第一章 算法初步

1.1.1

算法的概念

情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 一般格式

1、算法概念：

2. 算法的特点:(1) (2) (3) (4) (5) 1.1.2

程序框图

23（1）赋值语句的一般格式 （一）构成程序框的图形符号及其作用

条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋

值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。 1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式：IF 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

图1 图2

IF 语句的最简单格式为图3，对应的程序框图为图4。

（图3）

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。

（1）while 语句的一般格式是

（2）2、DO 语句

DO 语句的一般格式是 对应的程序框图是

2.1.1简单随机抽样

第二章 统计

1．总体： 样本 ：

个体： 样本容量：

2．简单随机抽样：

3．简单随机抽样常用的方法：（1） ⑵

4. 抽签法的适用范围为 随机数法的适用范围为 2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。 2、系统抽样的适用范围为（1） （2） 2.1.3分层抽样

1．分层抽样：当总体由明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样。 三种抽样方法的区别和联系：

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

2、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例、用辗转相除法求210与162的最大公约数，并用更相减损术检验

1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0求值问题

f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0=( an x n-1+an-1x n-2+….+a 1)x+a0 =(( an x n-2+an-1x n-3+….+a 2)x+a1)x+a0

=......=(...( an x+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v 1=an x+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2=v1x+an-2 v 3=v2x+an-3 ...... v n =vn-1x+a0 这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。 1.3.3进位制

（1）以k 为基数的k 进制换算为十进制：a n a n -1... a 1a 0(k ) =a n k +a n -1 k

n

n -1

+ a 1 k 1+a 0 k 0

（2）十进制换算为k 进制：除以k 取余，倒序排列 例、（1）把二进制数110011化为十进制数 （2）把89化为二进制数

1、列频率分布表，画频率分布直方图：

（1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图

n A

件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n 为事件A 出现的频率：

对于给定的随机事件A ，在n 次重复进行的实验中，时间A 发生的频率，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率 （7）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、平均值：x =

x 1+x 2+ +x n

n

2

n A

值n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅

度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质

(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2

2、．样本标准差：s =s =

n

3、（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍 2.3.2两个变量的线性相关

1、概念:（1）回归直线方程：y =a +b x （2）回归系数：b =

∧

∧

∧

1、基本概念：

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A 与事件

∧

i =1

n

∑x i y i -nx y

i =1

n

∑x i 2-nx

2

，a =y -b x

∧∧

B 互斥；

（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那

么称事件A 与事件B 互为对立事件；

概率加法公式：当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件

2．应用直线回归的注意事项：回归分析前, 最好先作出散点图；

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：

（1）必然事件： （2）不可能事件：

（3）确定事件： （4）随机事件： （5）事件：

（6）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事

互斥事件的特殊情形。

3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、基本事件：

2、基本事件的特点：（1）

（2） 1、（1）古典概型的使用条件：（1）

（2）

（2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数；

A 包含的基本事件数②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型

基本概念：（1）几何概率模型：

（2）几何概型的概率公式：

（3）几何概型的特点：(1) (2)

数学必修三知识点

高中数学必修3知识点

整理人：罗军伟 审理人：张信乾

第一章 算法初步

1.1.1

算法的概念

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 1.2.1

1、输入语句一般格式

2、输出语句： 3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与

1、算法概念：

2. 算法的特点:(1)有限性；(2)确定性；(3)顺序性与正确性；(4)不唯一性 ；(5)普遍性； 1.1.2

程序框图

数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、

常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。 1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式：IF 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

（一）构成程序框的图形符号及其作用

图1 图2

IF 语句的最简单格式为图3，对应的程序框图为图4。

（二）

、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框 指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。 2、条件结构：

条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。依据

条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

1

（图3）

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。一般程序设计语言构。即for 语句和while 语句。 1、while 语句

（1）while 语句的一般格式是 对应的程序框图是

（2）2、for 语句

for 语句的一般格式是 对应的程序框图是

第二章 统计

2.1.1简单随机抽样

1．总体和样本 , 个体，样本容量

2．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的的可能性被抽到。

3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法； 2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。 2.1.3分层抽样

1．分层抽样：当总体由明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样。 三种抽样方法的区别和联系：

2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

2、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0求值问题

f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0=( an x n-1+an-1x n-2+….+a 1)x+a0 =(( an x n-2+an-1x n-3+….+a 2)x+a1)x+a0

=......=(...( an x+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v 1=an x+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2=v1x+an-2 v 3=v2x+an-3 ...... v n =vn-1x+a0 这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。 1.3.3进位制

（1）以k 为基数的k 进制换算为十进制：a n a n -1... a 1a 0(k ) =a n k +a n -1 k （2）十进制换算为k 进制：除以k 取余，倒序排列

2

n

n -1

+ a 1 k +a 0 k

10

1、列频率分布表，画频率分布直方图：

（1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、平均值：x =

B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；概率加法公式：当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1

2

x 1+x 2+ +x n

n

2

(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2

2、．样本标准差：s =s =

n

3、（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍 2.3.2两个变量的线性相关

1、概念:（1）回归直线方程：y =a +b x （2）回归系数：b =

∧

∧

∧

∧

i =1

n

∑x i y i -nx y

i =1

n

，a =y -b x

∧∧

—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A

与事件B 有且

∑x i 2-nx

2．应用直线回归的注意事项：回归分析前, 最好先作出散点图；

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件

（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例

n A

fn(A)=n

仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤；

①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）

为事件A 出现的频率：

对于给定的随机事件A ，在n 次重复进行的实验中，时间A 发生的频率，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值

n A

n

A 包含的基本事件数=总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型

基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度

越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A 与事件

3

构成事件A 的区域长度（面积或体积）

的区域长度（面积或体积）（2）几何概型的概率公式：P （A ）=试验的全部结果所构成；

（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

高中数学必修三理科知识点总结及例题解析

目录:数学3(必修)

数学3(必修)第一章:算法初步 [基础训练A组]

数学3(必修)第一章:算法初步 [综合训练B组]

数学3(必修)第一章:算法初步 [提高训练C组]

数学3(必修)第二章:统计 [基础训练A组]

数学3(必修)第二章:统计 [综合训练B组]

数学3(必修)第二章:统计 [提高训练C组]

数学3(必修)第三章:概率 [基础训练A组]

数学3(必修)第三章:概率 [综合训练B组]

数学3(必修)第三章:概率 [提高训练C组]

新课程高中数学训练题组

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精心编辑而成;本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料!

(数学3必修)第一章:算法初步 [基础训练A组]

一、选择题

1(下面对算法描述正确的一项是:( )

A(算法只能用自然语言来描述 B(算法只能用图形方式来表示

第 1 页 共 1 页

C(同一问题可以有不同的算法 D(同一问题的算法不同，结果必然不同

22(用二分法求方程的近似根的算法中要用哪种算法结构( ) x,2,0

A(顺序结构 B(条件结构 C(循环结构 D(以上都用

3(将两个数交换,使,下面语句正确一组是 ( ) ab,,8,17ab,,17,8

A. B. C. D. c=b a=c a=b b=a b=a c=b b=a a=b a=c b=a

4(计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )

a,1

b,3

aab,，

bab,,

bPRINT ， a

A( B( C( D( 1,34,10,06,0

a,35(当时，下面的程序段输出的结果是( )

a,10IF THEN

ya,,2

else

yaa,,

PRINT y

93106A( B( C( D(

二、填空题

n!1(把求的程序补充完整

“n=”，n

i =1

s=1

i< =n="">

s=s*i

i=i+1

PRINT s

END

2(用“冒泡法”给数列1,5,3,2,7,9按从大到小进行排序时，经过第一趟排序后得到的新

数列为。

54323(用“秦九韶算法”计算多项式，当x=2时的值的f(x),5x，4x，3x，2x，x，1

第 2 页 共 2 页

过程中，要经过次乘法运算和次加法运算。

4(以下属于基本算法语句的是。

? INPUT语句;?PRINT语句;?IF-THEN语句;?DO语句;?END语句;

