利用法向量求二面角

绍兴市第一中学虞金龙

背景功能

本课题是学生学习了法向量的概念、求法及用法向量求线面角的基础上提出来的，学生学习了空间向量的坐标运算后，完全有条件、有能力去思考本课题，本课题以问题作引导，以变式、探究为教学的主线，让学生从中感悟数学的思维与方法。

教学目标

知识目标：理解二面角的平面角与两平面的法向量所成的角的关系。

能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力。情感目标：渗透数学思想和文化，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。教学重点利用法向量求二面角。

教学难点二面角的平面角与两平面的法向量所成的角的关系。

教学方法启发、引导、探究、讲解、演练相结合。

教学设计

D 1 1 一、复习铺垫

1. 问题引路

A 问题如图1，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 1

AD=AA1=1，AB=2，点E 为棱AB 的中点, 求二面角A-D 1E-C 的大小。

A E B

2. 课件演示(学生讨论) 图1 3. 架桥铺路

二、新课讲授

1. 利用法向量求角方法

2. 案例探究

(1)解决问题

问题1 如图1，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

AD=AA1=1，AB=2，点E 为棱AB 的中点,

求二面角A-D 1E-C 的大小。

(2)小马过河

问题2 如图2所示，AECD 是直角梯形，∠ADC=900，

D 1D ⊥面AECD ，AD=AE=DD1=1，DC=2

求二面角D- D1C-E 的大小 A

D 1E 图2

(3)高考点击

问题3 如图1，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，问：AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为450？（2005年江西高考试题）

(4)思维迁移

想一想如图1，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1=1，

AB=2，点E 在棱AB 上移动，问：AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的值最小？

三、课堂小结

二面角与其法向量所成角的关系：当法向量a , b 同时指向二面角内或二面角外时, 二面角θ的大小为π-；当法向量a , b 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时, 二面角θ的大小为。

四、作业布置

书面作业：

1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,G ,E,F 分别是AA 1,AB,BC 的中点, 试求平面GEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角。

2. 如图所示,ABCD 是一直角梯形, ∠DAB=900,SA ⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2AD=1, 求（1）直线SA 与平面SCD 所成的角；（2）面SCD 与面SBA 所成的二面角。

阅读作业：仔细通读教材，了解利用法向量还能解决哪些问题？

研究性作业：

研究法向量的实际应用。

法向量求二面角-空间向量

平面法向量在立体几何中的应用

——利用法向量求二面角

(一)平面的法向量的定义：

如果n??,那么向量n叫做平面?的法向量

（二）平面法向量的应用

1、利用平面法向量求直线与平面所成的角：

直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。

n C

? 如图：直线AB与平面所成的角? = 2

( ?= )

例

2、利用平面法向量求二面角的大小

? m n ?

求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小

如图：二面角的大小等于?-

2、利用平面法向量求二面角的大小

? m n

指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。

如图：二面角的大小等于

例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小

D1 M N C1

D F

A B

(2)

解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2） A1 F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2）则 MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量 A x 为n=(x,y,z),

D1 z

C1 N B1

D F

C y

EFn=0 -x+y-2z=0 ?{ -2z=0 则{ NFn=0 ?{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0) z=0

解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF N E 的法向量为 A1 B1 n=（1，1，0），又 MF=（1，1，-2） EF=（-1，1，-2） D C y 设面EMF的法向量为m=（x,y,z) ，则 F A MF.m=0 B x { EFm=0 x+y-2z=0 令z=1,则m=(0,2,1) ?{-x+y-2z=0 ?cos=?10/5 由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的 x=0 ?{ y=2z 大小为arccos(?10/5)

（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且?BDC=90o ，?DCB=30o , 求二面角D-BA-C的大小

(0,-1/2,?3/2) D z

30o

B (0,-1,0) x

C (0,1,0)

A (1,1,0)

解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0），又A（1，1，0），得AC=1，AB=?5，又BC=2， ? ?ACB=90o ，又?BCD=30o ，?BDC=90o ，故 BD=1，CD=?3，由D点向BC作垂线DE，则 DE=?3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，?3/2）， E（0，-1/2，0），? ED=(0,0,?3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,?3/2) ,?面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量为n=(2?3,-?3,1) ?cos=1/4?=arccos(1/4)

