2、选 Analyze—— General Lineaa Model——
Univariate
3、将结果 > Dependent Variable (因变量 ) , a, b, c > Fixed Factor(自变量) ,
d >Random Factor
4、点 Model
选择 Custom 和 Main effects(在 Build Term中) a , b ,
c > Model
5、打开 Post Hoc
将 a , b , c > Post Hoc Tests for 下面的 Equal Variances Assumed 可不选
6、在 Options中
选择 Homogeneity tests 其它可 Display 的东东可不选
7、每个完成后都是 contiune 然后回到开始的菜单,点 ok 结果如下:
捷联惯性组合误差模型相关性分析方法
第 22 卷第 5 期 中国惯性技术学报 Vol.22 No.5
2014 年 10 月 Journal of Chinese Inertial Technology Oct. 2014
文章编号:1005-6734(2014)05-0567-05 doi: 10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.002
捷联惯性组合误差模型相关性分析方法
刘 ,魏宗康璠
(北京航天控制仪器研究所,北京 100039)
摘要:在实际应用中通过捷联惯性组合误差模型可以将测量值转换成载体导航解算的需要量,而误
差模型中的误差系数一般通过标定试验获得。以往认为误差模型中各误差系数相互独立,但通过实
际计算可以发现并非如此。为了考量各系数相关性关系,提出了一种相关性分析方法。首先,提出
了捷联惯组加速度计输出方程。之后,运用统计学的相关方法计算出了各系数的相关系数和协方差
矩阵,并推导出了测量值和误差系数的分布特性之间的关系。最后,通过加速度计组合的实际测
试,分别计算了不包含和包含拟合残差的统计数值。通过与输出值进行比对,验证了相关性分析方
法的正确性,并表明拟合残差对于统计特性的计算具有重要作用。
关 键 词:捷联惯性测量组合;误差模型;相关性;协方差矩阵
中图分类号:U666.1 文献标志码:A
Correlation analysis method for error model of strapdown IMU
LIU Fan, WEI Zong-kang
(Beijing Aerospace Control Device Institute, Beijing 100039, China)
Abstract: By using the error model of strapdown inertial measurement unit (SIMU), the measurements can
be translated into the needed variable, and the error coefficients in the error model are usually obtained by
calibration tests. In the past, the parameters were thought to be statistically independent, but it is proved
wrong by our calculation. In this paper, a method for analyzing the correlation of parameters is studied.
Firstly, the error model of the accelerometer of IMU is given. Then the matrix of covariance and correlation
of parameters are calculated out with the knowledge of statistical method. The distribution relation between
the measurements and error parameters is deducted. At last, with a real test of IMU accelerometers, the
statistic values with and without fitting residues are computed, respectively. The method is proved to be valid
by comparing with the statistic value of measurements, and the fitting residues are shown to play an
important role in the calculation of statistical properties.
Key words: strapdown inertial measurement unit; error model; correlation; covariance matrix
捷联惯性测量组合的测量误差是捷联导航系统 分,但是由于标定值是在精确值的一定范围内上下
的主要误差源之一,对系统的导航精度有很大影 波动,所以通过计算多组标定值的统计特性就可以
响,在导航解算前必须对惯组输出的原始数据进行 估计出导航系统的导航误差。
误差补偿。误差参数主要包括陀螺仪和加速度计的 在实际应用中,对导航偏差的估计具有重要意
标度因数、零位偏差、安装误差角以及标度因数不 义。而与以往认为的各误差系数相互独立不同,实
对称性误差等,这些参数需要在使用前进行标定, 际的计算结果证明误差系数是相关的,所以为了分析
[1-5]到目前为止已经提出了许多种标定方法。因为多 输出测量值和误差参数统计特性之间的关系,需要
种误差的影响,在运用这些标定方法后也无法测出 一种参数相关性分析方法。
误差系数的精确值,而这也构成了导航误差的一部 首先,本文阐述了捷联惯组加速度计输出方
收稿日期:2014-05-14;修回日期:2014-08-21 基金项目:民用航天专业技术预先研究项目(D010101);国防基础科研项目
(B030080021) 作者简介:刘璠(1987—),男,工程师,从事导航、制导与控制专业研究。 E-mail:finelf@sina.com
568 中国惯性技术学报 第 22 卷 程。之后,运用统计学的相关方法计算出了各系数的 方法的正确性,并表明拟合残差对于统计特性的计算 相关系数和协方差矩阵,并推导出了测量值和误差系 具有重要作用。
数的分布特性之间的关系。最后,通过加速度计组合
的实际测试,分别计算了不包含和包含拟合残差的统 1 加速度计输出方程
计数值。通过与输出值进行比对,验证了相关性分析 捷联惯性组合加速度计的输出方程为:
,,,,sign a, δK, 0 0 K 0 x , 1E E a ,, 0 0 A K, , , ,, ,,, , , ax x a ,,x ax xy xz x ,, , , , , , , , , , , , x ,, A, 0, KE0 a0 , y K,,0 y yx1 E,y a, , , , , ay sign a ,, , 0 δK, , , ,,yz y , ay y ,,, , , , , , , , , , , , ,,, ,EAKEzy K, z , 0 0 1 aaz 0 z zx, , , , , , z , a,, ,,0 0 δKsign a ,,,,z , ,az z ,, ,
(1)
T式中, A、A、A分别为 X、Y、Z 轴加速度计输出脉 ' x y z KKEKEax ax xy ax xz ,,, KKKδKX (2) ax 0 xax ax , ,冲频率(Pulse/s); K、K、K分别为加速度计标度 ax ay az
那么,有 Y , AX ,而通过计算可以得到: g因数(Pulse/s/); K、 K、 K分别为加速度计零 00 x 0 y 0 z ? g偏(); E、E、E、E、E、E分别为安装 X, A AA Y 0xy xz yx yz zx zy (3) , , T ,1 T,, '''误差角(rad); δK 、δK 、δK 分别为标度因数不对 ax ay az 因而得到误差系数的数值。 称性相对误差;a、a、a分别为 X、Y、Z 轴向视加 x y z 而如果进行多组测量,在每组中惯组在相同位 gg速度分量(),为测试点地球重力加速度。 00 置的测量值并不完全一样,因此得到的误差系数的解 捷联惯性组合加速度计的误差系数一般通过多 算值也不完全相同。对于每个误差系数,其数值会在 位置试验进行标定。在进行 1 组试验后,一般使用最
一个水平上下波动。在分析输出与输入量统计特性关 小二乘法进行参数解算。以 X 轴为例,经过 n 次测量
系时,因为在随机变量分布分析中,两个随机向量的 之后,从式(1)中可以得到:
T 乘积运算复杂,难以求得结果。为了避免这点,设:
Ax 2 Y , A? A,, , , x1xn , K, i = x , y , z (4) δk, K, K ai ai ai aiaa1 asign(a)a, y1 z1 , x1x1 x1 , , 为每组测量后解算得到的标度因数, K式中, K 1 sign(a)aai ai aaax 2 x 2 x 2 y 2 z 2 ,, A , ,,? , 为标度因数的解算平均值。忽略二阶小量并且考虑拟? ? ? ? , , aaaxn yn zn 合残差后,加速度计组合的输出方程可表示为: 1 sign(a)a ,xn xn ,,, , K , E 0 0 , a , ax , , K E a A, , , , , δkxy , , x x xz x 0 x ax, , , , , , , , , , , , , ,K 0 a , K , E E a ,, , , , , , A, 0 ay , y , 0 y yx δ k yz , y , , , y , ay, , , , , , , , , , , , , E AK δka K a zy 0 z E , z , , , ,, ,az , z , 0 0 az z , zx , , , ,, ,,, (5) δK ,sign ( a ) 0 0,, , , , , , a , ax x x x ,, , , , , , ,a , , ,, , ,, 0 δK sign ( a ) 0 , , y y , ay y , , , , , , ,
