一、选择题(每小题 6分,共 30分)

1、设 a,b,c,d 为整数,且 a <2b ,="" b=""><3c ,="" c=""><4d ,若="" d=""><100,则 a="" 可能取的最大="" 值为(="">

A. 2367 B. 2375 C. 2391 D. 2399

2、 若方程 02022222=-+=++b cx x b ax x 与 有一个相同的根, 且 a,b,c 为一个三 角形的三边,则此三角形一定是( ) 。

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

3、如果一条直线 l 经过不同的三点 A(a,b), B(b,a), C(a-b,b-a),那么直线 l 经过 第( )象限。

A. 二、四 B. 一、三 C. 二、三、四 D. 一、三、四

4、如图, AB 是圆的直径, CD 是平行于 AB 的弦,

且 AC 和 BD 相交于 E ,∠ AED=α,那么△ CDE

和△ ABE 的面积之比是( )

A. αcos B. α2sin C. α2cos D. αsin 1-

5、 点 P 在锐角△ ABC 的内部, 若∠ PAB+∠ PBC+∠ PCA=90°, 则点 P 是△ ABC 的( )

A. 外心、内心或重心 B. 内心或重心或垂心

C. 外心或内心或垂心 D. 外心或重心或垂心

二、填空题(每小题 6分,共 30分)

6、若等式 e d c b a e

d c b a , , , , 111111中的 =++++都是自然数且互不相等。则 , , ,

7、 当 m 取遍 0至 5的所有实数值, 满足 ) 83(3-=m m n 的整数 n 的个数是 。

8、如图,△ ABC 内三个三角形的

面积分别为 5,8,10,则四边形 AEFD

的面积是 。

9、若凸 4n+2边形 2421+n A A A (n 为自然数)的每个内角都是 30°的整数倍, 且 ?=∠=∠=∠90321A A A ,则 n 的所有可能值是 。

三、解答题(每小题 15分,共 60分)

11、⑴ n m mn n m R n m +=++∈,求 ,且 设 13, 33的值

⑵求方程组 ?????+==--)

(232333z y x xyz z y x 的正整数解。

12、半径为 a 的半圆材料上,如图截两个正方形 ABCD,BEFG , D 、 F 两点在半 圆周上, C 、 G 在半圆内,试求这样两块面积和,并可得出什么结论。

13、如图,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90°, CD ⊥ AB 于 D ,△ ADC 和△ CDB 的

内心分别为 2121, , I I I I 与 CD 相交于 K ,求证:CK

BC AC 111=+

14、 如图, 在平行四边形 ABCD 上, E 为 AD 上一点, F 为 AB 上一点, 且 BE=DF, BE 与 DF 交于 G 。求证∠ BGC=∠ DGC

初中升高中自主招生考试数学选

初中升高中面向省内外自主招生考试

数 学 试 卷

（时间：120分钟 满分：150分）

一、填空题（每题5分，共70分）

1、分解因式：x?9y?12y?4?2、分式

2

2

x?2x?6x?m

2

在实数范围内恒有意义，则实数m的取值范围是

3

2

2

3、已知a、b为非零实数，且满足 a?7ab?30ab?0，则分式

a?b2a?3b

= .

?4、如图1，AB是⊙O的直径，点E是?点F是BEAB的中点，

的中点，AE、BF的延长线交于点P，则?APB= . 5、若x?4x?4?(x?x?2)，则x= . 6、如图2，⊙O1在⊙O2上无滑动地滚动4周后，

刚好回到原来的位置，则⊙O1与⊙O2的面积之比为 .

7、把直线y?3x?2向上平移6个单位后，再向右平移 个单位后，直线解析式仍为

2

2

y?3x?2.

8、从编号分别是2、7、7、8、9的五个球中，任意取两个，它们的和刚好是偶数的概率是 .

9、如图3，在△ABC中，?B?60?,AB?10,BC?12，

则边AC= .

10、若二次函数y?x?(1?2m)x?m?5的图象不经过第三象限，则实数m的取值范围

是 .

11、若点P、Q为线段AB的两个不同的黄金分割点，AB=10，则PQ= . 12、如图4，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

2

DOBO

?

s5AO4

,?，则?ABC? .

s?ACD6CO3

13、若y与x1成正比例，x1与x2成反比例，x2与x3成正比例，

x3与x4成反比例…，则y与x2007成.

14、一次函数y??是 .

二、选择题（每题5分，共20分） 15、若a、b、c为实数，且

43

x?8的图象与y轴、x轴围成的三角形的内切圆半径

ca?b

?

ba?c

?

ab?c

?k，则下列四个点中，不可能在正比

例函数y?kx的图象上的点是（ ）.

