一元二次函数定义域区间

定一元二次不等式对应法则义

值域指根式分数指数

数映函指数方程射指数函数的图像和性质数对数方程

函奇偶性数对数的性质性单调性质积、商、幂与

周期性根的对数

对数

反对数恒等式互为反函数的对函和不等式函数图像关系数数

函常用对数数自然对数

对数函数的图像和性质 函数概念

(一)知识梳理

1(映射的概念

A、B设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的fAB元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则 f:A,BAB

注意:?A中元素必须都有象且唯一;?B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2(函数的概念

(1)函数的定义:

A、Bx设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一AB确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为y,f(x),x,A AB

(2)函数的定义域、值域

xxxy,f(x),x,Ay,f(x)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值yA

叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。 ,,f(x)x,Ay,f(x)

(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则

3(函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法

(1)(图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;

2)(列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (

(3)(解析法:就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4(分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

(二)考点分析

考点1:映射的概念

AR,例1((1)，，; Byy,,{|0}fxyx:||,,

*2(2)，ByyyN,,,|0,，; AxxxN,,,{|2,}fxyxx:22,,,，,,

(3)，，( Axx,,{|0}ByyR,,{|}fxyx:,,,

AB 是到的映射( 上述三个对应

例2(若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到A,{1,2,3,4}B,{a,b,c}abcR,,,ABBAAB

的函数有 个

NMM例3(设集合，，如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与xfM,,{1,0,1}N,,,{2,1,0,1,2}

N它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是( ) fx()f

8个 12个 16个 18个 ()A()B()C()D考点2:判断两函数是否为同一个函数

例1( 试判断以下各组函数是否表示同一函数,

233(1)，; f(x),xg(x),x

1x,0,x,g(x),f(x),(2)， ,,1x,0;x,

*2n,121nn，，122n,1(3)，(n?N); g(x),(x)f(x),x

2x，1(4)，; f(x),xg(x),x，x

22(5)，f(x),x,2x,1g(t),t,2t,1 考点3:求函数解析式

方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法;

(2)若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法; f[g(x)]

(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2例1(已知二次函数满足，求f(x)f(x)f(2x，1),4x,6x，5(三种方法)

21，x1,x例2((09湖北改编)已知f()=，则的解析式可取为 f(x)21,x1，x

题型2:求抽象函数解析式

1f(x)，2f(),3x例1(已知函数满足，求 f(x)f(x)x

考点4:求函数的定义域

题型1:求有解析式的函数的定义域

(1)方法总结:如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注x意:? 分母不能为0;? 对数的真数必须为正;? 偶次根式中被开方数应为非负数;? 零指数幂中，底数不等于

0;? 负分数指数幂中，底数应大于0;? 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集;? 如

果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际

问题的定义域不要漏写。

122ln(x,3x，2，,x,3x，4)例1.(08年湖北)函数的定义域为( ) f(x),x

A.;B.;C. ;D. (,,,,4):[2,，,)(,4,0):(0,1)[,,4,0):(0,1][,,4,0):(0,1)题型2:求复合函数和抽象函数的定义域

2，xx2,,,,fx,lg例1((2007?湖北)设，则的定义域为( ) ，，f，f,,,,2,x2x,,,,

A. ;B. ;C. ;D. ，，，，，，，，，，，，，，，，,4,0:0,4,4,,1:1,4,2,,1:1,2,4,,2:2,4例2(已知函数的定义域为，求的定义域 y,f(x)[a，b]y,f(x，2)

例3(已知的定义域是，求函数的定义域 y,f(x，2)[a，b]y,f(x)

例4(已知的定义域是(-2，0)，求的定义域 yfx,,(21)yfx,，(21)

考点5:求函数的值域

1( 求值域的几种常用方法

(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，

222如求函数，可变为解决 y,,sinx,2cosx，4y,,sinx,2cosx，4,(cosx,1)，2(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

22如函数就是利用函数和的值域来求。 y,log(,x，2x，3)u,,x，2x，3y,logu11

22

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。

2x，13,133，13如求函数的值域 y,[,]2x,2x，222

2cosx,3y,(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域，因为 cosx，1

3x(5)利用基本不等式求值域: 如求函数的值域 y,2x，4

42(6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数的值域 y,2x,x，2(x,[,1,2])(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

32(8)导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。(,48) x,,[3,3]fxxxx()2440,，,

m(9)对勾函数法 像y=x+，(m>0)的函数，m<0就是单调函数了>

4三种模型:(1)如yx,，，求(1)单调区间(2)x的范围[3,5]，求值域(3)x [-1,0 )(0,4],求值域 ,,x

4)如 0或x4) (2yx,，求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x,,x，4，

1yx,，2(3)如 ， (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间 x,3

函数的单调性

(一)知识梳理

1、函数的单调性定义:

I,AI设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值x，，当时，都有xx,xy,f(x)A1212

III，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间;如果对于区间f(x),f(x)y,f(x)y,f(x)12

IIx内的任意两个值，x，当x,x时，都有f(x),f(x)，那么就说在区间上是单调减函数，y,f(x)121212

称为的单调减区间。 y,f(x)

,IIf(x)如果用导数的语言来，那就是:设函数y,f(x)，如果在某区间上f(x),0，那么为区间上的增函数;

,IIf(x)如果在某区间上f(x),0，那么为区间上的减函数;

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:

,fx()(,)abfx()0,(1)?定义法(取值――作差――变形――定号);?导数法(在区间内，若总有，则

,fx()(,)abfx()0,为增函数;反之，若在区间内为增函数，则，

b(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图yaxa,，,(0b,0)x

bbbb象和单调性在解题中的运用:增区间为(,],[,),,,，,，减区间为[,0),(0,],. aaaa

(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减

(4)若与在定义域内都是增函数(减函数)，那么在其公共定义域内是增函数(减f(x)g(x)f(x)，g(x)函数)。

3、单调性的说明:

(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;

(2)函数单调性定义中的，有三个特征:一是任意性;二是大小，即;三是同属于xxx,x(x,x)121212一个单调区间，三者缺一不可;

1y,(3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内(,,,0)(0,，,)x

1y,都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递(,,,0):(0,，,)x减区间为和(,,,0)(0,，,)。

4、函数的最大(小)值

x,A设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称x,Af(x),f(x)y,f(x)A，00

x,A为的最大值;如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称f(x)x,Af(x),f(x)y,f(x)000

为的最小值。 f(x)y,f(x)0

(二)考点分析

考点1 函数的单调性

题型1:讨论函数的单调性

2例1((1)求函数的单调区间; yxx,,，log(32)0.7

22(2)已知若试确定的单调区间和单调性( gx()fxxx()82,,，,gxfx()(2),,

2x,1 判断函数f(x)=例2.在定义域上的单调性.

题型2:研究抽象函数的单调性

x,0xx,fxxfxfx()()(),,，例1(已知函数fx()的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且121212x,1当时fxf()0,(2)1,,，

2fx()fx()(1)求证:(0,)，,是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式( fx(21)2,,题型3:函数的单调性的应用

2例1(若函数 在区间(,?，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______ af(x),x，2(a,1)x，2

ax，1例2(已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____ fx(),,，,2,a，，x，2

考点2 函数的值域(最值)的求法

求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。(4)导数法:当函数比较复杂时，一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1:求分式函数的最值

2x，2x，a1f(x),例1((2007上海)已知函数当时，求函数的最小值。 a,,x,[1,，,).f(x)2x

题型2:利用函数的最值求参数的取值范围

2x，2x，af(x),例2((2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的a,x,[1,，,).xfx,，,,[1,),()0x

取值范围。

函数的奇偶性

(一)知识梳理

1、函数的奇偶性的定义:?对于函数的定义域内任意一个，都有〔或xf(x)f(,x),,f(x)

〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。?对于函数的定义域内任意一f(x)f(x)f(,x)，f(x),0

个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。 xf(x)f(,x),f(x)f(,x),f(x),0y?通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)

2.函数的奇偶性的判断:

(1)可以利用奇偶函数的定义判断 fxfx()(),,,

fx(),,,1(2)利用定义的等价形式, ，() fxfx()()0,,,fx()0,fx()

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称 y

3(函数奇偶性的性质:

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

fx()(2)若奇函数f(0)0,f(0)0,定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条fx()

件。

(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。

fxfx()(),,fxfx()()，,如设是定义域为R的任一函数， ，。 Gx(),f(x)Fx(),22

(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶，内奇同外”.

(5)设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=DD,fx()gx()，12

偶，偶偶=偶，奇偶=奇( ，，

(二)考点分析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用

题型1:判断有解析式的函数的奇偶性

例1( 判断下列函数的奇偶性:

1，x(1)f(x)=|x+1|,|x,1|;(2)f(x)=(x,1)?; 1,x

2x(1,x)(x,0),,1,xf(x),(3);(4) f(x),,x(1，x)(x,0).|x，2|,2,

题型2:证明抽象函数的奇偶性

x，yf(x)，f(y),f()例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足:对任意的，都有. (,1,1)x,y,(,1,1)1，xy

求证f (x)为奇函数;

x,R例2((1)函数，，若对于任意实数，都有，求证:为奇函数。 f(x)a,bf(x)f(a，b),f(a)，f(b)

(2)设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。 f(x)(,l,l)f(x)，f(,x)f(x),f(,x)考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

例1(已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 mf(x)(,2,2)f(m,1)，f(2m,1),0

x,0例2(设函数对于任意的，都有，且时, f(x)x,y,Rf(x，y),f(x)，f(y)f(x),0f(1),,2(1)求证是奇函数; f(x)

,3,x,3(2)试问当时，f(x)是否有最值,如果有，求出最值;如果没有，说出理由。

22例3(设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,?,0)内单调递增，f(2a+a+1)<>

21a,3a，1值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 2

函数的周期性

(一)知识梳理

1(函数的周期性的定义:对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足xf(x)T

，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 f(x，T),f(x)f(x)T

2(周期性的性质

(1)若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为yfx,()xaxbab,,,,()yfx,()

; Tab,,2||

(2)若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为yfx,()AaBbab(,0),(,0)(),yfx,()

; Tab,,2||

(3)如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期Aa(,0)yfx,()xbab,,()yfx,()

函数，且一周期为; Tab,,4||

(4)?若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|;?函数满足，则是周期为2的周期函数; ，，，，afx(),fx,fa，xfx()

11Ta,2Ta,2?若恒成立，则;?若恒成立，则. fxaa()(0)，,,fxaa()(0)，,,,fx()fx()

(二)考点分析

考点2函数的周期性

33Rf(，x),,f(,x)例1(设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立 xf(x)22(1)证明:是周期函数，并指出周期; (2)若，求的值 y,f(x)f(1),2f(2)，f(3)

考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用

xR, 例1 .(09年江苏题改编)定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，fx()fxfx(2)()1，,,fx()0,R

则 ________ 。 f(119),

R例2(已知函数的定义域为，且满足 f(x)f(x，2),,f(x)

(1)求证:f(x)是周期函数;

110,x,1f(x),xf(x),,x,,xf(x)0,2009(2)若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。 22

2.5 二次函数

(一)知识梳理

1(二次函数的解析式的三种形式:

2(1)一般式:f(x)=ax+bx+c(a?0)。

2(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式(因式分解):f(x)=a(x-x)(x-x),其中x,x是抛物线与x轴两交点的坐标。 1212

2bac,b,b42(二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标, 2x,(,)2aaa24

,bbb(1)a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，x,时，(,,,,][,,，,)2a2a2a

24acb,f(x); ,min4a

,bbbx,(,,,,][,,，,)(2)a<>

24acb,f(x)。 ,max4a

223(二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)当,,b,4ac,0时图象与x轴有两个交点M(x,0),M(x,0) 1122

,2()4MM,x,x,x，x,xx,。 12121212a

24( 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论:2令f(x)=ax+bx+c (a>0) ，

,,0,,0,,

,,,,,b/(2a),,b/(2a),(1)x<><α ,则;="" (2)x="">α,x>α,则 ,,1212

,,af(,),0af(,),0,,

0,,,,,0,,,f()0,,,,f(),0(3)α<><><><,,则><α,x>, (α<,),则>

(5)若f(x)=0在区间(α,,)内只有一个实根，则有 f(,)f，,),0

2新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com5 最值问题:二次函数f(x)=ax+bx+c在区间[α,,]上的最值一般分为三种情况讨论，即:(1)对称轴,b/(2a)在