, ,,,0 0 δK sign ( a ) , a z , ,, , az z , ,,, z ,
一般认为,各误差系数之间相互独立,因此以 X 轴为例,在一个位置上,输入输出量拥有统计关系:
,E( A) , K[a, E(K) , aE(δk) , aE(E) , aE(E) , sign(a)aE(δK) , E(, )] , x ax x 0 x x ax y xy z xz x x ax x
2 2 2 2 , Var( A ) , K [Var(K ) , aVar(δk ) , aVar(E ) , aVar(E ) , aVar(δK ) , Var(, )] (6) x ax 0 x x ax y xy z xz x ax x
但是,在实际计算中可以发现,式(6)中的方差部
2 协方差矩阵和系数相关性 分不成立,这是因为物理上的相互联系导致各误差系
设两个随机变量 X 和 Y 的期望分别为 ,、,, X Y 数并不相互独立。当使用误差系数的统计分布推算输
2 2 方差分别为 , 、, ,则 X 和 Y 的协方差定义为: 出量的分布特性时,需要分析各误差系数的相关性。 X Y
第 5 期 刘璠等:捷联惯性组合误差模型相关性分析方法 569
定义 X 的协方差矩阵为 Σ ,则有: Cov( X ,Y ) , E ( X , ,)(Y , ,)(7) ,, X Y
2 T T , E[( y , y )( y , y)] , AΣA, , 而 Y i i (15) T T 2,,A(, , , ), , Cov( X ,Y ) 2E ( X , X )(8) , ,, , i i E XY ; X
,从上式可以看出,输出 Y 的方差除与各项系数 Y称为 X 和 Y 的相关系数。
的方差有关外,还与拟合残差的方差有关。如果拟合
对于 n 维向量 , ( X,?, X) (n?2),其每个 , 1 n 残差的影响较小,则有近似关系: 分量具有期望 E( X) 和方差 Var( X) ,则第 i 和第 j 个 i i
分量具有协方差: 2 T ,, , E ( y , y )( y (16) Y i i ,T,, y), AΣA ,
Cov( X,X ) , E[( X, E( X))( X , E( X ))] (9) i j i i j j
3 加速度计组合分析实例
, ,。那么协方差构 记 , , Cov( X, X ) ,ij X X ij i j 3.1 加速度计输出统计特性 i j ,
成矩阵 Σ , (, ),相关系数构成矩阵 R , (,)。 ij n,n ij n,n 进行 6 组标定试验后,求出标度因数的平均值, 在惯性测量系统误差标定过程中,影响标定精
之后选取一个位置进行进行多次测量,并进行变换 度的主要因素可分为两种:第一种是分离方法造成的
K,a, ( A, Ka) ax , ,a, ( A, Ka) K, 误差,可定义为方法误差,可分离出系数进行误差补 x x ax x y y ay y ay
K后,结果如表 1 所示。在这个 偿;另外一种是测试设备误差或安装基准误差等引起 ,a, ( A, Ka) az z z az z
的系数误差,表现为拟合残差,残差具有不确定性, 位置中,加速度计组合 X、Y、Z 三轴分别指向东、 其测试值在实际中不能用来补偿,但在整体上拥有一 天、南方向,六次测量中三个轴向的平均脉冲输出分 定的统计特性。 别为 16.603、5682.175、-4.419。
设系统输出方程为:
表1 加速度计组合 6 次计算值 y , AX , , (10) Tab.1 6 calibration results of accelerometers 式中,y 为系统输出,也为测量值;A 为系统各输入 ,a,a,a xyz变量组成的向量,为 1, m 维;X 为系统各输入量对
第一组 2.9235E-03 3.4310E-03 -7.8118E-04 应的系数值,为 m ,1 维; , 为计算残差。
第二组 2.9616E-03 3.6017E-03 -7.7531E-04 第三经过 n 组测量后,每组测量后拟合得到的系数值
为 X,…, X,在每组中选出拥有同样输入向量 A 的 1 n 组 2.9088E-03 3.4633E-03 -7.8412E-04 第四组 测量值 y,…, y,每个测量值对应的解算残差分 1 n 2.9470E-03 3.6105E-03 -7.7824E-04 第五组 别为 ,,…, ,,则有: 1 n 2.8795E-03 3.3809E-03 -7.8118E-04 第六组
yAX, ,AX, , , , , , 1 1 1 1 2.9235E-03 3.5899E-03 -7.7237E-04 , , , , , , y, AX AX 2 2 , 2 2 , , , , , ,(11) 平均值 2.9240E-03 3.5129E-03 -7.7873E-04 Y , , , , E , , , , , , ? ? ? , , , , , , 方差 8.3197E-10 9.9857E-09 1.8687E-11 yAX , , AX n n n n , , , , , ,
3.2 不考虑拟合残差时拟合值统计特性 其平均值有关系式:
按照式(5),不考虑拟合残差时,加速度计组合 n n 1 1 y , y , ( AX , ,) , , , i i i X 轴的误差模型可写为: n n i ,1 i ,1 (12) n n , , A , K a AX, ,, x ax x , AX , , ,i ,i , ,a , , xK , i ,1 i ,1 , ax
,,1 aa asign(a)a, 定义测量输出 Y 的方差为: (17) x yz x x , ,2 T , , E[( y , y )( y , y )] (13) , ,T ' δKEEY i i ax xy xz KδK0 x ax ,,
定义拟合残差 E 的方差为: 对于上式中的各误差参数,代入标定结果,得 2 T , , , , )(, , , )] (14) 到相关系数如表 2 所示。 E[(, E i i
570 中国惯性技术学报 第 22 卷
表2 X 轴各参数之间相关系数计算结果
Tab2. The correlation of parameters in the X axis
' , KδK EEδK 0 xaxxy xy ax
1.0000 0.8168 0.3655 0.2355 0.7223 K0 x
δK0.8168 1.0000 0.6223 -0.0577 0.9795 ax
0.3655 0.6223 1.0000 -0.6943 0.7063 Exy
0.2355 -0.0577 -0.6943 1.0000 -0.1364 Exy 'δK 0.7223 0.9795 0.7063 -0.1364 1.0000 ax
按照式(10)对应式(17),显然有:
T ' EE A , [1 aaasign(a)a] , δKxy xz ,,X , KδK(18) x yz x x ax0 xax , ,
那么, 2 , ,, , (K ) , , , (K , , , (K , , , (K , , (δK ), (K ) )))'(δk ) (E ) (E ) 11 0 x 12 ax 0 x 13 xy 0 x 14 xz 0 x 15 ax 0 x , , 2 , , (δk (δk (δk (δK )(δk ) , ,), , , , ,), , ,), , , , '(K ) (δk ) (E ) (E ) 22 ax 23 xy ax 24 xz ax 25 21 0 x ax ax ax 2 , ,, Σ , , , , (E , , , (E , , , , , (E , , (δK ), (E ) (19) )))',(K ) (δk ) (E ) (E ) 32 ax xy 33 xy 34 xz xy 31 0 x xy 35 ax xy , ,2 , ,, , ), (E , , ), (E , , ), (E , , , , (δK ), (E ) '(K ) (δk ) (E ) (E ) 42 ax xz 43 xy xz 44 xz 41 0 x xz 45 ax xz 2 ' , ,, ,, , ), (δK , , ), (δK , , ), (δK , , ), (δK , , (δK ) ' ' ' ' ) (δk ) (E ) (E ) (K ax ax 53 xy ax 54 xz ax 51 0 x ax 52 55 ax , ,
3.3 考虑拟合残差时拟合值统计特性 因为在这个位置时,有 a, 0 ,a, 1,a, 0 ,则: x y z
当考虑拟合残差时,加速度计的误差模型可写为: 2 ,10,? ,(,a ) , 6.0947 , 10x , A , K a 2 ,9? ,(,a ) , 6.5343 , 10 (20) ,ax ax x ,xy , ,,2 ,11K? ax ,(,a ) , 5.0708 , 10
, z , a a a a sign(a ) 1, (22) ,1x y z x x , ,此外,加速度计组合的拟合输出平均值为: T ',,K , k E E δK , , ,0 ? , x) A(K0 x ax xy xz ax x , , 16.757 , Exy 对 , Kx ax 于
增
加
了
拟
合
残
差
后
的
各
误
差
参
数
,
其
相
关
