-杨老师
由此可知，木块与水平桌面的滑动摩擦力为 （
）
A. 4.5N B. 3.2N C. 3.0N D. 2.1N
解析：我们知道，在测定滑动摩擦力的实验中，采取的是“等效替代法”，即当物体做匀速直线运动时，用作用在弹簧测力计上的拉力反映物体间摩擦力的大小。并且摩擦力的大小只与压力的大小和接触面的粗糙程度有关，与物体的运动速度是否变化没有关系。从表格中的数据可以知道，该物体做匀速运动时，弹簧测力计的读数为3.0N，故木块与水平桌面的滑动摩擦力为3.0N。
答案：C
变式1、将一个物体变为两个物体
如图1所示，两个完全相同的物体A、B在同一水平面上做匀速直线运动，若不计空气阻力，且v1>v2，则它们所受到的拉力F1与F2的关系为 （ ）
A. F1>F2
B. F1
解析：当用弹簧测力计匀速拉动物体时，弹簧测力计的读数就等于物体所受到的滑动摩擦力，即在水平方向上拉力和物体受到的摩擦力是一对平衡力；做匀速直线运动的物体的速度大小与平衡力的大小是没有关系的。由题中的“两个完全相同的物体在同一水平面上做匀速直线运动”知道，两物体对水平面的压力及接触面的粗糙程度都是相同的，根据影响滑动摩擦力的因素不难知道，物体与水平面之间的摩擦力相同。故对物体所用的拉力与摩擦力相等。
答案：C
变式2、将拉力的方向变为水平的两个方向
如图2所示，一物体放在水平面上，在拉力F1和F2的作用下做匀速直线运动。关于F1和F2的大小关系，下列说法中正确的是 （ ）
A. F1>F2 B. F1=F2 C. F1
解析：题中仅告诉了“物体在拉力F1和F2的作用下做匀速直线运动”，这也许就是本题所设置的陷阱。其实，在阅读完题后应该想一想：物体表面是光滑的还是粗糙的？物体是向左运动还是向右运动？如果能这样认真分析、全面思考的话，其正确答案也就水到渠成了。如果物体表面是光滑的，则物体在二力作用下做匀速直线运动时，此二力为一对平衡力，则应选B。如果物体表面是粗糙的，当物体向左运动时，受到向右的摩擦力，因三力
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平衡，则应选A。当物体向右运动时，受到向左的摩擦力，因三力平衡，则应选C。由于题中没有告诉物体表面是否光滑，也没有告诉物体向什么方向运动，故以上情况均有可能。
答案：D
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2005hep09第3章平衡力系作用下物体的受力
66
第3章 平衡力系作用下物体的受力
本章依据第1章的力系平衡条件，导出空间任意力系的平衡方程及各种特殊力系的平衡方程，其中平面任意力系的平衡方程在刚体与简单刚体系统中的应用，是本章的重点。本章并讨论静力学的两个专题:平面简单桁架和考虑摩擦的平衡问题。
3-1 力系平衡条件和平衡方程
力系平衡指该力系等价于零力系，力系对物体的运动状态不起作用。
由第1章，任意力系平衡的必要充分条件是力系的主矢和对任意点的主矩皆为零
F == 0 ， M == 0 (3-1) FM(F)V O,,O
写成投影式
F,0,,F,0,,F,0,xyz (3-2) ,M,0,,M,0,,M,0xyz
式(3-2)为空间任意力系的平衡方程。它表明平衡力系的所有力在笛卡尔坐标系各轴上投影的代数和为零及对各坐标轴之矩的代数和为零。
3-2 平面力系平衡方程及应用
3-2-1 平面任意力系平衡方程的基本形式
如力系中所有力的作用线处于同一平面，该力系称
Oxy为平面任意力系。以坐标平面为力系的作用面(图
3-1)，则式(3-2)中:，，，MF,0M,0,0,,,yzx
图3-1
66
67 且可写成，于是式(3-2)退化为 MM,,zO
F= 0， F= 0， M= 0 (3-3) x y O,,,
式(3-3)称为平面任意力系平衡方程的基本形式，式中前两式为投影式，第3式为力矩式。力系平衡时，对任意点主矩为零，因此矩心O可取任意点。实际应用时，为避免解联立方程组，常取有较多未知力的汇交点为矩心。式(3-3)为静力学重点，应熟练掌握。
求解静力学问题，正确进行受力分析并画出其受力图是基础。对单个物体的平衡问题，应灵活地选择投影轴和矩心，力求列1个简单的方程(尽可能多的未知力过矩心或与轴垂直)可解1个未知量，可先列投影方程，也可先列力矩方程，尽量避免求解联立方程组。
高炉上料小车如图3-2a，车和料共重W,240kN，重心C，a,1.1m，
，，，，料车低速运动，可视为在平衡力系作b,1.4me,0.9md,1.3m,,55:
F用下。求钢索拉力及前后轮所受约束力。 1
(a) (b)
图3-2
【分析】料车包括车身、车轮、料，不是一个刚体，据刚化原理，可视为一(a) (b) 个刚体。 图3-2
本例及以后例题习题～凡题中未提摩擦的均视为光滑接触。轨道对轮的约束力为法向。
67
68
本题为空间力系，近似地简化至对称平面，视为平面力系，所求前后轮约束力分别是前后各两轮的合力。
【解】 以料车为研究对象，受力图3-2b。
，F,Wsin,,0 , F,196.6kN # F,011,x
， ,Fd，F(a，b),Wcos,,a，Wsin,,e,0M,01B,A
, F,92.03kN # B
，F，F,Wcos,,0 , F,45.63kN # F,0ABA,y
【讨论】 学生做作业时，分析过程不必写出，一般应有以下几步:
(1) 简明扼要地写出已知(含画出简化的题图)和所求(不应抄题)。