A （-5，5） B（3，3） C （-4，-2） D（0，0）

16、甲、乙、丙、丁四名运动员参加43100米接力赛，如果甲必须安排在第二

棒，那么，这四名运动员在比赛中的接棒顺序有（ ）. A 4种可能 B 5种可能 C 6种可能 D 8种可能 17、△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若

则∠A与∠B的关系是（ ）

ab

?

a?ba?b?c

，

A ∠A=∠B B ∠A=2∠B C 2∠A=∠B D ∠A +∠B＞90° 18、若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ） A a?ab?

2

14

b2是非负数， B a?b?a?b 1a?1b

D (a?1)x?b的解集为x?

C 若a＞b，则

ba?1

三、解答下列各题（共60分）

19、计算下列各题（每题5分，共10分） (1) (

a?2a?2a

2

?

a?1a?4a?4

2

)?

4?aa?2a

2

(2) ?2?

4

(tan60??1)?1

20、已知二次函数y?x?(m?1)x?4m?13.

(1) 求证：此二次函数与x轴有两个交点。(5分)

(2) 当m取不同的值时，此函数图象的位置就会不一样。但是，这些抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标。(5分)

2

21、如图5，△ABC中，∠ABC=90°, ∠BAC=30°, △ABD、△ACE都是等

边三角形，M为CE边中点，DM交AB于点N. 求证：AN=NB.（8分）

22、直线l1经过点（-2，5），并与反比例函数y?

（1）求直线l1与反比例函数y?

6x

相交于点P(2，m).

6x

的另一个交点的坐标.（5分）

（2）把直线l1绕点P按逆时针方向旋转90°得到直线l2，求l2的解析式.（5分）

23、如图7，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC切⊙O于点C，AF⊥PC，垂足是

点F，AF交⊙O于点E，PB=2，PC：

：1， （1）求AC的长度.(5分) （2）求CF?EF的值.(5分)

24、已知二次函数y?ax?(a?3a?4)x?12a的图象关于y轴对称，并有最大值.

(1) 求此二次函数的解析式,并画出图象.(4分)

(2) 若此二次函数与x轴交于点A、B，△ABC为等边三角形(点C在x轴上方)， 求点C的坐标.(4分).

(3) 在此二次函数图象上是否存在点P，使∠APB=60°？若有，请求出点P的坐 标；若没有，请说明理由.(4分)

2

2

数学答案 一、填空题 1、（x-3y+2）（x+3y-2 ） 2、m ＞9 3、

1117或2

9

、67.5 5、3 6、1:16 7、2 8、2

5

9、231 10、－19

2

11、105 － 20 12、6

5

13、反 14、2 二、选择题

15、B 16、C 17、C 18、A 三、解答下列各题

19、（1）解 原式＝（a+2a-1a(a－2)

a(a－2) －（a-2）2）2－(a－4) ＝

a-4a（a-2）22a－21

－(a－4)＝－a－2

（2）解 原式＝ －1622 2 ＋6 21

3 －1

＝-86 23 +1

2=-56

m ≤ 5 ≤

20、（1）证明：∵△＝（m+1） －4（4m-1） ＝m2 － 14m ＋53 ＝（m-7）2 ＋ 4

∵（m-7）≥0 ∴△＞0

∴有两个不同的交点

（2）y＝x2+(m+1)+4m-13＝x2＋x+m(x+4)-13 ∵定点与m的取值无关 ∴x+4=0 故x＝－4

∴此定点坐标为（－4，－1）

另解：∵m无论取何值时，都经过一个定点 ∴不妨取m＝0或m＝1：代入 y＝x2＋x-13 ① y＝x2＋2x-19 ② 由②－①得：x＝－4

∴此定点坐标为（－4，－1） 21、证明：连接AM

等边三角形ACE ?AE=AC

∠EAC＝60° EM＝CM

∠3＝90° ?

∠1＝∠2＝30° ∠1＝∠BAC

?

∠BAC＝30° ∠3＝∠ABC

∠ABC＝90°

AE=AC

2

? △ABC≌△AME

?AB＝AM

△ABD

为等边三角形?

