漂亮的小帅哥
(一)资产组合收益与风险的测定
1、资产组合的收益
资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。设一项
资产组合中含有项资产，令表示第种资产的收益率，表示第种资产在nriwiii组合中的比例。则组合P的预期收益率为:
E(r)=E(wr+ wr…+ wr) P1122nn
= wE(r)+ wE(r)+…+ wE(r) 1122nn
=?wE(r) ii
其中，?w =1，i=1，2，…，n。 i
2、资产组合的风险
衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。资产组合的方差不仅和其组成
资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。
对于有n项资产的组合P来说，其总方差为:
2 σ=??w wcov(r，r);w和 w分别表示资产i和资产j的投资权重 Pijijij
2 其中当i=j时，cov(r，r)表示资产i收益的方差，即cov(r，r)=σ ijiji
当i?j时，cov(r，r)表示资产i和资产j收益间的协方差。用公式表示: ij
cov(r，r) =E{[ r- E(r)][ r- E(r)]} ijiijj
协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。
如果(，)>0，即协方差为正数，那么证券和证券的收益呈同向covrrijij
变化，即当证券的收益大于其预期收益E()时，证券的收益也大于它的预irji
期收益。
反之，如果cov(r，r)<>
呈反向变化。
为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用
资产i和资产j收益间的相关系数ρ，用公示表示: ij
ρ= cov(r，r)/σσ ，其中σ和σ分别表示证券i和j的标准差，ijijijijρ的取值范围为[-1,1]。 ij
当ρ=1时，证券i和j是完全正相关的。 ij
当ρ=-1时，证券i和j是完全负相关的。 ij
当ρ=0时，证券i和j之间不存在相关关系 ij
重点关注由两种证券构成的投资组合:
这一投资组合的收益:
E(r)=E(wr+ wr)= wE(r)+ wE(r) P11221122
这一投资组合的方差:
22222 σ= wσ+ wσ+ 2w w cov(r，r) P11221212
2222 = wσ+ wσ+ 2w wρσσ 1122121212
当ρ=1时，σ= wσ+ wσ;此时组合标准差等于组合中单个证券标准差12P1122
的加权平均值。
1/22222 当ρ=0时，σ=(wσ+ wσ) 12P1122
当ρ=-1时，σ=,wσ- wσ, 12P1122
显然，投资组合的标准差在ρ=-1时最小，ρ=1时最大。 1212
例:已知证券组合P是由证券1和证券2构成，两种证券的预期收益和标准
差分别为E(r)=20%，σ=10%;E(r)=25%，σ=20%，并且两种证券的权重分别1122为w= w=50%，请计算由这两种证券所构成的证券组合P的预期收益率，并分别12
计算ρ=1，ρ=0，ρ=-1时证券组合P的标准差。 121212
答:证券组合P的预期收益率为:
E(r)=50%×20%+50%×25%=22.5% P
证券组合P的标准差分别为:
当ρ=1时，σ= wσ+ wσ=50%×10%+50%×20%=15% 12P1122
1/222221/22222 当ρ=0时，σ=(wσ+ wσ)=(50%×10%+50%×20%)11.2% 112212P
当ρ=-1时，σ=,wσ- wσ,=,50%×10%-50%×20%,=5% 12P1122
需要指出的是，证券组合分散化的效果大小取决于证券之间的相关系数。随着相关系数从1增加到-1，即证券之间由完全正相关发展到完全负相关，证券组合的标准差减少到最小，分散化效果也在不断显现。
(二)资产组合的可行集
可行集，也叫投资机会集合，是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的总体。我们已经知道，对于任何一个单一证券，都可以用期望收益率和标准差来描述，那么在均值——方差平面图上我们可用相对应的点来表示该证券，其中横坐标表示该证券的标准差，纵坐标表示该证券的期望收益率。
相应的任何一个投资组合也可以用组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一个点。这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线是证券A和证券B的组合线。这条组合线就是由证券A和证券B构成的可行集，也称为投资机会集合。可行集上的每一点都表示一个由证券A和证券B构成的可能的组合。
由2种证券构成的可行集——双曲线的一部分
由2种以上证券构成的可行集——均值—方差平面上的一个区域，整个可行集呈雨伞状，可行集区域的左侧边界仍然是双曲线的一部分。
大同煤业收益 工商银行收益
11% 5%
大同煤业标准差 工商银行标准差
14.93% 10.80%
大同煤业与工商银行相关-0.82 系数
通过设置不同的投资比重，可以得出不同的组合收益率和组合标准差，将这些不同的组合点(标准差、收益率)相连，可以得到一条平滑的凹形曲线——投资机会集合——投资机会集合，又叫可行集。可行集参考自编教材中可行集解释。
大同煤业工商银行组合收益率 组合标准差 比重 比重
1 0 11% 14.93%
0.9 0.1 10.4% 12.57%
0.8 0.2 9.8% 10.25%
0.7 0.3 9.2% 8.01%
0.6 0.4 8.6% 5.95%
0.5 0.5 8.0% 4.33%
0.4 0.6 7.4% 3.77%
0.3 0.7 6.8% 4.66%
0.2 0.8 6.2% 6.42%
0.1 0.9 5.6% 8.54%
0 1 5.0% 10.80%
(三) 可行集与相关系数
如上所述，可行集左侧边界曲线通常为双曲线的一部分。可行集左侧边界曲线向左弯曲的程度取决于证券A、B之间的相关程度。随着相关系数由1变成-1，可行集左侧边界曲线变得越来越向左弯曲，这说明随着相关系数的降低，组合的标准差在逐渐减小，组合的风险得到了有效降低。
从图中可以看出当相关系数ρ=1时，可行集左侧边界曲线是连接证券A和B的一条直线;
随着相关系数降到0，可行集左侧边界曲线开始显著向左弯曲，变成一条凹形曲线;
当相关系数为负，可行集左侧边界曲线进一步向左拉伸。
