, , , 。 , ( ,恰 当地运用现代教育技术手段 ，可 以丰富教学内容、 提 高教学效果 通过 动画模 拟 、动态图表 、 , ,结构库 等优 质资源 的开 发， 把优质的教学资源引入到教学 中， 加强学生对难点 10 问题 的理解 ，提高学生 的学 习兴趣 ，给学生提供相关 的感性认 识， 突破教材重点和学习难点 。 , 结语 化学基础课程教学资源 整合 ，使化学基础课成为一个 四门化学基础课程 是化学课程 的分支 ，教学 内容 相互 衔接和互补 ， 符合课程群建设的要求。基于学校开通 的网络 教学平 台 ， 建立 了化学基础课程 群 ， 把握课 程问 的联 系 ， 进 有机 的整体 ，在有 限的学 时内使 学生获得了最大量系统 的 知识 ， 激发了学习兴趣 ， 培养 了学 生 自主学习能力 。同时也 行资源共享 ， 同时便 于学生网上学习和交 流。课程群 的建立 不但会加强各门课 程的有机联系 ，还会更加 突出学习的重 点， 有 利于化解 知识难点 ， 这种 知识 链条式 的学 习过 程 ， 使 学生享受学习的乐趣。网络教学平 台也能加强 与学生的 11 沟 通 与对 学 习效 果 的 跟 踪 调查 。 促进 了教师不断地学 习和创新 ，不 断进行教学方法和教学 手段 的改革 ， 提高了 自身的业 务水平 ， 为提高教学质量而做 更 多 的努 力 。 参 考 文 献 『 , , , 孙建华 ， 肖贤珍， 李卫华 ( 高校基础化学课程体系的重构与改革『 , , ( 产业与科技论坛， , , , , ( , , ) : , , , — , , , ( , , 】 赵立杰， 赵桦萍 ， 白立明， 李莉 ( 基 础化学课程 改革初探 , , 】 ( 化工 时 刊( , , , , ( , , ) : , , — , , ( , , 】朱裕 贞， 黑恩成， 顾达( 工科基础化学课程改革创新 的实践 与思考 , 教学 方法 和教 学手段 的创 新 新 的课程体 系大大缩减了学时 ，虽然删减 了一些 陈旧 的知识 ， 整合 了重复知识 ， 但对教学提 出了更 高的要求 。因 此， 我们必须转 变教学观念 ， 探 索新的教学 方法 和手 段 ， 保 12 证 教 学 质量 的提 高 。 , ( ,注 重 启 发式 教 学 ， 激 发 学生 学 习兴 趣 【 , 】 ( 化工高等教育， , , , , : , , — , , ( , , , 刘勇平， 刘长久， 刘峥， 吕慧丹 ( “ 普通化学 ” 多媒体课件的设 计与开 发, , , ( 广东 化工， , , , , : , , , — , , , ( , , 】刘新 阳( 基于课程群 的生态化 教学资源平 台设计 与应用 ( 现代 教育技术， , , , , ( , , ) : , , — , , ( 兴趣是学生学习的原动力 ，有 了兴趣学 习变得不再枯 燥、 乏味 ， 学生才 会变被动 学习为主动学 习 ， 学习效果 自然 事半功倍。在教学过程 中教师 的主要任 务应 该是充分发挥 学生 的学习主体作用 ， 引导学生积极思考 ， 激发学生 的求知 欲， 使学生 由要我学变为我要学 。 ? 业 童 啦 业 妇 业 宣 业 啦 逝 逝 13 编辑 逝 ? 宣 业 逝 韭 业 盥 业 譬业 李 前 锋 业 ( 上接第 , ,页 ) 设 函数 , ( , ) 在 区间 , ， , ) 内可导 。 如果在 , ， , ) 内,( , ) , , ， 那 触 , , , 在( 一 ,， , ) 和( , ， ， 。 , ) 上都是 单调递增 的， 当, , ,时 ， ) ; 当, , ,时 拈 ) ) 。 故 函数 ) , , , 在( 一 , 。 ， ，, 。 ) 内是 单调增加 的。 函数 ， ( ) 在( 一 。 。 ， , ) 上是单调递减 的， 在, ， ， ?) 上是单调递增的 ， 当, , , ,时 , ， 【 , ) 。点 , , ,是不同单 调性 的分界点 。 么, ( , ) 在区间( , ， , ) 内单调增加 ; 如果在( , ， , ) 内， 那么 , ( , ) 在 区间 , , , , ) 内单调减少。 由此可见 ， 如果 函数 , 14 ( , ) 在, ， , ) 内, ( , ) , , ， 那么 , ( , ) 在 区 间( , ， , ) 内单调增加 ， 反之单调递减 。 那么,( , ) , ,时怎么样 呢, 如果 函数 , ( , ) 在, ， , ) 内恒有( 厂 ( ) , , ， 则, ( , ) , ; ， 即常数 函 数 。显然常数函数没有增减性 。 , 结语 基 于以上分 析 ， 函数单调性是相对 于某 个区间而言 的， 有 比较才有增减性可言。 不能单说 某一点 的单调性。 如果驻 点 的两边的单调性不同 ， 在表示单 调区间时 ， 分 界点都不要 取， 这在教学 中是值得老师们注意的。 参 考 文 献 【 , 】孔 亚仙应 用高等数学 【 ,】 航 州: 浙 江科技 出版社 如果函数 , ( , ) 在, ， , ) 内个别 点处 , ( , ) , ,呢,孔亚仙 老师 认 为有些可导 函数在 15 某些 区间 内的个 别点处 导数等 于零 ， 但 函数在该 区间内仍是 函数 。如 函数 ,( , ) , , 的导数 ，( ) , , , ， 在, , ,时 ， ， , ( , ) , , ， 但它在 ( 一 。 。 ， ， 。 。 ) 内是单调增加的。 又如函数 , ( , ) , 的单调性 ， 在, , ,处如何处理 ,显然 它在 ( 一 。 。 ， ， 。 。 ) 内是没 有单调性 的。 函数 , ( , ) , , 和, 厂 ( ) 在( 一 。 。 ， ，。 。 ) 内都是连续的 ， , , , 都是驻点 。 所不 同的是 函数 , , , , ,职业教育 中心( 数学, , , ( 北京: 人民教育出版社( 编辑 16 李前锋 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 17 1.2.1 函数的概念(第二课时） 一、学习目标 1. 理解区间概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来． 2. 加深对函数的认识，理解复合函数，掌握如何求复合函数的解析式 3. 通过学习，培养数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点． 二、学习重难点 学习重点：掌握用区间表示数集 学习难点：对无穷区间的理解；对复合函数的理解，并掌握如何求复合函数的解析式 三、学习过程 （一）回顾旧识 1、回忆函数的概念；2、函数的构成元素（定义域、对应关系和值域） （二）探究新知 1、数集的区间表示： ①其中，a，b 叫做相应区间的 。 ②符号“∞”读作 ，“＋∞”读作 ，“－∞”读作 。 2、典例探究 ※例1：用区间记法表示下列不等式的解集： (1) －2≤x≤3； (2) －33； (6) x≤4． 变式练习：用集合的描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]；(3)[－∞，-3]. ※例2：求下列函数的定义域（分别用集合的描述法和区间表示） （1）f(x)=2x；（2）f(x)= ※例3：已知函数f(x)= 1x+1 1x+3 2 ；（3）f(x)= -x+ （4）f(x)=x； x-1x+1 2 . ，g(x)=x+1 （1)求函数f(x),g(x)的定义域；（2）求f(2),g(2)的值；（3）求f(g(2))的值；（4）求f(g(a))的值；（5）求f(g(x))的解析式. （三）课堂小结：这节课你有哪些收获？ （四）布置作业 1.区间(-∞,+∞)表示的集合是 （ ） A.? B.{xx<0} c.{xx≠0}="" d.r="" 2.函数f(x)=""> 1x-3 的定义域是 （ ） A.(-∞,3) B.(3,+∞) C.(-∞,3)?(3,+∞) D.(-∞,3)?(3,+∞) 3.函数f(x)=4.已知f(x)= 2x+3+1x+3 1x-1 的定义域为。 2 ，g(x)=x+1 （1）求函数f(x),g(x)的定义域；（2）求f(-2),g(-2)的值； （3）求f(g(-2))的值；（4）求f(g(a))的值；（5）求f(g(x))的解析式. 1 9 9 8 1 9 9 8 年 9 月 .JOU RN A L O F L IA ON IN G IN ST ITU T E O F T ECHN OL O GY Sep ? -单位区间的表示定理F 陈得刚周军 ( ) ( )哈尔滨工业大学辽宁工学院 摘 要 单位区间的性质, 给出了它的开区间形式的表现定理和函数形式的表讨论了 F - 现定理。 关键词 拓扑空间;单位区间; 表现定理F - F - 中图分类号 O 17713 单位区间的定义1 F - F - 单位区间是由 H u t ton 首先提出的, 在 F - 拓扑空间理论中有着重要应用, 对它的拓扑性质已经研 究得十分透澈。 