广德县邱村镇东方静静
姜 培 华
( ,241000 )安徽工程大学 数理学院安徽 芜湖
摘 要:首先通过巧妙利用贝塔分布、F 分布与 t 分布三者之间的关系,推导给出三大抽样分布高阶原
; 、、点矩的计算公式其次借助递推关系二项展开式和伽玛积分推导出正态分布威布尔分布和对数正态分布
; (高阶原点矩的计算公式最后利用上述公式给出这些分布的数学期望和方差的一些相关推论 关键词:贝塔分布; t 分布; F 分布; 正态分布; 威布尔分布; 对数正态分布; 原点矩
:O212( 1:A中图分类号 文献标志码
,,,正态分布又称高斯分布是概率统计中最重要的分布之一很多统计推断都是基于正态分布的假设以
“”,,标准正态分布为基石而构造的三大抽样分布在实际中有着广泛的应用这三个概率分布不仅有明确的背 景
( ,而且其密度函数有明显的表达式威布尔分布和对数正态分布是两种重要的寿命分布威布尔分布在可 靠
,,性工程中被广泛应用尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式被广泛应用于各种寿命试验 的
( ( 数据处理对数正态分布常用于刻画绝缘材料的寿命和设备故障的维修时间高阶矩是随机变量的重要 数,、,、字特征它在金融投资保险和数据传输中都有着重要的应用是求变异系数偏度和峰度系数等其他特 征,,( ,1 , 7,的前提更是参数估计和统计推断的基础因此高阶矩的计算尤为重要文献重点研究了几类离散 型
,、、、( 分布的高阶原点矩的计算如二项分布负二项分布泊松分布几何分布和超几何分布等此处考虑六类 连
( t 、F 、、、、) ,续型分布分布分布卡方分布正态分布威布尔分布对数正态分布的高阶原点矩的计算并给出 其
(精确的计算表达式
1预备知识及引理
,8,1定义 称函数
+! α ,1 , x = x e dxΓ( α) ? 0
,, 0( :为伽玛函数其中参数 α 伽玛函数具有如下性质
( 1) ( 1) = 1,( 1 /2) = ;ΓΓπ槡
( + 1) = + 1) = n( n)( ) ,N ,( n ( 2) Γα αΓα当 α?时有 ΓΓ = n!(
, 01 , 16;:2014 , 04 , 28(:2014 收稿日期修回日期
* :( 11226218; ) ( 1208085QA0;4 201) 2 基金项目国家自然科学基金安徽省自然科学基金 年地方高校国家级大学生创新创
( 20121036312(2) 业训练计划项目
:( 1979-) ,,,,,(作者简介姜培华男山东曹县人讲师硕士从事概率统计和随机过程研究
( )重庆工商大学学报自然科学版 31 2 第 卷
,8,2X 定义 若随机变量 的密度函数为
+ b) ( a Γa ,1b, 1 = f( x) x( 1 ,x ) ,0 ,x ,1 Γ( a) Γ( b)
X ,X ,B e( a,b) ,a , 0,b , 0 (则称 服从贝塔分布记作 其中 都是形状参数
3 X 定义 若随机变量 具有密度函数
m ,1 m m x , μx , μ exp, ,x ? μ ， ，, ， ， , η η η f( x) = , x , 0, μ
则称 X 服从三参数威布尔分布,记为 X ,W ( μ,m,η) ,其中 μ,m,η , 0,分别为其位置、形状和尺度参数(
,8,4X 定义 若随机变量 具有密度函数
2 , ( lny )1 μ ,, y ,0 exp,, 2 2σ f( x) = 2πyσ槡 , 0, y 0?
2 X ,X ,L N( ,) ,,m,, 0,、(则称 服从对数正态分布记为 μσ其中 μη 分别为其位置形状和尺度参数
,9,2 1,t( k) ,= ,F ( 1,k) ,k (引理 若 ξ 则 η ξ其中 为自然数
,10, 2引理 ,B e( a,b) ,= b/ a( 1 , ) ,F ( 2a,2b) ,2a,2b (若 ξ 则 η ξ ξ其中 为自然数
2 三大抽样分布与正态分布高阶矩的计算
,,随机变量高阶矩的计算本质上是分析学中的定积分问题对于阶数较低密度函数简单的变量而言计
( ,,算其矩并不困难在阶数较高分布的密度函数较为复杂的情形下若直接用定义法求解随机变量的高阶矩 ,( ,很困难甚至无法实现这时可以考虑概率分布之间的关系将密度函数复杂的随机变量高阶矩的计算转化
,,为密度函数简单的随机变量函数的高阶矩进行计算这样可以起到化繁为简同时也为高阶矩的计算提供
(一种新思路
1 T ,t( k) ,r ,k ,定理 若随机变量 则对 有
0, r 为奇数
r r r +1 k ,r 2 E( T ) = k Γ Γ ， ，， ， 2 2 , , r 为偶数 ( k /2)πΓ槡
,( ) (?其中Γ表示伽玛函数
r 2 t( k) ( ,r ,E( X) = 0( 1 T,F ( 1,证明 由于 的密度函数为偶函数由对称性知当 为奇数时由引理 知
( k /2) ξ 2 2 k) ,2 ,T=,B e( 1 /2,k /2) ,r ,T,再利用引理 可知可以表示为 其中随机变量 ξ 当 为偶数时 ( 1 /2) ( 1 ,ξ )
r/ 2 1 r 2 r /2 ( k /2) x E( T ) = E,( T) , = f ( x) dx = ξ?， ， 0 ( 1 /2) ( 1 ,x )
1 1 +r k ,r ,1+ 1) / 2,,( k Γr/ 2 ,1 2 2 xk ( 1 ,x ) dx = ?Γ( k /2) Γ( 1 /2) 0
+ 1) / 2,,( k ΓΓ,( r + 1) / 2,Γ,( k , r ) /2 , r/ 2 = k? Γ( k /2) Γ( 1 /2) Γ,( k + 1) /2,
,( r + 1) / 2,,( k , r ) /2 ,ΓΓr/ 2 k( k /2) Γπ槡
: 9 姜培华几种概率分布高阶原点矩的计算 第 期 3
(,1 综上所述定理 成立
1 T ,t( k) ,推论 若随机变量 则其期望和方差分别为
= 0,k ,1 E( T)
k( 3 / 2) ,( k , 2 ) /2 , k ΓΓ,Var( T) ,2 = = ,kk ,2 ( k /2)πΓ槡
k m 2 F ,F ( k,m), , ,r , , 定理 若随机变量 则当 有2 2
m r kmΓ + rΓ ,r ， ，， ， r 2 2 E( F) = r kΓ( k /2) Γ( m /2)
,( ?) (其中Γ表示伽玛函数
( m /2) ξ ,B e( k /2,m /2) ,,2 ,F F =从而可得 其中随机变量 ξ 证明 由引理 可知可以表示为 ( k /2) ( 1 ,ξ ) r 1 1 m r k ,r ,1 r m Γ,( k + m) /2, ( m /2) x +r , 12 2 E( F) = f ( x) dx( 1 ,x ) dx = = ? x r， ， ?ξ ?Γ( k /2) Γ( m /2) 0 ( k /2) ( 1 ,x ) k 0
rr m Γ,( k + m) / 2, Γ( k /2 + r) Γ( m /2 , r ) mΓ( k /2 +r) Γ( m /2 ,r ) ??= r r ( k /2) ( m /2) kΓΓΓ,( k + m) /2, kΓ( k /2) Γ( m /2) 2 (故定理 成立
2 F ,F ( k,m), 推论 若随机变量 则其期望和方差分别为
k m m m 2 k2 2 k2 mmmΓ + 1 Γ ,1 Γ + 2 Γ ,2 Γ+ 1 Γ,1 ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， 2 2 2 2 2 2 E( F) = ; Var( F) = , 2 2 2 2 kΓ( k /2) Γ( m /2) kΓ( k /2) Γ( m /2) kΓ( k /2) Γ( m /2)
2 2 2 r = 1,2,VarX =E ( X) ,( EX) (证明 在定理 中分别令 再利用公式 即可得证
r 2 ( n /2 +r) n Γ 2 r ,,( ?) ( 3 X , ( n) ,r , ,, E( X) = 其中Γ表示伽玛函数定理 若随机变量 χ则对 有 Γ( n /2) 2
2 X , ( n) ,n ( n /2,1 /2) ,Ga ( n /2,证明 由于 χ又因自由度为 的卡方分布即为参数为 的 伽 玛 分 布即
1 /2) ,从而可得
,n / 2 + + !!n x 2 r r r,1 , 2 2 ) = xf ( x) dx = E( Xx xe dx =2 ? χ ? 0 0 Γ( n /2) r ,n / 2,n /2+! n x Γ( n /2 +r) 2 Γ( n /2 +r) 2 2 +r , 1 , 2 2 = ?x e dx = ,( n/ 2+ r )? Γ( n /2)n /2) 0 Γ( n /2) ( Γ2
