偷偷放个屁
刘 凯
华中科技大学经济学院
摘要：本文在几个关于投资者和竞争市场的一般性假设的基础上探讨风险投资的性质并用一类动态优化模型描述风险投资者的决策行为，从而得到了风险投资者（间或是一个企业，一个独立的单位）进行风险投资或者选择风险投资项目所必须具备的条件；研究发现在风险投资中引入市场竞争加快了新产品研制与开发的进程，但同时增加了新产品开发的社会必要成本，据此提出了“风险投资的行业协调”问题及协调的原则；结果还表明，在本文的框架下，垄断只是竞争这种普遍形式的一种特例。这些结果不仅对于提高风险企业的投资决策水平和加强风险投资的行业管理有着非常重要的价值，而且对于经济学关于垄断与竞争的关系也是一种罕见的描述。
关键词：风险投资 行业协调
Analyzing Model Of Venture Investments Decision
Liu Kai
College of Economics, Huazhong University of Science & Technology
Abstract: Basing on some normal suppose of the venture investments and venture market
we present nature of venture investment , a type of dynamic model used to show venture investment’s technology behavior which has more general and extensive attribu te ;analyzing shows that there be the venture investment’s essential conditions; the results show that the rivalry in the venture investment hurries the R&D process but increases the social cost of the venture investment ;therefore the problem of mystery’s matching and it’s principle were got in this paper ;the result show yet the monopolization is only an example of the rivalry.
Keywords: venture investment mystery’s matching
风险投资决策分析模型
刘凯
华中科技大学经济学院（武汉430074）
1 问题的提出与假设
称含有不确定的预期结果的投资为风险投资，新产品的研究与开发，高科技产品的研制都可以看作是风险投资。风险投资具有很强的探索性，一个在现在来说是未知世界的对象, 其变化运动的规律，其组织结构的本质，往往是无法预见的，只能一步步去研究，去探索；由此我们可以推断风险投资具有高度的不确定性，这种不确定性不仅表现在研究结果的可变性，而且表现在验证结果的正确性往往需要比获得这个结果更新颖的方法；由风险投资的这种不确定性又可以推断出风险投资的高风险性，自然丰厚的回报也将伴随着高风险一起出现在风险投资中，正是这丰厚的回报吸引着广大的投资者，即使有很高的风险！是否谁都可以进行风险投资？进行风险投资应该具备什么必要条件？竞争对风险投资有什么影响，行业主管部门应该如何管理？这些问题对于风险企业的投资决策，对于行业风险投资的协调管理都是至关重要的，本文将在文献[1]和文献[2]的基础上，通过建立一类动态优化模型来进行研究, 以期回答这些问题。
记t 表示时间，T 为一个风险投资项目周期的时间长度（在下面是待求量）；x (t) 表示投资者在t 时刻的技术累积水平 。为建立动态的风险投资模型，先给出以下假设：
假设 1） u (t)≥0 为风险投资者在t 时刻可以自主选择的投入；A 为为达到既定目的必须具备的技术累积水平，风险投资者的技术累积水平与他的投入有关也与他自身的组织结构有关；r 为社会贴现率； R 表示成功的风险投资者在时刻T 获得的收益（对特定项目A 和R 取常值）。
假设 2） 不存在任何风险投资项目的提前研究和准备，即x (0) =0.
假设3） 技术累积水平越高，风险投资成功的可能性越大，风险投资中的竞争简化为科学技术累积水平的竞争。
假设 4） 在垄断环境下，假定只有一个投资者；在竞争环境下，假定只有n 个投资者（有限竞争），对于一个特定的风险投资项目，f (t ) 为在未来某一个时刻t 出现第一个成功者的概率密度函数，且f (t ) =se -st ，其中s ≥0。
其中假设1）和2）为风险投资者的投资行为假设，假设3）和4）为风险投资市场假设。
2 垄断环境下风险投资的动态优化模型
在垄断环境下，由假设4）知，只有一个投资者，所以只需要考虑项目的取舍问题。由假 设1）和2），我们可以用（1）来描述风险投资者的技术行为：
dx (t ) /dt =au b (t ) -cx (t )
x (0) =0; x (T ) =A （1）
其中 a > 0,b >0, 是两个投资效果参数，进而我们设定 0 < b="">< 1则="" 正好反映了风险投资的边际效应递减这样一个人所共知的不变规律,="" c="">=0, （1）式描述的风险投资者的投入不仅要用于增加其技术累积水平，而且要用于维持其既有的技术累积水平（确保其已经具备的技术水平不因环境的科学技术水平的进步而落后），我们称这种投资为有摩擦的(c >0) 风险投资。
由假设1) 及2）知，风险投资者所获得的收益扣除其投入的消耗后的贴现净收益是 Re -rT -?T
0u (t ) e -rt dt , 因此风险投资者所面临的问题是在既定的技术经济约束条件（1）下追
T 求其最大的收益，即 max u (t ), T {Re-rT -?0u (t ) e -rt dt }
S . T :dx (t ) =au b (t ) -cx (t ) , x (0)=0,x (T ) =A （2）
我们称之为风险投资者的行为模型，这是一个动态优化问题。为了求解这个优化问题，我们先给出最优控制的一个引理。
引理1 终端时间T 是自由的规划问题[1]
max{?f (t , x (t ), u (t )) dt +G (T , x (T ))}0T
s . t :dx (t ) =g (t , x (t ), u (t )) , x (0) =x 0, x (T ) =x T dt
的最优解满足的必要条件是
?f (t , x (t ), u (t )) ?g (t , x (t ), u (t )) +λ=0?u (t ) ?u (t )
d λ?f ?g =-(+λ) dt ?x ?x dx =g (t , x (t ), u (t )) , x (0) =x 0, x (T ) =x T dt
?G f (t , x (t ), u (t )) +λ(t ) g (t , x (t ), u (t )) +=0at T ?t
其中y =dy (t ) /dt , 下同，其中第一式为最优控制方程，第二式为伴随方程，第三式为状态方 程，第四式为横截方程。
定理1 对于由（2）式描述的行为模型 ，风险投资者进行风险投资的必要条件是'
R >
证明 记y (t ) =e x (t ), 则
的解应该满足的条件是， ct 1A (c +br ) 1/b {} (3) br a (1-b ) 1-b dy dx (t ) =e ct +ce ct x (t ) ，利用引理1可以得到规划问题（2）dt dt
-e -rt +λabu b -1e ct =0
d λ
dt =0
dy
=au b e ct , y (0) =0, y (T ) =Ae cT
dt
-u (t ) e -rt +λ(t ) au b (t ) e ct -Rre -rt =0at T
分别称为控制方程，伴随状态方程，状态方程和横截条件。由（4）知 1
-(c +r ) t
u (t ) =? e ?b -1
?
?ab λ??