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com区间左边，函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴,b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com符号对抛物线开口的影响

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:

222,,0,?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴无交点ax+bx+c=0无实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或者是r;>

222,,0,?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴相切ax+bx+c=0有两个相等的实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或,,,者是r;>

222,,0?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax+bx+c=0有两个不等的实根ax+bx+c>0(<>

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com(,),,(),,,(,)(,),,，,,,:的解集为或者是

(二)考点分析

考点1(求二次函数的解析式

例1(已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。

法一:利用一般式

,a,,4abc4，2，,,1,,,,22b,4设f(x)=ax+bx+c(a?0)，由题意得:解得: ?f(x)= - 4x+4x+7 a,b，c,,1,,2,4ac,b,c,7,,8,a4,

法二:利用顶点式

2，(,1)1x,,?f(2)= f(-1) ?对称轴 又最大值是8 22

11222?可设f(x),a(x,)，8(a,0)，由f(2)= -1可得a= - 4 ？f(x),,4(x,)，8,,4x，4x，7 222法三:由已知f(x)+1=0的两根为x=2,x=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax-ax-2a-1,又12

24a(,2a,1),a2y,8即,8得a= - 4或a=0(舍) ?f(x)= - 4x+4x+7 max4a

4x,,2例2(已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式( x(0,1),

24x,,2解:?二次函数的对称轴为，设所求函数为，又?截轴上的弦长为，xfx()fxaxb()(2),，，?过点，又过点， fx()fx()(0,1),(22,0),，

1,a,40ab，,,,?， ， 2,,21ab，,,,,b,,2,

12fxx()(2)2,，,? 2

考点2(二次函数在区间上的最值问题

2例1(已知函数f(x)= - x+2ax+1-a在0?x?1时有最大值2，求a的值。

2例2(已知y=f(x)=x-2x+3,当x?[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

a122yxax,,，,，sinsina例3(已知函数的最大值为，求的值 ( 42

考点3(一元二次方程根的分布及取值范围

2例1(已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围。

(2)若方程两根在区间(0，1)内，求m的范围。

b思维分析:一般需从三个方面考虑?判别式Δ?区间端点函数值的正负?对称轴与区间相对位置。 x,,2a

32练习:方程在(- 1，1)上有实根，求k的取值范围。 x,x,k2

2【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主

要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式(组)求解。

22例2( 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围( xafxxaxa()(21)2,,,，,

指数与指数函数

(一)知识梳理

1(指数运算

mm,nm0rsrs，rsrsn1naa,;;a,1;aaa,,;(0,)arsQ,,、(0,)arsQ,,、a,()aa,;mna

rrs (0,)arsQ,,、()abab,

xx0,，,a,1y,ay,a2.指数函数:()，定义域R，值域为().??当，指数函数:在定aa,,0,1

xx01,,aa,1y,a义域上为增函数;?当，指数函数:在定义域上为减函数.?当时，的值y,aa

01,,ay越大，越靠近轴;当时，则相反.

(二)考点分析

mnmn0.20.2,22,mn例1(已知下列不等式，比较，的大小:(1) (2)

111ba,,,()()1变式1:设，那么 ( ) 222

aaaabbA.a,a,b B.a, b,a

baabaaC.a,a,b D.a,b,a

x例2(函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为( ) aya,

11A( B.2 C.4 D. 24

xa,0a,1例3(已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称，记y,xy,f(x)y,a

1(若在区间上是增函数，则实数的取值范围是( ) [,2]ag(x),f(x)[f(x)，2f(2),1]y,g(x)2

11 A( B( C( D( [,1)(0,][2,，,)(0,1):(1,2)22

对数与对数函数

(一)知识梳理

1(对数运算:

Mn;logloglog;;,,MNlog()loglogMNMN,,，loglogMnM,aaaaaaaaN

1logNlogNnbaMM,loglog;;; 推论:logloglog1bca,,,aN,换底公式:logN,aaabcanlogab

ba,N()的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作2(对数函数:如果aabNbNaa,,0,1

NlogN,b(，负数和零没有对数);其中叫底数，叫真数. aaa,,0,1a

a,101,,a当时，y,logx的值越大，越靠近轴;当时，则相反. axa

(二)考点分析

例1(已知函数fxx()log(1),，，gxxa()log(1)(0,,,，且 a,1)aa(1) 求函数定义域 fxgx()()，

(2) 判断函数的奇偶性，并说明理由. fxgx()()，

(31)4,1axax,，,,fx(),例2(已知a是上的减函数，那么的取值范围是 (,),,，,,log,1xx,a,

1111(0,)[,1)[,)A.(0,1) B. C. D. 3773

3,,alog1(0a例3(若，且a,1)，求实数的取值范围. a4

21，alog,0a变式1:若，则的取值范围是 ( ) a21，a

111A( B( C( D( (,，,)(,1)(0,)(1,，,)222幂函数

(一)知识梳理1、幂函数的概念

,一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 ,x()xR,yx,

2、幂函数的图像及性质

12,13 yx, 2yx,yx,yx, yx,

定义域 R R R

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限

的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减

,幂函数 的图像在第一象限的分布规律是: (,)xR,,是常数yx,

,?所有幂函数 的图像都过点; (,)xR,,是常数(1,1)yx,

,,,0?当时函数的图像都过原点; (0,0)yx,

,,,1?当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如); cyx,2

,?当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如c) ,,2,3yx,1

1,,,?当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如c) yx,32

,,,,1?当c时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线(如) (0,0)yx,43、重难点问题探析:幂函数性质的拓展

,,,0当时，幂函数有下列性质: yx,

(1)图象都通过点(0,0)，; (1,1)

(2)在第一象限内都是增函数;

,,110,,,(3)在第一象限内，时，图象是向下凸的;时，图象是向上凸的; (4)在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

,0,,当时，幂函数有下列性质: yx,

(1,1)(1)图象都通过点;

(2)在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的;

(3)在第一象限内，图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近; yx

(4)在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。 ,(1,1)

,无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 ,yx,

(二)考点分析

考点1:利用幂函数的单调性比较大小

,1,,,,,,0例1(已知，试比较的大小; ,0.2,2,,2,,

1,,,2，例2(已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上( gx()fx()(22)，,,4,,

问当x为何值时有:(,);(,);(,)( fxgx()(),fxgx()(),fxgx()(),

函数图象

(一)知识梳理

1(函数图象

(1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤:?确定函数的定义域;?化简函数的解析式;?讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);?描点连线，画出函数的图象。

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点

(2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;

?平移变换:

?、水平平移:函数的图像可以把函数的图像沿x轴方向向左或向右yfxa,，()yfx,()(0)a,(0)a,平移||a个单位即可得到;

左移h右移h

,,1)y=f(x)y=f(x+h);2)y=f(x) y=f(x,h);

x?、竖直平移:函数yfxa,，()的图像可以把函数yfx,()的图像沿轴方向向上(0)a,或向下(0)a,

||a平移个单位即可得到;

上移h下移h新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞,,wxckt@126.com1)y=f(x) y=f(x)+h;2)y=f(x) y=f(x),h。

?对称变换:

?、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到; yyfx,,()yfx,()

y轴

,y=f(x) y=f(,x) ?、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到; xyfx,,()yfx,()

x轴

,y=f(x) y= ,f(x) ?、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到; yfx,,,()yfx,()

原点

,y=f(x) y= ,f(,x) ?、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。 yx,x,f(y)yfx,()

直线y,x

,y=f(x) x=f(y) ?、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到; x,ay,f(2a,x)yfx,()

直线x,a

,y=f(2a,x)。 y=f(x)

?翻折变换:

?、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴xxxxyfx,|()|yfx,()

下方部分，并保留的轴上方部分即可得到; xyfx,()

yyy=f(x)y=|f(x)|

oxoxacabcb

yyy?、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并yfx,(||)yfx,()

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.comy保留在轴右边部分即可得到 yfx,()

yyy=f(x)y=f(|x|)

oxoxacabcb ?伸缩变换:

?、函数yafx,()(0)a,yfx,()(1)a,的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或

01,,aa压缩()为原来的倍得到;

y，a

,y=f(x)y=af(x)

?、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或yfax,()(0)a,yfx,()(1)a,

101,,a压缩()为原来的倍得到。 a

x，a新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com,f(x)y=f(x)y=f() ax

(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

(二)考点分析

例1((08江苏理14)

3设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ,,x,,1,1af(x),0fxaxxxR()31(),,，,

点评:该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系;

例2((2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶(甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示)(那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 ( ) vv和tt和乙01甲

A. 在时刻，甲车在乙车前面 t1

B. t时刻后，甲车在乙车后面 1

C. 在t时刻，两车的位置相同 0

D. t时刻后，乙车在甲车前面 0

xx,ee，y,(2). (2009山东卷理)函数的图像大致为 ( ). xx,ee,

yyy y

1 1 11 x O O11xO1 xOx 1

D

B A C

例3(已知函数满足，且当y,f(x)(x,R)f(x，1),f(x,1)y

1 2时，，则与的图象的y,logx,,x,,1,1y,f(x)f(x),x5

x 交点个数为 ( ) -1 O 5 1 A、2 B、3 C、4 D、5

x[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x?[0,1]时，f(x)=2-1,则

f()= . log61

2

例4((2009江西卷文)如图所示，一质点在平面上沿曲线运动， Pxy(,)xOy

速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象 xQx(,0)VVt,()大致为 ( )

Vt() Vt()Vt()Vt()

A B C D OtOOtt

Ot

题型3:函数的图象变换

例5((2008全国文，21)

21((本小题满分12分)

32a,R设，函数( f(x),ax,3x

x,2a(?)若是函数y,f(x)的极值点，求的值;

,x,0a(?)若函数gxfxfxx()()()[02],，,，，，在处取得最大值，求的取值范围( 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。

例6((2009四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 xf(x)

5 ，则的值是 ( ) f()xf(x，1),(1，x)f(x)2

15 A. 0 B. C. 1 D. 22

题型4:函数图象应用

例7(函数与的图像如下图:则函数的图像可能是( ) yfx,()ygx,()yfxgx,,()()

yy

y=f(x)y=g(x)

oxox

yyyy

oxoxoxox

CABD

点评:明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。

32例8(已知函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图，求b的范围。

y

xo 21

点评:通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。

题型5:函数图像变换的应用

x||0,a,1例9(已知，方程的实根个数为( ) a,|logx|a

A(2 B(3 C(4 D(2或3或4

点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

2abab,,0例10(设，若，且，则的取值范围是( ) fafb()(),fxx()|2|,,

A( B( C( D( (0,2)(0,2](0,4](0,2)

2点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进y,2,x

2而得到的图像和性质。 fxx()|2|,,

2.10 函数与方程

(一)知识梳理

1(函数零点

概念:对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 xy,f(x)(x,D)f(x),0y,f(x)(x,D)

函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交点的y,f(x)f(x),0y,f(x)横坐标。即:方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。 f(x),0y,f(x)y,f(x),,

零点存在性定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，y,f(x)f(a)f(b),0

c那么函数在区间(a,b)内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 y,f(x)c,(a,b)f(c),0

2.二分法

二分法及步骤:

,0[ab]f(a)f(x)对于在区间，上连续不断，且满足?f(b)的函数y,f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(

,f(x)给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:

,0(1)确定区间，，验证?，给定精度; ,[ab]f(a)f(b)

(2)求区间，的中点; x(ab)1

(3)计算: f(x)1

0?若=，则就是函数的零点; f(x)x11

0b?若?<，则令=(此时零点);>

0?若?<，则令=(此时零点);>

(4)判断是否达到精度; ,

b即若，则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4。 a|a,b|,,

(二)考点分析

题型1:方程的根与函数零点

例1((1)方程lgx+x=3的解所在区间为( ) A((0，1) B((1，2) C((2，3) D((3，+?)