(故结论成立
2 4 Y ,N ( ,) ,kN 定理 若随机变量 μσ则对 ?有
k kk r k, r r E( Y) = E( X)σμΣ ， ， r = 0 r r ,E( X) r ,其中为标准正态分布的 阶原点矩并且
r 0, 为奇数 r E( X) = , r 为偶数 ( r ,1 ) ( r ,3 ) …3?1,
( N ( 0,1) ,,r 证明 先求标准正态分布的高阶矩由于 的密度函数为偶函数由对称性知当 为 奇 数 时
r = 0; r ,E( X) 当 为偶数时
+! 2 +! 2 xxr 1 1 r ,1 , r ,2 ,E( X) = 2 2 xd( ,e )= ( r ,1 ) xe = ??, !,! 2π 2π 槡槡
( )重庆工商大学学报自然科学版 31 4 第 卷
r ,2 2 ( r ,1 ) E( X) = … = ( r ,1 ) ( r ,3 ) …3E( X) = ( r ,1 ) ( r ,3 ) …3?1
2 , 1 , 1 N( ,) ( Y ,X = ( Y , ,X =( Y , ,N ( 0,1) , ) ) 再求 μσ的高阶矩对 进行标准化令 μσ 则 μσ 从而可得
k k kkk r k ,r r kr r k ,r E( Y) = E,( + , = E,X, = σμE( X) X) μ σσμΣΣ ， ， ， ， r = 0 r = 0 r r
其中
r 0, 为奇数 r E( X) = , r 为偶数( r ,1 ) ( r ,3 ) …31,?
3 两大寿命分布高阶矩的计算
,,威布尔分布和对数正态分布是两种重要的寿命分布威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用尤其适
,( 用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式被广泛应用于各种寿命试验的数据处理对数正态分布常用
、(于刻画绝缘材料的寿命设备故障的维修时间和家庭中两个孩子的年龄之差
定理 5 设 X 服从参数为( μ,m,η) 的三参数威布尔分布,则对 k?N 有
k kk i k, i i) = E( X ημΓ Σ + 1 ， ， ， ， m i = 0 i
) (,( ?其中Γ表示伽玛函数
X ,W ( ,m,) ,3 证明 因 μη由定义 的密度函数可知
+ m, 1 m ,1 !, = y ( x ) 令μη m k k x , x , μ μ ) = E( Xxexp, dx ?， ， , ， ， , μ η η η
k + + m !!mm k令 y= zm, 1 , y i+ m , 1 , y k i k ,i my e dy = ( μ + ηy) η μ Σmy e dy ?? ， ， 00 i = 0 i
k k +! i+ m kk i k, i ,1 , z i k ,i im ημz e dz = + 1 ημΓ ΣΣ ， ， ， ， ， ， ? 0 m i = 0 i = 0 i i
注 W( ,m,) ,m = 1,Exp( ,) ;1) 在 μη分布中若取 则可得双参数指数分布 μη的高阶原点矩的计算公式 2) W( m = 1,= 0,Exp( ) ;,m,) ,在 μη分布中若取 μ 则可得指数分布 η的高阶原点矩的计算公式 3) W( m = 2,= 0,( ,m,) ,在 μη分布中若取 μ 则可得瑞利分布高阶原点矩的计算公式
3 X ,W ( ,m,) , 推论 若随机变量 μη则其期望和方差分别为
1 2 1 2 2 E( X) = + ; Var( X) = , μ ηΓ +1 ηΓ + 1 Γ+ 1 ， ，， ， ， ， ， ， m m m 1 2 k 22 k + k6 X ,L N( ,) ,kN ,E( X)μσ定理 设 μσ则对 ?有 2 = e(
2 X ,L N( ,) ,4 证明 因 μσ由定义 的密度函数可知
+ !2 令 lnx = y k 1 ( lnx , )kμE( X) = x exp , dx ?, , 2 0 22πxσσ 槡
+ !2 1 ky ( y , μ) expdy =e, , , 2? , ! 2σ 2πσ 槡 +! 2 2 1 1 22 22 1 ,y ,( + k) , μ σ k+ kμk+ kσμσ2 2 = e eexp{ , } dy2 ? , !2σ 2πσ槡
2 4 X ,L N( ,) ,推论 若随机变量 μσ则其期望和方差分别为 1 2 2 2 μ + σ2μ +σ σ2 E( X) = e; Var( X) = e( e,1 )
: 9 姜培华几种概率分布高阶原点矩的计算 第 期 5
4 结束语
,,,综上运用概率分布之间的关系借助已有分布高阶矩的结果可以将密度函数复杂的随机变量高阶矩
,,,的计算转化为密度函数简单的随机变量函数的高阶矩计算这样就使得积分化繁为简化难为易开阔了思 ( “”,、路在概率论专业课程的教学中任课教师在讲到相关内容时可以启发学生联想对比和分析以前所学的 概
,,,率分布引导学生多学善思去寻求解法的创新这样有助于学生加深对概率论统计知识的掌握和理解从 而
(激发学生的创造力和学习兴趣
:参考文献
,1, ,( 、Poisson ,J,( ,2009,25( 4) : 103-108杨青陈光曙关于二项分布分布和几何分布高阶的递推公式大学数学 ,2, ,( ,J,( ,2011,14( 2) : 15-16王新利陈光曙几何分布与负二项分布高阶的递推公式高等数学研究 ,3, ,( Poisson ,J,( ,2005,25( 1) : 68-70朱振广张志文求解 分布和二项分布高阶的代数方法辽宁工学院学报 ,4, ( ,J,( ,2006,45( 8) : 61-62魏孝章关于几何分布的高阶原点矩的探讨数学通报
,5, ,,( ,J,( ,2006,22( 1) : 10-20徐晓岭费鹤良王蓉华几何分布的两个特征应用概率统计
,6, ,( ,J,( ,2010,40( 21) : 221-224于晶贤李金秋泊松分布高阶原点矩的两种计算方法数学的实践与认识 ,7, ( ,J,( ,2010,15( 15) : 3681-3683于晶贤一类离散型随机变量高阶原点矩的递推计算方法科学技术与工程 ,8, ,,( ,M,( 2 ( : ,2011茆诗松程依明濮晓龙概率论与数理统计教程版北京高等教育出版社
,9, ,,( ,M,( : ,2005郑明陈子毅汪嘉冈数理统计讲义上海复旦大学出版社
,10, ( ,M,( : ,1999茆诗松贝叶斯统计北京中国统计出版社
Calculation of Higher-order Origin Moment Soef veral Probailibty Distribuitons
JIANG Pei-hua
( School ofSc ience,Anhuio lyPtechnic University,Anhui Wuhu 24100,Chi0na)
Abstract: The calculation formula for higher-order origin momentare derived for three samlinpg distributions by skillfully using beta distribution,F distribution and t distribution,then the calculation formula for higher-order origin moment are derived for normal distribution,Weibull distribution and logarithm normal distribution by recursive relation,binominal expanison and gammia nte gral,and finally some re lated generalizations on h te mathematical expectations and vairance by using the aboveo rfmula are given(
Key words: beta distribution; t distribution; F distribution; normal distribution; Weibull distribution; logarithm
normal distribution; origin moment
:责任编辑李翠薇
概率分布期望方差
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求随机变量X的数学期望和方差.
12解 (1)P(X=0)==; 33A3
1C1113P(X=1)==;P(X=3)==; 3326AA33
