那晚越女说我?
2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高 等 数 学 (B 1)
注意事项:
1、考生务必将密封线内的各项填写清楚;
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效; 3、本试卷共 8页,四大题 24小题,满分 150分,考试时间 120分钟 .
一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内)
1、设函数 ) (x f 二阶可导,且 0) (' =x f , 0) (' ' >x f ,则 0x 为 ) (x f 的 A 、极大值点 B 、极小值点
C 、极小值 D 、拐点横坐标
2、设 ) 2
sin(x y +=π
,则 0
)
100(=x y
等于
A 、 1
B 、-1 C 、 0
D 、
2
1
3、连续曲线 ) (x f y =和直线 a x =, b x =) (b a <与 x="" 轴所围成的图形的面积是="" a="" 、="" x="" f="">
a ?) (
B 、
?
b
a
dx x f ) (
C 、 ?b
a
dx x f ) (
D 、 ?a
b
dx x f ) (
4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为 A 、 (1, 1, 1)
B 、 (
3
1,
3
1,
3
1) C 、 (
3
1,
3
1,
3
1) D 、 (3
1-
, 3
1-
, 3
1-
)
5、设区域 D 是由 2
x y =与 x y =所围成的区域,则 ??D
xdxdy
A 、
4
1 B 、
6
1 C 、
12
1 D 、
2
1
6、下列级数收敛的是
1
B 卷为当年该科目考试的备用卷,以应对考试过程中的突发事件 .
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A 、 ∑
∞
=1
1n n
B 、 ∑∞
=-1
) 1cos
1(
n n
n
C 、 ∑
∞
=+1
)
1(1n n
D 、 ∑∞
=+
1
2
) 11(
n n
n
二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、设 =+++∞
→x
x x
x 24)
23(
lim 8、函数 ?????≥+<>
, 20
, tan 2sin ) (x a x x x x x f 若 ) (x f 在 0=x 处连续,则 =a 9、 ?=b
a
dx x
f ) 3
('
10、设向量 1=→a , 2=→b , 3=+→→b a ,则 =?→
→b a
11、微分方程 03' ' ' =+y y 的通解是
12、幂级数 n
n x n ∑
∞
=+1
1
1的收敛域为 三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、若 b x x ax
=+--→
1
32
lim
,试求 a , b .
14、设函数 ) (x f y =是由方程 x y x y x sin ) ln(2
2+=+所确定,求
=x dx
dy .
15、设函数 ) (x y y =是由参数方程 ?????==?202cos sin t
y du u x t
,所确定,求 dx dy .
16、求函数 4
212
+-=
x x y 的极值,并说明是极大值还是极小值 .
17、计算 cn dinyuan www rom FilesComeF xdx x
e
. . :...... ln 11
?
18、已知函数 ) , (2
x xy f z =,其中 ) , (v u f 具有二阶连续偏导数,求
x
z ??,
y
x z ???2
.
19、将函数 2
2311) (x
x x f +-=展开 x 为的幂级数,并指出收敛区间 .
20、求经过点 ) 3, 2, 1(-A ,且垂直于直线 6
54:z y x L ==,又与平面 010987:=+++z y x π平行的直线
方程 .
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四、综合题(本大题共 4小题, 21、 22、 23每小题 10分, 24小题 8分,满分 38分) 21、计算 ??=
D
ydxdy x
I 2
,其中 D 是由 2
2x x y -≥, x y =及 2=x 所围成的平面区域 .
22、求方程 x e y y y -=++910' ' ' 的通解 .
23、在曲线 2) 1(-=x y 上点 ) 1, 2(0M 处引该曲线的法线,由该法线、 x 轴及该曲线所围成的区域为 D , 求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体体积的表达式 . (不必计算)
24、设函数 ) (x f 可导,且满足方程 ?
-+
=x
dt t f t x x x f 0
'
) () () (,求 ) (x f .
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2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学(B )参考答案
1、 B 2、 A 3、 A 4、 C 5、 C
6、 C
7、 2e
8、 1 9、 ?
?
?
??
?
-) 3() 3(3a f b
f
10、 1-
11、 x e c c y 321-+=
12、 ) 1, 1[-
13、解:因为 0) 3(2
1
lim =---→x ax x ,即 03) 1(=---a , 2=a ,
故, 5) 32(1
3
2lim
lim
1
2
1
-=-=
+--=
-→-→x x x x b x x .
14、解:由 0=x ,得 1=y ,方程两边对 x 求导得
x y x xy y x y
x cos 2) 2(1'
2' 2
++=++,
故 10
==x dx
dy .
15、解:
t t
t t dx
dy 2sin 2sin 2
2
-=?-=
.
16、解:因为 4
212
+-=
x x y ,故 2
2
2
2
'
)
42() 1(2)
42(22+--=
+-+-=
x x x x x x y ,令 0' =y ,
得驻点 . 1=x 当 1 1) 1(= y . 17、解:原式 e x e dx x x x x x xd e e e e 244212ln 2ln 21 1 1 1 -=-=? -==?? . 18、解: ' ' 122 ' ' 11' 12 ' 2 ' 122f x xyf f y x z xf yf x z ++=???? +=??. 19、解:x x x x x x x f 212111 221 1) 12)(1(1) (-+ --= -- -= --= =∑∞ =+-0 1) 12(n n n x , cn dinyuan www rom FilesComeF x . . :)... 2 12 1(<> 20、解:设所求直线的方向向量为 → s ,则 ) 6, 5, 4(⊥→s , ) 9, 8, 7(⊥→s ,所以取 ) 9, 8, 7() 6, 5, 4(?=→ s =) 3, 6, 3(--∥ ) 1, 2, 1(-. 故所求直线方程为 1 32 21 1: -=--=+z y x L . 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn 21、解:20 49) (2 1 3 42 1 22 2 = -= = ? ? ? -dx x x ydy dx x I x x x . 22、解:特征方程 09102=++r r ,特征根 11-=r , 92-=r . 所以对应齐次的通解为 x x e c e c y θ--- +=21. 又设非齐次的特解为 x Axe y -*=代入方程得 8 1= A ,所以 ex xe y -*= 8 1, 故原方程的通解为:x x x xe c e c y ---+ +=8 1921. 23、解:法线方程 x y 2 12- =,所求体积 15 133 25 ) 2 12() 1(4 2 2 2 1 4 πππ ππ= - = - + -= ? ? dx x dx x V x . 24、解:??-+=x x dt t tf t dt t f x x x f 0 0' ' ) () () (, ? -++ =x x xf x xf t f x f 0 ' ' ' ' ) () () (1) (, ) 0() (1) (' f x f x f -+=. 又 0) 0(=f ,即 1) () (' =-x f x f ,故 1) (-=x e x f . 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 注意事项: 1、考生务必将密封线内的各项填写清楚; 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效; 3、本试卷共 8页,五大题 24小题,满分 150分,考试时间 120分钟 . 一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内) 1、 0=x 是 x x x f 1sin ) (=的 A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、第二类间断点 D 、连续点 2、若 2=x 是函数 ) 21ln(ax x y +-=的可导极值点,则常数 =a A 、 1- B 、 2 1 C 、 2 1- D 、 1 3、若 ?+=C x F dx x f ) () (,则 ?=dx x xf ) (cossin A 、 C x F +) (sin B 、 C x F +-) (sin C 、 C F +(cos) D 、 C x F +-) (cos 4、设区域 D 是 xoy 平面上以点 ) 1, 1(A 、 ) 1, 1(-B 、 ) 1, 1(--C 为顶点的三角形区域,区域 1D 是 D 在第一 象限的部分,则:=+??dxdy y x xy D ) sin cos ( A 、 ??1 ) sin (cos2 D dxdy y x B 、 ??1 2 D xydxdy C 、 ??+1 ) sin cos (4 D dxdy y x xy D 、 0 5、设 y x y x u ) , (=, 22ln ) , (y x y x v +=,则下列等式成立的是 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn A 、 y v x u ??