勤曦爱人
专注 轻重缓急 劳逸结合 平面向量之 垂直
1. 已知向量 (1
) (1) n n ==-, , , a b ,若 2-a b 与 b 垂直,则 =a ( ) A . 1 B
C. 2 D . 4
2. 已知向量 2411()(),,
, a =b =.若向量 () λ⊥b a +b ,则实数 λ的值是 . 3.已知向量 AB =(cos120°,sin120°), AC =(cos30°,sin30°),则△ABC 的形状为
A .直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
4. 已知 1, i j i j ==⊥ 且 23, 4, a i j b ki j =+=+ 若 a b ⊥ ,则 k 的值为( )
A 、 6 B、 6- C、 3 D、 3-
5. 已知向量 ()()4, , 2, 1x b a ==,若向量 b a ⊥,则 =x ()
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
6.已知向量 ), 1, 2(), 4, 3(-==b a 如果向量 x +与 垂直,则 =x ( )
. A 323 . B 233 . C 2 . D 5
2- 7. 已知 ()3,4=a , ()2, 1=-b 且 ()()x +⊥-a b a b ,则 x 等于 ( )
A. 23 B.232 C.233 D.234
8.已知向量 x ⊥==), 6, 3(), 1, (,则实数 x 的值为( ) A.
12 B. 2 C. 2- D. 21- 9.已知向量 ()1,1a = , ()2, 3b =- ,若 2ka b - 与 a 垂直,则实数 k 等于
本类题的特征是:__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是:__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________
答案
1. 【答案】 :C【分析】 :2(3,) n -a b =,由 2-a b 与 b 垂直可得:
2(3,) (1, ) 30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。
2. 解析:已知向量 2411a b ()() ,, , ==.向量 (2,4) a b λλλ+=++ , () b a b λ⊥ +,则 2+λ+4+λ=0,实数 λ=
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专注 轻重缓急 劳逸结合 -3.
3.
4. B
5.D 解析:∵向量 b a ⊥, ∴ 80x +=, 8x =-.
6. D 7. C 8.C 9.-1;
平面向量的垂直问题
平面向量的垂直问题
1．已知向量a?（x，1）,b?(3,6)且a?b，则实数x的值为2
．已知向量?（1，n?（?1，n），若2??3．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值
?，若k?2与k?2k的值。 3
5.已知a?(1,0),b?(1,1),求当?为何值时，??与垂直？
?）?m 6.已知单位向量m和n的夹角为，求证：（2n?m3
7.已知a?（4，2）,求与垂直的单位向量的坐标。 4
?2?4，且与的夹角为
8. 已知向量?（?3，2）,?(?1,0)且向量??与?2垂直，则实数?的值为9. ?（3，1）,?(1,3)?(k,2),若（??k?10. a?∥，?（??___ （1，2）,b?(2,?3)，若向量c满足于（c?a）
（ ）
A.－6
＝_____. ????????11、若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为 ????????????11．若a与b、c的夹角都是60°，而b⊥c，且|a＝b＝c＝1，则（a－2c)·(b＋c) B.6 C.3 D.－3
平面向量小题02-垂直
山东省日照市2008年3月高三模拟考试（数学文）（1）已知向量a=（1，2），b=（－2，1），则向量a 与b A A ． 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且反向 D. 平行且同向
（2007全国Ⅰ文）（3）已知向量a =(-5，6) ，b =(6，5) ，则a 与b （ A ）
Ａ垂直
Ｂ不垂直也不平行
Ｃ平行且同向
Ｄ平行且反向
山东省文登三中高三第三次月考数学试卷（文）2．已知a =(k , 1), b =(2, 3) ，若a ⊥b ，则k 的值是（ B ）
A ．5 B ．-5
2009年广州市高三年级调研测试文科数学试题3．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为B A ．
C ．
3
2
D ．-
3 2
11 B ．-2 C ．2 D ．- 22
（2004广东）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a ⊥b ，则x= （ C ）
A. –3 B. –1 C. 1 D . 3
（2005浙江文）8．已知向量a =(x -5,3), b =(2, x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C )
(A){2,3} (B){-1,6} (C) {2} (D) {6}
2007年惠州市高三第三次调研考试数学（理科）10．设a =(log 2x ， 2)，b =(1, -1)，a ⊥b ，则x 等于 x =4 ．
103x -3x
2007年揭阳市一模（理）9．若向量a =(x , -1) ，b =(log38, 1)，且a ⊥b 则2+2＝ ．
3
10x -x
2007年揭阳市一模（文）11．若向量a =(x , -1) ，b =(log38, 1)，且a ⊥b 则8+8＝ ．
3
广东省茂名市2009年第一次模拟--文科7、已知向量a =(2,1), a +b =(1, k ), 若a ⊥b , 则实数k 等于（ B ）
A 、
1
B 、3 C 、-7 D 、-2 2
汕头市2009年高中毕业生学业水平考试(二) 文科3. 已知向量a =(1,x ) ，b =(-1, x ) ，若a 与b 垂直，则a 等于（D ）
A .
