计算中的应用

?

40-水科学与工程技术2006年第1期

_,芒匹i-—o

《水-I-设计与结构—111b11!/?

剪应力互等定理在碾压混凝土重力坝应力计算中的应用

牛景太,侍克斌,毛远辉

(新疆农业大学水利与土木工程学院,乌鲁木齐830052)

摘要:通过对碾压混凝土结构特性的分析和研究,在建立有限元等效模型的基础上,提出了求解碾压混凝土坝层间应力的方法,很

方便地模拟坝体层面的连续,滑移以及开裂等工作状态.通过实际工程的计算,验证了此方法的实用性.

关键词:碾压混凝土坝;应力;剪应力互等定理

中田分类号:TV642文献标识码:A文章编号:1672—9900(2006)01-0040-03 Applicationofshearstressmutualequaltheory inRCCgravitydamstesscalculatioon

NIUJing—tai,ShiKe—bin,MAOYuan—hui

(c0?ofWaterConservancyandCivilEngineering,XinjiangAgriculturalUniversity,Urumqi830

052,China)

Abstract:ThroughanalysisandstudyingonthesandwithstructureofRCCgravitydam,anew

methodisused

resolvingthestressofRCCgravitydamisdevelopedbasedonputtingforwardthefiniteeleme

ntequivalentmode1.It

canbeusedtoeffectivelysimulatethecontinuumcrackingandslidingontheinterface.Finally

,theactualengineering

calculationiSusedandthefunctionofthemethodiSverified.

Keywords:rollercompactedconcretedam;stress;shearstressmutualequaltheory

1前盲,

碾压混凝土坝由薄层浇筑碾压而成,存在着众多的水平施 工层面.若层与层之间胶结,应将每一碾压层作为一层块体单元 进行网格剖分,并在每一层面设置层问单元.但这样会使单元节 点太多计算工作量太大,甚至使计算无法进行.因此,除专门的 仿真计算外,通常没有必要将网格划分的如此细密.碾压混凝土 重力坝的应力及其稳定性往往控制在坝体下部的某些特殊层 面上.因此,除了这些特殊部位,其他部位用大块单元进行宏观 静力等效变换,即可获得满意的效果.此时,每块单元都由若干 层碾压混凝土本体与软弱夹层叠合而成.

2碾压混凝土块体等效模型的建立

将碾压混凝土理想化为横观各向同性材料,其弹性应力应 变关系为:

【0HD】?【翻

其中【oj,【8j分别为局部坐标系中应力及应变矩阵;【D]为横 观各向同性弹性矩阵,它包含有5个独立的弹性常数蜀,, 胁,,.蜀,胁分别为横向(平行于层面方向)的弹性模量和泊松 比,,分别为纵向(垂直于层面方向)的弹性模量和泊松比, 为纵向剪切模量.

通常只能给出碾压混凝土本体与层面材料的弹性模量和 泊松比E,,假定坝体在受力变形过程中碾压混凝土本 体和层面的变形是连续的.由等效变形量或平衡条件可得碾压 混凝土单元块体的线弹性常数,见图1.

田1单兀的受力情况

由条件:

0产;++可得:

EFo0EoE

类似的可得:意

GF老

肛l=嘶

(b)变形等效模型

[收稿日期]2005—1ll21

[基金项目]新疆水利水电工程重点学科基金资助项目(xjzdxk2002—10—05)

[作者简介]牛景太(1979-),男(汉族),山东菏泽人,硕士研究生,主要从事碾压混凝土

坝结构方面的研究,(Te1)13899887738. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2006年第1期牛景太,侍克斌,毛远辉:剪应力互等定理在碾压混凝土重力坝应力

计算中的应用'41.

其中:

=

=一1一_一

=

式中,6——碾压混凝土本体和软弱夹层的平均厚度 3层间应力简化计算

通过以上建立的等效模型,可以很方便地使用有限元计算 程序进行应力场分析.但是得到的却是单元内的平均应力.根 据以上的假设和分析结果,可以通过简便的计算得到单元体内 本体与夹层的实际应力.然后再根据剪应力互等定理,在求得单 元体内本体与夹层的实际应力的基础上,进一步求得接触面的 应力大小.设等效单元的平均应力为.叮=}.设Z垂直于 层面方向,XY平面平行于层面方向,则层状单元体内本体部分

的应力为:

:=面E~.tz 口=

Ec

奄os.f

;=

=

=

=

华

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

夹层邵分的应力为:

=

(17)

(18)

=

(19)

=

(20)

《:(21) 《:T?(22) 由以上计算结果,根据剪应力互等定理,可得到本体与夹

层之间的剪切应力,计算简图如图2.

