丶浅陌丶
4 k& X* a, s& w; K中华司仪网 | 天下司仪是一家～如果现场是绢花套系，还可以把戒指
拴在氦气球上。
这么多贱的经典句子 总有一句贱到你心里了(转载)2010年09月14日 星期二 上午 11:34
1.有人把你放心上、有人把你放床上
2.如果你的心里装下另外一个女人 那么 我的床上就可以睡下另外一个男人..
4.人生的终极梦想，客厅放一个ATM机。
5.人生如戏，我总NG。
6.我爱你时，你说什么就是什么。我不爱你时，你说你是什么。
7.有時真覺上天待我不薄，沒有奧特曼定會補我機器貓。
12.脑壳多了 啥子发型都有
13.要么工作不认真，要么认真不工作
14.对你好的人不会永远在你身边 在你身边的人不会永远对你好
15.别人看我是荒谬 我看自己是绝伦
17.因为以前太掏心掏肺了，所以搞的现在没心没肺。
19.好男人都有男朋友了
20.收银员说:没零钱了，找你两个塑料袋吧。
21.我要让全世界知道我很低调~
23.你来我信你不会走，你走我当你没来过
27.我是你转身就忘的路人甲，凭什么陪你蹉跎年华到天涯,
28.省油的灯绝不是好灯～
29.对男人好不如勾引男人对自己好。。
130.好男人就是反复睡一个姑娘，一睡就是一辈子。
131.问世间情为何物，只教人吃饭想吐
132.马不停蹄的错过，轻而易举的辜负，不知不觉的陌路
134.总有一天你的名字会出现在我家户口簿上。
135.别以为我长的帅就认为我遥不可及高不可攀,其实我是海纳百川啊.
137.我必须学会新的卖弄啊 这样你们才会继续的喜欢我~~~
139.一觉醒来 天都黑了
140.你也算是变态界的一朵奇葩
141.我今天心情不好 只想讲四句话 包括前两句 我的话讲完了
142.脱了衣服我是禽兽，穿上衣服我是衣冠禽兽
143.男人的话就像老太太的牙齿 有多少是真的
144.欺骗一个人的最好办法,就是利用自己的真感情,也许不是我遗忘了,只是我不原意想起
而已
146.嘛时候凹凸曼才能被我打倒啊,～
147.你对我很重要，你是我心目中考试用的标准铅笔
148.心情不好的時候去超市捏方便麵??
149.又到了这个学长勾引学妹，学妹勾搭学长，学姐垂涎学弟，学弟攀附学姐，学姐嫉妒学
妹，学妹憎恨学姐，学长抛弃学姐，学姐报复学长，学长欺瞒学弟，学弟巴结学长，学弟追
求学妹，学妹拒绝学弟的季节?
151.你来我信你不会走，你走我当你没来过
153.我是你的过客 ，你是我的定格
154.孔子曰 中午不睡下午崩溃 孟子曰 孔子说的对
155.喜好文艺,想要流浪,路过爱情,解放感
157.闷骚就是自己对自己放荡
158.成不了楷模 当个凯子也是可以的
160.你爸妈要是把那十分钟用来散步多好
100.爱，从我们开始那天，已经偷偷倒数计时。。。。
101.手拿菜刀砍电线，一路火花带闪电。
102.与其相濡以沫，不如相忘于江湖~
103.恋爱的“恋”就是，变态的“变”的上半部分加上变态的“态”的下半部分
105.我纯洁的一刻，胜于你一世谎言。
106.牛逼 就像南方的农作物，一年三熟，都不带歇气儿的
107.尘归尘，土归土，挥手告别二百五
108.你肺活量是多少啊，能把牛逼吹得这么大
109.一个人要令另一个人讨厌不是难事，能让所有的人都讨厌也是一种本事。
110.请不要把我对你的容忍，当成你不要脸的资本。
111.我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊。
112.时间对了，地点对了，感情对了，却发现人物不对!!!
113.差点是美女/帅哥??
114.肉是疯长的东西，胸是瘪下去的东西
116.我允许你走进我的世界,但不许你在我的世界里走来走去
117.人哪有好的`只是坏的程度不一样而已 好腹黑
118.有什么不开心的 说出来让大家开心开心
120.那些都是很好很好的，只是我不喜欢
121.白领:今天领了薪水，交了房租水电，买了油米泡面，摸了口袋，感叹一声，这个月工
资又白领了?
122.低调.才是最NB的炫耀
123.幸福是什麽,幸福是我吃魚你吃肉，看著别人啃骨頭。
126.有的人对你好，是因为你对他好， 有的人对你好，是因为懂得你的好
127.把钻石留下,王老五带走~
128.你在不理我，我就成包子了，而且是天津最出名的那个
129.什么是残忍, 对男人，我就打断他三条腿。 对公狗，我就打断它五条腿。
70.一见钟情，再而衰，三而竭。
71.若你转身牵我手，天涯海角也岁你走。
72.不要在你发现你自己丑时才觉得你真的很丑
73.某女事后踢掉被子说:来世我也要当一个大苦瓜，让吃我的人都尝尝我的苦
74.理想很丰满，现实很骨感。
75.此人已死，有事烧纸。小事招魂，大事挖坟~
77.我以后生个女儿就叫美丽，别人见到我都叫美丽的妈妈
78.没有拆不散的情侣，只有不努力的小三 ;反过来，没有赶不走的小三，只有不努力的正
牌~
79.马桶一定要刷得铮铮发亮，才能心安理得地享受如厕的快感
80.你看我的头像牛B吗? 断句: 你看我的头,像牛B吗?
81.微裝淡裝素裝不及不裝還裝死裝
83.既宅又腐，前途未卜~
84.天都爱我何况是你
85.你才非主流 你们全家非主流 你妈黑袜子 你爸锡纸头
86.学海无涯 回头是岸
87.敏
88.人生就是学会怎么去死
89.我的每一次飞机都是为你打的 (豆瓣名人~～)
91.谈钱伤感情 谈感情伤钱
92.如果我不在装逼，就在装逼的路上。
93.我曾经泪流满面地嘶吼着自己将再也不会为一个女人流泪，结果换来母亲的一顿毒打——那年我8岁。。。
94.你想发财吗,你想交桃花运吗,你想当官吗,你想一夜成名吗,你想永葆青春吗,————不要瞎想了，好好工作吧～
97.故作坚强是因为你其实比谁都软弱 你是那么不愿意去承认这一点。
98.等待你的关心 等到我关上了心
50.喝醉了我谁都不服，我就扶墙。
51.我说的你就信，你智商低呀～
52.曾经有个小女孩跑过来对我说,哥哥你真帅,我冲上去就是两巴掌.废话!!!
53.男人都是消耗品
54.生容易，活容易，生活真他妈的不容易
55.我就是你要的那颗糖果，有一天你会发现，除了我，再也没有别人，就算你再拆开多少糖果纸，永远也不会忘我
56.那是你惟一一次放我鸽子，一放就是一辈子。
57.他总是这样，一脚把你踩在尘埃里，还抱怨，你站的太低，我看不到你了。
60.现在的男人都不像男人了，好不容易找到一个像男人的，还喜欢男人。
现在的女人都不像女人了，好不容易找到一个像女人的，还喜欢女人。
61.the love taught me to lie ，the life taught me to die(爱教会我撒谎，生活教会我死亡。)
62.撒尿靠压力，拉屎靠重力
63.但凡还有膀子力气。就去做自己想做的事。
64.长大要嫁给唐僧玩腻了就把他吃掉
65.你不服吗，不服你就去吃老鼠药死掉啊
67.I am not young enough to know everything (我还没有年轻到什么都懂的地步。)
68.再过几十年就过去了
41.高中本來人就少 再説質量也不好
42.信耶稣，死后成神;信如来，死后成佛;信春哥，死后满状态原地复活。
43.不舍，不得。
44.执子之手，方知子丑，泪流满面，你不走我走
45.他同我演戏,我回报以演技.