' 表 3 所示。 , ) (1 , K (21) , δK 系?, 0y ay A, 5682.数 , Ky ay 458 如
, 此) (K?0 z A, ,时, ,4.215 , Ezy , Kz az 有
新
的
向
量
A
和
X
为
:
asign(a)a 1] , A , [1 aaz x x x y显然,这一计算结果与实际测试值并不相符, T ' EE且相差较大。因此,需要考量拟合残差的影响。 δk xy xz δK ,,(23)X , K , axax0 xx , ,
表3 X 轴各参数之间相关系数计算结果
Tab.3 The correlation of parameters in the X axis
' ' , K δK EδK δK , 0 xaxxy ax ax x
1.0000 0.8168 0.3655 0.2355 0.7223 0.3151 K0 x
δK0.8168 1.0000 0.6223 -0.0577 0.9795 0.3970 ax
0.3655 0.6223 1.0000 -0.6943 0.7063 0.4738 Exy
0.2355 -0.0577 -0.6943 1.0000 -0.1364 -0.6656 Exy 'δK 0.7223 0.9795 0.7063 -0.1364 1.0000 0.3355 ax
, 0.3151 0.3970 0.4738 -0.6656 0.3355 1.0000 x
第 5 期 刘璠等:捷联惯性组合误差模型相关性分析方法 571
新的向量 X 的协方差矩阵为:
Σ ,
2 ' , ,, , (K ) , , , (K , , , (K , , , (K , , (δK), (K , , (, ), (K ) )))(E ) ) (δk ) (E ) 11 0x 12 ax 0x 13 xy 0x 14 xz 0x 15 ax 0x 16 x 0x , 2 ' , , , , (δk , , , , , (δk , , , (δk , , (δK), (δk , , (, ), (δk ) , ))), (K (E ) ) ) (δk ) (E ) 21 0x ax 26 x ax 22 ax 23 xy ax 24 xz ax 25 ax ax , , 2 ' , , , (E , , , (E , , , , , (E , , (δK), (E , , (, ), (E ) ))), ,(K ) (δk ) (E ) (E ) ) 31 0x xy 36 x xy 32 ax xy 33 xy 34 xz xy 35 ax xy , , ,, (K), (E) ,, (δk), (E) ,, (E), (E) ,, (E) ,, (δK), (E) ,, (,), (E) , ,410x xz 42ax xz 43xy xz 44xz 45ax xz 46x xz 2 ' ,,' ' ' ' ' 2 , , , , (, ), (δK) , (δK, , , (δK, , , (δK, , , (δK, , ' )))) (E ) (δK) ) (δk ) (E ) (K 51 0x ax 52 axax 53 xy ax x ax , 54 xz ax 55 ax 56 , , ,' 2
,, (δk), (,) ,, (E), (,) ,, (E), (,) ,, (δK), (,) ,(,) ,, (K), (,) 62ax x 63xy x , 64xz x 65ax x 66x 610x x , , (24)
[3] 林红斌,解静,王妍. 基于正弦直线过载的惯组动态误 当在第 1 位置时,有 a, 0 ,a, 1,a, 0 ,则: x y z 差标定方法[J]. 系统工程与电子技术,2013,35(10): 2 ,10,? σ( Δ a ) , 8.3197 ,10 2152-2157. x , 2 ,9LIN Hong-bin, XIE Jing, WANG Yan. Calibration (25) ? (Δ a ) , 9.9855,10 ,,y 2 , ,11? ,(Δ a ) , method for IMU dynamic error based on sinusoidal linear 1.8688,10 , z acceleration[J]. Systems Engineering and Electronics,
三个轴向加速度计输出的平均值为: 2013, 35(10): 2152-2157.
[4] 杨晓霞,孟浩然,王帅. 激光陀螺捷联惯导系统的外场 ? , A, K (K ) , 16.603 , E , , 动态标定方法[J]. 中国惯性技术学报,2011,19(4): x ax 0 x xy x ', ? ,K , ) , 5682.175 (26) 393-398. A, K (1, K , , , , y ay 0y ay y , ? YANG Xiao-xia, MENG Hao-ran, WANG Shuai. A, K (K , E, , ) , ,4.419 zy z 0 z z az, Calibration method for laser gyro SINS under outer field ,
dynamic conditions[J]. Journal of Chinese Inertial Tech- 比较三轴加速度计平均值、方差的计算结果与 nology, 2011, 19(4): 393-398. 实际测试数值,可以看出二者相等。显然,拟合残差 [5] 薛文超,牟玉涛,黄一等. 外场条件下激光捷联惯组多 的分布特性会影响加速度计输出的统计计算,如果不 位置标定方法精度分析[J]. 中国惯性技术学报,2012,
20(1):39-45. 考虑的话,结果将有较大的偏差。
XUE Wen-chao, MOU Yu-tao, HUANG Yi, et al.
Precision analysis for laser SINS’s calibration in outer 4 结 论 field[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2012, 在本文中,首先引入了统计学中随机向量协方 20(1): 39-45. 差矩阵的计算方法。然后,推导了随机向量的线性函 [6] 范俊花,林金官,韦博成. 具有一致相关的纵向数据模 数中,自变量和因变量之间平均值和方差之间的关 型中方差和相关系数的齐性检验[J]. 应用概率统计,
2009,25(1):12-26. 系。之后,以捷联惯性组合加速度计的输出方程为 FAN Jun-hua, LIN Jin-guan, WEI Bo-cheng. Testing for 例,利用实际标定数据结果,对加速度计输出量和输 homogeneity of variance and correlation coefficients in 入量以及拟合残差的相关性进行了分析。 uniform correlation models based on longitudinal data[J].
最终结果表明,在输出量的分析中,需要考虑 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,
2009, 25(1): 12-26. 拟合残差的影响,否则将有较大的偏差。应用本文提
[7] Zhang F, Weiss R E, Diagnosing explainable hetero- 供的方法可以有效判定实际使用时惯组加速度的置信 geneity of variance in random-effects models[J]. Canad. J. 范围,为确定导航精度提供了可靠的数据基础。 Statust, 2000, 28: 3-18.
[8] Lan C, Giambelluca T W, et al. Lumped parameter 参考文献(References)
sensitivity analysis of a distributed hydrological model [1] Cho S Y, Park C G A. Calibration technique for a
within tropical and temperate catchments[J]. Hydro- redundant IMU containing low-grade inertial sensors[J].
logical Processes, 2011, 25(15): 2405-2421. ETRI Journal, 2005, 27(4): 418-426.
[9] Babichenko A V, Shkred V K. Main errors of inertial navi- [2] 谢波,秦永元,万彦辉. 激光陀螺捷联惯导系统多位置 gation systems[J]. Engineering Physics, 2011, 11(3):34-53. 标定方法[J]. 中国惯性技术学报,2011,19(2):157-
162,169. [10] Batista P, Silvestre C, Oliveira P, et al. Accelerometer
calibration and dynamic bias and gravity estimation: XIE Bo, QIN Yong-yuan, WAN Yan-hui. Multiposition
analysis, design, and experimental evaluation[J]. IEEE Trans. calibration method of laser gyro SINS[J]. Journal of
on Control Systems Technology, 2011, 19(5): 1128-1137. Chinese Inertial Technology, 2011, 19(2): 157-162, 169.
