多角度分析, “ 最 ” 能解决二次函数难题 作者:郑小雨

来源:《新课程 ·教师》 2016年第 08期

摘 要:二次函数是初中数学学习的重点与难点,是各类考卷中的必考题型。身为教师, 通过思路清晰、综合有效的教学使学生掌握这部分知识内容是教师的重要使命。根据多年的教 学经验,浅谈几点有效解决二次函数求最值问题,提高学生学习效果的教学策略,具有一定的 参考意义。

关键词:初中数学;二次函数;多角度;区间

二次函数求最值类的问题千变万化,然而只要掌握一定的技巧,学会多角度分析,定能找 到解题思路,以不变应万变,顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础,进行 了解题模式的探讨。

一、确定区间,结合图象性质

数形结合是解决数学问题的有力武器,在解决二次函数求最值的问题中也不例外,通过结 合图象性质,快速准确地确定区间,开辟出解题思路。

1.定轴定区间,直接判断

当二次函数所给的函数区间固定,对称轴固定时,我们可以通过做出函数图形,清晰直观 地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单,所以我在教学中,主要教会大家准确地做出 函数图形,从而解决问题。

比如,对于定轴定区间函数求最值问题:求函数 y=-x2+4x-3在区间 [1, 4]的最大值及最小 值。首先我们分析二次函数的表达式,二次项系数小于零,说明函数图象开口向下,函数的对 称轴为 x==2。然后我们根据区间范围,函数的对称轴,开口方向可以做出该二次函数的草 图。通过观察这一函数的图象,我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得,二次函数 的最小值在端点 x=4处取得,通过将 x 轴的坐标轴代入函数表达式,即可求出相应的最大值与 最小值,从而得解。

讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对 来说是最简单的求最值问题,然而学生因为粗心大意也会发生错误,比如画错开口方向,大家 一定要记住二次项系数大于零开口向上,二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处 的函数值只要将对应的 x 值代入函数表达式,便可准确地求出,进而做出函数图象。

在这部分知识的教学中,我通过强调做函数图象的细节,引导学生在做题时通过直接地观 察,准确地得到最值,提高了课堂的效率。

二次函数难题

二次函数难题

整理:爱我在春天

1. 如图,二次函数 y=2/3x2的图像如图所示,点 A0

位于坐标原点,点 A1, A2, A3, ... , A2008在 y 轴

的正半轴上,点 B1, B2, B3...,B2008在二次函数

y=2/3x2位于第一象限的图像上,若△ A0B1A1,△

A1B2A2, △ A2B3A3… , △ A2007B2008A2008都为

等边三角形,则△ A2007B2008A2008的边长 =-------

解:

(1)分别过点 B 1、 B 2、 B 3、……、 B 2008

作 B 1H 1、 B 2H 2、 B 3H 3、……、 B 2008H 2008垂直于 y 轴

ΔA 0B 1A 1, ΔA 1B 2A 2, ΔA 2B 3A 3,…, ΔA 2007B 2008A 2008

都为等边三角形

设 ΔA 0B 1A 1的边长为 a ,易得 B 1H 1=a 2

, A 0H 1=a 21,则 B 1???? ??a 21a 2

,代入 y =2x 32得, 2a 232a 21???

? ???=, a 2-a =0 解得 a 1=0(舍去 ) , a 2=1

∴ ΔA 0B 1A 1的边长为 1,设 ΔA 1B 2A 2的边长为 b

易得 B 2H 2=b 2

, A 0H 2=1+b 21 则 B 1???? ??b 211b 2+, 代入 y =2x 32得 1+2b 2332b 21???

? ???=, b 2-b -2=0,

解得:b 1=-1(舍去 ) , b 2=2, 所以 ΔA 1B 2A 2的边长为 2,同样的方法可以求得 ΔA 2B 3A 3的边长为 3,

ΔA 2007B 2008A 2008的边为 2008。

A (1, 0) 、 B (5, 0) 、 C (0, 5)三点.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)若过点 C 的直线 y=kx+b与抛物线相交于点 E (4,

m ) ,请求出△ CBE 的面积 S 的值;

(3) 在抛物线上求一点 P 0, 使得△ ABP 0为等腰三角形,

并写出 P 0点的坐标;

附加:(4)除(3)中所求的 P 0点外,在抛物线上是否还

存在其它的点 P 使得△ ABP 为等腰三角形?若存在,请

求出一共有几个满足条件的点 P (要求简要说明理由,但不证明) ;若不存在这样的点 P ,请说明理由.