令,分别为平行于.]jf和Y轴的剪应力的合力,则:

一

(23)

一

《(24)

由公式(15)-(22):

鼎(25)G.

G,.,:

(oqG—

o+~GJ(C一~-Gs)(26)

厂GnG,.,.

设作用在本体和软弱夹层接触面上的剪应力的合力为, 则:仁V可(27)

图2层状单元的受力状态

由公式(25),(26):

z---.A(1-2+t)(28)

其中:A=

4碾压混凝土层间工作状态的判定

设碾压混凝土坝体层面抗拉强度为,凝聚力和摩擦力分 别为和则碾压混凝土坝本体和软弱夹层的接触状态由下 式计算(压应力用负值表示,拉应力用正值表示): (1)当~<tro且H?C:,为连续状态(29) (2)当~<tro且Irl>--Co-fir,,为滑移状态(30) (3)当trP~ro,为开裂状态(31)

S算例

某碾压混凝土重力坝,坝高180m,上游坡面垂直,下游坡 面系数m--0.8,坝顶宽12m,上游水深h=173m,具体参数如表1. 衰1碾压混凝土坝参数表

由于影响坝体应力分布的因素很多,如廊道的大小,形 状和位置,帷幕的位置,温度荷载及施工影响,扬压力的分

布,坝高和静水压力.本计算荷载主要考虑静水压力,坝体自 重和扬压力,暂不考虑温度荷载及施工影响.根据碾压混凝 土坝受力特点,按平面应变问题处理.除研究部位采用具有 两节点的结构线单元外,其他部位一律采用四边形单元做等 效处理.地基剖分向上游延伸1.5倍的坝高,向下游延伸2倍 的坝高,剖分深度取2倍的坝高,如图3.由于篇幅所限,只 列举了建基面部位的

计算结果.

本计算用有限元

借助程序Ansys9.0(见

图3)完成,通过整理,

计算,求得的夹层两侧

接触面的正应力和剪

应力见图4.

圈3坝体和坝基有限元剖分

???

?

42?水科学与工程技术2006年第1期

BP人工神经网络在结构损伤检测与识别中的应用

赵洋,李树山

(1.浙江大学建工学院,杭州310027;2.华北水利水电学院土木系,郑州450011)

摘要:根据改进的BP神经网络,阐述了在结构损伤检测与识别上的应用.同时对该网络在结构检测应用过程中应该注意的问题做

了探讨,展望了BP神经网络在结构损伤检测与识别上的发展方向. 关键词:神经网络;基本原理;损伤检测;识别

中圈分类号:TU31文献标识码:A文章编号:1672—9900(2006)01-0042-04

ApplicationofBPartificialneuralnetworkstostructuraldamage

detectionandrecognization

(ZHA0Yang.一.LIShu—shan)

(1.c0ofCivilEngineeringandArchitecture,ZhejiangUnivereity,Hangzhou310027,China;2.DepartmentCivil

朋

eNoahChinaInstituteofWaterConservancy&HydroelectricPower,Zhenghou450011,China)

Abstract:Inthepaper,thebasicprincipleofthebetterBPneuralnetworksandtheapplicationonstructuraldamage

detectionandrecognizationisintroduced.Somenoticingproblemsintheapplicationofneuralnetworksareanalyzed,

andthedevelopingoftheneuralnetworkstostructuraldamagedetectionandreeognizationisforecasted.

Keywords:neuralnetworks;basicprinciple;damagedetection;recognization 1引言

据统计,我国正在使用的结构物中约有1/3以上存在不

同程度的损伤,有许多结构已经进入正常使用的后期,如不

采取措施,在未来2O年内我国将至少有1/2以上的结构由

[收稿日期]2005—08—09

[基金项目]华北水利水电学院青年科研基金资助项目(HSQJ2004013)

[作者简介]赵洋(1978一),男(汉族).河南南阳人,硕士研究生,主要从事工程结构可

靠性研究,(Te1)13937182209.