AD=AB

∠DAB＝60° ∠2=∠BAC=30°? AD=AM

? ∠DAN=∠MAN

?AD⊥DM

? AN = BN DA＝DB

22、（1）、另一交点的坐标为（6，1

） （2）、l2的解析式为：y＝

2x

－1 23、（1）、AC＝23

（2）、CF2EF＝3

24、（1）、解析式为：y＝－x2＋12 图像为下图

（3）、假设有这样的点P存在

则P为△ABC的外接圆与y＝－x2＋12的图像的交点 如图，∵△ABC为等边三角形 ∴外接圆圆心I（0，2） 连接PP’，交y轴于点E 连接PI

则IP＝IC＝4

设P（x，－x2 ＋ 12）

则PE ＝ x，EI＝－x2 ＋ 12 －2 ＝－x2 ＋ 10 ∴x2 ＋ （－x2 ＋ 10）2 ＝ 42 解得： x12 ＝ 7 x22 ＝ 12

当x22 ＝ 12时，x＝±3

此时点（-23 ,0）、（3 ,0）为点A、B 当x22 ＝ 7时，x＝±7

此时点P坐标为（-7 ,5）、7 ,5） 当点P在x轴下方时，同理可得其坐标为 P（-15 ，－3）或P（15 ，－3）

∴点P坐标为（-7 ,5）或（7 ,5）或P（-15 ，－3）或P（15 ，－3）

创知路自主招生数学

课程标题：创知路自主招生数学

课程分类：???中考高考

关键词??创知路自主招生数学

1.函数的奇偶性与对称性

2.函数的单调性

3.函数的周期性

5.恒成立问题2

4.恒成立问题

6.多项式函数

7.二次函数及其性质

8.函数方程

数列

1.等差数列与等比数列

2.线性特征根法

3.分式特征根法

4.求复杂通项公式

5.求复杂通项公式2

6.求复杂通项公式3

7.数列求和裂项法

8.数列求和的具体应用

9.数列求和错项相消

三角函数

1.反三角函数

2.和差化积和积化和差

3.三倍角公式

4.点鞭炮公式

5.三角恒等式

6.三角中的线性方程

7.三角函数的化简问题

8.三角函数的最值问题

9.特殊值的代换

10.三角形中的三角函数

平面向量与复数

1.向量的定比分点公式

2.复数的基本概念

3.复数的共轭与模

4.复数中的三角不等式

5.棣莫弗公式

7.单位根

6.棣莫弗公式的应用

8.解复数方程-

9.多项式函数复数根

10.复数旋转求坐标

11.复数三角形的应用

12.三角函数对称形式

不等式

1.均值不等式-创知路自主招生数学

2.柯西不等式-创知路自主招生数学

3.琴生不等式-创知路自主招生数学

4.排序不等式-创知路自主招生数学

5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学

6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学

7.函数法-创知路自主招生数学

8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学

9.数学归纳法-创知路自主招生数学

10.调整法-创知路自主招生数学

解析几何

1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学

2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学

3.直线参数方程

4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学

韦达定理2-创知路自主招生数学

韦达定理1-创知路自主招生数学

圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学

5.圆锥曲线的极坐标

6.圆锥曲线的切线

7.解析几何极值问题

8.面积问题1

11.单元最值问题

12.多元最值问题

9.面积问题2

10.定值问题

排列组合与概率

1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学

2.容斥原理-创知路自主招生数学

3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学

4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学

5.隔板法-创知路自主招生数学

6.平均分组问题

7.正难则反问题

8.染色几何问题

9.概率基础知识

10.概率递推

初等数论

1.整除-创知路自主招生数学

2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学

3.素数-创知路自主招生数学

5.同余-创知路自主招生数学

4.最小公倍数-创知路自主招生数学

6.不定方程-创知路自主招生数学

7.数论综合练习-创知路自主招生数学

平面几何

1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学

2.三角形的五心1-创知路自主招生数学

3.三角形的五心2-创知路自主招生数学

4.塞瓦定理-创知路自主招生数学

5.平面几何解析法-创知路自主招生数学

6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学

8.旋转的应用1-创知路自主招生数学

7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学

9.旋转的应用2-创知路自主招生数学

10.截长补短1-创知路自主招生数学

11.截长补短2-创知路自主招生数学

12.对称变换1-创知路自主招生数学

13.对称变换2-创知路自主招生数学

14.托勒密定理-创知路自主招生数学

15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学

组合数学

1.极端原理-创知路自主招生数学

2.抽屉原理-创知路自主招生数学

3.不变量-创知路自主招生数学

4.算两次-创知路自主招生数学

5.染色与配对

6.组合最值问题

7.组合构造

8.组合奇偶性

9.图论

函数与导数

1.函数的奇偶性与对称性

2.函数的单调性

3.函数的周期性

5.恒成立问题2

4.恒成立问题

6.多项式函数

7.二次函数及其性质

8.函数方程

数列

1.等差数列与等比数列

2.线性特征根法

3.分式特征根法

4.求复杂通项公式

5.求复杂通项公式2

6.求复杂通项公式3

7.数列求和裂项法

8.数列求和的具体应用

9.数列求和错项相消

三角函数

2.和差化积和积化和差

1.反三角函数

3.三倍角公式

4.点鞭炮公式

5.三角恒等式

6.三角中的线性方程

7.三角函数的化简问题

8.三角函数的最值问题