最终当相关系数ρ=-1时，可行集左侧边界曲线实际上变成了一种折线，组合的标准差甚至可以取到0，此时组合完全没有风险，得到一个稳定的收益率。这正是分散化的魅力所在。这很好理解，当ρ=-1时，证券A和证券B完全负相关，一种证券收益率的上涨与另一种证券收益率的下跌相互抵消，从而完全消除了组合的风险。
注意:两种极端情况下的风险资产可行集:
1、当相关系数=1，可行集是一条直线。
2、当相关系数=-1，投资机会集合是一条折线。
此时，最小方差点位于纵轴上，最小标准差=0，此时投资组合可以实现零风险。
(四)资产组合的有效集:马克维茨最重要的结论——有效边界
请大家思考，可行集上的每一点是否都是有效的投资组合呢,
要判断这一点，我们首先需要对有效加以界定。
经济学的一个基本假定:投资者是理性的，他们总是在寻找最优决策:
在成本一定的情况下，收益最大化
在收益一定的情况下，成本最小化
同样地，在金融学中，投资者在进行投资时，也会遵循最优化决策:
同一风险、最大收益
同一收益、最小风险
这就是有效的含义。
据此，我们可以看出在由大同煤业和工商银行组成的可行集上，并非所有的点都符合这一原则:
可行集上最小方差点下方的曲线是无效的。
可行集上最小方差点上方的曲线AB遵循了有效的含义——同一风险、收益最大;同一收益、风险最小。所以——可行集上最小方差点上方的曲线，被称为马克维茨有效集。
关于马克维茨有效集
也叫马克维茨有效边界
你需要掌握:
1、从图形上看，马克维茨有效集是最小方差点上方的曲线。
2、有效的含义
3、马克维茨有效集是针对风险资产而言的，因此马克维茨有效集上的每一点都代表风险资产的有效组合。例如，大同煤业与工商银行——风险资产组合;
股票与债券——风险资产组合
怎样判断风险资产,收益率不确定
标准差>0
4、马克维茨有效集的形状——凹形
(1)凹性——相对于X轴
(2)含义:
(3)凹形的判断方法——请参考前面判断投资者风险类型的方法
凹形:将曲线上任意两点相连，连线低于曲线
根据有效的含义:同一风险、最大收益;同一收益，最小风险
投资者总是更偏好均值——方差图中左上方的点，即更高的收益、更低的风险。
所以，将有效边界AB上的任意两点L和H连线，点C是LH连线上的一点。
其中，点L代表风险资产的一种有效组合，点H代表风险资产的另一种有效组合。
由于点C是LH连线上的一点，因此点C是风险资产有效组合L、H所构成的一种新的线性组合。
例如，E(R)=W×E(R)+ W×E(R) CLLHH
而点D是马克维茨有效集AB上的一点，点D与点C的风险水平相同。
根据凹形的含义:曲线上的点高于任意两点连线上的点，即点D高于点C，
E(R),E(R) 因此，DC
可见，马克维茨有效集上的点D满足同一风险、最大收益。
同样地，将点C与马克维茨有效集AB曲线上的点E相比，点C与点E处于同一收益，但是点E的标准差要小于点C。
说明，马克维茨有效集上的点E满足同一收益、最小风险。
反之，如果马克维茨有效集呈凸性，则有效边界上的点不符合同一风险水平下，最大收益;同一收益水平下，最小风险。所以，有效边界必然呈凹形。
(五)无差异曲线与最优投资组合
1、无差异曲线
确定投资组合的有效集后，投资者可根据自己对风险的个人偏好从这个有效集中选出更适合自己的投资组合。投资者的个人偏好可以用无差异曲线来描述。这里的无差异曲线和消费者效用函数中的无差异曲线非常类似，是指能为投资者带来同等效用水平(即满足程度)的收益和风险的不同组合。
风险偏好不同的投资者，其无差异曲线的形状也不同。尽管如此，绝大多数投资者的无差异曲线具有凸性，这是因为绝大多数的投资者都是风险厌恶者。凸性的无差异曲线表明随着投资风险的上升，投资者要求以越来越多的收益作为承受风险的补偿。换言之，投资者越来越难以忍受风险。
风险厌恶者的无差异曲线具有以下六个特点:
(1)无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线---说明投资者要么喜欢低风险、低收益的组合，要么喜欢高风险、高收益的组合。
(2)每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面。同时，由于不同的无差异曲线代表不同的满足程度，因此不同的无差异曲线不会相交。
(3)同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。
(4)不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。
(5)无差异曲线的位置越高，其上的投资组合给投资者带来的满意程度就越高。投资者总是更偏好于均值—方差平面上靠近左上方的无差异曲线上的组合，因为它代表着更高的收益和更小的风险。
(6)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。
2、最优投资组合
最优投资组合是指一个投资者选择一个有效的投资组合并且具有最大效用。
有效边界是客观存在的一条曲线，它告诉我们哪些组合是有效的。但是投资者具体选择有效边界上的哪一点进行投资，则取决于投资者的个人主观偏好。
投资者的个人偏好可以通过无差异曲线来反映。因此，在确定最优投资组合时，必须同时考虑有效边界和无差异曲线。
对于投资者而言，无差异曲线的位置越高越好，此时投资者可以在更低的风险水平上获取更高的收益。投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有效组合:相对于其他有效组合，该组合所在的无差异曲线位置最高。这样的投资组合便是他最满意的有效组合，而它恰恰是无差异曲线与有效边界相切的切点所表示的组合。
如下图所示，在均值—方差平面上，由于无差异曲线具有凸性，表示随着风险的增加，投资者要求更多的收益作为补偿;有效边界具有凹形，表示随着风险的增加，收益增加的幅度在减慢。因此，对于每一个具体的投资者而言，在其众多的无差异曲线中，必然有一条与有效边界相切，如下图中的无差异曲线l与有效边界AB相切于点O。切点O就是该投资者的最优投资组合，代表投资2
者能够实现的最大效用。
资产组合的有效前沿
资产组合的有效前沿
T
w =(w ，w ，w ，w ，w ) 12345代表五项资产财富假定1 市场上存在五项资产，令
的相对份额，则有：
∑w
i =1
5
i
=1
且不受卖空限制，即允许
w i ≤1
假定2
r =(r 1, r 2, r 3, r 4, r 5) T 也是一个5维的向量，表示每种资产的期望
r p
_
收益率，则组合的期望收益为
=w T r
假定3 使用矩阵A 表示资产之间的方差协方差，有
?σ11σ12?σσ?2122A =?. . ?