?随机变量X的分布列为
0 1 3 X
111 P 326
11(2)E(X)=1×+3×=1. 26
111222D(X)=(1-0)?+(1-1)?+(3-1)?=1. 326
2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求:
1)X的分布列; (
(2)X的均值.
解 (1)X的所有可能取值为0，10，20，50，60.
39729,,P(X=0)==; ,,101000,,
219199243,,1P(X=10)=×+×××=; C,,210101010101000,,
119181P(X=20)= ×C××=; 21010101000
919P(X=50)=×=; 210100010
11P(X=60)= =. 3100010
故X的分布列为
0 10 20 50 60 X
7292431891 P 10001000100010001000
729243189(2)E(X)=0×+10×+20×+50×+60×1000100010001000
1=3.3(元). 1000
3(本小题满分13分)
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生
产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含
量(单位:毫克)(下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x?175，且y?75时,该产品为优等
品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产
品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。 ,
98,，,7,5735 解:(1)，即乙厂生产的产品数量为35件。 14
(2)易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的
2,优等品 5
23514，, 故乙厂生产有大约(件)优等品， 5
(3)的取值为0，1，2。 ,
2112CCCC，3313323,,, PPP(0),(1),(2),,,,,,,,,22210510CCC555
所以,的分布列为
0 1 2 ,
361P 101010
3314 故 ,,的均值为,，，，，，，,E012.105105
4湖南理18((本小题满分12分)
某商店试销某种商品20天，获得如下数据:
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。 (((((
(?)求当天商品不进货的概率;
(?)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
P,P，P4(解(I)(“当天商品不进货”)(“当天商品销售量为0件”)
153,，,.(“当天商品销售量为1件”) 202010
X(?)由题意知，的可能取值为2,3.
51,,; (“当天商品销售量为1件”) P(X,2),P204
，P (“当天商品销售量为0件”)(“当天商品销售P(X,3),P
，P量为2件”)(“当天商品销售量为3件”)
1953,，，,. 2020204
X 故的分布列为
X 2 3
13 P 44
1311EX,2，，3，,.X 的数学期望为 444
5、江西理16((本小题满分12分)
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，
从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500
元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100
元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料
没有鉴别能力(
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望。
((本小题满分12分)
解:(1)X的所有可能取值为:0，1，2，3，4
14,iCC44 ()(0,1,2,3,4),,,PXii4C5
即
X 0 1 2 3 4
11636161P 7070707070
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500
1则PYPX(3500)(4),,,,70
8PYPX(2800)(3),,,,35 53PYPX(2100)(2),,,,70
11653EY,，，，，，,3500280021002280.707070
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
6、辽宁理(19)(本小题满分12分)
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为
品种家和品种乙)进行田间试验(选取两大块地，每大块地分成n小块
地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地
种植品种乙(
(I)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，
求X的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和2品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm)如下表:
品种403 397 390 404 388 400 412 406 甲
品种419 403 412 418 408 423 400 413 乙
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果，你认为应该种植哪一品种,
附:样本数据的的样本方差x,x,,,,,x12n
12222x～其中为样本平均数( s,[(x,x)，(x,x)，,,,，(x,x)]n12n
6(解:
(I)X可能的取值为0，1，2，3，4，且
11PX(0),,,,470C8
13CC844PX(1),,,,435C8
22CC1844PX(2),,,, 435C8
31CC844PX(3),,,,435C8
11PX(4).,,,470C8
即X的分布列为
………………4分
X的数学期望为
181881EX()012342.,，，，，，，，，，, …………7035353570
……6分
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
1x,，，，，，，，,(403397390404388400412406)400,甲8 122222222S,，,，,，，,，，，,(3(3)(10)4(12)0126)57.25.甲8
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
1x,，，，，，，，,(419403412418408423400413)412,乙8 1222222222S,，,，，，,，，,，,(7(9)06(4)11(12)1)56.乙8
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 7、山东理18((本小题满分12分)
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
(?)求红队至少两名队员获胜的概率;
(?)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望,,
. E,
7(解:(I)设甲胜A的事件为D，
乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
,,,,,,
则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。 DEF,,
因为PDPEPF()0.6,()0.5,()0.5,,,,
由对立事件的概率公式知
,,,,,,
PDPEPF()0.4,()0.5,()0.5,,,,
红队至少两人获胜的事件有:
,,,,,,
DEFDEFDEFDEF,,,.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
,,,,,,
PPDEFPDEFPDEFPDEF,，，，()()()()
,，，，，，，，，，，，0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5
,0.55.