:

萼_4

.薹

H?H??_?.?.?0??_?.?.?.?*?*?H?.?.?_?.?.?.?.?.?.?_?*

?_?.?.

坝宽(m)

围4口z沿建基面的曲线变化

Fl=!=

!J

从计算结果可以看出:在建基面附近,由于岩基的约束,剪 应力在坝趾处为最大值,沿建基面向上游逐渐减小,在坝踵附近 达到最小值.法向应力在坝趾,坝踵处都有应力集中,坝踵处有 拉应力出现,中部近于线形分布.

根据公式(11)一(28)经过分析计算,坝趾,坝踵处虽然有应 力集中,甚至坝踵处还有拉应力的出现,最大拉应力=

0.96MPa,但没有达到建基面允许极限抗拉强度f巾1.5MPa,层面 均未达到开裂和滑移的程度.值得注意的是,在坝趾,坝踵附近, 是建基面的最危险部位,应采取有效措施加以消除.

6结语

应用等效模型来模拟层状结构的碾压混凝土重力坝,可以 大大减少应力分析时的计算量.通过有限元分析,得到了宏观单 元的应变,在此基础上,利用剪应力互等定理分析了碾压混凝土 本体与软弱夹层之间接触面的应力状况.通过计算,在已得数据 的基础上,很方便地分析了宏观单元内部层间的工作状况.此方 法不但可以用于碾压混凝土坝.也可用于其它具有薄软弱夹层 的层状结构问题的研究.

参考文献:

【1】刘海成,高仁超,宋玉普等.碾压混凝土拱坝等效结构模型研究硼. 水力发电,2003,(5):10—13.

【2]柯敏勇.碾压混凝土拱坝三维弹塑性有限元分析?.水利水运科学 研究,2000,(1):36—42.

【3】华东水利学院.弹性力学问题的有限元法(修订版)Ira].北京:水利电 力出版社,1978.

【4]黄文雄,朱岳明.碾压混凝土结构的非线性应力分析【JJ.河海大学学 报,1997,(2):90~94.

【5】柴军瑞,碾压混凝土坝渗流场与应力场耦合分析的数学模型【J1.水 利,2000,(9):33,36,43.

【doc】车架纵梁水平剪应力验算公式的理论证明

车架纵梁水平剪应力验算公式的理论证明

1一3

车架纵梁水平剪应力验算公式

的理论证明

杭州南方工程科技开发公司陆敏";. [摘要]针对半鞋车腹板蒂大孔洞的I或[开j截面岛L粱的抗弯截面模量能否以

整体截面采计算这一课题,稚导出车栗纵渠水平剪应力的骚算,厶\式,控制了纵粱

腹板孔

洞的最大尺寸和孔嗣的最小距离. 由对半挂车车架的结构设计分析..可 知,鳆板带大孔洞的I字或亡形截面的梁, 其抗弯弹性模量是否可按组合截面来计算, 决定于梁内水平剪应力的控制数值.也就是 说,要使梁内各纵向纤维层之问的实际应力 小于所规定的允许值,即;

r?[f]

式中——梁剪力图面积绝对值之和,N 'Cm

^——梁腹板高度,cm

——

梁腹扳宽度,cm

(?,,)——梁腹板连续部分在中性

层处或其他层处各段纵

向长度总和的最小值,

,_车

r——梁鳆板纵向纤维层之间的

水平剪应力,N/cm.

[r]——梁允许水平剪应力,N/ Cm2

这里就上述公式论证如下t

1公式推导

图la是I字截面的简支梁,图lb为简 支梁在线荷载g作用下的剪力图.从粱腹板 上取出一小段,如图2所示(各截面均 平行,垂直于梁之中性层)来研究图2中一 66面上的剪应力(与推导本公式无关的力在 图2未画出).

根据剪应力双生定律66线上的f=f, 所以f?—f?=丁.

如令:466面上总的剪应力为Q

?4I?