(2) 取研究对象，画受力图，外约束不画出，代之以约束力。
(3) 列平衡方程，方程前要写出方程的理论根据。必须写出方程的原始式，即，根据理论写出的第一个方程，其中所有的文字和数字都是题上和图上有的。
(4) 解方程(可细可简)，写出答案。 ***
图3-3a所示简支梁自重不计(以后例题习题中未标明自重的构件～一
aF,,F律不计自重)，荷载和尺寸如图，已知荷载集度(单位长度的荷载)、，，q12F,qa，，求A、B处约束力。 F,2qa13
【分析】1)C处作用的力偶，对任意点的力矩等于力偶矩，对任意轴的投影
为零(投影方程中不必写)。2)分布力合力作用线位于AB中点，图3-3b中已合
成。3)A处为固定支座，约束力为正交2个未知力;B处为辊轴支承，约束力垂
直支承面，1个未知力;共3个未知力，平面任意力系有3个独立的平衡方程，可
F解。4)求对点A的力矩用合力矩定理，力分解为与坐标轴平行的正交力。 3(a) (b)
图3-3 68
69
【解】受力图3-3b
2qa,2qa,a，F,2a,2qasin45:,3a,0， , F,2qa # M,0BB,A
F,qa， , # F,0F,2qacos45:,0Ax,xAx
F,qa， , # F,2qa，F,2qasin45:,0F,0Ay,AyBy
【说明】(1)以单个刚体或以整个系统为研究对象，解答中可不说明研究对象;若选用的坐标系为常规的坐标系，可不画在图上。
(2)由于力偶对任意点的矩为力偶矩本身，所以只需在力矩方程中计算其代数值。
(3) 理论力学中的分布荷载多为矩形荷载和三角形荷载(如为梯形荷载则划分为矩形与三角形)，记住其合力的大小与作用线位置，在实际计算时可直接应用，不应再积分。 ***
图3-4a所示直角弯杆，A端固定，荷载如图，已知q、F、M、a、b、，求支座A处的约束力。 ,
【分析】1)端为固定端约束，约束力为一力F、F和一力偶M，3个未AAxAyA知量。1个研究对象有3个独立的平衡方程，可解。2)作用在AB段的三角形分
qb/2布荷载的合力大小为，作用线离点A为。3)可先用投影方程或力矩方程b/3
求解。4)图上的主动力偶M为绝对值符号，力矩方程中按其顺时针转向，写负号。
【解】整体受力图3-4b
,M,0M,M，Fcos,,b,(qb/2),b/3,0， AA
69
70
2M,M,Fbcos,，qb/6 , # A
F，qb/2,Fcos,,0F,Fcos,,qb/2,F,0 ， , # AxAxx
F，Fsin,,0,F,0F,,Fsin, ， , # yAyAy
【讨论】1) 注意固定端A处约束力偶不要漏画。
F2)答案中为负值表示其实际方向与假设相反;当给定具体数值，M为正AyA时，转向如图，M为负时，转向与图示反向。 A
3)为了验证结果的正确性，可以将作用在研究对象上的所有力(包括已经求得的约束力)，对任意点(包括构架上的点或构架外的点)写力矩方程，力矩之和应为零。 ***
图3-5a，飞机起降架，A、B、C均为铰接，杆OA垂直于A、B连线。当飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力F=30 kN。求A、B两处N
的约束力。
(a) (b)
图3-5
【分析】1)确定研究对象 以杆AO、BC及轮组成的系统为对象，因为它包含已知量F及待求的A、B约束力。 N
2)受力图 受力分析首先要识别二力杆。本例BC为二力杆，故B处约束力F沿BC，设为拉力。A处铰链，2个正交分力。受力图:图3-5b。 B
由此知，3个未知量;平面任意力系有3个独立方程，可解。
(500,100):600,2:33)力F及其2个正交分力的大小之比以尺寸比计算: B
70
71
22, 。 F:F:F,2，3:2:3,13:2:3BBxBy
3M,0,F,,0.5,Fsin15:，1.2,0【解】 , # F,22.40kNABNB13
2,F,0,F，F,,Fsin15:,0F,,4.659kN , # xAxBNAx13
3,F,0,F，F,，Fcos15:,0F,,47.61kN , AyyAyBN13
#
【讨论】力矩方程也可写以下二式:
M,0,,F，0.5,Fcos15:，0.5,Fsin15:，1.2,0 BAyNN
23M,0,,F，1.2,F，，1.2，F，，0.5,0 OAxBB1313M,0比这二式方便，因为避免了2个未知量，F的力矩简单。 *** NA
3-2-2 平面任意力系平衡方程的其它形式
式(3-3)中的和，可以部分或全部用力矩式代替，但所选F,0F,0,,xy
的投影轴与矩心之间应满足一定的条件。它们是二矩式:
F= 0， M= 0， M= 0 (3-4) x AB,,,
x条件:连线与轴不垂直 AB
三矩式
M= 0， M= 0， M= 0 (3-5) ABC,,,
(a)
条件:、、三点不共线。 ABC
,M,0式(3-4)的证明:，说明力系不可能简化A
为1个力偶;力系可能简化为一个过点A的合力。又，,M,0，则力系的合力必通过A，B两点(图3-6a)。B
如果x轴与AB连线垂直，则此合力在x轴上的投影为
(b) 零，即力系可能简化为与x轴垂直的合力而不平衡。相
图3-6
71
72 反，如果x轴不与AB连线垂直，则同时满足式(3-4)的3个方程时，过A，B两点的合力大小必为零，因此力系必平衡。
式(3-5)的证明:图3-6b，式(3-5)中第1式满足时，只可能简化为通过点A的合力F。如第2、3式也同时满足，则此合力也必须通过B、C两点，但是由R