. ?. ??σ51.
论证
有效集的条件为
. . . . .
. . . . .
σ15?σ25??. . ??. ?σ55??
12
min σp 2=w T Aw ?min σp =w T Aw
2
st
T T
w r =
r
_
p
w 1=1
T
1=(1,1,1,1,1) 其中
构造拉格朗日函数
_
1T T T =w Aw +λ(-w r ) +λ(1-w 1) 1r p 2L 2λ1, λ2
方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵，二阶导大于零，只要满足一阶导的条件即可
?L
=Aw -λ1r -λ21=0?w ?L _
=r p -w T r =0?λ1
?L
=1-w T 1=0?λ2
令
其中0=（0,0,0,0,0）
a =r T A -1r b =r T A -11c =1T A -11d =ac -b 2
解得最优权重为
w =
又有
c p -b d
T
_
A r +
-1
a -b p
d
_
A -11
σ=w Aw
所以
2p
c b 21σ=(rp -) +
d c c
2p 即
b 2
2(rp -) σp
=1-d 2
c
为双曲线 其中
σ
2
p
最小时，
r p =
b c
b r p =
σc 等价p 最小时，
b r g =r g
c 令 其中为左端点的值
1. 选取五支股票（000001、000002、000004、000063、000089，即平安银行、万科、国农科技、中兴通讯、深证机场），以周为单位，选取2012年1月1号到10月30号的历史交易信息，原始数据如下：
部分数据（共42组数据）
2．数据太小，去掉百分号的数据，每一组的周收益率乘以100，结果如下表：
部分数据（共42组数据）
3. 利用调整的数据求得矩阵A
项间协方差矩阵A
4. 求得A
1
-1
5. 求得向量r
r =(-0.2790 ,0.4601, 0.2697 ,-1.4632 ,-0.1651 ) T
6. 求出a,b,c,d
a =r T A -1r =0.201172
b =r T A -11=-0.07686
c =1T A -11=0.273742
d =ac -b 2=0.0491618
其中a 修正要乘以1，b 修正乘以100，c 修正乘以10000，结果入下所示
7．得出模型
b 2
(r) p -σ-=1r d 2p
c 且
2p
b ≥r g =
c ，σp ≥0
模型的函数图象为双曲线右支的一部分
8．画出图形，列表画图，表如下
部分数据（共26组数据）
根据表格做出图形如下
修正后的图形
第11章 有效资产组合
第十一章 有效资产组合集合求解
企业制订组合投资决策要经过确立可能资产组合集合、求解有效资产组合集合和选择最优资产组合方案三个主要技术环节。本章论述的是，投资者如何从所有可能的组合投资方案中求解出有效的组合投资方案集合，排除无效的可能资产组合方案。求解有效资产组合集合是建立在确定可能资产组合集合的基础之上。
一、组合资产之间的相关性问题
（一）、多种资产之间相关性的说明
期望收益率和方差是描述多种单项资产及其组合收益率分布的两个重要的数字特征。企业和市场都是开放的经济系统，并且相互关联。不同经济系统的资产之间也必然存在各种不同程度的关联性，包括关联性的极端现象即相互关系等于零。一种资产的价格上涨很可能伴随着另一种资产价格的上涨，或者一种资产价格的上升很可能伴随着另一种资产价格的下跌，显然，这两种资产之间存在一定的互联变动性。不同的资产联对或组合，这种互动性的方向和程度并不一样。如果我们能够准确掌握两种资产之间的互动性程度，就可由一种变量因素对某种特定资产价格的影响推知其对另一种资产的影响。这一原理，我们在第八章论述可能资产组合集合时已经叙述过。掌握各种不同资产之间的相关性也是确立可能资产组合集合的必要条件。由于资产之间相关性问题非常重要，属于关键性问题，这一章将进一步对它进行解释。
组合资产之间的相关性主要有三种类型：完全线性相关、不完全线性相关和不相关。
1. 完全线性相关
完全线性相关是资产之间的一种确定性的关系。如果恰好有两种资产A ，B ，其二者的收益率存在某种确定性的关系，即R A =a +bR B ,a 和b 均为常数, 并且b ≠0。这种确定性关系反映在横轴为R B 、纵轴为R A 的直角坐标系图形上, 资产组合(A，B) 的所有可能收益联对恰好落在一条直线上。在这里, 资产A 和资产B 的收益率如果满足关系式:
R A =a +bR B (a，b 为常数，且b ≠0) (9-1)
则称资产A 与B 完全线性相关。在这种关系下，一种资产收益率的变化完全由另一种资产的变化来确定。两种资产收益组合直线斜率b ＞0，直线斜率为正，则两种资产收益的变化是同一方向的，A ，B 两种资产是完全线性正相关。如果直线斜率b 0, 则b 2σB 0时，此时b ＞0，互动性是相同方向，A 与B 为正相关；当ρAB 0。实际上，这是以参数W A 表示的双曲线方程。它表明当A ，B 两种资产之间的相关系数等于零时，由这两种资产构造的资产组合集合形成了双曲线上的一个部分。在这一段双曲线上，有一点特别重要，即双曲线的顶点，也是σp 极小值的点。σp 取极小值意味着该点所代表的资产组合在全部资产组合集合中风险最小，通
常称之为最小风险组合。那么，在这种情况下，通过组合投资究竟能将投资风险降低到多大程度，根据公式(9-26)求出σ2p 的最小值即可得到答案。
最小风险组合地求法是，首先对σp 微分，令其微分为零，然后求解投资比例W A 。即 σP =[W
2
A
σ-(1-W A ) σ]2A
2
122
，令B
d σp dW A
=0，所以有：
2
σB
W A =2, (9-27) 2
σA +σB
将前面给定σA , σB 数据代入公式(9-27)得：
32
W A =2, 2
5+3
W B =1-W A =73. 53%
即此例最小风险组合由26.47%的资产A 和73.53%的资产B 构成。资产组合的平均收益率为： R p =0. 2647R A +0. 7353R B =0. 2647?0. 12+0. 7353?0. 08=9. 06% 资产组合的风险为：
σP =[W σ+W σ+0]=(0. 2647?5+0. 7353?3) =2. 57
22
σB σA
从公式(9-27)可以看出，00，说明投资者为实现组合投资购买了债券；若(1－x) 1，意味着投资者以无风险利率i 借入资金用于购买比期初资金风险更大的资产。
设有三种风险资产，有效非杠杆投资组合m 由下列投资比例给出：
W 14
W 24
W 32
111