9.特殊值的代换

10.三角形中的三角函数

平面向量与复数

1.向量的定比分点公式

2.复数的基本概念

3.复数的共轭与模

4.复数中的三角不等式

5.棣莫弗公式

7.单位根

6.棣莫弗公式的应用

8.解复数方程-

9.多项式函数复数根

10.复数旋转求坐标

11.复数三角形的应用

12.三角函数对称形式

不等式

1.均值不等式-创知路自主招生数学

2.柯西不等式-创知路自主招生数学

3.琴生不等式-创知路自主招生数学

4.排序不等式-创知路自主招生数学

5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学

6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学

7.函数法-创知路自主招生数学

8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学

9.数学归纳法-创知路自主招生数学

10.调整法-创知路自主招生数学

解析几何

1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学

2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学

3.直线参数方程

4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学

韦达定理2-创知路自主招生数学

韦达定理1-创知路自主招生数学

圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学

5.圆锥曲线的极坐标

6.圆锥曲线的切线

7.解析几何极值问题

8.面积问题1

11.单元最值问题

12.多元最值问题

9.面积问题2

10.定值问题

排列组合与概率

1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学

2.容斥原理-创知路自主招生数学

3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学

4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学

5.隔板法-创知路自主招生数学

6.平均分组问题

7.正难则反问题

8.染色几何问题

9.概率基础知识

10.概率递推

初等数论

1.整除-创知路自主招生数学

2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学

3.素数-创知路自主招生数学

5.同余-创知路自主招生数学

4.最小公倍数-创知路自主招生数学

6.不定方程-创知路自主招生数学

7.数论综合练习-创知路自主招生数学

平面几何

1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学

2.三角形的五心1-创知路自主招生数学

3.三角形的五心2-创知路自主招生数学

4.塞瓦定理-创知路自主招生数学

5.平面几何解析法-创知路自主招生数学

6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学

8.旋转的应用1-创知路自主招生数学

7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学

9.旋转的应用2-创知路自主招生数学

10.截长补短1-创知路自主招生数学

11.截长补短2-创知路自主招生数学

12.对称变换1-创知路自主招生数学

13.对称变换2-创知路自主招生数学

14.托勒密定理-创知路自主招生数学

15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学

组合数学

1.极端原理-创知路自主招生数学

2.抽屉原理-创知路自主招生数学

3.不变量-创知路自主招生数学

4.算两次-创知路自主招生数学

5.染色与配对

6.组合最值问题

7.组合构造

8.组合奇偶性

9.图论

自主招生数学训练

陈伟数学学校

九年级自主招生数学训练 6

一.选择题

1. (5分)已知整数 a , b , c 的和为奇数,那么代数式 a 2+b 2﹣ c 2+2ab 一定表示 ()

A .奇数 B .偶数 C .奇数偶数都有可能 D .可能是任意实数

【解答】 解:由 a 2+b 2﹣ c 2+2ab=(a +b ) 2﹣ c 2=(a +b +c ) (a +b ﹣ c ) =(a +b +c ) (a +b +c ﹣ 2c ) ,

∵整数 a , b , c 的和为奇数,

∴ 2c 一定为偶数,

∴(a +b +c )﹣ 2c 一定为奇数,

根据奇数乘以奇数还得奇数可知:(a +b +c ) (a +b +c ﹣ 2c )表示奇数,

所以代数式 a 2+b 2﹣ c 2+2ab 一定表示奇数.

故选 A .

2. (5分)已知非零实数 a , b 满足 |2a ﹣ 4|+|b +2|++4=2a,则 a +b 等 于()

A .﹣ 1 B . 0 C . 1 D . 2

【解答】 解:由题设知 a ≥ 3

,所以,题设的等式为 ,于是

a=3, b=﹣ 2,从而 a +b=1.

故选 C .

3.如图,△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的三边分别记为 a , b , c , O 是△ ABC 的外心, OD ⊥ BC , OE ⊥ AC , OF ⊥ AB ,则 OD :OE :OF=()

A . a :b :c B.

C . cosA :cosB :cosC D . sinA :sinB :sinC

【解答】 解:设三角形的外接圆的半径是 R .连接 OB , OC .

∵ O 是△ ABC 的外心,且 OD ⊥ BC .∴∠ BOD=∠ COD=∠ A

在直角△ OBD 中, OD=OB?cos ∠ BOD=R?cosA .

同理, OE=R?cosB , OF=R?cosC .

∴ OD :OE :OF=cosA:cosB :cosC .

故选 C .

4. (5分)若实数 x , y 满足条件 2x 2﹣ 6x +y 2=0,则 x 2+y 2+2x 的最大值是() A . 14 B . 15 C . 16 D .不能确定

解:由已知得:y 2=﹣ 2x 2+6x ,∴ x 2+y 2+2x=x2﹣ 2x 2+6x +2x ,

=﹣ x 2+8x ,

=﹣(x ﹣ 4) 2+16,

又 y 2=﹣ 2x 2+6x ≥ 0,

解得:0≤ x ≤ 3,

∴当 x=3时, y=0,所以 x 2+y 2+2x 的最大值为 15.

故选:B .