λ(t ) =const =λ0
将（5）和（6）式带入状态方程并利用初始条件积分有
b c +br
y (t ) =a (λ0ab ) 1-1-b t
b
c +br (e 1-b -1)
由终端条件可以得到
b
y (T ) 1-b (c +br ) T
=a (λ0ab ) 1-b 1-b
c +br (e -1) =e cT A
由（4）式的第四式
e -(c +r ) T 1-(c +r ) T b
-{λab 1-b e -rT +λe 1-b cT -rT
0a {λe -r Re =0
00ab
联立（7）和（8）式，注意其中λ0, T 是待求量，消去其中一个，我们可以得到
c +br
e -1-b T =1-(c +br ) A
(brR ) b (1-b ) 1-b a
故有
T =-1-b
c +br Ln [1-(c +br ) A
(brR ) b (1-b ) 1-b a ] (4) (5) 6） 7） 8） 9） (10) （ （ （ （
此即风险投资的研发周期，它既取决于该项投资所需的科学技术积累水平，也取决于风险投资者本身的技术行为结构的参数。
由于风险投资的研发周期T >0, 而0<1，c>0, r >0立得定理1的结论。证毕。
定理1告诉我们应该如何去选择风险投资项目，即使在垄断环境下，风险投资者也不可能随意投资，他应该根据项目的收益和对科学技术累积水平的需要去改变和调整自身的风险投资结构参数，即净投资效用参数a ，边际投资效应参数b 和科技水平保持参数1-c ，以及风险投资者对这些参数的具体调整能力，视具体情况决定是选择还是留待以后去开发这个项目。这样的例子很多，比如我们的载人 太空飞行，我们的长江三峡工程等等都可以说明这个问题。
推论1 风险投资者的最优投资策略是
u (t ) =brR (c +r )(t -T ) /(1-b ) (11) e 1-b
1
1-b 证明 由定理1知，当（4）式成立时，T >0, 从而规划问题有最优解，由（9）可得 (λ0ab ) =br Re
1-b -(c +r ) T 1-b
以此代入（5）式并利用（6）式可得（11）式。
推论1表明风险投资者在不同的时段内的投入是不同的，随着时间的增长，投入也不断增加，在成功阶段的投入最大。
3 竞争环境下的风险投资模型
处于信息时代的风险投资者，任何时候也不可能独占某一领域而不让他人涉足，为着某个相同的目的，会有若干个投资者对同一项目进行投资，只有当第一个成功者出现并获得了排他性的专利权后才会阻挡他人的进入，而一个人决定投资是他（或者她）断定此前还没有人先于他（或者她）获得成功。
由假设3）知，注意到F (0) =0，易知某个投资者认为在他拟投资的领域里第一个成功的投资者在未来任意时刻t 出现的概率为
F (t ) =1-e -st (12)
其中s > 0是一个常数，当然对不同的投资者来说，依他们对市场的了解和认识的程度不同而不同。但对一个特定的风险投资者来说，s 保持不变。
按照（12）式的设定，一个风险投资者在时刻t 决定进行投资的概率是在该时刻前还没有成功者出现的概率1-F (t ) , 沿用2中的符号，投资者在这种情况下获得最大期望收益的动态优化模型是
max u (t ), T {Re
' b -rT (1-F (T )) -?T 0e -rt u (t )(1-F (t )) dt } S . T :x (t ) =au (t ) -cx (t ); x (0) =0, x (T ) =A (13)
利用（12）式将上式改写为
max u (t ), T {Re-(r +s ) T -?e -(r +s ) t u (t ) dt }0T (14) S . T :x ' (t ) =au b (t ) -cx (t ); x (0) =0, x (T ) =A
比较（14）和（2）式可以发现，除了目标函数中r+s 代替了r 外，（14）和（2）式在形式上完全相同，我们可以很方便的得到下面的定理。
定理2 竞争环境下个体（单独的企业）进行风险投资的必要条件是
R >1A (c +(r +s ) b ) 1/b {} (15) b (r +s ) a (1-b ) 1-b
证明： 在定理1的证明过程中，用 r+s 代替r 即可得到（14）式。
类似于推论1的证明方法，可以得到推论2。
推论2 竞争环境下风险投资者的最优投资策略是
u (t ) =b (r +s ) R (c +r +s )(t -T ) /(1-b ) (16) e 1-b
4 讨论
4.1 竞争加快了研究与开发的进程
利用引理1求解（14）式给出的规划问题，可以得到风险投资者的研究与开发周期为
T =[c +b (r +s )]A 1-b (17) Ln {1-b 1-b c +b (r +s ) [b (r +s ) R ](1-b ) a
与（10）式比较可以发现，在其他条件不变的情况下，由（17）式计算出来的研发周期比用
（10）式计算出来的研发周期要短，这是由于竞争的存在从而在（17）式中引入了竞争因子s 造成的, T 随着s 的增加而减小，可见竞争加快了研发的进程，加速了新产品的出现，竞争----合理而有序的竞争是新产品的催化剂。表1给出了几组不同参数对于不同的竞争形势（即不同的r+s值）下的研发周期。
表1 不同竞争形势下的研发周期（单位为年）
A R b a r+s=.08 r+s=.09 r+s=.10 r+s=.12 1 1 1/2 1 4.1558 3.9631 3.8013 3.5439 1 2 1/2 1 2.7893 2.6491 2.5309 2.3414 1 1 2/3 1 4.8926 4.6196 4.3950 4.0475
比较（14）和（2）式还可以发现，r+s相当于贴现率，由表1可以看出，随着社会贴现率的上升，完成一项开发与研究的时间T 将减少，从而反映了人们希望尽快获得这种收益以免在未来收益贬值的心态。参数s 从形式上看描述的是竞争的环境，而从经济本质上讲，却是反映的竞争加速了社会贴现这样一个事实
表1中 的数据是在c =0的情况下计算的，从（17）式可以看到，当c >0时，风险投资的研发周期将缩短。事实上，参数c 描述了风险投资系统中的技术磨损，而技术磨损越快，产品的更新换代的时间亦即产品的寿命周期越短，新产品的研发周期也就越短。
4.2 竞争增加了社会成本
“天底下从来没有免费的午餐”，风险投资中引入竞争后研发时间的减少是以增加他的社会成本为代价的[2]。由于各不同的投资者各具不同的技术行为参数，因而要准确地估计社会成本是不可能的，但是我们可以给出一个社会成本的上限，为此设在为着同一目的而进行风险投资（研究）的队伍中共有n 个成员（有限竞争，现实的经济社会中并不存在真正意义上的竞争），而其中的第k 个为优胜者，由（16）式知，优胜者的投资策略为
b (r +s ) R (c +r +s )(t -T ) /(1-b ) u k (t ) =1-b e
=b (r +s ) R br 1-b {1-A () /(Ra ) b }1/b e (c +r +s ) t /(1-b ) 1-b 1-b
而对其余n -1个投资者必有 u i (t )
i =1, i ≠k ∑?n T 0e -(r +s ) t u i (t ) dt <(n -1)="" ?e="" -(r="" +s="" )="" t="" u="" k="" (t="" )="" dt="">
1-b T
=(n -1) R {b (r +s ) /(1-b )}A
R b a {1-[b (r +s ) /(1-b )]1-b A /(Ra ) b }(1-b ) /b （18）
这个成本完全是由于竞争引起的，在市场经济的条件下，竞争是不可避免的，但是无序的过度的竞争却是有百害而无一利的。作为竞争行业的管理者的重要任务之一就是如何协调各个投资者，使得既可以尽快的出成果，又能够有最低的社会成本（此时就是行业成本）；其次协调好行业内各个研发单位的风险投资方向，形成行业合力和整体优势，将是经济时代行业管理的一个永恒的课题。
4.3 竞争性行业协调的依据
从整个行业看，风险投资的社会成本应该小于从该投资中获得的收益R ，由此及（18）式我们可以得到竞争性行业进行风险投资的必要条件并作为行业协调的依据:
b (r +s ) 1-b [b (r +s ) /(1-b )]1-b A (1-b ) /b b A ≤R a {1- (n -1){ (19) b 1-b (Ra )
当a =1，b =1/2时由（17）式可以得到
n ≤(R 1/2) /A (20) r +s
该式给出了竞争性行业中参与同一项目的风险投资者的数量上限，对于行业协调具有重要的意义。
4．4 垄断与竞争的关系
在（20）式中，若令s=0, n=1, 则有A ≤R /r , 与由（3）式得到的结论（a =1, b =1/2）完全相同，可见竞争的结论是 具有一般性的结论，而没有竞争的情况仅仅是竞争情况下的一个特例，这就使得本文的两个不同环境下的结论统一起来了。结论有一点出人意外：垄断只是竞争的一个特例，垄断是竞争的一种特殊形式，垄断包含在竞争中？！
参考文献 [1] Morton I.Kamien & Nancy L. Schwarts, 1991， Dynamic Optimization, Elsevier
science publishing, CO , INC .New York， 46-56
[2] 刘凯，2001，产品开发时机对策分析，华中科技大学学报，V ol.29 (Sup.1)， 70-72
组合证券投资决策模型
组合证券投资决策模型
证券投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。由于投资收益率受证券市场波动的影响，因而可以将其看作一个随机变量。我们可以用一定时期内某种证券收益率X的期望值E(X)来衡量该种证券投资的获利能力，期望值越大证券的获利能力越强；证券的风险可以用该种证券投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来度量，方差越小证券投资的风险越小。
投资者在选择投资策略时，总希望收益尽可能大而风险又尽可能小，但高收益必然伴随着高风险，低风险也只有在低收益下才有可能。所以投资者只能选择在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略，或者选择在自己愿意承受的风险水平的情况下追求使总收益率尽可能大的目标。也可以权衡收益与风险的利弊，综合考虑，作出自己满意的投资决策。降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式，即投资者选择一组证券而不是一种证券作为投资对象，然后将资金按不同的比例分配到各种不同的证券上进行投资以达到分散投资风险的目的。当然，投资策略的确定不是随意的，它应是建立在科学分析的基础上，以一定的准则来确定最满意的组合证券投资策略。
假定投资者选定了n种风险证券，Xi为证券投资期内第
i种证券的收益率，它受证券市场波动的影响,其预期收益率
和风险分别为Xi的数学期望E(Xi)??i及方差D(Xi)??i2 (i=1,2,...,n)。n种风险证券收益率向量为
X?(X1,X2,?,Xn)，它是一个n维随机向量。若n维随机
T
向量X的期望向量
??(E(X1),E(X2),?,E(Xn))T
?COV(X1,Xn)?