于A、B、C不在一直线上，所以力系也不可能简化为1个合力。这样满足式(3-5)的平面力系只可能是平衡力系。
需要指出的是:1、应用式(3-4)或(3-5)需注意附加条件。2、用二矩式三矩式解题一般不比平衡方程的基本形式(3-3)简便，因为力矩方程比投影方程麻烦，且容易出错。
请注意:式(3-3),(3-5)共有5个方程，但其中独立方程最多只有3个，其余是这些独立方程的线性组合的不独立方程。有时可以用第二个力矩方程检查结果。
3-2-3 平面平行力系平衡方程
作用于Oxy平面的平面平行力系(图3-7)，
以y轴与各力平行，则，故式(3-3)F,0x,
退化为
， (3-6) MF,0,0,,Oy
图3-7
图3-8所示为行动式起重机，已知
W,500kN轨距b=3 m，机身重，其作用线至1
e,1.5m右轨的距离，起重机的最大荷载
W,250kN，其作用线至右轨的最大距离
l,10m。欲使起重机满载时不向**倒，空载
W时不向**倒，求平衡重之值，设其作用线2
a,6m至左轨的距离。
72
73
F,0【分析】以起重机为研究对象，轨道为单侧约束，只能承受压力，即、AF,0。满载时作用于起重机上的力有主动力W、W、及约束力F和F，WB12AB这些力组成平面平行力系。需保证机身满载时平衡而不向**倒，限制条件为W2
，临界情况。再考虑空载时，W=0，要保证机身空载时平衡而不向F,0F,0AA
**倒，限制条件为F,0，临界情况F,0。可以解不等式方程，也可以解临BB
界状态，后者较方便。
【解】(1)满载保证机身不向**倒，临界情况F,0。 A
，W(a，b),We,Wl,0 , W,361kN M,0212,B
F,0 (2)空载时W=0，保证机身不向**倒，临界情况。 B
，，Wa,Wb，e,0W,375kN， , M,0212,A
W因此，平衡重之值应满足以下关系 2
W361kN??375kN # 2
【讨论】1)平衡稳定问题除满足平衡条件外，还要满足限制条件。所得关系
W,368kN式是临界状态。工程上为安全，一般取上、下临界值的中值，本例可取。 2
2)对于单体研究对象，在不引起混淆的情况下允许在题图上画受力图，此时应理解为假想约束已解除(成为自由体)，从而画出其相应的约束力。 ***
3-2-4 平面汇交力系平衡方程 三力平衡汇交定理
一、平面汇交力系平衡方程
对于作用于Oxy平面的平面汇交力系，以汇交点为，，故式(3-3)MO,0,O退化为
F= 0， F= 0 (3-7) x y ,,
该方程将在本章第5节之节点法中举例应用。
二、三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个互相平衡的力，若其中两个
力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面
73
74 内，且第三个力的作用线通过汇交点。
证明:如图3-9所示，在刚体的A，B，C三点上，分别作用三个相互平衡的力F，F，F。根据力的可传性，将力F和F传至交点O，然后根据力的平行12312
四边形法则，得合力F，则力F应与F平衡。由于二力平衡必须共线，所以12312
F必定与力F和F共面，且通过力F与F的交点O。证毕。 31212
三力平衡汇交定理可决定约束力方向，但不一定有好处，如例3-6。
图3-10a为题图。可用三力平衡汇交定理决定约束力F的作用线(图A3-10b)，但计算各约束力的值不如用平面任意力系(图3-10c)方便。建议读者分别用图3-10b，c进行计算后比较。
三力平衡汇交定理在少数情况有用。例如:图
3-11，均质杆长，重,与半圆面光滑接触，已lW
r知圆半径，求杆平衡位置;又如某些摩擦问题。 ,
3-2-5 平面力偶系平衡方程
Oxy力偶平衡条件为合力偶矩为零。对于作用于平面内的力偶系，平衡方程为
(3-8) M,0,
圆弧杆与折杆BDC在处铰接，、处均为固定铰支座，结构ABBAC
r受力偶M如图3-12a，图中，、已知，求、处约束力。 MAl,2rC
【分析】 本题表面上是2个刚体组成的物体系平衡，但由于圆弧杆AB无自
74
75 重，两端均为铰链，中间无外力作用，为二力杆。，二处的约束力F、F作ABAB用线与连线重合，方向相反，大小相等，设杆AB受拉力，受力图如图3-12b。AB
以整体为研究对象，处为固定铰支座，有一个方向待定的约束力，由于主动力C
只有一个力偶，为保持系统平衡，约束力F和必组成一力偶，与主动力偶平FCA
衡。于是整体受力如图3-12c。
【解】 受力图3-12c
M，F,CE,0， M,0C,
2232CE,r，l,r 222
2MF,F,,, # CA3r
【讨论】1)本题的关键是识别二力杆AB，从而可知A、B处约束力作用线。工程中设二力杆受拉力，解出为负值时，说明实际受压力。
2)学生作业时，若不需要求中间铰B受力，则图3-12b不画出。
3)对受力图3-12c，也可用平面一般力系平衡方程:，得同样结果。 M,0,A
F4)当作用线设定后，C处约束力也可设成正交2分力，请读者画出其受力A
图，用平面一般力系平衡方程(先用力矩式，后用投影式)分析其结果。 M,0,C
***
3-3 简单物体系的平衡问题
75
76