?WHILE语句;?END IF语句。

389化成四进位制数的末位是____________。 5(将

三、解答题

1(把“五进制”数转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数。 1234(5)

7654322(用秦九韶算法求多项式 f(x),7x，6x，5x，4x，3x，2x，x

x,3当时的值。

3(编写一个程序，输入正方形的边长，输出它的对角线长和面积的值。

330.3034(某市公用电话(市话)的收费标准为:分钟之内(包括分钟)收取元;超过

0.10分钟部分按元/分钟加收费。设计一个程序，根据通话时间计算话费。

新课程高中数学训练题组

(数学3必修)第一章:算法初步 [综合训练B组]

一、选择题

4593571(用“辗转相除法”求得和的最大公约数是( )

391751A( B( C( D(

x,22(当时，下面的程序段结果是 ( )

i=1

s=0

WHILE i<=4>

s=s*x+1

i=i+1

WEND

PRINT s 第 3 页 共 3 页 END

371517A( B( C( D(

3(利用“直接插入排序法”给按从大到小的顺序排序， 8,1,2,3,5,7

3当插入第四个数时，实际是插入哪两个数之间 ( )

8855A(与 B(与 C(与 D(与 12214(对赋值语句的描述正确的是 ( )

?可以给变量提供初值 ?将表达式的值赋给变量

?可以给一个变量重复赋值 ?不能给同一变量重复赋值

A(??? B(?? C(??? D(??? 5(在repeat 语句的一般形式中有“until A”,其中A是 ( )

A( 循环变量 B(循环体 C(终止条件 D(终止条件为真 6(用冒泡排序法从小到大排列数据 13,5,9,10,7,4

需要经过( )趟排序才能完成。

567A(4 B( C( D(

二、填空题

11000,内所有奇数的和; 1(根据条件把流程图补充完整，求

(1) 处填

(2) 处填

开始

i:=1,S:=0

否 i<1000>

是

(1) 输出S

结束 (2)

b,7a,3a2(图中所示的是一个算法的流程图，已知，输出的,则的值是____________。 12

第 4 页 共 4 页

3(下列各数 、 、 、 中最小的数是____________。 852101000111111(9)(6)(4)(2)

1111开始 4(右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断 ，，，？，24620

s : = 0 框内应填入的条件是____________。

i : = 1 5(用直接插入排序时对:进行从小到大排序时,第四步 7,1,3,12,8,4,9,10

1得到的一组数为: ___________________________________。 s:,s，2i三、解答题

i : = i+1 1234...100，，，，，1(以下是计算程序框图,请写出对应的程序。

否

是

输出s

结束

2x,0,x,4,

,y,8,4,x,82(函数，写出求函数的函数值的程序。 ,

,2(12,x),8,x,12,

3(用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.

第 5 页 共 5 页

4(意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.

新课程高中数学训练题组

(数学3必修)第一章:算法初步

[提高训练C组]

一、选择题

1.下列给出的赋值语句中正确的是( )

BA,,34,MMM,,A( B( C( D( xy，,0

n=5 2.给出以下四个问题,

s=0 6x?, 输出它的相反数. ?求面积为的正方形的周长.

WHILE s<15 三个数abc,,中输入一个数的最大数.="" s="s+n">

n=n,1

WEND

PRINT n

第 6 页 共 6 页 END (第3题)

xx,,1,0, ?求函数的函数值. fx(),,xx，,2,0,

其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )

3A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 124

3(右边程序执行后输出的结果是( )

0A. B( C( D( ,112

4.用冒泡法对从小到大排序，需要()趟排序。 43,34,22,23,54

35A.B.C . D. 24

5. 右边程序运行后输出的结果为( ) a=0

505250 A. B. C. D. j=1

WHILE j<=5>

a=(a+j) MOD 5

j=j+1

WEND

PRINT a

END

第5题

6(用冒泡法对一组数:进行排序时,经过多少趟排序后,得到这一组数: 37,21,3,56,9,7

( ) 3,9,7,21,37,56

3524 A. B. C. D. 二、填空题 INPUT“a，b，c =”;a，b，c

IF b>a THEN 1(三个数的最大公约数是72,120,168

t=a _________________。 a=b

111.112. 二进制数转换成十进制数是b=t

_________________. END IF 3. 下左程序运行后输出的结果为_______________. IF c>a THEN

t=a x,5 a=c

c=t y,,20

END IF x,0IF THEN IF c>b THEN

t=b xy,,3

b=c

ELSE c=t 第 7 页 共 7 页 END IF yy,，3

PRINT a，b，c

END IF END PRINT x,y ; y,x

END

4(上右程序运行后实现的功能为_______________. 三、解答题

1(已知一个三角形的三边边长分别为， 设计一个算法，求出它的面积。 2,3,4

5c,0.0012x,3x，1,0(用二分法求方程在上的近似解，精确到，写出算法。画(0,1)

出流程图，并写出算法语句.

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(数学3必修)第二章:统计

[基础训练A组]

第 8 页 共 8 页

一、选择题

101(名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,

b数为,中位数为,众数为，则有( ) ac

a,b,cb,c,aA( B(

c,a,bc,b,aC( D(

2(下列说法错误的是 ( )

A(在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体

B(一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C(平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D(一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

30105153(某同学使用计算器求个数据的平均数时，错将其中一个数据输入为，

那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )

3.5,3A( B(

3,0.5C( D(

4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( )

A. 平均数 B.方差

C.众数 D.频率分布

160 6065(要从已编号()的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，

6用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是( )

A( B( C( D( 5,10,15,20,25,303,13,23,33,43,531,2,3,4,5,62,4,8,16,32,48

10086(容量为的样本数据，按从小到大的顺序分为组，如下表:

组号 1 2 3 4 5 6 7 8

频数 10 13 x 14 15 13 12 9

第三组的频数和频率分别是 ( )

1110.140.140.141414A(和 B(和C(和 D(和 14314

二、填空题

20001001(为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取名运动员;就这个问题，下列说法中正确的有 ;

2000100? 名运动员是总体;?每个运动员是个体;?所抽取的名运动员是一个样本;

100?样本容量为;?这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;?每个运动员被抽到的概率相等。

2(经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执

12“一般”态度的比“不喜欢”态度的多人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄

321影，如果选出的位“喜欢”摄影的同学、位“不喜欢”摄影的同学和位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人。

70,71,72,733(数据的标准差是______________。

第 9 页 共 9 页

24(数据的方差为，平均数为，则 ,,aaaa,,,...,123n

(1)数据的标准差为 ， kabkabkabkabkb，，，，,,,,...,,(0)123n

平均数为 (

(2)数据的标准差为 ，kabkabkabkabkb(),(),(),...,(),(0)，，，，,123n

平均数为 。

5(观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的2700,3000，,频率为 。

频率/组距

0.001

0 2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重

三、解答题

501(对某校初二男生抽取体育项目俯卧撑，被抽到的名学生的成绩如下:

成绩(次) 10 9 8 7 6 5 4 3

人数 8 6 5 16 4 7 3 1

试求全校初二男生俯卧撑的平均成绩。

2(为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下:

组 别 频数 频率

145.5,149.5 1 0.02

149.5,153.5 4 0.08

153.5,157.5 20 0.40

157.5,161.5 15 0.30

161.5,165.5 8 0.16

M n 165.5,169.5

合 计 M N

mnMN,,,(1)求出表中所表示的数分别是多少,

第 10 页 共 10 页

(2)画出频率分布直方图.