解:(1)∵抛物线经过点 A (1, 0) 、 B (5, 0) ,

∴ y=a(x-1) (x-5) .

又∵抛物线经过点 C (0, 5) ,

∴ 5a=5, a=1,

∴抛物线的解析式为 y=(x-1) (x-5) =x2-6x+5. (3分)

(2)∵ E 点在抛物线上,

∴ m=42-4×6+5=-3.

∵直线 y=kx+b过点 C (0, 5) 、 E (4, -3) ,

∴ {b=54k+b=-3,

解得 k=-2, b=5. (7分)

设直线 y=-2x+5与 x 轴的交点为 D ,

当 y=0时, -2x+5=0,

解得 x= 52.

∴ D 点的坐标为( 52, 0) . (8分)

∴ S=S△ BDC +S△ BDE

= 12×(5-52)×5+12×(5-52)×3=10. (9分)

(3)∵抛物线的顶点 P 0(3, -4)既在抛物线 的对称轴上又在抛物线上,

∴点 P 0(3, -4)为所求满足条件的点. (13分)

(4)除 P 0点外,在抛物线上还存在其它的点 P 使得△ ABP 为等腰三角形. (1分) 理由如下:

∵ AP0=BP0=22+42=25>4, (2分)

∴分别以 A 、 B 为圆心半径长为 4画圆,分别与抛物线交于点 B 、 P 1、 P 2、 P 3、 A 、 P 4、 P 5、 P 6,除去

B 、 A 两个点外,其余 6个点为满足条件的点.

3. 有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下面宽度为 20米,拱顶距离水平面 4米,如图建立直角坐标系,若正确水位时,桥下水深 6米,为保证过往船只 顺利航行,桥下水面宽度不得小于 18米,则当水深超过多少米时,就会影 响过往船只的顺利航行。问:6.76m 高的船可否过去?

解:设该抛物线的解析式为 y=ax2,在正常水位下 x=10,代入解析式可得 -4=a×102? a=- 125

故此抛物线的解析式为 y=- 125x2.

因为桥下水面宽度不得小于 18米

所以令 x=9时

可得 y= -125×81=-3.24米

此时水深 6+4-3.24=6.76米

即桥下水深 6.76米时正好通过,所以超过 6.76米时则不能通过

4.

二次函数难题

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数学二次函数

一(选择题(共2小题)

1(如图，已知动点P在函数y=(x,0)的图象上运动，PM?x轴于点M，PN?y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB:y=,x+1交于点E，F，则AF?BE的值为( )

A( 4 B(2 C( 1 D(

22(如图，抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B(若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为( )

A( B( C( D(

二(解答题(共28小题)

23(已知:关于x的方程mx,3(m,1)x+2m,3=0(

2(1)当m取何整数值时，关于x的方程mx,3(m,1)x+2m,3=0的根都是整数;

2(2)若抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3向左平移一个单位后，过反比例函数y=(k?0)上的一点(,1，3)，

2?求抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3的解析式;

?利用函数图象求不等式,kx,0的解集(

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2,(2m+n)x+m+n=0?( 4(已知:关于x的一元二次方程mx

(1)求证:方程?有两个实数根;

(2)求证:方程?有一个实数根为1;

(3)设方程?的另一个根为x，若m+n=2，m为正整数且方程?有两个不相等的整数根时，12确定关于x的二次函数y=mx,(2m+n)x+m+n的解析式;

(4)在(3)的条件下，把Rt?ABC放在坐标系内，其中?CAB=90?，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，BC=5，将?ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求?ABC平移的距离(

5(某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出(如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大(总利润=总收入,总成本),