?
?COV(X2,Xn)?
???
???D(Xn)?
?(?1,?2,?,?n)T，协方差矩阵
D(X1)COV(X1,X2)?
?
D(X2)?COV(X2,X1)
???
????COV(X,X)COV(X,X)?n1n2??11?12??1n?????21?22??2n?
???????
?????????n1n2nn?
且一般假定?为正定矩阵。
n
组合证券投资的收益率为R?
n
?wX
ii?1
i
，式中wi为投资
期内在第i种证券投资占总投资额的比例，满足
?w
i?1
i
?1,wi?0（此处假定在不允许卖空条件下的投资）。
n
n
由于Xi均为随机变量，则R也是随机变量，它的数学期望为
m?E(R)??wiE(Xi)??wi?i，方差为
i?1
i?1
nnn
??
?2?D(R)?D??wiXi????wiwj?ij，
?i?1?i?1j?1
式中?ij为第i种证券与第j种证券收益率的协方差，它
反映了第i种证券与第j种证券收益率的关联（相关）程度，
?ij??ji，?ii??i2(i,j?1,2,?,n)。
若记W?(w1,w2,?,wn)T，FnT?(1,1,?,1)是分量全为1的n维向量。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分
别表示为：
m?WT? ?2?WT?W
由此可以看出，在选定n种投资证券的前提下，n种证券的预期收益率向量?及协方差矩阵?就是已知的(可以根
据统计数据给出估计)，组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量W。
投资者的愿望是使得投资的期望收益率最大，即
maxm?WT?；而又使得风险最小，即min?2?WT?W。
然而，两者都达到是不可能的。投资者只能在达到一定期望收益率的前提下使组合证券投资的风险最小，或者在愿意承受一定风险的情况下使投资的期望收益率最大。建立组合证券投资决策模型：
min
?2?WT?W
?WT???0
?T
s.t.?FnW?1?W?0?
其中?0是给定的预期收益率。该模型的意义是：在达到预期收益率不低于?0的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹（H.M.Markowitz）均值—方差模型。由于均值—方差模型是一个二次规划问题，求解二次规划问题有现成的计算机软件（如LINGO等），求解是十分方便的。
例如，有三种证券的各期收益率数据如下表所示：
三种证券的预期收益率向量?及协方差矩阵?可由原始统计数据估计出来。一般来说，若n种证券，m期投资的收益率统计数据为
x11,x12,?,x1m;x21,x22,?,x2m;…；xn1,xn2,?,xnm;
则可以根据这些统计数据作为样本，求出?i及
?ij(i,j?1,2,?,n)的估计值。记
1m
i??xik (i?1,2,?,n),
mk?1
1m
sij?sji??(xik?i)(xjk?j) (i,j?1,2,?,n)
mk?1
用样本矩作为总体矩的点估计，则
?i?i (i?1,2,?,n) ?
?ij???ji?sij (i,j?1,2,?,n) ?
所以，可得?及?的估计
?1,??2,?,??n)T?(1,2,?,n)T ??(?
?ij)n?n?(sij)n?n ??(?
由上表中的数据，可算得期望收益率向量及协方差矩阵分别为
??(16%,18%,14%)T
0.242??1.1670.292
?????0.2921.583?0.333?
?0.242?0.3330.777???
若要进行组合投资，在投资的期望收益率不低于17%的前提下，使投资的风险最小。因此可以建立组合证券投资决策的均值—方差模型：
22min?2?1.167w12?1.583w2?0.777w3?0.584w1w2
?0.484w1w3?0.666w2w3
?0.16w1?0.18w2?0.14w3?0.17?
s.t?w1?w2?w3?1
?w?0,w?0,w?0?123
用LINGO8.0求解，输入程序：
model:
min=1.167*w1^2+1.583*w2^2+0.777*w3^2+0.584*w1*w2+0.484*w1*w3-0.666*w2*w3;
0.16*w1+0.18*w2+0.14*w3>=0.17; w1+w2+w3=1; end
输出结果：
Local optimal solution found at iteration: 12 Objective value: 0.7574259 Variable Value Reduced Cost W1 0.2316612 0.000000 W2 0.6341694 0.000000 W3 0.1341694 -0.2056630E-08 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.7574259 -1.000000
2 0.000000 -53.88619 3 0.000000 7.645800 因此，得：
w1?0.2316,w2?0.6342,w3?0.1342,min?2?0.757426。
即三种证券的投资比例分别为23.16%、63.42%和13.42%，可使组合证券投资的收益率不低于17%，投资的风险（方差）最小，最小值为0.757426。
第四节 案例2——证券投资计划
投资是一项收益与风险并存的经济行为，投资者在获取较高收益率的同时也承受一定的风险。高收益必然伴随者高风险，为了降低投资风险，人们不是选择一种证券而是选择一组(n种)证券进行组合投资，通过组合证券投资来规避和降低投资风险。
假设投资者选择n种证券进行投资，ri为证券投资期内第i种证券的收益率，它是受证券市场波动影响的随机变量；用ri的数学期望E(ri)??i表示第i种证券的期望收益率，反映投资的获利能力；用ri的方差D(ri)??i2代表第
?ij为第i种证券与第j种反映收益的不确定性；i(i?1,2,?,n)种证券投资风险，
证券收益率的协方差，反映了第i种证券与第j种证券收益率的关联(相关)程度
(i,j?1,2,?,n)。
如果投资者对这n种证券进行组合投资，设xi(i?1,2,?,n)为投资期内第i种证券投资占总投资额的比例(满足?xi?1,xi?0)，则组合证券投资的收益率R
i?1n
为：R??xiri。
i?1
n
R仍为随机变量，其数学期望m为组合投资的期望收益率，方差?2为组合投资的风险。计算公式为：
m?E(R)??xiE(ri)??xi?i
i?1
i?1
n
n
?2?D(R)???xixjCov(ri,rj)???xixj?ij
i?1j?1
i?1j?1
nnnn
若用矩阵表示，记：
这n种证券的投资比例向量x?(x1,x2,?,xn)T；
n种证券期望收益率向量??(?1,?2,?,?n)T； ??11?12??1n?
???????222n?协方差矩阵???21 ???????????n1?n2??nn?
根据数理统计理论，?及?可分别由样本数据估计得到。如果rit为我们所选择的第种i证券第t期的收益率(i?1,2,?,n;t?1,2,?,N)，其中
rit?(pit?pit?1?Dit)/pit?1，这里pit、pit?1分别为第i种证券第t期末和第t?1期末
的价格，Dit为第i种证券第t期的分红。根据样本均值、样本方差和样本协方差分别为总体均值、总体方差和总体协方差的无偏、一致、有效估计量，则可得：
1
?i?i??
N
?r
t?1
N
it
(i?1,2,?,n）
1N
?ij?sij???(rit?i)(rjt?j)（i,j?1,2,?,n)
N?1t?1
即可获得期望收益率向量?及协方差矩阵?的估计，为我们进行投资决策奠定基础。通常，高收益伴随着高风险，而低风险只有在较低收益之下才能实现，所以不可能使风险最小而同时又使收益最大，故投资者只能在风险与收益之间权衡后作出自己比较满意的证券投资组合决策。
理性的投资行为是风险厌恶型的，但不是极端风险厌恶型(不管收益大小，只求风险最小)，属风险回避型，准则是：在预期收益率为m0的情况下选择使投资风险最小的投资方案。可通过下面的不允许卖空的组合证券投资决策模型进行投资决策：
min?2?xT?x
T
?enx?1
模型(A)?
s.t??Tx?m0
?
?x?0
式中，en?(1,1,?,1)T是元素全为1的n维列向量，m0是供投资者选定的预期收益率。该模型的意义是：在满足既定预期收益率m0的情况下，使投资的风险?2最小。
基于以上投资组合理论，本文将根据中证指数公司发布的HS300行业分类指数构建投资组合，样本数据为2005年1月4日—2008年4月18日的日收盘价，共797个样本来分析行业资产配置的问题，并进一步进行资产配置的影子价格分析。
HS300行业分类指数分别是：能源指数、原材料指数、工业指数、可选消费指数、主要消费指数、医药卫生指数、金融地产指数、信息技术指数、电信业务
指数和公用事业指数。
根据这些行业的期望收益率(对数)的样本值得到期望收益率向量与协方差矩阵为：
??10?3?(1.76,1.60,1.34,1.43,2.06,1.54,1.98,0.60,1.32,0.81)
?4.8224?