(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多,

10003( 某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为

1857560的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有多少

学生,

104(从两个班中各随机的抽取名学生，他们的数学成绩如下:

甲班 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68

乙班 86 84 62 76 78 92 82 74 88 85

画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况。

新课程高中数学训练题组

(数学3必修)第二章:统计

[综合训练B组]

一、选择题

2,aaaa,,,...,2,2,2,...,2aaaa1(数据的方差为，则数据的方差为( ) 123n123n

2,222 ,2,4,A( B(C(D( 2

第 11 页 共 11 页

270108812(某初级中学有学生人，其中一年级人，二、三年级各人，现要利用抽样方法10取人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为;使用系统1,2,...,270

10抽样时，将学生统一随机编号，并将整个编号依次分为段.如果抽得号码有下1,2,...,270

列四种情况:

?7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;

?5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;

?11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;

?30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;

关于上述样本的下列结论中，正确的是( )

A(?、?都不能为系统抽样 B(?、?都不能为分层抽样

C(?、?都可能为系统抽样 D(?、?都可能为分层抽样

403(一个容量为的样本数据分组后组数与频数如下:,25，25.3)，6;,25.3，25.6)，4;,25.6，25.9)，10;,25.9，26.2)，8;,26.2，26.5)，8;,26.5，26.8)，4;则样本在 ,25，25.9)上的频率为( )

3111A( B( C( D( 201024

4(设有一个直线回归方程为，则变量增加一个单位时( ) xyx,,21.5

1.52A(平均增加个单位 B(平均增加个单位 yy

1.52C(y平均减少个单位 D(y平均减少个单位 5(在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下:

9.48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ()

A( B( C( D( 9.4,0.4849.4,0.0169.5,0.049.5,0.016

二、填空题

102xy,1(已知样本的平均数是，标准差是，则. 9,10,11,,xy

200.252(一个容量为的样本，已知某组的频率为，则该组的频数为__________。

10025203(用随机数表法从名学生(男生人)中抽取人进行评教，某男生

被抽取的机率是___________________。

204( 一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表:

组,，,，,，,，,，,，10,2020,3030,4040,5050,6060,70 距

第 12 页 共 12 页

频 2 3 4 5 4 2

数

则样本在区间 上的频率为__________________。 ,,,50，，

2854815(某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为调查身体健康状况，需要从中抽

36取一个容量为的样本，用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取 _________人、人、人。

三、解答题

51(对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如下:

问:甲、乙谁的平均成绩最好,谁的各门功课发展较平衡,

49040350401402(某学校共有教师人，其中不到岁的有人，岁及以上的有人。为了了

70解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为

40人的样本进行普通话水平测试，其中在不到岁的教师中应抽取的人数为多少人,

2003(已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率 频率

组距 分布直方图如右图所示，求时速在的汽车 [60,70]0.04

0.03 大约有多少辆,

0.02

0.01

时速(km) 40 50 60 70 80 新课程高中数学训练题组

(数学3必修)第二章:统计

[提高训练C组]

一、选择题

1501545901(某企业有职工人，其中高级职称人，中级职称人，一般职员人，

30现抽取人进行分层抽样，则各职称人数分别为()

A(5,10,15 B(3,9,18C(3,10,17 D(5,9,16

Nn2. 从个编号中抽取个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，

第 13 页 共 13 页

则分段间隔应为( )

NNN，，，， A( B( C( D. n，1,,,,nnn，，，，

505053. 有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样 1

确定所抽取的编号为( )

A( B( 5,10,15,20,255,15,20,35,40

C( D( 5,11,17,23,2910,20,30,40,504(用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是( )

A(总体容量越大，估计越精确 B(总体容量越小，估计越精确

C(样本容量越大，估计越精确 D(样本容量越小，估计越精确 5(对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是( )

r A(越大，相关程度越大

r,，,0,rr B(，越大，相关程度越小，越小，相关程度越大 ，，

01r,1rr C(且越接近于，相关程度越大;越接近于，相关程度越小

D(以上说法都不对

二、填空题

1(相关关系与函数关系的区别是(

1200402(为了了解名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样

k考虑用系统抽样，则分段的间隔为_______________

103(从个篮球中任取一个，检验其质量，则应采用的抽样方法为_______________。

104a4(采用简单随机抽样从含个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体 前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为_____________________

55(甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打发子弹，命中环数如下

甲 6 8 9 9 8

乙 10 7 7 7 9 则两人射击成绩的稳定程度是__________________。

第 14 页 共 14 页

三、解答题

601(如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩(均为整数)整理后画出的

频率分布直方图如下:观察图形，回答下列问题:

79.589.5 (1)这一组的频数、频率分别是多少,

60(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(分及以上为及格)

2(以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据: yx

(1)画出数据对应的散点图;

(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线;

2150m(3)据(2)的结果估计当房屋面积为时的销售价格.

新课程高中数学训练题组 根据最新课程标准，参考独家内部资料， 精心编辑而成;本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

欢迎使用本资料～

(数学3必修)第三章:概率

[基础训练A组]

第 15 页 共 15 页

一、选择题

1(下列叙述错误的是( )

A( 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，

频率一般会越来越接近概率

B( 若随机事件发生的概率为，则 A，，，，pA0,pA,1

C( 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

5D(张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 2(从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( )

111A( B( C( D(无法确定 428

533(有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条， 1,3,5,7,9

3则所取条线段能构成一个三角形的概率为( )

1317A( B( C( D( 1010210

1034(从122个同类产品(其中个是正品，个是次品)中任意抽取个的必然事件是( )

31A. 个都是正品 B.至少有个是次品

31个都是次品 D.至少有个是正品 C.

5(某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.030.01,出现丙级品的概率为,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )

0.090.98A( B(

0.970.96C( D(

0.36(从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为，质量小于的概率4.8g4.85g

0.32g为，那么质量在( )范围内的概率是( ) ,，4.8,4.85

0.620.380.020.68A( B( C( D(

二、填空题

0.9921(有一种电子产品，它可以正常使用的概率为，则它不能正常使用的概率是。

092(一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为___ 3(同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是。

4(从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，

一件次品的概率是。

55(在张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能

52被或 整除的概率是。

三、解答题

1(从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求:

(,)甲被选中的概率

第 16 页 共 16 页

(,)丁没被选中的概率

1082(现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品: 2

3(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率;

33(2)如果从中一次取件，求件都是正品的概率(

53(某路公共汽车分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间

3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)( 少于

3054(一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为

40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯

新课程高中数学训练题组

(数学3必修)第三章:概率 [综合训练B组]

一、选择题

1001001001(同时向上抛个铜板，落地时个铜板朝上的面都相同，你认为对这个铜板下面情况更可能正确的是( )

100,(这个铜板两面是一样的

100,(这个铜板两面是不同的

1005050,(这个铜板中有个两面是一样的，另外个两面是不相同的

1002080,(这个铜板中有个两面是一样的，另外个两面是不相同的

第 17 页 共 17 页

0.422(口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，1

0.28摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是( )

0.420.280.30.7A( B( C( D(

3(从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) 222

A(至少有一个黒球与都是黒球 B(至少有一个黒球与都是黒球 C(至少有一个黒球与至少有个红球 D(恰有个黒球与恰有个黒球 112

4030mm30mm4(在根纤维中，有根的长度超过，从中任取一根，取到长度超过的纤12

维的概率是( )

123012A( B( C( D(以上都不对 404030

5(先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是( )

1357A( B( C( D( 8888

6(设为两个事件，且，则当( )时一定有 ，，，，PA,0.3PB,0.7AB,

A,BA(A与B互斥 B(A与B对立 ,( ,(A不包含B 二、填空题

20019281(在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件:

2009件产品中任意选出件，全部是一级品; ?在这

2009?在这件产品中任意选出件，全部是二级品;

2009?在这件产品中任意选出件，不全是一级品;

2009100?在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于， 其中 是必然事件; 是不可能事件; 是随机事件。 2(投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____。

53(在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________。 (0,1)6

500ml2ml4(在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________。

三、解答题

3111(袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次(求:

3? 只全是红球的概率;

3? 只颜色全相同的概率;

3? 只颜色不全相同的概率(

第 18 页 共 18 页

82(抛掷颗质地均匀的骰子，求点数和为的概率。 2

33(从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛, 42

3?求所选人都是男生的概率;