?二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)

例

例２．在四面体 ABCD中，AB⊥面BCD， 0 BC=CD，∠BCD＝90 ，∠ADB= 300 ．E、F 分别是AＣ、AD的中点。１）求证平面BEF⊥平面ABC；２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。

z ＡＦＥＢ

Ｄ y Ｃ

? 1.如图,正 ?ABC按它的一个法向量n平移到?A1B1C1 D, E分别是BC, CC1的中点， ? AA1 ? 2 AB (1)证明：BE ? A

B1; (2)求二面角B ? AB1 ? D的大小。

C1 A1 B1 E

广州一模

C A D B

2.(广州二模）如图， ? 平面ABC, ?BAC ? 900 PA D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC

=1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。

P F A D B E

小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面角方面的应用，注意所求角与法向量的联系，掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。

求二面角的大小向量法

打造未来社会精英

求二面角的大小——向量法一专题要求

能用向量方法解决面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用(

二重难点

1、用法向量夹角求二面角的方法

2、二面角与两个半平面的法向量夹角的关系

三经典例题 1AD,

2 1、已知ABCD 是直角梯形,?DAB=?ABC=90?,SA?平面ABCD，SA=AB=BC=1，

求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值

2、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值。

3、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ，求二面角A1,BD,C1的余弦值(

四总结

利用法向量求二面角大小的一般步骤:

1)建立坐标系，写出点与向量的坐标;

2)求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角;

3)通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果

快乐数学，开心每一天

有人问数学家一个问题: 树上有10只鸟，开枪打死一只，还剩几只,

数学家反问:是无声手枪或别的无声的枪吗,

不是。

枪声有多大,

会震得耳朵疼。

第1页

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打造未来社会精英

那就是说有80,100分贝,

是。

在这个城市里打鸟犯不犯法,

不犯。

您确定那只鸟真的被打死啦,

“确定”。提问的人已经不耐烦了，“拜托，你告诉我还剩几只就行了，OK,”

OK，树上的鸟中有没有聋子,

没有。

有没有关在笼子里的,

没有。

边上还有没有其他的树，树上还有没有其他的鸟,

没有。

有没有残疾或饿得飞不动的鸟,

没有。

算不算还在肚子里和孵在鸟窝里的蛋,

不算。

打鸟的人眼有没有花,保证是10只,

没有花，就10只。

提问的人已经满脑门是汗。

但数学家继续问:

有没有傻得不怕死的,

都怕死。

会不会一枪打死两只,

不会。

所有的鸟都可以自由活动吗,

完全可以。

“如果您的回答没有骗人，”数学家满怀信心地说，“打死的鸟要是挂在树上没有掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，

就一只不剩。”

提问的人当即晕倒～

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关于利用法向量求二面角的问题

我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.

两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a?b，它的长度（模）为|?|=||||，它的方向与和都垂直，并且按,,?的顺序构成右手标架（如下图所示）

若是?，则所得向量长度与?相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.

设平面

?内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则

?(x2?x1,y2?y1，z2?z1)，?(x3?x1,y3?y1,z3?z1)，所以

y2?y1y3?y1

z2?z1z3?z1

x2?x1x3?x1

y2?y1y3?y1

??(

，，），

很明显，向量?可以为平面?的法向量.此时?的方向应该是垂直平面?并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小.

说明：行列式

abcd

?ad?bc，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.

如图所示，设平面?与平面?所成的二面角为?，法向量分别为,，显然与所成的角为?，且???，即此时与所成的角?就是平面?与平面?所成的二面角为?，从这里我们可以看出，只要平面?与平面?的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.

如图，我们来求平面

?与平面?所成的二面角?，设?(x1,y1,z1)，

AC?(x2,y2,z2)，

x1y1z1x1

y1z1

，且设z?

若

x1y1x2y2

，y?

z1x1z2x2

，x?

y1z1y2z2

x2y2z2x2y2z2

则平面?的一个法向量???(x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面?的法向量方向应该是朝向二面角的里面.