46.没有医保和寿险的，天黑后不要见义勇为??
47.糟糕时模仿心情好，犹如烧焦的菜盛装打扮。
48.我又不是咸蛋超人。干吗为了你和全世界作战。
49.流氓会武术谁都挡不住，流氓有文化谁见都害怕
除了《我的前半生》，亦舒还写过这么多动人的句子
关于爱情与婚姻
1、我要很多很多的爱。如果没有爱，那么就很多很多的钱，如果两件都没有，有健康也是好的。——《喜宝》
2、当一个男人不再爱他的女人，她哭闹是错，静默也是错，活着呼吸是错，死了都是错。——《爱情之死》
3、爱一个人，老觉得他笨，非得处处照顾他不可，而不喜欢一个人的时候，肯定他是聪明伶俐，占尽便宜，不劳任何人操心。——《如果墙会说话》
4、男人真正值钱的，还是风度与学问。——《人淡如菊》
5、男人的通病是翻脸不认人，所以长情的男人特别可爱——《她比烟花还寂寞》
6、一个人走不开，不过因为他不想走开；一个人失约，乃因他不想赴约，一切借口均属废话，都是用以掩饰不愿牺牲。——《一千零一妙方》
7、做一个女人要做得像一幅图，不要做一件衣裳，被男人试完了试，却没人买，试残了旧了，五折抛售还有困难。——《喜宝》
8、真正属于你的爱情不会叫你痛苦，爱你的人不会叫你患得患失，有人一票就中了头奖，更有人写一本书就成了名。凡觉得辛苦，即是强求。真正的爱情叫人欢愉，如果你觉得痛苦，一定是出了错，需及时结束，重头再来。——《我爱，我不爱》
9、所以，什么头晕颠倒，山盟海誓，得不到鼓励，都是会消失的，谁会免费爱谁一辈子。——《圆舞》
10、结婚与恋爱毫无关系，人们老以为恋爱成熟后便自然而然的结婚，却不知结婚只是一种生活方式，人人都可以结婚，简单得很。而爱情完全是另外一回事。——《我的前半生》
11、他与她都是凡人，真有什么大事，他救不了她，她也无力背他，不过这还是太平盛世，她只想在忙碌一整天之后好好淋个浴，坐在沙发上，一搭没一搭地与他闲话家常。没有热恋就没有热恋的好了。——《红尘》
12、我有什么事情要你原谅的？我有什么对你不起，要你原谅？每个人都有过去，这过去也是我的一部分，如果你觉得不满——太不幸了，你大可另觅淑女，可是我为什么要你原谅我？你的思想混乱的很——女朋友不是处女身，要经过你伟大的谅解才能继续做人，女朋友结过婚，也得让你开庭审判过——你以为你是谁？你未免把你自己看得太重要太庞大了！——《玫瑰的故事》
13、真爱一个人决不潇洒，为自己留了后步的，也就不是爱。——《星之碎片》
14、能够说出的委屈，便不算委屈；能够抢走的爱人，便不算爱人。——《开到荼靡》
15、我一向反对同居，因为对女方太不公平——尽了所有做妻子的责任，而得不到做妻子的权利。——《男男女女》
关于事业与教育
1、毛咏欣看她一眼，“你我受过大学教育，年纪在三十岁以下，有一份职业，这样的女性，已立于必败之地，在父母家，在办公室，在男伴之前，都需忍完再忍，忍无可忍，重新再忍。”承欢文：“没有例外？”“咄，谁叫你知书知礼，许多事不可做，许多事不屑做，又有许多事做不出。”——《承欢记》
2、就因为你是人，需要生活费用，所以才劝你提醒精神，今日有人需要你，千万别摆架子搞小动作装模作样，待万人唾弃，乞食来不及。——《两者之间》
3、一个人要超越他的环境及出身，进步是不够的，非要进化不可，那样大业，岂能人人做到。——《风满楼》
4、如果有人用钞票扔下你，跪下来，一张张拾起，不要紧，与你温饱有关的时候，一点点自尊不算什么。——《喜宝》
5、人真的要自己争气。一做出成绩来，全世界和颜悦色。——《花解语》
6、读书就是这样好，无论心不在焉，板着长脸，只要考试及格，就是一个及格的人。你试着拉长脸到社会去试一试。这是一个卖笑的社会。除非能够找到高贵的职业， 而高贵的职业需要高贵的学历支持，高贵的学历需要金钱，始终兜回来。——《喜宝》
7、女孩子最好的假装是一张名校文凭，千万别靠它吃饭，否则也还是苦死。带着它家人，夫家不敢欺侮有学历的媳妇.——《喜宝》
8、十年寒窗，十年苦干，再加上十足十的运气，才能有一份事业，你别把事情看得太容易，大多数人只能有一份职业，借之糊口，辛劳一生，有多少人敢说他的工作是事业？——《圆舞》
9、做任何一个行业，都得在岗位上有所表现，既红、不骄、不迟到、不早退、敬业乐业、有衣食，那才是高手。——《寒武纪》
10、你大概误会大学文凭是世界之匙，开启顺风顺水之门，这并不正确。读书目的是进修学问，拓宽胸襟。人生所有烦恼会不多不少永远追随，只不过学识涵养可以使一个人更加理智冷静地分析处理这些难题而已。——《花常好月长圆人长久》
关于生活
1、真正有气质的淑女，从不炫耀她所拥有的一切，她不告诉人她读过什么书，去过什么地方，有多少件衣服，买过什么珠宝，因为她没有自卑感。——《圆舞》
2、如果你真的想做一件事情，那么就算障碍重重，你也会想尽一切办法去办到它。但若是你不是真心的想要去完成一件事情，那么纵使前方道路平坦，你也会想尽一切理由阻止自己向前。——《不是理由》
3、无论怎么样，一个人借故堕落总是不值得原谅的，越是没有人爱，越要爱自己。——《星之碎片》
4、做不到是你自己的事，午夜梦回，你爱怎么回味就怎么回味，但人前人后，我要你装出什么都没有发生过的样子。你可以的，我们都可以，人都是这般活下来的。——《叹息桥》
5、情绪这种东西，非得严加控制不可，一味纵容地自卑自怜，便越来越消沉。——《喜宝》
6、我喜欢向没有知识但是聪明的人学习，他们那一套不讲理、原始、令人难堪，但往往行得通。受过教育的女人事事讲风度，连唯一的武器都失掉，任由社会宰割。——《玉梨魂》
7、当大人像小孩的时候，小孩只得迅速长大。——《圆舞》
8、一直觉得最好的时间永远是现在，不少友人沉湎青春期，想她们必定有过非常光彩的少女生活。——《此一时也彼一时也》
9、“如果优雅老去？”“勤力洗洁护理肉身，不烟不酒勿沾毒药，睡眠充足，还有，不可吃饱，常带三分饥。”“恋爱呢？”“多享受异性陪伴，勿奢望对方仆心仆命。”——《代寻失去时光》
10、越是运气不好，越要沉住气默默振作，静静熬过去，切勿扰攘，制造笑柄，留下后患。——《喜宝》
11、只有不愁衣食的人才有资格用时间来埋怨命运。——《喜宝》
12、世上的人原本如此，要踩大家踩一个人，要捧起来争着捧。——《喜宝》
13、凡事想别人感激，那必然是要失望的。——《故园》
14、一个成熟的人往往发觉可以责怪的人越来越少，人人都有他的难处。——《我们不是天使》
15、把搓麻将的时间省下来，人们不知可以多做几许事。——《男男女女》
简历是这么写的
最近, 看到国家下文告诉社会 07年有 XXX 万, 08年还有 XXX 万, 09年还有 600多万大学生 等待找工作。
希望大学生们
闲话不说,做主管岗位 6年了,看过几千封简历。
这 2周,公司大规模招聘,我基本就干一件事情,看简历。一天 300~500封封。早中 晚各看一次。
找工作很难吗?不难,让 HR 通知你面试就是成功第一步。
唉,现在的高校毕业办的人都在干嘛。
除了收钱毛都不教,教的也不管毛用。
如果你的朋友最近在找工作, 在通过网上投简历找工作, 希望下面的东西有一两条能帮 到忙。
情节 1:不要用 51JOB 和 CHINAHR 的简历模板。
答:的确 51JOB 橘色的模板, CHINAHR 蓝色的模板很工整。但是让你一口气看 100个一 样模板的简历,你会怎样。
建议:自己直接在写邮件的正文区里写点啥吧。 2句话也行。
情节 2:不要用招聘网站的粘贴简历功能。
答:好一点的招聘网站还凑活,很多招聘网站都会在邮件正文告诉阅览者, XXX 对您提 供的职位感兴趣, 使用 XXX 网站的粘贴简历功能给您发送简历, 后面是一串网址, 让你点击 查看详细简历。我是不会点的。
建议:看娱乐新闻可以懒,投简历别懒。
情节 3:工作年限很重要。
答:并不是说应届不好。很多公司(当然也包括我们这个小公司) 在不同的时段会选择 不同的人, 如果恰好这个时期我们优先录用有工作经验的。 可能我连滚动条都没往下拖, 就 点“下一封”了。
建议:在工作年限那里填写你的项目经验年限或者社会实践年限。 不是教大家骗人, 到
简历下面还是要如实说的。这么做只是让你的简历会被往下拖被看完。
情节 4:个人评价和重要。
答:现在很多模板第 2块就是填写你的基本评价。 这个很重要很重要! 如果你希望你的 简历往下拖动。
a 、不要喊口号。我的理想是。 。 。与我长袖。 。 (直接下一封。对不起,不是不尊重您。 用人部门催的紧, 一个 HR1个小时看 100封简历, 一个简历不到 1分钟。 看简历中间还要被 打岔。 )
b 、 不要抄! ! ! 特别是美术岗位的。 我看过很多美术求职者投 2句都写的是 :从事过专业 的美术训练, 绘画功底扎实。 1段话, 连标点符号都不差。 。 别听老师的, 别偷看同学的。 (记 住:简历最重要第一点是:告诉我你和别人不一样。 )