= ?? B 、 x v x u ??=?? C 、 x v y u ??= ?? D 、 y v y u ??= ?? 6、正项级数 (1) ∑∞ =1 n n u 、 (2) ∑∞ =1 3n n u ,则下列说法正确的是 A 、若(1)发散、则(2)必发散 B 、若(2)收敛、则(1)必收敛 C 、若(1)发散、则(2)不定 D 、若(1) 、 (2)敛散性相同 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、 =----→x x x e e x x x sin 2lim 8、函数 x x f ln ) (=在区间 []e , 1上满足拉格郎日中值定理的 =ξ 9、 =++? -1 1 2 11 x x π 10、设向量 {}1, 4, 3-=α、 {}k , 1, 2=β; α、 β互相垂直,则 =k 11、交换二次积分的次序 =? ?-+-dy y x f dx x x 2 11 1 ) , ( 12、幂级数 ∑∞ =-1 ) 12(n n x n 的收敛区间为 三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、设函数 ?? ? ??+=a x x x f x F sin 2) () ( 00=≠x x 在 R 内连续,并满足:0) 0(=f 、 6) 0(' =f ,求 a . 14、设函数 ) (x y y =由方程 ? ??-==t t t y t x cos sin cos 所确定,求 dx dy 、 2 2dx y d . 15、计算 ? xdx x sec tan 3 . 16、计算 ?1 arctan xdx 17、已知函数 ) , (sin2 y x f z =,其中 ) , (v u f 有二阶连续偏导数,求 x z ??、 y x z ???2 18、求过点 ) 2, 1, 3(-A 且通过直线 1 2354: z y x L =+=-的平面方程 . 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn 19、把函数 2 2 2) (x x x x f --=展开为 x 的幂级数,并写出它的收敛区间 . 20、求微分方程 0' =-+x e y xy 满足 e y x ==1的特解 . 四、证明题(本题 8分) 21、证明方程:0133 =+-x x 在 []1, 1-上有且仅有一根 . 五、综合题(本大题共 4小题,每小题 10分,满分 30分) 22、设函数 ) (x f y =的图形上有一拐点 ) 4, 2(P ,在拐点处的切线斜率为 3-,又知该函数的二阶导数 a x y +=6' ' ,求 ) (x f . 23、已知曲边三角形由 x y 22=、 0=x 、 1=y 所围成,求: (1) 、曲边三角形的面积; (2) 、曲边三角形饶 X 轴旋转一周的旋转体体积 . 24、设 ) (x f 为连续函数,且 1) 2(=f , dx x f dy u F u y u ?? =) () (1 , ) 1(>u (1) 、交换 ) (u F 的积分次序; (2) 、求 ) 2(' F . 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 参 考 答 案 1、 A 2、 C 3、 D 4、 B 5、 A 6、 C 7、 2 8、 1-e 9、 2 π 10、 5 11、 dx y x f dy y y ? ?---1 1 2 ) , ( 12、 ) 1, 1(- 13、因为 ) (x F 在 0=x 处连续,所以 ) 0() (lim 0 F x F x =→, 8262) 0(2) 0() (sin 2) () (' 0 lim lim lim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x , a F =) 0(,故 8=a . 14、 t t t t t t dt dx dt dy dx dy -=-+-==sin sin cos cos , t t x y dx y d t t csc sin 1) (' ' ' 22=--==. 15、原式 C x x x x xd x d x xdx x x +-= -=-==? ? ? sec sec 3 1 sec sec sec sec ) 1(secsec tan tan 32 2 2 . 16、原式 ??++-=+-=102 21 021 1) 1(2141arctan x x d dx x x x x π 102) 1ln(21 4x +-= π 2ln 21 4-=π 17、 ' 1cos f x x z ?=??, ' ' 12' ' 122cos 2) 2(cos xf y y f x y x z =?=??? 18、 {}1, 2, 5=l , {}0, 3, 4-=B , {}2, 4, 1-= {}22, 9, 82 41125 --=-=?=k j i l π 平面点法式方程为:cn dinyuan www to Welcom . . :. 0) 2(22) 1(9) 3(8=+----z y x ,即 592298=--z y x . 考专转本首选恩波教育 www.51jszb.cn 19、 x x x x x x x x f -?++?=-++=1132 116) 1121(3) (222 n n n n x x ∑∞ =+?? ????+-=01212) 1(3 ,收敛域为 11<-x .="" 20、=""> e y x y x =?+1' ,通解为 x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=??? ? ??+??=?- 11 因为 e y =) 1(, C e e +=,所以 0=C ,故特解为 x e y x =. 21、证明:令 13) (3+-=x x x f , []1, 1-∈x ,且 03) 1(>=-f , 01) 1(<-=f ,="" 0)="" 1()=""> (致远为学 cn dinyuan www . . 提醒:本题亦可用反证法证明) 22、设所求函数为 ) (x f y =,则有 4) 2(=f , 3) 2(' -=f , 0) 2(' ' =f . 由 a x y +=6' ' , 0) 2(' ' =y 得 12-=a ,即 126' ' -=x y . 因为 126' ' -=x y ,故 12' 123C x x y +-=,由 3) 2(' -=y ,解得 91=C . 故 22396C x x x y ++-=,由 4) 2(=y ,解得 22=C . 所求函数为:29623++-=x x x y . 23、 (1) 6 16 1211 3 1 02= ==?y dy y S (2) 4 021 ) () 21(2210 2π ππ =-=-=? x x dx x V x 24、解:积分区域 D 为:u y ≤≤1, u x y ≤≤ (1) ????? -=== u x u D dx x f x dy x f dx d x f u F 1 1 1 ) () 1() () () (σ; (2) ) () 1() (' u f u u F -=, 1) 2() 2() 12() 2(' ==-=f f F . 江苏省 2005年普通高校“专转本”试卷 高等数学 一、单项选择题(每题 4分,共 24分 ) 1, 的 是 x x x f x 1sin ) (0== ( ) A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、第二类间断点 D 、连续点 2,若 是函数 2=x ) 2 1ln(ax x y +?=的可导极值点,则常数 =a ( ) A 、 -1 B 、 1/2 C、 -1/2 D 、 1 3,若 ,则 ∫+=C x F dx x f ) () (∫=dx x xf ) (cossin ( ) A 、 B 、 C x F +) (sinC x F +?) (sin C 、 D 、 C x F +) (cosC x F +?) (cos 4,设区域 是 D xoy 平面上以点 ) 1, 1(), 1, 1(), 1, 1(???C B A 为顶点的三角形区域,区域 是 在第一象限的部分,则: ( ) 1D D ∫∫=+D dxdy y x xy ) sin cos ( A 、 B 、 ∫∫1sin cos 2 D ydxdy x ∫∫1 2D xydxdy C 、 D 、 0 ∫∫+1) sin cos (4D dxdy y x xy 5,设 22ln ) , (, arctan ) , (y x y x v y x y x u +==,则下列等式成立的是( ) A 、 y v x u ??=?? B 、 x v x u ??=?? C 、 x v y u ??=?? D 、 y v y u ??=?? 6,正项级数 ,则下列说法正确的是 ( ) ∑∑∞ =∞=131), 2(; ), 1(n n n n u u A 、若(1)发散,则(2)必发散 B 、若(2)收敛,则(1)必收敛 C 、若(1)发散,则(2)不定 D 、若(1) 、 (2)敛散性相同 二、填空题 (每题 4分,共 24分) 7,则 =????→x x x e e x x x sin 2lim 0。 8,函数 在区间 [上满足拉格郎日中值定理的 x x f ln ) (=]e , 1=ξ。 9,设 =++∫?11211 x x π 。 10,设向量 {}{}βαβα, , , 1, 21, 4, 3k =?=互相垂直,则 =k 。 11,交换二次积分的次序 ∫∫??+=0112) , (x x dy y x f dx 。 12,幂级数 的收敛区间为 ∑∞=?1) 12(n n x n 。 三、解答题 (每题 8分,共 64分) 13, 设函数 ?????=≠+=00sin 20() (x a x x x x f x F , 在连续, 并满足:6) 0(, 0) 0(=′=f f 求 。 a 14,设函数 由方程 所确定,求 ) (x y y =? ???==t t t y t x cos sin cos 22, dx y d dx dy 。 15,计算 。 ∫ xdx x sec tan 3 16,计算 。 ∫10 arctan xdx 17,已知函数 ,其中 有二阶连续偏导数,求 ) , (sin2y x f z =) , (v u f y x z x z ?????2, 。 18,求过点 ) 2, 1, 3(?A ,且通过直线 1 2354:z y x L =+=?的平面方程。 19,把函数 2 2 2) (x x x x f ??=展开为 x 的幂级数,并写出它的收敛区间。 20,求微分方程 满足 0=?