?3.8917?3.5822?
?3.5381?
?4?2.9130??10?
?3.2834?
?3.4681?3.4246?
?3.3892?
?3.5049
3.89174.69364.03344.10463.27333.65433.48164.00723.47693.9751
3.58224.03344.19574.07173.22853.77613.35864.07653.35393.9240
3.53814.10464.07174.62203.36573.98803.42984.51053.36073.9353
2.91303.27333.22853.36573.93943.28302.76733.34492.75103.0409
3.28343.65433.77613.98803.28304.85073.13924.02382.95823.6543
3.46813.48163.35863.42982.76733.13924.87173.30693.17823.1534
3.42464.00724.07654.51053.34494.02383.30695.46263.49664.0184
3.38923.47693.35393.36072.75102.95823.17823.49665.27283.3211
3.5049?
?3.9751?3.9240??3.9353?
?3.0409?3.6543?
?3.1534?4.0184??3.3211?
?4.6585?
①假设投资者的预期收益率为2‰
则可建立非线性规划模型，如下：
22222
min?2?10?4?（4.8224x12?4.6936x2?4.1957x3?4.6220x4?3.9394x5?4.8507x6
2222
?4.8717x7?5.4626x8?5.2728x9?4.6585x10?7.7834x1x2?7.1644x1x3
?7.0762x1x4?5.8260x1x5?6.5668x1x6?6.9362x1x7?6.8492x1x8?6.7772x1x9?7.0098x1x10?8.0668x2x3?8.2092x2x4?6.5466x2x5?7.3086x2x6?6.9632x2x7?8.0144x2x8?6.9538x2x9?7.9502x2x10?8.1434x3x4?6.2570x3x5?7.5522x3x6?6.7172x3x7?8.1530x3x8?6.7078x3x9?7.8480x3x10?6.7314x4x5?7.9760x4x6?6.8596x4x7?9.0210x4x8?6.7214x4x9?7.8706x4x10?6.5660x5x6?5.5346x5x7?6.6898x5x8?5.5020x5x9?6.0818x5x10?6.2784x6x7?8.0467x6x8?5.9164x6x9?7.3086x6x10?6.6138x7x8?6.3564x7x9?6.3068x7x10?6.9932x8x9?8.0368x8x10?6.6422x9x10）
?0.00176x1?0.00160x2?0.00134x3?0.00143x4?0.00206x5?0.00154x6?0.00198x7
??0.00060x?0.00132x?0.00081x?0.002
8910?
s.t.?x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7?x8?x9?x10?1?xi?0(i?1,2,?,10)??
运用Lingo8.0求解，得到方差最小的组合投资策略。变动预期收益率当预期收
益率m0，当预期收益率从0.00172——0.00206取不同值时(步长取1?10?4)，风险
?2与对应的拉格朗日乘数绝对值?1如下表
表3-1 收益率与对应的风险与及拉格朗日乘数绝对值表
作出风险随收益率的变化图与拉格朗日乘数绝对值随收益率的变化图(图3-1与图3-2)
图3-1 风险随收益率的变化图
2注：纵坐标为?，横坐标为m0
从图3-1可以看出，在m0较小时，随着m0的增加?2增加的速度比较慢，在m0相对较大时，随着m0的增加?2增加的速度比较快。曲线在每一点的切线斜率的大小，就是预期收益率m0在当前值的机会成本的大小，就是对应的拉格朗日乘数，即不同收益率的边际成本。曲线上的每一点的纵坐标都代表在该收益率下(横坐标的值)风险所能达到的最小值。
图3-2拉格朗日乘数绝对值随收益率的变化图
注：纵坐标为?1，横坐标为m0
从图3-2可以看出：当拉格朗日乘数(收益率的影子成本)绝对值比较小时，即风险随收益率的变化速率较慢时，增加一单位收益率引起的风险的增加比较小，或者说风险只需小小的增加一点就可以使得收益率有一定的增长空间，所以此时可以采取增加投资风险来提高收益率；但是当拉格朗日乘数绝对值比较大时，即风险随收益率的变化速率较快时，收益率稍稍增加一点，都可能使得风险
增加很多，就不可以采取增加投资风险来提高收益率。
进一步由图3-2可以看出，当m00.002时，收益率增加，拉格朗日乘数绝对值增加的比较明显，也即收益率增加带来的风险增加的速率较快，收益率增加一点会使得风险增加很多，这时增加收益率则是不明智的，此时应规避风险，降低收益率。这里拉格朗日乘数的变化就是收益的影子成本的变化，投资者可以根据拉格朗日乘数的变化来确定自己的投资策略。
SETS:
STOCKS/1..10/:Mean,X;
STST(Stocks,stocks):COV;
ENDSETS
DATA:
TARGET=0.0015;
!Mean是收益均值，COV是协方差矩阵;
mean=0.00176 0.00160 0.00134 0.00143 0.00206 0.00154 0.00198 0.00060 0.00132 0.00081; COV=0.00048224 0.00038917 0.00035822 0.00035381 0.00029130 0.00032834 0.00034681 0.00034246 0.00033892 0.00035049
0.00038917 0.00046936 0.00040334 0.00041046 0.00032733 0.00036543 0.00034816 0.00040072 0.00034769 0.00039151
0.00035822 0.00040334 0.00041957 0.00040717 0.00032285 0.00037761 0.00033586 0.00040765 0.00033539 0.00039240
0.00035381 0.00041046 0.00040717 0.00046220 0.00033657 0.00039880 0.00034298 0.00045105 0.00033607 0.00039353
0.00029130 0.00032733 0.00032285 0.00033657 0.00039394 0.00032830 0.00027673 0.00033449 0.00027510 0.00030409
0.00032834 0.00036543 0.00037761 0.00039880 0.00032830 0.00048507 0.00031392 0.00040238 0.00029582 0.00036543
0.00034681 0.00034816 0.00033586 0.00034298 0.00027673 0.00031392 0.00048717 0.00033069 0.00031782 0.00031534
0.00034246 0.00040072 0.00040765 0.00045105 0.00033449 0.00040238 0.00033069 0.00054626 0.00034966 0.00040184
0.00033892 0.00034769 0.00033539 0.00033607 0.00027510 0.00029582 0.00031782 0.00034966 0.00052728 0.00033211
0.00035049 0.00039751 0.00039240 0.00039353 0.00030409 0.00036543 0.00031534 0.00040184 0.00033211 0.00046585;
ENDDATA
[OBJ] MIN=@sum(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j));
[ONE] @SUM(stocks:mean*X)>=TARGET;
[TWO] @SUM(STOCKS:X)=1;
END
投资决策模型实验报告
课 程 实 验 报 告
专 业 年 级 09级会计 课 程 名 称 计算机会计学 指 导 教 师 学 生 姓 名
学 号
实 验 日 期 2012年5月23日 实 验 地 点 网络机房1 实 验 成 绩
教务部制
二〇一二 年 五 月 二十三 日
实验项目名 投资决策模型 称
实验目的及1、掌握投资决策指标及其函数的应用;
要求 2、熟练应用Excel建立投资决策模型。
1、根据示例利用Excel建立投资决策模型; 实验内容 2、通过Excel工作表建立模型完成习题。
1、打开Excel应用软件;
2、建立满足示例一的表格，应用净现值函数NPV()求出该店铺投资的净现
值，得出净现值大于零，即是该投资可行;
3、根据题意建立一张满足示例二的表格，利用内部报酬率函数IRR()求出该
项贷款投资的内部报酬率，再应用求出的内部报酬率来求每期的利率几期末
贷款余额;
4、根据题意建立满足示例三的表格，利用财务函数PV()求出条件一15的收实验步骤 益现值，利用财务函数PMT()求出条件二的年还款额，再利用财务函数IRR()
求出该项投资的内部报酬率;
5、根据习题建立一个满足题意的投资模型表格，应用财务函数NPV()分别求
出项目A与项目B的净现值;
6、利用逻辑函数IF()得出是项目A较优还是项目B较优;
7、应用内含报酬率函数IRR()分别求出项目A与项目B的内含报酬率;
8、再使用一个内建函数求出两个项目的净现值相等时的贴现率及相等的净
现值。
掌握实验环Excel应用软件 境
1、利用Excel应用软件里的函数，能节约了很多的时间，提高工作效率;
2、利用Excel的财务函数可以方便地计算出货币的时间价值、贴现率、净现
值和内部收益率等各项投资指标，使多项目投资决策模型的建立更为简单、实验结果与方便、实用; 分析 3、对资金限额情况下的投资项目最优组合及投资安排决策，在EXCEL上进行
计算，具有方便、迅速的优点;
4、应用Excel建立模型，可以清晰明了的观察到投资是否合算。 注:可根据实际情况加页
马柯维茨投资决策模型
证券投资者从事证券投资的目的，主要在于获取适当的预期收益。他们可以把
资金全部投资一种或少数几种收益较高的证券上，以争取获得最大限度的收益。但是，投资
的收益和风险是相辅相成的，高收益必然包含着高风险。所以，精明的投资者选择若干种证
券加以组合，以分散其投资风险，避免过高风险和过低收益这两种极端情况的出现。这种投
资方法是根据多样化的原则，建立一个投资组合（Portfolio），即包括多种证券在内的资产组合，目的是在一定的风险水平下获得最大的预期收益，或者获得一定的预期收益而使风险
最小。
在寻求最佳的资产组合时，投资者要考虑三个变量：风险、利润和相关性。投资者最终的
目标决定了他必须承受的风险，也就是说他要在效率界限中找到最佳的投资组合。
本文主要介绍马柯维茨理论，建立马柯维茨模型进行投资组合决策分析，并利用拉格朗日
（Lagrange）乘数法对模型进行求解，且对实例进行分析求解。
本文显得过于简单，忽略了很多实际问题，所以对于精确度要求较高的投资者并不适用。
本文立足知识要求低，相比于其他复杂的模型而言，本文不需要太多的专业知识，在实际应
用中有一定的价值。
马柯维茨模型，投资组合，均值-方差模型
AbstractThe stock certificate investor is engaged in the purpose of stock certificate
investment, being mainly lie in obtaining appropriate expectation income. They can
invest all of the funds one kind or minority a few stock certificates with higher incomes
1
up acquire by fighting for utmost income. But, the income moderate breezes insurance
of the investment is complement each other, the high income includes high risk by all