1 B . 2 C . 4 D
.
（2006湖南文）2．已知向量a =(2, t ), b =(1, 2), 若t =t 1时，a ∥b ；t =t 2时，a ⊥b ，则C
A ．t 1=-4, t 2=-1 B . t 1=-4, t 2=1 C. t 1=4, t 2=-1 D . t 1=4, t 2=1
2009届深圳市高三九校联考理13. 已知x ∈[0,π]. 若向量a =(2cosx +1,2cos2x +2) 和向量b =(cosx , -1) 垂直，则x
的值为 .
2008年中山市高三数学（理）2、若向量a =(2,1), b =(3,x ), 若(2a -b ) ⊥b , 则x 的值为( B )
A ．3
B ．-1或3
C ． -1 D ．3或-1
π
2
或
π
3
（2009江西卷文）已知向量a =(3,1)，b =(1,3) ， c =(k ,2) ，若(a -c ) ⊥b 则k ．0
2009年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文3．已知向量a =(1,2)，向量b =(x , -2) ，且a ⊥(a -b ) ，则实数x
等于D
A ．-4 B ．4 C ．0 D ．9
山东省山东师大附中2009届高三数学文3. 若=(1, 2), =(x , 1), =+2, =2-，且⊥，则x =（ C ） A ．2
B ．
7717 C. -2或 D. 或-
2222
，n ) ，b =(-1，n ) ，若2a -b 与b 垂直，则a =（ C ） （2007山东文）5已知向量a =(1
A 1
B
2
D 4
2009届广州华南师大附中高三综合测试（三）（文）4．给定两个向量a =(3,4),b (2,1)，若(a +b ) ⊥(a -b ) ，则x 等于A
A ．-3
（2009宁夏海南文）已知a =(-3,2), b =(-1,0)，向量λa +b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为A
B ．
3 2
C ．3
D ．-
3 2
（A ）-
1111 （B ） （C ）- （D ） 7766
（2004天津文）14. 已知向量a =(1, 1) ，b =(2, -3) ，若k a -2b 与a 垂直，则实数k
（2007北京文）11已知向量a =(2，，4)b =(11，) 若向量b ⊥(a +λb ) ，则实数λ-3
(2008海南、宁夏文) 已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），λa +b 与a 垂直，则λ是（ A ）
A. －1 B. 1
C. －2
D. 2
2009届汕头市金山中学高三11月月考（文）3. 已知平面向量a ＝(1,-3) , b =(4,-2) ，若λa -b 与a 垂直，则λ＝
（ B ）
A. －1 B.1 C.－2 D.2
2008年华南师大附中（四）（文）7．给定两个向量a =(3,4)，b =(2,1)，若(a +xb ) ⊥(a －b ) ，则x 等于
山东省09届高三教学质量检测文14．已知向量a =(1, -3), b =(4, 2), 若a ⊥(b +λa ), 其中λ∈R , 则λ=
A ．－3
B ．3
2
（ A ）
C ．3
D ．-3
2
1
5
广东省揭阳市2009年高考前精编模拟题一（文）4．已知向量a =(1,2), b =(2,3),若(λa +b ) ⊥(a -b ) ，则λ＝A
A. - B. C. 0 D. －7
3 3
（2000上海理）1．已知向量OA (－1，2) 、OB =(3，m) ，若OA ┴OB ，则m= 。4
（2005福建文）14．在△ABC 中，∠A=90°，AB =(k , 1), AC =(2, 3), 则k 的值是 . -
55
3 2
（2005上海春）5. 在△ABC 中，若∠C =90，AC =BC =4，则BA ?BC =
（2005福建理）3．在△ABC 中，∠C=90°，AB =(k , 1), AC =(2, 3), 则k 的值是
2007年揭阳市高中毕业班高考调研测试文12．在△ABC 中，∠C=90°，AB =(1, k ), AC =(2,1),则k 的值是 3
A ．5
B ．－5
C ．3
2
（ A ）
D ．-3
2
2007年揭阳市高中毕业班高考调研测试理11．直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量．在
直角三角形ABC 中，若AB =i +k j ，AC =2i +j ，且∠C=90°则k 的值是 3 ;
（2009浙江卷文）已知向量a =(1,2) ，b =(2,-3) ．若向量c 满足(c +a ) //b ，c ⊥(a +b ) ，则c =（ D ）
A ．(, ) B ．(-
7793777777, -) C ．(, ) D ．(-, -) 393993
山东省烟台市2009届高三适应性练习（二）文科 9．已知向量a =(2,-1), b =(x , -2), c =(3,y ) ，若a ∥b ，
(a +b ) ⊥(b -c ), M (x , y ), N (y , x ) ，则向量MN 的模是A
A．
．8 C．
4 D ．4
2007年阳江市一模（理）7．已知O 为坐标原点，＝（－3,1），＝（0,5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（ C ）
A ．（－3, －
29
） 4
B ．（3,
29
） 4
C ．（－3,
29
） 4
D ．（3, －
29
） 4
，AC ∥OB ，则向量OC =（ D ） （2007重庆文）已知向量OA =(4，，6) OB =(3，5) ，且OC ⊥OA
-?