5. (5分)如图,正方形 ABCD 中, E , F 分别是 AB , BC 上的点, DE 交 AC 于 M ,

AF 交 BD 于 N ; 若 AF 平分∠ BAC , DE ⊥ AF ;

记 , , , 则有 ()

A . x >y >z B . x=y=z C . x=y>z D . x >y=z

解:如图,由角平分线, ,

即 ,又△ AME 的角分线与高重合,

则△ AME 为等腰三角形, AM=AE,

作 OP ∥ AB ,交 OE 于 P ,则 OP 为△ DBE 的中位线,

△ OMP ∽△ AME , ,

所以 x >y=z.

6. (5分) (2015? 黄冈中学自主招生)将一枚六个面编号分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷

出的点数为 b ,则使关于 x , y

的方程组 只有正数解的概率为()

A . B . C . D .

解:当 2a ﹣ b=0时,方程组无解;

当 2a ﹣ b ≠ 0时,方程组的解为由 a 、 b 的实际意义为 1, 2, 3, 4, 5, 6可得. 易知 a , b 都为大于 0的整数,则两式联合求解可得 x=, y=,

∵使 x 、 y 都大于 0则有 >0, >0,

∴解得 a <1.5, b="">3或者 a >1.5, b <3,而 a="" ,="" b="" 都为="" 1到="">

所以可知当 a 为 1时 b 只能是 4, 5, 6;或者 a 为 2, 3, 4, 5, 6时 b 为 1或 2, 这两种情况的总出现可能有 3+10=13种;

又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6=36种情况,故所求概率为 ,故选 D . 7.如图所示的图象所表示的函数的关系式为()

A . y=|x ﹣ 1|(0≤ x ≤ 2) B . y=﹣ |x ﹣ 1|(0≤ x ≤ 2) C . y=﹣ |x ﹣ 1|(0≤ x ≤ 2) D . y=1﹣ |x ﹣ 1|(0≤ x ≤ 2)

解:观察图象可知,图象上已知三点坐标为(0, 0) , (1

,

) (2, 0) ,代入每个解析式检验可知:

A 、点(0, 0)不符合函数解析式;

B 、点(0, 0) , (1, ) , (2, 0) ,都符合函数解析式;

C 、点(0, 0)不符合函数解析式;

D 、点(1, )不符合函数解析式.

只有 B 符合.

故选 B .

8.在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, AC=3, BC=4.若以 1为半径的圆在△ ABC 所在平面 上运动,则这个圆与△ ABC 的三条边的公共点最多有()

A . 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

解:如图所示:

以 1为半径的圆在△ ABC 所在平面上运动, 则这个圆与△ ABC 的三条边的公共点 最多有 4个,

故选:C .

9. P 为正方形 ABCD 内一点, 若 PA :PB :PC=1:2:3, 则∠ APB 的度数为 () A . 120°B . 135°C . 150° D.以上都不对

解:将△ ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 90°得△ CBE ,如图.

则△ ABP ≌△ CBE ,且 PB ⊥ EB

设 PA=a, PB=2a, PC=3a

∴ PB=EB=2a,

∴△ PBE 是等腰直角三角形,∠ BPE=∠ BEP=45°, PE=2a

在△ PEC 中,∵ PC 2=9a2, PE 2+EC 2=9a2

∴ PC 2=PE2+EC 2

∴∠ PEC=90°

故∠ APB=∠ CEB=90°+45°=135°

故选 B .

10.横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点,函数 y=的图象上整点的个数 是()

A . 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个

解:把函数

y=化简得 y=3+;

依题意得:(2x ﹣ 1)必是 6的约数,才可以使 y 是整数;

即 2x ﹣ 1=±1,±2,±3,±6;

但当 x 为整数时, 2x ﹣ 1只能是奇数,即 2x ﹣ 1=±1,±3,

所以能保证 x 是整数的解有 4个.

故选 B .

二.填空题

11.已知一次函数 y=(a ﹣ 1) x +a (a 为整数且 a ≠ 1)的图象与 x 轴、 y 轴的交 点分别为 A 、 B ,且△ OAB 的面积是正整数,则 a=2.

解:由题意可得 A 、 B 两点的坐标为(﹣ , 0) 、 (0, a ) ,

S △ AOB

=AO?BO==||,

∵△ OAB 的面积是正整数,

而只有当 a=2时, S

△ AOB

=2是正整数,

故 a=2.

12. 在单位正三角形中, 将其内切圆及三个角切圆 (与角两边及三角形内切圆都

相切的圆)的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为

.

解:作图如下:

由题意知 AC=,∠ BAC=30°,

解得

BC=,

设小圆半径为 r ,

sin30°==

=,

解得 r=,

∴三角形剩下部分的面积 S=﹣ 3×π﹣ π=﹣ .