c 、不要说自己不好。某简历:虽然我尚未找到明确的职业方向,但我相信我会很努力 去尝试。 (等你找到职业方向再投吧)不好的地方不要刻意去暴露,比如“没有工作经验” 这些话。我也知道你没经验,但不要说出来提醒我去注意,特别是一开始就说出来。
d 、 切忌写标准话。 比如自学能力强, 责任感很强这些。 (太多了, 兄弟。 别人都这么写, 都写在这一栏。 你换个方式说。 而且,在你还从没未想过给你父母买保险的年纪, 我真的不 觉得你能承载太多的责任。 )
如果你不是用网站自带模板,打算自己写一个格式的简历,请往下看!
1、简历标题
最好的简历标题, 首推应聘销售岗位的人——“X 年岗位经验诚心求职 XXX 部门 XXX 岗 位 姓名 139XXXXXX”
次一点的简历标题——“应聘 XXX 岗位”
最次的简历标题——“求职”
兄弟,你知道吗。看简历的人和通知面试的人往往不是一个人哦。 HR 看完如果觉得你 合适, 要把你的简历放在一个单独收件箱, 然后告诉助理通知这个收件箱里所有人安排面试。 助理需要再把你的简历打开,研究下你是应聘什么岗位的,找你的联系方式。如果助理 MM 今天心情非常不好,打了一下午电话了。可能就会告诉 HR ,你的电话联系不上哦。
2、简历问候语
很重要!不要一上来就是“个人简历”4个大字,下面一堆文字和表格。麻烦先写 2句 问候语。 尊敬的人事部经理:我很欣赏贵公司的 XXXXXXX , 。 。 。 。 。 , 下面是我的简历, 请查收! (这样会让你和别人不同。 如果你是个回家进门就和家人打招呼的好孩子, 一定不会忘记这
条的)
3、简历问候语下面的话
建议:这个时候还是不要写标题。而是写 3, 4句一小段话,直中红心。比如“我一直 从事 JAVA 方面的项目, 专注 JAVA 项目的开发, 拥有 1年中型项目经验, 很强的代码规范能 力。”(我当然知道也许你还会 .NET 或者别的,但你面试的是 JAVA 程序员,先谈谈 JAVA 吧。
4、简历正文
终于, HR 开始看你的全面介绍了。
a、求职动机
千万不要只写:我希望来学习这样的话。虽然任何公司都希望员工有学习精神,但不 要让别人认为你的核心目的是来镀金的。公司本质讲不是学校。就算公司建立 1000平方米 研发中心,也不是办学校。
b、专业技能
这里切忌:不是一股脑把你的口袋都翻出来,告诉我你会这个会那个。
请拣对这个职位有 +分的说。
我收到不少应聘行政的简历的应届毕业生,简历里不断给我讲她的课程有 C 语言,还 把成绩单 PO 在后面。
小 MM ,行政是不用 C 语言的。给我讲点别的什么好吗。
b、不 +分的特长不要写。
不要告诉我,你得过多少奖学金,当过什么课代表,学校什么杯比赛拿了个奖。
不是说你写的不真实。 而是, 就算是真实又怎样?能为你应聘这个职位 +分吗?不能就 不要写,画蛇添足,感觉心虚。
那什么样的学校经历可以写呢?
如果你应聘的是活动策划。可以写你在学校广播电台长期担任 XX 职位,学校舞蹈队 XX 职位。 (前提是你真的干过。不用调查也能看出来的哦)
如果你应聘的是程序员。可以写你对数学与程序的看法。不用多, 2句也行。最牛 B 就是写一句话:大学四年自己写过 10万行代码。冲着这句话,我一定约你来谈谈。
如果你应聘的是美术。可以谈谈老师规定的以外,你还画什么风格的,有商业型(不 是艺术家型)的平面作品更好哦。
c、离职原因
这个。 。 。如果你面试的不是主管以上岗位,别写。
我见过一个简历, 4次离职。 A 工作离职原因:公司管理混乱 B工作离职原因:没有 发展空间 C工作离职原因:离家太远。 D工作离职原因:工作氛围不好。
这种简历一般我不会看中。也许下一次离职原因你会觉得公司楼下饭不好吃。
因为:如果你应聘是普通岗位,公司希望你是适应环境的人。如果你应聘的是管理岗 位,公司希望你是创造环境的人。
如果非要写,建议:回家照看生病的父母 (也许你是因为失恋想换个环境) ; 公司项目 解散;与公司的合同到期;
d 、不要随便贴相片。如果你很好看,不要贴。一般,最好别贴。不自信,更别贴。
你要相信 HR 虽然不是算命的, 但是面相这个东西, 在各位 HR 的心里存在。 你还要相信 一点 ,HR 都有职业病。大公司的 HR 更严重。 HR 是干嘛,每天看人。一回某人入职后表现让 他失望了, HR 被老板骂,二回、三回 .... 你是 HR 你会有什么心理,轻微的心理发泄欲望。
当然,如果你面试的是总经理助理(助理分很多种) ,特别是帮总经理订票啊这些日常 工作。如果你有足够自信,贴吧。因为聪明的 HR 在招这样岗位会明白 BOSS 都喜欢看美女。 赌一把,贴了。
还有,贴的相片不要用身份证照。也不要用非主流侧脸嘟嘴可爱照。生活旅游照最好。 男生要注意, 胡子刮干净。 去灯光亮点的照相馆。 女生:看着自然。 男生:看着规矩。 就行。
e、结束语
简历的结束语很重要。说实话,不要说应届生,很多工作 1、 2年的人,连发工作邮件 的签名怎么写都不知道(自己论坛的签名倒是很花哨) 。
建议可以写。静候佳音、祝您心情愉快。落款 XXX,联系方式,日期(要写日期哦, HR 看人看细节的) 。
5、简历附件
只有一类职业的简历附件我会下载看。 就是技术工种的职业。 因为 HR 一般能默许技术 工种的人比较实在。 。 。
如果你是行政、产品、销售、管理类的岗位,千万不要用下载附件。因为除了技术工 种, 其他职位都要和人打交道很多。 会不会做人就看你有没有服务意识。 我要看这么多简历, 你让我下载,你不知道公司网很卡吗。
如果你非要用附件。那么切记邮件正文要写点什么。不要白纸一张。
好了,其实写这么多。并不是说 HR 有多叼。而是告诉你, HR 一般心里都经常窝火,自 己都工作郁闷还要微笑对人。
让 HR 从一大堆简历里,微笑的把你的简历看完,放进通知面试的文件夹就是第一步胜 利。
----祝各位有需要的朋友能找到好工作。
如何将句子写具体呢？
如何将句子写具体呢,
不知道大家有没有这样的感觉，我们在批改作文的时候，经常发现有些同学作文写得不够生动。究其原因在于没有把内容写具体，要想把内容写具体，必须得从句子上下功夫。如何将句子写具体呢,给大家介绍几种方法供借鉴。
一、“添枝加叶”法，也就是扩句法。当给出一句话时，如:“小红在跳绳。”让学生把句子写具体，可以启发学生填写:什么时间、在什么地方、心情如何;如果要更具体地写可以启发学生加入人物的语言、动作、神态等进行补充。这样学生按照老师的一步步提示就能将句子写得生动、形象、有吸引力了。
二、补白法。也就是在句子主要成分的前后，加上一些恰当的修饰或者补充修饰成分的词语。如给出一句话:“()的小红，在()写作业。”学生思索后可能填写:可爱的小红、乖巧的小红、聪明的小红……;在灯下、在教室里、在书房……告诉学生，以后自己的作文，可以利用以上的方法使句子表达得更清楚明了。
三、选择词语运用法。教师在学生作文之前给出与作文内容相关的词语和句子。如描写春天的词语:春光明媚、万物复苏、大地回春、
万象更新、春意盎然、春花烂漫、冰雪融化、冰消雪融、风和日丽、料峭春寒、乍暖乍寒、春雨绵绵、、春芽破土春花怒放、草长莺飞、花红柳绿、欣欣向荣、生机勃勃……
描写春天的句子:
1(春天是美丽的，可以穿花裙子;春天是漂亮的，春天在百花丛中，伴着蝴蝶翩翩起舞。有春天就有美丽，是花儿们的美;有春天就有歌声，是小鸟的歌声;有春天就有舞蹈，是蝴蝶的舞蹈;有春天就有笑声，是人们的笑声……
2(小草在地上探出头来微笑;柳树伸出它那千万只小手和我们打着招呼;小鸟用他们那清脆的嗓音来庆祝春天的到来，就让春天做我们新生活的一个起点吧。
3(春天踏着轻盈的脚步走来了，它给大地穿上了一层绿色的服装，使大地焕然一新，满园春色，春天给人们带来了无限的欢乐和希望，给人们带来了勃勃的生机和活力，催促我们奋发向上。
作文时，让学生在自己描写的过程中，适当地选择运用老师提供的词语或者句子，可以使作文更富有诗意。
四、“总起分述”法，也就是总分的结构。总领全文一句话，在段首，其余围绕总起句延伸下去详写。特级教师贾志敏老师让学生把“今天很冷”这四个字用一句话来表达，而且要说的话里不准出现“冷”字。最初，大家面面相觑，不知怎么说。当一个学生说出“北风呼啸”后，大家就争相发言。有的说“大雪纷飞”，有的说“寒风刺骨”……你一言，我一语，一下子说了许多。贾老师把这些话一一写在黑板上。接着，他提出第二个要求:给黑板上的话编组。凡属于写“环境”的编到第一组;写人物“衣着”的编到第二组;写人物“动态”的编到第三组。学生们兴趣盎然，很快就完成了任务。最后贾老师要求写一段话，先说“今天很冷”这个总起句，然后讲分述句，要分别从一、二、三组里找出句子，依次讲述。结果,,,的学生都能写上一段完整的话。例如有个学生这样写:“今天很冷。西北风呼呼地刮着，路上的一些小树也被刮断了，小河里结了厚厚的冰。大家都穿上了冬装。小朋友尽管穿上了棉袄、棉鞋，还戴上了手套和围巾，仍然冻得瑟瑟发抖。”这段话把“冷”写具体了，而且言之有序。