(II)由题意知可能的取值为0，1，2，3。 ,
,,,,,,,,,,又由(I)知是两两互斥事件， DEFDEFDEF,,
且各盘比赛的结果相互独立，
,,,,,,因此 PPDEF(0)()0.40.50.50.1,,,,,，，,
,,,,,,,,,,,,
PPDEFPDEFPDEF(1)()()(),,,，，
,，，，，，，，，0.40.50.50.40.50.50.60.50.5 ,0.35
PPDEF(3)()0.60.50.50.15.,,,,，，,
由对立事件的概率公式得
PPPP(2)1(0)(1)(3)0.4,,,,,,,,,,,,,,
所以的分布列为: ,
0 1 2 3 ,
0(1 0(35 0(4 0(15 P
因此E,,，，，，，，，,00.110.3520.430.151.6.
20(解(?)A表示事件“甲选择路径L时，40分钟内赶到火车站”，Biii
表示事件“乙选择路径L时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2(用频率i
估计相应的概率可得
P(A)=0(1+0(2+0(3=0(6，P(A)=0(1+0(4=0(5， 12
？？P(A) ,P(A), 甲应选择L12i
P(B)=0(1+0(2+0(3+0(2=0(8，P(B)=0(1+0(4+0(4=0(9， 12
？？ P(B) ,P(B), 乙应选择L(212
(?)A,B分别表示针对(?)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(?)知,又由题意知，PAPB()0.6,()0.9,,
A,B独立，
,,,,,,,,
？,,,,，,PXPABPAPB(0)()()()0.40.10.04
,,,,,,,,
PXPABABPAPBPAPB(1)()()()()(),,，,，
,，，，,0.40.90.60.10.42
PXPABPAPB(2)()()()0.60.90.54,,,,，,
？X 的分布列为
X 0 1 2
0(04 0(42 0(54 P
EX,，，，，，,00.0410.4220.541.5. ？
8、四川理18((本小题共12分)
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率
1111,,分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;4224两人租车时间都不会超过四小时。
(?)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(?)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列,,与数学期望E,;
8(解析:
111P,,,(1)所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为，付21428
111111元为，付4元为 P,,,P,,,232484416
5则所付费用相同的概率为 PPPP,，，,12316
(2)设甲，乙两个所付的费用之和为，可为 0,2,4,6,8,,
1P(0),,,8
11115P(2),,,，,,,442216
1111115 P(4),,,，,，,,,44242416
11113P(6),,,，,,,442416
111P(8),,,,,4416
分布列
,06824
15531P 816161616
55917,,，，，,E 84822
9、天津理16((本小题满分13分)
学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2
装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相个黑球，乙箱子里
同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖((每次游戏结束后将球放回原箱)
(?)求在1次游戏中，
(i)摸出3个白球的概率;
(ii)获奖的概率;
X(?)求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望EX() . 9(本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的
实际问题的能力.满分13分.
(I)(i)解:设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai,,(0,1,2,3),i
则
21CC132 PA().,,,322CC553
(ii)解:设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 BAA,:23
22111CCCCC132222 PA(),,,，,,22222CCCC25353
117 且A，A互斥，所以 PBPAPA()()().,，,，,23232510
(II)解:由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
792PX(0)(1),,,,,10100
77211 PXC(1)(1),,,,,2101050
7492PX(2)().,,,10100
所以X的分布列是
X 0 1 2
92149P 10050100
921497EX()012.,，，，，，, X的数学期望 100501005
10重庆理17((本小题满分13分)(?)小问5分，(?)小问8分)
某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申
请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求
该市的任4位申请人中:
(?)恰有2人申请A片区房源的概率;
, (?)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 10((本题13分)
解:这是等可能性事件的概率计算问题.
4 (I)解法一:所有可能的申请方式有3种，恰有2人申请A片区房源
22的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 C,24
22C,284 ,.4273
解法二:设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
1记“申请A片区房源”为事件A，则 PA().,3
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
128222 PC(2)()().,,443327
(II)ξ的所有可能值为1，2，3.又
31,,,,P(1),4273 2132224，,CCCCCC()(22)1414324423,,,,,,或PP(2)((2)),,44272733
12123CCCCA4434243,,,,,,,,或 PP(3)((3)).449933
综上知，ξ有分布列
ξ 1 2 3
1144P 27279
从而有
114465,,，，，，，,E123. 2727927
11.(2008?全国?理，20)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这
3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
,,(2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
,,解 (、分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概1)设12
率，则
,方案甲中的分布列为 1
,1 2 3 4 1
432241143111，，,，,，，, P 545543555435
,方案乙中的分布列为 2
, 1 2 3 2
223CCC22134440 ，，,，,P 3333535CCC555
若甲化验次数不少于乙化验次数,则
,,,,,,P=P(=1)×P(=1)+P(=2)×,P(=1)+P(=2),+P(=3)×121221
,,,,,P(=1)+P(=2)+P(=3),+P(=4) 2221
13132218=0+×(0+)+×(0++)+==0.72. 55555525
1232,(2)E()=1×0+2×+3×==2.4. 555
112.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投2
1球2次均未命中的概率为. 16
(1)求乙投球的命中率p;
,,(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.
122由题意得(1-P(B))=(1-p)=, 16
353解得p=或p=(舍去)，所以乙投球的命中率为. 444
113(2)由题设和(1)知P(A)=,P()=,P(B)= , A224
1P()=. B4
,可能的取值为0，1，2，3，故
2111,,,P(=0)=P()P()=×=, ABB,,,4232,,
1,P(=1)=P(A)P()+P(B)P()P() BBBAC,2
2131117,,=×+2×××=, ,,4244232,,
2139,,,P(=3)=P(A)P(B?B)=×=, ,,4322,,
15,,,,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=. 32
,的分布列为
, 0 1 2 3
71591 P 32323232,的数学期望
71591, E()=0×+1×+2×+3×=2. 32323232
13.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且
,,取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数.
,(1)求的分布列、期望值及方差;
,(2)求的分布列、期望值及方差.
,解 (1)的可能值为0，1，2.
,若=0，表示没有取出次品，其概率为:
03CC6210,P(=0)==; 311C12
1221CCCC91210210,,同理，有P(=1)==;P(=2)==. 332222CC1212
,?的分布列为:
, 0 1 2
691 P 112222
6191,?E()=0×+1×+2×=. 1122222
22191116,,,,2,D()=(0-)×+×+× 1,2,,,,,222112222,,,,
99315=++=. 22888844
,(2)的可能值为1，2，3，显然+=3. ,,
19,,P(,=1)=P(=2)=,P(,=2)=P(=1)=, 2222
6,P(,=3)=P(=0)=. 11
,?的分布列为:
, 1 2 3
619 P 222211
15,,,E()=E(3-)=3-E()=3-=. 22
152,,,,?=-+3，?D()=(-1)D()=. 44
14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.
,(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的分布列，并求其平均值;
,,(2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的分布列. ,计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择,
,解 (1)设为损失数，分布列为:
, 0 3 000
0.7 0.3 P
,?E()=3 000×0.3=900(元).
,(2)设为损失数，则
,P(=0)=0.7×0.8=0.56.
,P(=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.
,P(=3 000)=0.3×0.2=0.06.