则=一,

:

IdxJ』l

由梁内剪应力公式:r一

式中Q——与r同一横截面上的剪力,N S——r所在纤维层以外部分的面 积对横截面中性轴的一次

矩,cm

r——横截面对其中性轴的轴惯矩, cmt

d.——r所在纤维层之横截面宽

度.cm

所以=

而在等截面梁中,同一_纵向纤维层的 是常数,如再令d=,则:,

Qw一专l:Qz

由图1知:Q=一驴(口向下为正)

所以Q号I'(—qx)dx

l

一

粤[(.一,)一i1;+导口畦]

式中Q0(一)——为图1b中2,3,5,6,2这 块剪力图面积

1/2q畦——为图1b中1,2,3,4,7,1 这块剪力图面积

l/2q——为图1b中1,2,7,1这块

剪力图面积

所以,上述三项的代数和为图lb中7,4, 5,6,7这块剪力图面积,现令其为,所以: 'C

0.={如

而对一已知荷薮作用下的等截面粱来 说,上式中如与.,是定值,s随所取的纵向 纤维层位置不同而变化在矩形截面的梁中, s可取其最大值,在本题中可取S/J=1/h, 这是因为I字或匕形截面的梁,其弯曲剪应 力主要是靠腹板来承受的,而这些弯曲剪应 力沿横截面竖向的分布,又基本上可视为是 均匀的(见i~t3),即:

r=

品—磁

再令=,

所以s/J=1/h

QH之Fa

田j

当然,如46fd这一小段取在图1粱之 右侧,则同样能得以上的结果,但由于r的指 向与右侧相反,所以必须以r=一

或r一是代入.

即一

=.c一

一一

IQz

式中,,,:是位于梁右侧这一小段的坐 标的上下限.并仍以Q=Q.一代入,可得: Q=一手[(厶一f)一号胡+

口踞]

遥

这即为图1中8,9,10,I1,8这块剪力图 面积其正负号可由下证得:

将r=一品代入=d

则Q.=一?l'Qdx,'JfL 由于此时的Q是负值,所以Q,仍为正 值.说明了在用剪力图面积求算梁的水平剪 应力总和Q时,应取剪力图面积的绝对值 之和.

即Q一GQ一?II一丢凡

又令.带大孔洞梁的股扳连续部分在中 性层处或其他层处各段纵向长度总和的最小

值为(?,.)…,这在图4上应为^一^层各,. 之总和,在图5上应为^一或一层各. 之总和

如假定水平剪应力在这些面上的分布是 均匀的,则:

QHFQ

'

(?)hd(?')

所以一

再令:r?r]

可得:?_f]

2修正系数K

上述公式是假定水平剪应力沿x方向 分布是均匀的情况下获得的.事实是它的分 布二端大,中部小,中间截面处等于零对于 连续或外伸梁来说,其水平剪应力沿纵向分 布也是不均匀的,也有等于零的地方,这些可 从梁的剪力图上看出.所以对公式中的d (?.)项必须乘以修正系数K.

另外,在?f项中的还必须再乘Kz 修正系数.因为腹板经过冲切或冲切以后的 移位焊接,腹板连续部分的f长度之两端,均 为留下不能承受或不能正常承受水平剪应力 的区域.这是由于冲切和焊接所引起的缺口 敏感和焊缝端部不能完全饱满之故. 一

般可取K=2/3,K=0.8,如夸K1?

K:=K,则K=o.533.所以,上述公式可修正 为:

一?[r]

参考文献

1.陆敏芳.D一18型半挂事阜泉的结构设计分 析.汽车运辅研完.1984.

(责任编辑李建军)

《现代世界客车车型手册》征订启事 本书由高级工程师吴茂益编写.书中全 面地介绍了美,日,苏,英,法,西德等20余国 家的主要客车生产厂家,八十年代后期生产 的客车系列产品,以及l986年日本《巴士要 览》,l988年日本《客车专集》和1988年第三次 阿姆斯特丹国际客车展览会的各种新型客车 车型的技术数据和外形尺寸图.集中地反映 了当夸世界客车的先进水平和发展趋势.是 汽车工程技术人员,管理人员,客车维修人员 和司机的实用工具书,也可供汽车专业教学 参考

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《专用汽车》编辑部

?d3?