3?求所选人恰有名女生的概率; 1

3?求所选人中至少有1名女生的概率。

2a4(平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，ra,

求硬币不与任何一条平行线相碰的概率(

新课程高中数学训练题组参考答案

数学3(必修)第一章 算法初步 [基础训练A组] 一、选择题

1.C 算法的特点:有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性 2.D 任何一个算法都有顺序结构，循环结构一定包含条件结构，二分法用到循环结构

bc,17bb,8ca3.B 先把的值赋给中间变量，这样，再把的值赋给变量，这样，

a,17ca把的值赋给变量，这样

3bb411aa4.B 把赋给变量，把赋给变量，把赋给变量，把赋给变量，输出ab,

2,10aa,,y,5.D 该程序揭示的是分段函数的对应法则 ,2aa,10,,

第 19 页 共 19 页

二、填空题

1. INPUT，WHILE，WEND 2.注意是从大到小 5,3,2,7,9,13. 来自课本上的思考题:一元次多项式问题 n5,5

4. ?，?，?，?，? 基本算法语句的种类

4389余

4971

42415. ， ，末位是第一个余数，注意:余数自下而上排列 138912011,(4)460

412

01

三、解答题

32101. 解: 123415253545194,，，，，，，，,(5)

8194余

8242 ？,194302？(8)830

03

2. 解: fxxxxxxx()((((((76)5)4)3)2)1),，，，，，，VVVV,,，，,,，，,,，，,7,73627,273586,8634262,0123

？,f(3)21324VV,，，,,，，,26236789,789322369,45

VV,，，,,，，,2369317108,71083021324,67

INPUT3. 解: "";aa,

lSQRa,,(2)

saa,,

PRINT "";,"";llss,,

END

TNPUT4. 解:"";通话时间t

t,,3andt,0THENIF c,0.30

ELSEct,，,,0.300.10(3) ENDIF

PRINT"";通话费用c

第 20 页 共 20 页

END

数学3(必修)第一章 算法初步 [综合训练B组] 一、选择题

1.D 4593571102,357102351,102512,，，,，，,，

5110251459357是和的最大公约数，也就是和的最大公约数 2.C 0211,1213,3217,72115，，,，，,，，,，，,

833.B 先比较与，得;把插入到，得;把插入到，得; 128,18,18,2,18,2,18,3,2,1

4.A 见课本赋值语句相关部分

5.D Until标志着直到型循环，直到终止条件成就为止

6.B 经过第一趟得;经过第二趟得;经过第三趟得 5,9,10,7,4,135,9,7,4,10,13

;经过第四趟得;经过第五趟得; 5,7,4,9,10,135,4,7,9,10,134,5,7,9,10,13

二、填空题

ii,，2ssi,，1.(1)(2)

aa，1211,,7,11a2. 22

22102616078,，，，，,3.1111118589577,，，, 、 、 (2)(9)(6)

3543210001464,，,1111111212121212163,，，，，，，，，，，, 、 (4)(2)

i,104.

5.?;?; 1,3,7,8,12,4,9,101,7,3,12,8,4,9,101,3,7,12,8,4,9,10

?;? 1,3,7,12,8,4,9,101,3,7,8,12,4,9,10

三、解答题

1.解: i=1

sum=0

WHILE i<=100>

sum=sum+i

i=i+1

WEND

PRINT sum

END

2.解:INPUT “x=”;x

IF x>=0 and x<=4 then="">

y=2x ,

ELSE IF x<=8 then="">

y=8

第 21 页 共 21 页

ELSE y=2*(12-x)

END IF

END IF

PRINT y

END

3.解: 324=243×1，81

243=81×3，0

则 324与 243的最大公约数为 81

又 135=81×1，54

81=54×1，27

54=27×2，0

则 81 与 135的最大公约数为27

所以,三个数 324、243、135的最大公约数为 27.

另法 32424381,24381162,1628181;,,,,,,

1358154,815427,542727,,,,,,

？27为所求。

114.解: 根据题意可知,第一个月有对小兔,第二个月有对成年兔子,第三个月有两对兔子,从

NF个月有对兔子,第第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N,1SN,2N，1个月有对兔子,第个月有对兔子,则有,一个月后,即第个QFSQ,，

SNF月时,式中变量的新值应变第个月兔子的对数(的旧值),变量的新值应变为第QN,1SN，1F个月兔子的对数(的旧值),这样,用求出变量的新值就是个月兔子SQ，

12的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第项就是年底应有兔子对数,我们可以先

I1确定前两个月的兔子对数均为,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的从

312F1逐次增加,一直变化到,最后一次循环得到的就是所求结果. 流程图和程序如下:

开始

S=1

Q=1 S=1 Q=1 I=3

WHILE I<=12>

F=S+Q I=3 Q=S

S=F

I=I+1 N I?12 WEND

PRINT F Y END

F=S+Q 输出F

第 22 页 共 22 页 Q=S

S=F 结束

I=I+1

数学3(必修)第一章 算法初步 [提高训练C组]

一、选择题

1.B 赋值语句的功能

2.A 仅?不需要分情况讨论，即不需要用条件语句 3.D 543215,5432115，，，,，，，，,

4.A ?;? 34,22,23,43,5422,23,34,43,545.D jajajajaja,,,,,,,,,,1,1;2,3;3,1;4,0;5,06.B 经过一趟得:;经过二趟得:; 37,21,3,56,9,721,3,37,9,7,563,21,9,7,37,56

经过三趟得: 3,9,7,21,37,56二、填空题

241. 12072148,7248124,48242,168247,，，,，，,，,，

1121012,,7.75,，，，，，，，，，,，，，，2. 111.111212121212421243. 4.将按从大到小的顺序排列后再输出 22,22,abc,,

三、解答题

1. 解:第一步:取 abc,,,2,3,4

abc，，p,第二步:计算 2

第三步:计算 Sppapbpc,,,,()()()

S第四步:输出的值

2.解:算法如下:

1x,(a，b)1、取[,]ab中点，将区间一分为二 02

*xf(x),0xx2、若，则就是方程的根;否则所求根在的左侧或右侧 000

*f(a)f(x),0xa若x,(x,b)，则，以代替; 000

*bf(a)f(x),0xx,(a,x)若，则，以代替; 000

第 23 页 共 23 页

3、若，计算终止 abc,,

*此时，否则转到第1步 x,x0算法语句: Input abc,,

ab， x,02

5 faaa()31,,，

5 fxxx()31,,，000

repeat if f(x),00

then print x0else

if f(a)f(x),00then bx,0else ax,0

abc,,until

print x 0

end

第 24 页 共 24 页

流程图: 新课程高中数学训练题组参考答案

数学3(必修)第二章 统计 [基础训练A组] 一、选择题

17c,171.D 总和为;样本数据分布最广，即频率最大，为众数，; 147,14.7a,

b,15 从小到大排列，中间一位，或中间二位的平均数，即 2.B 平均数不大于最大值，不小于最小值

903,390,3,,3.B 少输入平均数少，求出的平均数减去实际的平均数等于 30

6010,104.D 5.B ，间隔应为 6

第 25 页 共 25 页

146.A 频数为;频率为 ,0.14100(1013141513129)14,，，，，，，,100二、填空题

20001.?，?，?名运动员的年龄情况是总体;每个运动员的年龄是个体; 3332.位执“一般”对应位“不喜欢”，即“一般”是“不喜欢”的倍，而他们的差为112

1866人，即“一般”有人，“不喜欢”的有人，且“喜欢”是“不喜欢”的倍，

13054即人，全班有人， 30543,，,2

70717273，，，53. X,,71.5,24

152222 s,,，,，,，,,[(7071.5)(7171.5)(7271.5)(7371.5)]42

4((1)，(2)， k,k,kb,，kkb,，

kabkabkabaaa，，，，，，，，，......1212nn (1), Xkbkb,,,，,，nn

1222skabkbkabkbkabkb,，,,，，,,，，，,,,,,[()()...()]n12n

1222,,，,，，,,kaaak[()()...()],,,,n12n

kabkabkabaaa()()...()...，，，，，，，，，1212nn,(2) Xknbknb,,,，,，nn

1222skakbkkbkakbkkbkakbkkb,，,,，，,,，，，,,,,,[()()...()]n12n

1222,,，,，，,,kaaak[()()...()],,,,n12n

0.3,0.001,300,，,0.0013000.35. 频率/组距，组距，频率 三、解答题

108968571664574331360，，，，，，，，，，，，，，，X,,,7.21.解: 5050

1Mm,,,,，，，，,50,50(1420158)22.解:(1) 0.02

2Nn,,,1,0.04 50

153.5157.5 (2)…(3)在范围内最多。

3.解:从高三年级抽取的学生人数为185(7560)50,，,

5011,1853700,, 而抽取的比例为，高中部共有的学生为 100020204.解:

甲班 乙班

第 26 页 共 26 页 2 5 6 6 2

8 6 6 4 2 7 4 6 8

2 8 2 4 5 6 8

6 9 2

乙班级总体成绩优于甲班。

第二章 统计 [综合训练B组]一、选择题

nnn111222221.D ,,,,,,,,,XXXXXX(),(22)4()4,,,,iiinnn,,,111iii

27302.D ?的间隔为，可为系统抽样;?的第一个数为，不符合系统抽样，因为间隔

27127 为，?的第一个数应该为;分层抽样则要求初一年级应该抽取4人，号码

1108 111在，所以?中的不符合分层抽样

3.C ,25，25.9,包括,25，25.3,，6;,25.3，25.6,，4;,25.6，25.9,，10;频数之和

20120,为，频率为 402

4.C

n9.439.69.4，，，1122225.D ， X,,9.5,,,,，，,XX()(0.140.2)0.016,Xi5n5,1i

二、填空题

22961.，， 9101150,20，，，，,，,xyxy11(10)(10)10，，,，,,xy

222 xyxyxyxyxyxy，,，,,，,,，,,,,20()192,()220()192,96

频数12015频率=,2(3. 每个个体被抽取的机率都是 51005样本容量

140.7,0.74. 20

36363661218，，28548116328654128118，，,，,，,，,，，，，5( 总人数为 163163163三、解答题

1x,(60，80，70，90，70),741. 解: 甲5

1x,(80，60，70，80，75),73 乙5

1222222s,(14，6，4，16，4),104 甲5

1222222s,(7，13，3，7，2),56 乙5

22x,x，s,s? 甲乙乙甲

第 27 页 共 27 页

? 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡

701402. 解:而抽取的比例为，在不到岁的教师中应抽取的人数为 ,,4907

1 35050，,7

0.04100.4，,3. 解:在的汽车的频率为， [60,70]

2000.480，,在的汽车有 [60,70]

第二章 统计 [提高训练C组]一、选择题

3011111.B 抽取的比例为 ,，,，,，,,153,459,90181505555

2.C 剔除零头

103.D 间隔为 4.C 5.C 见课本相关内容

二、填空题

1.函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确

定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性。

1200302. 40

3.简单随机抽样 总体个数较少

114. 不论先后，被抽取的概率都是 1010

22225(甲比乙稳定 甲稳定性强 XX,,,,,8,8,1.2,1.6,,而,,,,乙乙乙XXXX甲甲甲

三、解答题

0.025100.25，,600.2515，,1. 解:(1)频率为:，频数:

0.015100.025100.03100.005100.75，，，，，，，,(2) 2. 解:(1)数据对应的散点图如图所示:

5512(2)，， x,x,109l,(x,x),1570,,ixxi5i,i,11

5

y,23.2,l,(x,x)(y,y),308,xyii,i1

第 28 页 共 28 页

:设所求回归直线方程为， y,bx，a

l308xy则 b,,,0.1962l1570xx

308 a,y,bx,23.2,109，,1.81661570

:故所求回归直线方程为 y,0.1962x，1.8166

2(3)据(2)，当时，销售价格的估计值为: xm,150

:(万元) y,0.1962，150，1.8166,31.2466

第三章 概率 [基础训练A组]一、选择题

1.A 频率所稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，

2CA包含的基本事件的个数132.B PA(),,,2基本事件的总数C243.B 能构成三角形的边长为三种， (3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),

A包含的基本事件的个数33 PA(),,,3基本事件的总数C1054.D 至少有一件正品 5.D PAPA()1()10.040.96,,,,,

0.320.30.02,,6.C

二、填空题

0.0081. PAPA()1()10.9920.008,,,,,

A包含的基本事件的个数11PA(),,2. 10基本事件的总数10

1C，1115153. 4. PA(),,,234C1536

443AA，2344535.，或者:个位总的来说有种情况，符合条件的有种 PA(),,55A55

三、解答题

1C313A1. 解:(1)记甲被选中为事件，则 PA(),,,2C624

第 29 页 共 29 页

11 (2)记丁被选中为事件，则 BPBPB()1()1,,,,,22

3102. 解:(1)有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，xyz,,(,,)xyz

33所以试验结果有种;设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事A10101010，，,

383件共有种，因此， 8888，，,PA()0.512,,310

3(2)可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则x(,,)xyz10981098720，，,有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种(设yz

3363876，，事件B为“件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为, 所以 PB(),7203. 解:可以认为人在任何时刻到站是等可能的。设上一班车离站时刻为，则该人到站的a

3时刻的一切可能为，若在该车站等车时间少于分钟，则到站的时刻为,,，(,5)aa

g的长度3PA(),,，。 gaa,，，(2,5),的长度5

3054075，，,AB4. 解:总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，

构成事件A的时间长度302PA(),,,(1)出现红灯的概率 总的时间长度755

构成事件B的时间长度51PB(),,,(2)出现黄灯的概率 总的时间长度7515

23PAPA()1()1,,,,,(3)不是红灯的概率 55

第三章 概率 [综合训练B组]一、选择题

1111100，，，,...1.A 假设正反两面是不同的，则相同的面次都朝上的概率为 1002222

这个概率太小了，几乎是不可能事件

2.C 1(0.420.28)0.3,，,

4030mm40123.D 4. B 在根纤维中，有根的长度超过，即基本事件总数为，且它

1212们是等可能发生的，所求事件包含个基本事件，故所求事件的概率为 40

1117,,,,15.D 至少一次正面朝上的对立事件的概率为 32888

6.B 对立事件

二、填空题

第 30 页 共 30 页

1.?,?; ?; ?

3111132. 其对立事件为都出现奇数点， ，,,,,1422444

5

52560.0043. 4. ,0.004,12500212

三、解答题

111111.解:?每次抽到红球的概率为 ,P,，，,22228

111?每次抽到红球或黄球 P,，,884

13?颜色不全相同是全相同的对立， P,,,144

662.解:在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，?，点种不同的结果，

6636，,我们把两颗骰子标上记号以便区分，因此同时掷两颗骰子的结果共有，在上1,2

85面的所有结果中，向上的点数之和为的结果有，共种，(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

5所以，所求事件的概率为. 36

33.解:基本事件的总数为 C,206

4133?所选人都是男生的事件数为 CP,,,4,4205

1232131?所选人恰有女生的事件数为CCP，,,,12, 42205

411232CCP，,,,4,?所选人恰有女生的事件数为 42205

31431，,所选人中至少有名女生的概率为 M 555

4. 解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事

OA件，为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠得最近

OMM的平行线引垂线，垂足为，如图所示，这样线

OMOM段长度(记作)的取值范围就是，只有[0,]a2a r o

rOMa,,当时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是

a,r(,]ra的长度= PA(),a[0,]a的长度

第 31 页 共 31 页

高中数学必修三知识点总结与例题精讲

一:随机事件的概率

(1) 必然事件 :在条件 S 下 , 一定会发生的事件 , 叫相对于条件 S 的必然事件 (certain event ) , 简称必然事件 .