+′x e y y x e y x ==1的特解。 四、证明题(本题 8分) 21,证明方程:,在 0133=+?x x []1, 1?上有且仅有一根。 五、综合题(每题 10分,共 30分) 22,设函数 的图形上有一拐点 ,在拐点处的切线斜率为 -3,又知该函数 的二阶导数 ) (x f y =) 4, 2(P a x y +=′′6,求 。 ) (x f 23,已知曲边三角形有 所围成,求: 1, 0, 22===y x x y (1) ,曲边三角形的面积; (2)曲边三角形饶 X 轴旋转一周的旋转体体积。 24,设 为连续函数,且 ) (x f ) 1(, ) () (, 1) 2(1>= =∫∫u dx x f dy u F f u u y (1) ,交换 的积分次序; ) (u F (2) ,求 ) 2(F ′ 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1、 0=x 是 x x x f 1 sin ) (=的 ( ) A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、第二类间断点 D 、连续点 2、若 2=x 是函数 ) 21 ln(ax x y +-=的可导极值点,则常数 =a ( ) A 、 1- B 、 21 C 、 2 1- D 、 1 3、若 ?+=C x F dx x f ) () (,则 ?=dx x xf ) (cossin ( ) A 、 C x F +) (sin B 、 C x F +-) (sin C 、 C F +(cos) D 、 C x F +-) (cos 4、 设区域 D 是 xoy 平面上以点 ) 1, 1(A 、 ) 1, 1(-B 、 ) 1, 1(--C 为顶点的三角形区域, 区域 1D 是 D 在第一象限的部分,则:=+??dxdy y x xy D ) sin cos ( ( ) A 、 ??1 ) sin (cos2 D dxdy y x B 、 ??1 2 D xydxdy C 、 ??+1 ) sin cos (4 D dxdy y x xy D 、 0 5、设 y x y x u ) , (=, 22ln ) , (y x y x v +=,则下列等式成立的是 ( ) A 、 y v x u ??=?? B 、 x v x u ??=?? C 、 x v y u ??=?? D 、 y v y u ??=?? 6、正项级数 (1) ∑∞ =1 n n u 、 (2) ∑∞ =1 3n n u ,则下列说法正确的是 ( ) A 、若(1)发散、则(2)必发散 B 、若(2)收敛、则(1)必收敛 C 、若(1)发散、则(2)可能发散也可能收敛 D 、 (1) 、 (2)敛散性相同 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、 =----→x x x e e x x x sin 2lim 0; 8、函数 x x f ln ) (=在区间 []e , 1上满足拉格郎日中值定理的 =ξ; 9、 =++? -1 1 2 11 x x π; 10、设向量 {}2, 4, 3-=α、 {}k , 1, 2=β; α、 β互相垂直,则 =k ; 11、交换二次积分的次序 =? ? -+-dy y x f dx x x 211 1 ) , (; 12、幂级数 ∑∞ =-1 ) 12(n n x n 的收敛区间为 ; 三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、设函数 ?? ? ??+=a x x x f x F sin 2) () ( 00 =≠x x 在 R 内连续,并满足:0) 0(=f 、 6) 0(' =f ,求 a . 14、设函数 ) (x y y =由方程 ? ??-==t t t y t x cos sin cos 所确定,求 dx dy 、 2 2dx y d . 15、计算 ? xdx x sec tan 3 . 16、计算 ? 1 arctan xdx 17、已知函数 ) , (sin2 y x f z =,其中 ) , (v u f 有二阶连续偏导数,求 x z ??、 y x z ???2 18、求过点 ) 2, 1, 3(-A 且通过直线 1 2354:z y x L =+=-的平面方程 . 19、把函数 2 2 2) (x x x x f --=展开为 x 的幂级数,并写出它的收敛区间 . 20、求微分方程 0' =-+x e y xy 满足 e y x ==1的特解 . 四、证明题(本题 8分) 21、证明方程:0133 =+-x x 在 []1, 1-上有且仅有一根 . 五、综合题(本大题共 4小题,每小题 10分,满分 30分) 22、设函数 ) (x f y =的图形上有一拐点 ) 4, 2(P ,在拐点处的切线斜率为 3-,又知该函数的二 阶导数 a x y +=6' ' ,求 ) (x f . 23、已知曲边三角形由 x y 22 =、 0=x 、 1=y 所围成,求: (1) 、曲边三角形的面积; (2) 、曲边三角形饶 X 轴旋转一周的旋转体体积 . 24、设 ) (x f 为连续函数,且 1) 2(=f , dx x f dy u F u y u ?? =) () (1 , ) 1(>u (1) 、交换 ) (u F 的积分次序; (2) 、求 ) 2(' F . 2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1、若 2 1) (lim 0=→x x f x ,则 =→) 3 (lim 0x f x x ( ) A 、 2 1 B 、 2 C 、 3 D 、 3 1 2、函数 ?????=≠=0 01sin ) (2 x x x x x f 在 0=x 处 ( ) A 、连续但不可导 B 、连续且可导 C 、不连续也不可导 D 、 可导但不连续 3、下列函数在 []1, 1-上满足罗尔定理条件的是 ( ) A 、 x e y = B 、 x y +=1 C 、 21x y -= D 、 x y 11- = 4、已知 C e dx x f x +=?2) (,则 =-?dx x f ) (' ( ) A 、 C e x +-22 B 、 C e x +-221 C 、 C e x +--22 D 、 C e x +--22 1 5、设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,如下说法正确的是 ( ) A 、如果 0lim 0=→n n u ,则 ∑∞ =1n n u 必收敛 B 、如果 l u u n n n =+∞→1 lim ) 0(∞≤≤l ,则 ∑∞ =1n n u 必收敛 C 、如果 ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =1 2 n n u 必定收敛 D 、如果 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛,则 ∑∞ =1 n n u 必定收敛 6、设对一切 x 有 ) , () , (y x f y x f -=-, }0, 1|) , {(22≥≤+=y y x y x D , =1D }0, 0, 1|) , {(22≥≥≤+y x y x y x ,则 ??=D dxdy y x f ) , ( ( ) A 、 0 B 、 ??1 ) , (D dxdy y x f C 、 2??1 ) , (D dxdy y x f D 、 4??1 ) , (D dxdy y x f 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、已知 0→x 时, ) cos 1(x a -与 x x sin 是等级无穷小,则 =a 8、若 A x f x x =→) (lim 0 ,且 ) (x f 在 0x x =处有定义,则当 =A 时, ) (x f 在 0x x =处连 续 . 9、设 ) (x f 在 []1, 0上有连续的导数且 2) 1(=f , ?=1 3) (dx x f ,则 ?=1 ' ) (dx x xf 10 1=, ⊥,则 =+?) (b a a 11、设 x e u xy sin =, =??x u 12、 =??D dxdy 其中 D 为以点 ) 0, 0(O 、 ) 0, 1(A 、 ) 2, 0(B 为顶点的三角形区域 . 三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、计算 1 1lim 1 --→x x x . 14、若函数 ) (x y y =是由参数方程 ???-=+=t t y t x arctan ) 1ln(2所确定,求 dx dy 、 2 2dx y d . 15、计算 ?+dx x x ln . 16、计算 dx x x ? 20 2cos π . 17、求微分方程 2' 2y xy y x -=的通解 . 18、将函数 ) 1ln( ) (x x x f +=展开为 x 的幂函数(要求指出收敛区间) . 19、求过点 ) 2, 1, 3(-M 且与二平面 07=-+-z y x 、 0634=-+-z y x 都平行的直线方程 . 20、设 ) , (2 xy x xf z =其中 ) , (v u f 的二阶偏导数存在,求 y z ??、 x y z ???2. 四、证明题(本题满分 8分) . 21、证明:当 2≤x 时, 233 ≤-x x . 五、综合题(本大题共 3小题,每小题 10分,满分 30分) 22、已知曲线 ) (x f y =过原点且在点 ) , (y x 处的切线斜率等于 y x +2,求此曲线方程 . 23、已知一平面图形由抛物线 2x y =、 82+-=x y 围成 . (1)求此平面图形的面积; (2)求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积 . 24、 设 ?? ? ??=≠=??00) (1 ) (t a t dxdy x f t t g t D , 其中 t D 是由 t x =、 t y =以及坐标轴围成的正方形区域, 函数 ) (x f 连续 . (1)求 a 的值使得 ) (t g 连续; (2)求 ) (' t g . 