除了上面介绍的方法以外，还可以运用比喻、排比、拟人、夸张等修辞手法使我们的句子更加生动、形象又具体。
怎么这么坑呢
二次型理论及其应用 The quadratic form and application
专 业 :数学与应用数学
作 者 :
指导老师 :
二 ○一三 年五月
摘 要
本文介绍了二次型的理论及其应用 , 通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来 , 从而使得二次型的问题与对称矩阵的问题能够相互转化来进行研究和解决 . 全文重点 研究了二次型的理论在计算数学、 几何学、 概率论、物理学等学科中得到广泛应用 . 关键词 : 二次型 ; 矩阵 ; 标准形 ; 唯一性 ; 正交变换法 ; 配方法 ; 线性替换
Abstract
This article describes the quadratic theory and its applications, quadratic and symmetric matrix by matrix multiplication linked, so that the quadratic problem with symmetric matrix can be transformed into each other to study and solve. Text focuses on the quadratic theory has been widely used in computational mathematics, geometry, probability theory, physics and other disciplines.
Keywords : Quadratic; matrix; standard form; uniqueness; orthogonal transformation method; distribution methods; linear replacement
目 录
摘 要 ....................................................................................................................................... I ABSTRACT .............................................................................................................................. II 0. 引言 ...................................................................................................................................... 1 1. 二次型及其相关定义 .......................................................................................................... 1 1.1二次型及其矩阵表示 ................................................................................................... 1 1.2二次型的标准型 ........................................................................................................... 5 1.3二次型的唯一性 ........................................................................................................... 7
1.4正定二次型 ................................................................................................................. 10
2. 二次型的应用 .................................................................................................................... 15 2.1一般的 n 元二次式最值的判定与解法 ...................................................................... 15 2.2二次型在几何方面的应用 ......................................................................................... 18 2.3在计算数学中的应用 ................................................................................................. 20 2.4二次型在因式分解中的应用 ..................................................................................... 21 2.5二次型在物理动力学方面的应用 ............................................................................. 24 致谢 .......................................................................................................................................... 25 参考文献 .................................................................................................................................. 26
0. 引言
在数学中 , 二次型的理论是起源于解析几何中二次曲面方程和化二次曲线为标准 形的问题 . 现在二次型理论不仅在几何方面而且在数学的其他分支即物理、力学、工程 技术等方面都常常用到 . 二次型应用的领域很广 , 我们在以前的学习中求一元和多元 函数的最值时通常会利用图象法或微分理论来解决 , 但下面将利用二次型的性质来求 函数的最值 . 并给出了半正定矩阵的性质及其证明 , 我们可以通过二次型的一些知识 来解决一些几何、计算数学、因式分解等方面的问题 . 关于二次型的一般理论 , 可参看 文献 [1-3], 一些专题研究可参看文献 [4-12].
1. 二次型及其相关定义
1.1 二次型及其矩阵表示
设 M 是一个数域 , 一个系数在数域 M 中的 12, , , n x x x 的二次齐次多项式
2
12111
121
2(, , , ) 2n f x x x a x a x x =++
2112222222n n n n a x x a x a x x +++++
2n n n a x +
11n
n
ij i j i j a x x ===∑∑ (1)
称为数域 M 上的一个 n 元二次型 , 简称二次型 . 其中 ij a M ∈, 当 ij a 为复数时 , 称 f 为复二次型 . 当 ij a 为实数时 , 称 f 为实二次型 .
定义 []1
1 设 1212, , , ; , , n n x x x y y y 是两组数字 , 系数在数域 M 中的一组关系式
11111221221122221122, , n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y
c y =+++??=+++??