用excel做相关性分析方法
知识是浩瀚的海洋
用Excel做数据分析——相关系数与协方差
天极软件2006-11-15 05:24
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化学合成实验中经常需要考察压力随温度的变化情况。某次实验在两个不同的反应器中进行同一条件下实验得到两组温度与压力相关数据,试分析它们与温度的关联关系,并对在不同反应器内进行同一条件下反应的可靠性给出依据。
点这里看专题:用Excel完成专业化数据统计、分析工作
相关系数是描述两个测量值变量之间的离散程度的指标。用于判断两个测量值变量的变化是否相关,即,一个变量的较大值是否与另一个变量的较大值相关联(正相关);或者一个变量的较小值是否与另一个变量的较大值相关联(负相关);还是两个变量中的值互不关联(相关系数近似于零)。设(X,Y)为二元随机变量,那么:
为随机变量X与Y的相关系数。p是度量随机变量X与Y之间线性相关密切程度的数字特征。
注:本功能需要使用Excel扩展功能,如果您的Excel尚未安装数据分析,请依次选择“工具”-“加载宏”,在安装光盘中加载“分析数据库”。加载成功后,可以在“工具”下拉菜单中看到“数据分析”选项。
操作步骤
1. 打开原始数据表格,制作本实例的原始数据需要满足两组或两组以上的数据,结果将给出其中任意两项的相关系数。
2. 选择“工具”-“数据分析”-“描述统计”后,出现属性设置框,依次选择:
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知识是浩瀚的海洋
输入区域:选择数据区域,注意需要满足至少两组数据。如果有数据标志,注意同时勾选下方“标志位于第一行”;
分组方式:指示输入区域中的数据是按行还是按列考虑,请根据原数据格式选择;
输出区域可以选择本表、新工作表组或是新工作簿;
3.点击“确定”即可看到生成的报表。
可以看到,在相应区域生成了一个3×3的矩阵,数据项目的交叉处就是其相关系数。显然,数据与本身是完全相关的,相关系数在对角线上显示为1;两组数据间在矩阵上有两个位置,它们是相同的,故右上侧重复部分不显示数据。左下侧相应位置分别是温度与压力A、B和两组压力数据间的相关系数。
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知识是浩瀚的海洋
从数据统计结论可以看出,温度与压力A、B的相关性分别达到了0.95和0.94,这说明它们呈现良好的正相关性,而两组压力数据间的相关性达到了0.998,这说明在不同反应器内的相同条件下反应一致性很好,可以忽略因为更换反应器造成的系统误差。
协方差的统计与相关系数的活的方法相似,统计结果同样返回一个输出表和一个矩阵,分别表示每对测量值变量之间的相关系数和协方差。不同之处在于相关系数的取值在 -1 和 +1 之间,而协方差没有限定的取值范围。相关系数和协方差都是描述两个变量离散程度的指标。
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统计相关性分析方法研究进展
第卷 第期,,,,,,,,, ,, 数学建模及其应用
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 年 月,,, ,,,, , 檺檺檺檺檺檺殣 檺檺殣 专题综述 殣檺檺
统计相关性分析方法研究进展
,,,,,樊嵘孟大志徐大舜
:南伊利诺伊州立大 学 数学系 ,伊 利诺伊州 卡本代尔 ,美 国 ;北 京工业大学 应用数理学院 ,北 京 :,,,,,,,,,,,,,,,
:,,摘 要 系 统综述了自 世纪开始至今常用 的统计相关性的方法 例 如 和 相 关 系 数 和 ,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,:
相关性及距离相关性方法 。重点介绍了 年 提出的 方法以及由此引发的毁誉参半的大量评 述 ,旨 ,,,,:,,,,,,,
。,在揭示这一热点领域的研究面貌该领域不仅受到统计学家的关注 而 且受到了分析大样本和异质数 据的应用研
,。究领域的学者们的追捧 例 如基因组生物学家和网络信息研究者这些研究者期望在众多已有方法的理解和剖析
,。中更恰当地付诸应用 并提出新的应用问题来推动新的分析方法的创造 :;;;;;;关键词 相关分 析 相关系 数 相关系 数 相关系 数 互信 息 距离相 关 最大信息系 数 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,
:::()中图分类号 :,,, 文献标志码 , 文章编号 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
引言 ,
,, 不同事物间的相互关联是大自然成为一个整体的基础 集合中元素之间关联性的全体构成系统的结构 是系统作为
。,,,整体的基础因此研究相互关联是科学最 基本的内容 特 别是在信息时代的今天海 量数据成 为当今世界最显著的特,。,,征 研究事物大量数据之间的关联性成为科学研究的热点 例如从海量基因组数据 中发掘基因之间的相互关系 是现
。代生物学的一个重要研究课题
,,,,事物之间的关联性十分复杂 有些是确定的有些则是不确定的 于是用于描述事物关联性的数量特征 大致可以分
。,,为确定性的和随机性的相应地把研究对象的特征或属性用变量表示 变量之间的关系可以分 :。,,,为类确定性函数关系和统计关系 事实上函数是变量之间的对应关系但 在现实中变 量之间的关系 ,
。,、、,往往并不那么简单比如子女身高和父母身高 家庭收入和支出 一个人所受的教育程度与其收入等 它们
,,。 之间确实存在某种关系 但这些关系 无法像函数关系那样 能够用一个确定的 公式来描述当一个变量 ,
,,,取一定值时另一个变量的值可能有几个并且以不同的概率 出现 即一 个变量的值不能由另一个变量唯, ,。,,,。一确定这种关系称为统计关系而且统计关系中有的关系强 有的关系弱程度各有差异如何度量事物
。,,间统计关系的强弱也是人们关注的问题度量变量之间的相关程度 并用适当的统计指标表示出来 这个过
。 ,,程就是统 计 相 关 性 分 析迄 今 为 止已经提出了很 多 相 关性度量的指 标 如 秩 相 关 系 数 ,,,,,,,,
,,,,,()、()、互 信 息 估 计 最 大 相 关 系 数,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,()、(、)基于曲线原理的方法距 离相关,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,:,,,:,,,,,,,,;,,,,,;,,, ,,,,,,,,,,,,()(,)。 以及最大信息系数等这些衡量变量 ;,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,
。间相关性的统计量都需要满足一定的条件
,,。在统计相关性度量的研究中 一些系统的理论方法逐渐建立起来 推 动 了 这 一 研 究 领 域 的 发 展 ,,,, ,, ,,,,,, 年认为在同一个概率空间上度量个随机变量间的关联程度时 必须满足条性质后称为公理,,,,,,,
。,(,)是度量相关性的统计量应该满足的基本性质 也就是说如果记为随机变量 和之间的相关性度 δ,,, ,
,:量的统计量那么它应该满足以下公理
)(,),;是对成对随机变量 和之间相关性的度量 和都不能是以为概率的常数 ,δ,,, , , , , :收稿日期 ,,,,,,,,,,
通讯作者 :樊 嵘 ,:,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,
?? ,
?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,,
,)(,); )(,,,,,δ,δ
)(,);,,δ,,,? ?
)(,);当且仅当 和相互独立 ,δ,,,,, ,
)()(),,()(),如果 或者其中?和?都 和之间有一个严格的依赖关系 即如果 ,, , , ,,,, ,,,,,,(,);是 可测函数那么 ,,,,,δ,,,,
)()(),((),())(,);如果 可测函数?和?将实数一一映射到自身 那么 ,,,,,,,,δ,,,,,δ,,
,)(,),,(,)),(其中是 如果 和的联合密度函数是正态分布 那么和之间 δ,,, ,,,,,,,,,,,,,
。的 相关系数,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,围绕这组公理掀起了讨论的热潮 和 以及 等对这些公 ,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。,,理进行了进一步的修正和完善 有些统计量满足所有的这 条公理如 互信息而有的 统计量虽 ,,,,,,,,,, ,,,,(然具有很好的 性 质但 是 会 违 背 其 中 的 某 些 公 理 如 和 提 出 的 相 关 曲 线 :,,,,,, ,,,,,,:,,,,,,,,,, ),,。,它是非对称的因此违背了公理本文 将综述统计相关性的主要发展过程特 别介绍 年发表在,,,,,,,,
《》,。上的 方法以及对这种方法的发展和评论性意见 ,:,,,:,,,,
常用相关性 ,
相关系数,(, ,,,,,,,
,,,,,“”。 年英国著名生物学家和统计学家高尔顿在研究人类遗传问题时 第一次提出了 回 归的 概念,,,,
,,,他搜集了对父子的身高数据 发现这些数据的散 点图大致呈直线分布 也 就是说总 的趋势是父亲身,,,,
;,高增加时儿子的身高也倾向于增加 但是当父亲高于平均身高时 他们的儿子比他们更高的概率要小于比他
;,。们更矮的概率当父亲矮于平均身高时他们儿子的身高 比他们更矮的概率要小于比他们更高的概率 这 揭
,,,示了一个规律即儿子的身高有向他们父辈的平均身高回 归的趋势 使 得人类身高的分布相对稳定 而 不会
,。,。,产生两极分化这 就是所谓的回归效应在 文章中高 尔顿完成了关于 个变量相关性的理论 年以后, ,,
, 珡珚()(),,,,, ,, , ?,, ,, ,,, :。提出了至今仍在使用的 相关系数从不 同的 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , , ,, , 珡珚()(),,,,, ,, , ??