(2)设a为常数，试讨论方程的实根的个数。 lg(x,1)，lg(3,x),lg(a,x)

点评:图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解

所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，x0

通过比较其大小进行判断。

例4(若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) y,f(x)

A(若，不存在实数使得; f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0

B(若，存在且只存在一个实数使得;f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0

C(若，有可能存在实数使得; f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0

D(若，有可能不存在实数使得; f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0

xfxfx1.(2009福建文)若函数的零点与gxx,，,422的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 ，，，，，，

2fxx,,41fxx,,(1)A. B. ，，，，

1,,xfxe,,1C. D. fxInx,,，，，，,,2,,

高考函数知识点总结

函数

(一)函数

1(了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.

2(理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。 3(了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4(理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5(理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值. 6(会运用函数图像理解和研究函数的性质.

(二)指数函数

1(了解指数函数模型的实际背景。

2(理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3(理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4(知道指数函数是一类重要的函数模型。

(三)对数函数

1(理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。

2(理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题.

3(知道对数函数是一类重要的函数模型.

4(了解指数函数 与对数函数 互为反函数( )。

(四)幂函数

1(了解幂函数的概念。

2(结合函数 的图像，了解它们的变化情况。

(五)函数与方程

1(了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2(理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. (六)函数模型及其应用

1(了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2(了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

3(能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

一元二次函数定义域区间

定一元二次不等式对应法则义

值域指根式分数指数

数映函指数方程射指数函数的图像和性质数对数方程

函奇偶性数对数的性质性单调性质积、商、幂与

周期性根的对数

对数

反对数恒等式互为反函数的对函和不等式函数图像关系数数

函常用对数数自然对数

对数函数的图像和性质

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.

考试热点:?考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.?函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.?考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

函数概念

(一)知识梳理

1(映射的概念

A、Bf设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的AB

f:A,B元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则 AB

注意:?A中元素必须都有象且唯一;?B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2(函数的概念

(1)函数的定义:

A、Bf设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一ABx

y,f(x),x,A确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 AB

(2)函数的定义域、值域

y,f(x),x,Ay,f(x)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值Axxxy

,,f(x)x,Ay,f(x)叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则

3(函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法

(1)(图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;

(2)(列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;

(3)(解析法:就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4(分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

(二)考点分析

考点1:映射的概念

Byy,,{|0}fxyx:||,,例1((1)，，; AR,

*2ByyyN,,,|0,(2)，，; AxxxN,,,{|2,}fxyxx:22,,,，,,

Axx,,{|0}ByyR,,{|}(3)，，( fxyx:,,,

AB上述三个对应 是到的映射(

A,{1,2,3,4}B,{a,b,c}abcR,,,ABBAAB例2(若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到

的函数有 个

M,,{1,0,1}N,,,{2,1,0,1,2}fN例3(设集合，，如果从M到的映射满足条件:对M中的每个元素与x

fx()fN它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是( )

()A()B()C()D8个 12个 16个 18个 答案:1.(2);2(81,64,81;3. D

考点2:判断两函数是否为同一个函数

例1( 试判断以下各组函数是否表示同一函数,

233f(x),xg(x),x(1)，;

1x,0,x,f(x),(2)，g(x), ,x,1x,0;,

*21nn，，122n,12n,1f(x),x(3)，(n?N); g(x),(x)

2g(x),x，x)，; (4f(x),xx，1

22(5)，f(x),x,2x,1g(t),t,2t,1

[答案](1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数

考点3:求函数解析式

方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法;

f[g(x)](2)若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法;

f(x)(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2f(x)f(x)例1(已知二次函数满足，求f(2x，1),4x,6x，5(三种方法)

21，x1,xf(x)例2((09湖北改编)已知=，则的解析式可取为 f()21，x1,x

题型2:求抽象函数解析式

1f(x)f(x)例1(已知函数满足，求 f(x)，2f(),3xx

考点4:求函数的定义域

题型1:求有解析式的函数的定义域

(1)方法总结:如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注x意:? 分母不能为0;? 对数的真数必须为正;? 偶次根式中被开方数应为非负数;? 零指数幂中，底数不等于

0;? 负分数指数幂中，底数应大于0;? 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集;? 如

果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际

问题的定义域不要漏写。

122f(x),例1.(08年湖北)函数的定义域为( ) ln(x,3x，2，,x,3x，4)x

(,,,,4):[2,，,)(,4,0):(0,1)[,,4,0):(0,1][,,4,0):(0,1)A.;B.;C. ;D.

D答案:

题型2:求复合函数和抽象函数的定义域

2，xx2,,,,fx,lg例1((2007?湖北)设，则的定义域为( ) ，，f，f,,,,2,x2x,,,,

A. ;B. ;C. ;D. ，，，，，，，，，，，，，，，，,4,0:0,4,4,,1:1,4,2,,1:1,2,4,,2:2,4答案:B.

y,f(x)[a，b]y,f(x，2)例2(已知函数的定义域为，求的定义域

y,f(x，2)[a，b]y,f(x)例3(已知的定义域是，求函数的定义域

yfx,,(21)yfx,，(21)例4(已知的定义域是(-2，0)，求的定义域(-3<><-1) 考点5:求函数的值域="">

1( 求值域的几种常用方法

(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，

222如求函数，可变为解决 y,,sinx,2cosx，4y,,sinx,2cosx，4,(cosx,1)，2(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

22u,,x，2x，3如函数y,log(,x，2x，3)就是利用函数y,logu和的值域来求。 1122

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。

2x，13,133，13y,[,]如求函数的值域 222x,2x，2

2cosx,3(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域，因为 y,cosx，1

3x(5)利用基本不等式求值域: 如求函数y,的值域 2x，4

42(6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数的值域 y,2x,x，2(x,[,1,2])(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

32x,,[3,3](8)导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。(,48) fxxxx()2440,，,

m(9)对勾函数法 像y=x+，(m>0)的函数，m<0就是单调函数了>

4三种模型:(1)如，求(1)单调区间(2)x的范围[3,5]，求值域(3)x [-1,0 )(0,4],求值域 yx,，,,x

4 (2)如 0或x4) 求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x,,yx,，x，4，

1(3)如 ， (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间 yx,，2x,3

函数的单调性

(一)知识梳理

1、函数的单调性定义:

I,Ay,f(x)设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有AIxxx,x1212

y,f(x)y,f(x)，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间;如果对于区间IIIf(x),f(x)12

y,f(x)内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，IIxxx,xf(x),f(x)121212

y,f(x)称为的单调减区间。

,y,f(x)f(x),0f(x)如果用导数的语言来，那就是:设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数;II

,f(x),0f(x)如果在某区间上，那么为区间上的减函数; II

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:

,fx()0,(1)?定义法(取值――作差――变形――定号);?导数法(在区间内，若总有，则(,)abfx()

,fx()0,为增函数;反之，若在区间内为增函数，则， fx()(,)ab

bb,0)(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图yaxa,，,(0x

bbbb(,],[,),,,，,[,0),(0,],象和单调性在解题中的运用:增区间为，减区间为. aaaa

(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减

f(x)g(x)f(x)，g(x)(4)若与在定义域内都是增函数(减函数)，那么在其公共定义域内是增函数(减

函数)。

3、单调性的说明:

(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的，有三个特征:一是任意性;二是大小，即;三是同属于xxx,x(x,x)121212

一个单调区间，三者缺一不可;

1(,,,0)(0,，,)(3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内y,x

1(,,,0):(0,，,)都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数y,的单调递x

(,,,0)(0,，,)减区间为和。

4、函数的最大(小)值

x,Ay,f(x)设函数的定义域为A，使得对于任意，有恒成立，那么称如果存在定值x,Af(x),f(x)，00

x,Ay,f(x)为的最大值;如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称f(x)x,Af(x),f(x)000

y,f(x)为的最小值。 f(x)0

(二)考点分析

考点1 函数的单调性

题型1:讨论函数的单调性

2例1((1)求函数的单调区间; yxx,,，log(32)0.7

22gx()(2)已知若试确定的单调区间和单调性( fxxx()82,,，,gxfx()(2),,

(2,),，,(,1),,解:(1)单调增区间为:单调减区间为，

422223,,,，，xx28(2)，， gxxx()82(2)(2),，,,,gxxx()44,,，

,,gx()0,gx()0,x,,101,,xx,1,,,10x 令 ，得或，令 ，或

(,1),(0,1),,,(1,),(1,0)，,,?单调增区间为;单调减区间为(

2x,1例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.

解: 函数的定义域为{x|x?-1或x?1},

2x,1则f(x)= ,

可分解成两个简单函数.

2f(x)= =x-1的形式.当x?1时，u(x)为增函数，为增函数. u(x),u(x)u(x)

2x,1?f(x)=在,1，+?)上为增函数.当x?-1时，u(x)为减函数，为减函数， u(x)

2x,1?f(x)=在(-?,-1,上为减函数.

题型2:研究抽象函数的单调性

fx()x,0例1(已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且xx,fxxfxfx()()(),,，121212

fxf()0,(2)1,,x,1当时，

2fx()fx()(0,)，,(1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式( fx(21)2,,

ff(1)2(1),f(1)0,f(1)0,,解:(1)令，得，?，令，得?， xx,,1xx,,,11212fxfxffxfx()(1)(1)()(),,,,,,，,fx()?，?是偶函数( (2)设，则 xx,,021

xxx222fxfxfxfx()()()(),,,,,，,,fxffxf()()()() 112111xxx111

xx22,1f(),0?，?，?，即，? xx,,0fxfx()()0,,fxfx()(),212121xx11

fx()(0,)，,?在上是增函数(

？f(2)1,fff(4)(2)(2)2,，,3)，?， (

22fx()?是偶函数?不等式可化为， fx(21)2,,fxf(|21|)(4),,

10102(0,)，,,,,x又?函数在上是增函数，?，解得:， |21|4x,,22

1010(,),即不等式的解集为( 22

题型3:函数的单调性的应用

2例1(若函数 在区间(,?，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答:f(x),x，2(a,1)x，2aa,,3));

ax，11,，,2,例2(已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____(答:); a(,)，,fx(),，，2x，2

考点2 函数的值域(最值)的求法

求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:

先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分

子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。(4)导数法:当函数比较复杂时，一般采用此法(5)数形

结合法:画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1:求分式函数的最值

2x，2x，a1f(x),,x,[1,，,).f(x)例1((2007上海)已知函数当时，求函数的最小值。 a,x2

111f(x),x，，2,f'(x),1,[解析]当时， a,222x2x

,x,1f(x),0f(x)[1,，,)，。在区间上为增函数。 ？？？

7f(x)[1,，,)f(1),在区间上的最小值为。 ？2

题型2:利用函数的最值求参数的取值范围

2x，2x，af(x),,x,[1,，,).xfx,，,,[1,),()0例2((2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的ax

取值范围。

2x，2x，a2x，2x，a,0[1,，,)[1,，,)f(x),,0 [解析]在区间上恒成立;在区间上恒成立;？？x

22x，2x,,a,a,3[1,，,)[1,，,)在区间上恒成立;函数在区间上的最小值为3， 即y,x，2x？？？a,,3

函数的奇偶性

(一)知识梳理

f(x)f(,x),,f(x)1、函数的奇偶性的定义:?对于函数的定义域内任意一个，都有〔或xf(,x)，f(x),0f(x)f(x)〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。?对于函数的定义域内任意一

f(,x),f(x)f(,x),f(x),0f(x)，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。 个xy?通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)

2.函数的奇偶性的判断:

fxfx()(),,,(1)可以利用奇偶函数的定义判断

fx(),fxfx()()0,,,fx()0,(2)利用定义的等价形式, ，,,(1) fx()

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称 y

3(函数奇偶性的性质:

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

fx()f(0)0,f(0)0,(2)若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条fx()件。

(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。

fxfx()(),,fxfx()()，,如设是定义域为R的任一函数， ，。 Gx(),f(x)Fx(),22

(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶，内奇同外”.

fx()gx()(5)设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=DD,，12

偶，偶偶=偶，奇偶=奇( ，，

(二)考点分析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用

题型1:判断有解析式的函数的奇偶性

例1( 判断下列函数的奇偶性:

1，x(1)f(x)=|x+1|,|x,1|;(2)f(x)=(x,1)?; 1,x

2x(1,x)(x,0),,1,x(3);(4)f(x), f(x),,x(1，x)(x,0).|x，2|,2,

题型2:证明抽象函数的奇偶性

x，y(,1,1)x,y,(,1,1)f(x)，f(y),f()例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足:对任意的，都有. 1，xy求证f (x)为奇函数;

0，0 [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = ? f (0) = 0 f(),f(0)1，0

x,x令x?(,1, 1) ?,x?(,1, 1)? f (x) + f (,x) = f () = f (0) = 0 21,x

? f (,x) =,f (x)? f (x) 在(,1，1)上为奇函数

f(x)a,bf(a，b),f(a)，f(b)f(x)x,R例2((1)函数，，若对于任意实数，都有，求证:为奇函数。

f(x)(,l,l)f(x)，f(,x)f(x),f(,x)(2)设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

f(x)(,2,2)f(m,1)，f(2m,1),0例1(已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 m

f(x)(,2,2)(,2,2)fxfx,,, [解析] 是定义在上奇函数对任意有 x,？？，，，，

f(m,1)，f(2m,1),0fmfm(1)(21),,,,fm(12),由条件得=

12f(x)(,2,2),,,,,,21212mm是定义在上减函数，解得 ？？,,,m23

12实数的取值范围是m？,,,m23

f(x)x,y,Rf(x，y),f(x)，f(y)f(x),0f(1),,2x,0(设函数对于任意的，都有，且时, 例2

f(x)(1)求证是奇函数;

f(x),3,x,3(2)试问当时，是否有最值,如果有，求出最值;如果没有，说出理由。

22例3(设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,?,0)内单调递增，f(2a+a+1)<>

21a,3a，1值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 2

[解析]设0<><><><0，?f(x)在区间(,?,0)内单调递增，>

?f(,x)

?f(x)

17122222 又2a，a，1,2(a，)，,0,3a,2a，1,3(a,)，,0.48332222由f(2a+a+1)3a,2a+1.解之，得0

5322又a,3a+1=(a,),. 24

213a,3a，1?函数y=()的单调减区间是 [,)，,22

233a,3a，1结合0

函数的周期性

(一)知识梳理

f(x)1(函数的周期性的定义:对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足Txf(x，T),f(x)f(x)，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 T

2(周期性的性质

yfx,()xaxbab,,,,()yfx,()(1)若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为Tab,,2||;

yfx,()AaBbab(,0),(,0)(),yfx,()(2)若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为Tab,,2||;

(3)如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期yfx,()Aa(,0)xbab,,()yfx,()

Tab,,4||函数，且一周期为;

(4)?若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|;?函数满足，则是周期为2的周期函数; ，，，，a,fx,fa，xfx()fx()

11Ta,2Ta,2fxaa()(0)，,,fxaa()(0)，,,,?若恒成立，则;?若恒成立，则. fx()fx()

(二)考点分析

考点2函数的周期性

33f(x)例1(设函数是定义域R上的奇函数，对任意实数有成立 f(，x),,f(,x)x22

y,f(x)(1)证明:是周期函数，并指出周期;

f(1),2f(2)，f(3)(2)若，求的值

考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用

xR,fx()fxfx(2)()1，,,fx()0, 例1 .(09年江苏题改编)定义在R上的偶函数满足对于恒成立，且，

f(119),则 ________ 。

1fxfx(2)()1，,,f(x，4),f(x)f(x)f(x，2), [解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，f(x)

1f(119),f(4，29，3),f(3)从而，又由已知等式得 f(3),f(1)

fx()f(1),f(,1)x,,1f(1),f(,1),1f(1),1又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以R

f(119),1

f(x)f(x，2),,f(x)(已知函数的定义域为，且满足 例2R

f(x)(1)求证:是周期函数;

11f(x)(2)若为奇函数，且当0,x,1时，，求使在上的所有的个数。 f(x),xf(x),,xx,,0,200922

2.5 二次函数

(一)知识梳理

1(二次函数的解析式的三种形式:

2(1)一般式:f(x)=ax+bx+c(a?0)。

2(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解):f(x)=a(x-x)(x-x),其中x,x是抛物线与x轴两交点的坐标。 1212

2bac,b4,b2,(,)2(二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴x,，顶点坐标 aa242a

b,bb(1)a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，x,时，(,,,,][,,，,)2a2a2a

24acb,f(x),; min4a

b,bb(2)a<>

24acb,f(x),。 max4a

22,,b,4ac,03(二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)当时图象与x轴有两个交点M(x,0),M(x,0) 1122

,2MM,x,x,x，x,xx,()4。 12121212a

24( 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论:

2令f(x)=ax+bx+c (a>0) ，

,,0,,0,,

,,,,(1)x<><α ,则ba;="" (2)x="">α,x>α,则ba ,/(2),,/(2),1212,,

,,afaf(,),0(,),0,,

,,0,,,0,,,f(),0,,,(3)α<><><><,,则><α,x>, (α<,),则f>

f(,)f，,),0(5)若f(x)=0在区间(α,,)内只有一个实根，则有

2新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com5 最值问题:二次函数f(x)=ax+bx+c在区间[α,,]上的最值一般分为三种情况讨论，即:(1)对称轴,b/(2a)在

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com区间左边，函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴,b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com符号对抛物线开口的影响

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:

222,,0,?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴无交点ax+bx+c=0无实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或者是r; ,,,222,,0,?f(x)="ax+bx+c的图像与x轴相切ax+bx+c=0有两个相等的实根ax+bx+c">0(<0)的解集为或,,,者是r;>

222,,0?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax+bx+c=0有两个不等的实根ax+bx+c>0(<>

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com(,),,(),,,(,)(,),,，,,,:的解集为或者是

(二)考点分析

考点1(求二次函数的解析式

例1(已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。 法一:利用一般式

,a,,44a，2b，c,,1,,,,22设f(x)=ax+bx+c(a?0)，由题意得:解得: ?f(x)= - 4x+4x+7 a,b，c,,1b,4,,24ac,b,,c,7,8,,4a,

法二:利用顶点式

2，(,1)1x,,?f(2)= f(-1) ?对称轴 又最大值是8 22

11222?可设，由f(2)= -1可得a= - 4 f(x),a(x,)，8(a,0)？f(x),,4(x,)，8,,4x，4x，7222法三:由已知f(x)+1=0的两根为x=2,x=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax-ax-2a-1,又12

24a(,2a,1),a2y,8即,8得a= - 4或a=0(舍) ?f(x)= - 4x+4x+7 max4a

(0,1),例2(已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式( 4xx,,2

2fx()解:?二次函数的对称轴为，设所求函数为，又?截轴上的弦长为，4fxaxb()(2),，，xx,,2

fx()fx()(0,1),?过点，又过点， (22,0),，

1,40ab，,a,,,?， ， 2,,21ab，,,,,b,,2,

12? fxx()(2)2,，,2

考点2(二次函数在区间上的最值问题

2例1(已知函数f(x)= - x+2ax+1-a在0?x?1时有最大值2，求a的值。

思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论

22解:f(x)= -(x-a)+a-a+1(0?x?1),对称轴x=a 0 1a<>

yyy

a1a010xax10x

1,50 2f(x),f(a),a,a，1,2得a,(舍)20?a?1时 max20 3a>1时， f(x),f(1),a,2？a,2max

综上所述:a= - 1或a=2

2例2(已知y=f(x)=x-2x+3,当x?[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

22答案:t,1时,y,t，2,y,t,2t，3 maxmin

12 ,t,1时,y,t，2,y,2maxmin2

12 0,t,时,y,t,2t，3,y,2maxmin2

22t,0时,y,t,2t，3,y,t，2 maxmin

a12例3(已知函数的最大值为2，求的值 ( ayxax,,，,，sinsin42

tx,sin分析:令，问题就转二次函数的区间最值问题(

t,,[1,1]tx,sin解:令，，

aa122?，对称轴为t,， ytaa,,,，,，()(2)224

a12,,,22aa,,2a,3(1)当，即时，，得或(舍去)( ,,,11yaa,,，,(2)2max24

aa122[1,1],2)当，即a,2时，函数在单调递增， (,1ytaa,,,，,，()(2)224

1110由，得( a,yaa,,，,，,12max342

aa122[1,1],3)当，即a,,2时，函数在单调递减， (,,1ytaa,,,，,，()(2)224

11由a,,2，得(舍去)( yaa,,,,，,12max42

10a,,2综上可得:的值为或( aa,3

考点3(一元二次方程根的分布及取值范围

2例1(已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围。 (2)若方程两根在区间(0，1)内，求m的范围。

b思维分析:一般需从三个方面考虑?判别式Δ?区间端点函数值的正负?对称轴x,,与区间相对位置。 2a2解:设f(x)=x+2mx+2m+1 y

(1)由题意画出示意图

f(0),2m，1,0,51,,f(,1),2,0,,,m,, 021x,-1y62,f(1)6m，5,0,

,,0,

,f(0),01,,,,,m,1,2 (2) 01x,f(1),02,

,0,,m,1,

32练习:方程在(- 1，1)上有实根，求k的取值范围。 x,x,k2

3952宜采用函数思想，求的值域。 f(x),x,x(,1,x,1)k,[,,)16222【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主

要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式(组)求解。

22例2( 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围( fxxaxa()(21)2,,,，,xa

22解法一:由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为 xxaxa,,，,,(21)20xx,12

,,0,9,则或，得( xx,0xx,0,,,2a,12124,xx，,012,

f(0)0,,

,9,,(21)a,f(0)0,解法二:由题知或，得( ,,0,,,2a,24,

,,0,,

指数与指数函数

(一)知识梳理

1(指数运算

mm,0rsrs，nrsrsm1nna,1aaa,,(0,)arsQ,,、(0,)arsQ,,、;;;;a,()aa,aa,;mna

rrs(0,)arsQ,,、 ()abab,

xxy,ay,aaa,,0,1a,12.指数函数:()，定义域R，值域为(0,，,).??当，指数函数:在定

xxy,a01,,aa,1义域上为增函数;?当，指数函数:在定义域上为减函数.?当时，的值y,aa

01,,a越大，越靠近y轴;当时，则相反.

(二)考点分析

mnmn0.20.2,22,例1(已知下列不等式，比较，的大小:(1) (2) mn

111ba变式1:设，那么 ( ) ,,,()()1222

aaaabbA.a,a,b B.a, b,a

baabaaC.a,a,b D.a,b,a

x例2(函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为( ) ya,a

11A( B.2 C.4 D. 24

xy,f(x)a,0a,1例3(已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称，记y,xy,a

1g(x),f(x)[f(x)，2f(2),1]y,g(x)(若在区间上是增函数，则实数的取值范围是( ) [,2]a2

11[2,，,)(0,1):(1,2) A( B( C( D( [,1)(0,]22

对数与对数函数

(一)知识梳理

1(对数运算:

Mn;;;loglogMnM,log()loglogMNMN,,，logloglog,,MNaaaaaaaaN

logN1logNnba换底公式:logN,;;; MM,推论:logloglog1bca,,,aN,loglogaabcaaloganb

ba,N2(对数函数:如果()的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作bbNNaaaa,,0,1

NlogN,b(，负数和零没有对数);其中叫底数，叫真数. aa,,0,1aa

y,logxa,101,,a当时，的值越大，越靠近轴;当时，则相反. axa

(二)考点分析

a,1)例1(已知函数，，且 fxx()log(1),，gxxa()log(1)(0,,,aa

fxgx()()，) 求函数(1定义域

fxgx()()，(2) 判断函数的奇偶性，并说明理由.