means. So, the investor of hardhead chooses some stock certificates to take in to
combine to invest by scattering it risk, once avoiding high risk with lead low income
these two kinds of extreme circumstances of emergence. This kind of investment
method according to diversification of principle, build up a portfolio, then include
various stock certificates at inside of the property combine, the purpose is in the certain
risk level to descend to acquires the biggest expectation income, or acquire certain
expectation income but makes risk minimum.
While looking for the best property to combine, the investor wants to consider
three to change quantity: Risk, Profits and Relativity. The investor end target comes to a
decision the risk that he has to bear, is also say he wants in the efficiency boundary to
find out the best portfolio.
This text mainly introduces Markowitz Theories, the establishment Markowitz
model carries on portfolio decision analysis, and make use of Lagrange multiple method
to carry on solving to the model, and carry on analysis to solve to the solid example.
This text seems to is too in brief, neglecting a lot of actual problems, so requesting
higher investor to combine obsolescent to the accuracy. This text has a foothold the
knowledge have low request, comparing in other complicated models but speech, this
text doesn’t need too many professional knowledge, there is certain value in physically
applied.
KeywordsMarkowitz Model, Portfolio, Mean-Variance Model
美国经济学家马柯维茨（Harry M.Markowitz）是现代投资组合理论的创始人。
他于1952年3月在《金融杂志》上发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，并
于1959年出版了同名专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，
建立了均值－方差证券组合模型的基本框架。马柯维茨的投资组合理论认为，投
资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相
应的预期收益加以补偿的额外风险。马柯维茨根据风险分散原理，应用二维规划
的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给
定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。同时马柯
维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受
各证券之间的相互关系的影响。
（一）马柯维茨理论是建立在下面五个前提假设上的：
1、呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，
即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；
2
2、投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单期
效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；
3、投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险；
4、投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函
数只是预期风险和收益的函数；
5、在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期
收益后，投资者偏好更低的风险。
6、市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市场
的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息是有效的，资产是完全
可以分割的。
（二）投资组合的预期收益和预期风险
根据马柯维茨理论的前提假设：投资者仅依靠投资的预期收益和预期风险来做
出决定。下面介绍预期收益和风险的计算方法。
1、预期收益
预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率。
（1）单一证券的预期收益
s单一证券的预期收益，这种证券在未来有种状态，那么证券的预期收益为： ii
N
Errp(), iiss,s,1
Er()式中，为期望收益率； i
ps为状态出现的概率； s
rs为针对状况出现时证券的收益率； iis
为各种可能状况的总数。 N
[例1]某股票未来一个月内的可能收益率及其发生的概率如下表所示， 可能的结果 1 2 3 4 5 收益率（%） -2.50 2.00 3.20 4.50 6.70
概率 0.10 0.15 0.05 0.60 0.10
根据公式，可以计算出该股票的期望收益率为：
N
Errp(),,iiss,1s
, (-2.5%)*0.10+2.0%*0.15+3.2%*0.05+4.5%*0.60+6.7%*0.10
=3.58%
（2）证券组合的预期收益
r在了解了单一证券的预期收益率后，就可以计算证券组合的预期收益率了。p表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：
3
N
ErxEr()(), pii,i,1
Er()式中，为证券组合的期望收益率； p
Er()为组合中证券的预期收益； ii
x为组合中证券所占的比例，即权数； ii
为组合中证券的种类。 N
[例2]某投资者投资于三种股票A、B和C，它们的期望收益率分别为10%、
15%和12%，投资比例分别为20%、50%和30%。
于是，证券组合的期望收益率为：
N
ErxEr()(),,pii,1i
,20%*10%+50%*15%+30%*12%
=13.1%
由于每种证券在一定时期后的实际收益率与期望收益率可能不一致，因此证券
组合的实际收益率与期望收益率也会不同，从而要对证券组合的风险加以考虑。
2、预期风险
风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化。
在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性。收益率的波动性越大，
投资的风险就越高。收益率的波动性，通常用标准差或方差表示。
标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益
的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大。
（1）单一证券的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下： i
N22,,,[()]rErp方差： iisis,s1,
N2标准差： ,,,[()]rErp,iisis,1s
2,,式中，、分别表示证券的方差和标准差；其余符号的含义同前述预期iii
收益的计算公式。
用[例1]的数据，可以计算出该股票的标准差为：
N2,,,[()]rErpiisis,s1,
22222,,,，,，,，,，,(2.5%3.58%)*0.10(2.0%3.58%)*0.15(3.2%3.58%)*0.05(4.5%3.58%)*0.60(6.7%3.58%)*0.10
,2.36%
4
一般来讲，在相同的期望收益率下，证券的标准差越大，说明其风险也就越大。 i
（2）证券组合的预期风险
1）协方差
证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对
组合的风险产生影响。证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来
表示。协方差是衡量两个随机变量例如证券的收益率和证券的收益率之间的互ji
,动性的统计量。如果用表示证券和之间的协方差，那么： jiij
,,,,,,ErErrEr[(())(())] ijjiisijsj
如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变
动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同
的情形发生。如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一
种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降。
一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关
系或者没有人和互动关系即相互独立。证券之间的协方差越大，那么由它们构成
的证券组合的风险也就越大。
2）相关系数
两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相
,,,关系数。假设和分别为证券和的收益标准差，是两种证券之间的协方jijiji
,差，则其相关系数的计算公式为： ij
,ij ,,ij,,ij
,,,,11,,,,1相关系数的范围是，表示两种证券收益结果的变化方向ijijij
,,1完全不相同，称为完全负相关；表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，ij
,,0称为完全正相关；表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系；相关ij
,(1,0),系数在区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之ij
,(0,1)百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数在区间内，表示两ij
种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的
,正相关关系。必须注意，相关系数＝0时，即证券和证券j不相关只表明证券iiij和证券j不存在线性相关关系，但并不排除证券和证券j有其它形式（非线性的）i相依关系。
5
,,0一般来讲，如果两种证券之间的相关系数，则可能会降低组合后的投资ij
,,0风险，而如果它们之间的相关系数，则可能会加大组合后的投资风险。 ij3）证券组合的方差和标准差
2投资组合的预期风险为： ,p
NN2,,,xx pijij,,ij11,,
,标准差就为： p
NN ,,,xx,,pijijij,,11
,其中，当时，表示证券和证券收益的协方差，反映了两种证券的收ij,jiij
xx益在一个共同周期中变动的相关程度，、表示组合中证券，所占的比例。 jiji
[例3]某投资者投资于A、B和C三种股票，投资比例分别为20%、50%和30%，