,,,,,,槡 槡 ,, ,,,。角度看它会被赋予不同的意义和 展示了 相关系数是如何被看作一类 ,,,;,,,,,,:,,,,;,,,,,,,,,, 、、、、、。特殊的均值一类特殊的方差两个均值的比率 两个方差的比率 直 线的斜率一 个角度的余弦等的通常 ,
,。,,被看作个随机变量间线性相关性强弱的指标 取值在 的值越接近表示个变量正相关线性 ,,,,,,,,
;,;,。相关性越强越接近 表示负相关接近或者等于表示个变量之间的线性关系很弱或不是线性关系 ,,,,
相关系数,(, ,,,,,,,,
、,相关系数又称秩相关系数 等级相关系数或 顺序相关系数 是 利用 个变量的秩做线性相关 ,,,,,,,,,
,,。分析用来衡量个变量间是否单调相关 定义如下,
,,?,),,?,)((定 义被定义为个维随机变量和 相关系数, ,,,,,,,,,,, , ,,,,,,, , ,,,,,,ρ
:的秩之间的 相关系数,,,,,,, ,, )( ) 珋(,,,,, , , , ,?,, 。 ,, ρ , , ,,)( ) ?(珋,,,, ,,, , ? ,,,槡 ,,, 槡
,,,,?,。(),其中和分别是和的秩当变量里出现相等值的时候秩结该值对应的秩为这几个 ,, ,, ,, ,, ,,,,,
。,,,。,,值对应的 秩 的 平 均 值的 取 值 范 围 为 当一个变量随另一个变量单调 递 增 的时 候 , ,,, ,ρ ρ ,。反之 ,,,ρ
,, 相关系数与变量的分布和样本容量都无关 只 要 个变量的观测值是成对的等级评定资料,,,,,,,,, ,, ,,,。或者是由连续变量观测资料转化得到的等级资料 就 可以用 相关系数进行研究图 表现了 ,,,,,,,, ,?? ,
第卷第期 数学建模及其应用 ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
。相关系数和 相关系数的联系和区别 图中的个变量 和之间的 线性相关系 ,,,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,
,;,,是数为表示它们的线性相关程度为相关系数为表示它们的单调相关程度等于也就 ,(,,,(,,,,,,,,,,,,,。说这个变量间的单调性很强,
图 两个随机变量的散点图 ,
相关系数,(, ,,,,,,,
,, ,,(),是衡量等级变量相关程度的一个统计量 它的 主相关系数,,,;,,,,,,;,,,:,,,,,:,,,,,,:,,:,,;,,:,
。要思想是根据个变量间序对的一致性来判断其相关性,
,,,。(,)。(, 设 分别是维随机变量其中 分别表示和的第个分量记为一个序对当,, , ,,,, , , ,,,,,,,)(,),,,;与的排行相同时即 且或者 且时称这个序对是一致的 当 ,,,,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, , ,,, , ,,
,,;,且或者 且时称这个序对是不一致的当 或者时这 ,,, ,,, ,,, ,,, , ,,, ,,个序对, , ,,, , ,, , ,
。既不是一致的也不是不一致的
,:系数定义设个维随机变量和它们之间的 定义为 ,,;,,,, ,, , ,,η
, ,, , 。η ,,,, ,,(()), ,,,,,,, ,
, ,。,,其中表示一致的序对个数 系数的取值范围是 当时表示个随机变量拥有一 , ,,,;,,,η ,,,η ,,,,
;,;,致的等级相关性当时表示个随机变量拥有完全相反的等级相关性 当时表示个随机变 η,,,,η,,,
。量是相互独立的
最大相关系数,(,
(,,),(,)(,)。:设 和 为定义在概率空间上分别在和上 取值的随机变量映 射 ,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,(,)(,)(),,。,生成 上的一个限制中的一个子代数记 为测度在 ,,,,,,, ,, , ,, ,,,,, , ,,,? , , , ,
, ,,)(,),(),。(是 设函数具有有限二阶矩和内积可测函数 ,,,,,,,,;, ,,, ,,,,,,,, θ θθθθθθ?
,, ,, ,,,,是 空间 和定义, ( ) , ,,,,,,,,, ,,,。 ,,,,:,,,,;,,,,,,,, 可测函数的 , , , θ
,了个随机变量 之间的最大相关系数 ,,,,,
(,),((),()),。,,,,,,,,,,,,,, θψ
。为任意函数 , ,( ) ,ψ
,,,(,)一般情况下得不到最大相关系数的一个精确值 如 何选择合适的函数 使 得可 以达到上确, θψθψ,。,。,界是很多统计学家们一直在探索的问题 但是只有在某些特殊的情形下 才可以取到相关系数的上确界 比 如
,;,若个变量间具有线性关系 那么最大相关系数退化为 相关系数若 和 相互独立则当且 ,,,,,,,,,, ,, , , (,),,。仅当 或者等价地当且仅当个子空间 与 正交 ,,,,,,,,,,, , ,, ,,,指出如果年,,,,,,,,,
(,)((),()),,,,,,,,, ,,,,θψρ,(),()其中满足 ,,,,θψ , , ()(),()(),,,,,,,,,,,,, ,,,, ,, θψθψ
?? ,
?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,,
(())(),(())()。,那么,,,,,,,,,,,,,,,,,, θψψθρρ
,, ,,,,,(,基于这个结论年和 给出另外一种条件期望的算法来寻找使得和,,,,,,,,,,,,,,;,,,,, θ ψθ
)。(,),,。达到最大该文中也提出了当样 本观测值 满足一定条件时 最 大化 是如何被估计的如 果 ,,,,ψθψ (,),,,服从二维高斯分布相关系数等于那么它们的最大相关系数等于的绝对值即 ,,,,,,,,,,,,,
(,)。,,,,,,,,,
,, ,,,相互独立且只有有限个取值的情形下 讨 论了最大相关系数的近似分布问 和 在 ,,,,,,,,,,,,, , ,, ,,。题等对独立同分布随机变量部分和之间的最大相关系数和 相关系数之间的关系做了研,,,,,,,,,,,, ,, ,,,。(,,究与从几何角度研究了最大相关系数的性质 例如,,,,,,,,,,,,, , , , , ) 可以看作是 个子空间 和 ,,, (,)(,)。,的夹角余弦即 , ,,,,,,:,,,,,,
, , , ,互信息,(, ,,,,(),,在年 首次定义了互信息 用 来度量 个 变 量 间 的 相 互 依 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, 赖
:程度
(,) ,,,(,) (, ) ()。 ,,,,,,, , , , ?()() ,,,,:(,)()();。其中是 和 分别是 和的联合概率密度函数 和的边际密度函数 ,,,, , ,,,,, ,
。,;,互信息具有很好的性质 首先它满足 提出的所有条公理其次互信息的值与衡量联合概 率密 ,,,,,,
。,度函数和边际密度函数乘积之间距离的 散度的值一致但 是通 常由于随机变量的概率密 ,,,,,,:,,,,,,,,,
,。,。,等度函数未知造成互信息无法或者难以估计 于是针对如何估计互信息值 科学家做了许多努 力比 如,,,, ,, ,, ,,(,);介绍了如何用核密度估计的方法估计互信息值等用最 近邻 ,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (,) 。 距 离 的方法改进了传统的计算互信息的方法 等,,,,,,,, ,,,,,,, ;,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,, ,,,。,出当样比较了到年为止不同的互信息 估计方法的算法优劣和估计有效性等 比 如他 指 ,,,,,,,,,,,,,,
,,,本容量趋于无穷大且方差随之变小 而且随着以适当的方式增长时 和 估计的密 度函数均 ,,,,,, ,,,
,,。收敛于真实的概率密度函数 因此和 比其他估计互信息的方法有其优越性的一面,,, ,,,
和 相关性,(, ,,,,,,,,,,
,, ,,,,在考虑变量间的相关性的时候 将方差协方差矩阵以及相关系数矩阵作谱分解 并得到这些 ,,,,:,;,
,,特征 的 主 成 分 表 示在 此 基 础 上 给 出 了 新 的 度 量 方 法分 别 称 为 ,,,,,,,,:, ,,,,, , ,,,,,,,,,, , ()()。和 它们是二维 随机变量在 上沿着一条一 ,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,
。,。维曲线来定义相关性的方法 在定义 和 之前需要一些准备知识,,,,: ,,,,:
,、首先对和的协方差和相关系数矩阵做谱分解 得到方差协方差和相关系数的一些基于特征值的表 , ,
,:达式即设 和的方差协方差矩阵为, , " ,,,,,,:,,λ, , :,,α ,α α ,α , ζ,, , 。烄 烌 ζ, ,,,, ,,, Σ , ,,,:,,, ,,,:,, ζ,, ζ α α λ α α , ,烆 烎
:;。,、其中是协方差矩阵 的特征向量和的特征值是对应特征值轴的夹角则 的方差协方 , , , , ,, λλΣαλ?