(31)4,1axax,，,,(,),,，,例2(已知是上的减函数，那么的取值范围是 fx(),a,log,1xx,a,

1111(0,1)A. B. C. D. (0,)[,)[,1)7337

3a,1)例3(若，且，求实数的取值范围. ,,aalog1(0a4

21，alog,0变式1:若，则的取值范围是 ( ) aa21，a

111(1,，,)A( B( C( D( (,，,)(,1)(0,)222

幂函数

(一)知识梳理1、幂函数的概念

,()xR,一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 yx,x,2、幂函数的图像及性质

123,1 yx, yx,yx,yx,2 yx,

R R R 定义域

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限在第?象限

的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减

,幂函数 的图像在第一象限的分布规律是: yx,(,)xR,,是常数

,(1,1)?所有幂函数 的图像都过点; yx,(,)xR,,是常数

,(0,0),,0?当时函数的图像都过原点; yx,

,,,1?当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如); cyx,2

,,,2,3?当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如) cyx,1

1,?当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如) ,,cyx,32

,(0,0),,,1?当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线(如) cyx,43、重难点问题探析:幂函数性质的拓展

,,,0当时，幂函数有下列性质: yx,

(0,0)(1,1)(1)图象都通过点，;

(2)在第一象限内都是增函数;

,,110,,,(3)在第一象限内，时，图象是向下凸的;时，图象是向上凸的;

(1,1)(4)在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。

,0,,当时，幂函数有下列性质: yx,

(1,1)(1)图象都通过点;

(2)在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的;

(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近; x

(1,1),(4)在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。

,无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 ,yx,

(二)考点分析

考点1:利用幂函数的单调性比较大小

,1,,,,,,0例1(已知，试比较的大小; ,0.2,2,,2,,

1,,fx()gx()例2(已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上( (22)，,2，,,4,,

fxgx()(),fxgx()(),fxgx()(), 问当x为何值时有:(,);(,);(,)(

函数图象

(一)知识梳理

1(函数图象

(1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤:?确定函数的定义域;?化简函数的解析式;?讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);?描点连线，画出函数的图象。

新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、

新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点

(2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;

?平移变换:

yfxa,，()yfx,()(0)a,(0)a,?、水平平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右x

||a平移个单位即可得到;

左移h右移h

,,1)y=f(x)y=f(x+h);2)y=f(x) y=f(x,h);

yfxa,，()yfx,()(0)a,(0)a,?、竖直平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下x

||a平移个单位即可得到;

上移h下移h新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com,,1)y=f(x) y=f(x)+h;2)y=f(x) y=f(x),h。

?对称变换:

yfx,,()yfx,()y?、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;

y轴

y=f(x) y=f(,x) ,

yfx,,()yfx,()?、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到; x

x轴

,y=f(x) y= ,f(x)

yfx,,,()yfx,()?、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到;

原点

,y=f(x) y= ,f(,x)

x,f(y)yfx,()?、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。 yx,

直线y,x

y=f(x) x=f(y) ,

y,f(2a,x)yfx,()?、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到; x,a直线x,a

,y=f(x) y=f(2a,x)。

?翻折变换:

yfx,|()|yfx,()?、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴xxxx

yfx,()下方部分，并保留的轴上方部分即可得到; x

yyy=f(x)y=|f(x)|

oxoxacabcb

yfx,(||)yfx,()yyy?、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并

新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.comyfx,()保留y在轴右边部分即可得到

yyy=f(x)y=f(|x|)

oxoxacabcb

?伸缩变换:

yafx,()(0)a,yfx,()(1)a,?、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或

01,,a压缩()为原来的倍得到; a

y，a

,y=f(x)y=af(x)

yfax,()(0)a,yfx,()(1)a,?、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或

101,,a压缩()为原来的倍得到。 a

x，a新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com,f(x)y=f(x)y=f() ax(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

(二)考点分析

例1((08江苏理14)

3f(x),0设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 fxaxxxR()31(),,，,ax,,,,1,1

fxx,,1,1,0，则不论取何值，?0显然成立;当x,0 即【解析】本小题考查函数单调性的综合运用(若xa，，,,

313fxaxx,,，31时，?0可化为， a,,，，23xx

312,x，，1131,，，，'gx,10,设，则gx,， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，gx,,，，，，，，,423,,,22xxx，，,，

1,,因此gxg,,4，从而?4; a，，,,max2,,

312,x，，313',1,0fxaxx,,，31a,,0当x,0 即时，?0可化为，gx, ,，，，，，,423xxxgx,1,0gxg,,,14 在区间上单调递增，因此，从而?4，综上,4 aa，，，，，，，,man

【答案】4

点评:该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图

像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系; 例2((2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶(甲车、乙车

的速度曲线分别为(如图2所示)(那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 vv和tt和乙01甲

( )

A. 在时刻，甲车在乙车前面 t1

B. 时刻后，甲车在乙车后面 t1

C. 在时刻，两车的位置相同 t0

D. 时刻后，乙车在甲车前面 t0

答案 A

解析 由图像可知，曲线比在0,、0,与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车ttvvtxt乙001甲1

前面，选A.

xx,ee，(2). (2009山东卷理)函数y,的图像大致为 ( ). xx,ee,

答案 A

yyy 解析 函数有y 意义,需使

xx,1 1 1ee,,0,1

x O 1O1O1 x其定义域为xOx 1 ,排,,x|x,0

D 除C,D,又因为B A C

xxx,2eee，，12y,,,，1xxxx,22eeee,,,11

x,0,所以当时函数为减函数,故选A .

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

2y,f(x)(x,R)f(x，1),f(x,1)y,f(x)例3(已知函数满足，且当时，，则与f(x),xx,,,,1,1

的图象的交点个数为 ( ) y,logx5

A、2 B、3 C、4 D、5

f(x，1),f(x,1)y,f(x)解析:由知函数的周期为2，y

1 作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,logx=1; 5

当x>5时，f(x)=1?[0，1]， x

-1 O 5 1 y,f(x)logx>1, 与的图象不再y,logx有交点，故选55

C

[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足

xlog6f(x+1)= -f(x)，若当x?[0,1]时，f(x)=2-1,则f()= . 12

Pxy(,)xOy例4((2009江西卷文)如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，

Qx(,0)VVt,()速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象 x

大致为 ( )

Vt() Vt()Vt()Vt()

A B C D OtOtOt

Ot

答案 B

Pxy(,)Qx(,0)在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再解析 由图可知，当质点

Pxy(,)Pxy(,)到0，到正，故A错误;质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误;质点在开始时沿D

Qx(,0)C直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选B.

题型3:函数的图象变换

例5((2008全国文，21)

21((本小题满分12分)

32a,R设，函数( f(x),ax,3x

y,f(x)x,2(?)若是函数的极值点，求的值; a

,gxfxfxx()()()[02],，,，，x,0(?)若函数，在处取得最大值，求的取值范围( a解:

2,(?)( fxaxxxax()363(2),,,,

,yfx,()f(2)0,6(22)0a,,x,2a,1因为是函数的极值点，所以，即，因此(

yfx,()a,1x,2经验证，当时，是函数的极值点( ??????????????????????????????????????????????????? 4分

3222(?)由题设，( gxaxxaxxaxxxx()336(3)3(2),,，,,，,，

gx()[02]，g(0)当在区间上的最大值为时，

， gg(0)(2)?

02024?a,即(

6故得( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ?a5

6x,[02]，反之，当时，对任意， ?a5

62 ?gxxxxx()(3)3(2)，,，5

3x2 ,，,(210)xx5

3x ,，,(25)(2)xx5

?0，

g(0)0,gx()[02]，g(0)而，故在区间上的最大值为(

6,，综上，的取值范围为,,，( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 a,,5,，

点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。

f(x)例6((2009四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 x

5xf(x，1),(1，x)f(x) ，则的值是 ( ) f()2

15 A. 0 B. C. 1 D. 22答案 A

1，x1解析 若?0，则有，取，则有: x,,xf(x，1),f(x)2x

11,111112f(),f(,，1),f(,),,f(,),,f()f(x) (?是偶函数，则 122222,2

111 )由此得于是 f(,),f()f(),0222

311，1，533535151122f(),f(，1),f(),f(),f(，1),[]f(),5f(),0 312223232322

22

题型4:函数图象应用

yfx,()ygx,()yfxgx,,()()例7(函数与的图像如下图:则函数的图像可能是( )

yy

y=f(x)y=g(x)

oxox

yyyy

oxoxoxox

C ABD

yfxgx,,()()yfx,()ygx,()(,0)(0,),,，,:的定义域是函数与的定义域的交集，图解析:?函数

像不经过坐标原点，故可以排除C、D。

fx()0,gx()0,fxgx()()0,,由于当x为很小的正数时且，故。?选A。

点评:明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。

32例8(已知函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图，求b的范围。 y解法一:观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得

d=0，

又f(x)的图象过(1，0)， xo21?f(x)=a+b+c ?

又有f(,1),0，即,a+b,c,0 ?

?+?得b,0，故b的范围是(,?，0)

解法二:如图f(0)=0有三根0，1，2，

3232?f(x)=ax+bx+cx+d=ax(x,1)(x,2)=ax,3ax+2ax，

?b=,3a，

?当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，

?b,0。

点评:通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型5:函数图像变换的应用

x||0,a,1例9(已知，方程的实根个数为( ) a,|logx|a

A(2 B(3 C(4 D(2或3或4

x|||x|根据函数与方程的关系，知方程a,|logx|的根的个数即为函数与函数的图像交点的个y,ay,|logx|aa数

该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出

1,e0,a,e,1这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个;当a,时，图像的交点个数为416

1个;当a,时，图像的交点个数为2个。选项为D。 2

点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助

函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

2fafb()(),例10(设，若ab,,0，且，则ab的取值范围是( ) fxx()|2|,,

(0,2)(0,2](0,4]A( B( C( D( (0,2)

2解析:保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数y,2,x

2的图像 fxx()|2|,,

fx()通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且ab,,0(,2],,,[2,0],

222222ab,,,,20ab,,,22ab，,4fafb()(),可知，所以，，从而，即，又faa()2,,fbb()2,,

22，所以。选项为A。 02,,ab2||4abab,，,

2点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进y,2,x

2而得到的图像和性质。 fxx()|2|,,

2.10 函数与方程

(一)知识梳理

1(函数零点

y,f(x)(x,D)f(x),0y,f(x)(x,D)概念:对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 x

y,f(x)f(x),0y,f(x)函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的x

f(x),0y,f(x)y,f(x)横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 ,,x

y,f(x)[a,b]f(a)f(b),0零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，

y,f(x)(a,b)c,(a,b)f(c),0那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 c

2.二分法

二分法及步骤:

[ab]f(a)f(b)y,f(x)f(x),0对于在区间，上连续不断，且满足?的函数，通过不断地把函数的零

点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(

f(x)给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: ,

[ab]f(a)f(b),0(1)确定区间，，验证?，给定精度; ,

(ab)(2)求区间，的中点; x1

(3)计算: f(x)1

0?若=，则就是函数的零点; f(x)x11

f(a)0b?若?<，则令=(此时零点);>

f(b)0?若?<，则令=(此时零点);>

(4)判断是否达到精度; ,

|a,b|,,b即若，则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4。 a

(二)考点分析

题型1:方程的根与函数零点

例1((1)方程lgx+x=3的解所在区间为( )

A((0，1) B((1，2) C((2，3) D((3，+?)

lg(x,1)，lg(3,x),lg(a,x)2)设a为常数，试讨论方程的实根的个数。 (

解析: y(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横3

2新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，x01

2x1ox单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于x300

lg2,1，因此,2，从而判定?(2，3)，故本题应选C。 xx00

x,1,0,

,Y3,x,0,(2)原方程等价于 ,4a,x,0y,a,3,(x,1)(3,x),a,x2,

1X2,,,，5,3axx0即 1234,1,x,35,x,2Y(x)=-x^2+5x-32构造函数和，作出y,a它们的图像，易知平行于y,,x，5x,3(1,x,3)???ìμ?óD????μ?í??íμ?ê??é????- http://www.alentum.com/agrapher/

x轴的直线与抛物线的交点情况可得:

13a,1,a,3?当或时，原方程有一解; 4

133,a,?当时，原方程有两解; 4

13a,a,1?当或时，原方程无解 4

点评:图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，x0通过比较其大小进行判断。

y,f(x)例4(若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )

f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0，不存在实数使得; A(若

f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0B(若，存在且只存在一个实数使得;

f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0C(若，有可能存在实数使得;

f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0，有可能不存在实数使得; D(若

f(x),x(x,1)(x，1)[,2,2]解析:由零点存在性定理可知选项D不正确;对于选项B，可通过反例“在区间f(,2)f(2),0{,1,0,1}f(x),(x,1)(x，1)上满足，但其存在三个解”推翻;同时选项A可通过反例“在区