由2个以上的刚体所组成的系统，称为多刚体系统。工程中各类机构或结构，当研究其运动效应时，其中各构件或部件均视为刚体，这时结构或机构即属于多刚体系统。为了解决多刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展:系统若整体平衡，则组成系统的每一个局部及每一个刚体也必然平衡。应用这一重要概念以及平衡方程可求解多刚体系统的平衡问题。
多刚体系统平衡问题，有的要求全部外约束力，有的要求构件之间的作用力(内力)。其特点是:只取整体为研究对象，不能确定全部待求量;而必须从中间铰处拆开，分别取研究对象分析。但不一定要把每个物体都拆开，应根据具体问题的已知量和待求量分析如何拆分更方便求解。如何拆，如何选取研究对象(包括以整体为研究对象)，是解物体系平衡问题的关键。原则是从可以解出本题要求的部分未知量或者求出必需的中间未知量(对求解本题要求的未知量是必需的)的研究对象开始。先考察有没有二力杆;接着看有没有受平面任意力系作用的，只含3个未知量的研究对象(称为三未知对象);如果没有，再看有没有含4个未知量而其中3个未知力汇交于一点的研究对象(称为四未知三汇交对象)。列平衡方程时仍然尽可能使1个方程中只有1个未知力。考虑好解题思路步骤， “全局在胸”之后，再正式做题。下面举例说明。
图3-13a所示结构由T字梁与直梁在B处铰接而成。已知F,2kN，q,0.5kN/m，M,5kN,m，l,2m，求支座C及固定端A的约束力。
【分析】 本题为2个刚体组成的系统，以整体为研究对象，图3-13c有4个未知量，只有3个独立方程，不能解。应先从中间铰B处拆开，杆CB为三未知对
F象，先解，受力图3-13b，可求出;然后，以整体为研究对象，此时只有3个C
未知量，可求固定端A处约束力。
76
77
【解】1)研究对象:杆B C，受力图3-13b
Fcos30:,l,ql,l/2,0F,0.5774kN， , # M,0CC,B
2)研究对象:整体，受力图3-13c
,Fsin30:,Fcos30:，F,0F,2.021kN， , # F,0CAxAx,x
Fcos30:,2ql,Fcos60:，F,0F,2.50kN， , # F,0CAyAy,y
M,Fcos30:，2l,Fsin30:，l，2ql,l,Fcos30:,2l,M,0， M,0ACC,A
, M,10.51kN,m # A
【讨论】 第1个力矩方程，以顺时针为正，逆时针为负，可以。只要1个方程中统一，正负的标准可以任意假设，结果不变。 ***
图3-14a，平面拱架由三杆AD、DC、CGB组成，DC、CG为圆弧，A为固定端，B为固定铰链，D、C为中间铰链。作用力F,3kNF,6kN，;12a,R,2m。求A、B处约束力。
【分析】 若以拱架整体为研究对象，有3个独立的平衡方程，而固定端A处
M、F、FF、F有3个未知量()，固定铰链B处有2个未知量()，共5AAxAyBxBy个未知量，不能解出任何1个未知量。拱架有3个杆件，其中圆弧杆CD为二力杆，杆CD受力的作用线与CD连线重合。识别二力杆使解题简化。
F,F杆BGC，C处约束力F作用线已知，B处固定铰链有两个分力，则CBxByBGC为三未知对象，受力图3-14b。
求出F后，以杆AD为研究对象，A处3个未知量，受力图3-14c，可解。 C
77
78
【解】1)杆BGC，受力图3-14b
,M,0,Fcos45:，2a，R，Fsin45:，R，Fcos45:，2a，Rsin45:，，，，2BCC ，，，Fsin45:，R,Rcos45:,02
F,,4.5kN , # C
F,Fcos45:,Fcos45:,0,F,0F,1.06kN， , # BxC2xBx
F,Fsin45:,Fsin45:,0F,1.06kN,F,0， , # ByC2Byy
F,F2)杆AD，受力图3-14c， DC
,M,0，,Fcos45:，2a,Fa，M,0 , M,,6.73kN,m # AD1AA
F，Fcos45:，F,0F,0.182kN,F,0， , # AxD1Axx
F，Fsin45:,0F,3.18kN ,F,0， , # AyDAyy
F、F【讨论】1)本题在求出后，也可以整体为研究对象，此时只有A处BxBy
3个未知量，用3个方程可解。请读者比较两种方法，可能用整体较方便。
F2)B处为固定铰链，有1个方向待定的约束力，以上求解时用两个分力B
F、FFFF。由于作用于杆BGC上的力与是平行力，杆BGC平衡，则应BxByC2BFFFF与、平行，从而可用平面平行力系平衡方程直接求(不求中间未知量)，CC2B
进而以整体为对象求A处约束力，最方便。
3)由本题可见，解刚体系平衡问题的思路为:识别二力杆，从中间铰拆开，由只有3个或最少未知力的对象出发。 ***
图3-15a所示平面构架，A、C、D、E处为铰链连接，杆BD上的销钉B置于杆AC的光滑槽内，F=200 N，力偶矩M=100，求A、B、C处受力。 N,m
【分析】 本题所求未知量都在杆ABC，以此为对象，受力图3-15d，5个未知量，3个方程，要先由其他对象求出2个未知量。杆BD，受力图3-15c，是三未
F知对象，可求。整体为对象，受力图3-15b，是四未知三汇交对象，用，M,0B,E
F可解出。 Ay
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【解】1)研究对象:整体，受力图3-15b
,F，1.6m-M,F，(0.6m,0.4m),0F,,87.5N， , # ,M,0AyAyE
2)研究对象:杆BD，受力图3-15c
,M,0Fsin30:，0.8m,M,F，0.6m,0F,550N， , # DBB