分布列为:
,0 500 3 000
0.56 0.38 0.06 P
?E()=0+500×0.38+3 000×0.06=370 ,
平均每天损失为370元.
?370,900，?按天气预报作防雨处理是正确的选择.
15.(2008?湖北理，17)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上
,n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，表示所取球的标号.
,(1)求的分布列、期望和方差;
,(2)若,=a+b,E(,)=1,D()=11,试求a,b的值. ,
,解 (1)的分布列为
, 0 1 2 3 4
11113 P 20205210
11113,?E()=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. 20202105
111322222,D()=(0-1.5)×+(1-1.5)×+(2-1.5)×+(3-1.5)×+(4-1.5)×2020210
1=2.75. 5
22,,(2)由D()=aD(),得a×2.75=11,即a=?2.
,,又E()=aE()+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
a,,2a,2,,,?或即为所求. ,,b,4b,,2,,,
16.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白
21鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. 32
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
,,(2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望.
解 (1)设A表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2， i
B表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2. i
依题意有
124P(A)=2××=, 1339
224P(A)=×=. 2339
111P(B)= ×=, 0224
111P(B)=2××=. 1222
所求的概率为
P=P(BA)+P(BA)+P(BA) 010212:::
1414144=×+×+×=. 4949299
4,,(2)的可能值为0,1,2,3，且,B(3,). 9
31255,,,P(=0)==， ,,9729,,
245100,,1,P(=1)=××=, C,,324399,,
24580,,2,P(=2)=××=, C,,392439,,
3464,,,P(=3)== . ,,9729,,
,的分布列为
, 0 1 2 3
1251008064 P 729243243729
41251008064,数学期望E()=0×+1×+2×+3×=. 7292432437293
常见的概率分布
1.017/1.010 第10课
常见的概率分布
常见的连续分布的概率密度函数和累积分布度函数
每个分布函数都取决于几个分布参数。
1、均匀分布（分布参数a，b）：
2、指数分布（分布参数a）：
3、单变量正态分布（高斯分布）
（分布参数
）：
无封闭的形式，以表列出
4、对数正态分布（分布参数
）：
无封闭形式，以表列出
练习：求取数据的最优分布
访问英国地理调查网站，站点在：
选择“Village survey（59k）”，下载孟加拉国供水井的砷数据。
当你选择“Village survey (59k)”这个连接时，一张EXCEL表格将出现在你的浏览器中。我们关心的是第O栏中砷数据的“As arsenator”值（“arsenator” 指特定领域测定总砷的方法)。不是让你用MATLAB命令来下载数据，而仅仅是选择O栏的数值、复制、然后粘贴到MATLAB程序中。你可以用下述表达式将数据粘贴到程序中：
arsenic_data = [
当数据出现在你的程序中之后，再输入 ] 结束。结果应该是一个名为 arsenic_data 的长列向量，它包含了从电子表格中获得的数值。你可以直接在将这一表达式插入到你的程序中（还有其它的方法来导入数据的－如果你愿意，可以自由地用其它方法）。
在你程序的余下部分画出样本的CDF图和砷数据的直方图。
构造一个MATLAB函数cdffit(data, ndist, p1, p2)，使样本砷的CDF函数与上面介绍的几个常用的CDF函数中的一个相拟合， 以 ndist=1, 2, 3, or 4 作为索引，输入量p1和p2是分布参数。调节这些参数以获得最佳拟合。
把样本和假定的分布函数画在同一坐标轴上（用MATLAB的 hold 函数）。
提供你选出的比较满意的假定分布函数图的复本，并简单地说明你为什么要选它。对AA栏中铁的数据重复整个过程。确保删除任何非数字量（如“＜”）。并且，用你选择的最优分布函数计算砷水平超过最新美国标准（最高上限）10μg/L的概率。
相关的MATLAB函数：cdfplot，hold，unifcdf，expcdf，normcdf，logcdf
MATLAB函数文件：cdffit.m
版权属于麻省理工学院 2003年
最后修改日期 2003年10月8日
题型八 离散型随机变量的概率分布，均值与方差
豆丁文档--基础教育资源
题型八 离散型随机变量的概率分布，均值与方差
(推荐时间:30分钟)
1((2011?盐城模拟)已知某投资项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是x (0<><1)，设该项目产品价格在一年内进行3次独立的调整，记该项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，若对该项目投资十万元，则一年后相应利润η(单位:万元)如下表所示:>
ξ 0 1 2 3
,1 η 2 1 0
(1)求η的概率分布;
(2)若η的数学期望超过1万元时，才可以投资，则x在什么范围内就可以投资,
2(某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人;乙组有5名工人，其中有3名女工人(现采用分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的概率分布及数学期望(
答 案
1(解 (1)η的值为2,1,0～,1.
0033P(η,2),Cx(1,x),(1,x)～ 3
122P(η,1),Cx(1,x),3x(1,x). 3
222P(η,0),Cx(1,x),3x(1,x)～ 3
333P(η,,1),Cx,x. 3
?η的概率分布为:
,1 η 2 1 0
3223(1,x) 3x(1,x) 3x(1,x) P x
323(2)E(η),2(1,x)，3x(1,x),x,2,3x.