??=+++? (2)
称为由 1, , n x x 到 1, , n y y 的一个线性替换 , 或者简称线性替换 . 如果系数行
列式
0ij c ≠,
那么我们把线性替换 (2) 就称非退化的 (或可逆的 , 或满秩的 ). 二次型 (1) 也可以写成
()2
12111
121
211, ,
, n n
n f x x x a x a x x a x x
=+++ 2212122222
n n a x x a x a x x ++++
21122n n n n n n
n a x x a x x a x ++++ (3) 将 (3) 的系数排成一个 n n ? 阶矩阵
111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=??
??????
它就称为二次型 (3) 的系数矩阵 , 简称二次型的矩阵 . 矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 , 记作 () r f .
则 n 元二次型可以表示成下列矩阵形式:
()()11112121222
2' 121212, , , , , , n n n n n n nn n x a a a a a a x f x x x x x x X AX a a a x ????????????==????????????????
其中 ()'
12, , n X x x x = . A是对称的(即二次型的矩阵都是对称的) .
二次型与非零对称矩阵是一一对应的 . 即 , 给定一个非零的对称矩阵 , 则确定了一 个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵 . 反之 , 给定一个二次型 , 则确定了一个非零 的对称矩阵作为其系数矩阵 .
定义 []1
2 数域 M 上 n n ? 矩 U, V 称为合同的 , 如果有数域 M 上可逆的 n n ? 矩
阵 C, 使
'
U CVC =.
合同是矩阵之间的一个关系 . 合同关系具有以下几个性质:
1)反身性:'
U EUE =;
2)对称性:由 '
V CUC = 即得 ()'
11U C VC --=;
3)传递性:由 ' 111U CUC = 和 ' 2212U C U C = 即得
()()'
21212U C C U C C =.
例 1.1 求解替换后的二次型与原二次型的关系 .
证明:假设 ()' 12, , , n f x x x X AX = , 其中 ' A A =, 是一个二次型 , 作非退化线性替换 X C Y = (1.1) 那么可以得到一个 12, , , n y y y 的二次型
()' 12, , , n f y y y Y BY = , (1.2)
将(1.2)代人(1.1) , 则有 ,
()()()()'
' ' ' ' ' ' 12, , , n f x x x X AX CY A CY C Y ACY Y C AC Y Y BY ===== ,
容易看出 , 矩阵 ' C AC 也是对称的 .
事实上 , ()'
' ' '' ' C AC C AC C AC ==, 由此可得 ' B C AC =这是非线性替换前后两个二
次型的矩阵的关系 .
因此 , 经过非退化的线性替换 , 新的二次型的矩阵与原来的二次型的矩阵是合同的 . 写出二次型的矩阵的方法
正确写出二次型的矩阵是化简二次型和解决二次型问题的基础 . 对于含 n 个变元的 二次型 ()12, , , n f x x x , 可以按照下述方法得到二次型的矩阵 ()ij n n B a ?=, 其中 B 的主对
角线上的元素依次为二次型的平方项 222
12, , , n
x x x 的系数 , 而 B 的第 i 行第 j 列 元素 ()ij a i j < 是交叉项="" i="" j="" x="" x="" 的系数的一半="" ,="" 然后再取="" ()ij="" ji="" a="" a="" i="" j=""><由此可以得到对称矩阵 b,="" 则="" 这="" 个="" 二="" 次="" 型="" 可="" 以="" 用="" 矩="" 阵="" 形="" 式="" 表="" 示="" 为="" ()'="" 12,="" ,="" ,="" n="" f="" x="" x="" x="" x="" bx="," 其="">
()'
' 12, , , n X x x x = .
注意:二次型的矩阵都是对称矩阵 . 例 1.2 写出二次型的矩阵 ()2
22
12341231223, , , 2728f
x x x x x x x x
x x =
-++- 解:此题需要特别注意的是由 ()1234, , , f x x x x 可知二次型右边是一个 4元二次式 , 虽 然二次型右边没有含有 4x 的项和 13x x 这一项 , 但其对应矩阵必须用零将没有的项补上使 其成为一个完整的 4阶对称矩阵:
11
00
124
0047000
00
A ????--?
?=??-?
??? 1.2 二次型的标准型
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
222
1122n n
d x d x d x +++ . 定理 []3
1.1 数域 M 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的
形式 .
易知 , 上面二次型的对角矩阵 ,
()11
22222
112212000
0, , , 0
n n n n n x d d x d x d x d x x x x d x ???????????
?+++=????????????
. 反之 , 矩阵为对角形的二次型就只含有平方项 . 按上一节的讨论 , 经过非退化的线性替 换 , 二次型的矩阵变到一个合同的矩阵 .
定理 []1
1.2 在数域 M 上 , 任意一个对称矩阵都合同于一对称矩阵 . 也就是说 ,
对于任意一个对称矩阵 B 都可以找到一个可逆矩阵 C 使得 ' C BC 成对角矩阵 .
定义 1.2 二次型 ()12, , , n f x x x 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为
()12, , , n f x x x 的一个标准型 .
化二次型为标准型的方法 1)配方法 , 解题步骤为:
① 如果二次型中至少有一个平方项 , 不妨设 110a ≠, 则对所有含 1x 的项配方(经过 配方后所余各项中不再含 1x ) . 如此继续配方 , 直到每一项都包含在各完全平方项之中 ,
引入新变量 12, , n y y y . 由 1y C x -=, 得 ' 222
1122n n
xUx y y y λλλ=+++ . ②如果二次型中不含平方项 , 只有混合项 , 不妨设 120a ≠, 则可令 112, x y y =+ 212, x y y =- 33, x y = , n n x y =.
经此坐标变换 , 二次型中出现 22121122a y a y -后 , 再按①实行配方法 .
2)合同变换法:先写出二次型的矩阵 U, 作矩阵
1n A E n d U E d C ??
???????????→ ?????
??
??
作合同变换 作列变换
, 则 1'
00
n d CUC d ?? ?= ? ?
?? ,
再作非退化线性替换 X CY =, 则化 f 为
()222
121122, , , n n n
f x x x d y d y d y =+++ . 3)正交变换化实二次型为标准型方法 . 基本步骤:
① 写出二次型 f 的矩阵 U;
② 求出 U 的全部特征值 1λ(1s 重) , 2λ(2s 重) , , m λ(m s 重)
1
m
i
i s
n ==∑;
③对每个特征值 i λ, 解 ()0i n E U X λ-=得基础解系 ()1, , 1,2, , i i is i m ??= ; ④将 1, , i i is ?? 正交化单位化得 1, , i i is γγ ;
⑤令 ()
121112121, , , , , , , , , m s s m ms N γγγγγγ= , 则 N 正交且
12
12' m s s
m s E E N UN E λλλ??
???
?=?
??????
?
; ⑥作正交变量替换 X NY =, 化 f 为
()1
22
21211
1, ,
, n s m n f
x x x y y y
λλλ=++++ . 1.3 二次型的唯一性
在一个二次型的标准形中 , 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的 , 与所作的非 退化的线性替换无关 , 二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩 .
在一般的数域内 , 二次型的标准形并不是唯一的 , 而与所作的非退化的线性替换有 关 .
下面我们只就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 . 先来看看复数域 的情形 .
设 ()12, , , n f x x x 是一个复数域的二次型 . 由定理 1 , 经过一适当的非退化线性替 换后 , ()12, , , n f x x x 变成标准形 . 不妨假定它的标准形是
22
21122r r c y c y c y +++ , 0i c ≠, 1,2, , i r = . (4)
易知 r 就是 ()12, , , n f x x x 的矩阵的秩 . 因为复数总可以开平方 , 我们再作一非退化线性
替换
1
111, , , ,
r r r r n n y z y y z y z ++?=??
??
?=??
?=?
??=? (5) (4)就变成
222
12r
z z z +++ . (6)
(6)称为复二次型 ()12, , , n f x x x 的规范形 . 显然 , 规范形完全被原二次型矩阵的秩所 决定 , 由此有
定理 []1
1.3 任意一个复系数的二次型 , 经过一个适当的非退化的线性替换就可以
变成规范形 , 并且规范形是唯一的 .