投资于资产一，投资于资产二，投资于资产三。组合投资m 完全442
1 1 1
资金总额1元钱，
由三种风险资产构造，并且三个比例相加为1
∑W
i =1
3
i
=W 1+W 2+W 3
现在，再假设又向别人借了1元钱，这时可用于风险投资的全部资金变为2元。公式（9-41）
中的x 将变为x=2，而不是x=1。这样，每种风险资产的投资增加了一倍，从而得到一种新组合，其投资比例为：
W 1 W 2 W 3
2 2 1
这是一种杠杆资产组合。风险资产比例相加等于2，即
∑W
i =1
n
i
=2，投资于无风险资产的比
例则为1-未改变。
∑W
i =2
n
i
=-1，这表明，杠杆资产组合是由借款创造的。不过，风险资产投资比例并
投资者为了获得非杠杆投资组合上第i 种风险资产的比例Z i ，可将杠杆投资组合中的比例
W i 除以杠杆组合中所有n 种风险资产比例之和，因而有：
Z i =
W i
∑W
i =1
n
i
于是最佳非杠杆投资组合的标准化投资比例Z i 为：
Z 1 Z 2 Z 3
1
111
= =
22424
1
显然，
Z ∑λ
=1
3
i
=Z 1+Z 2+Z 3。
在建立杠杆投资组合时，无风险资产的借入和贷出利率的确定很重要。有效的风险资产组
合同真实利率上升的直线的切点，构造出最佳风险资产组合；而有效的风险资产组合同某一利率(相当任意) 上升的直线的切点则只能形成有效的风险资产组合。当然，无论哪一种情况，基本上仍然是通过拉格朗日乘数完成有效或最佳资产组合的构建。
(七) 、存在无风险资产的有效组合问题
投资于一种无风险资产F ，表明能获得某一确定的收益率R F 。由于收益率是确定的，其收益方差便为零，在R P -σP 的坐标系中，无风险资产落在纵坐标轴的点(0，R F ) 上。在我们构造有效证券组合时，可能购买一定数量的无风险证券，此时称为贷出了无风险证券；也可能卖空一定数量的无风险证券，此时称为借入无风险证券。
无风险证券与风险证券的组合将是一条直线，并且所有的有效可行的风险证券组合可被视为一种风险证券。一般地，没有无风险证券参加的风险组合往往只是有效组合，而在风险资产组合中加入了无风险证券就可成为最好的风险证券组合。这种组合，投资者只需决定借入和贷出多少即可，剩余的资金只有一种适当的风险组合是惟一最佳选择，因而，这种适当的风险组合就是最优风险组合。而最优风险的存在将我们愿意承担多大的风险的决策与具体确定持有各种风险证券的比例分离开来。这一特性常被称为分离原理。
三、单指数模型
（一）、问题的提出
我们知道，资产组合的规划、分析和决策，就是要求解最佳资本资产的组合，即求解出每一资产在资产组合中的投资比例W i 和资产组合的平均收益率及风险。前已述及，对于有n 个资产构成的组合P ，则有：
R P =
∑W R
i
i =1
n
i
σp =
∑W
i =1
n
2
i
σ+∑∑W i W j σij
2
i
i =1j =1
j ≠i
n n
这里的数学关系式告诉我们，如果投资者考虑的是由n 个资产构成的组合，那么在求解有效资产组合时，需要掌握三个方面的基本数据：①每一资产的平均收益率R i ，共需n 个；②每一资产的收益标准离差σi ，共需n 个；③每一对资产之间的相关系数ρij ，共需n ?(n -1) ?个；总计需要2n ＋n ?(n -1) ?
1
2
1
个基础性数据。对于每天追踪30～50种股票的投资机构来说，2
每天需要处理495～1 325个数据；对于每天追踪150～250种股票债券的机构投资者而言，每天就要收集处理11 475～31 625个基本数据。显然，这对各种投资者来说都是一种非常耗时的事情。那么，如何使投资组合理论和方法有效实用，简便易行，真正为企业财务管理实际工作者服务，就成为财务经济学家极为关心的问题。解决这一问题的途径有两个方面，一是简化和减少基本数据，二是简化计算最佳资产组合的过程，特别是要简化基本数据的种类和数量。于是，简化工作分指数化和平均化两种方式。
指数化是把每一金融资产的收益变化与证券市场指数联系起来，只考虑该证券与股市指数之间的相关关系，而不考虑证券与证券之间的相关关系。各种证券之间的相关关系通过其各自与股市指数之间的相关关系体现出来。平均化则是将各种资产之间的相关关系系统到一个平均值上。当然，采取这些简化方法也要付出一定的代价，因为它牵涉一些不必与实际证券价格行为相吻合的假设。
（二）、单指数模型(SIM)
这一模型的基本思想是，证券价格由于某种共同因素的作用而有规律地上升或下跌。这里的某种共同因素可能是政治的因素，如政府政策变动；可能是经济因素，如实际利率变化，或者是地区性的、国际性的某一类因素在作用。这样，证券i 的收益率就与某股市一般指数有关，从而存在某种线性方程关系。
换言之，在一般情况下，当股市指数上扬时，绝大多数股票的价格趋于上升；当股市指数下挫时，绝大多数股票的价格则同时趋于下跌。这说明各种证券之间之所以存在着某种互动性
或相关性，是因为它们对股市变化有着共同的反应。因此，我们可不必测算证券与证券之间的相关系数ρij ，而换之以测算每一证券与股市指数之间的相关系数βi 。这种简化导致了市场指数模型。该市场指数模型把一个证券的收益分成两个部分：来自市场的受股市大市变化影响的部分和与股市无关的部分。其基本公式是：
R i =U i +βi R m (9-42)
式中U i 是一随机变量，表示证券i 的收益中与市场作用无关的部分；R m 表示市场指数的收益率或市场组合的收益率，它也是一个随机变量；βi 为一常数，是用于衡量证券i 的收益对市场收益敏感性的一个测度，它是相对于市场组合而言测量证券i 风险程度高低的一个财务指标。
为了计算和分析的方便，我们可将收益中与市场无关的部分U i 分解成两个部分： U i =a i +e i
式中，a i 表示U i 的平均值或期望值，a i =E (U i ) =U i ; e i 为一随机变量，表示U i 中超过或低于平均值的部分，称为残值。
在给予上述定义和简化后，我们可得出资产组合单指数模型的基本方程和约束条件如下：
R i =a i +R m βi +e i (9-43)
e i =E (e i ) =0 (9-44) E [e i (R m -R m )]=0 (9-45) E (e i e j ) =0 (9-46)
2
E (e i ) 2=σei (9-47)
2E (R m -R m ) 2=σm (9-48)
其中，公式(9-43)是基本方程，说明证券i 收益率的三个来源，公式(9-44)说明残值的平均值为0；公式(9-45)说明残值与市场指数无关；公式(9-46)说明证券i 和j 的残值之间不相
22关；公式(9-47)说明残值的均方差为σei ，公式(9-48)则说明市场收益的均方差σm 。