正如 数空间在 分析学中有深刻的应用, - 单位区间在分析学中也有广泛的应用 - - F F F 前景, 因此对它的分析结构进行刻划也是十分必要和重要的。 设 是实直线, 考虑满足条件: 对任意 ( ) = 1 且对任意 ( ) = 0 的逆序映射 : ? 以 < 0,=""> 1, . R tΚttΚtΚR IE记这种映射的全体。 对任意的 ??规定 , , ΚE tR + - Κ( t) = ? (Κ(s) : s > t) ; Κ( t) = ? (Κ(s) : s < t)=""> + + - - 对 中的任意二映射 和 , 规定 , ?( ) = ( ) , ( ) = ( ). 当且仅当对任意 , E ΚΛΚΛ tR ΚtΛtΚtΛt 容易证明, 是 上的等价关系, 令 代表商集 , . 可见 的一个点 实际上是从 到 的递减映 ?E X E X x R I 射的等价类。 x x 设 ? 与 ? 满足 : : lR IrR I - + ) ) (( ) (( )对任意〔Κ〕? X , lt 〔Κ〕= 1 - Κt, rt 〔Κ〕= Κt ) )( ( 令 L = lt: t ? R , R = rt: t ? R () ( )T 是以 L ?R 为子基生成的 F - 拓扑, 则称 X , T 为 F - 单位区间, 记做 I I. 2 单位区间的表示定理F - 在 - 数理论的研究中, - 数的表示定理是用闭区间来完成的, 即任一个 - 数的 水平截集是闭F F F Α 区间。但我们不打算用 - 水平截集来对 单位区间中的元素进行刻划, 取而代之的是 - 强截集。在 - ΑF ΑF- 拓扑学的应用中, 强截集比水平截集的性质要好得多。由于 X 中的元素是递减映射的等价类, 故对 X 中 的元素取该元素对应的等价类中的右连续的映射作为该元素的代表元, 且仅考虑 t?0 的情况。 ) (定理 211 F - 单位区间的区间表示定理设 u ?X , 则 + () () () (() ) ( ) ) ( ) 1对 r? 0, 1 , 若 lx u 非空, 则 lx u = x: u x > r为有界左闭右开区间 0, ur; 且 u + r?1; () () () 2若 0???1, 则 Α ;r1 r2 lru lru 2 1 ? r ( ) ( )( ) = 3若正数 rn 非增收敛于 r? 0, 1 , 则 U 1 lr n= u lr u ; 反之, 若对任意 r ? 0, 1 , 均存在 A 满足 n ? 本稿 1997 年 12 月 18 日收到。 陈得刚: 男, 1966 年生, 讲师。 哈尔滨市西大直街 92 号, 哈尔滨工业大学数学系, 邮编 150001. 辽 宁 工 学 院 学 报第 18 卷第 3 期56 () ()p u re s A pp . l 1988 3310. 889, 900 , . . . . 7 M ille r S SM o canu P TO n a C la ss o f Sp ira llik e In teg ra l O p e ra to r srevR o um a ine M a thp u re s . 1986 (3). 225, 230 A pp l , . . . 8 M ille r S SM o canu P TD iffe ren t ia l Subo rd ina t io n s and Inqua lit ie s in th e Com p ex P laneJD iffe ren2 , 210 . 1987 (67). 199t ia l equa t io n s . . . . 2 1959. 72, 75 9 Sak aguch i KO n a C e r ta in U n iva len t M app ingJM a thSo c J ap an ()10 B u lbo aca. T eo do r. D iffe ren t ia l Subo rd in st io n s by co nvex func t io n s M a th em a t ic s, 1987, 29 52. 105, 113 11 , . . . . .M ille r S S and M o canu P T M a rxS t ro h h ack e rD iffe ren t ia l Subo rd ina t io n Sy stem sP ro cA m e r . . 1987 (99). 