1令2,3x>1～得x<～>
1所以当0<><时～就可以投资(>
2(解 (1)由于甲组有10名工人～乙组有5名工人～根据分层抽样原理～若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核～则从甲组抽取2名工人～乙组抽取1名工人(
(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人～ 11CC846则P(A),,. 2C1510
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
A表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人～i,0,1,2. i
豆丁文档--基础教育资源
豆丁文档--基础教育资源
B表示事件:从乙组抽取的是1名男工人( A(i,0,1,2)与B独立～ i21CC643P(ξ,0),P(AB),P(A)?P(B),?,～ 2100CC75105
1),P(A?B，A?B) P(ξ,01
,P(A)?P(B)，P(A)?P(B) 0121111CCCCC2842643,?，?,～ 2121CCCC7510510521CC1062P(ξ,3),P(A?B),P(A)?P(B),?,～ 2122CC75105
31P(ξ,2),1,[P(ξ,0)，P(ξ,1)，P(ξ,3)],. 75故ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
6283110 P 75757575
62831108E(ξ),0×，1×，2×，3×,. 757575755
豆丁文档--基础教育资源
概率分布以及期望和方差
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
概率分布以及期望和方差
上课时间:
上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布
及其期望和方差
上课规划:解题技巧和方法
一 两点分布
知识内容
?两点分布
如果随机变量的分布列为 X
X
0 1
pq P
其中～～则称离散型随机变量服从参数为的二点分布( 01,,pqp,,1pX
0二点分布举例:某次抽查活动中～一件产品合格记为～不合格记为～已1
80%知产品的合格率为～随机变量为任意抽取一件产品得到的结果～则XX的分布列满足二点分布(
X
0 1
0.80.2
P
01,两点分布又称分布～由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试
验～所以这种分布又称为伯努利分布(
,2,典型分布的期望与方差:
二点分布:在一次二点分布试验中～离散型随机变量的期望取值为～pX在次二点分布试验中～离散型随机变量的期望取值为( nnpX
典例分析
1，针尖向上;,1、在抛掷一枚图钉的随机试验中～令～如果针尖向上的X,,0，针尖向下.,
概率为～试写出随机变量的概率分布( pX
1 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球～用表示“取到的X
,1，当取到白球时，X,,白球个数”～即～求随机变量的概率分布( X0，当取到红球时，,
3、若随机变量的概率分布如下: X
X0 1
238,C 9CC, P
C试求出～并写出的分布列( X
3、抛掷一颗骰子两次～定义随机变量
0,(当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数), ,,,1,(当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数),
试写出随机变量的分布列( ,
04、篮球运动员比赛投篮～命中得分～不中得分～已知运动员甲投篮命1
中率的概率为( P
DX()? 记投篮次得分～求方差的最大值, X1
3DX()? 当?中取最大值时～甲投次篮～求所得总分的分布列及的期YY
望与方差(
2 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 二 超几何分布
知识内容
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率(1,2,,)in,？xpXii列表表示:
xxxx… … 12inX
pppp… … 12inP
N一般地～设有总数为件的两类物品～其中一类有件～从所有物品中任M取件～这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量～它取()nN?nnX
值为时的概率为 m
mnm,CCMNM,l～为和中较小的一个( (0??ml)PXm,,()nMnCN
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布～也称服XX
NN从参数为～～的超几何分布(在超几何分布中～只要知道～和～nnMM就可以根据公式求出取不同值时的概率～从而列出的分布列( PXm(),XX超几何分布的期望和方差:若离散型随机变量服从参数为的超几NMn，，X
何分布～
nNnNMM()(),,nMDX(),则～( EX(),2NN(1),N
典例分析
1037例题:一盒子内装有个乒乓球～其中个旧的～个新的～从中任意取个～4则取到新球的个数的期望值是 (
3 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
练习1.某人参加一次英语口语考试～已知在备选的道试题中～能答对其10
中的6题～规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试～每题分数为20分～求他得分的期望值(
练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会～求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差(
练习3.在个同类型的零件中有2个次品～抽取3次进行检验～每次任取12
一个～并且取出不再放回～若以,和分别表示取出次品和正品的个数(求,
,,，的期望值及方差(
4 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 三 二项分布
知识内容
若将事件发生的次数设为～事件不发生的概率为～那么在次qp,,1nAXA
kknk,k独立重复试验中～事件恰好发生次的概率是～其中PXkpq()C,,An
(于是得到的分布列 kn,0,1,2,,？X
… … 0k n X1
00n111n,kknk,nn0 CpqCpqCpqCpq… … nnnnP
由于表中的第二行恰好是二项展开式
nnnkknknn001110,, ()CCCCqppqpqpqpq，,，，，，？？nnnn
各对应项的值～所以称这样的散型随机变量服从参数为～的二项分布～ npX
记作( XBnp~(,)
二项分布的均值与方差:
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布～则 npX
～( EXnp(),Dxnpq(),(1)qp,,
二项分布:若离散型随机变量服从参数为和的二项分布～则～EXnp(),npX
( Dxnpq(),(1)qp,,
典例分析
二项分布的概率计算
1例题:已知随机变量服从二项分布～～则等于 (练,P(2),,,，~(4)B3
习1.甲乙两人进行围棋比赛～比赛采取五局三胜制～无论哪一方先胜三局
23:1则比赛结束～假定甲每局比赛获胜的概率均为～则甲以的比分获胜的3
概率为, ,
86448A( B( C( D( 278199
1练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是～他投球10次～恰好投2
进3个球的概率 (,用数值表示,
3练习3.某人参加一次考试～道题中解对道则为及格～已知他的解题正4
0.4确率为～则他能及格的概率为_________,保留到小数点后两位小数,
0.80接种某疫苗后～出现发热反应的概率为～现有5人接种了该疫苗～至
0.01少有3人出现发热反应的概率为 (,精确到,
5 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
例题:从一批由9件正品～3件次品组成的产品中～有放回地抽取5次～每次抽一件～求恰好抽到两次次品的概率,结果保留位有效数字,( 2
0.8000练习1.一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为～有X
四台这种型号的自动机床各自独立工作～则在一小时内至多有台机床需2要工人照看的概率是, ,
0.15360.18080.56320.9728A( B( C( D( 练习2.设在4次独立重复试验中～事件发生的概率相同～若已知事件至AA
65少发生一次的概率等于～求事件在一次试验中发生的概率( A81
6 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
例题:某公司拟资助三位大学生自主创业～现聘请两位专家～独立地对每位大学生的创业方案进行评审(假设评审结果为“支持”或“不支持”的
1概率都是10(若某人获得两个“支持”～则给予万元的创业资助,若只获2
5得一个“支持”～则给予万元的资助,若未获得“支持”～则不予资助(求: ? 该公司的资助总额为零的概率,
15? 该公司的资助总额超过万元的概率(
练习1.某商场经销某商品～顾客可采用一次性付款或分期付款购买(根据
0.6以往资料统计～顾客采用一次性付款的概率是～经销一件该商品～若顾
200客采用一次性付款～商场获得利润元,若顾客采用分期付款～商场获
250得利润元(
3? 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率, 1
3650? 求位位顾客每人购买件该商品～商场获得利润不超过元的概率( 1
1000练习2.某万国家具城进行促销活动～促销方案是:顾客每消费元～便
7 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
1可获得奖券一张～每张奖券中奖的概率为～若中奖～则家具城返还顾客5
现金200元(某顾客消费了3400元～得到3张奖券( ?求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率,
200?求家具城至少返还该顾客现金元的概率(
例题:设飞机有两个发动机～飞机有四个发动机～如有半数或半数以AB
上的发动机没有故障～就能够安全飞行～现设各个发动机发生故障的概率
,,t,是的函数～其中为发动机启动后所经历的时间～为正的常数～tpe,,1tp