3)研究对象:杆ABC，受力图3-15d
,M,0,F，1.6m，sin60:,F，0.8m,F，0.8m,0 CAxAyB
F,267N , # Ax
'F,Fcos30:，F,0,F,0F,209N， , # AxBCxxCx
',F,0F,,188N， , # F，Fsin30:，F,0yCyAyBCy
【讨论】 本题没有对每个研究对象都列出3个平衡方程，而是根据需要共列5个方程，将矩心取在不要求的约束力作用处，正好解出要求的5个未知力，解答第(1)、(2)步次序可互换。选取对象是关键，选取矩心是技巧。 ***
破碎机简图如图3-16a。电动机带动曲柄OA绕O轴转动，通过连
OA,0.1m杆AB、BC、BD带动夹板DE绕E轴摆动，从而破碎矿石。已知，AB
BC,BD,DE,0.6m= 1.105 m，，O、A、B、C、D、E均视为光滑铰链。给定
F,1000N碎石时工作压力，F,DE，作用于点H，EH=0.4 m。在图示位置，OA
,,59.95:和CD均垂直OB，。按平衡条件求出在图示位置电动机作用于曲柄的力偶矩M。
79
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【分析】 杆AB、BC、BD都是二力杆，得受力图3-16b，c，d。
【解】1)求, 、,
0.1m,,arcsin,5.192: 1.105m
(1.105cos,0.8)m,,arcsin,30.05: ,0.6m
2)研究对象:杆DHE，受力图3-16b
0.4m,F,0.6m,F,0F,666.7N， , M,0DD,E
2)研究对象:节点B，受力图3-16c，取直角坐标系Bxy
''，，，，F,FFcos,，,,Fcos90:,2,,0, ， F,0DDAD,x
F,707.7N, A
,F,F3)研究对象:杆OA，受力图3-16d， AA
'M,0.1m,Fcos,,0M,70.48N,m， , # M,0A,O
【讨论】 本例是机构平衡问题。以前几例是结构平衡问题。结构是不能动的，结构平衡问题受任何主动力都保持平衡。机构是可以运动的，只在主动力之间成一定关系时才平衡，否则不平衡。机构问题一般求主动力之间的关系，不求外约束力，此时不以整体为研究对象，因为整体未知量个数总大于独立平衡方程数，而且外约束力是不需要的未知量。
与解以上结构问题一样，首先判断二力杆;在中间铰拆开，杆DE为三未知对
80
81 象，先解。注意，图3-16c虽然也只有3个未知力，但它是平面汇交力系，只有2个独立的平衡方程，不能从它出发。 ***
图3-17a所示结构，尺寸，分布荷载的最大值，l,3mq,8kN/m中间铰B上作用集中力，求固定铰A、C处约束力及中间铰B受力。 F,12kN
(a) (b) (c) (d)
图3,17
F【分析】整体受力图3-17b，分布荷载合成为集中力，是四未知三汇交对象， 1
FF由 可求出，进而由求出。 M,0F,0AyCy,,Cy
从中间铰B拆开，AB部分(不含荷载F)受力图3-17c，其上分布荷载合成
FF为集中力，因已求出，AB为三未知对象，可解。 Ay2
'' FFF中间铰B受力图3-17d，其中、为半拱AB对铰B的力，、FB1xB2yB2xB1y
(a) (b) (c) (d) 为半拱BC对铰B的力，它们不是作用力和反作用力。、可由半拱AB求FFB1yB1x图3-17
得，所以图3-17d所示平面汇交力系有2个未知力，2个平衡方程，可解。
1【解】1)研究对象:整体，受力图3-17b，分布力合力 F,,2l,q,24kN12
F,2l,F,l,F,2l/3,0F,14kN， , # M,0Ay1Ay,C
F,22kNF，F,F,F,0， , # F,0AyCy1Cy,y
F，F,0， (1) F,0AxCx,x
1q2)研究对象:AB，受力图3-17c，分布力合力 F,,l,,6kN 222
F,l,F,l，F,l/3,0F,12kN， , # M,0AxAy2Ax,B
F,,12kN代入式(1) , # Cx
81
82
F，F,F,0F,,8kN， , # F,0AyB1y2B1y,y
F,,12kNF，F,0， , # F,0B1xAxB1x,x
3)研究对象:中间铰B，受力图3-17d
',F，F,0F,,12kN， , # F,0B1xB2xB2x,x
'F,4kN， , # F,0F,F,F,0B2y,yByBy21
【讨论】1)本题的难点是对作用于中间铰B的外力F的处理。
2)为了简便，图3-17c中未包含外力F，即未含中间铰，请读者思考，将中间铰与AB合在一起，受力图如何画，结果如何。若第二步改取BC为研究对象，则其上的梯形分布荷载处理较麻烦，需分成矩形均布加三角形分布。 ***
图3,18a，构架由AB、BC、CD三杆用铰B、C连接，力F作用1在杆CD的中点E。已知:F = 8 kN，q = 4 kN/m，力偶矩M = 10 ，a = 1 m 。kN,m1
求固定端A约束力及铰链B、C的受力。
【分析】整体，A 固定端3未知，D固定支座2未知，共5未知;如以整体为对象，不能解出任何一个未知量，不以整体为研究对象。三杆AB、BC、CD各有5、4、4未知。杆BC为四未知三汇交对象，优先。
,F,0杆BC可先后用 ,M,0与 解出F与F，不能解出F与F。 CyBy BxCxyB
在解出F之后，CD成为三未知对象，可解出全部未知;但本题不求D端约Cy
,M,0束力，故用求F 。 CxD