6((2004?长沙)如图，等腰梯形ABCD，AD?BC，AD=3cm，BC=7cm，?B=60?，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接AP，过P作?APE=?B，交DC于E( (1)求证:?ABP??PCE;

(2)求等腰梯形的腰AB的长;

(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3,如果存在，求BP的长;如果不存在，请说明理由(

7(如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P作PE?CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

(1)写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围;

(2)如果?PCD的面积是?AEP面积的4倍，求CE的长;

(3)是否存在点P，使?APE沿PE翻折后，点A落在BC上,证明你的结论(

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2,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直8((2007?义乌市)如图，抛物线y=x

线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2(

(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;

(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形,如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由(

29(如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧，B在原点右侧)，C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m(m?0)，?CAB=45?，tan?COB=2(

(1)求A、C的坐标;

(2)求直线AC和抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形,若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由(

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2+bx+2交x轴于A、B两点(点B在点A的左侧)，10((2006?达州)如图，抛物线y=,x

交y轴于点C，其对称轴为x=，O为坐标原点(

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求证:?ACB是直角;

(3)抛物线上是否存在点P，使得?APB为锐角,若存在，求出点P的横坐标的取值范围;若不存在，请说明理由(

211((A)抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等(直线y=3x,7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M(

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围(

2(3)对于二次三项式x,10x+36，小明同学作出如下结论:无论x取什么实数，它的值都不可能等于11(你是否同意他的说法,说明你的理由(

212((2012?赤峰)如图，抛物线y=x,bx,5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|:|OA|=5:1(

(1)求抛物线的解析式;

(2)求直线AF的解析式;

(3)在直线AF上是否存在点P，使?CFP是直角三角形,若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由(

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2,11nx+24n (n,0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左13(如图1，抛物线y=nx

侧)，抛物线上另有一点A在第一象限内，且?BAC=90?(

(1)填空:点B的坐标为( _________ )，点C的坐标为( _________ ); (2)连接OA，若?OAC为等腰三角形(

?求此时抛物线的解析式;

?如图2，将?OAC沿x轴翻折后得?ODC，点M为?中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究:当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值(

214((2008?濮阳)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等(直线y=4x,16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M(

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ?x轴于点Q(若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合，但可以与点M重合)，设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗,如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值，请简要说明理由;

(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC,如果存在，请求出t的值(

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2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，15((2002?哈尔滨)如图，抛物线y=ax

与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等(直线y=3x,7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M(

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

(3)在线段BM上是否存在点N，使?NMC为等腰三角形,若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由(

216(如图，已知抛物线C:y=a(x+2),5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A1

在点B的左侧)，点B的横坐标是1;

(1)求a的值;

(2)如图，抛物线C与抛物线C关于x轴对称，将抛物线C向右平移，平移后的抛物线212

记为C，抛物线C的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C的解析333式(

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17(如图，已知?ABC内接于半径为4的?0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交?0于P、

22+2mx+m,9与x轴的两个交点的横坐标( Q两点(OD、OE的长分别是抛物线y=x

(1)求抛物线的解析式;

(2)是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2,如果存在，请求出直线l的解析式;如果不存在，请说明理由(

218((2011?永州)如图，已知二次函数y=,x+bx+c的图象经过A(,2，,1)，B(0，7)两点(

(1)求该抛物线的解析式及对称轴;

(2)当x为何值时，y,0,

(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E(当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标(

219((2009?江西)如图，抛物线y=,x+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D(

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学大教育 通润校区 (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;

(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF?DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m;

?用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形, ?设?BCF的面积为S，求S与m的函数关系式(

2,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点D( 20(如图，抛物线y=x

(1)求点A、B、D的坐标;

(2)若点C在该抛物线上，使?ABD??BAC(求点C的坐标，及直线AC的函数表达式; (3)P是(2)中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值(

2221((2004?哈尔滨)已知:抛物线y=,x,(m+3)x+m,12与x轴交于A(x，0)、B(x，120)两点，且x,0，x,0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA( 12

(1)求抛物线的解析式;

(2)在x轴上，点A的左侧，求一点E，使?ECO与?CAO相似，并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D;