、:差相关系数分别用特征值和表示为 α , ,,(), (),,,,:,,,,,,,,,,,ζ,λ,α,λ,αζ, , ,,, (,)(,,,:,,,,,,,,λ,α,λ,α,ζ,, , λ, , ),:,,,,,,, λαα
ζ ,, )(,,,,:,,,,,, ,, λλαα, ,(,, , , ρ:,,,,,,,,:,, 。ζζ, ,,, ,,, λαλαλαλα, , , ) ( )
(,)()。然后还需要给出二维随机变量沿着曲线分布的定义,,;,
(,)定义设是从下面公式得到的二维随机变量, ,,
,(,)(,):。,,,;,,, ,? χ
, :();(,);:(,)()(),():其中是生成曲线是生成随机变量 定义为其中 ;,,,;,×,,;,,,;,,,,,;,,? χχ
, ();(),,是平面上的一维光滑曲线 并且对所有的满足 是一个酉向量并且对所有 , ,,,‖;,‖ ,,,,′? ?
?? ,
第卷第期 数学建模及其应用 ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
;()()。(,)()。的则称二维随机变量沿着曲线分布 满足,, ;,,,,,,,;,′?
,()()()。估计和的一般方法是用主曲线拟合算法主曲线是第一主成分的非线性 ,;,;′,,,,,:,,,,:,,,,,
,。“”()推广第一主成分是对数据集的一维线性最优描述 主曲线强调寻找通过数据分布的中间并满足 ,,;;,,
“”,。自相合的光滑一维曲线其理论基础是寻 找嵌入高维空间的非欧氏低维流形 更 多关于主曲线的信息可
,,。、,以参见文献等和分别引入了种不同的主曲线的概念并给出了相应的算 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,;,,
,,。法这些算法都已经嵌入到很多软件中 比如 和,,,,,,,
,,,最后利用方差协方差及其相关系数的谱分解表示 给 出局部线性相关性度量的定义 再 将该定义扩展
。(,)(),()到全局相关性度量由于可以看作是曲线上的随机点和正交随机噪 音生成的 于 是可 以代 表,,;,;,
(,)。(),,的分布结构特别当是一条直线的时候 和之间的相关性被看作是线性相关 相关程度 可 以用,,;,, ,
。,()()方差和相关系数矩阵很好地度量 为了获得更一般的线性相关程度 的 度 量 首 先 在上 的 一 个 点 ;,;,
。(,)(),,周围定义局部的方差和协方差度量 这样定义的思想是将的分布在周 围线性化也 就是说,,;, ,,,, 显示了在 ()(,),(,)。在周围寻找一个随机变量使得它沿着一条直线的分布与的分布近似图 ;,,,,,,,,()()。个点和处的线性化过程,;,;,
()点()处 的线性化 ()点()处 的线性化,;,,;,
,::::::图 在和处的线性化过程图 , ,,;,;,
(,)(,)()。,()()定义设是沿着曲线分布的二维随机变量 对记为与轴 , ,,,;,,;,,,α,;′,, ?χ,()的夹角定义 和在处的局部方差为, , ;, ,,()()()()(), ,,,,,:,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,αα,,()()()()(),,,,,,,,,,, ,:,,,, ,α,,,α
()在处的局部协方差为;,
()(()())()(),,,,,(,),,,,,, ,:,,,,,,,,,, ,,,αα
():在处的局部相关系数为;, , , ()(),(()())。,,,,(,),,,,,(,),,,,,,,,,, ,,, ,
,,由于局部协方差和局部相关系数可能为负数 当扩展为全局协方差和全局相关系数时可能会被消去 于 是
。引入平方再开根号的办法来避免这个问题的发生
,()():定义沿用定义中的符号和沿着它们的生成曲线产生的分布的全局协方差定义为, ,, , ;, , ,, (,),(()),,,,,,;,,, ,, ,,,,(,,,), ,,
()():沿着曲线的全局相关系数定义为 ;, , ,, (,),(()),。, ,,,,;,,,, ,,,,(,,,),,,
,,这种相关性度量的性质很好地满足经过适当修改的 的条公理其适用范围也非常广泛 可 以用 ,,,,,,
、。,来测试变量间的独立性线性关系以及定义变量间的相似性 比如当 和的样本数据分布在一个环或者 , ,
,,;,矩形上时能捕捉到这个相关性 给出较高的值当 和满足某种特定的关系时这种度量得到的值,,,,:, ,
?? ,
?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,,
。,,与适用于度量该关系的统计量的值很接近 比如当和之间线性相关的时候的值与相关 系, , ,,,,:,,,,,,,
。,,。数几乎相等另外这种算法已经嵌入到 软件中了使用起来非常方便,
距离相关,(,
,, ,,(,)距离相关是 等于 年提出来的一种新的度量相关性的统计 ;,,,,,:,:,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,, ,
。,,量它不同于以往的基于协方差矩阵和方差矩阵所定义 的相关性 具 体来说总 体距离相关等于 可以推导 ,
,。,出变量间的独立性但是反之不成立区别于传统的计算 样本矩之间的距离 样 本距离相关是通过计算样本
。本身的欧几里得距离来衡量变量间的相关程度
,,,设 为维随机变量为维随机变量和都有有限一阶矩 则 和之间的总体距离协方差 , , , ? , , , ,
():定义为,,,,,,,,:,,;,,,,,:,:,,,,,,,:, ,(,)()(),,,,,,, ,,, ,, , ,,, ,, ,,,,, ?(,)(,)(,)()(),,,,,,,,,,,。, 槡, ‖,,, ,,, ,, ‖, ?槡 ,,;,;, ,,,, 瓗,,? ;;?槡,? , ? ,,,,, π ()()(,),:;;其中和为 为 和的特征函数和的联合特征函数,, ,,, ,, , ,,,, ,,, , ;, , , ,,
((),) ,,,Γ,
。或者 ?