试讨论飞机与飞机哪一个安全,,这里不考虑其它故障,( AB
练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是～且各发动机1,P
8 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
互不影响(如果至少的发动机能正常运行～飞机就可以顺利地飞行(问50%
对于多大的而言～四发动机飞机比二发动机飞机更安全, P
练习2.一名学生每天骑车上学～从他家到学校的途中有6个交通岗～假设
1他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的～并且概率都是( 3?设为这名学生在途中遇到红灯的次数～求的分布列, ,,
?设为这名学生在首次停车前经过的路口数～求的分布列, ,,?求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率(
二项分布的期望与方差
9 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
例题:已知～求与( XB~(100.8)，EX()DX()
练习1.已知～～～则与的值分别为, , XBnp~()，EX()8,DX()1.6,np
A(100.8200.4100.21000.8和 B(和 C(和 D(和 练习2.已知随机变量服从参数为的二项分布～则它的期望60.4，X
～方差 ( EX(),DX(),
练习3.已知随机变量服从二项分布～且～～则二项分E()2.4,,D()1.44,,X
布的参数～的值分别为 ～ ( np
3107练习4.一盒子内装有个乒乓球～其中个旧的～个新的～每次取一球～取后放回～取次～则取到新球的个数的期望值是 ( 4
1213例题:甲、乙、丙人投篮～投进的概率分别是( ，，352
? 现3人各投篮1次～求3人都没有投进的概率,
? 用表示乙投篮3次的进球数～求随机变量的概率分布及数学期望( ,,
3练习1.抛掷两个骰子～当至少有一个点或点出现时～就说这次试验成2
功(
? 求一次试验中成功的概率,
? 求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差( 4XX
3000100练习2.某寻呼台共有客户人～若寻呼台准备了份小礼品～邀请客户
4%在指定时间来领取(假设任一客户去领奖的概率为(问:寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请,若能使每一位领奖人都得到礼品～寻呼台至少应准备多少礼品,
四 正态分布
10 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
知识内容
概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图～在样本容量越来越大时～
直方图上面的折线所接近的曲线(在随机变量中～如果把样本中的任一数
据看作随机变量～则这条曲线称为的概率密度曲线( XX
曲线位于横轴的上方～它与横轴一起所围成的面积是～而随机变量落X1在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积( ab，
2(正态分布
?定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素
y所引起的～而且每一个偶然因素在总体的变化中都只x=μ是起着均匀、微小的作用～则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布( 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量～简称正态变量(
xO正态变量概率密度曲线的函数表达式为
2()x,,,122,x,R,,0fxe,～～其中～是参数～且～(),,,,2π
( ,,,,，,,
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差(期望为、标准差,,,
2为的正态分布通常记作( ,N(,),,
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线(
0?标准正态分布:我们把数学期望为～标准差为的正态分布叫做标准正1态分布(
?正态变量在区间～～内～取值的概(,),,,,,，(2,2),,,,,，(3,3),,,,,，
68.3%95.4%99.7%率分别是～～(
?正态变量在(),,，,，内的取值的概率为～在区间(33),,,,,，，之外的取1
0.3%值的概率是～故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内～这x,,
3,就是正态分布的原则(
x2FxPxftdt()()(),,,?fx(),若～为其概率密度函数～则称为概率,,,~()N，,,,2tx,1,,,22,xedt,()分布函数～特别的～～称为标准正态分布函数( ~(01)N，,,,π2,
x,,( Px()(),,,,,
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得(
典例分析
,一,正态曲线,正态随机变量的概率密度曲线,
11 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 1.下列函数是正态分布密度函数的是, ,
22()xr,x,12π,22fxe,fxe,()()A( B( ,π2π222(1)x,x112C( D( fxe,fxe,4()()
ππ2222(1)x,,12fxex,,R()()2.若正态分布密度函数～下列判断正确的是, , π2
A(有最大值～也有最小值 B(有最大值～但没最小值 C(有最大值～但没最大值 D(无最大值和最小值
2x,12fxe,3.对于标准正态分布的概率密度函数～下列说法不正确N01，，，，，2π的是, ,
A(为偶函数 fx，，
1B(最大值为 fx，，2π
x,0x?0C(fx在时是单调减函数～在时是单调增函数 ，，
x,1D(fx关于对称 ，，
2(1)x,,12fxe,()4.设的概率密度函数为～则下列结论错误的是, , ,π2
A( B( PP(1)(1),,,,,PP(11)(11),,,,,??,,
x,0C(的渐近线是 D( fx(),,,,1~(01)N，,二)求,,,的取值以及概率
2xx,，21,124fx,()e例题:设～且总体密度曲线的函数表达式为:～XN~(),,，2πx,R(
?求,?求及的值( Px(|1|2),,Px(12122),,,，,,，
练习1.某市组织一次高三调研考试～考试后统计的数学成绩服从正态分
2(80)x,,1200fxe,()布～其密度函数为～则下列命题中不正确的是, , ,102
80A(该市这次考试的数学平均成绩为分
60B(分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同
50C(分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同
10D(该市这次考试的数学标准差为
,三,正态分布的性质及概率计算
12 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 例题:设随机变量服从正态分布～～则下列结论正确的个数是a,0,N(01)，
( ____
? PaPaPa(||)(||)(||),,,,,,，,
? PaPa(||)2()1,,,,,,
? PaPa(||)12(),,,,,,
? PaPa(||)1(||),,,,,,
2练习1.已知随机变量服从正态分布～则, , PX(3),,Na(3)，X
1111A( B( C( D( 4253
2练习2.在某项测量中～测量结果服从正态分布～若在N10，,,,01，XX，，，，，，
0.4内取值的概率为～则在内取值的概率为 ( 02，X，，
2练习3.已知随机变量服从正态分布～～则 PX(4)0.84?,PX(0)?,N(2)，,X
0.160.320.680.84A( B( C( D(
2练习4.已知～若～则, , PX(31)0.4,,??-PX(31),,??XN~(1),，,
0.40.80.6A( B( C( D(无法计算 加强训练:
1设随机变量服从正态分布～若～则( ,N(29)，PcPc(2)(2),,,，,,,c,_______
2设～且～则的值是,用表,~(01)N，Pbaab(||)(010),,,,,,，Pb(),?_______a
示,(
2c,03正态变量～为常数～～若PcXcPcXc(2)(23)0.4,,,,,,～求XN~(1)，,c
PX(0.5)?的值(
N(04)，(44),，4某种零件的尺寸服从正态分布～则不属于区间这个尺寸范围
的零件约占总数的 (
,四,正态分布的数学期望及方差
2P(11),,,,,,,,,~()1NED，，,,例题:如果随机变量～求的值(
3,(五,正态分布的原则
13 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
2例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命,单位:,～已知～要使灯h,,~(100030)N，泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%～则灯泡的最低使用寿命应控制在
小时以上( _____
35.6练习1.一批电池,一节,用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差
4.4为小时的正态分布～随机从这批电池中任意取一节～问这节电池可持续
40使用不少于小时的概率是多少,
48练习2.某班有名同学～一次考试后的数学成绩服从正态分布～平均分为80108090～标准差为～理论上说在分到分的人数是( ______杂题,拓展相关:概率密度～分布函数及其他,
练习3.以Fx表示标准正态总体在区间,,,x内取值的概率～若随机变量，，，，
2服从正态分布N,,,～则概率等于, , P,,,,,,，，，，
A(FF,,,,，,,FF11,, B( ，，，，，，，，
1,,,,F2F,,，C( D( ，，,,,,,
练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试～已知在备选的10道题中～甲能答对其中的6题～乙能答对其中的8题(规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试～至少答对2题才算合格(
? 求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差, X