由此，可以得到以下结论： (1)证券i 的平均收益率为：
R i =E (R i ) =E (a i +R m βi +e i ) =E (a i ) +E (R m βi ) +E (e i ) =a i +R m i
(2)证券i 的收益均方差为：
σi 2=E (R i -R i ) 2
=E [(a i +R m βi +e i ) -(a i +R m βi )]2=E [(R m -R m ) βi +e i ]2
=E [(R m -R m ) β+2(R m -R m ) βi e i +e ]=βi 2E (R m -R m ) 2+2βi E [(R m -R m ) e i ]+E (e i ) 2
22
=βi 2σm +σei
2
2
i
2i
(3)证券i 与证券j 之间的协方差为：
σij =E (R i -R i )(R j -R j )]
=E [(a i +R m βi +e i -a i -R m βi )(a j +R m βj +e j -a j -R m βj )]2
=E {[(R m -R m ) βi +e i ][(R m -R m ) βj +e j ]}
=E [(R m -R m ) 2βi βj +(R m -R m ) βi e j +(R m -R m ) βj e i +e i e j ]
2=σm βi βj
根据上述单个证券平均收益率、收益均方差，以及证券之间协方差的三个结论，可以推导出证券组合P 的平均收益率和收益均方差：
n
R P =∑W i R i
i =1
=
∑W (a
i
i =1n i =1
n
i
+R m βi )
n
(9-49)
=∑W i a i +R m ∑W i βi
i =1n
σ=∑W i σ+∑∑W i W j σij
2p
2
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i 2ei
2
=∑W i (βσ+σ) +∑∑W i W j βi βj σm
2
2i
2m
i =1n
i =1j =1
j ≠i
n
n
n
n n
(9-50)
n i =1
222
=∑W i 2σei +∑∑W i W j βi βj σm +∑W i 2βi 2σm
i =1n i
i =1j =1
j ≠i n
n
n n
2
=∑W i σ+∑∑W i W j βi βj σm
2
2ei
i =1j =1
根据公式(9-49)和(9-50)可知，利用单指数模型评价资产组合，所需要的基本数据如下： n 个与市场指数无关的平均收益率a i ；
2n 个独立的风险指标σei ；
n 个市场风险敏感测度βi ；
1个市场组合平均收益率R m ；
2
1个市场组合风险指标σm 。
总计需要3n ＋2个基本数据。这样，对于一个每天追踪30～50种股票的投资者，每天仅需要收集处理92～152个数据；对于一个每天追踪150～250种股票的机构投资者来说，每天仅需要收集处理452～752个数据即可。这与简化之前相比，大大地减少了工作量。
如果我们假定：
αp =∑W i αi βp =∑W i βi
i =1
i =1
n n
则证券组合收益可写成R P =αi +βp R m ，与单个证券市场收益率R i =αi +βi R m 相似。 如果我们对n 种证券进行等额投资，每种证券的投资比例为
2σ=∑∑W i W j βi βj σ+∑W i 2σei 2p
2m
i =1j =1
i =1
2
=(∑W i βi σm )(∑W j βj σm ) +∑W i 2σei
i =12p
j =1
i =1
2
+∑W i 2σei
i =1n n
n
n
n
n
n
n
1
，那么证券组合的风险为： n
=βσ
2p
2m
112
=βσ+∑??σei
n i =1n 1222
=βp σm +σei
n
2m
由此可见，证券组合的风险σp 也是由两部分构成，第一部分是来自市场中的风险βp σm ；第二部分是与市场无关的部分
222
12
σei 。随着资产组合中资产数目n 的不断增大，第二部分风险n
将不断减少，而第一部分风险，即来自市场的风险，却并不随着资产组合中资产数量的增加而减少。因此，与市场供求状况无关的第二部分风险通常被称为可分散性风险，或非系统性风险；把第一部分风险，即来自市场的风险，称为不可分散风险，又称系统性风险。如图9-8所示。
σ n 资产种类
图9-8 资产种类与组合分险
资产组合中资产数目与非系统性风险之间的关系见表9-3所示。 表9-3 分散化对非系统风险的影响
从表9-3中可以看出，如果假定未经分散化处理的资产组合的非系统风险为100%，那么当投资分散到5种资产时，非系统风险降为原来的20%；当把投资分散到100种资产时, 非系统性风险只剩下1%，其下降幅很大。不过，也应注意，通过对资本市场均衡分析可发现，非系统性风险是一种不能给投资者带来收益的风险，因而，在实际投资过程中冒这种风险是无意义的。
单指数模型之所以称为单指数，是因为投资者在建立模型时，假定所有资产只对一个市场指数起共同反应。但是，当考虑到证券市场因素以外的因素作用时，单指数模型就不适用了。
四、复指数模型
企业进行组合投资，有时不仅要考虑股市指数的共同作用，还要考虑某些分类经济指数和非证券市场因素如经济增长、就业、利率水平、基础产业等因素对资产价格的作用，这时就必须使用复指数模型。同单指数模型相似，复指数模型也包括基本方程和约束条件两部分内容。
设R i 为资本市场中某一证券的收益率，在考虑证券市场和非证券市场多种因素共同作用的情况下，则有：
R i =a i +b i 1I 1+b i 2I 2 +b ij I j + b iL I L +d i (9-51)
式中，I j ——影响证券收益状况的第j 个因素的实际水平，如利率、经济增长率等，相当于单指数模型中的R m ；
11
——测度I j 因素对证券收益率影响程度的指标，相当于单指数模型中的βi b ij 11
1
1
1
1
11
1
1
1
a i 1——证券收益中与各因素无关部分的平均值； d i 1——证券收益中与各因素无关的部分的离差。
如果所考虑的各个因素I 1, I 2, , I j , , I L 之间不存在任何的相关性，即ρI i I j =0，则公式
1
1
1
1
11