剪切力,剪应力

什么叫剪切力，剪应力

根据材料力学的定义：“剪切”是在一对（1）相距很近、（2）大小相同、（3）指向相反的横向外力（即平行于作用面的力）作用下，材料的横截面沿该外力作用方向发生的相对错动变形现象。能够使材料产生剪切变形的力称为剪力或剪切力。发生剪切变形的截面称为剪切面。判断是否“剪切”的关键是材料的横截面是否发生相对错动。因此，菜刀切菜不是剪切现象（因蔬菜的横截面没有发生相对错动），而用剪刀剪指甲则是（指甲的横截面发生相对错动。注：用指甲剪剪指甲不是一种剪切现象，虽然它同样能把指甲剪下来。为什么？）。至于“剪切力”的来源，当然是压力造成的。也可以说，剪切力是一种特殊形式的压力。

物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面相切的称为剪应力或切应力。

kelvin解求剪应力

我们所研究的弯曲状况下的锚索本身由于发生弯曲，整体来看并不是轴对称问题，但是在研究锚索锚固段周边剪应力分布时，当把锚索沿轴向切成n个小段，每一小段可假设成是小圆柱体，假设每一小段上的锚固体每一截面边缘处的剪应力相同，此时可以把每一小段锚固体当做是空间轴对称问题来解决。

当全空间的内部某点受集中力作用时，它对应的基本解是 Kelvin 解，利用这些基本解可以解决很多全空间和半空间的受力问题。

设无限体内一点受集中力 P 作用，坐标选取如图 3-2 所示。求不计自重作用时无限体内的应力和位移的分布，该问题称为 Kelvin 问题，是空间轴对称问题，可以借助于 Love 应变函数求解。根据量纲分析法，应力应为 R、r、z 等长度坐标的负二次幂函数，而由应力分量与 Love 应变函数之间的关系可知，Love 应变函数? 应为一次幂的双调和函数[85-87]。试取

1222，， ,,AR,Ar，z (1)

式中 A 为待定函数。而伽辽金矢量的位移分量为

2,1,u,,r,，，21,,r,z (2) 2,1,2,w,,，,2，，21,,z,

应力分量为

2,,E,,2,,,,,,,, r22,,2，，1zr,,,,,,

E,1,,,2 ,,,,,, ,,,2，，21,,zr,r,,,

2，，E,,2，， ,2,, (3) ,,,,,s,,22，，21,,z,z,，，

2，，,,E2，，,,,1,,,,, rz,,22，，,,,21rz,，，

22,1,,2式中 ,,，，22,rr,r,z称为拉普拉斯运算符号。将(1)代入(2)(3)得

1Arz u,r3，，21,,R

3，，,A21，，2,1zw,，， ,,3，，,21RRR,，，

2，，，，,EA12,z3rz,, ,r,,235，，,21RR,，，

，，EA1,2,z (4) ,,,23，，21,R,

3，，，，,EA12,z3z,,， ,z,,235，，,21RR,，，

2，，,，，EA12,r3rz,,， ,rz,,235，，,21RR,，，为了确定常数A，由 z = ?a两平面上的正应力合力的平衡条件可得

,,，，T,2,r,()dr,2,r,dr (5) zz,,az,,00z,a计算可得

,4E, TA (6) 1，,

所以有

,1，T，，A, (7) 4,E

将(7)式代入(4)式可得

,T1，rzu, r38,E1,,R

3，，，，，,T1,212,z1z,，，w ,,3,8E1RRR,,，，

2，，，，，,T1,12,z3rz,, ,r,,35,81RR,,，，

,T1,2z，，, (8) ,,38,1,,R

3，，，，,T112,z3z,,， ,z,,35,81RR,,，，

2，，，，,T112,r3rz,,， ,rz,,35,81RR,,，，

拉力型锚索张拉时，假设锚索与岩体间不产生滑动，将锚索所在的岩(土)体及锚索系统近似视为均质各向同性弹性体，取综合弹性模量。E 、μ 分别为岩土体的弹性模量、11

泊松比，E 、μ为锚固段注浆体的弹性模量、泊松比，综合弹性模量可以通过试验测得，22

本文取

2EE12 E,E，E12

综合泊松比为

EE，12, ,,1EE12，,,1，1，12

由于拉力型锚索锚固段埋置得比较深，而应力分布在很小的范围内，锚索束上部又充满了注浆体。可以假设锚固段位于无限体中，由无限体空间内部一点受集中力作用的 Kelvin 解(8)可以得到锚固段周围任意一点处应力及位移分量，其中任意一点处的轴应力分量为