13. 如图, 设 AD 、 BE 、 CF 为三角形 ABC 的三条高, 若 AB=6, BC=5, AE ﹣ EC=,

则线段 BE 的长为

.

解:设 AE=x, EC=y,则 , 解得 x=,

则

BE=

=.

故答案为:.

14. (5分) (2015? 黄冈校级自主招生)如果函数 y=b的图象与函数 y=x2﹣ 3|x ﹣

1|﹣ 4x ﹣ 3的图象恰有三个交点,则 b 的可能值是

.

解:当 x ≥ 1时,函数 y=x2﹣ 3|x ﹣ 1|﹣ 4x ﹣ 3=x2﹣ 7x ,

图象的一个端点为(1,﹣ 6) ,顶点坐标为(,﹣ ) ,

当 x <1时,函数 y="x2﹣" 3|x="" ﹣="" 1|﹣="" 4x="" ﹣="" 3="x2﹣" x="" ﹣="">

顶点坐标为(,﹣ ) ,

∴当 b=﹣ 6或 b=﹣ 时,两图象恰有三个交点.

故本题答案为:﹣ 6,﹣ .

15.已知半径分别为 3cm 和 5cm 的两圆相交于点 A 和 B ,经过交点 B 的任一直 线和两圆分别交于点 C 和点 D ,则 AC :AD 的值为 3:5.

解:如图所示,作直径 AE , AF ,

可得∠ EBA=∠ FBA=90°,

故 E , B , F 在一条直线上,

∵∠ E=∠ C ,∠ D=∠ F ,

∴△ ACD ∽△ AEF ,

∴ =,

∵两圆半径分别为 3cm 和 5cm ,

∴ AE=6, AF=10,

∴ AC :AD 的值为:3:5.

故答案为:3:5.

16.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x , y )称为整点,如 果将二次函数 y=﹣ x 2+6x ﹣ 5的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色, 则此红色 区域内部及其边界上整点个数有 15个.

解:将该二次函数化简得, y=﹣(x ﹣ 3) 2+4

令 y=0得, x=1或 x=5

则在红色区域内部及其边界上的整点为(1, 0) , (2, 0) , (3, 0) , (4, 0) , (5, 0) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) .共有 15个.

故答案为:15.

17. (6分) (2013? 宁波自主招生) a 、 b 为实数,且满足 ab +a +b ﹣ 8=0, a 2b +ab 2﹣ 15=0,则(a ﹣ b ) 2=

解:∵ a 、 b 为实数,且满足 ab +a +b ﹣ 8=0, a 2b +ab 2﹣ 15=0,

∴ ab +(a +b ) =8, ab? (a +b ) =15,

∴ ab 、 a +b 是方程 x 2﹣ 8x +15=0,即(x ﹣ 3) (x ﹣ 5) =0的两个根,

∴ x=3或 x=5;

①当 ab=3, a +b=5时, (a ﹣ b ) 2=(a +b ) 2﹣ 4ab=25﹣ 12=13,即(a ﹣ b ) 2=13; ②当 ab=5, a +b=3时, (a ﹣ b ) 2=(a +b ) 2﹣ 4ab=9﹣ 20=﹣ 11<0,即(a ﹣="" b="" )="" 2=""><>

综上所述, (a ﹣ b ) 2=13;

故答案是:13.

18.如图, A , B 是直线 l 上的两点,且 AB=2,两个半径相等的动圆分别与 l 相 切于 A , B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与线段 AB 所围成图形面 积 S 的最大值是 2﹣ .

解:∵ AB=2,

∴当 r=1时两圆正好外切,显然当两圆外切时圆弧 AC , CB 与线段 AB 所围成图 形面积 S 的值最大,

∴过 C 作 CD 垂直 AB ,

过点 C 作 EF ∥ AB ,分别过点 AB 作 AF ⊥ EF , BE ⊥ EF ,则四边形 ABEF 是长方形,

则 S 最大 =S

长方形 ABEF

﹣ S

扇形 ACF

﹣ S 扇形 BCE

=2×1﹣ 2×π

=2﹣ .

19.若 K 是△ ABC 内任意一点,△ KAB ,△ KBC ,△ KCA 的重心分别为 D , E , F ,

则 S △ DEF :S

△ ABC

的值为()

【分析】 根据重心是三角形三条中线的交点,可以分别连接 KD , KE , KF 并延长 交 AB , BC , CA 于点 M , N , P .根据重心的概念,知点 M , N , P 分别是各边的

中点, 则△ MNP 的面积是△ ABC

面积的 . 再根据三角形的重心到顶点的距离分

别是对边中点的距离的 2倍, 得△ DEF 的面积是△ MNP 的面积的 . 即可求得比 值.

解:分别连接 KD , KE , KF 并延长交 AB , BC , CA 于点 M , N , P ,则 M , N , P 分别是各边的中点,

∴△ MNP 的面积是△ ABC

面积的 ,△ DEF 的面积是△ MNP 的面积的 ,

∴ S △ DEF :S

△ ABC

的值是 ×=.