2[,2,2]f(,2)f(2),0{,1,1}[,2,2]间上满足，但其存在两个解”;选项D正确，见实例“在区间f(x),x，1f(,2)f(2),0上满足，但其不存在实数解”

xfxgxx,，,422fx1.(2009福建卷文)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以，，，，，，是

2fxx,,41fxx,,(1) B. A. ，，，，

1,,xfxe,,1C. fxInx,, D. ，，，，,,2,,

答案 A

12xfxx,,41fxx,,(1)fxe,,1的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 解析 ，，，，，，4

131,,xgxx,，,422fxInx,,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)，，，，,,222,,

1xfxgxx,，,422的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有,，，，，2

fxx,,41的零点适合，故选A。 ，，

高考函数知识点总结(学生用

函数

定义域

定义

对应法则值域

区间

一元二次函数一元二次不等式

指数函数

根式分数指数

映射

函数

性质

指数函数的图像和性质

指数方程对数方程

奇偶性

对数的性质

单调性

积、商、幂与

周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数恒等式

对数函数

对数函数的图像和性质

根的对数

和不等式

常用对数自然对数

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为f :A →B ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y =f (x ), x ∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数y =f (x ), x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做y =f (x ) 的定义域；与x 的值相对应的y 值

叫做函数值，函数值的集合{f (x ) x ∈A }称为函数y =f (x ) 的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）A =R ，B ={y |y >0}，f :x →y =|x |；

（2）A ={x |x ≥2, x ∈N *}，B ={y |y ≥0, y ∈N }，f :x →y =x 2-2x +2； （3）A ={x |x >0}，B ={y |y ∈

R }，f :x →y = 上述三个对应 是A 到B 的映射．

例2．若A ={1, 2, 3, 4}，B ={a , b , c }，a , b , c ∈R ，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个

例3．设集合M ={-1, 0,1}，N ={-2, -1, 0,1, 2}，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象f (x ) 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）

(A ) 8个 (B ) 12个 (C ) 16个 (D ) 18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f (x ) =

x

x ，g (x ) =

23

x ；

x ≥0, x <>

3

?1

（2）f (x ) =，g (x ) =?

x ?-1

（3）f (x ) =（4）f (x ) =

2n +1

x

2n +1

2n -1

，g (x ) =(2n -1x ) （n ∈N *）；

x

2

x +1，g (x ) =

2

x +x ；

2

（5）f (x ) =x -2x -1，g (t ) =t -2t -1 考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数f [g (x )]的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f (x )

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数f (x ) 满足f (2x +1) =4x 2-6x +5，求f (x ) （三种方法） 例2．（09湖北改编）已知f (题型2：求抽象函数解析式

例1．已知函数f (x ) 满足f (x ) +2f () =3x ，求f (x )

x 1

1+x 1-x

) =1-x 1+x

22

，则f (x ) 的解析式可取为

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例1. （08年湖北）函数f (x ) =

1x ln(

x -3x +2+

2

-x -3x +4) 的定义域为( )

2

A. (-∞, -4) [2, +∞) ;B. (-4, 0) (0, 1) ；C. [,-4, 0) (0, 1];D. [,-4, 0) (0, 1) 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域 例1．（2007·湖北）设f (x )=lg

2+x 2-x

x ??2?，则f ? ?+f ?的定义域为（ ）

?2?

?x ?

A . (-4, 0) (0, 4)；B . (-4, -1) (1, 4)；C . (-2, -1) (1, 2)；D . (-4, -2) (2, 4)

例2．已知函数y =f (x ) 的定义域为[a ，b ]，求y =f (x +2) 的定义域 例3．已知y =f (x +2) 的定义域是[a ，b ]，求函数y =f (x ) 的定义域 例4．已知y =f (2x -1) 的定义域是（-2，0），求y =f (2x +1) 的定义域 考点5：求函数的值域 1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 如求函数y =-sin

2

x -2cos x +4，可变为y =-sin

2

x -2cos x +4=(cosx -1) +2解决

2

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

如函数y =log

12

(-x +2x +3) 就是利用函数y =log

2

12

2

u 和u =-x +2x +3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数y =

2x +1x -2x +2

2

的值域[

3-

2

3+,

2

]

2cos x -3cos x +1

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数y =（5）利用基本不等式求值域： 如求函数y =

3x x +4

2

的值域，因为

的值域

（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数y =2x 4-x 2+2(x ∈[-1, 2])的值域 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f (x ) =2x 3+4x 2-40x ，x ∈[-3, 3]的最小值。（－48） （9）对勾函数法 像y=x+三种模型：（1）如y =x +

m x 4x

，（m>0）的函数，m<>

，求（1）单调区间（2）x 的范围[3,5]，求值域（3）x ∈ [-1,0 )?(0,4],求值域

4

（2）如 y =x +

x +4，

1x -3

求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）

（3）如 y =2x +

， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间

函数的单调性

（一）知识梳理

1、函数的单调性定义：

设函数y =f (x ) 的定义域为A ，区间I ?A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1

内的任意两个值x 1，x 2，当x 1f (x 2) ，那么就说y =f (x ) 在区间I 上是单调减函数，I 称为y =f (x ) 的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：设函数y =f (x ) ，如果在某区间I 上f '(x ) >0，那么f (x ) 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上f '(x ) <0，那么f (x="" )="" 为区间i="">

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(a , b ) 内，若总有f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；反之，若f (x ) 在区间(a , b ) 内为增函数，则f '(x ) ≥0，

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y =ax +象和单调性在解题中的运用：增区间为(-∞, +∞

) ，减区间为[b x

(a >0, b >0) 型函数的图

（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减

0), .

（4）若f (x ) 与g (x ) 在定义域内都是增函数（减函数），那么f (x ) +g (x ) 在其公共定义域内是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x 1

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y =

1x

分别在(-∞, 0) 和(0, +∞) 内

1x

都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(-∞, 0) (0, +∞) 内是单调递减的，只能说函数y =减区间为(-∞, 0) 和(0, +∞) 。

4、函数的最大（小）值

的单调递

设函数y =f (x ) 的定义域为A ，如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≤f (x 0) 恒成立，那么称

f (x 0) 为y =f (x ) 的最大值；如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为y =f (x ) 的最小值。

（二）考点分析

考点1 函数的单调性 题型1：讨论函数的单调性

2

例1．（1）求函数y =log 0.7(x -3x +2) 的单调区间；

（2）已知f (x ) =8+2x -x , 若g (x ) =f (2-x ) 试确定g (x ) 的单调区间和单调性． 例2. 判断函数f(x)=

x -1

2

22

在定义域上的单调性.

题型2：研究抽象函数的单调性

例1．已知函数f (x ) 的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1, x 2都有f (x 1?x 2) =f (x 1) +f (x 2) ，且当x >1时f (x ) >0, f (2)=1，

（1）求证：f (x ) 是偶函数；（2）f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数；（3）解不等式f (2x -1) <2．>

2

例1．若函数f (x ) =x 2+2(a -1) x +2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______ 例2．已知函数f (x ) =

ax +1x +2

在区间(-2, +∞)上为增函数，则实数a 的取值范围_____

考点2 函数的值域（最值）的求法

求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1：求分式函数的最值 例1．（2007上海）已知函数f (x ) =

x +2x +a

x

2

, x ∈[1, +∞). 当a =

12

时，求函数f (x ) 的最小值。

题型2：利用函数的最值求参数的取值范围 例2．（2008广东）已知函数f (x ) =取值范围。

x +2x +a

x

2

, x ∈[1, +∞). 若对任意x ∈[1,+∞), f (x ) >0恒成立, 试求实数a 的

函数的奇偶性

（一）知识梳理

1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) 〔或，则称f (x ) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数f (x ) 的定义域内任意一f (-x ) +f (x ) =0〕

个x ，都有f (-x ) =f (x ) 〔或f (-x ) -f (x ) =0〕，则称f (x ) 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2. 函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断f (x ) =±f (-x )

f (-x ) f (x )

（2）利用定义的等价形式, f (x ) ±f (-x ) =0，=±1（f (x ) ≠0）

（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称

3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

（2）若奇函数f (x ) 定义域中含有0，则必有f (0)=0. 故f (0)=0是f (x ) 为奇函数的既不充分也不必要条件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

f (x ) -f (-x )

如设f (x ) 是定义域为R 的任一函数， F (x ) =f (x ) +f (-x ) ，G (x ) =。

22

（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．

（二）考点分析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1． 判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·

?x (1-x ) （3）f (x ) =；（4）f (x ) =?

|x +2|-2?x (1+x )

1+x 1-x

；

-x

2

(x <0), (x="">0).

题型2：证明抽象函数的奇偶性

例1 .(09年山东) 定义在区间(-1, 1) 上的函数f (x ) 满足：对任意的x , y ∈(-1, 1) ，都有f (x ) +f (y ) =f (

求证f (x ) 为奇函数；

例2．（1）函数f (x ) ，x ∈R ，若对于任意实数a , b ，都有f (a +b ) =f (a ) +f (b ) ，求证：f (x ) 为奇函数。

（2）设函数f (x ) 定义在(-l , l ) 上，证明f (x ) +f (-x ) 是偶函数，f (x ) -f (-x ) 是奇函数。 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

例1．已知奇函数f (x ) 是定义在(-2, 2) 上的减函数，若f (m -1) +f (2m -1) >0，求实数m 的取值范围。

例2．设函数f (x ) 对于任意的x , y ∈R ，都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，且x >0时f (x ) <0, f="" (1)="-2" （1）求证f="" (x="" )="">

（2）试问当-3≤x ≤3时，f (x ) 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

例3．设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)

12

2

x +y 1+xy

) .

) a

-3a +1

的单调递减区间.

函数的周期性

（一）知识梳理

1．函数的周期性的定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足

f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

2．周期性的性质

（1）若y =f (x ) 图像有两条对称轴x =a , x =b (a ≠b ) ，则y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；

（2）若y =f (x ) 图像有两个对称中心A (a , 0), B (b , 0)(a ≠b ) ，则y =f (x ) 是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；

（3）如果函数y =f (x ) 的图像有一个对称中心A (a , 0) 和一条对称轴x =b (a ≠b ) ，则函数y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =4|a -b |；

（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a |；②函数f (x ) 满足-f (x )=f (a +x )，则f (x ) 是周期为2a 的周期函数；

1f (x )

1f (x )

③若f (x +a ) =(a ≠0) 恒成立，则T =2a ；④若f (x +a ) =-(a ≠0) 恒成立，则T =2a .

（二）考点分析

考点2函数的周期性

例1．设函数f (x ) 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有f (

32

+x ) =-f (

32

-x ) 成立

（1）证明：y =f (x ) 是周期函数，并指出周期； （2）若f (1) =2，求f (2) +f (3) 的值

考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用

例1 . （09年江苏题改编）定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x +2) ?f (x ) =1对于x ∈R 恒成立，且f (x ) >0，

则f (119)= ________ 。

例2．已知函数f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x +2) =-f (x ) （1）求证：f (x ) 是周期函数；

（2）若f (x ) 为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x ) =

12

x ，求使f (x ) =-

12

x 在[0, 2009]上的所有x 的个数。

2.5 二次函数

（一）知识梳理

1．二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式：f(x)=ax+bx+c(a≠0) 。 (2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2), 其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。 2．二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线，对称轴x =

b 2a

22

-b 2a

，顶点坐标(-

b 2a

b 2a

,

4ac -b 4a

2

)

-b 2a

（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在(-∞, -

4ac -b 4a

2

]上单调递减，在[-, +∞) 上单调递增，x =时，

f (x ) min =

；

b 2a

b 2a

-b 2a

（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在(-∞,>

4ac -b 4a

2

]上单调递增，在[-, +∞) 上单调递减，x =时，

f (x ) max =

。

3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 当?=b 2-4ac >0时图象与x 轴有两个交点M 1(x1,0),M 2(x2,0) M 1M

=x 1-x 2=

(x 1+x 2) -4x 1x 2=

2

?a

2

。

4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，

??≥0??≥0??