,收益标准差分别为0.2、0.10和0.15，A、B、C之间的协方差分别为=0.016，AB
,,=0.018，=0.015。 ACBC
该证券组合的方差计算如下：
NN2,,,xxpijij,,ij11,,
,，，，，20%*20%*0.2*0.220%*50%*0.01620%*30%*0.01850%*20%*0.01650%*
，，，， 50%*0.1*0.150%*30%*0.01530%*20%*0.01830%*50%*0.01530%*30%*
0.15*0.15
,0.015985
NN因此，证券组合的标准差为,,,,,xx0.0159850.1264。 ,,pijij,,11ij
从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的
证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，
如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小
或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率－方差投资组
6
合模型”来解决证券的确定和选择问题。
（一）无差异曲线
投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对 Er()风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线U1U2了。一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效U3 用量的一系列风险和预期收益的组合。在同一条 无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异
的。无差异曲线可以在预期收益率－标准差平面
上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风
险，纵轴表示用预期收益率测度的收益（见图1）。
无差异曲线表现出以下几个特点： ,
（1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，
图1 无差异曲线 位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方
的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在
同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，
在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；
（2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要
让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；
（3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说
明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必
须支付更多的收益；
（4）无差异曲线是不相交的，因为如果两条无差异曲线相交，而又由于不同
的两条无差异曲线代表不同效用水平，显然，这就会出现矛盾；
每一投资者都拥有一组无差异曲线图形来表示他对预期收益率和标准差的偏
好。这意味着投资者将对每一可能的组合确定预期收益率和标准差。从无差异曲
线我们还可以看出一个投资者的风险厌恶程度，高度风险厌恶者的无差异曲线更
陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些（见图2）。这是因为要让高度风险厌恶者再多承担一单位的风险时，他要求收益的增加要大于轻微风险
厌恶者的要求。
高度风险厌恶 中等风险厌恶 轻微风险厌恶 Er()Er()Er()
,,,
图2 风险规避程度不同的投资者的无差异曲线
（二）有效市场边界
无差异曲线可以算是投资者对自己风险收益的主观偏好，用来评价各种资产组
7
合的收益和风险，而有效市场边界就是投资者评价的客体。
图3中的阴影部分就是所有可能的证券组合，就是可行集。这无穷多的组合我
们是不是都要考虑呢？答案是否定的，投资者
仅仅只需要考虑可行集中的一个子集即可。一 BEr()p个投资者选择他的最优组合时将从下列组合中
进行： C
（1）对每一水平的风险，该组合提供最大
的预期收益；
A（2）对每一水平的预期收益，该组合能提
供最小的风险。
满足这两个条件的组合被称为有效集，也叫 D
有效市场边界。从图中可以看出A点具有最小, p的标准差，也就是在可行集中A点的风险最小，图3 可行集 B点的预期收益最高，夹在A、B两点中间的边
界部分就是有效市场边界，也就是说投资者仅
仅考虑这个子集就可以了，而不必考虑其它组合，因为只有在有效市场边界上才
满足以上两个条件。
（三）最优投资组合的选择
我们已经知道，投资者将在有效市场Er()U p3边界中选择他的最优投资组合，至于选择U 2哪一个点进行投资，则是由他对预期收益U 1和风险的偏好决定的。投资者可以借助有
效市场边界和无差异曲线来进行最优投资P 2 P组合的选择。如图4，在同一坐标系上画
出投资者的无差异曲线和有效市场边界，
最优投资组合就是无差异曲线与有效市场
边界的切点。 P 1
根据无差异曲线与有效市场边界的切
0点，我们找到了最佳组合点。虽然投资P,p
图4 最优投资组合的确定 U者更希望能达到的水平，但是这条无差3
U异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的。无差异曲线虽然也与有1
UUU,,PP效市场边界有交点、，但是，因为，所以点的效用最高，且落P12312
在有效市场边界上，也就是说，点构成了多元证券组合的最佳组合点，而且我P
们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的
唯一性。
（一）马柯维茨模型的数学表述
8
按照马柯维茨的想法，投资者需要找到一个最佳的证券组合。这个最佳组合最
能满足投资者在收益和风险之间的平衡。
在一系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值－方差模型。
r设某个投资组合具有种不同的风险证券，其中，第种证券的收益序列为，Niit
2,Ex其预期收益率为，方差为，，它在投资组合中的权重为。则该iN,,,,1,2,,iii
投资组合中的所有权重必须满足约束条件：
N
x,1 （1） i,i,1
2E投资组合的期望收益和方差分别为： ,pp
N
ExExExExE,，，,,,，, （2） ,pNNii1122i1,
NN2,,,xx （3） pijij,,ij11,,
2,在（3）式中，当时，表示证券和的协方差，当时，为ij,jij,,,,iijiji
证券的方差。故可把（3）式改为： i
NNN222,,,,，xxx （3′） piiijij,,,iij111,,,ji,
根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程
中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，
获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：
EE,（?）给定组合收益： p0
NNN222min,,,,，xxx piiijij,,,iij111,,,ji,
N
xEEE,,iip,0i1,N st..ix,1 ,i1,
ixiN,,,,,0,1,2,,
22（?）给定组合风险： ,,,p0
N
maxExE, pii,i,1
NNN 2222,,,,,，,xxxpiiijij0,,,9 iij111,,,ji,N
ix,1 ,i1,
ixiN,,,,,0,1,2,,
st..
E模型（?）的意义是：在既定期望收益的情况下，使投资风险最小。模型0
2,（?）的意义是：在愿意承担风险的条件下，使期望收益最大。事实上，模型0
（?）与模型（?）是等价的，即无论是使用模型（?）还是使用模型（?）确
Er()定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（）－风p
2险（）平面上的同一条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己,p
的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（?）或（?）建立自己的投资组
合，以达到满意的投资效果。
（二）用Lagrange方法解马柯维茨模型
模型（?）和（?）求解时，可以采用Lagrange乘数法，通过构造Lagrange
函数求解。现以模型（?）为例：
利用Lagrange乘数法，作Lagrange函数：
Lxxx(,,,,,),,,,,1212N
NNNNN22 ,，，,，,xxxxEEx,,,,[](1),,,,,iiijijiii102,,,,,iijii11111,ji
x,,xx,,,,,式中，，为Lagrange乘数。函数对，，，，，的偏导LN121212
数，并令其为零，可得：
2LxxxE,，，,,,，，，,2220,,,,,xNN1121211121
2LxxxE,，，,,,，，，,2220,,,,,xNN1212221222
,,,,,, 2xNNNNN112212LxxxEN,，，,,,，，，,2220,,,,,
,NN112201LxExExEE,，，,,,，,,0
,N122Lxxx,，，,,,，,,10
(,,,,,)xxx,,,,,(2)N，(2)N，上述方程组共有个未知数和个方程，因此可1212N
xxx,,,以求出，，，的解，用通式表示如下： N12
xabEiN,，,,,,,1,2,, iii0
10
ba其中，和为解方程组所求得的常数。 ii
利用Lagrange乘数法，可以求出函数的稳定点。在许多情况下，由问题的L实际意义，而稳定点又唯一，因此，唯一的稳定点就是极值点。
Ex对于给定的期望收益率，可以计算出的值，从而得到该期望收益率水平0i
2E下方差最小的证券组合。改变的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差,0p
E最小的证券组合。这样，由根据不同的确定的证券组合形成的集合即为有效市0
场边界。
这一部分应用实际数据建立一个实例模型。这里给出了具体模型的建立过程。
然后应用Lagrange乘数法实现问题的求解。 我们考虑这样一个实际的例子：
这个投资组合中有4中风险资产，也即； N,4证券市场不征收边际资本收入税；
风险资产的期望收益率分别为：
E,1.035E,1.14E,1.175E,1.13，，，； 2341
风险资产和风险资产随机收益的协方差分别为： ji
,,0.20,,0.15,,0.23,,0.52,,,,0.10,,,,0.15，，，，，，1122334412211331
,,,,0.01,,,,,0.16,,,,,0.20,,,,0.10，，，； 1441233224423443
（一）针对这个实际的例子，具体建模过程如下：
Xxxxx,(,,,)1、投资组合，这四个变量为风险资产的比例； 1234
2、投资组合的期望收益为：
NExE,，代入数值，得： ,piii,1
Exxxx,，，，1.131.0351.141.175 p1234
3、投资组合的方差为：
NN2,,,xx，代入数值，得： pijij,,ij11,,
11
22222,,，，，，0.200.150.230.52xxxxp1234
2(0.100.150.010.160.200.10)xxxxxxxxxxxx，，,,，121314232434
针对这个实例，建立两个单目标模型：
（P1）收益一定，风险最小化的优化问题模型如下：
22222min0.200.150.230.52,,，，，，xxxxp1234
2(0.100.150.010.160.200.10)xxxxxxxxxxxx，，,,，121314232434
ExxxxE,，，，,1.131.0351.141.175p12340
st.. xxxx，，，,11234
xxxx,,,,0,0,0,01234 （P2）风险一定，收益最大化的优化问题模型如下： max1.131.0351.141.175Exxxx,，，， p1234
22222,,，，，，0.200.150.230.52xxxxp1234
22(0.100.150.010.160.200.10)xxxxxxxxxxxx，，,,，,,1213142324340 st..