(3)过(2)中的点E的直线y=x+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q(是否存在t值，使S:S=35:梯形MM'N'N?QMN12,若存在，求出满足条件的t值;若不存在，请说明理由(

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2:y=x,2x,3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左22((2008?莆田)如图，抛物线c1

侧)，与y轴交于点C(点P为线段BC上一点，过点P作直线l?x轴于点F，交抛物线c1点E(

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值;

(3)当PE为最大值时，把抛物线c向右平移得到抛物线c，抛物线c与线段BE交于点122M，若直线CM把?BCE的面积分为1:2两部分，则抛物线c应向右平移几个单位长度可1

得到抛物线c, 2

223(在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=,x+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，3)( (1)求抛物线及直线AC的解析式;

(2)E、F是线段AC上的两点，且?AEO=?ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N(当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形,若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由; (3)若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角?QCO与?BCO的大小(直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围)(

224((2011?沈阳)如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，,3)，对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D( (1)求抛物线的函数表达式;

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学大教育 通润校区 (2)求直线BC的函数表达式;

(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限(

?当线段PQ=AB时，求tan?CED的值;

?当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标( 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意，在图中补出图形，以便作答(

2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧)，25(已知，如图，抛物线y=x

且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4(

(1)直接写出点B，C的坐标及b的值;

(2)过射线CB上一点N，作MN?OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t(

?当0,t,4时，求线段MN的最大值;

?以点N为圆心，NM为半径作?N，当点B恰好在?N上时，求此时点M的坐标(

226(如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是,1，3 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x,7上(

(1)求抛物线的解析式;

(2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

(3)在线段BM上是否存在点N，使?NMC为等腰三角形,若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由(

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2,4x,1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C( 27(如图，抛物线y=x

(1)求这条抛物线的顶点D的坐标;

2(2)经过点(0，4)且与x轴平行的直线与抛物线y=x,4x,1相交于M、N两点(M在N的左侧)，以MN为直径作?P，过点D作?P的切线，切点为E，求点DE的长; (3)上下平移(2)中的直线MN，以MN为直径的?P能否与x轴相切,如果能够，求出?P的半径;如果不能，请说明理由(

228((2011?攀枝花)如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为(,1，0)(

(1)求二次函数的关系式;

(2)在抛物线上有一点A，其横坐标为,2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足,2,x,，当?AOB的面积最大时，求出此时直B

线l的关系式;

(3)抛物线上是否存在点C使?AOC的面积与(2)中?AOB的最大面积相等,若存在，求出点C的横坐标;若不存在说明理由(

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2:y=,x+4x,2与x轴交于A、B，直线l:y=,x+b分别交x轴、29(如图1，抛物线C1

y轴于S点和C点，抛物线C的顶点E在直线l上( 1

(1)求直线l的解析式;

(2)如图2，将抛物线C沿射线ES的方向平移得到抛物线C，抛物线C的顶点F在直122线l上，并交x轴于M、N两点，且tan?EAB=?tan?FNM，求抛物线C平移的距离; 1(3)将抛物线C沿水平方向平移得到抛物线C，抛物线C与x轴交于P、G两点(点P233

在点G的左侧)，使得?PEF为直角三角形，求抛物线C的解析式( 3

230((2009?湘西州)在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是(3，0)(将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C(

(1)求k的值;

(2)求直线BC和抛物线的解析式;

(3)求?ABC的面积;

(4)设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且?APD=?ACB，求点P的坐标(

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二次函数难题解析

二次函数的应用

1、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

⑴由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；

⑵求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

⑶求第8个月公司所获利润是多少万元？

2、 如图2，抛物线的顶点为P(1，0) ，一条直线与抛物线相交于A(2，

1) ，B(?1,m)两点． 2

⑴求抛物线和直线AB 的解析式；

⑵若M 为线段AB 上的动点，过M 作MN ∥y 轴，交抛物线于点N ，连接NP 、AP ，试探究四边形MNPA 能否为梯形，若能，求出此点M 的坐标；若不能，请说明理由．

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图

2

二次函数难题doc

二次函数的应用

1、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.图中二 次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间 t (月)之间的关系(即 前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系) .