3，，，，,T112,z3z,,， , (11) z,,35,81RR,,，，

拉力型锚索的锚固段注浆体与岩体接触面上的剪应力计算点从锚固段起始端开始。如图 3-5，取锚固段处的一微分段 dz，设该微分段周边的剪应力为τ。由于锚固段截面较小，z

近似认为在该截面上的应力为均匀分布。在 z 截面上的应力为σ，在z+dz 截面上的应力z

为σ ? dσ。锚固段截面的半径为a，该微分段的力学平衡方程为 z

，，,a,,,,d,,,,2,a,dz,0zzzz

经计算得:

ad,z,, ,z2dz

将该式代入(11)可得

i=0时:

T,C 0

，，22222,,,，，，，aT1，，2,a2s3s3a2s0,,,，, 057,,，，,161,,222222，，，，，，asas，，

i=1时:

L,,,, 1,cos,,,,LLssss,nR,,,,,,,,,,,,,,nRnR，，，，TT,ssind,scosd,,,,,,,,,,,,,001000L,,,,,,RRRR,,,,,,,,,,sin,,,,,nR,,,,

，，222，，，，LLL,,,,,,22,, ,,,,,,，，12,a2s3s3a2s,,,,,,,,,,,,nnn,,,,,,aT，，，，0,，,,,571，，,22161,,22,,，，，，LL,,,,22，,，,asas,,,,,,,,,,nn,,,,，，，，，，......

L,,,,iLiLiLiL,,,,,,,,1,cos,,,,s,s,s,s,,,,,,,,,iLiL,nR,,nnnn,,,,nRnR,,,,,,,,，，，，,sin,cosT,T,sd,sd,,，，i,1L，，i,1Lii,1i,1i,1L,,,,,,RRRR,,,,nRnR,,,,,,,,sin,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nR,,,,

，，222，，，，iLiLiL,,,,,,,,22,,,,,,12,a2s3s3a2s，，,,,,,,,,,,,,nnn,,,,,,,,,,aT，，，， i,,,，,i57,,,，，161,,2222，，，，iLiL,,,,,,22，,，,asas,,,,,,,,,,nn,,,,,,,,，，，，，，通过迭代法，依次求出上式的值，即可得到锚固段周围剪应力的数值解。

弯曲剪应力

弯曲剪应力

弯曲剪应力

2010年09月16日

6.4 弯曲剪应力

http://wlxt.whut.edu.cn/cllx/cllx_web/pages.asp?j= 6_4

横力弯曲时，梁的横截面上同时存在弯矩和剪力。因而截面上既有正应力又有剪应力。通常情况下，弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。但在某些情况下，例如，跨度较短而截面较高的梁，或者在支座附近承受较大集中力作用的梁，其横截面上的剪应力可能达到相当大的数值。此时，必须对弯曲剪应力进行强度校核。

6.4.1 矩形截面梁的弯曲剪应力 1. 横截面上弯曲剪应力的假设 设矩形截面梁的横截面上，存在剪力 Q ( 图 6-8 ) ，对于剪力 Q 引起的剪应力作出下列两点假设: (1) 横截面上任意一点的剪应力方向均与剪力 Q 的方向平行， (2) 剪应力沿矩形截面的宽度是均匀分布的，即剪应力与坐标 y有关，同一 y值的各点剪应力均相等。图 6-8 中 dd1 横线上的剪应力分布是符合上述两点假设的。 下面以 dd1横线上的剪应力为例，来分析上述假设的合理性。从剪应力的方向来看，由于梁的外表面无切向载荷作用，根据剪应力互等定理，可以判断横截面周边处的剪应力方向必须与周边相切，即图 6-8 中周边上 d 、 d 1 两点的剪应力方向必须与周边平行。又由于对称性，可以判断 dd 1 横线中点的剪应力方向必须与 Q 的方向一致。因而可以设想， dd 1 横线上各点的剪应力均平行于剪力 Q 。对于截面高度 h 大于宽度 b 的梁来说，由上述假设所得的结果，与精确解相比，是足够准确的。因而上述假设是合理的。 2. 弯剪应力公式的推导 在图 6 - 9a 所示的矩形截面梁上，以 mm 和 nn 截面截曲