(9-51)就可作为复指数模型的基本方程直接用于收益分析。但是，由于I 1j (j=1,2，?，L) 都是社会经济中各种统计指标的实际值，因此，各指数之间普遍存在着某种相关性，如价格指数与利率水平两者都受经济增长的影响，都与货币投放量有关，换言之，两者都受同一个或几个因素的作用，因而两个指数之间肯定存在着某种程度的相关性。由于产品价格和利率除了受到某些共同因素的影响外，还分别受到各自相关的不同因素的影响，这意味着两个指数之间不可能存在完全正相关的关系。因而，在进行组合投资分析时，必须剔除某些共同因素的作用，只计算各个独立的因素对收益的纯影响，而不能笼统地把所有实际指数都不加区别考虑进去，否则就会产生重复计算和财务管理低效率问题。把各相关的实际指数对证券收益的作用，转变为各个独立因素对证券收益各自作用的数学处理过程，称为正交化。这里仅对其结果进行分析，而对正交化数学处理暂存而论。
对实际经济指数实施正交化，剔除其相关性后，可得复指数模型基本方程和标准形式： R i =a i +b i 1I 1+b i 2I 2 +b ij I j + b iL I L +d i (9-52)
其约束条件：
E [(I j -I j )(I K -I K )]=0 (9-53)
E (d i ) =0 (9-54)
E [d i (I j -I j )]=0 (9-55)
2
E (d i ) 2=σdi (9-56)
2 E (I j -I j ) 2=σij (9-57)
根据复指数模型的基本方程和约束条件，我们可得出如下结果：
(1)证券i 的平均收益率为：
R i =a i +b i 1I 1+b i 2I 2+ +b ij I j + b iL I L (9-58)
(2)证券i 的收益均方差为：
σ=E (R i -R i ) 2
22222222
=b i 21σi 1+b i 2σi 2+ +b ij σij + +b iL σiL +σdi (9-59)
2i
-
(3)证券i 和证券j 之间的协方差为：
2σij =E [(R i -R i )(R j -R j )]
22
=b i 1b j 1σi 21+b i 2b j 2σi 2+ +b iL b jL σiL (9-60)
由上述三个结论可推导出证券组合P 的实绩公式。设对n 种证券进行组合分析，则资产组
合P 的平均收益率为：
R p =∑W i R i
i =1
-
n
-
=∑W i (a i +b i 1I 1+b i 2I 2+ +b iL I L )
i =1n
n
=∑W i a i +∑b i 1I 1W i +∑b ij I j W i + ∑b iL I L W i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n
(9-61)
资产组合P 的风险为：
σ=∑W i σi +∑∑W i W K σiK
2p
2
2i
i =1
n n n
n
2
2i
n
i =1
i =1K =1
K ≠i
2i 1
n
n
2i 2
n
n
i =1K =1
i =1k =1
2
=∑W i σ+∑∑W i W K b i 1b K 1σ+∑∑W i W K b i 2b K 2σ+ +∑∑W i W K b iL b KL σiL
K =1
n
(9-62)
b pj =∑b ij W i
如果令：
i =1n
n
a p =∑W i a i
i =1
则公式(9-61)和(9-62)可分别写成：
R P =ap +bp 1I 1+bp 2I 2+ +b pL I L
σ=∑W i σ+b σ+ +b σ
2P
2di
2P 1
2i 1
2PL
i =1
n
2iL
从公式(9-61)和(9-62)中可以得出，利用复指数模型进行组合投资分析所需基本数据是： (1)n个与经济指数无关的独立收益率a i ；
2
(2)n个与指数无关的风险指标σdi ；
(3)L个指数指标的平均收益率I j ； (4)L个指数风险指标σij ； (5)L×n 个指数敏感性指标b ij 。
共需要2L ＋2n ＋Ln 个基本数据。其具体数目取决于两个方面：资产组合中所包含的证券种数n 和分析时所引入的指数个数L 。
在所有复指数模型中，使用得最广泛的一种指数是行业指数模型。这一模型的基本假设是：某上市公司的股票价格主要受整个股市指数和该企业所在行业的行业指数这两个因素的共同影响。因此，对于某一行业j 中的第i 个企业而言，其股票收益率的数学表达式是： R i =a i +βim I m +b ij I j +d i
式中，R i 为企业i 的股票收益率；a i 为股票收益率中与整个股市及其所在行业无关的收益部分的平均值；d i 为其离差；I m 为来自市场指数的收益；I j 为来自所属行业的行业指数的收
2
益；b im 和b ij 分别表示股票对资本市场和行业指数的反应灵敏度。如果行业指数与市场指数不相关，那么就有：
R i =a i +b im I m +b ij I j
22222
σi 2=b im σim +b ij σ1j +σdi
2σik =b im b km σm (i，k 分别属于不同行业)
2σik =b im b km σm +b ij b kj σ2jI (i，k 分别属于不同行业)
此时，资产组合P 的平均收益率可表达为：
R P =∑W i R i =∑W (a i +b im I m +b ij I j )
i =1
i =1
n n
=∑W i a i +∑b im I m W i +∑b ij I j W i
i =1
i =1
i =1
n n n
(9-63)
资产组合P 的风险可表达为：
σ=∑W i σ+∑∑W i W k σik
2
p
2
2i
i =1
i =1k =1
k ≠i 2ij
n n n
=∑W i (b σ+b σ
2
2im
2m
n
2jI
i =1n
2
+σ) +∑∑W i W k b im b km σm
2di
i =1k =1
k ≠i
2
n n
(9-64)
2di
n
n i =1k =1
l ≠i
2
=∑W i b σ+∑W i b σ+∑W i σ+∑∑W i W k b im b km σm
22im
2m
22ij
2Ij
i =1n
i =1
i =1n
n n
2
=∑W i σ+∑W i b σ+∑∑W i W k b im b km σm
2
2di
22ij
2Ij
i =1
i =1
i =1k =1
n n
(不同行业) 或者： σ如果令 a p =
2p
2
(9-65) (不同行业) =∑W i σ+∑∑W i W k b ij b kj σ+∑∑W i W k b im b km σm
2
2
di
2Ij
i =1
i =1k =1
i =1k =1
n
n
n
n
n
∑a W
i i =1
n
i
b pm
?n n ?2
W W b b =b pj ??∑∑i k ij kj n
?i =1k =1?