根据图象提供的信息,解答下列问题:

⑴由已知图象上的三点坐标,求累积利润 S (万元)与时间 t (月)之间的函数表达式; ⑵求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元; ⑶求第 8个月公司所获利润是多少万元?

2、 如图 2,抛物线的顶点为 P (1, 0) ,一条直线与抛物线相交于 A (2, 1) , B (m , 2

1

) 两点. ⑴求抛物线和直线 AB 的解析式; ⑵若 M 为线段 AB 上的动点, 过 M 作 MN ∥ y 轴, 交抛物线于点 N , 连接 NP 、 AP , 试探究四边形 MNP A 能否为梯形,若能,求出此点 M

图 2

3、如图二次函数 2y x bx c =++的图象经过 ()1A -, 0和 ()30B , 两点,且交 y 轴于点 C .

(1)试确定 b 、 c 的值;

(2)过点 C 作 CD x ∥ 轴交抛物线于点 D , 点 M 为此抛物线的顶点,试确定 MCD △ 的形状.

4、已知抛物线 y = ax 2-x + c 经过点 Q (-2,

2

3) ,且它的顶点 P 的横坐标为-1.设抛物线与 x 轴 相交于 A 、 B 两点,如图.

(1)求抛物线的解析式; (2)求 A 、 B 两点的坐标;

(3)设 PB 于 y 轴与交于 C 点,求△ ABC 的面积.

22题图

5、 已知:如图所示, 关于 x 的抛物线 2(0) y ax x c a =++≠与 x 轴交于点 (20) A -, 、 点 (60) B , , 与 y 轴交于点 C .

(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;

(2)在抛物线上有一点 D ,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线 AD 的解 析式;

(3) 在 (2) 中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M , 抛物线上有一动点 P , x 轴上有一动点 Q . 是 否存在以 A M P Q 、 、 、 为顶点的平行四边形?如果存在, 请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在, 请 说明理由.

6.如图,抛物线 2

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y x bx c =

++

经过 (03A B -, ) 两点,此抛物线的对称轴为直线 l ,顶 点为 C ,且 l 与直线 AB 交于点 D .

(1)求此抛物线的解析式;

(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标; (3)连接 BC ,求证:BC DC =;

(第 26题图)

7、已知,如图抛物线 23(0) y ax ax c a =++>与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A 、 B 两点, A 点在 B 点 左侧。点 B 的坐标为 (1, 0),OC=30B. (1)求抛物线的解析式;

(2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值:

8、如图,抛物线 c bx x y ++-=2

与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3, 0) 两点,

(1)求该抛物线的解析式;

(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P ,使△ PBC 的面积最大?,若存在,求出点 P 的坐标及△ PBC 的面积最大值 . 若没有,请说明理由 .

*(3)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,使得△ QAC 的周长 最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由 .

8、如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 (10) A -,

, (0B , (00) O , ,将此三 角板绕原点 O 顺时针旋转 90°,得到 A B O ''△ .

(1)如图,一抛物线经过点 A B B '、 、 ,求该抛物线解析式; (2) 设点 P 是在第一象限内抛物线上一动点, 求使四边形 PBAB '的面积达到最大时点 P 的坐标及面 积的最大值.

9、如图,在平面直角坐标系中, OB OA ⊥,且 2OB OA =,点 A 的坐标是 (1

2) -, . (1)求点 B 的坐标;

(2)求过点 A O B 、 、 的抛物线的表达式;

(3)连接 AB ,在(2)中的抛物线上求出点 P ,使得 ABP

S =△

x

10、在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点

(02) A , ,点 (10) C -, ,如图所示:抛物线 22y ax ax =+-经过点 B .

(1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3) 在抛物线上是否还存在点 P (点 B 除外) , 使 ACP △ 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形? 若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

11、 如图,抛物线的顶点为 A (2, 1) ,且经过原点 O ,与 x 轴的另一个交点为 B .

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上求点 M ,使△ MOB 的面积是△ AOB 面积的 3倍;

(3)连结 OA , AB ,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N ,使△ OBN 与△ OAB 相似?若存在, 求出 N 点的坐标;若不存在,说明理由.

(第 25题)

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