回到BC，可解F 。然后AB又成三未知对象。 Bx
注:本题受力图中B、C两处作用力反作用力用同一符号，不加“'” ，允许;但力的方向必须反向。
(a) (b)
图3,18
【解】图3-18b
82
83 1)BC: Q,q，2a,8kN
,Q，a，F，2a,0F,4， kN # ,M,0cyCyB
,F,0F，F,Q,0F,4， kN # ByCyByy
,F,0， (1) F，F,0xBxCx
F，a，F，2a，F，2a,02)CD:， kN # ,M,0F,,81CyCxCxD
3) ?(1) kN # F,8Bx
,F,04)AB:， kN # F,F,0F,8xAxBxAx
,F,0F,F,0F,4， kN # AyByAyy
M，M，F，2a,F，a,0， # ,M,0M,,22kN,m1BxBy1A
***
物体系平衡问题总结
1、求解简单物体系平衡问题，关键是恰当选取研究对象。以整体为研究对象，无法求出全部待求量，必须拆中间铰。灵活地选取研究对象使解题简便。
应先判断二力杆。然后从三未知对象或四未知三汇交对象出发。
2、尽量使一个方程只含一个未知量。若从投影方程不能直接求出未知力，可以先用力矩方程，以较多约束力的汇交点为矩心。
3、正确的受力图是正确分析解题方法的前提。画受力图时注意研究对象全部外约束力的正确分析和外荷载的正确处理。外荷载需简化时，应先取研究对象的分离体，再将该分离体上的原荷载简化。注意作用力和反作用力的关系。
必须特别注意分离的受力图。不允许在整体图上画内力。每一个对象必须有一个分离的受力图。受力图是解题的基础。错误的受力图一定导致错误的方程。马虎的受力图常常导致错误。清晰的受力图有助于找到清晰简单的解题途径。(考试中确曾有同学因为画错一个力而使全部方程错误)
4、如铰链上有主动力作用或铰连接3个或3个以上构件(包括固定支座)，一般将铰链与其相连的某杆组成局部组合作为研究对象;若欲求铰链受力，则需单独将铰链分离出作为研究对象。注意此时其中任意两个构件的受力不是作用力与反作用力，请读者思考为什么。
5、没有好办法时，全部拆成单个构件，写平衡方程。这也是计算机解题采用
83
84 的方法。
6、注意方程和对象的独立性。一个受平面力系作用的研究对象，最多只有3个独立方程。在平衡方程的基本形式(2个投影方程和1个力矩方程)之外，再写第二个力矩方程是不独立的。以所有单个构件为研究对象之后，所有组合对象(包括整体)是不独立对象。
3-4 静定和超静定问题的概念
前面讨论的平衡问题中，未知
力个数等于独立平衡方程数，可由
平衡方程解出全部未知力。这类问
题称为静定问题，相应的结构称为
图3-19 静定结构，如本章例3-1,例3-13
及图3-19a、b。
工程上为提高结构的强度和刚
度，常在静定结构上再加1个或几个
约束，使未知约束力的个数大于独立
平衡方程的数目。因而，仅由静力学
平衡方程无法求得全部未知约束力，
图3-20 需要补充变形条件。此类问题称为超
静定问题或静不定问题，相应的结构
称为超静定结构或静不定结构。例如图3-20a、b。
超静定问题中，未知量的个数与独立的平衡方程数目之差，称为超静定次数。与超静定次数对应的约束，对于结构保持静定是多余的，称为多余约束。要求读者会正确判断简单结构的超静定次数。判断结构静定与否的方法是:把结构全部拆成单个构件，计算未知量的总个数与独立平衡方程的总个数，加以比较。注意作用力与反作用力大小相等，同时注意不同力系有不同的独立方程数。至于超静
84
85 定问题的基本解法将在材料力学课程中介绍。
请读者分析图3-21a、b、c的超静定次数(设已知结构尺寸及外荷载)。
3,5 平面简单桁架
一、 平面简单桁架的构成
桁架是一种由细长直杆在两端焊接、铆接、榫接或螺栓等连接而成的几何形状不变的结构，广泛用于工程中房屋的屋架、桥梁、起重机、雷达天线、导弹发射架、输电线路铁塔、某些电视发射塔等。若组成桁架的所有杆件的轴线及作用于该桁架的全部荷载均位于同一平面内，则称为平面桁架，否则为空间桁架。某些具有对称平面的空间结构桁架，当荷载作用在对称面内时，对称面两侧的结构也可以视为平面桁架加以分析。
桁架的优点是:杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量。
为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下假设:
(1) 桁架的杆件都是直的;
(2) 杆件用光滑铰链(称为节点)连接;
(3) 桁架所受的荷载和支座约束力都作用在节点上，而且在桁架的平面内;
85
86
(4) 桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。 这样的桁架，称为理想桁架。根据这些假设，桁架的杆件都视为二力杆。
实际的桁架，与上述假设有差别，桁架的节点不是铰接，杆件的中心线也不可能是绝对直的。但上述假设能够简化计算，而且结果与实际情况相差不大，满足工程设计的一般要求(偏于安全)。
本节只研究平面桁架中的静定桁架。 如图3-22所
示，这种桁架以三角形为基础，每增加一个节点需增加
两根杆件，这样构成的桁架又称为平面简单桁架。
由桁架的构成方法得:平面简单桁架的杆数m与节
图3-22 点数n之间的关系为
m+3=2n (3-9)
平面简单桁架的每个节点都作用有平面汇交力系，n个节点可列2n个平衡方程;未知量是m个杆的内力及3个外支承约束力共计m+3个。由式(3-9)可知:简单桁架一定是静定桁架。