2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1、若 2) 2(lim =→x x f x ,则 =∞→) 21 (lim x xf x ( ) A 、 4 1 B 、 2 1 C 、 2 D 、 4 2、已知当 0→x 时, ) 1ln(22x x +是 x n sin 的高阶无穷小,而 x n sin 又是 x cos 1-的高阶无穷 小,则正整数 =n ( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 3、 设函数 ) 3)(2)(1() (---=x x x x x f , 则方程 0) (' =x f 的实根个数为 ( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 4、设函数 ) (x f 的一个原函数为 x 2sin ,则 =?dx x f ) 2(' ( ) A 、 C x +4cos B 、 C x +4cos 2 1 C 、 C x +4cos 2 D 、 C x +4sin 5、设 dt t x f x ? = 2 1 2sin ) (,则 =) (' x f ( ) A 、 4 sin x B 、 2 sin 2x x C 、 2 cos 2x x D 、 4 sin 2x x 6、下列级数收敛的是 ( ) A 、 ∑∞ =122n n n B 、 ∑ ∞ =+1 1 n n n C 、 ∑∞ =-+1 ) 1(1n n n D 、 ∑ ∞ =-1 ) 1(n n n 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、设函数 ?? ? ??=≠+=0 20) 1() (1 x x kx x f x ,在点 0=x 处连续,则常数 =k 8、若直线 m x y +=5是曲线 232 ++=x x y 的一条切线,则常数 =m 9、定积分 dx x x x ) cos 1(432 2 2+-? -的值为 10、已知 → a , → b 均为单位向量,且 2 1 =?→ →b a ,则以向量 → →?b a 为邻边的平行四边形的面积为 11、设 y x z = ,则全微分 =dz 12、设 x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为 三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、求极限 x x x e x x tan 1 lim 0--→. 14、设函数 ) (x y y =由方程 xy e e y x =-确定,求 0=x dx dy 、 0 2 2=x dx y d . 15、求不定积分 dx e x x ? -2. 16、计算定积分 x x -12 2 2 . 17、设 ) , 32(xy y x f z +=其中 f 具有二阶连续偏导数,求 y x z ???2. 18、求微分方程 2' 2007x y xy =-满足初始条件 20081 ==x y 的特解 . 19、求过点 ) 3, 2, 1(且垂直于直线 ???=++-=+++0 120 2z y x z y x 的平面方程 . 20、计算二重积分 dxdy y x D ?? +22,其中 {} 0, 2|) , (22≥≤+=y x y x y x D . 四、综合题(本大题共 2小题,每小题 10分,满分 20分) 21、设平面图形由曲线 2 1x y -=(0≥x )及两坐标轴围成 . (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积; (2)求常数 a 的值,使直线 a y =将该平面图形分成面积相等的两部分 . 22、设函数 9) (23-++=cx bx ax x f 具有如下性质: (1)在点 1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点 1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点 ) 2, 1(的两侧凹凸性发生改变 . 试确定 a , b , c 的值 . 五、证明题(本大题共 2小题,每小题 9分,满分 18分) 23、设 0>>a b ,证明: dx x f e e dx e x f dy b a a x x b y y x b a ??? ++-=) () () (232. 24、求证:当 0>x 时, 2 2) 1(ln ) 1(-≥-x x x . 2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1、设函数 ) (x f 在 ) , (+∞-∞上有定义,下列函数中必为奇函数的是 ( ) A 、 ) (x f y -= B 、 ) (43x f x y = C 、 ) (x f y --= D 、 ) () (x f x f y -+= 2、设函数 ) (x f 可导,则下列式子中正确的是 ( ) A 、 ) 0() () 0(lim ' 0 f x x f f x -=-→ B 、 ) () () 2(lim 0' 00 x f x x f x x f x =-+→ C 、 ) () () (lim 0' 000 x f x x x f x x f x =??--?+→? D 、 ) (2) () (lim 0' 000 x f x x x f x x f x =??+-?-→? 3、 设函数 ) (x f ? =1 22sin x dt t t , 则 ) (' x f 等于 ( ) A 、 x x 2sin 42 B 、 x x 2sin 82 C 、 x x 2sin 42 - D 、 x x 2sin 82 - 4、设向量 ) 3, 2, 1(=→a , ) 4, 2, 3(=→ b ,则 → → ?b a 等于 ( ) A 、 (2, 5, 4) B 、 (2,-5,-4) C 、 (2, 5,-4) D 、 (-2, -5, 4) 5、函数 x y z ln =在点(2, 2)处的全微分 dz 为 ( ) A 、 dy dx 2121+- B 、 dy dx 2121+ C 、 dy dx 2121- D 、 dy dx 2 121-- 6、微分方程 123' ' ' =++y y y 的通解为 ( ) A 、 1221++=--x x e c e c y B 、 21 221+ +=--x x e c e c y C 、 1221++=-x x e c e c y D 、 2 1221++=-x x e c e c y 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、设函数 ) 1(1 ) (2--=x x x x f ,则其第一类间断点为 8、设函数 { =) (x f , 0, 3tan , 0, <≥+x> x x x a 在点 0=x 处连续,则 a = . 9、已知曲线 543223++-=x x x y ,则其拐点为 10、设函数 ) (x f 的导数为 x cos ,且 2 1 ) 0(=f ,则不定积分 ?dx x f ) (=11、定积分 x x ?-++1 121sin 2的值为 12、幂函数 ∑∞ =?12 n n n n x 的收敛域为 . 三、计算题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、求极限:x x x x 3) 2( lim -∞ → 14、设函数 ) (x y y =由参数方程 Z n n t t y t t x ∈≠? ??-=-=, 2, cos 1, sin π所决定,求 22, dx y d dx dy 15、求不定积分:?+dx x x 1 3 . 16、求定积分:? 1 dx e x . 17、设平面 π经过点 A (2, 0, 0) , B (0, 3, 0) , C (0, 0, 5) ,求经过点 P (1, 2, 1)且 与平面 π垂直的直线方程 . 18、设函数 ) , (x y y x f z +=,其中 ) (x f 具有二阶连续偏导数,求 y x z ???2. 19、计算二重积分 ??D dxdy x 2,其中 D 是由曲线 x y 1 =,直线 2, ==x x y 及 0=y 所围成的平 面区域 . 20、求微分方程 2' 2x y xy +=的通解 . 四、综合题(本大题共 2小题,每小题 10分,满分 20分) 21、求曲线 ) 0(1 >=x x y 的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值 . 22、设平面图形由曲线 2x y =, 2 2x y =与直线 1=x 所围成 . (1)求该平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 . (2)求常数 a ,使直线 a x =将该平面图形分成面积相等的两部分 . 五、证明题(本大题共 2小题,每小题 9分,满分 18分) 23、 设函数 ) (x f 在闭区间 []a 2, 0) 0(>a 上连续, 且 ) () 2() 0(a f a f f ≠=, 证明:在开区间 ) , 0(a 上至少存在一点 ξ,使得 ) () (a f f +=ξξ. 24、对任意实数 x ,证明不等式:1) 1(≤-x e x . 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1、 已知 32 lim 22=-++→x b ax x x , 则常数 b a , 的取值分别为 ( ) A 、 2, 1-=-=b a B 、 0, 2=-=b a C 、 0, 1=-=b a D 、 1, 2-=-=b a 2、已知函数 4 2 3) (2 2-+-=x x x x f ,则 2=x 为 ) (x f 的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、震荡间断点 3、 设函数 ?? ? ??>≤=0, 1sin 0, 0) (x x x x x f α在点 0=x 处可导, 则常数 α的取值范围为 ( ) A 、 10<α b="" 、=""><> C 、 1>α D 、 1≥α 4、曲线 2 ) 1(1 2-+=x x y 的渐近线的条数为 ( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、 设 ) 13l n () (+=x x F 是函数 ) (x f 的一个原函数, 则 =+? dx x f ) 12(' ( ) A 、 C x ++4 61 B 、 C x ++4 63 C 、 C x ++8 121 D C x ++8 123 6、设 α为非零常数,则数项级数 ∑ ∞ =+12 n n n α ( ) A 、条件收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性与 α有关 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7、已知 2) ( lim =-∞ →x x C x x ,则常数 =C . 