取 d x 微段。微段两侧的弯矩分别为 M 和 M +d M ，剪力为 Q ，如图 6-9b 所示。在微段的两截面上，由弯矩 M 和 M +d M 所引起的弯曲正应力分别为 和 ，在距中性轴为 y 的横线dd1上，各点剪应力均相等，且平行于 Q ，以 表示，如图 6 -9c 所示。

如果以平行于中性层的平面 cc1d1d ，从dx 微段上截取一六面体(图 6-9d 中的实线部分)来研究，根据剪应力互等定理，cc1d1d截面上应有剪应力 存在，其数值与 dd1横线上的剪应力 相等，方向如图 6-9d 所示。这样作用在六面体上的正应力 , , 以及顶面上的剪应力 都是沿 x 方向的弯曲

力 , 利用 的平衡条件即可求得 ，从而确定横截面上dd1横线处的剪应力 。 首先求出六面体的右侧面 上正应力的合力。距中性轴 y1处取微面积 dA ，弯曲

其上的微内力为 ，由它组成的内力系的合力 N2( 图 6-9e) 为 (a) 式中 A1为六面体侧面 d1n1n 的面积。将式(6-2)代入式(a)，即得

= (b)

式中 (c) 为六面体侧面面积上 A1对中性轴 z的静矩。也就是说， 为距中性轴为 y 的 dd1横线以下的面积对中性轴 z 的静矩。 同理，六面体左侧面上内力系的合力 N 1 为 (d) 另外，六面体顶面 cc1d1d 上切向力系的合力 T 为 (e) 上述三合力 N 1 、 N 2 和 T 应满足平衡条件 ，即 (f) 将式 (b) 、 (d) 、 (e) 代入式 (f) ，得

简化后得

将公式 (4 - 3) 代入上式，得

根据剪应力互等定理，六面体侧面的剪应力 应等于六面体顶面上的剪应力 ，即

(6-8) 上式即为矩形截面梁横截面上弯曲剪应力 的计算公式，式中 Q 为横截面上的剪力, 为横截面对中性轴z的惯性矩， b为所求剪应力处横截面的宽度 , 为横截面上距中性轴为 y 的横线至下边缘的面积(即图 6 - 10a 中的阴影面积)对中性轴 z 的静矩。

3. 剪应力沿截面高度的变化规律 对于矩形截面，公式 (c) 中的 d A 可取为 bdy1 ，则 将上式代入公式 (6-8) ，即得矩形截面梁弯曲剪应力计算公式

(6-9) 由上式可知，矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度是按抛物线规律变化的，如图 6-10b 所示。当 y = h /2 时，即横截面的上、下边缘各点

处，剪应力 =0。当 y =0 时，即中性轴上各点处，剪应力达最大值: (6-10) 式中 A = bh ，为横截面面积。 综上所述，矩形截面梁横截面上的弯曲剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。最大剪应力发生在 y =0 的中性轴上，其数值为平均剪应力 Q,A 的1.5倍，方向同剪力Q 。 6.4.2 圆形截面梁的剪弯曲应力

在任一平行于中性轴的弦线 ab 的两端点上，剪应力的方向必须与周边相切(图 6-11 )，并汇交于 D 点。由于对称，弦线 ab 中点 c 的剪应力也通过 D 点。由此可作如下假设: (1) ab 弦上各点的剪应力都汇交于 D 点;

(2) ab 弦上各点剪应力的垂直分量 为常量。 这样， 的分布规律与矩形截面剪应力的两点假设完全相同，可以用公式 (6-8) 计算，即

(g)