xxxx，，，,11234
xxxx,,,,0,0,0,01234
（二）模型（P1）的求解
E,1.06在这里，取期望收益，具体求解过程如下： 0
作Lagrange函数：
Lxxxx(,,,,,),,123412
22220.200.150.230.52xxxx,，，，，1234 2(0.100.150.010.160.200.10)xxxxxxxxxxxx，，,,，，121314232434
(1.131.0351.141.1751.06)(1),,xxxxxxxx，，，,，，，，,1123421234
,,其中，，为Lagrange乘数。 12
Lxxxx(,,,,,),,xxxx,,分别对，，，，，求偏导数，并令其为零，123412123412
可得：
12
Lxxxx,，，，，，,0.400.200.300.021.130,,x1234121
Lxxxx,，,,，，,0.200.300.320.401.0350,,x1234122
Lxxxx,,，，，，,0.300.320.460.201.140,,x1234123
x1234124Lxxxx,,，，，，,0.020.400.201.041.1750,,
1.1751.060x,,,41231Lxxx,，，，1.131.0351.14
Lxxxx,，，，,,10,12342
xi,,0,1,2,3,4由于，可直接解上述方程组，得： i
x,0.7143x,0.2857x,0x,0，，， 2314
或把上述方程组化为：
, AXB,
x0.400.200.300.021.1310,,,,,,1,,,,,,x00.200.300.320.401.0351,,2,,,,,,,,,,x03,,0.300.320.460.201.141,,XB,,,,,,其中，，， A,,,x04,,,,0.020.400.201.041.1751,,,,,,,11.06,,,1.131.0351.141.17500,,,,,,,,2,,1,,,,,,,111100,,
利用Cramer法则，求解得：
TX,00.71430.28570 ，，
2E,1.06因此，最小风险，收益水平。 ,,0.03pp
尽管马柯维茨的均值－方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模型
时所依赖的一些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程中存在一些
问题。
首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确
度量。相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的。因为历史
的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，一种证券的各种变量也会
随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的
脱节。
其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。
这样尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，
就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。这并不能真正反映投资
者对其真正面临风险进行回避的需要。
13
再次，马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资者有一个共同的单一投资期，
所有的证券组合有一个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使
得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏一个共同的衡量尺度。造成投资组合
求解有效边界的困难。
最后，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马柯维茨的
均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协
方差的估计。这样，对于有只股票组成的投资组合，则不仅要有个收益率估NN计和个方差估计，还要有个协方差估计，总共个估NN(1)/2,2(1)/2NNN，,N
计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，如果运用马柯维茨
的均值－方差模型，估计的任务是相当大的。这样，不仅需要精通理论的专业人
员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确
的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大
打折扣。因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。
[1] H M.Markowitz, Portfolio selection, J.Finance, 1952, 7:77-91.
[2] 哈姆?勒威、马歇尔?萨纳特，证券投资组合与选择，中山大学出版社，1997年。 [3] 阿伦?阿贝、克利福德?杰曼、伊安?希金斯，财富策略－新经济中的财富管理，江苏人民出版社，2004年。
[4] 李向科、戚发全，金融数学，中国人民大学出版社，2004年。
[5] 陈工孟、郑子云，个人财务策划，北京大学出版社，2003年。
[6] 张鸣，投资管理，东北财经大学出版社，2001年。
[7] 徐华青、肖武侠、卢晓生，投资组合管理，复旦大学出版社，2004年。 [8] 范良铸，中国证券市场的最优投资组合选择研究，武汉大学，2005年。 [9] 徐大江，证券投资决策的多目标线性规划方法，系统工程理论与实践，1995年12月，第12期。 [10] 万丽英，证券投资组合优化模型及其算法研究，大连理工大学，2005年。
14
15
多因素证券组合投资决策模型
《预测》1998年第5期
理论与方法研究
多因素证券组合投资决策模型
马永开
唐小我
(安徽财贸学院基础部 233041) (电子科技大学管理学院 610054)
摘 要 本文利用套利定价理论(APT ) 简化M arkow itz 的证券组合决策模型, 导
出了多因素证券组合投资决策模型, 并研究了该模型的解。
关键词 证券组合 因素模型 APT 因素风险 非因素风险1 引言
现代资产配置理论(moder n po rtfolio theo ry, 简称M PT ) 所要解决的问题是找到这样一个法则, 使得投资者可以依据这一法则将一定量的资本在各种可能的资产形式之间作一分配。Harry M arko w itz 的均值—方差模型是经典的资产配置模型, 它采用收益率均值(预期收益率) 和收益率方差(代表风险) 作为风险证券的两项评价指标, 它的理论依据是:理性的投资行为是在尽量减少风险的条件下寻求最大的期望收益或在给定预期收益的条件下使风险最小。均值—方差模型在理论上是严谨的, 但由于其参数多而且难以确定, 风险选择参数的设置又比较单一而且不能反应出投资环境中的诸主要因素对投资效果的影响, 所以它的实际应用常常受到限制。为此, 我们利用套利定价理论(APT ) 对均值—方差模型进行改造, 导出了多因素证券组合投资决策模型, 并研究了它的解。2 套利定价理论(APT )
1964年威廉 夏普(W Sharpe) 在Har ry M arkow itz 的组合证券理论的基础上提出了著名的资本资产定价模型(CAPM ) , 用资产的预期收益率r 与 系数的关联描述收益—风险间的关系, 从而大大简化了运算, 为组合投资理论应用于实际提供了可行的途径, 标志着组合投资理论的成熟。
近年来, 当代组合投资理论循着“资本资产定价模型”的轨迹向前发展, 形成了由斯蒂芬 罗斯(Stephen A Ross) 首创的套利定价理论(Arbitrage Pr icing T heory , 简称APT) 。这个理论与CAPM 所不同的一个显著的观点(也可以说是一个向前的发展) 是, 它认为证券的实际收益并不只是笼统地受对“市场组合(M arket Portfolio) ”变动的敏感性的影响, 而是分别受对经济中许多因素变动的敏感性大小的影响, 即它假定证券i 的收益率是由以下因素模型(factor model) (1) 生成的:
r i =a i + i 1I 1+ i 2I 2+…+ iS I S + i
(1)
式中, I j 是影响证券i 收益率的第j 个指数的值; ij 是证券i 的收益率对第j 个指数的敏感度;
本研究得到国家杰出青年科学基金(79725002) 、国家自然科学基金(79670013) 和国家教委跨世纪优
秀人才培养计划基金[教技厅(1997) 2号]资助收稿日期:1998-07-18
a i 是影响证券i 收益率的所有指数值都为0时证券i 的预期收益水平; i 是随机误差项, 其E ( i )
2=0, V ( i ) = 。i
同时, 公式(1) 还满足以下两个条件:
i , j ) =0(任意两种证券收益率的随机误差项是互不相关的) ; i) Cov (
ii) E { i [I j -E (I j ) ]}=0(证券i 收益率的随机误差项和任一指数是互不相关的) 。
根据APT 的假定条件, 两个风险相同的证券或证券组合不可能提供不同的预期收益。因为一旦出现与上述相反的情况, 套利者就有机可乘, 他可以卖空预期收益率低的证券同时买入预期收益率高的证券, 从而不花一分钱, 不承担任何风险而获取利润。而这种情况在均衡条件下是不可能的, 所以, 证券i 的均衡收益率为:
E (r i ) =r f + i 1[E (I 1) -r f ]+ i 2[E (I 2) -r f ]+…+ iS [E (I S ) -r f ]
j 的风险代价。
公式(2) 就是APT 模型。它给出了均衡条件下资本市场上各种资产的价格风险关系。目前普遍使用的影响证券收益率的五种指数是:利率、景气、通货膨胀、劳动生产率、投资者信心。3 多因素证券组合投资决策模型3. 1 模型的提出
设投资者选择了m 种证券作为投资对象, 第i 种证券的因素模型为r i =a i + i 1I 1+ i 2I 2
+…+ iS I S + i , 投资者投向第i 种证券的投资比例系数为x i , i =1, 2, …, m ; 这m 种证券构成的证券组合的因素模型为
r p =a p + p 1I 1+ p 2I 2+…+ pS I S + p
m
m
i i
p
m
i i
pj
m
i ij
(2)
式中:E (r i ) 是证券i 的预期收益率; r f 是无风险证券收益率; ij 同公式(1) ; E (I j ) -r f 是指数
(3)
i i
则r p =
∑x r , a
i =1
=
∑x a ,
i =1
T
=
∑x (j =
i =1
1, 2, …, S ) , p =
∑x 。
i =1T
为了下文表达的需要, 我们引入记号:X =(x 1, x 2, …, x m ) 为投资比例向量; B =
T
T
1, 2, …, m ) , V ( ij ) m ×S ; r =(r 1, r 2, …, r m ) , ! =E (r ) , V 为收益率向量r 的协方差阵; =(
为随机向量 的协方差阵; e m 为元素全为1的m 维列向量; I =(I 1, I 2, …, I S ) 是影响证券收益率的指数向量。
采用收益率均值(预期收益率) 和收益率方差(代表风险) 作为风险证券的两项评价指标。则证券组合的预期收益率和风险可表示如下:
E (r p ) =X T ! , ?2(r p ) =X T V X
由这两个式子可以看出, 当投资对象确定后, 证券组合的收益和风险仅与投资比例向量X 关, 所以理性的投资者应根据下面的模型确定投资比例向量。
模型(A 1)
m in ?(p ) =X VX s. t.