(1)x1<><α ,则?-b="" 2a="" )=""><α; (2)x1="">α,x2>α,则?-b /(2a ) >α

?af (α) >0?af (α) >0????≥0

??≥0?

??f (α) >0

(3)α<><><><β, 则?=""><α,x2>β (α<β), 则?f="" (α)=""><>

?f (β) <0?f (β)="">0

??α<-b 2a="" )=""><>

(5）若f(x)=0在区间(α,β) 内只有一个实根，则有f (α) f (β) <>

5最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α, β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在

区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边a 的

符号对抛物线开口的影响

6二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

222

①?<0?f(x)=ax+bx+c的图像与x 轴无交点?ax="" +bx+c="0无实根?ax" +bx+c="">0(<>

②?=0?f(x)=ax+bx+c的图像与x 轴相切?ax +bx+c=0有两个相等的实根?ax +bx+c>0(<>

③?>0?f(x)=ax2+bx+c的图像与x 轴有两个不同的交点?ax 2+bx+c=0有两个不等的实根?ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(α, β)=""><β) 或者是(-∞,="" α)="" (β,="">

222

（二）考点分析

考点1．求二次函数的解析式

例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。 法一：利用一般式

?

?a =-4?4a +2b +c =-1

??

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ，由题意得：?a -b +c =-1解得：?b =4 ∴f(x)= - 4x2+4x+7

2

?c =7?4ac -b

=8??4a ?

法二：利用顶点式

∵f(2)= f(-1) ∴对称轴x =∴可设f (x ) =a (x -

12

2

2+(-1)

2

=

12

又最大值是8

12

) +8=-4x +4x +7

2

2

) +8(a <0) ，由f(2)="-1可得a=" -="" 4="" ∴f="" (x="" )="-4(x">

法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1, 又y max =8即

4a (-2a -1) -a

4a

2

=8得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x+4x+7

2

例2

．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,-1) ，求函数的解析式．

解：∵二次函数的对称轴为x =

f (x ) =a (x +∴f (x

) 过点(2, 0) ，f (x ) 又过点(0,-1) ， 1?

?4a +b =0?a =∴?， ?2，

2a +b =-1??b =-2

?

+b ，又∵f (x ) 截x 轴上的弦长为4，

2

∴f (x ) =

12

(x +-2

2

考点2．二次函数在区间上的最值问题

例1．已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值。

例2．已知y=f(x)=x2-2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例3．已知函数y =-sin x +a sin x -

2

a 4

+

12

的最大值为2，求a 的值 ．

考点3．一元二次方程根的分布及取值范围

例1．已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间（0，1）内，求m 的范围。

思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴x =-练习：方程x 2-

32

x =k 在（- 1，1）上有实根，求k 的取值范围。

b 2a

与区间相对位置。

【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax +bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。

例2． 已知函数f (x ) =x 2-(2a -1) x +a 2-2与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．

2

指数与指数函数

（一）知识梳理 1．指数运算

a

m n

=

；

s

a

-

m n

=m

a n

；a

=1

；

a ?a =a

r s r +s

(a >0, r 、s ∈Q ) ；(a ) =a

r s rs

(a >0, r 、s ∈Q )

；

(ab ) =a b (a >0, r 、s ∈Q )

r

r

2. 指数函数：y =a x （a >0, a ≠1），定义域R ，值域为（0, +∞）. ⑴①当a >1，指数函数：y =a x 在定义域上为增函数；②当01时，y =a x 的a 值越大，越靠近y 轴；当0

.

（二）考点分析

例1．已知下列不等式，比较m ，n 的大小：（1）2m <2n><0.2>

a

m

n

1

1b 1a

<()><()><1，那么 （="" ）="">

a

a

a

A.a ＜a b ＜b B.a ＜ b ＜a C.a ＜a ＜b D.a ＜b ＜a

b

a

a

b

b a a

例2．函数y =a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）

A ．

1

24

例3．已知函数y =f (x ) 的图象与函数y =a x （a >0且a ≠1）的图象关于直线y =x 对称，记

g (x ) =f (x )[f (x ) +2f (2) -1]．若y =g (x ) 在区间[

B.2 C.4 D.

1

121

, 2]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

1

A ．[2, +∞) B ．(0, 1) (1, 2) C ．[, 1) D ．(0, ]

22

对数与对数函数

（一）知识梳理

1．对数运算：

log a (M ?N ) =log a M +log a N

；

log a

M N

=log a M -log a N

；

log a M

n

=

n log a M

；

log a

=

1n

log a M ；a

log a N

log a N ==N ；换底公式：

log b N log b a

=N

log a b ?log b c ?log c a =1 ；推论：

2．对数函数：如果a （a >0, a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b

log a N =b

，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作

（a >0, a ≠1，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数.

当a >1时，y =log a x 的a 值越大，越靠近x 轴；当0

（二）考点分析

例1．已知函数f (x ) =log a (x +1) ，g (x ) =log a (1-x )(a >0，且a ≠1)

（1） 求函数f (x ) +g (x ) 定义域

（2） 判断函数f (x ) +g (x ) 的奇偶性，并说明理由.

?(3a -1) x +4a , x ≤1

f (x ) =例2．已知是(-∞, +∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是 ?

log a x , x >1?

A. (0,1) 例3．若log a

34

111B. (0,) C.[, )

733

D. [,1)

7

1

<1(a>0，且a ≠1) ，求实数a 的取值范围.

变式1：若log

1+a

2a

2

1+a

<0，则a 的取值范围是="" （="">

A ．(, +∞)

2

1

B ．(1, +∞) C ．(, 1)

2

1

1

D ．(0, )

2

幂函数

（一）知识梳理1、幂函数的概念

一般地，形如y =x α (x ∈R ) 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数 2

幂函数y =x α (x ∈R , α是常

数) 的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数y =x α (x ∈R , α是常数) 的图像都过点(1,1)； ②当α>0时函数y =x α的图像都过原点(0,0) ；

③当α=1时，y =x α的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c 2）； ④当α=2, 3时，y =x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c 1） ⑤当α=

12

α

时，y =x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c 3）

α

α

⑥当α=-1时，y =x 的的图像不过原点(0,0) ，且在第一象限是“下滑”曲线（如c 4）

3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展

α

当α>0时，幂函数y =x 有下列性质：

（1）图象都通过点(0,0) ，(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，α>1时，图象是向下凸的；1>α>0时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

α

当0>α时，幂函数y =x 有下列性质：

（1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，α越大，图象下落的速度越快。

无论α取任何实数，幂函数y =x α的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

（二）考点分析

考点1：利用幂函数的单调性比较大小

?1?

例1．已知α>0，试比较 ?, 0.2α, 2α的大小；

?2?

α

例2

．已知点在幂函数f (x ) 的图象上，点 -2?，在幂函数g (x ) 的图象上．

?

4?

?1?

问当x 为何值时有：（１）f (x ) >g (x ) ；（２）f (x ) =g (x ) ；（３）f (x )

函数图象

（一）知识梳理

1．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把线连在恰当处

方程、不等式等理论和手段，是一个难点以及确定怎样的变换，这也是个难点

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数y =f (x +a ) 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向左(a >0) 或向右(a <0) 平移|a="">

左移h

1）y =f (x )

右移h

→

y =f (x +h)；2）y =f (x )

→y =f (x -h) ；

Ⅱ、竖直平移：函数y =f (x ) +a 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向上(a >0) 或向下(a <0) 平移|a="">

1）y =f (x ) →

上移h

y =f (x )+h；2）y =f (x )

下移h

→

y =f (x ) -h

②对称变换：

Ⅰ、函数y =f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称即可得到；

y =f (x )

y 轴

→

y =f (-x )

Ⅱ、函数y =-f (x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于x 轴对称即可得到；

y =f (x )

x 轴

→

y = -f (x )

Ⅲ、函数y =-f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于原点对称即可得到；

y =f (x )

原点

→

y = -f (-x )

Ⅳ、函数x =f (y ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称得到。

y =f (x )

直线y =x

→

x =f (y )

Ⅴ、函数y =f (2a -x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线x =a 对称即可得到；

y =f (x )

直线x =a

→

y =f (2a -x ) 。

③翻折变换：

Ⅰ、函数y =|f (x ) |的图像可以将函数y =f (x ) 的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y =f (x ) 的x 轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数y =f (|x |)的图像可以将函数y =f (x ) 的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y =f (x ) 在y 轴右边部分即可得到

④伸缩变换：

Ⅰ、函数y =af (x ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a >1) 或压缩（0

y =f (x ) →y =af (x )

Ⅱ、函数y =f (ax ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a >1) 或压缩（0

1a

y ?a

倍得到。

f (x ) =f (x ) →y =f (ax )

x ?a

（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

（二）考点分析

例1．（08江苏理14）

设函数f (x ) =ax 3-3x +1(x ∈R ) ，若对于任意的x ∈[-1, 1]都有f (x ) ≥0成立，则实数a 的值为

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；

例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是 （ ） A. 在t 1时刻，甲车在乙车前面

B. t 1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t 0时刻，两车的位置相同 D. t 0时刻后，乙车在甲车前面

（2）. (2009山东卷理) 函数y =

e +e e -e

x x

-x -x

的图像大致为 ( ).

D

例3．已知函数y =f (x )(x ∈R ) 满足f (x +1) =f (x -1) ，且当

2

x ∈[-1, 1]时，f (x ) =x ，则y =f (x ) 与y =log

5

x 的图象的

交点个数为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

[巩固]设奇函数f (x ) 的定义域为R ，且对任意实数x 满足f(x+1)= -f(x)，若当x ∈[0,1]时，f(x)=2x -1, 则f(log

例4．（2009江西卷文）如图所示，一质点P (x , y ) 在xOy 平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x , 0) 的运动速度V =V (t ) 的图象

12

6)= .

大致为 ( )

V ((((

题型3：函数的图象变换 例5．（2008全国文，21） 21．（本小题满分12分）

32

设a ∈R ，函数f (x ) =ax -3x ．

（Ⅰ）若x =2是函数y =f (x ) 的极值点，求a 的值；

（Ⅱ）若函数g (x ) =f (x ) +f '(x ) ，x ∈[0，2]，在x =0处取得最大值，求a 的取值范围． 点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。

例6．（2009四川卷文）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 5

xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ，则f () 的值是 ( )

215

A. 0 B. C. 1 D.

22

题型4：函数图象应用

例7．函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像如下图：则函数y =f (x ) ?g (x ) 的图像可能是（ ）

A B C D

点评：明确函数图像在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。

32

例8．已知函数f (x )=ax +bx +cx +d 的图象如图，求b 的范围。

点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。

题型5：函数图像变换的应用

例9．已知0

a

x |的实根个数为（ ）

A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3或4

点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

例10．设f (x ) =|2-x 2|，若a <0，且f (a="" )="f" (b="" )="" ，则ab="" 的取值范围是（="">

A ．(0, 2)

B ．(0, 2] C ．(0, 4] D

．(0,

点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数y =2-x 2的图像和性质，进而得到f (x ) =|2-x 2|的图像和性质。

2.10 函数与方程

（一）知识梳理

1．函数零点

概念：对于函数y =f (x )(x ∈D ) ，把使f (x ) =0成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D ) 的零点。 函数零点的意义：函数y =f (x ) 的零点就是方程f (x ) =0实数根，亦即函数y =f (x ) 的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程f (x ) =0有实数根?函数y =f (x ) 的图象与x 轴有交点?函数y =f (x ) 有零点。

零点存在性定理：如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a ) f (b ) <0，那么函数y =f="" (x="" )="" 在区间(a="" ,="" b="" )="" 内有零点。既存在c="" ∈(a="" ,="" b="" )="" ，使得f="" (c="" )="0，这个c" 也就是方程的根。="" 2.="">

二分法及步骤：

对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a ) ·f (b ) <0的函数y =f="" (x="" )="" ，通过不断地把函数f="" (x="" )="">

给定精度ε，用二分法求函数f (x ) 的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间[a ，b ]，验证f (a ) ·f (b ) <0，给定精度ε； （2）求区间(a="" ，b="" )="" 的中点x="" 1；="" （3）计算f="" (x="" 1)="">

①若f (x 1) =0，则x 1就是函数的零点；

②若f (a ) ·f (x 1) <0，则令b =x="" 1（此时零点x="" 0∈(a="" ,="" x="" 1)="" ）；="" ③若f="" (x="" 1)="" ·f="" (b="" )=""><0，则令a =x="" 1（此时零点x="" 0∈(x="" 1,="" b="" )="" ）；="">

即若|a -b |<ε，则得到零点零点值a （或b="">

（二）考点分析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程lg(x -1) +lg(3-x ) =lg(a -x ) 的实根的个数。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3解

所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x 0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例4．若函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A ．若f (a ) f (b ) >0，不存在实数c ∈(a , b ) 使得f (c ) =0；

B ．若f (a ) f (b ) <0，存在且只存在一个实数c ∈(a="" ,="" b="" )="" 使得f="" (c="" )="">

C ．若f (a ) f (b ) >0，有可能存在实数c ∈(a , b ) 使得f (c ) =0；

D ．若f (a ) f (b ) <0，有可能不存在实数c ∈(a="" ,="" b="" )="" 使得f="" (c="" )="">

1. （2009福建文）若函数f (x )的零点与g (x )=4x +2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25，

A. f (x )=4x -1 B. f (x )=(x -1) 2

C. f (x )=e x -1 D. f (x )=In 1

?x -?