20.已知整数 x , y , z 满足 x ≤ y

解:∵ x ≤ y

∴ |x ﹣ y |=y﹣ x , |y ﹣ z |=z﹣ y , |z ﹣ x |=z﹣ x ,

因而第二个方程可以化简为:

2z ﹣ 2x=2,即 z=x+1,

∵ x , y , z 是整数,

根据条件 ,

则 两式相加得到:﹣ 3≤ x ≤ 3,

两式相减得到:﹣ 1≤ y ≤ 1,

同理:,得到﹣ 1≤ z ≤ 1,

根据 x , y , z 是整数讨论可得:x=y=﹣ 1, z=0或 x=1, y=z=0此时第二个方程不成 立,故舍去.

∴ x 2+y 2+z 2=(﹣ 1) 2+(﹣ 1) 2+0=2.

三.解答题

21. (18分)已知抛物线 y=3ax2+2bx +c .

(1)若 a=b=1, c=﹣ 1,求抛物线与 x 轴公共点的坐标;

(2)若 a=b=1,且当﹣ 1<1时,抛物线与 x="" 轴有且只有一个公共点,求="" c="" 的="">

【解答】 解:∵ a=b=1, c=﹣ 1,

∴抛物线的解析式为 y=3x2+2x ﹣ 1,

令 y=3x2+2x ﹣ 1=0,解得:x=﹣ 1或 ,

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为:(﹣ 1, 0) , (, 0) ;

(2)∵ a=b=1,

∴解析式为 y=3x2+2x +c .

∵对称轴 x=﹣ =﹣ ,

∴当﹣ 1<1时,抛物线与 x="">

则①此公共点一定是顶点,

∴△ =4﹣ 12c=0,

②一个交点的横坐标小于等于﹣ 1,另一交点的横坐标小于 1而大于﹣ 1, ∴ 3﹣ 2+c ≤ 0, 3+2+c >0,

解得﹣ 5

综上所述, c 的取值范围是:c=或﹣ 5

22.如图, AB 为⊙ O 的直径, C 在⊙ O 上,并且 OC ⊥ AB , P 为⊙ O 上的一点, 位于 B 、 C 之间,直线 CP 与 AB 相交于点 Q ,过点 Q 作直线与 AB 垂直,交直线 AP 于 R .求证:BQ=QR.

证明:如图,连接 PB 、 BR ,则∠ APC=45°,∠ APB=90°;

故∠ BPQ=180°﹣∠ APC ﹣∠ APB=45°;

又∵∠ APB=90°=∠ BQR ,

∴ B 、 Q 、 R 、 P 四点共圆;

于是∠ BRQ=∠ BPQ=45°,

从而△ BQR 为等腰直角三角形;

∴ BQ=QR.

23. 如图, 正方形 ABCD 中, E 、 F 分别是 BC 边、 CD 边上的动点, 满足∠ EAF=45°.

(1)求证:BE +DF=EF;

(2)若正方形边长为 1,求△ CEF 内切圆半径的最大值.

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(1)证明:延长 FD 到 G ,使 DG=BE,连接 AG ,

∵在△ GDA 和△ EBA 中,

,

∴△ GDA ≌△ EBA ,

∴ AG=AE,∠ GAD=∠ EAB ,

故∠ GAF=45°,

在△ GAF 和△ EAF 中,

∵ ,

∴△ GAF ≌△ EAF ,

∴ GF=EF,

即 GD +DF=BE+DF=EF;

(2)解:令 BE=a, DF=b,则 EF=a+b , r==1﹣(a +b ) ,

∵(1﹣ a ) 2+(1﹣ b ) 2=(a +b ) 2,

整理得 1﹣(a +b ) =ab,而 ab ≤ (a +b ) 2,

(a +b ) 2+(a +b )﹣ 1≥ 0,

解得:a +b ≥﹣ 2+2或 a +b ≤﹣ 2﹣ 2(舍去) ,

r=1﹣(a +b )≤ 1﹣(﹣ 2+2) =3﹣ 2,

当且仅当 a=b=﹣ 1时,等号成立.

24. (11分) (2013? 宁波自主招生)如图,正方形 BCEF 的中心为 O ,△ CBO 的

外接圆上有一点 A (A 、 O 在 BC 同侧, A 、 C 在 BO 异侧) ,且

AB=2, AO=4.

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(1)求∠ CAO 的值;

(2)求 tan ∠ ACB 的值;

(3)求正方形 BCEF 的面积.

解:(1)∠ CAO=∠ CBO=45°;

(2)作 BH ⊥ OA ,交 OA 的延长线于 H , 则∠ BAH=45°

∴ AH=2, BH=2

∴ tan ∠ BOH==

又∠ ACB=∠ BOH

∴ tan ∠ ACB=.