(2)不可能事件 :在条件 S 下 , 一定不会发生的事件 , 叫相对于条件 S 的不可能事件 (impossible event) , 简称不可能事件 .

(3)确定事件 :必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件 .

(4)随机事件 :在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件 , 叫相对于条件 S 的随机事件 (random event) , 简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事件 , 用 A,B,C,?表示 .

(5)频数与频率 :在相同的条件 S 下重复 n 次试验 , 观察某一事件 A 是否出现 , 称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 n a 为事件 A 出现的频数 (frequency ) ; 称事件 A 出现的比例 f n (A)=n

n A

为事件 A 出现的频率(relative frequency ) ; 对于给定的随机事件 A, 如果随着试验次数的 增加 , 事件 A 发生的频率 f n (A)稳定在某个常数上 , 把这个常数记作 P (A ) , 称为事件 A 的概 率(probability ) .

(6)频率与概率的区别与联系 :随机事件的频率 , 指此事件发生的次数 A n 与试验总次数 n 的比值 n

n A , 它具有一定的稳定性 , 总在某个常数附近摆动 , 且随着试验次数的不断增多 , 这 种摆动幅度越来越小 . 我们把这个常数叫做随机事件的概率 , 概率从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小 . 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 .

频率是概率的近似值 , 随着试验次数的增加 , 频率会越来越接近概率 . 在实际问题中 , 通 常事件的概率未知 , 常用频率作为它的估计值 .

频率本身是随机的 , 在试验前不能确定 . 做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同 .

概率是一个确定的数 , 是客观存在的 , 与每次试验无关 . 比如 , 一个硬币是质地均匀的 , 则 掷硬币出现正面朝上的概率就是 0.5, 与做多少次实验无关 .

例 1 为了估计水库中的鱼的尾数 , 可以使用以下的方法 , 先从水库中捕出一定数量的鱼 , 例 如 2 000尾 , 给每尾鱼作上记号 , 不影响其存活 , 然后放回水库 . 经过适当的时间 , 让其和水库 中其余的鱼充分混合 , 再从水库中捕出一定数量的鱼 , 例如 500尾 , 查看其中有记号的鱼 , 设 有 40尾 .

试根据上述数据 , 估计水库内鱼的尾数 .

分析:学生先思考 , 然后交流讨论 , 教师指导 , 这实际上是概率问题 , 即 2 000尾鱼在水库中占 所有鱼的百分比 , 特别是 500尾中带记号的有 40尾 , 就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概 率为 500

40, 问题可解 . 解:设水库中鱼的尾数为 n,A={带有记号的鱼 },则有 P(A)=

n 2000. ① 因 P(A)≈ 500

40, ② 由①②得 500

402000 n , 解得 n≈25 000. 所以估计水库中约有鱼 25 000尾 .

二:概率的意义

1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述, 概率越大随机事件发生的可能性越

大,概率越小随机事件发生的可能性就越小。对于高概率的事件也有可能不 会发生,低概率的事件也有可能会发生 。

例如:1、 如果某种彩票中奖的概率为 1000

1, 那么买 1 000张彩票一定能中奖吗 2、 “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下 , 天气预报也太不准确 了.”学了概率后 , 你能给出解释吗?

答 :1、不一定能中奖 , 因为买 1 000张彩票相当于做 1 000次试验 , 因为每次试验的结果 都是随机的 , 即每张彩票可能中奖也可能不中奖 , 因此 ,1 000张彩票中可能没有一张中奖 , 也 可能有一张、两张乃至多张中奖 .

2、 天气预报的“降水”是一个随机事件 , 因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的 降水概率为 90%”的天气预报是错误的 .

三:概率的基本性质

若 A 、 B 为随机事件,则

①如果事件 A 发生 , 则事件 B 一定发生 , 这时我们说 事件 B 包含事件 A (或事件 A 包含于事件

B ) , 记为 B ?A (或 A ?B ) , 不可能事件记为 ?, 任何事件都包含不可能事件 .

②如果事件 A 发生 , 则事件 B 一定发生 , 反之也成立 , (若 B ?A 同时 A ?B ) , 我们说这 两个事 件相等 , 即 A=B.

③如果某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生 , 则称此事件为事件 A 与 B 的 并事件 (或 和事件) , 记为 A∪B 或 A+B.

④如果某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生 , 则称此事件为事件 A 与 B 的 交事件 (或 积事件 ) , 记为 A∩B 或 AB.

⑤如果 A∩B 为不可能事件(A∩B=?) , 那么称 事件 A 与事件 B 互斥 , 即事件 A 与事件 B 在 任何一次试验中不会同时发生 .

⑥如果 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件 , 那么称 事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 即事件 A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生 .

基本性质:

(1)概率的取值范围是 0— 1之间 , 即 0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率是 1. 如在掷骰子试验中 ,E={出现的点数小于 7},因此 P(E)=1.

(3)不可能事件的概率是 0, 如在掷骰子试验中 ,F={出现的点数大于 6},因此 P(F)=0.

(4)当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数与事件 B 发生的频 数之和 , 互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和 , 即 P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是 概率的加法公式 . 也称互斥事件的概率的加法公式 .

(5)事件 A 与事件 B 互为对立事件,A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,P(A∪B)=1.所以 1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中 , 事件 G={出现的点数为偶数 }与 H={出现的点数为奇数 }互为对立事件 , 因此 P(G)=1-P(H).

例题:

1. 一口袋内装有大小一样的 4只白球与 4只黑球 , 从中一次任意摸出 2只球 . 记摸出 2只白球 为事件 A, 摸出 1只白球和 1只黑球为事件 B. 问事件 A 和 B 是否为互斥事件?是否为对立事 件?

解:事件 A 和 B 互斥,因为从中一次可以摸出 2只黑球 , 所以事件 A 和 B 不是对立事件 .

2. 在一个盒子内放有 10个大小相同的小球 , 其中有 7个红球、 2个绿球、 1个黄球 , 从中任取 一个球 , 求:

(1)得到红球的概率;

(2)得到绿球的概率;

(3)得到红球或绿球的概率;

(4)得到黄球的概率 .

(5) “ 得到红球 ” 和 “ 得到绿球 ” 这两个事件 A 、 B 之间有什么关系 , 可以同时发生吗?

(6) (3)中的事件 D“ 得到红球或者绿球 ” 与事件 A 、 B 有何联系?

答案:(1107 (251 (3109 (410

1 (5) 互斥事件 不可以 (6) P(D)=P(A)+P(B) 3. 在一只袋子中装有 7个红玻璃球 ,3个绿玻璃球 . 从中无放回地任意抽取两次 , 每次只取一个 . 试求:

(1)取得两个红球的概率;

(2)取得两个绿球的概率;

(3)取得两个同颜色的球的概率;

(4)至少取得一个红球的概率 .

答案:(1)157 (2) 151 (3)158 (4)15

14 4. 盒中有 6只灯泡 , 其中 2只次品 ,4只正品 , 有放回地从中任取两次 , 每次取一只 , 试求下列事件 的概率:

(1)取到的 2只都是次品;

(2)取到的 2只中正品、次品各一只;

(3)取到的 2只中至少有一只正品 .

解:从 6只灯泡中有放回地任取两只 , 共有 36种不同取法 .

(1)取到的 2只都是次品情况为 4种 . 因而所求概率为 9

1364=. (2)由于取到的 2只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品 , 第二次取到次品;及 第一次取到次品 , 第二次取到正品 . 因而所求概率为 P=9

423624=??. (3)由于 “ 取到的两只中至少有一只正品 ” 是事件 “ 取到的两只都是次品 ” 的对立事件 . 因而所求 概率为 P=9

8911=-. 5. 若 A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件 ,B 表示废品不少于两件的事件 , 试问对立事 件 A 、 B 各表示什么 ? 解:A 表示四件产品中没有废品的事件; B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事 件 .