8、设函数 dt te x x t ? = 20 ) (?,则 ) (' x ?=9、已知向量 ) 1, 0, 1(-=→ a , ) 1, 2, 1(-=→ b ,则 → → +b a 与 → a 的夹角为 10、设函数 ) , (y x z z =由方程 12=+yz xz 所确定,则 x z ??= . 11、若幂函数 ) 0(12>∑∞ =a x n a n n n 的收敛半径为 21,则常数 =a . 12、微分方程 0) 2() 1(2=--+xdy y ydx x 的通解为 三、计算题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、求极限:x x x x sin lim 3 0-→ 14、设函数 ) (x y y =由参数方程 ???-+=+=3 2) 1ln(2 t t y t x 所确定, ,求 22, dx y d dx dy . 15、求不定积分:? +dx x 12sin . 16、求定积分:? -10 2 22dx x x . 17、求通过直线 1 2 213-=-=z y x 且垂直于平面 02=+++z y x 的平面方程 . 18、计算二重积分 ?? D yd σ,其中 }2, 2, 20) , {(2 2≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设函数 ) , (sinxy x f z =,其中 ) (x f 具有二阶连续偏导数,求 y x z ???2. 20、求微分方程 x y y =-' ' 的通解 . 四、综合题(本大题共 2小题,每小题 10分,满分 20分) 21、已知函数 13) (3+-=x x x f ,试求: (1)函数 ) (x f 的单调区间与极值; (2)曲线 ) (x f y =的凹凸区间与拐点; (3)函数 ) (x f 在闭区间 ]3, 2[-上的最大值与最小值 . 22、 设 1D 是由抛物线 22x y =和直线 0, ==y a x 所围成的平面区域, 2D 是由抛物线 2 2x y =和 直线 2, ==x a x 及 0=y 所围成的平面区域,其中 20 (1) 1D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 1V ,以及 2D 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积 2V . (2)求常数 a 的值,使得 1D 的面积与 2D 的面积相等 . 五、证明题(本大题共 2小题,每小题 9分,满分 18分) 23、已知函数 ???≥+<> , 10 , ) (x x x e x f x ,证明函数 ) (x f 在点 0=x 处连续但不可导 . 24、证明:当 21 -+>x x x x . 2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1. 设当 0x →时,函数 () sin f x x x =-与 () n g x ax =是等价无穷小,则常数 , a n 的值为 ( ) A. 1, 36a n = = B. 1, 33a n == C. 1, 412a n == D. 1 , 46 a n == 2. 曲线 2234 56 x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 设函数 22 () cos t x x e tdt Φ= ?,则函数 () x Φ的导数 () x 'Φ等于 ( ) A. 2 22cos x xe x B. 2 22cos x xe x - C. 2cos x xe x - D. 2 2 cos x e x - 4. 下列级数收敛的是 ( ) A. 11 n n n ∞ =+∑ B. 2 121 n n n n ∞ =++∑ C. 1 n n ∞= D. 2 12 n n n ∞ =∑ 5. 二次积分 1 1 1 (, ) y dy f x y dx +? ? 交换积分次序后得 ( ) A. 11 1(, ) x dx f x y dy +?? B. 2 1 10(, ) x dx f x y dy -? ? C. 2 1 1 1 (, ) x dx f x y dy -? ? D. 2 1 1 1 (, ) x dx f x y dy -? ? 6. 设 3 () 3f x x x =-,则在区间 (0,1)内 ( ) A. 函数 () f x 单调增加且其图形是凹的 B. 函数 () f x 单调增加且其图形是凸的 C. 函数 () f x 单调减少且其图形是凹的 D. 函数 () f x 单调减少且其图形是凸的 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 7. 1lim( ) 1 x x x x →∞+=-8. 若 (0)1f '=,则 0() () lim x f x f x x →--= 9. 定积分 31 2 11 1 x x -++?的值为 10. 设 (1,2,3), (2,5,) a b k == ,若 a 与 b 垂直,则常数 k = 11. 设函数 ln z =10 x y dz === 12. 幂级数 0 (1) n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 三、计算题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、求极限 20 11 lim( ) tan x x x x →- 14、设函数 () y y x =由方程 2x y y e x ++=所确定,求 22, dy d y dx dx 15、求不定积分 arctan x xdx ? 16 、计算定积分 4 ? 17、求通过点 (1,1,1),且与直线 23253x t y t z t =+?? =+??=+? 垂直,又与平面 250x z --=平行的直线的方程。 18、设 2 (, ) x z y f xy e =,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,求 2z x y ??? 19、计算二重积分 D xdxdy ??,其中 D 是由曲线 x = ,直线 y x =及 x 轴所围成的闭区域。 20、已知函数 x y e =和 2x y e -=是二阶常系数齐次线性微分方程 0y py qy ++=的两个解,试 确定常数 q p , 的值,并求微分方程 四、证明题(每小题 9分,共 18分) 21、证明:当 1x >时, 1 21122 x e x -> + 22、设 () , 0, () 1, 0, x x f x x x ??≠? =??=?其中函数 () x ?在 0x =处具有二阶连续导数,且 ' (0)0, (0)1??==,证明:函数 () f x 在 0x =处连续且可导。 五、综合题(每小题 10分,共 20分) 23、设由抛物线 2(0) y x x =≥,直线 2(01) y a a =<与 y="" 轴所围成的平面图形绕="" x="" 轴旋转一周="" 所形成的旋转体的体积记为="" 1()="" v="" a="" ,="" 由抛物线=""> (0) y x x =≥, 直线 2 (01) y a a =<与直线 1x="所围成的平面图形绕" x="" 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为="" 2()="" v="" a="" ,另="" 12()="" ()="" ()="" v="" a="" v="" a="" v="" a="+," 试求常数="" a="" 的值,使="" ()="" v="" a=""> 24、 设 函数 () f x 满 足 方 程 ' () () 2x f x f x e +=, 且 (0)2f =, 记 由曲 线 ' () () f x y f x =与 直 线 1, (0) y x t t ==>及 y 轴所围平面图形的面积为 () A t ,试求 lim () t A t →+∞ 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 A 2、 C 3、 D 4、 A 5、 A 6、 C 7、 2 8、 1-e 9、 2 π 10、 5 11、 dx y x f dy y y ? ? ---1 11 2 ) , ( 12、 ) 1, 1(- 13、因为 ) (x F 在 0=x 处连续,所以 ) 0() (lim 0 F x F x =→, 8262) 0(2) 0() (lim sin 2) (lim ) (lim ' 00 =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x , a F =) 0(,故 8=a . 14、 t t t t t t dt dx dy dx dy -=-+-==sin sin cos cos , t t x y dx y d t t csc sin 1) (' ' ' 22=--==. 15、原式 C x x x x xd x d x xdx x x +-=-=-==???sec sec 3 1 sec sec sec sec ) 1(secsec tan tan 3222. 16、原式 ??++-=+-=102 21 021 1) 1(2141arctan x x d x x x x π 102) 1ln(21 4x +- = π 2ln 21 4-=π 17、 ' 1cos f x x z ?=??, ' ' 12' ' 122cos 2) 2(cos xf y y f x y x z =?=??? 18、 {}1, 2, 5=l , {}0, 3, 4-=B , {}2, 4, 1-= {}22, 9, 82 4112 5 --=-=?=k j i l π 平面点法式方程为: 0) 2(22) 1(9) 3(8=+----z y x ,即 592298=--z y x . 19、 x x x x x x x x f -?++?=-++=1132 116) 1121(3) (222 n n n n x x ∑∞ =+?? ????+-=01212) 1(3 ,收敛域为 11<-x .="" 20、=""> e y x y x =?+1' ,通解为 x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=??? ? ??+??=?- 11 因为 e y =) 1(, C e e +=,所以 0=C ,故特解为 x e y x =. 