?2?

?

则f (x )可以是

高考复习文科函数知识点总结

函数知识点

一、映射与函数 1、映射 f：A→B 概念

（1）A中元素必须都有象且唯一；

（2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2、函数 f：A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B都是非空数集。函数 y=f(x)是“y是x 的 函数”

这句话的数学表示，其中 x是自变量，y是自变量 x的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，

也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x轴至多有一个公共 点，但与

y轴的公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x。）

（2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的

要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

二、函数的单调性

它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如

下：

1、作差（商）法（定义法） 2、导数法

3、复合函数单调性判别方法（同增异减）

三．函数的奇偶性

⑴偶函数：f(-x)=f(x)

设（a,b）为偶函数上一点，则（-a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：y=x2+1在[1,-1)上不是偶函数. ②满足f(-x)=f(x)，或f(-x)-f(x)=0，若f(x)≠0时， ⑵奇函数：f(-x)=-f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则（-a,-b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：y=x3在[1,-1)上不是奇函数. ②满足f(-x)=-f(x)，或f(-x)+f(x)=0，若f(x)≠0时，

f(x)

=-1 f(-x)

f(x)

=1. f(-x)

※四．函数的变换

)?y=f(-：将函数x)y=f(x)的图象关于y轴对称得到的新的图像 ①y=f(x

就是y=f(-x)的图像；

?

②y=f(x)?y=-f(x)：将函数y=f(x)的图象关于x轴对称得到的新的图像就是y=-f(x)的图像；

?

③y=f(x)?y=|f(x)|：将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是

y=|f(x)|的图像；

?

)?y=f(|x|)y=f(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，函数 ④y=f(x：将函数

y=f(x)的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数y=f(x)的图象在

y轴右侧的部分得到的新的图像就是y=f(|x|)的图像

.

?

注：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴； （2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

a+b

是f(x)的对称轴. 2

五、指数函数与对数函数的图像和性质

一．指数函数

（一） 指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的

*

n次方根，其中n>1，且n∈N．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0=0。 当n是奇数时，an=a，当n是偶数时，

?a(a≥0)n a=|a|=?

-a(a<>

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a=am(a>0,m,n∈N*,n>1)a

-mn

mn

=

1

mn

=

1

a

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rrr+s

（1）a〃a=a (a>0,r,s∈R)；

rsrs(a)=a （2） (a>0,r,s∈R)；

am

(a>0,m,n∈N*,n>1)

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)=ax(a>0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x∈R；

（3）对于指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，总有f(1)=a； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果ax=N(a>0,a≠1)，那么

数x叫做以记作：x=logaN（a— 底．a为底．．N的对数，数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a>0，且a≠1； ○2 ax=N?logaN=x；

○3 注意对数的书写格式．logaN 两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○2 自然对数：以无理数e=2.71828 为底的对数

的对数lnN．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

对数 （二）对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

1 loga(M〃N)=logaM＋logaN； ○

M

2 loga=logaM－logaN； ○

N

3 logaMn=nlogaM (n∈R)． ○

注意：换底公式

logcb

logab=（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；

logca

b>0）．

利用换底公式推导下面的结论

1n

（1）logabn=logab；（2）logab=．

mlogba

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形

m

式定义，注意辨别。如：y=2log2x，y=log5

x

5

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：(a>0，且a≠1)．

六．幂函数的图像及性质

（一）定义：形如y=xa（a是常数）的函数，叫幂函数。 (三)．幂函数的性质：

a>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1) (2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大 a<>

(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小

(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

七．二分法求零点

对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

解方程即要求f(x)的所有零点。 假定f(x)在区间（x，y）上连续，先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<>

若f[(a+b)/2]=0，该点就是零点；

若f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b) ，b)内有零点，(a+b)/2="">=a，继续使用中点函数值判断。 若f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，继续使用中点函数值判断。>

高考复习文科函数知识点总结

函数知识点

一.考纲要求

注:ABC 分别代表了解理解掌握

二.知识点

一 、映射与函数

1、映射 f :A → B 概念

(1) A 中元素必须都有象且唯一;

(2) B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。

2、函数 f :A → B 是特殊的映射

(1)、 特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。 函数 y=f(x)是 “ y 是 x 的 函数” 这句话的数学表示, 其中 x 是自变量, y 是自变量 x 的函数, f 是表示对应法则, 它可以是一个解析式,也可以是表格或图象,

也有只能用文字语言叙述 . 由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点,但与

y 轴的公共点可能没有,也可能是任意个。 (即一个 x 只能对应一个 y ,但一个 y 可以对应多个 x 。 )

(2) 、函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决 定作用的

要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则 二者完全相同的函数才是 同一函数 .

二、函数的单调性 它是一个区间概念, 即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。 判断方法如下:

1、作差(商)法(定义法) 2、导数法

3、复合函数单调性判别方法(同增异减)

三.函数的奇偶性

⑴偶函数:) () (x f x f =-

设(b a , )为偶函数上一点,则(b a , -)也是图象上一点 . 偶函数的判定:两个条件同时满足

①定义域一定要关于 y 轴对称,例如:12+=x y 在 ) 1, 1[-上不是偶函数 . ②满足 ) () (x f x f =-,或 0) () (=--x f x f ,若 0) (≠x f 时, 1)

()

(=-x f x f . ⑵奇函数 :) () (x f x f -=-

设(b a , )为奇函数上一点,则(b a --, )也是图象上一点 . 奇函数的判定:两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在 ) 1, 1[-上不是奇函数 . ②满足 ) () (x f x f -=-,或 0) () (=+-x f x f ,若 0) (≠x f 时,

1) ()

(-=-x f x f ※四.函数的变换

① () () y f x y f x =?=-:将函数 () y f x =的图象关于 y 轴对称得到的新的图像

就是 () y f x =-的图像;

?

② () () y f x y f x =?=-:将函数 () y f x =的图象关于 x 轴对称得到的新的图像 就是 () y f x =-的图像;

?

③ () |() |y f x y f x =?=:将函数 () y f x =的图象在 x 轴下方的部分对称到 x 轴 的上方, 连同函数 () y f x =的图象在 x 轴上方的部分得到的新的图像就是 |() |y f x =的图像;

?

④ () (||)y f x y f x =?=:将函数 () y f x =的图象在 y 轴左侧的部分去掉,函数

() y f x =的图象在 y 轴右侧的部分对称到 y 轴的左侧, 连同函数 () y f x =的图象在

y 轴右侧的部分得到的新的图像就是 (||)y f x =的图像

.

?

注:

(1)若对任意实数 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立,则 x=a是函数 f(x)的对称轴;

(2)若对任意实数 x, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立,则 x=

2

b

a +是 f(x)的对称轴 . 五、指数函数与对数函数的图像和性质

一.指数函数

(一) 指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果 a x n =,那么 x 叫做 a 的

n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *

.负数没有偶次方根; 0的任何次方根都是 0,记作 00=。 当 n 是 奇 数 时 , a a n =, 当 n 是 偶 数 时 ,

?

?

?<≥-==) 0()="" 0(||a="" a="" a="" a="" a="" a="">

n 2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

) 1, , , 0(*>∈>=n N n m a a a m n

m ) 1, , , 0(1

1

*>∈>=

=

-n N n m a a a

a

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于 0, 0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质

(1) r a 〃 s

r r a a += ) , , 0(R s r a ∈>;

(2) rs s r a a =) ( ) , , 0(R s r a ∈>;

(二)指数函数及其性质

1、 指数函数的概念:一般地, 函数 ) 1, 0(≠>=a a a y x 且

叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R . 注:指数函数的底数的取值范围, 底数不能是负数、 零和 1.

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1) 在 [a, b]上, ) 1a 0a (a ) x (f x ≠>=且 值域是 )]

b (f ), a (f [

或 )]a (f ), b (f [;

(2)若 0x ≠,则 1) x (f ≠; ) x (f 取遍所有正数当且仅当 R x ∈;

(3)对于指数函数 ) 1a 0a (a ) x (f x ≠>=且 ,总有 a ) 1(f =; 二、对数函数 (一)对数

1.对数的概念:一般地,如果 N a x =) 1, 0(≠>a a ,那么

数 x 叫做以 . a 为底 .. N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底 数, N — 真数, N a log — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 0>a ,且 1≠a ;

○ 2

N N a a x =?

=log ○ 3 两个重要对数 : ○ 1 常用对数:以 10为底的对数 N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828. 2=e 为底的对数

的对数 N ln .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

对数 (二) 对数的运算性质

如果 0>a ,且 1≠a , 0>M , 0>N ,那么:

○

1 M a (log 〃 =) N M a log +N a log ; ○

2 =N

M

a log M a log -N a log ; ○

3 n a M log n =M a log ) (R n ∈. 注意:换底公式

a

b

b c c a log log log =(0>a ,且 1≠a ; 0>c ,且 1≠c ;

0>b ) .

利用换底公式推导下面的结论

(1) b m n

b a n a m

log log =; (2) a

b b a log 1log =.

(三)对数函数

1、 对数函数的概念:函数 0(log >=a x y a , 且 )

1≠a 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 (0,

+∞) . 注 :○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形

式定义, 注意辨别。 如:x y 2log 2=, 5

log 5

x y =

都不是对数函数,而只能称其为对数型函 数.

○ 2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且 ) 1≠a .

六.幂函数的图像及性质

(一)定义:形如 y=xa (是常数)的函数,叫幂函数。 (二 ) 图象

幂函数的图象和性质;由 a 取值不同而变化,如图如示:

(三 ) .幂函数的性质:

a>0时 ,(1)图象都通过点 (0,0),(1,1)

(2)在 (0,+∞ ) ,函数随的增大而增大

a<0时 ,(1)图象都通过="" (1,="">

(2)在 (0,+∞ ) ,函数随 x 的增加而减小

(3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴无限地接近。

七.二分法求零点

对于函数 f(x),如果存在实数 c, 当 x=c时,若 f(c)=0,那么把 x=c叫做函数 f(x)的零点。 解方程即要求 f(x)的所有零点。 假定 f(x)在区间(x , y )上连续,先找到 a 、 b 属于区 间(x , y ) ,使 f(a), f(b)异号,说明在区间 (a,b)内一定有零点,然后求 f[(a+b)/2], 现在 假设 f(a)<0,f(b)>0,a<>

若 f[(a+b)/2]=0,该点就是零点;

若 f[(a+b)/2]<0,则在区间 ((a+b)/2,="" b)="" 内有零点,="" (a+b)/2="">=a, 继续使用中点函数值判断。 若 f[(a+b)/2]>0,则在区间 (a,(a+b)/2)内有零点, (a+b)/2<=b,继续使用中点函数值判断。 通过每次把="" f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,="" 使区间的两个端点逐步迫近函数的="">

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