527, 534 M a thSo c Cha ra c ter ist ic s in New Subc la sse s of Sch l ich t Fun c- t ion T ia n F en g Key word s: sch lich t fu n c t io n; sta r fu n c t io n; co n vex fu n c t io n A BSTRACT Β ( ) Λ , , A n ew su b c la ss o f sch lich t an d an a ly t ic fu n c t io n is co n st ru c ted Gg l in th e p ap e rw ith it s im po r tan t ch a rac te r ist ic s b e in g p ro ved th e ref rom. ()R ece iv ed on J a n. 12, 1998 ()上接第 50 页 - An Expre ss ive Theorem on FUn it In terva l C h en D eg a n g ; Z h ou J u n Key word s: F 2topo lo g ica l sp ace; F 2u n it in te rva l; exp re ssive th eo rem A BSTRACT 2A d iscu ssio n is m ade o f th e n a tu re in th e F u n it in te rva l in th e p ap e r w h ich a lso p ropo se s .bo th th e exp re ssive th eo rem an d th e o n e o f fu n c t io n a l fo rm ()R ece iv ed on D ec. 18, 1997 ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第四教时 教材: 函数的表示法，分段函数，区间。 目的: 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念 和区间的概念。 过程: 一、复习:函数的概念 提出课题:函数的表示法。 常用的函数表示法有三种:解析法、列表法、图象法。 二、解析法: 定义:把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的 解析表达式。 它的优点是:关系清楚，容易求函数值、研究性质。 122例:加速度公式: (如 ) s,gts,60t2 2 圆面积公式: 圆柱表面积: rA,,s,2,rl 2y,ax，bx，c 二次函数 (?2) (a,0)xy,x,2 又例: 我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即: y,x，1,x,3 x,,1,4, ,2x,2,1,x,3 = y,x，1,x,3, ,4x,3, 这一种函数我们把它称为分段函数。 三、列表法: 定义:列出表格来表示两个变量的函数关系。 它的优点是:不必通过计算就能知道函数对应值。 例:初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表， 汽车、火车站的里程价目表等等。 又如:1984-1994年国民生产总值表。P52 四、图象法 定义:用函数图象表示两个变量之间的关系。 例:平时作的函数图象:二次函数、一次函数、反比例函数图象。 又如:气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线(略) 人口出生率变化曲线 (见P53)略 它的优点是:直观形象地表示出函数变化情况。 注意:函数的图象可以是直线(如:一次函数)、曲线(如:抛物线)，也 可以是折线及一些孤立的点集(或点)。 例四、例五、例六 见P55-56 (略) (注意强调分段函数概念) 五、区间 见课本P53-54 注意:1)这是(关于区间)的定义 2)今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示(答案) 3)“闭”与“开”在数轴上的表示 4)关于“+?”“,?”的概念 六、小结:三种表示法及优点 练习:P56 练习 七、作业: P57 习题2、2 3，4，5，6 转载请注明出处范文大全网 » 函数的单调区间表示方法初探求函数的单调区间 函数的单调区间表示方法初探
区间的表示
F_单位区间的表示定理
函数表示法、分段函数与区间