21、 证明:令 13) (3+-=x x x f , []1, 1-∈x , 且 03) 1(>=-f , 01) 1(<-=f ,="" 0)="" 1()=""> 22、设所求函数为 ) (x f y =,则有 4) 2(=f , 3) 2(' -=f , 0) 2(' ' =f . 由 a x y +=6' ' , 0) 2(' ' =y 得 12-=a ,即 126' ' -=x y . 因为 126' ' -=x y ,故 12' 123C x x y +-=,由 3) 2(' -=y ,解得 91=C . 故 22 3 96C x x x y ++-=,由 4) 2(=y ,解得 22=C . 所求函数为:2962 3 ++-=x x x y . 23、 (1) 6 16 1211 3 1 02= ==?y dy y S (2) 4 021 ) () 21(2210 2π ππ =-=-=? x x dx x V x 24、解:积分区域 D 为:u y ≤≤1, u x y ≤≤ (1) ????? -=== u x u D dx x f x dy x f dx d x f u F 1 1 1 ) () 1() () () (σ; (2) ) () 1() (' u f u u F -=, 1) 2() 2() 12() 2(' ==-=f f F . 2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 C 2、 B 3、 C 4、 C 5、 C 6、 A 7、 2 8、 ) (0x f 9、 1- 10、 1 11、 ) cos sin (x x y e xy + 12、 1 13、原式 3 22 11lim 2132 1==--→x x x 14、 21211122' ' t t t t x y dx dy t t =++- ==, t t t t x dx dy dx y d t 41121 ) (22 ' ' 22+= +== 15、原式 C x x d x ++=++= ? 23 ) ln 1(3 2 ) ln 1(ln 16、原式 x d x dx x x x x x d x cos 24 sin 2sin sin 20 2 20 20 2 20 2??? += -== π π π π π 24 cos 2cos 24 2 20 202 -= -+= ?πππ π xdx x x 17、方程变形为 2 ' ?? ? ??-=x y x y y ,令 x y p =则 ' ' xp p y +=,代入得:2' p xp -=,分离变量得: x dp p ?? =-1 12 ,故 C x p +=ln 1, C x x y +=ln . 18、令 ) 1ln() (x x g +=, 0) 0(=g , 2 00' 1) 1() 1() (+∞ =∞ =∑∑+-=-=n n n n n n x n dx x x g , 故 2 01 ) 1() (+∞ =∑+-=n n n x n x f , 11<-x> 19、 {}1, 1, 11-n 、 }1, 3, 42-n , k j i k j i n n ++=--=?=321 34113 21 直线方程为 1 2 3123+=-=-z y x . 20、 ' 22f x y z =??, ' ' 222' ' 213' 2' ' 22' ' 212' 2222) 2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=?+?+=???. 21、令 33) (x x x f -=, []2, 2-∈x , 033) (2' =-=x x f , 1±=x , 2) 1(-=-f , 2) 1(=f , 2) 2(-=f , 2) 2(=-f ;所以 2min -=f , 2max =f ,故 2) (2≤≤-x f ,即 233≤-x x . 22、 y x y +=2' , 0) 0(=y 通解为 x Ce x y +--=) 22(,由 0) 0(=y 得 2=C ,故 x e x y 222+--=. 23、 (1) 3 64 ) 8(2 2 22= --=? -dx x x S (2) πππ16) () (28 4 24 =-+=?? dy y dy y V 24、 dx x f t dy x f dx dxdy x f t t t D t ????? ==0 ) () () ( ?????=≠=?00) () (0t a t x f t g t (1) 0) (lim ) (lim 0 00 ==? →→dx x f t g t t t ,由 ) (t g 的连续性可知 0) (lim ) 0(0 ===→t g g a t (2)当 0≠t 时, ) () (' t f t g =, 当 0=t 时, ) 0() (lim ) (lim ) 0() (lim ) 0(00 00' f h f h dx x f h g h g g h h h h ===-=→→→? 综上, ) () (' t f t g =. 2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 B 2、 C 3、 C 4、 A 5、 D 6、 D 7、 2ln 8、 1 9、 π2 10、 2 3 11、 dy y x dx y 21- 12、 06' 5' ' =+-y y y 13、解:21 2lim 21lim 1lim tan 1lim 002 00==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解:方程 xy e e y x =-,两边对 x 求导数得 ' ' xy y y e e y x +=?-,故 x e y e y dx dy y x +-==' . 又当 0=x 时, 0=y ,故 10==x dx dy 、 2022-==x dx y d . 15、解:) (22) (2222x x x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------? ???--=+-=-= C e xe e x x x x +---=---222. 16、解:令 t x sin =,则 41sin cos 24 22 12 222ππ π-==-t t x x . 17、解:' 2' 12yf f x z +=??, ) 3() 3(2' ' 22' ' 21' 2' ' 12' ' 112x f f y f x f f y x z ?+?++?+?=??? ' 2' ' 22' ' 12' ' 11) 32(6f xyf f y x f ++++= 18、解:原方程可化为 x y x y 20071' =?- ,相应的齐次方程 01 ' =?-y x y 的通解为 Cx y =. 可 设 原 方 程 的 通 解 为 x x C y ) (=. 将 其 代 入 方 程 得 x x C x C x x C 2007) () () (' =-+, 所 以 2007) (' =x C ,从而 C x x C +=2007) (,故原方程的通解为 x C x y ) 2007(+=. 又 2008) 1(=y ,所以 1=C ,于是 所求特解为 x x y ) 12007(+=. (本题有多种解法,大家不妨尝试一下) 19、解:由题意,所求平面的法向量可取为 ) 3, 1, 2(1 1211 1 ) 1, 1, 2() 1, 1, 1(-=-=-?=→ k j i n . 故所求平面方程为 0) 3(3) 2() 1(2=---+-x y x ,即 0532=+-+z y x . 20、解: 9 16 cos 38203cos 20 2 20 2 2 2 ====+?? ????? π θ π θθρρθθρρd d d d d dxdy y x D D . 21、解:(1) ? = -= 1 2215 8) 1(π πdx x V ; (2) 由 题 意 得 ? ?-=-a a dy y dy y 0 1 2 121) 1() 1(. 由 此 得 2 323) 1(1) 1(a a --=--. 解 得 31 ) 4 1 (1-=a . 22、解:c bx ax x f ++=23) (2' , b ax x f 26) (' ' +=. 由题意得 0) 1(' =-f 、 0) 1(' ' =f 、 2) 1(=f ,解得 1-=a 、 3=b 、 9=c 23、证明:积分域 D :?? ?≤≤≤≤b x y b y a ,积分域又可表示成 D :???≤≤≤≤x y a b x a dy e dx e x f dy e x f dx e x f dx e x f dy x a y b a x x a y x b a D y x b y y x b a ???????? ===+++22222) () () () ( dx x f e e dx e e e x f b a a x x b a a x x ??+-=-=) () () () (232. 24、证明:令 11ln ) (+--=x x x x F ,显然, ) (x F 在 ()+∞, 0上连续 . 由于 0) 1(1) (2 2' >++=x x x x F , 故 ) (x F 在 ()+∞, 0上单调递增, 于是, 当 10 1ln +- x x x , 又 012<-x ,="" 故=""> 2) 1(ln ) 1(->-x x x ; 当 1≥x 时, 0) 1() (=≥F x F ,即 1 1ln +-≥ x x x ,又 012≥-x ,故 2 2) 1(ln ) 1(-≥-x x x . 综上所述,当 0>x 时,总有 2 2) 1(ln ) 1(-≥-x x x . 2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 B 2、 A 3、 D 4、 C 5、 A 6、 B 7、 0 8、 3 9、 (2, 17) 10、 c x x ++ -2 1 cos 11、 π 12、 []2, 2- 13、 6 233) 21(lim ) 21(lim ) 2( lim ?∞→∞→∞→-=-=-x x x x x x x x x x ,令 2x y -=,那么 6631 ) 11(lim ) 2( lim e y x x y x x x =+=-?-∞→∞ →. 14、 . sin ) (cos ) (cos 1) (sin ) (t t x t t y t t x t t y ==-==‘ ’ ‘ ’ ’ ‘ , , , . ) cos 1(1) () () () () (cos 1sin ) () (2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘ ’ ‘ , , ,, , ’ 15、 ????