二、 平面简单桁架内力分析的基本方法
若桁架处于平衡，则它的任一局部，包括节点、杆，以及用假想截面截出的任意局部都是平衡的。据此，引出“节点法”和“截面法”。
1(节点法
节点法是以节点为研究对象，考察其受力和平衡，求得与该节点相连接的杆件的受力。由于各节点受力均为平面汇交力系，每个节点只有两个独立的平衡方程，因此，依次所选节点一般应该至少有一个已知力，且最多只有两个未知力。
86
87
桁架杆件较多，为便于叙述，求解前先将杆件编号;另外，由于桁架杆件都是二力杆，工程上约定用设正法，设全部杆件受拉力。画节点受力图时，各杆拉节点，各杆实际受拉或受压，由计算结果的正负号确定。为了求解方便，对组成桁架的某些简单节点的杆件的受力情况先作判断，利用汇交力系平衡投影方程尽量先找出内力等于零的杆，即零杆(零力杆)。请判断组成图3-23所示各节点杆件中的零杆或内力间的关系。
图3-23
F 平面悬臂桁架受力如图3-24a，已知尺寸d和荷载=10 kN，AF,20kN，求各杆的受力。 E
87
88
【分析】 各杆编号如图3-24b，由受力图3-24d、f得:杆3、7为零杆，杆2、6受力相等，杆4、8受力相等。由节点H，得杆11为零杆。
【解】1)节点A，受力图3-24c
， , kN # Fcos45:,F,0F,14.14F,01A1,y
，Fcos45:，F,0 , F,,10kN # F,0122,x
F,,10kN2)节点C，受力图3-24d # 6
3)节点B，受力图3-24e
Fcos45:，Fcos45:,0F,,14.14， , kN # F,0155,y
Fcos45:,F,Fcos45:,0F,20kN， , # F,01454,x
F,20kN4)节点D，受力图3-24f # 8
5 )节点E，受力图3-24g
Fcos45:，Fcos45:,F,0F,42.43， , kN # F,059E9,y
,Fcos45:,F，Fcos45:，F,0F,,50kN， , # F,09105610,x
【讨论】1)对悬臂桁架，不求外约束力也可求各杆内力。
2)最后计算结果标注于图3-24b，图中力的单位为kN 。 ***
2(截面法
截面法是用假想截面将桁架的杆件截开，以其中一部分为研究对象，求出被截杆件的内力。在只需求部分杆件内力而不是全部时，较简便。
用截面法求图3-25a所示平面桁架中杆4、5、6的内力。
88
89
【分析】 用假想截面截开杆4、5、6，取右半部，得受力图3-25b，有4个未知力，因此需先以整体为研究对象，由求出F。 M,0B,A
【解】1)研究对象:整体，受力图3-25a
， M,0,A
F，12m，15kN，4m,(30kN，3m，20kN，6m，10kN，9m),0 B
F,20kN, B
2)截面法，受力图3-25b
,F，4m，15kN，4m，F，3m,0F,30kN， , # M,06B6,C
4F,12.5kN，F,10kN-F，,0 , # F,05B5,y5
3F,,22.5， , kN # ,F,F，,F，15kN,0F,04456,x5
【讨论】1)与节点法相比，截面法不用求出杆1、2、3的内力就可求杆4、5、6内力。请读者思考，本题若全部用节点法，解题步骤是什么,
2)本例为简支桁架，需先求支座约束力;对悬臂桁架(例3-14)则不必求支座约束力。请读者用截面法求例3-14中杆4、5、6的内力。
3)若需求的杆件内力较多，节点法与截面法可并用。 ***
89
90
已知图3-26a所示桁架的荷载F和尺寸d。用截面法求杆FK和JO的受力。
(a) (b)
图3-26
【分析】 只求杆FK和JO的受力，可取图3-26b所示用截面法截得的研究对象。表面上有6个未知力，但由于杆FG，GH，HI，IJ受力共线，且与杆FK，JO
M,0受力垂直，因此或各只有1个未知力，可解。 M,0,F,J
【解】 受力图3-26b
F，4d,F,d,0F,F/4， , (拉)# M,0FKFK,J
F，F,0F,,F/4， , (压)# F,0FKJOJO,y
【讨论】这种结构称为K型结构。截面法一般只能截3根杆，但如果结构和所求特殊，可以截4根以上。由以上2例题，请读者思考截面法的含义。 ***
3-6 摩 擦
当两个相互接触的物体有相对滑动或滑动趋势时，会产生沿接触面公切线方向的阻力，这种力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。在仅有相对滑动趋势而尚未发生滑动时的摩擦力称为静摩擦力;有相对滑动时的摩擦力称为动摩擦力。
90
91
在以前的讨论中，都假定物体的接触面是绝对光滑的，不考虑摩擦力的作用，所以接触物体间的约束力沿接触面的公法线，这是实际情况的理想化。完全光滑的表面实际上不存在，当摩擦力很小，对研究的物体的运动或运动趋势不起明显作用时，忽略摩擦力是允许的。但是在某些情况下，摩擦的作用十分显著，甚至起决定性作用，必须考虑。例如，梯子倚在墙边不倒，是依靠粗糙地面的摩擦力;汽车之所以能向前行驶，是依靠路面对主动轮向前的摩擦力。再如车辆的制动、螺栓连接与锁紧装置、楔紧装置、缆索滑轮传动系统等都依靠摩擦。
一、滑动摩擦
考察重量为W的物块静止于水平面上，设
二者接触面是非光滑面。在物块上施加水平力
F，如图3-27a所示，令其自零开始连续增大，T
物块的受力如图3-27b。非光滑面接触，作用在 物块上的约束力除法向力F外，还有切向力N