,():类似地总体距离方差定义为;,,,,,:,,,,,,,:,
, ()(,)(,)()()。,,,,,,,,,,, 槡, ‖,,, ,,, ,, ‖槡
():总体距离系数定义为;,,,,,:,:,,,,,,,,,, ,,,(,), ,,, 烄 ( ) ( ) , , , ,, ,,(,)(,),,,,,, ,,,,槡 。 ()() ,,,,槡槡 烅 ,,, ()(),,,,,,, 烆
(,):(,);(,)。具有性质表示 和相互独立这个系数与 相关 ,,,?,,,,,?,,,,,, , ,,,,,,,??。,,,系数的定义非常类似事实上在和都是标准正态分布的条件下 它们之间也存在一定的函数关系 例如 , ,
(,)(,),(,)。,),(,),(等号在时成立当和的联合分布的观测值,,,,,,,,,,,,?,, , ,,, ,,,,,, ?,,?,,,给定的时候定义,,, ,, ,, 珔,珔,,,,, ,,,, ,,,,,, , , ,,,,, , , ,, ,,, ? ? , , ,,, , ,珔 珔珔珔,,,。,,?,,,,,,,,,,,,,, ,, ,, ,,, ,, ,, ,, , ? , ,,,,, ,:类似地定义
珔珔珔,,,。,,?,,,, ,,,, ,,,,,,, ,,,, ,,, ,,, ,,,,,,,,?
,(,):于是样本距离协方差定义为,,,,,:,,;,,,,,:,:,,,,,,,:,;,,,,
, , , (,),,,,,,, ,, , , ,,,, 槡 。 ( , ) , ,? ,,,,, (), ,类似地样本距离方差定义为 ,,,槡, , , (), ,,,, ,, , ,, , , 槡槡 ,, 。( ) ( , ) , ,, ,,? , ,,, 槡()(,):样本距离相关定义为,,,,,:,,;,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,, (,) ,,,, 烄 , , , , ,, , , ()()(,),,,,,,,, ,, , , ,,,,, ,, , 槡槡槡。 烅( , ) ( ) ( ) ,,,( ) ( ) ,,, , , ,,, ,, ,, 烆
(,):(,);(,)(,)。具有性质当且仅当 和相互独立如果 ,,,,?,,,,,,?,,,,,,, , ,,,,,? ?
,,。那么存在一个非零常数和一个正交矩阵使得 ,, ,, ,,,,,,
,利用上述距离协方差做样本独立性检验的时候 它的统计相关性比所有期望有限的备择假设都要 ;,,,
。,,好数值拟合的结果显示当随机变量间的关联性是非线性的时候 利用做的检验比极大似然比检验的;,,, ?? ,
第卷第期 数学建模及其应用 ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
。。势要高很多统计量 能够很好地探测到变量间的非线性或者非单调的关系 ;,,,
,,,,相关性, ,,,
,, ,,《》。在年月发表在上的文章掀起了研究相关性新的热潮 文章引入的最大信 等,,,,,,,,,,,,,:,,,:,
(,)。息系数被用来度量变量间的相关程度 方法的主要思想基于这 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,,,,
:,,样一个认识如果个变量间存在某种相关 那么在这个变量构成的散点图上进行网格划分后 数 据在网 ,,
。。格中的分布情况可以反映出它们之间的关联性 的算法与传统的算法也有很大的区别 传 统的 ,,, ,,,,,,,
,,,相关等的计算都可以写出公式 用计算器计算得出 但是 没有一个简单的计算公式 也不能通 过任何一 ,,,
,。,个计算器计算得到而必须借助现代化的数字计算机运 行一系列程序算法才有可能得到 也 正是这个原因
。,,导致 方法到现在才被发现和提出 纵使如此得到 精确解的计算量仍然非常巨大 因此文中给出了 ,,,,,,
,。()一个简化的优化方法可以得到 的近似解这是统计学关于计算机密集型 方 法的 ,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。另外一个例子
方法的定义,(,
:,,的算法主要由以下个因素决定网格划分数即在给定的数据集形成的 散点图上 在 轴和,,, ,? , ,
;,,轴上分别进行多少次的划分网格划分的位置 即如果在 轴上划分次那么这个划分点是等距放置 ? , , ,
。,,还是以某种其他 方 式 放 置 在轴 上若给定划分数和划分位置 则 给 定 了 一 种 划 分计 算 该 划 分 下 的 互 ,
:信息值
(,) ,,,(,,)(,)()。,,,,,,,, ,,, ? ,,,,?,? ()() ,,,,
:,(,),;,;其中是 联合概率函数这 里用落 是给定的数据集是对这个数据集的划分 都 是随机变量, ,, ,,,
;(),(),(,) 入格子中的样本数占样本容量的比例来近似 是边缘概 率分布函数 这 里分别用落入,,,,,,,,(,),,。和区间的样本数占样本容量的比例来近似 其中 ,,, ,,,,,,,,,,,????
,,,(,若固定网格划分数则通过改变网格划分位置 会得到不同的互信息值 记其中的最大互信息值为 ,,,)。,,,,,,:进一步为了方便在不同的维数之间进行比较 将其标准化使其取值在区间 ,,,, ( , , ) , , , , ()。,,,, ,, (,,,),,,,,,,,
,,()。定义设有个随机变量的数据集 样 本容量为 网 格划分数小于 它的极大互信息系数 , ,,,,,
()定义为,,,
(),(),。,,,,, ,,,,,(,),,,, ,,,
,。的计算图解见图具体解释如下,,, ,
()(,)。计算每一个划分对应的最大互信息 最左边一列的个图是划分下对应的几个不同的 ,,,,,×,
。。划分位置最下面的那种划分位置可以得到该划分下的最大互信息 中间个图是 划分下对应的几个 , ,×,
。。不同的划分位置其中最下面的那种划分位置得到该划分下的最大互信息
()。。由标准化后的互信息得分组成的矩阵 这个矩阵保存了所有的 及其相应的划分方法 该 矩阵中 ,,, ,。的元素分别对应 图各划分下划分位置最好时得到的互信息值 , ,×,
(),,。,特征矩阵 可表示为可视化的一个表面 对应于这个表面上的最大值点 在这个例子,,,, , , ,,,
,。(),()中有很多种划分都可以得到最高得分 中 的星号标示了其中一个样本划分得到的分值在 中 的星 ,,
。号标示了这个得分在表面上的位置
、,。旨在发现大数据集中 个变量间所有重要的 但未被发现 的关系 并 且有效地识别这些关系结 果 ,,, ,
,。,证明几乎能探测出所有的函数甚至非函数关系 当个变量间是函数关系时与该函数的决定系,,, ,,,, ,()。,数函数的因变量真实值与预测值之间的相关系数的平方几乎相等特别地当该函数是线性函 ,,,,,,,,
,。。,数时约等于 相关系数的平方的取值范围是当 为时表示个变量完全 ,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,
;,,。统计独立而当 为时表示函数没有噪音 这个完全符合统计常识 ,,, ,
?? ,
?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,,
,,,,图 计算示意图, ,,,
的性质,(, ,,,
:。,的主要性质有个普适性和等价性 普适性是指当样本容量足够大的时 候 可以探测到更大 ,,, ,,,,
。,,。范围的相关性例如周期函数或者像圆这样的非函数 及由几个函数合成的超函数 等价性是指不论哪种类 ,,(),()。型的函数在 相 同 噪 音 干 扰条 件 下与 该 函 数 相 关 性 的 得 分 接 近这 个 性 质 可 通 过 图 ,,, ,, ,
。表现出来
?? ,
第卷第期 数学建模及其应用 ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
,,,,图 的普适性和等价性示意图, ,,,
,();()图中是随着噪音的增加几种函数关系的变化形态及其得到的 值是种噪音下用种 ,,,,, ,,,
,。,,。 算法计算得到的 在噪音比较低的情况下 为各种函数关系都给出了较高的值 表 现出它的普适性,,,,
, ,,。在很多情形下是近似相等的同时从图可以看出值和 表现出它的等价性,,,, ,
与其他统计量的比较,(, ,,,
。、、代表了最广义的一种相关 不论个变量是函数相关 超 函数相关甚至是没有任 何函数关系的相 ,,, ,
,,,。。关时都可以探测到这种相关性 即在无噪音的情况下 给出较高的 值数值拟合结果见表从表 ,,, ,,, ,
,。,中也可以看出值与专门适用于测量某种函数关系的统计量的得分相当 比 如当 个变量为线性关系 ,,, , ,;,时和 相关系数都是当个变量是指数关系时 与衡量单调性的 统计量得分 ,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
。,。都是这也从一个方面说明与其他统计量之间存在一定的等价性,,,,
表 与其他统计量的比较表 , ,,,
?? ,
?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,, 基于 拓展的统计量,(, ,,,
(,),定义最大非对称得分用来度量个变量间的单调性定义为 , ,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,
()()()。,,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,,, ,
(,),定义最大边值用来衡量随机变 量间的关系是否是函数关系 或 者说 , ,,,,,,,,;,,,,,,,,,,
,与函数关系的接近程度 定义为
:(),(),。或,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,, ,, , ,,
(,),定义最小网格单元数用来衡量相关性的复杂程度 也就是说要 达到, ,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,
,得分需要的最小网格单元数 定义为,,,
,),():())(),。((,,, ,ε, ,,,,, ,,,,,,,,,ε,,,, ,,,,, ?