?32??77?
-?
?24??721?
，-
?3?72?? 7?
，-
?2?74?? 21?
2009届汕头市聿怀中学高三上学期期末考（文）2、平面向量与向量=(1, -2) 夹角为90，且||=|b ，则= ( A ) A. （2，1）或(-2, -1) B.(2, -1) 或(-2, 1) C.（2，1） D.(-2, -1)
2007年湛江市一模（文）4. 已知向量ｍ＝（a , b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为C
A . （a , -b ） B . （-a , b ） C . （b , -a ） D . （-b , -a ）
2009年深圳市高级中学一模（文）5．若a =(2, －3), b =(1, －2) ，向量c 满足c ⊥a , b ?c =1,则c 的坐标是C
A ．(3,－2) B．(3, 2) C ．(－3, －2) D．(－3, 2)
（2006湖北文）2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=（D ）
a
b
A.
11
B. 4 C. D. 2 42
（2006浙江理）（13）设向量, b 满足++=, -⊥, ⊥ b,
若=1,
)
++的值是 2（2006浙江文）（5）设向量a , b , c 满足a +b +c =0，a ⊥b ,|a |=1,|b |=2, 则|c |= （ D ）
(A)1 (B)2 (C)4
(D)5
题型-平面向量求垂直
平面向量求垂直
一、题型要求：
1、两向量垂直：⊥??=0
2、坐标运算：⊥?x1x2+y1y2=0
二、例题讲解：
1、已知向量a=(1,2)和向量b=(x,4)垂直，则x=______。
2、（2014－重庆一模）若向量=(-1,k),=(3,1),且+与垂直，则实数k的值是_____。
三、练习巩固：
1、（2014－惠州模拟）已知和是两个互相垂直的单位向量，=-2,=+λ，且与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________。
2、（2014－红河校级考试）已知向量=(1,2),=(x,-1),若⊥，则实数x的值是______。
3、（2013－乐山一模）已知点A（－1，0），B（1，3），向量=(2k-1,2),若⊥,则实数k的值是________。
4、（2011－广东模拟）已知向量=(3,4),=(2,-1),如果向量+x与-垂直，则实数x的值是________。
5、（2012－山东模拟）已知向量a,b夹角为60，且|a|=3，|b|=2,若(3a+mb)⊥a，则实数m的值是________。
1
平面向量的平行和垂直
平面向量的平行和垂直 一、要求
本知识为B级要求
二、基础扫描
1、设O,E,F是不共线的任意三点，则以下四个式子:(1) EF,OF,OE(2) (3) (4) ,其中成立的是 EF,,OF，OEEF,,OF,OEEF,OF，EO
2、a,(10,5),b,(5,x)，且，则x= a//b
3、已知平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1)，若,则x= AB//BC
a,(1,2),b,(,2,m)4、已知平面向量，且，则= a//b2a，3b
,a,(1,,3),b,(4,,2),,a，b5、已知平面向量与垂直，则= a
三、例题研究
i,(1,0),j,(0,1)a,4i，5j,b,,2i，rj例1、已知为平面上的两个单位向量，设向量，
，求r的值 且a//b
例2、已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),P(6,4),求证:B,P,D三点共线;A,P,C三点共线
例3、设A(4,1),B(-2,3),C(k,-6)，若三角形ABC为直角三角形，求k的值
a,(1,2),b,(,3,2)例4、已知，当k为何值时 (1)与垂直 (2)与平行,平行时他们是同向还是反a,3ba,3bka，bka，b向,
四、巩固提升
1、若非零向量与共线，以下四个命题中:(1)与必须在同一条直线上;(2)与ababab
平行，且方向必须相同;(3)与平行，且方向必须相反;(4)与平行。则说法正确abab的有 个
2、已知A(3,y),B(-5,2),C(6,-9)三点共线，则y= 3、已知与是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足(a,c),(b,c),0，则|c|abc的最大值是
4、平面上有四个点A(2,-1),B(1,3),C(-2,-3),D(k,1),若,则k= AB,CD5、a,(2,,3),b,(1,m)，若(a，b),(a,b)，则m=
a,(x，y,3x,y),b,(7,3)6、设向量，若，且x+y=3，则5x+2y= a,b
27、已知与为两个单位向量，且与的夹角为，若与互相垂直，则a,2bma，babab,3
m=
2|a|,2,|b|,1a，(t，3)b8、设与为平面内的两个向量，且，，t为实数，若与a,bab
互相垂直，则t= ,a，tb
9、已知三角形ABC中，A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD，求点D和向量的AD
坐标
10、已知A(0,0),B(1,0),C(b,c)是三角形的三个顶点
(1)分别写出三角形ABC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G,F,H三点共线
(选做)(2)当直线FH与AB平行时，求顶点C的轨迹方程
五、反思总结