6. 回答下列问题:

(1)甲、乙两射手同时射击一目标 , 甲的命中率为 0.65, 乙的命中率为 0.60, 那么能否得出结论:目标被命中的概率等于 0.65+0.60=1.25,为什么 ?

(2)一射手命中靶的内圈的概率是 0.25, 命中靶的其余部分的概率是 0.50, 那么能否得出结论:目标被命中的概率等于 0.25+0.50=0.75,为什么 ?

(3)两人各掷一枚硬币 ,“ 同时出现正面 ” 的概率可以算得为 2

21. 由于 “ 不出现正面 ” 是上述事件

的对立事件 , 所以它的概率等于 4

32112=-, 这样做对吗 ? 说明道理 . 解:(1)不能 . 因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥 .

(2)能 . 因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件 .

(3)不对 . 因为 “ 不出现正面 ” 与 “ 同时出现正面 ” 不是对立事件 , 故其概率和不为 1.

7. 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛 . 甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 73和 41. 试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率 . 答案:28

19 8. 在房间里有 4个人 . 问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少 ? 答案:96

41 9. 某单位 36人的血型类别是:A 型 12人 ,B 型 10人 ,AB 型 8人 ,O 型 6人 . 现从这 36人中任 选 2人 , 求此 2人血型不同的概率 . 答案:45

34 四:古典概型 1、基本事件 :随机事件的每一个可能结果,称为基本事件 . 例如:抛一枚硬币的基本事件 有, A=“正面朝上” , B=“反面朝上” 。

①任何两个基本事件是互斥的;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 .

2、古典概率模型

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性)

②每个基本事件出现的可能性相等 . (等可能性)

我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型 (classical models of probability ) , 简称古典概型 .

2、 古典概率模型的概率计算公式

古典概型计算 :事件 A 的概率计算公式为:

P (A ) =基本事件的总数

数 所包含的基本事件的个 A . 注意点:①要判断该概率模型是不是古典概型;

②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 . 例题:1、 向一个圆面内随机地投射一个点 , 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的 , 你

认为这是古典概型吗 ? 为什么?

答:不是,因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点 , 而圆内的点的个数是无限的,所以

试验的所有可能结果数是无限的 , 虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验 不满足古典概型的第一个条件 .

2、 如下图 , 某同学随机地向一靶心进行射击 , 这一试验的结果只有有限个:命中 10环、命 中 9环??命中 5环和不中环 . 你认为这是古典概型吗?为什么?

不是古典概型 , 因为试验的所有可能结果只有 7个 , 而命中 10环、命中 9环??命中 5环和不中环的出现不是等可能的 , 即不满足古典概型的第二个条件

练习:

1. 在 40根纤维中 , 有 12根的长度超过 30 mm,从中任取一根 , 取到长度超过 30 mm的纤维的概 率是( ) A. 4030 B. 4012 C. 30

12 D. 以上都不对 解析:在 40根纤维中 , 有 12根的长度超过 30 mm, 即基本事件总数为 40, 且它们是等可能发 生的 , 所求事件包含 12个基本事件 , 故所求事件的概率为

4012. 答案:B

2. 盒中有 10个铁钉 , 其中 8个是合格的 ,2个是不合格的 , 从中任取一个恰为合格铁钉的概率是

( ) A. 51 B. 41 C. 54 D. 10

1 解析:(方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10, 其中抽到合格铁钉(记为事件 A )包含 8个基本事件 , 所以 , 所求概率为 P (A ) =

54108=. (方法 2)本题还可以用对立事件 的概率公式求解 , 因为从盒中任取一个铁钉 , 取到合格品(记为事件 A )与取到不合格品(记 为事件 B )恰为对立事件 , 因此 ,P (A ) =1-P(B ) =5

41021=-. 答案:C

3. 在大小相同的 5个球中 ,2个是红球 ,3个是白球 , 若从中任取 2个 , 则所取的 2个球中至少有 一个红球的概率是 _____________.

解析:记大小相同的 5个球分别为红 1, 红 2, 白 1, 白 2, 白 3, 则基本事件为:(红 1, 红 2) , (红 1, 白 1) , (红 1, 白 2) , (红 1, 白 3) ,(红 2, 白 1),(红 2, 白 2), (红 2, 白 3) ,(白 1, 白 2), (白 1, 白

3),(白 2, 白 3) 共 10个 , 其中至少有一个红球的事件包括 7个基本事件 , 所以 , 所求事件的概率为 10

7. 本题还可以利用 “ 对立事件的概率和为 1” 来求解 , 对于求 “ 至多 ”“ 至少 ” 等事件的概率问题 , 常采用间接法 , 即求其对立事件的概率 P (A ) , 然后利用 P (A ) =1-P(A )求解 . 答案:10

7 4. 抛掷 2颗质地均匀的骰子 , 求点数和为 8的概率 .

解:在抛掷 2颗骰子的试验中 , 每颗骰子均可出现 1点 ,2点 ,…,6点 6种不同的结果 , 我们把两 颗骰子标上记号 1,2以便区分 , 由于 1,2号骰子分别有 6种不同的结果 , 因此同时掷两颗骰子的 结果共有 6×6=36种 , 在所有结果中 , 向上的点数之和为 8的结果有 (2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2) 5种 , 所以 , 所求事件的概率为 36

5. 5. 豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定 , 其中决定高的基因记为 D, 决定矮的基因记为 d, 则 杂交所得第一子代的一对基因为 Dd, 若第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的 , 求第二子代 为高茎的概率(只要有基因 D 则其就是高茎 , 只有两个基因全是 d 时 , 才显现矮茎) .

解:由于第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的 , 可以将各种可能的遗传情形都枚举出来 . Dd 与 Dd 的搭配方式共有 4种:DD,Dd,dD,dd, 其中只有第四种表现为矮茎 , 故第二子代为高 茎的概率为 4

3=0.75. 答:第二子代为高茎的概率为 0.75.

五:几何概型:

1、几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积 ) 成 比例 , 则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability) , 简称 几 何概型 .

2、 几何概型的基本特点:

a. 试验中所有可能出现的结果 (基本事件 ) 有无限多个;

b. 每个基本事件出现的可能性相等 .

3、几何概型的概率公式:

P(A ) =)

() (面积或体积 的区域长度 试验的全部结果所构成 面积或体积 的区域长度 构成事件 A . 4、 古典概型和几何概型的联系与区别 :

联系:两种概率模型的每个基本事件的发生都是等可能的 ;

区别 :古典概型的基本事件是有限的 , 而几何概型的基本事件是无限的 , 另外两种概型的概率 计算公式的含义也不同 .

例题:

例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型 , 还是几何概型 .

(1)抛掷两颗骰子 , 求出现两个“4点”的概率 ;

(2)如下图所示 , 图中有一个转盘 , 甲、乙两人玩转盘游戏 , 规定当指针指向 B 区域时 , 甲获 胜 , 否则乙获胜 , 求甲获胜的概率 .

解:(1)抛掷两颗骰子 , 出现的可能结果有 6×6=36种 , 且它们都是等可能的 , 因此属于古典 概型 ;

(2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果 , 而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率 可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量 , 即与区域长度有关 , 因此属于几何概型

.

点评:本题考查的是几何概型与古典概型的特点 , 古典概型具有有限性和等可能性 . 而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果 , 且与事件的区域长度有关 .

例 2 某人午休醒来 , 发觉表停了 , 他打开收音机想听电台整点报时 , 求他等待的时间短于 10分钟的概率

.

分析:假设他在 0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但是 0~60分钟 之间有无穷个时刻,所以不能用古典概型。因为电台每隔一小时报时一次,他在 0~60之间 任何一个时刻打开收音机是等可能的, 所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段 的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件

解:设 A={等待的时间不多于 10分钟 },我们所关心的时间 A 恰好是打开收音机的时 刻位于 [50,60]的时间段内,因此有

P(A)=(60-50)/60=1/6

变式训练

1、 某路公共汽车 5分钟一班准时到达某车站 , 求任一人在该车站等车时间少于 3分钟的 概率(假定车到来后每人都能上) .