()。这些统计量统称为 这几个统计量表 达 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,
。,,,。无噪音的相关性得分见表 在实际例子中也表现出良好的性质 详细参见文献,,,, ,,
对 的评论 , ,,,
,,,,,。,等列举了很多 的优良性质但是很快就有人对 方法提出了批评其中 等,,,,,,,,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,。等以及 等提出的批评意见比较有代表性 ,,,,,,,,,,,
等比较了 与另外种统计量和 ,,,,,,,,,, ,;,,,,,, 表 计算某些样本相关性的 统计量值表, ,,,, 。:(), 的优劣文章指出在完全无噪音 不 切实际的 函 数 下?
,;比 有微弱的优势比 有 显著的优势如果 ,,, ,,, ;,,,?
(),样本容量适中那么在大部分含噪音的函数以及变 ,,,,,,
,量间具有非函数关系的情形下 和 在 统计检验中 ,,, ;,,,
;的势都远高于 声 称 的方法在寻找随机 ,,,?,,,,,,;,,,
,,变量之间的关系时不适用 但是恰恰相反由于在实际应用中
,样本容量多集中在而 不是 适用的大样本容量 ,,,,,,,,,
(),,,所以 和 方法更适用于实际同 时,,,,;,,,,,, ;,,,
,和 都适用于任意维数的随机变量 而 只适用于一 ,,, ,,, 维
;,随机变量针对 声 称的 具有 的 相 合 性? ,,,,,,,,, ,, ,
:(等也给出一个反例当个变量之间是菱形关系 ,,,,,,,,,;,,
),,时随着样本容量的增大 的势并没有相,,;,,,,,,,,,,,
,,,应地增加甚至减少 了并 不满足检验相合性要求 而 好的检
:,验应该满足个基本性质要满足相合性也就是当样本容 ,?
,;,。量增大的时候势应该增大并趋向于在有限样本的情况下 检验也应该有较高的势 ,?
,和 也用数值模拟的方法指出 方法的势比很多其他统计量的势都低 进 一步指,,,,,;,,,,,,,,,,,,
,“”。:出 在如此低的势的情况下 定义等价性是没有任何意义的 也就是说会出现这样的情况 即使个变量,,,。不相 关也会给出比较高的得分 从而造成个变量相关的假象 ,,, , ,,,,,“”。和 等则不客气地指出 等价性的定义是错误的他们用数学方法证明了 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, “”,,,定义的等价性是不可能存在的 即任何一种对非平凡的相关性度量的统计量 包括 本身在内均 不满 ,,,
。,,足这种等价性的定义然后他们通过数值模拟的方法得出与 几乎完 全相反的结果声 称 等 ,,,,,,,,,,,,
。提供的数值模拟结果可能是伪造的
,,,, 以上综述给出了统计相关性分析的一个发展全貌 特 别介绍了 方法尽 管仍然会有所遗漏例 如,,, ,,,,,,和 在平面上定义了一种度量相关程度的量 称为相关曲线它是基于非参数回归的 局部估 ,,,,,,,,,,,,
。 ,, 计系数和仅考虑一个变量的局部线性相关性的度量来给出的可以注意到无 论 方法如何受到批评,,,
。,,但是它的出现的确引发了关于这个问题的新的研究热潮事实上相关性这个概念本身就没有完全统一 以
,。 上多数方法都强调了相关的某个性质 从而给出适合某种特定相关意义的计 算方法本文希望应用研究者
,,们在各自应用的数据特点和问题目标中能够选择更适合的分析方法 同时更希望他们在自己研究的数据对
?? ,,
第卷第期 数学建模及其应用 ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,
,。象的特征中提出新的问题 推动统计相关方法的发展
参考文献
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?专题综述? 统计相关性分析方法研究进展 年月,,,,, ,,,,,,:::,,,,,,,,,,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,;,,:,,,,,,,,,,,,,, ,,:,,,:::,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,:,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,;,,:,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,;,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,:, ,,,,,,
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作者简介
::,,,。 ::,,,,樊嶸女博士主要从事概率统计模型及其应用徐大舜男副教授博士主要从,,,,,,,,,,
。事微分方程理论及其应用
?? ,,
用Excel做相关性分析方法
用Excel做数据分析——相关系数与协方差
天极软件
2006-11-15 05:24
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化学合成实验中经常需要考察压力随温度的变化情况。某次实验在两个不同的反应器中进行同一条件下实验得到两组温度与压力相关数据,试分析它们与温度的关联关系,并对在不同反应器内进行同一条件下反应的可靠性给出依据。
点这里看专题:用Excel完成专业化数据统计、分析工作
相关系数是描述两个测量值变量之间的离散程度的指标。用于判断两个测量值变量的变化是否相关,即,一个变量的较大值是否与另一个变量的较大值相关联(正相关);或者一个变量的较小值是否与另一个变量的较大值相关联(负相关);还是两个变量中的值互不关联(相关系数近似于零)。设(X,Y)为二元随机变量,那么:
为随机变量X与Y的相关系数。p是度量随机变量X与Y之间线性相关密切程度的数字特征。
注:本功能需要使用Excel扩展功能,如果您的Excel尚未安装数据分析,请依次选择“工具”-“加载宏”,在安装光盘中加载“分析数据库”。加载成功后,可以在“工具”下拉菜单中看到“数据分析”选项。
操作步骤
1. 打开原始数据表格,制作本实例的原始数据需要满足两组或两组以上的数据,结果将给出其中任意两项的相关系数。
2. 选择“工具”-“数据分析”-“描述统计”后,出现属性设置框,依次选择:
输入区域:选择数据区域,注意需要满足至少两组数据。如果有数据标志,注意同时勾选下方“标志位于第一行”;
分组方式:指示输入区域中的数据是按行还是按列考虑,请根据原数据格式选择; 输出区域可以选择本表、新工作表组或是新工作簿;
3.点击“确定”即可看到生成的报表。
可以看到,在相应区域生成了一个3×3的矩阵,数据项目的交叉处就是其相关系数。显然,数据与本身是完全相关的,相关系数在对角线上显示为1;两组数据间在矩阵上有两个位置,它们是相同的,故右上侧重复部分不显示数据。左下侧相应位置分别是温度与压力
A、B和两组压力数据间的相关系数。
从数据统计结论可以看出,温度与压力A、B的相关性分别达到了0.95和0.94,这说明它们呈现良好的正相关性,而两组压力数据间的相关性达到了0.998,这说明在不同反应器内的相同条件下反应一致性很好,可以忽略因为更换反应器造成的系统误差。
协方差的统计与相关系数的活的方法相似,统计结果同样返回一个输出表和一个矩阵,分别表示每对测量值变量之间的相关系数和协方差。不同之处在于相关系数的取值在 -1 和 +1 之间,而协方差没有限定的取值范围。相关系数和协方差都是描述两个变量离散程度的指标。
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