也就是说 , 任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
11
00????????????
????
?
?
的对角矩阵 . 从而有 , 两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等 .
再来看实数域的情形 .
设 ()12, , , n f x x x 是一实系数的二次型 . 经过某一个非退化线性替换 , 再适当排列
文字的次序 , 可使 ()12, , , n f x x x 变成标准形
2222
1111p p p p r r c y c y c y c y ++++--- , (7)
其中 0, 1, , i c i r >= ; r 是 ()12, , , n f x x x 的矩阵的秩 . 因为在实数域中 , 正实数总可以 开平方 , 所以再作一非退化线性替换
1
111, , , ,
r r r r n n y z y y z y z ++?
=??
??
?=??
?=?
??=? (7)就变成
2222
11p p r z z z z +++--- (8)
(8)称为实二次型 ()12, , , n f x x x 的规范形 . 显然 , 规范形完全被 , r p 这两个数所决定 .
定理 []1
1.4 任意一个实数域上的二次型 , 经过一适当的非退化线性替换可以变成
规范形 , 且规范形是唯一的 .
定义 []1
1.3 在实二次型 ()12, , , n f x x x 的规范形中 , 我们将正平方项的个数 p 称为
()12, , , n f x x x 的正惯性指数 ; 负平方项的个数 r p -称为 ()12, , , n f x x x 的负惯性指数 ; 它们的差 ()2p r p p r --=-称为 ()12, , , n f x x x 的符号差 .
惯性定理可以这样叙述为: 实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一 确定的 , 它等于正惯性指数 , 而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数 .
定理 1.5 (1)任一复对称矩阵 B 都合同于一个下述形式的对角矩阵 ;
11100??????????
??????
??
????
.
其中对角线上 1的个数 r 等于 B 的秩 .
(2) 任一实对称矩阵 B 都合同于一个下述形式的对角矩阵 ;
111100??????????
-??
????
-??
????
?
?????
, 其中对角线上 1的个数 p 及 1-的个数 r p -(r 是 B 的秩)都是唯一确定的 , 分别称为 B 的正、负惯性指数 . 它们的差 2p r -称为 B 的符号差 .
1.4 正定二次型
定义 []1
1.4 如果对于任意一组不全为零的实数 12, , , n c c c 都有 ()12, , , 0n g c c c > ,
那么实二次型 ()12, , , n g x x x 就称为正定的 .
定理 []1
1.6 n 元 实二次型 ()12, , , n g x x x 是正定的充要条件是它的正惯性指数等
于 n .
证明:设二次型 ()12, , , n g x x x 经过非退化线性替换变成标准形
222
1122n n
d y d y d y +++ . (9) 上面的讨论表明 , ()12, , , n g x x x 正定当且仅当 (9)是正定的 , 而我们知道 , 二次型(9) 是正定的当且仅当 0, 1,2, , i d i n >= , 即正惯性指数为 n .
也就是说 , 正定二次型 ()12, , , n g x x x 的规范形为
222
12n y y y +++ . (10)
定义 1.5 如果二次型正定 , 那么它所对应的实对称矩阵 A 称为正定的 .
因为二次型(10)的矩阵是单位矩阵 E, 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它 与单位矩阵合同 , 由此得:
推论 正定矩阵的行列式大于零 .
证明 设 B 是一正定矩阵 . 因为 A 与单位矩阵合同 , 所以有可逆矩阵 C 使 ' ' B C EC C C == 两边取行列式 , 就有
2
' 0B C ==>
. 定义 1.6 子式
11121
2122
2
1
2(1, 2, , )
i i i i i ii
a a
a a a a
p i n a a a =
=
称为矩阵 () ij nn B a =的顺序主子式 .
定理 1.7 实二次型
) () , , , (' ' 21B B BX X x x x f n ==
是正定二次型的充分必要条件是矩阵 B 的主子式全大于零 .
证明 : 必要性 实二次型 ) () , , , (' ' 21B B BX X x x x f n == 是正定二次型 , 以 k B 表示
B 的左上角 k 阶矩阵 , 下面证明 ) , , 2, 1(, 0n k B k =>, 考虑以 k B 为矩阵的二次型
j k i k
j i ij k x x a x x x g ∑∑===11
21) , , , ( ,
由于 ) 0, , 0, , , , () , , , (2121 k k x x x f x x x g =所以当 k x x x , , , 21 不全为零时 , 由定义 4 可知 0>g , 从而 g 为正定二次型 , 则有 0>k B .
充分性 对二次型的元素 n 作数学归纳法
当 1=n 时 , 21111) (x a x f =, 因为 011>a , 所以 f 正定 , 假设 1>n , 且对 1-n 元实二次型 结论成立 .
因为 01111>=a a , 用 111a a i -
乘以 B 的第 1列到第 i 列 , 再用 11
1a a
i -乘以第 B 的第 1行到 第 i 行 ) , , 3, 2(n i =, 经此合同变换后 , B 可变为以下的一个矩阵
C B a =????
??
?
??00001
11
. 因为矩阵 B 与 C 合同 , 所以 C 是一个 n 阶对称矩阵 . 从而 1B 也是对称矩阵 . 上述的变换不 改变 B 的主子式的值 , 因此 C 的主子式也全大于零 , 而 C 的 ) 2(n k k ≤≤阶主子式等于 1B 的 1-k 阶主子式乘以 , 11a 并且 011>a 于是 1B 的主子式全大于零 , 由归纳假设 , 1B 与 1-n I 合 同 , 所以 B 与单位矩阵合同 , 此即 f 是正定二次型 .
定理 []7
1.8 实二次型
' 1211(, , , ) n
n
n ij i j i j f x x x a x x X BX ====∑∑
是正定的充分必要条件为矩阵 B 的顺序主子式全大于零 .
证明 : 必要性 实二次型 ) () , , , (' ' 21B B BX X x x x f n == 是正定二次型 , 则由定理 1.7 可知 B 的主子式全大于零 , 所以 B 的顺序主子式也全大于零 .
充分性 对二次型的元数 n 作数学归纳法:
当 1=n 时 , 21111) (x a x f =, 由条件知 011>a , 所以 ) (1x f 是正定的 . 假设充分性的判断对于 1-n 元的二次型已经成立 , 现在来证 n 元的情形 .
令 ???
?
?
??=----1, 11, 11, 111n n n n a a a a B , ????? ??=-n n n a a , 11 α,
则有矩阵 B 可以分块写成 :????
??'=nn a B B αα1, 则 1B 的顺序主子式也全大于零 , 由归纳法假
定 , 1B 是正定矩阵 , 则存在可逆的 1-n 阶矩阵 G , 使得 1' -=n E BG G 令 ???
?
?
?=10
01G C 于是 ???
?
??=????
?????? ?????? ?
?=-nn n nn a G
G E G a B G BC C ' ' 1
' 1'
1' 110
010
0ααα
α. 再令 ???? ??-=-10
' 1
2a G E C n , 则有 ???
?
?
?-=-αα' ' 121'
1' 200
GG a E C BC C C nn n , 令
21C C C =, d GG a nn =-αα' ' 就有 ????
?
?
?
?
?=d BC C
11
' . 两边取行列式 , d B C =2
, 则由条件 0>B , 因此 0>d . 从而
??????
?
????????? ????????? ??=??????? ??d d d 11
1111
1
11
, 所以矩阵 B 与单位矩阵合同 , 因此 B 是正定矩阵即 f 是正定二次型 .
定 义 1.7 设 ()12, , , n f x x x 是 一 实 二 次 型 , 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 实 数
12, , , n c c c , 如果都有 ()12, , , 0n f c c c < ,="" 那么="" ()12,="" ,="" ,="" n="" f="" x="" x="" x="" 称为负定的="" ;="" 对于任意一="" 组实数="" ,="" 如果都有="" ()12,="" ,="" ,="" 0n="" f="" c="" c="" c="" ≥="" ,="" 那么="" ()12,="" ,="" ,="" n="" f="" x="" x="" x="" 称为半正定的="" ;="">
()12, , , 0n f c c c ≤ , 那么 ()12, , , n f x x x 称为半负定的 ; 如果它既不是半正定又不是半负 定 , 那么 ()12, , , n f x x x 就称为不定的 .