++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x ln ) 1(1) 1(111233 . ln 2 32 3C x x x x ++-+-= 16、 ?????-==?==1 1 2 110 2 1211 2 1211 2 2 11 ) (222) (2 12 12 12 12 12 1 dx e e x de e dx x e x d e dx e x x x x x x =. 222222221 010 2 12 12 1=+-=-=-? e e e e dx e e x x 17、由题意得:, , , -) 032(=→ AB ) 5, 0, 2(-=→ AC ,那么法向量为 ). 6, 10, 15(032250225003=??? ? ??--=?=→ -AC AB n 18、 . 221, ‘ f x y f x z -=??) 1(212221212112‘ ’ ‘ ’ ,, , , -+f x f x y f f y x z +=??? ' ' 223' ' 212' 22' ' 12' ' 111 1f x y f x y f x f x f --+ -= 19、 ?? ????+=1 00 2 1 1 22 2 x x D dy x dx dy x dx dxdy x ?? =+= += +=1 2 1 21 210 4 34 723412 4 x x xdx dx x 20、积分因子为 . 1) (2ln 22 x e e x x dx x = =? =--μ 化简原方程 2 2x y xy +=, 为 . 2x x y dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子 21x ,得到 . 1 232 x x y dx x dy =- 化简得: . 1 ) (2x dx y x d =- 等式两边积分得到通解 ??=-. 1 ) (2dx x dx y x d 故通解为 C x x x y 22ln += 21、令 y x y x F -= 1) , (,那么 x 和 y 的偏导分别为 20 001 ) , (x y x F x -=, . 1) , (00-=y x F y 所以过曲线上任一点 ) , (00y x 的切线方程为: . 010 2 0=-+-y y x x x 当 X =0时, y 轴上的截距为 00 1 y x y += . 当 y =o 时, x 轴上的截距为 . 002 0x y x x += 令 002 000 001) , (x y x y x y x F +++= ,那么即是求 ) , (00y x F 的最小值 . 而 4) 1(211) , (00 000000≥+=+++= x x x x x x y x F ,故当 100==y x 时,取到最小值 4. 22、 (1) ?= = -=1 01 5 4 4 5 35 3) 4(π ππx dx x x V . (2)由题意得到等式:?? -=-1 220 2 2) 2() 2(a a dx x x dx x x 化简得: ? ?=a a dx x dx x 0 1 22. 解出 a ,得到:2 13 = a ,故 . 213 1=a 23、令 ) () () (x f a x f x g -+=,那么 ) () 2() (a f a f a g -=, ). 0() () 0(f a f g -= 由于 0) 0() ( 故存在 ) 0(a , ∈ξ,使得 0) (=ξg ,即 ) () (a f f +=ξξ. 24、将 x e 用泰勒公式展开得到:???+++ =2! 21 ! 111x x e x 代入不等式左边:13 1211) ! 21! 111)(1() 1(322≤???---=???+++-=-x x x x x e x x 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 A 2、 B 3、 C 4、 B 5、 D 6、 C 7、 2ln 8、 x xe 24 9、 3π 10、 y xz z +-22 11、 2 12、 C y y x x +-=+ln 221ln 2 13、 6cos 13lim sin lim 2 030=-=-→→x x x x x x x , . 14、 dt t dy dt t dx ) 22(, 11 +=+= , 2) 1(211) 22(+=++=t dt t dt t dx dy , 22 2 ) 1(411) 1(4+=++== t dt t dt t dx dx dy d dx y d . 15、 令 2 1 , 122-==+t x t x , dt t t t t td tdt t dx x ????+-=-=?=+cos cos cos sin 12sin C x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos 16、令 θsin = x ,当 0, 0==θx ;当 4 , 1π θ= =x . 2 1 404) 2sin 21() 2cos 1(cos 2cos 2sin 224 4 210 2 2-=-=-==-??? ππ θθθθθθθ θπ π d d dx x x 17、已知直线的方向向量为 ) 1, 2, 3(0=s ,平面的法向量为 ) 1, 1, 1(0=n . 由题意,所求平面的法 向量可取为 ) 1, 2, 1(1 11123 ) 1, 1, 1() 1, 2, 3(00-==?=?=k j i n s n . 又显然点 ) 2, 1, 0(在所求平面 上,故所求平面方程为 0) 2(1) 1)(2() 1(1=-+--+-z y x ,即 02=+-z y x . 18、 ?? ?????-===24 2cos 22 224 2 ) sin 22csc 8(31 sin sin π πθπ πθθθρρθθθρθρ σd d d d d yd D D 24 2) cos 22cot 8(3 1 =+-= ππ θθ 19、 y f x f x z ?+?=??' 2' 1cos ; ' ' 22' ' 12' 22cos xyf f x x f y x z +?+=??? 20、积分因子为 . 1) (2ln 2 2 x e e x x dx x = =? =--μ 化简原方程 22x y xy +=, 为 . 2x x y dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子 21x ,得到 . 1 232 x x y dx x dy =- 化简得: . 1 ) (2x dx y x d =- 等式两边积分得到通解 ??=-. 1 ) (2dx x dx y x d 故通解为 C x x x y 2 2ln += 21、 (1)函数 ) (x f 的定义域为 R , 33) (2' -=x x f ,令 0) (' =x f 得 1±=x ,函数 ) (x f 的单 调 增 区 间 为 ) , 1[, ]1, (∞+--∞, 单 调 减 区 间 为 ]1, 1[-, 极 大 值 为 3) 1(=-f , 极 小 值 为 1) 1(-=f . (2) x x f 6) (' ' =, 令 0) (' ' =x f , 得 0=x , 曲线 ) (x f y =在 ]0, (-∞上是凸的, 在 ) , 0[∞+上 是凹的,点 ) 1, 0(为拐点 . (3)由于 3) 1(=-f , 1) 1(-=f , 19) 3(=f ,故函数 ) (x f 在闭区间 ]3, 2[-上的最大值为 19) 3(=f ,最小值为 1) 2() 1(-=-=f f . 22、 (1) 420 22 2 122a dy x a a V a πππ=-?=? . ) 32(5 4 ) 2(52 222a dy x V a -==?ππ. (2) ). 8(3 2 2. 322322230 21a dx x A a dx x A a a -=== = ?? 由 21A A =得 4=a . 23、证(1)因为 1lim ) (lim 0 ==-→→- -x x x e x f , 1) 1(lim ) (lim 0 =+=+ +→→x x f x x ,且 1) 0(=f ,所以函数 ) (x f 在 0=x 处连续。 (2) 因为 11 lim 0) 0() (lim 00-=-=---→→--x e x f x f x x x , 111lim 0) 0() (lim 00-=-+=--++→→x x x f x f x x , 所以 1) 0(, 1) 0(' ' =-=+-f f . 由于 ) 0() 0(' ' +-≠f f ,所以函数 ) (x f 在 0=x 处不可导 . 24、 证 令 32ln 4) (2+--=x x x x x f , 则 22ln 4) (' +-=x x x f , x x x x f 2424) (' ' -=-= , 由 于 当 21 0) 1() (' ' =>f x f , 于是函数 ) (x f 在 ) 2, 1[上单调增加, 从而当 21 即当 21 -+>x x x x 2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、 A 2、 C 3、 B 4、 D 5、 D 6、 C 7、 2 e 8、 2 9、 2 π 10、 4- 11、 dy dx 2+ 12、 ]1, 1(- 13、原式 =31 3tan lim 3sec 1lim tan lim tan tan lim 2 202203020-=-=-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 14、 3 22) 1(9; 122) 1(y x y x y x y x y x e e dx y d e e dx dy dx dy e dx dy ++++++-=+-==++ 15、原式 . arctan 2 1 21arctan 212C x x x x ++-= 16、变量替换:令 t x =+12, 2 1 2-=t x , tdt dx =, 原式 3 2813) 2561() 252(31 3312 312=+=+=?+-=??t t dt t dt t t t 17、 ) 3, 2, 1(1=→ n , ) 1, 0, 2(2-=→ n , ) 4, 7, 2(1 0232 1 21--=-=?=→ → → k j i n n n , 所求直线方程为 4 1 7121--=-=--z y x 31 18、 ) (' 2' 12x e f y f y x z +=??; ' ' 122' ' 113' 2' 12223f e xy f xy yf e f y y x z x x ++=???