解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的 . 设上一班车离站时刻为 a, 则某人到站的一切可 能时刻为 Ω=(a,a+5),记 A g ={等车时间少于 3分钟 },则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5)中 的任一时刻 , 故 P(Ag )=5

3=Ω的长度 的长度 g . 点评:通过实例初步体会几何概型的意义 .

2、 在 1万平方千米的海域中有 40平方千米的大陆架储藏着石油 , 假设在海域中任意一 点钻探 , 钻到油层面的概率是多少?

分析:石油在 1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的,而 40平方千米可看作 构成事件的区域面积 , 由几何概型公式可以求得概率 .

解:记“钻到油层面”为事件 A, 则 P(A)=0.004.

答:钻到油层面的概率是 0.004.

几种常见的几何概型:

1. 与长度有关的几何概型

例 1 有一段长为 10米的木棍 , 现要将其截成两段 , 要求每一段都不小于 3米 , 则符合要求的截 法的概率是多大?

分析:由于要求每一段都不小于 3米 , 也就是说只能在距两端都为 3米的中间的 4米中截 , 这 是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题 .

解:记两段木棍都不小于 3米为事件 A, 则 P(A)=5

2103310=--. 2. 与面积有关的几何概型

这里有一道十分有趣的题目:

例 2 郭靖、 潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛 , 比赛规则如下:在很远的地方有一 顶帐篷 , 可以看到里面有一张小方几 , 要将一枚铜板扔到这张方几上 . 已知铜板的直径是方几 边长的 4

3, 谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛 . 郭靖一扔 , 铜板落到小方几

上 , 且没有掉下 , 问他能进入下一轮比赛的概率有多大?

分析:这是一道几何概型问题 , 在几何概型中 , 样本空间是问题所涉及的整个几何图形 , 在本题 中 , 样本空间就是小方几的桌面面积 . 一个事件就是整个几何图形的一部分 , 这个事件发生的 概率就是这部分面积与整个图形的面积比 .

解:不妨设小方几的边长为 1, 铜板落到小方几上 , 也就是铜板的中心落到方几上 , 而要求整个 铜板落到小方几上 , 也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个

4141的小正方形内(如上 图) , 这时铜板中心到方几边缘的距离 ≥ 铜板边长的 8

3. 整个方几的面积为 1×1=1,而中央小正 方形的面积为 41×41=161, 所以郭靖进入下一轮比赛的概率为 16

111

=. 例 3 甲、乙两人相约在上午 9:00至 10:00之间在某地见面 , 可是两人都只能在那里停留 5分钟 . 问两人能够见面的概率有多大?

解:设甲到的时间为(9+x)小时 , 乙到的时间为(9+y)小时 , 则 0≤x≤1,0≤y≤1.

点(x,y )形成直角坐标系中的一个边长为 1的正方形 , 以(0,0) , (1,0) , (0,1) , (1,1)为 顶点(如右图) . 由于两人都只能停留 5分钟即 121小时 , 所以在 |x-y|≤ 12

1时 , 两人才能会面

.

由于 |x-y|≤

121是两条平行直线 x-y=121与 y-x=12

1之间的带状区域 , 正方形在这两个带状区域 是两个三角形 , 其面积之和为 (1-121)×(1-121)=(12

11) 2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为 1-(1211) 2=14423, 因此所求的概率为 14423123

=. 3. 与体积有关的几何概型

例 4 在 5升水中有一个病毒 , 现从中随机地取出 1升水 , 含有病毒的概率是多大?

分析:病毒在这 5升水中的分布可以看作是随机的 , 取得的 1升水可以看作构成事件的区域 ,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域 , 因此可能用体积比公式计算其概率 .

解:“ 取出 1升水 , 其中含有病毒 ” 这一事件记作事件 A, 则 P(A)=

5

1=所有水的体积 取出的水的体积 =0.2. 从而所求的概率为 0.2.

现在我们将这个问题拓展一下:

例 5 在 5升水中有两个病毒 , 现从中随机地取出 1升水 , 含有病毒的概率是多大?

分析:此题目与上一题有一点区别 , 即现在在 5升水中含有两个病毒 , 我们不妨将这两个病毒 分别记作病毒甲和病毒乙 . 随机地取 1升水 , 由上题我们可知含有病毒甲的概率为

51, 含有病毒 乙的概率也是 5

1, 而这两种情况都包括了 “ 既有病毒甲又有病毒乙 ” 的情况 , 所以应当将这种情 况去掉 .

解:记 “ 取 1升水 , 含有病毒甲 ” 为事件 A ; “ 取 1升水 , 含有病毒乙 ” 为事件 B, 则 “ 既含有病毒甲 又含有病毒乙 ” 为事件 AB.

从而所求的概率为 P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=25

951515151=?-+=0.36. 4. 与角度有关的几何概型

例 6 在圆心角为 90°的扇形中 , 以圆心为起点作射线 OC, 求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30°的概率 .

解:设事件 A 是 “ 作射线 OC, 求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30°”. 则 μa =90°-30°-30°=30°, 而 μΩ=90°, 由几何概型的计算公式得 P (A ) =3

19030=??=ΩμμA

.

注意:在高中数学阶段 , 我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点 掌握 . 这里只是列出了几道与几何概型有关的题目 , 可以说 , 在高中数学学习阶段 , 这四种几何 概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型 , 希望能对大家有一点帮助 .

数学必修三知识点 2

高中数学必修3知识点

第一章 算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

2. 算法的特点:(1)有限性；(2)确定性；(3)顺序性与正确性；(4)不唯一性 ；(5)普遍性； 1.1.2

程序框图

（一）构成程序框的图形符号及其作用

条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。依据

条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1一般格式

2

3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。 1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式：IF 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

图1

图2

IF 语句的最简单格式为图3，对应的程序框图为图4。

1．2．

3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。一般程序设计语言for 语句和while 语句。 1、while 语句

（1）while 语句的一般格式是

（2）2、for 语句

for 语句的一般格式是 对应的程序框图是

（图3）

2

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

2、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0求值问题

f(x)=an x n +an-1x n-1+….+a 1x+a0=( an x n-1+an-1x n-2+….+a 1)x+a0 =(( an x n-2+an-1x n-3+….+a 2)x+a1)x+a0

=......=(...( an x+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v 1=an x+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2=v1x+an-2 v 3=v2x+an-3 ...... v n =vn-1x+a0 这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。 1.3.3进位制

k +a n -1 k （1）以k 为基数的k 进制换算为十进制：a n a n -1... a 1a 0(k ) =a n

（2）十进制换算为k 进制：除以k 取余，倒序排列

n n -1

+ a 1 k 1+a 0 k 0

第二章 统计

2.1.1简单随机抽样

1．总体和样本 , 个体，样本容量

2．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的的可能性被抽到。

3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法； 2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。 2.1.3分层抽样

1．分层抽样：当总体由明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样。 三种抽样方法的区别和联系：

3

1、列频率分布表，画频率分布直方图：

（1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、平均值：x =

x 1+x 2+ +x n

n

s =

2

2、．样本标准差：s =

(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2

n

3、（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍 2.3.2两个变量的线性相关

1、概念:（1）回归直线方程：y =a +b x （2）回归系数：b =

∧

∧

∧

∧

i =1

n

∑x i y i -nx y

i =1

n

∑x i 2-nx

2

，a =y -b x

∧∧

2．应用直线回归的注意事项：回归分析前, 最好先作出散点图；

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：

（1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件

（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出

n A

现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n 为事件A 出现的频率：对于给定的随

机事件A ，在n 次重复进行的实验中，时间A 发生的频率，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率

n A

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n ，

4

它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事

件A 与事件B 互为对立事件；

概率加法公式：当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A

与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情

形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤；

A 包含的基本事件数①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型 基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

构成事件A 的区域长度（面积或体积）

（2）几何概型的概率公式：P （A ）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；

（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

5

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