定理 1.9 对于实二次型 ' 1(, , ) n f x x X AX = , 其中 A 是实对称的 , 下列条件等价: (1) ()1, , n f x x 是半正定的 , (2)它的正惯性指数与秩相等 , (3)有可逆实矩阵 C, 使
1
2
' n d d C A C d ???
??
?=?????
?
, 其中 0, 1,2, , i d i n ≥= , (4)有实矩阵 C 使
' A C C =, (5) A 的所有主子式皆大于或等于零 .
注意 , 在(5)中 , 仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定的 . 比如
()1212212200(, ) , 01x f x x x x x x ????=-=????
-???? 就是一个反例 .
例 1.3 二次型 22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+, 问当 λ为何值时, f 是正 定二次型 .
解 : 利用定理 1.8 来判别 , 二次型 f 的矩阵为 114
2124A λλ-??
?
= ? ?-?
?
,则 A 的顺序主子 式为
110?=>; 221
44
λ
λλ
?=
=-; 2311
4214484(1)(2) 124
λλλλλλ-?=-=--+=--+-.
又有,二次型 f 正定的充要条件是:2222
310, 40, 4480.
λλ?=>??
?=->???=--+>?
由此可得 12<>
所以,当 12<-λ时 ,="" f="" 正定="">
2. 二次型的应用
2.1 一般的 n 元二次式最值的判定与解法
一般的 n 元二次多项式的基本形式为
c x b x x a n
i i i n
i n
j j i ij ++∑∑∑===1
11
2, (2.1)
而上面的式存在最值的充要条件为
∑∑∑===+n
i i i n i n
j j i
ij x b x x a
1
11
2. (2.2)
存在最值 (上式中 ji ij a a =), 因此只需要对 (2.2)进行讨论 .
定理 2.1 实 n 元多项式 (2.2),不妨设它的矩阵为 A , 秩为 r , 则对 (2.2)式作非退
化线性替换 , PY X =, 其中
????
??????-='-00
00
00s
r s
E E AP P , 则有
㈠ 当 A 半正定时 :
① 若 n r <, 一次项所含新变数均在平方项中出现="" ,="" 则="" (2.2)式有最小值="" ;="" ②="" 若="" n="" r="," 则="" (2.2)式存在最小值="">
③ 若 n r >, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现 , 则 (2.2)式不存在最 值 .
㈡ 当 A 半负定时 :
① 若 n r <, 一次项所含新变数均在平方项中出现="" ,="" 则="" (2.2)式有最大值="" ;="" ②="" 若="" n="" r="," 则="" (2.2)式存在最大值="">
③ 若 n r >, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现 , 则 (2.2)式不存在最 值 .
㈢ A 不定 , 则 (2.2)式不存在最值 .
定义 2.1 设 n 元函数 12() (, , ) n f X f x x x = 在 12(, , , ) T n n X x x x R =∈ 的某个邻域内
有一阶、二阶连续偏导 . 记 12() () () () , , , n f X f X f X f X x x x ??
????= ?????? , () f X ?称为函数 ()
f X 在点 12(, , , ) T n X x x x = 处的梯度 ; 满足 0() 0f X ?=的点 0X 称为函数 () f X 的驻点 .
定义 2.2 2222
112122
22
21
2() () () () () () () () n i j n n
n n n
f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ???
??? ?
????? ?
??
? ?==
? ??? ?????? ?
????????
称为函数 12() (, , ) n f X f x x x = 在点 n X R ∈处的黑塞矩阵 . 显然 () H X 是由 () f X 的 2n 个 二阶偏导构成的 n 阶实对称矩阵 .
定理 2.3 (极值存在的必要条件 ) 设函数 () f X 在点 000012(, , , ) T
n X x x x = 处存在一
阶偏导,且 0X 为函数的极值点,则有 0() 0f X ?=.
定理 2.4 (极值的充分条件 ) 设函数 () f X 在点 0n X R ∈的某个邻域内有一阶、二
阶连续偏导,且 0000
1
2() () () () , , , 0n f X f X f X f X x x x ??
????== ?????? 则有 :(1) 当 0() H X 为正定矩阵时, 0() f X 是 () f X 的极小值 ; (2) 当 0() H X 为负定矩阵时, 0() f X 是 () f X 的极大值 ; (3) 当 0() H X 为不定矩阵时, 0() f X 不是 () f X 的极值 .
注意:
用二次型的正定性来判断多元函数的极值问题虽然是一个很好的办法 , 但也具有一 定的局限性 , 因为充分条件对矩阵的正定和负定的要求是很严格的 , 如果条件不满足 , 那 么结论就不一定成立 .
例 2.1 求解三元函数 222(, , ) 23246f x y z x y z x y z =++++-的极值 . 解 :由定义 2.1 可求出函数驻点 , 则有:
220
440660x y z f x f y f z ?=+=?
=+=??
=-=?得 1, 1, 1x y z =-=-=
所以驻点为 0(1, 1,1) P --.
再由定义 2.2 求 (Hessian)黑塞矩阵 ; 则有
2, 0, 0, 4, 0, 6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,
所以 200040006H ??
??=??
????,易知矩阵 H 是正定的,所以 (, , ) f x y z 在 0(1, 1,1) P --点取得极小值:(1, 1,1) 6f --=-.
例 2.2 讨论
322222222323432143424131212
4232221+--++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x 是否 有最值 .
解 : 设上式的矩阵为 A , 则对 A 作合同变换得
???
??
??
?
???
????
?
---
--=1000210
01211022311P , 使 ???????
???????='02121AP P , 由此可知 34r n =<=, 而对角线上其="" 余的非零数全是正的="" ,="" 故知="" a="" 半正定矩阵="" ,="" 要判断存在极值还应看线性替换后的情形才="" 能定="" .="" 作非退化线性替换="" py="" x="," 原多项式的二次齐次项部分变为="" ,="">
22
32
2
2
1y
y y ++, 一 次项部分为 ()321443432432122222242232y y y y y y y y y y y y y -+=---??? ??
-++??? ??+--.
所含字母 1y , 2y , 3y 均在平方中出现 , 属于定理 2.1中的情况 , 因此存在最小值 . 对变换 后多项式配方 , 得
()()212221213222222
32
22
13212
32
22
1--+??? ?
?+++=+-++++y y y y y y y y y .
故当 11=y , 2
1
2-=y , 23=y 时 , 上式有最小值 21-. 将 1y , 2y , 3y 代入 PY X =中 , 当
41227
y x +-=, 4221y x -=, 432y x -= ,44y x =(4y 为任意常数 ) 时 , 所以原式有最小值
2
1
-.
2.2 二次型在几何方面的应用
1)利用二次型的知识来判断一些二次曲面的类型 , 确定曲面的形状和化简方程 . 例 2.2 利用不变量判断下面二次曲面的类型 , 并将方程化为最简形式和确定曲面 形状 .
222
12312132312322342246230x x x x x x x x x x x x +++++-+-+=
解:该二次曲面所对应的矩阵为
112212221311312
313T A P a αα-??
????
?
?==????-??
??
--??
则有 123
det 0
det 12510I A I P I ==??
==-??=? 再有
2
21
2
2
1(2)(5) 1
1
3
E A λλλλλλλ----=---=-----
由此可得化简后的方程为
22
22
123123520, 520z z z z ++=++=即 , 因此该方程表示的图形是一个椭圆抛物面 .
2)运用二次型的正交变换来求一些曲线或曲面的积分 .
在计算某些积分区域或曲面围成的特殊积分时 , 我们可以利用二次型的正交变换 使之更加简便 .