X T e m =1X T ! =m 0
2
T
有
这就是Markow itz 的均值—方差模型, 其中m 0是供投资决策者选择的证券组合预期收益率, 它的意义是:在给定证券组合投资预期收益率m 0的条件下, 使证券组合投资的风险最小。该模(m +1) (m +2) 个, 确定它们往往比较困难; 提供给投资者的风险2
选择参数只有证券组合投资预期收益率m 0一个, 而且它的值一经确定就不能随投资环境的变型中需要确定的参数有化而变化。
由(2) 式知证券组合的收益率为:
E (r p ) =r f + p 1[E (I 1) -r f ]+ p 2[E (I 2) -r f ]+…+ p S [E (I S ) -r f ]证券组合的风险可表示如下:
?(r p ) =E (r p -E (r p ) )
将(3) 式代入得:
2
?2(r p ) =B T p D S B p +E ( p ) 2
2
(4)
其中:B p =( p 1, p 2, …, pS ) T 是证券组合的系数向量; D S =(d ij ) S ×S 是影响证券收益率的指数向量I 的协方差矩阵, 其中的d ij 满足下式:
d ij =Cov (I i , I j ) (i , j =1, 2, …, S )
由上式可看出, 证券组合投资的风险由两个部分构成, 一部分是由于影响证券收益率的指数向量I 的变化引起的, 我们把它称为因素风险, 记为F 因素; 另一部分是由于证券组合投资收
益率的随机扰动项引起的, 我们把它称为非因素风险, 记为F 非因素。即有
?2(r p ) =F 因素+F 非因素
式中:
2T
F 因素=B T p D S B p , F 非因素=E ( p ) =X V X
(5)
由于投资环境中影响证券收益率的指数向量I 的变化是不以投资者的意志转移的, 所以从(4) 、(5) 两式可看出:投资者只能通过证券组合投资的系数向量B p 来控制证券组合投资的期望收益和因素风险的大小; 当投资对象确定后, 投资者只能通过证券组合投资比例向量X
控制组合投资的非因素风险的大小。所以, Markow itz 的均值—方差模型可以改造为下面的模型(A ) 。
模型(A )
m in F 非因素=E ( p ) =X V X s. t.
e m X =1
T
2
T
B T X =B 0
其中, B T X 就是证券组合的系数向量B p , B 0是提供给投资决策者确定的风险选择向量。模型(A ) 就是多因素证券组合投资决策模型, 它的意义是:在给定证券组合投资的系数向量B P 为B 0前提下, 使证券组合投资的非因素风险最小。
由(1) 式可知, V 是对角矩阵, 模型(A ) 中需要确定的参数有m (S +1) 个, 通常影响证券收益率的指数只选影响最为主要的几个, 向量I 中的元素个数S 远小于参加组合的证券种数m , 所以模型(A ) 和M arkow tiz 的均值—方差模型相比, 模型中需要确定的参数个数要少。
模型(A ) 提供给投资决策者的风险选择参数是一个向量B 0=( 01, 02, …, 0S ) , 其中 0i
是由投资决策者确定的证券组合的收益率对第i 个指数I i 的敏感因子, 它能够反映出投资环境的多变性, 所以, 和M ar ko witz 的均值—方差模型相比, 模型(A ) 中设立的风险选择参数更具科学性。同时, 模型(A ) 将证券组合的投资效果与多个指数建立了联系, 所以, 模型(A ) 更具可控性。
3. 2 模型的解
假定V 是正定矩阵, S
e T m B
T
T
=S +1时, 模型(A ) 有唯一解
(2) 当秩i) 若秩ii) 若秩
e T m B T
T
e T m
T
e m B T e T m B
≠秩=秩
1
, 模型(A ) 有唯一解。此时, 模型(A ) 的约束条件中一定有多
B e T m 1
余的约束条件, 我们可以对T 施行初等行变换, 去除多余的约束条件, 然后用(1) 的结
B B
果就可以求出模型(A ) 的最优解。
T
B B T
e m 1B T
, 模型(A ) 无解。
证明略。
使用模型(A ) 进行证券组合投资决策, 必须为模型(A ) 的风险选择向量B 0选取适当的值。结论1表明当
e m B T
T
是行满秩矩阵时, 投资者可根据自己的需要为B 0的各分量选取适当的
e m
T
值, 因为, 此时无论投资者为它选取什么样的值, 模型(A ) 总是有解的; 当
e T m B
T
不是行满秩矩
B T
阵时, 模型的结构不允许投资者随意为B 0的各分量设置值, 因为此时如果B 0的各分量值设置不当, 会使模型(A ) 无解。下面我们就来研究当
不是行满秩矩阵时, 要使模型(A ) 有解,
B 0的各分量应满足的条件。
T T e m e m T
为方便讨论, 我们设秩T =r
S +1, 且=(b 1, b 2, …, b S +1) (其中b 1, b 2, …, b S +1
T
B B
T e m
都是m 维行向量) 。我们可以通过对T 进行行互换, 使b 1, b 2, …, b r 成为一个极大无关组, 则
B
r
e T m
有b i =∑k ij b j (i =r +1, r +2, …, S +1) 。当投资对象确定以后, 矩阵T 就随之而定了,
j =1B
上式中的系数k ij 也就随之而定了。
由结论1可知, 要使模型(A ) 有解, 必须秩
r
e T m B
T
=秩
e T m B T
1B , 不难看出只要B 0满足
(6)
0i =
即可。
e m
T
∑k
j =1
ij
0j +k i 1 (i =r +1, r +2, …, S +1)
不是行满秩时, 使模型(A ) 有解B 0应满足的条件。由(6) 式可知, B 0的
B T
后S +1-r 个分量是前r -1个分量的线性组合, 所以, 投资者在为B 0设置值时, 为保证模型(A ) 有解, 他的选择自由度只能是r -1。参考文献
1陈共. 证券学. 中国人民出版商社, 1994:251～323
2贝多广. 证券经济理论. 上海人民出版社, 1995:83～1243程希骏. 现代投资理论分析. 安徽教育出版社, 1993:187～304
4戈登 亚历山大, 威廉 夏普. 证券投资学原理. 倪克勤等译. 西南财经大学出版社, 1992:155～268
(6) 式就是当
转载请注明出处范文大全网 » 风险投资决策分析模型