? 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率(
课后练习
14 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和个黄球～从中同时取出个～则22其中含红球个数的数学期望是_________(,用数字作答, 2.、同时抛掷80枚均匀硬币次～设枚硬币正好出现枚正面向上～枚反4422面向上的次数为～则的数学期望是, , ,,
20253040A( B( C( D(
3、某服务部门有个服务对象～每个服务对象是否需要服务是独立的～若n
每个服务对象一天中需要服务的可能性是～则该部门一天中平均需要服p
务的对象个数是, ,
A( B( C( D( npp(1),pp(1),nnp
804、同时抛掷枚均匀硬币次～设枚硬币正好出现枚正面向上～枚反面4422向上的次数为～则的数学期望是, , ,,
20253040A、 B( C( D(
5、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球(已知从袋中任意摸
2出个球～得到黑球的概率是,从袋中任意摸出个球～至少得到个白2115
7球的概率是( 9
103?若袋中共有个球～从袋中任意摸出个球～求得到白球的个数的数学期望,
7?求证:从袋中任意摸出2个球～至少得到1个黑球的概率不大于(并10指出袋中哪种颜色的球个数最少(
5%5.某厂生产电子元件～其产品的次品率为～现从一批产品中的任意连续
15 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～ 取出2件～求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率( ,
某单位为绿化环境～移栽了甲、乙两种大树各2株(设甲、乙两种大树移
54栽的成活率分别为和～且各株大树是否成活互不影响(求移栽的4株65
大树中:
?至少有1株成活的概率,
?两种大树各成活1株的概率(
n?5n,N*56.一个口袋中装有个红球,且,和个白球～一次摸奖从中摸n
两个球～两个球颜色不同则为中奖(
?试用表示一次摸奖中奖的概率, np
n,5?若～求三次摸奖,每次摸奖后放回,恰有一次中奖的概率, ?记三次摸奖,每次摸奖后放回,恰有一次中奖的概率为(当取多少nP时～最大, P
7.袋子和中装有若干个均匀的红球和白球～从中摸出一个红球的概率ABA
16 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
1是～从中摸出一个红球的概率为( pB3
?从A中有放回地摸球～每次摸出一个～有3次摸到红球即停止( ?求恰好摸5次停止的概率,
?记5次之内,含5次,摸到红球的次数为～求随机变量的分布( ,,
1:2?若两个袋子中的球数之比为～将中的球装在一起后～从中摸AB，AB，
2出一个红球的概率是～求的值( p5
508、一个质地不均匀的硬币抛掷次～正面向上恰为次的可能性不为～而1
i35且与正面向上恰为次的概率相同(令既约分数为硬币在次抛掷中有2j
次正面向上的概率～求ij，(
80%9、某气象站天气预报的准确率为～计算,结果保留到小数点后面第2位,
?5次预报中恰有次准确的概率, 2
5?次预报中至少有次准确的概率, 2
3?5次预报中恰有次准确～且其中第次预报准确的概率, 2
181920，，10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠(若该
17 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
电梯在底层载有5位乘客～且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均
1为～求至少有两位乘客在20层下的概率( 3
11、10个球中有一个红球～有放回的抽取～每次取一球～求直到第次才n取得次红球的概率( kkn()?
0.90.812、已知甲投篮的命中率是～乙投篮的命中率是～两人每次投篮都不受影响～求投篮3次甲胜乙的概率(,保留两位有效数字,
p,0.513、若甲、乙投篮的命中率都是～求投篮n次甲胜乙的概
nn,N，?1率(,,
14、省工商局于某年3月份～对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查～
18 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
结果显示～某种刚进入市场的饮料的合格率为～现有甲～乙～丙3人80%x
聚会～选用6瓶饮料～并限定每人喝瓶～求: x2
?甲喝瓶合格的饮料的概率, x2
30.01?甲～乙～丙人中只有人喝瓶不合格的饮料的概率,精确到,( x21
15、在一次考试中出了六道是非题～正确的记“?”号～不正确的记“×”号(若某考生随手记上六个符号～试求:?全部是正确的概率, ?正确解答不少于4道的概率,
?至少答对道题的概率( 2
17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛～校队的实力比系
0.6队强～当一个校队队员与系队队员比赛时～校队队员获胜的概率为( 现在校、系双方商量对抗赛的方式～提出了三种方案:
3?双方各出人,
5?双方各出人,
7?双方各出人(三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利(问:对系队来说～哪一种方案最有利,
18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训～以提高下岗人员的再
19 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
就业能力～每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训～已知参加过财会培训的有60%～参加过计算机培训的有75%～假设每个人对培训项目的选择是相互独立的～且各人的选择相互之间没有影响( ?任选1名下岗人员～求该人参加过培训的概率,
?任选3名下岗人员～记为3人中参加过培训的人数～求的分布和期,,望(
0.519、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为～购买乙种商品
0.6的概率为～且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立～各顾客之间购买商品也是相互独立的(记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两,
的分布及期望( 种商品中的一种的人数～求,
365mn?20、某班级有人～设一年天中～恰有班上的,,个人过生日的nm
天数为～求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值( XX
a21、购买某种保险～每个投保人每年度向保险公司交纳保费元～若投保
20 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
人在购买保险的一年度内出险～则可以获得元的赔偿金(假定在一年10000
度内有10000人购买了这种保险～且各投保人是否出险相互独立(已知保险
410公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为( 10.999,
?求一投保人在一年度内出险的概率, p
50000?设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元～为保证盈利
0的期望不小于～求每位投保人应交纳的最低保费,单位:元,(
22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查,简称安检,(若安检不合格～则必须进行整改(若整改后复查仍不合格～则强行关闭(设每家煤矿安检是否合格是相互独立的～且每家煤矿整改前安检合格的概率
0.50.80.01是～整改后安检合格的概率是～计算,结果精确到,( ?恰好有两家煤矿必须整改的概率,
?平均有多少家煤矿必须整改,
?至少关闭一家煤矿的概率(
0.223、设一部机器在一天内发生故障的概率为～机器发生故障时全天停止
21 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
工作(若一周5个工作日里均无故障～可获利润10万元,发生一次故障可获利润5万元～只发生两次故障可获利润0万元～发生三次或三次以上故障就要亏损2万元(求一周内期望利润是多少,,精确到0.001,
24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中～武警官兵准备用射击
5的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐(已知只有发子弹～第一次命中只能使汽油流出～第二次命中才能引爆(每次射击是相互独立
2的～且命中的概率都是( 3
?求油罐被引爆的概率,
?如果引爆或子弹打光则停止射击～设射击次数为～求的分布列及E( ,,,
25、一个袋中有大小相同的标有1～2～3～4～5～6的6个小球～某人做
22 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
学辅教育 成功就是每天进步一点点～
如下游戏～每次从袋中拿一个球,拿后放回,～记下标号(若拿出球的标号是3的倍数～则得1分～否则得分( ,1
? 求拿4次至少得2分的概率,
? 求拿4次所得分数的分布列和数学期望( ,
26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数～Aaaaaa,12345
10其中的各位数中～～出现的概率为～出现的概率为a,1ak(2345),，，，A11k32(记～当程序运行一次时～ ,,，，，，aaaaa123453
? 求的概率, ,,3
? 求的概率分布和期望( ,
27、某学生在上学路上要经过个路口～假设在各路口是否遇到红灯是相4
1互独立的～遇到红灯的概率都是～遇到红灯时停留的时间都是2 min( 3
? 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率,
,? 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望(
23 学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里～
转载请注明出处范文大全网 » 几种概率分布高阶原点矩的计算