=∑b im W i ?则有?n n ? i =12??W W b b =b ∑∑i k im km pm ???i =1k =1?
n
b
2
pj
=∑b ij W i
i =1
上式可改写为：
R P =a p +b pm I m +b pj I j σ
2p
2222
(对于不同行业企业之间的组合) =∑W i σ+∑W i 2b ij σjI +b pm σm
2
2
di
i =1
i =1
n
n
或者：
σ
2p
2222
=∑W i 2σdi +b Pm σm +b pj σ2jI (对于不同行业企业之间的组合) i =1n
由公式(9-63)、(9-64)和(9-65)可知，如果对于同一行业的不同企业之间的股票组合，则
需其基本数据为：
(1)n个独立的平均收益率a i ；
2
(2)n个独立的风险指标σdi ；
(3)n个市场敏感测度指标b im ； (4)n个行业敏感测度指标b ij ； (5)1个行业指数收益指标I j ； (6)1个市场指数收益指标I m ； (7)1个行业指数风险指标σ
2
jI
；
2
(8)1个行业指数风险指标σm 。
共需要4n ＋4个基本数据。如果对于不同行业的企业证券进行组合，假定这些企业属于L 个行业，则所需基本数据为：
(1)n个独立的平均收益指标a i ；
2
(2)n个独立的风险指标σdi ；
(3)n个市场指数敏感测度指标b im ； (4)L×N 个行业指数敏感测度指标b ij ； (5)L个行业指数收益指标I j ； (6)L个市场指数风险指标σ
2
jI
；
(7)1个市场指数收益指标I m ；
2
(8)1个市场指数风险指标σm 。
共需要3n ＋Ln ＋2L ＋2个基本数据。具体取决于组合中证券的个数及其所属行业的个数。综上所述，指数化模型是把各个证券之间的相互影响简单化为每一证券与市场指数或某几个经济和行业指数之间的相互影响，用证券与市场指数或其他指数之间的关系来代替各证券之间的相互关系。这种简化实际上是舍弃了各单个证券之间直接的相互作用，代之以考察全部证券之间的共同作用。这是复指数模型和单指数模型的本质特征。
与指数化模型不同，平均化模型是只考虑各单个证券之间的直接作用，而不考虑全部证券的共同作用。它是把证券按上市公司的所属行业分成不同的类别，假定属于同一个行业的所有上市公司的证券价格受到同样因素的影响，其收益之间相互关系基本上是相同的，因而可用整个行业所有上市司证券之间的平均相关系数来代替各单个公司证券之间的个别相关系数。而不同行业的上市公司证券之间的相关系数，则可以用两个行业之间证券的平均相关系数来代替，即用行业指数之间的相关系数来代替。
因此，企业在进行组合投资分析时，只要考虑各行业内部各企业之间的平均相关性和各行业之间的相关性两种相关系数就可以。假定证券市场上存在着n 种证券，这些证券分属m 个行业。这样，对于第j 个行业的所有上市公司的证券，其相关系数只有一个，即ρj ；所以，对于m 个行业，共有m 个ρj (j=1,2,?，m) 。同时，对于不同行业之间的上市公司的证券，其相关系数可以用行业指数之间的相关系数代替，对于m 个不同行业，共有： 1+2+3+ +m -1=
m (m -1)
2
个相关系数。因此，对于由m 种证券组成的资产组合，如果这些证券分属m 个行业，那么总共需要考虑的相关系数数量为： m +
m (m -1) m (m +1)
= 22
再加上n 个收益均方差R i ，n 个独立风险σi 2，企业进行证券组合分析时总共需要的基本数据为：2n +
m (m -1)
个。 2
在所有的平均化模型中，最常见的一个模型是常相关模型，它是假定所有上市公司证券之间的相关系数都是相同的，用平均相关系数来代替每一证券之间的个别相关系数。根据这一模型，证券组合的平均收益率为： R P =
∑W R
i
i =1
n
i
资产组合的风险为：
σ=∑W i σ+∑∑W i W k ρik σi σk
2p
2
2i
i =1
n n n
i =1K =1
K ≠i
=∑W i 2σi 2+∑∑W i W K σi σK ρ
i =1
i =1K =1
K ≠i
n n n
使用常相关模型进行资产组合分析所需要的基本数据为：(1)n个平均收益R i ；(2)n个收益均方差R i ；(3)1个平均相关系数。共计需要2n ＋1个数据。对于每天追踪30～50种投票的投资者，每天需要收集处理的数据为61～101个；对于每天追踪150～250种股票的机构投资者，每天需要收集处理的数据为301～501个。
主要参考文献：
1，陈雨露，赵锡军主编 金融投资学，北京：中国人民大学出版社，1996. 2，［美］哈姆·勒威、马歇尔·萨纳特著，**贤、朱敢林译. 证券投资组合与选择. 广州：中
山大学出版社，1997. 3，罗福凯著 《战略财务管理》，青岛：青岛海洋大学出版社2000. 4，［美］小艾尔弗雷德·D ·钱德勒著，重武译. 看得见的手——美国企业的管理革命. 北京：
商务印书馆，1997.