式中 ，为 ab 弦的长度， 为 ab 弦以上的面积对中性轴 的静矩，其表达式为

(h) 将 b 和 的表达式代入 (g) 式，得 (6-11) 在 y =0 的中性轴上 , 达最大值，而且在中性轴上各点 就是该点的总剪应力 。将 y , 0 及圆截面的惯性 ，代入公式 (6-11) ，求得圆形截面上剪应力的最大值为 (6-12) 综上所述，圆形截面梁上的最大剪应力发生在中性轴的各点处，其数值为平均剪应力的4,3倍。

6.4.3 薄壁截面梁的弯曲剪应力

工程中常见的薄壁截面梁有工字形、圆环形和槽形截面，它们的壁厚远小于截面的其他尺寸，如图 6-12 所示。图中的点划线是截面各处壁厚中点的连线，称为薄壁截面的中线。

薄壁截面梁的弯曲剪应力采用如下假设: (1) 剪应力与截面的周边相切， (2) 剪应力沿壁厚为常量。 1. 工字形截面 工字形截面梁由垂直的腹板和上、下翼缘组成。首先研究腹板部分的剪应力。在横力弯曲的梁中取出 微段，如图 6 - 13a 所示。为了求出腹板上的剪应力，以距中性轴 y 处的 aa 截面，将 微段截开，如图 6-13b 所示。采用与矩形截面梁相同的方法，根据 aa 截

面以下截取部分的平衡，求得腹板上的剪应力 为 (6-13) 式中Q为横截面的剪力， 为 aa 横线下侧的阴影部分面积 ( 见图 6 - 13a ) 对中性轴 z 的静矩; 为整个工字形截面对 z 轴的惯性矩; d 为腹板厚度。剪应力 的方向与剪力 Q 的方向相同。

图 6 -13a 中阴影部分面积对 z 轴的静矩为

(i) 将上式代入公式 (6-13) ，则腹板上的弯曲剪应力为

(6-14) 上式表明，腹板上的弯曲剪应力沿高度是抛物线分布的 ( 图 6-13d) 。在公式 (6-14) 中，令 y =0 ，求得最大剪应力 (j) 令 求得最小剪应力

(k) 由(j)、(k 两式可见，由于d,B 远小于1 ，所以， 即工字形截面梁腹板上的剪应力可以认为是均匀分布的。计算结果表明，腹板承担了截面上 95 , 97 ,的剪力。可见，工字形截面梁上的剪力 Q 基本上由腹板来承担，而且腹板上的剪应力接近于均匀分布。因此，可近似地求得腹板上的剪应力为 (6-15) 下面分析翼缘上的剪应力。自下翼缘右端处，以 cc 截面截取分离体，如图 6 -13c 所示。根据分离体的平衡条件，同样可以求得下翼缘的剪应力为 ( l ) 式中 Q 为截面上的剪力; t 为翼缘的厚度，即 为图 6-13 分离体的端面积 对 z 轴的静矩，其值为 将上式代入式 ( l ) ，则下翼缘右段的剪应力为 (6-16) 上式表明，翼缘上的剪应力与 η 成正比，方向向左。按照同样的方法，可以求得下翼缘左段和上翼缘上的弯曲剪应力，它们的分布规律与下翼缘的右段对称，方向如图 6-13d 所示。由图可知，当剪力 Q 向上时，横截面上的剪应力从下翼缘的最外侧"流"向对称轴，接着向上通过腹板，最后"流"向上翼缘的外侧。或者说，整个截面上的弯曲剪应力是顾着一个转向流动的，称为"剪应力流'。于是，在确定横截面上的剪应力方向时，首先根据剪力方向确定腹板上剪应力的方向，然后根据 " 剪应力流"确定翼缘上的剪应力方向。 根据上面的分析，可以这样认为:工字形截面梁的腹板与翼缘是有分工的，腹板承担了截面上的大部分剪力，面翼缘承担了截面上的大部分弯矩。 2. 薄壁圆环形截面 因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径R0，故可以认为剪应力 沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切，如图 6-14 所示。 最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为

(m)

式中 为中性轴一侧的半圆环截面对中性轴的静矩，可由两个半圆面积

的静矩之差求得，即

为圆环形截面对中性轴的惯性矩，其值为

在中性轴上 , 环型截面的宽度 。将 和 b代入 (m)式得

(6-17)

式中 为圆环的面积。可见，薄壁圆环中性轴上的最大剪应力为平均剪

应力的两倍。

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