设?(x3,y3,z3)，?(x4,y4,z4),要使平面?的法向量方向朝向二面角的里

面，根据右手标架，我们计算应该是?，若

x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3

，并且设

x4y4x3y3

b?，

x4y4x3y3

，a?

y4z4y3z3

，则平面?的一个法向量???(a,b,c)

根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角

cos???

xa?yb?zcx?y?z?a?b?c

当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.

法向量求二面角和点到面的距离

一.爵——

法向量求二面角和点到面I的距离

湖南省麻阳县民族中学高二理(五)班/李洁林 1求二面角:求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补

例1,?ABC是以/B为直角的直角三角形.SA上平 ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N分别是AB,BC的巾点.求二面角S-NM—A的余弦值.

解:如,以B为原点,

,为x,Y轴建系.

则A(4,0,0),S(4,0,2),M (2,0,0),N(0,l,0)

QSAj-AMN

可作为平面AMN的

一

个法向量.

平面AMN一个法向茸为=-=(0,(),2) 没平面AMN一个法向量为"u【1=f,,,,z) ,

uun'

sutln=0j(Yz)?(-2,0,-2)=()j一一2z= '

考()==>(X,y,z)'(一4,1,一2)=')一4x十_Y:'' 令x=l,贝0z=一1,.V=2,.?.uun=(I,2,一1)n2 .

COS<旦.uun>:(【)0,2(1,_21=_::2:一 I2,/62,/6

,6_

Q可观察二面角的平面角是锐角, r7

COS0=_V

2点到面的距离:任一斜线(平面为

一

点与平面内的连线)在法向量方r口J 的射影;如点B到平面OL的距离d=l BD?nl/Inl(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为而的法

向量).利用这个原理也可以求异【百i直线的距离. 例2,如I刳所示,正方体的棱长为1,E,F分别为AB,

,求点B到平I面AECF的距离. CD中点

分析:所渭法向量,就是和平面垂直的向量,通过它和平

面上任意两向量的乘积为0,可确定法向量.设P为平面外一点,则点P到平面的斜线段向量在平面法向量方向的射影,即为点P到平面的距离.而线到面的距离可通过线取一点,转化为点面距求之.其公式为tPOI:l?},其中, 一

,为单位法向量,P0J_d于点0,A?,为面

Jnf

(3/-的斜线段向量.

注意:只有单位法向量才不会改变射影的长度. 解:A(1,0,0),B(1,1,0),B(1,一,1)

F(o,1)1,

【J),=(0,-21,1),=f_t告,)

设平面AECF的法向量为n=(,Y,0), 贝1有J-Aft,j_

:()

山{,得{

n=0一肿:()

令y=2,得(1,2,一1),则

{_V),一,一V)6

冈为:(0,】,f)),

故所求距离为d=l?I=X/6

法向量作为向量家族中的一个特殊成员,在立体几何的『口J题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性,也越来越广泛的被广大师牛所青睐和重视.

指导老师:李晓汉

生在较短时间内实现矢?识的迁移干u内化. 运片j'一J汇是掌握测汇的关键.要让学牛有效运用涮汇,

就不能孤立地学单词是要将i百=J汇,句子和文章有机结合起来学习,去体会和领悟单测所要表达的真实语意.而英语阅读教学是学生学会运用词汇最好的训练这样可以把词汇学习置身于真实有效的语境中,通过扫读(skimming),—让学生快速浏览课文,抓住文章主要内容;细读(scanning)—— 962.1.5l敏青谊塌丁ea'r'sForum

指导学生理解文章的细节;段落大意,段与段之问的联系,使学牛对篇章结构有更深层次的解.如此下来,既培养学生自主探究实践能力,义训练了学生创造性运用语言的能力. 1一J汇学习在英语教学中有着举足轻重的作用,我们要深入结合教学实践,优化词汇教学的策略;引导学生索引词汇 }己忆的规律;通过多种方式掌握英语涮汇,提高英语水平,为将来学爿奠定良好的基础.

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