5，刘志强著. 现代组合资产理论与资本市场均衡模型. 北京：经济科学出版社，1998.
多种种风险资产组合有效前沿
数学模型论文
题 目
系 别
班 级
姓 名
学 号
新疆农业大学数理学院
目录
摘要、关键词与定义…………………………………………………….3 多种种风险资产组合有效前沿的定义…………………………………3
多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理：……………………………3
部分选股数据处理及计算………………………………………………4 结论………………………………………………………………………7
多种种风险资产组合有效前沿
作者： 指导教师：
摘要：针对投资者总希望用尽可能小的风险来获得尽可能大的收益，本文进行了有效组合的详细构建。文章中通过抽样的方式选取几只有代表性的股票来构建中国股票市场的有效前沿。
关键词：投资组合；有效前沿；股票市场；预期收益。
证券投资组合有效前沿的定义：有效边界是组合证券资产选择的重要基础。
根据现代证券投资组合理论，理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”这两个特征，即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最下化。在多种风险证券组合收益模型中，对于每一个给定的收益率水平，得到的对应投资组合的方差或标准差比在同样收益水平的任何组合的方差或标准差要来得小，称之为有效前沿。在均值—方差坐标系当中，组合的前沿是抛物线；在标准差—均值坐标系中，则是一条双曲线。收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合，位于组合前沿的上半部分，被称为有效前沿。为了更加具体地描述有效前沿，我们将采取浅入深出的方式来阐述这一问题。
多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： 设市场上有n种证券，其收益率为xi（i=1,2…n），xi为随机变量。用向量的形式
T
可以表示为：x=(x1, x2….xn) 其数学期望与方差为:
E（x）=[E(x1),E(x2),…E(x3)]=u=(u1,u2,…un) Var(x)=E((x-u)(x-u)T)=Σ=(σij)n*n
设投资组合投资于第i种证券的比例为ω（i=1,2，…n）, 用向量表示为：
ω=(ω1, ω2…ωn)T 这里Σωi=1
令 1Tω=1 其中 1T=（1,1...1）
这一组合的期望收益就是该组合所有证券期望收益的加权平均，即：
E（ωTx）=ωTE(x)= ωTu
该投资组合的方差为：
Var（ωTx）=E((ωTx-E（ωTx）)( ωTx-E(ωT))= ωTΣω 为了计算证券的有效前沿，我们假设投资组合的期望收益率为已知量，即ωTu=a，
TT
且有 1ω=1,在此已知条件下，求符合限定条件的ω，使得组合的风险ωΣω最小。
构造拉格朗日函数，得
L=ωTΣω-2λ11（ωT1-1）-2λ2（ωTu-a） ?L
=2Σω-2λ1*1-2λ2*u对ω求偏导，得 ?ω
ω=Σ-1（λ11+λ2u）
令 A=1TΣ-11 B=1TΣ-1u C=u TΣ-1u 带入ω，得
?C-aB?-1 -1
ωa=Σ?AC-B2?*1+Σu ?
C-aB-1aA-B-1
∑*1+∑u
AC-B2AC-B2
此证券组合预期收益ωaTx的方差为
=
σ2=VarωaTX
aA-B-1??C-aB-1T
=ωa∑ ∑*1+∑u?
AC-B2AC-B2??
从而得到组合收益与方差的函数关系： Ba-σ2=1 -
1/AA2
在平面上，该函数图形是一个以（0，B/A）为中心，以σ=0和a=A/B为对称轴的双曲线。由于必须保证σ>0,a>0,因此投资组合的可行区域为双曲线在第一象限内的一支。此外，可以求得点g（(1/A)^(1/2)，B/A）为“全局最小方差组合”， 最小方差为：σ2g=1/A,ωg=
∑-1*1
在投资者理性投资的假设下，任何投资者都A
()
不会选择g点以下的组合，g点以上的前沿是可行集中相同风险（方差）下受益最大的组合，即有效组合。
例：本文选取了具有代表性的为春兰股份 ，古越龙山，烟台万华
输入各个证券的预期收益率
预期收益率 标准差
五矿发展 -0.52%
32%
春兰股份
-0.77% 26%
古越龙山 0.06%
45%
烟台万华
-1.16% 36%
浙大网新 -0.60%
各个证券间的协方差矩阵
五矿发
春兰股
古越龙烟台万华 浙大网新 各个证券间的协方差逆矩阵
五矿发春兰股古越龙
烟台万华
浙大网新 得到所求P值为最佳组合收益 P=
21.64%
32.63%
32.52%
12.02%
1.20%
结论：马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。但以股票的历史收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时方差对结果影响较大，以股票的历史收益率的方差度量资产风险与相关性，可能会与实际方差矩阵存在一定的偏差。投资组合构建完成后，在实际运行中需要对投资组合进行分析，即计算投资组合收益情况。实际中，可能用收益率作为评价投资组合绩效的尺度和标准，操作性强，并不能真正评价业绩。因此仅仅计算出投资组合的平均收益率还不够，必须根据风险大小对收益率进行调整，即计算风险调整的收益率
谢 辞
数学模型论文暂告收尾，这也意味着大三这一学期学习数学模型结束，在这
里首先我向我的导师XX老师致以衷心的谢意。在苗老师的悉心的指导和言传身教下，我才能得以顺利完成这次数学模型论文工作，论文初稿与定稿无不凝聚着苗老师的心血和汗水，在我的模型的设计和处理期间，老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议。通过这次自己的实践写论文过程让我学到了不少东西，比如平时不注意的概念以及计算机的一些操作等。我觉得这对我以后写毕业论文会很有帮助，在这次的论文编写中遇到了很多问题也是我以后要注意的，在此我像帮祝我的老师同学们表示深深地感谢！真心的说一句谢谢！
两个风险资产的投资组合的有效边界模型
两项风险资产的投资组合有效边界模型
资产A比重
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%绘图数据区域资产B比重预期收益率标准差100.00%4.80%19.00%90.00%6.01%15.00%80.00%7.22%11.28%70.00%8.43%8.24%60.00%9.64%6.87%50.00%10.85%8.05%40.00%12.06%10.99%30.00%13.27%14.67%20.00%14.48%18.66%10.00%15.69%22.79%0.00%16.90%27.00%