例 2.3 求 123dx dx dx ???,其中
{}
12232) () (32212
32221321321≤--++==Ωx x x x x x x x x x f x x x .
解: 由于正交变换能够保持几何形状不变 , 所以椭球
()12232, , 32212
32221321≤--++=x x x x x x x x x x f
与椭球
()()
123222
32221≤-+++=y y y f
体积相同 .
记 {}
222
12312312
3() () 2(2(21D y y y f y y y y y y ==++≤则有
123123433D dx dx dx dy dy dy Ω===??????.
2.3 在计算数学中的应用
利用二次型的知识可以解决计算数学中的一样问题其中线性最小二乘法就是一个 很好的说明 .
一般地,线性方程组
1111221121122222
11220
00
i i i i n n ni i n a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c +++-=??+++-=??
??+++-=? 可能无解 . 也就是说任何一组 12, , , i x x x 都可能使 11221
() n
i i ii i i i y a x a x a x b ==+++-∑ 不等于 0,因此
我们设法找到 00012, , , i x x x ,使得 y 最小,我们把 00
012, , , i x x x 称为方程组的最小二乘解 .
这种问题就叫最小二乘法问题 .
假设 A 为上述方程组的系数矩阵, 12(, , , ) T n B c c c = . 则有,使得 y 值最小的 X 一
定是方程组 A A XA B
''=的解,又有其系数矩阵 A A '是一个正定矩阵,那么它的惯性指数 等于 n ,因此该线性方程组总是有解的,这个解就是最小二乘解 .
例 2.4 已知某材料在其生产过程中所产生的废品率 y 和某种化学成分 x 有关 , 下 列表格记载了某个工厂生产中 y 与相应的 x 的几次数值关系 .
找出 y 对 x 的一个近似公式 .
解 :用表中数值作出简图来观察 , 发现了它的变化趋势近似于一条直线 , 因此我们可 以选取 x 的一次式 0kx h +=来表达 , 当然最好能选到适当的 k 和 h 使得下面的等式
3.61.003.70.90
3.80.90
3.90.8104.00.6004.10.5604.20.350
k h k h k h k h k h k h k h +-=+-=+-=+-=+-=+-=+-=
都成立(实际上是不可能的) . 任何 k 和 h 代入上面各式都有误差 , 于是可以找到 k 和 h 使得上面各式的误差的平方和最小 , 即找 k 和 h 使
22222
2
2
(3.61.0) (3.70.9) (3.80.9) (3.90.81) (4.00.60) (4.10.56) (4.20.35)
k h k h k h k h k h k h k h +-++-++-++-++-++-++-
最小 , 也就是这里讨论的是误差的平方即二乘方 , 称为最小二乘法 , 用最小二乘法解 . 易 知
1.003.610.93.710.93.81, 0.813.9
10.604.010.564.110.354.21A B ??
??????????
????
????
==????????
????
??
???????
???
最小二乘解 a,b 所满足的方程就是
0T T k A A A B h ??
-=????
即为 106.7527.319.6750
27.37.05.120k h k h +-=??+-=?
解得 1.05
4.81
k h =-??=?.(取三位有效数字 )
2.4 二次型在因式分解中的应用
定理 2.5 一个实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式乘积的充分必要 条件是 :它的秩等于 2并且符号差为 0, 或者秩等于 1.
证明 : 必要性
设 ()()()1211221122, , , n n n n n f x x x b x b x b x c x c x c x =++++++
1) 如果两个一次多项式的系数成比例 , 即 ()1,2, , i i c kb i n == . 不妨设 10b ≠, 则有
1112222
, , .
n n n n y b x b x b x y x y x =+++??=??
??=? 那么 ()2
121, , , ky x x x f n = , 即二次型 ()n x x x f , , , 21 的秩等于 1.
2) 如果两个一次多项式的系数不成比例 , 不妨设
12
12
b b c c ≠, 设 111222112233, , ,
.
n n n n n n y b x b x b x y c x c x c x y x y x =+++??=+++??
=???=?? 则 ()2121, , , y y x x x f n = . 再假设
?????
????==-=+=.
,
, ,
33212211n n z y z y z z y z z y 则 ()2
22
12121, , , z z y y x x x f n -== , 因此二次型 ()n x x x f , , , 21 的秩等于 2, 符号差为 0.
充分性
1) 如 果 ()n x x x f , , , 21 的 秩 为 1, 那 么 经 过 非 退 化 线 性 替 换 使 得
()2
121, , , ky x x x f n = , 其中 11122n n y b x b x b x =+++ . 则
()()2
121122, , , n n f x x x k b x b x b x =+++ .
2) 如果 ()n x x x f , , , 21 的秩为 2, 符号差为零 , 那么可经过非退化线性替换使得
()()()21212
22
121, , , y y y y y y x x x f n -+=-= ,
其中 1y , 2y 均为 n x x x , , , 21 的一次齐次多项式 , 即
11122n n y b x b x b x =+++ , 21122n n y c x c x c x =+++ ,
因此 ()n x x x f , , , 21 可表示成为两个一次齐次多项式的乘积 .
例 2.5 多因式 ()21212
22
1216223, x x x x x x x x f -+--=在 R 上能否进行因式分解 ,
若能 , 请将其分解 , 若不能 , 请说明理由 .
解 : 设二次型 ()3231212
22
13216223, , x x x x x x x x x x x g -+--=, 则有
二次型 ()321, , x x x g 的矩阵为
111133130C -??
??=---??
??-??
, 我们对 C 进行合同变换 , 可以求得可逆矩阵即 ,
311210
1200
1B ?
?
-
??????=-??
????
???
?, 且 140T B CB ????=-??????. 易知 , A 的秩为 2且符号差等于 0, 由定理 2.5 可知 , ()321, , x x x g 是可以进行因式分解 . 我们对其进行非退化线性替换 , 则有
????? ????????
?
?
??--=????? ??32132110021102311y y y x x x ,
化 为
()()()
21212
22
1321224, , y y y y y y x x x g -+=-=. 由
1Y B X
-=, 得
. , 2
1
, 333223211x y x x y x x x y =+
=+-=则有 ()()()2132132132, , x x x x x x x x g -++=.
故 ()()()()21212121321, , , x x x x x x g x x f -++==.
2.5 二次型在物理动力学方面的应用
动力学问题中有很多问题是由两个实二次型来描述的 , 并且其中至少有一个二次 型正定 . 这两个二次型就是动力学系统的动能和势能 . 因此这两个二次型的同时化简 问题就很有必要研究 .
定理 2.6 设 ' X UX 和 ' X BX 是 12, , , n x x x 的二次型 , U 正定 . 则存在一个坐标变 换 X CY =, 把这两个二次型同时分别化简为
22212n y y y +++ 与 222
1122n n
y y y μμμ+++ 其中 , 12n μμμ , , , 是 B U μ-的零点 . C 的第 i 列满足 2(1, 2, , ) i i AC UC i n μ== 的非 零向量 .
例 2.6 设一个动力系统的动能和势能分别由二次型
' 221122
1842T X KX x x x x ==++ 与 ' 22
112252V X AX x x x x ==++ 给出 , 将两个二次型同时化简为定理 2.6 中格式 .
解: 18222K ??=????, 5111A ??
=???? , K 正定 则有 51812(12)(416) 1212A K μμ
μμμμμ
---=
=----,
A K μ-的零点是 1211
==24
μμ, .
求方程 AZ KZ μ=平凡解
当 1i =时 , 12121
5(182) 2
Z Z Z Z +=+, 其一个通解为 120, Z Z a ==
当 2i =时 , 得一个通解为 12, Z b Z b ==-, 所以存在一组常数 , a b (其中 , a b 必满足
' C KC I =)由此得出
1
4a b =
=. 使得坐标变换 X CY =.
则有 0b C a b ??
=??
-??
把 T 与 V 化为 22
22
12
1211, 24
T y y V y y =+=+
致谢
本文是在老师的指导和帮助下完成的 , 在此对老师表示衷心的感谢 !
参考文献
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