+ 19、 6 20012==????-y y D xdx dy dxdy x 20、特征方程的两个根为 2, 121-==r r ,特征方程为 022=-+r r ,从而 2, 1-==q p ; 1=ω是特征方程的单根, 1) (=x p ,可设 Ax x Q =) (,即设特解为 x Axe Y =, x x Axe Ae Y +=' , x x Axe Ae Y +=2' ' , 2, 1-==q p ,代入方程 =A A ,通解为 x e C e C y x x 31221++=- 21、 构造函数 2 121) (21--=-x e x f x , x e x f x -=-1' ) (, 01) (1' ' >-=-x e x f , ) (' x f 在 ) , 1(∞+上单调递增, 0) 1(' =f , 0) (' >x f , ) (x f 在 ) , 1(∞+上单调递增, 0) 1(=f , 0) (>x f ,即 121122 x e x ->+。 22、 ) 0(1) 0(0 ) 0() (lim ) (lim ) (lim ' 000f x x x x x f x x x ===--==→→→????,连续性得证; 0) 0() (lim 2121) (lim ) (lim 1) (lim 0) 0() (lim ) 0(' ' 0' 02000' --=-=-=-=--=→→→→→x x x x x x x x x x f x f f x x x x x ?????) 0(2 1) (lim 21' ' ' ' 0??==→x x ,可导性得证。 23、 50222215 4]) () [() (a dx x a a V a ππ=-=?, ππ) 5 451(]) () [() (54122222a a dx a x a V a +-=-=?, π) 5 851() () () (5421a a a V a V a V +-=+=, π) 48() (34' a a a V -=,令 0) (' =a V 得 21=a ,最小值为 π163) 21(=V 24、 x x x x dx x dx Ce e C e e C dx e e e x f ---+=+=+??=? ) () 2() (2, 1, 2) 0(==C f , x x e e x f -+=) (, x x e e x f --=) (' , 1 2112111) () (22222' +-=+-+=+-=+-==--x x x x x x x x x e e e e e e e e e x f x f y , 32 ????+-=+-+=+=+--=t t x x x x x t x t x x d e e x d e e e dx e dx e t A 0022222020221121112)) 121(1() ( 2ln 1ln 2ln ) 1ln(ln 2ln ) 1ln(2) 1(11222222022++=++-=++-=++-=?t t t t t t x x e e e e e t e d e t 从而 2ln ) 2ln 1(lnlim ) (lim 22=++=+∞→+∞→t t t t e e t A 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内) 1、是的 ( ) 1f(x),xsinx,0x A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点 12、若是函数的可导极值点，则常数 ( ) a,y,x,ln(，ax)x,22 11,11A、 B、 C、 D、 ,22 f(x)dx,F(x)，Csinxf(cosx)dx,3、若，则 ( ) ,, A、 B、 C、 D、 F(sinx)，C,F(sinx)，CF(cos)，C,F(cosx)，C DDxoyD4、设区域是平面上以点A(1,1)、B(,1,1)、C(,1,,1)为顶点的三角形区域，区域是1 (xy，cosxsiny)dxdy,在第一象限的部分，则: ( ) ,,D A、 B、 2(cosxsiny)dxdy2xydxdy,,,,DD11 C、 D、0 4(xy，cosxsiny)dxdy,,D1 x22u(x,y),arctanv(x,y),lnx，y5、设，，则下列等式成立的是 ( ) y ,u,v,u,v,u,v,u,v,,,A、 B、, C、 D、 ,x,y,y,x,y,y,x,x ,,3uu6、正项级数(1) 、(2) ，则下列说法正确的是 ( ) ,,nnn,1n,1 A、若(1)发散、则(2)必发散 B、若(2)收敛、则(1)必收敛 C、若(1)发散、则(2)不定 D、若(1)、(2)敛散性相同 1 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分) x,xee2x,,,7、 ; limxsinx,0x, ,,8、函数在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的 ; f(x),lnx,, 1x1，,9、 ; ,2,,11x， ,,,,10、设向量,,3,4,,1、,,2,1,k;、互相垂直，则 ; ,,k, 201,xdxf(x,y)dy,11、交换二次积分的次序 ; ,,,1x，1 ,n(2n,1)x12、幂级数的收敛区间为 ; ,n1, 三、解答题(本大题共8小题，每小题8分，满分64分) f(x)，2sinx,x,0,'Rf(0),613、设函数 在内连续，并满足:、，求. F(x),f(0),0a,xx,0,a, 2x,cost,dydy14、设函数由方程所确定，求、. y,y(x),2y,sint,tcostdxdx, 3tanxsecxdx15、计算. , 2 116、计算 arctanxdx,0 2,z,z2z,f(sinx,y)17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、 f(u,v),x,y,x x,4y，3z18、求过点且通过直线的平面方程. L:,,A(3,1,,2)521 2xf(x),19、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间. x22,x,x 'xxy，y,e,0y,e20、求微分方程满足的特解. x,1 3 四、证明题(本题8分) 321、证明方程:在,,上有且仅有一根. ,1,1x,3x，1,0 五、综合题(本大题共4小题，每小题10分，满分30分) 22、设函数的图形上有一拐点，在拐点处的切线斜率为，又知该函数的二y,f(x)P(2,4),3 ''y,6x，a阶导数，求. f(x) 2y,2x23、已知曲边三角形由、、y,1所围成，求: x,0 (1)、曲边三角形的面积; X(2)、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积. 4 uu24、设为连续函数，且，， F(u),dyf(x)dxf(x)f(2),1(u,1),,1y(1)、交换的积分次序; F(u) 'F(2)(2)、求. 5 2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学参考答案 1、A 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C 7、2 8、 e,1 1y,1,dyf(x,y)dx9、 10、5 11、 2,,0,1,y2 12、 (,1,1) 13、因为在处连续，所以， F(x)F(x),F(0)x,0limx,0 f(x)，2sinxf(x),f(0)'， F(x),,，2,f(0)，2,6，2,8limlimlimxxx,x,x,000 ，故. F(0),aa,8 dy''2(y)dy,1dycost,cost，tsinttdt14、，. ,,,csct,,,,t2'dxdx,sint,sintdxxt dt 15、原式 12223. ,tanxtanxsecxdx,(secx,1)dsecx,secxdsecx,secx,secx,secx，C,,,3 211x1d(1，x),116、原式 ,xarctanx,dx,,0,,200421，x1，x2 1,21 ,,ln(1，x)042 1, ,,ln242 2,z,z''''',cosx(f,2y),2ycosxf17、， ,cosx,f12121,x,y,x ,,,,l,5,2,1B,4,,3,018、，， ,,AB,1,,4,2 ijk ,,,,l，AB,521,8,,9,,22 1,42 平面点法式方程为: 6 ，即. 8(x,3),9(y,1),22(z，2),08x,9y,22z,59 222x11x1x119、 f(x),(，),,，,x32，x1,x631,x1，2 2n,，，,x(1)n，收敛域为. ,，1x,1,x,1,,,1n，320n,，， x1e'，,,yy20、，通解为 xx 11xx,dxdx,,eCe,,xx,,y,eedx，C,， ,,,xxx,, xe,y因为，，所以，故特解为. y(1),ee,e，CC,0x 3f(x),x,3x，1,,21、证明:令，x,,1,1，且，，， f(,1),3,0f(1),,1,0f(,1),f(1),0 由连续函数零点定理知，在上至少有一实根. f(x)(,1,1) (提醒:本题亦可用反证法证明) '''f(2),,3f(2),022、设所求函数为，则有，，. y,f(x)f(2),4 ''''''y,6x，ay(2),0y,6x,12由，得，即. a,,12 '2'''y,6x,12y,3x,12x，Cy(2),,3C,9因为，故，由，解得. 11 32y,x,6x，9x，CC,2故，由y(2),4，解得. 22 32y,x,6x，9x，2所求函数为:. 111123123、(1) S,ydy,y,0,0266 11,222(12)()(2) V,,xdx,x,x,,,x2,040 D24、解:积分区域1,y,u为:， y,x,u uxu(1); F(u),f(x)d,,dxf(x)dy,(x,1)f(x)dx,,,,,111D ''F(u),(u,1)f(u)F(2),(2,1)f(2),f(2),1(2)，. 7 转载请注明出处范文大全网 » 2005年江苏专转本数学试卷(B_)2005年江苏专转本数学试卷
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2005—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2005年江苏省普通高校专转本数学真题及答案 2.doc