(3)∵ tan ∠ ACB=,又

AB=2

∴ AC=6

∴ BC 2=80

∴正方形 BCEF 的面积是 80.

25. (11分)如图,已知圆 O 的圆心为 O ,半径为 3,点 M 为圆 O 内的一个定

点,

OM=, AB 、 CD 是圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M .

(1)当 AB=4时,求四边形 ADBC 的面积;

(2)当 AB 变化时,求四边形 ADBC 的面积的最大值.

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【解答】 解:(1)作 OE ⊥ CD 于 E , OF ⊥ AB 于 F ,连接 OB , OC ,

那么

AB=2=4,

∴

OF=,

又∵ OE 2+OF 2=OM2=5,

∴ OE=0,

∴ CD=6,

∴ S

四边形 ADBC

=AB ×CD=12; (2)设 OE=x, OF=y,则 x 2+y 2=5,

∵

AB=2, CD=2,

∴ S

四边形 ADBC

=AB ×CD=2×=2=2,

∴当 x 2

=时,四边形 ADBC 的最大面积是 13.

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自主招生数学

1. 把一个等腰直角三角形,分成 5个钝角等腰三角形,请作图

2. S=1+2+3+......+N,它的和是一位三位数,各位数都相同的数,求 N=

首先 S=N(N+1)/2

这个就是 1到 100的整数之和的求法,同学应该接触过吧

其次, S 是三位数,且各位数相同

那么可设 S=111k, k 为大于等于 1小于等于 9的整数

那么就有 N(N+1)=222k

N^2+N-222k=0

然后用求根公式

这里面 △ 肯定是整数,然后就试, k 从 1试到 9

看什么时候 △ 是整数

= =就是这样试出来的

4. 中国好声音,九个评委逐一投票,选手甲以 5:4战胜乙选手,要求投票期间甲全程 严格领先的概率是多少?

严格领先。就是甲从头到尾都比乙多,打平也是不行的。所以前两票肯定都是甲的。 大 概 的 情 况 可 以 通 过 下 面 的 图 片 排 出 来

。

排出来的情况做分子,总情况为 2^9做分母。

所得到的数字就是所求概率了。

5. 如何在任意三角形任一边上任意一点作直线平分三角形面积。

6. 将一个四棱锥的每个顶点上染上一种颜色,并使用一条棱的两端点异色,若只有 5种颜 色可供使用,则不同的染色方法的总数为多少?

7. 设函数 y=f(x)对一切实数 x 均满足 f(2+x)=f(2-x),且方程 f(x)=0恰好有 7个不同的实根, 则这 7个不同实根的和是多少?

f(2+x)=f(2-x),可以看出 f(x)是关于直线 x=2对称的。所以对于 f(x)=0即函数和 x 轴的交点, 在 x=2这条直线左边有几个,右边就对应着有几个。一般是偶数个。但是最后有 7个根的 话,就说明除了这些对应的。 x=2这条线上一定有一个实根。也就是 x=2的时候 f(x)=0,剩 下的六个根两两对应的中点都是 2。即 x1+x7=4, x2+x6=4, x3+x5=4, x4=2.加起来就好了。 8. 一个球与正四面体的六条棱都相切,若正面体的棱长为 a ,求这个球的体积为多少?

9. 对任意实数 x,y, 定义运算 x*y为 x*y=ax+by+cxy,其中 a,b,c 为常数, 且等式右端中的运算 为通常的实数加法,乘法运算。已知 1*2=3, 2*3=4,且有一个非零实数 d, 使得对于任意实数 x 均有 x*d=x,则 d 为多少?

10. 设函数 f(x)=sin(2x+φ),(-π<><0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x="π/8," 则="" φ为多="">

11. 三边均为整数,而且最大边长为 11的三角形,共有几个?

另两边长可以是:11,1、 11,2……11,10、 11,11共 12种

10,1、 10,2、 …… 、 10,9、 10,10共 10种

9,2、 9,3、 …… 、 9,9共 8种

8,3……8,8共 6种

7,4……7,7共 4种

6,5、 6,6共 2种

一共有 2+4+6+8+10+12=42种

12. ABGH 是平行四边形, BCDEFG 是正六边形,求画一条线段平分 ABCDEFGH 的面 积?经过中心的线段必然平分平行四边形和正六边形, 找出同时经过两中心的线段既可平分 整个图形

13. 矩形 ABCD,AB=3,AD=4,P是 AD 上的动点, PE 垂直 AC 于 E,PF 垂直 BD 于 F, 则 PE+PF=?

设 PA=x,则 PD=4-x

△ AEP ∽ △ ADC ,则有 x/5=PE/3, PE=3x/5

△ DFP ∽ △ DAB ,则有 (4-x)/5=PF/3, PF=(12-3x)/5

PE+PF=12/5

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