F，即滑动摩擦力。 s
当F=0时，由于二者无相对滑动趋势，故T
静摩擦力F=0。当F开始增加时，静摩擦力FsTs
随之增加，连续有F=F，物块保持静止。F再sTT
继续增加，达到某一临界值时，摩擦力达到最大
值F，物快仍保持静止。F超过此值，物块s maxT
开始沿力F方向滑动。与此同时，F突变至Ts max
图3-28 动摩擦力F。图3-28为实验结果，F略低于dd
F。此后，F值若再增加，则F基本上保持s maxTd
为常值。若速度更高，则F值下降。 d
F简记为F，称为最大静摩擦力，其方向与相对滑动趋势的方向相反; smax max
根据库仑摩擦定律，其大小与正压力成正比，而与接触面积的大小无关，即
fF=F(3-10) maxN s
ff式中，为静摩擦因数，主要与材料和接触面的粗糙程度有关，可在机械工程 ss
91
92
f手册中查到;但由于影响的因素比较复杂，如需较准确的数值，应由实验测定。 s
一般静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力之间，即
0?F?F(3-11) s max
从约束的角度看，静摩擦力是有一定取值范围的约束分力。
动摩擦力的方向与两接触面的相对速度方向相反，大小与正压力成正比，即
(3-12) F=fFdN 式中，f为动摩擦因数。
二、 摩擦角与自锁现象
当考虑摩擦时，静止物体所受接触面的约束力包括法向约束力F和静摩擦力F，其合力(图3-29) Ns
F=F+F，F 称为接触面对物体的全约束力。全约RNsR
束力的大小为
22 F,F，F RNs
其作用线与接触面法线的夹角为 ,
Fstan,, FN
,在平衡的临界状态，有F=F+F，此时角达最大值，称为摩擦角，如图,RNmaxf3-29所示。
FfFmaxsNtan,,,,f (3-13) fsFFNN
式(3-13)表明摩擦角的正切等于静摩擦因数。因此
92
93
0?? (3-14) ,,f
设两物体接触面沿任意方向的静摩擦因数均相
同，则在两物体处于临界平衡状态时，F的作用线将R
在空间组成一个顶角为2,的正圆锥面，称为摩擦锥f
(图3-30)。摩擦锥是全约束力F在3维空间内的作R 用范围。式(3-14)表明，在任何荷载下，全约束力图3-30 的作用线永远处于摩擦锥之内。若作用在物体上主动
力的合力F的作用线也落在摩擦锥内，则增大主动力，不可能破坏物体的平衡，这种现象称为摩擦自锁。
摩擦自锁现象在日常生活和工程技术中常见。例如，在木器上钉木楔、千斤顶、螺栓等是利用自锁，而一些运动机械则要避免出现自锁现象。
三、考虑摩擦时的平衡问题
理论力学一般只讨论平面摩擦平衡问题。对于静摩擦，一定要注意可能的相对滑动趋势，正确判断摩擦力是否已经达到最大值;对多点粗糙接触摩擦平衡问题，要正确判断哪一个摩擦力最先达到最大值;对于较高的物体，还要注意翻倒问题。
第1类问题 已知主动力、几何条件、摩擦因数，求摩擦力，问是否平衡。
解题方法:
FFfF(1) 假设平衡，用平衡方程求静摩擦力，校核?。 sssN
F,fF(2) 写平衡方程时不引入。 ssN
F(3) 方向可假设，如解得负值，说明实际方向与假设相反。 s
第2类问题 以上条件中部分已知，某条件未知，求平衡时该条件的范围。
F,fF解法1:先求临界值，平衡方程数小于未知量数，引入临界条件。ssN
93
94
F此时方向不能任设。然后据临界值判断平衡范围。 s
FfF解法2:用不等式?求平衡范围。 ssN
图3-31a所示物块与斜面
f,0.10间的静摩擦因数，动摩擦因数s
，物块重，水平力f,0.08W,2000N
F,1000N。问是否平衡，并求摩擦力。 1
【分析】 本题属第1类摩擦问题。
若平衡，需求静摩擦力;若不平衡，需
求动摩擦力。可先按平衡求需多大静摩
擦力，并计算最大静摩擦力进行校核。
【解】设物块有向下滑动的趋势，为保持平衡，静摩擦力沿斜面向上，坐标及受力如图3-31b。
Fcos20:，F,Wsin20:,0F,,255.7N， , F,01ss,x
F,Fsin20:,Wcos20:,0F,2221N， , F,0N1N,y
F为负值，说明实际方向沿斜面向下;物体可能的运动是向上。 s
F,fF,222.1N实际最大静摩擦力<255.7n，不平衡，向上滑动。#>
F,fF,0.08，2221N,177.7N动摩擦力沿斜面向下， # N
【讨论】 保持平衡时静摩擦力方向与运动趋势相反，当运动趋势难以判断时，可先假设一个方向。 ***
b,1mh,2mW,20kN 图3-32a所示均质箱体的宽度，高，重，
f,0.20放在倾角的斜面上。箱体与斜面之间的静摩擦因数。今在箱体的,,20:s
,,30:BC,a,1.8m点C处系一软绳，作用一与斜面成角的拉力F。已知，问拉力F多大，才能保证箱体处于平衡。
【分析】 本题属第2类摩擦问题。箱体在力系作用下有4种可能的运动趋势:向下滑动，向上滑动，绕左下角A向下翻倒，绕右下角B向上翻倒，需分别讨论。
94
95
【解】1)设箱体处于向下滑动的临界平衡状态，受力图3,32b
Fcos,，F,Wsin,,0=,， (1) Fs,x
F,Wcos,，Fsin,,0=,， (2) FN,y
F,fF ssN (3)
,,sincos,fsF,,W,4.02kN, cos,,fsin,s
即当拉力F= 4.02 kN时，箱体处于向下滑动的临界平衡状态。
2)设箱体处于向上滑动的临界平衡状态。此时静摩擦力的方向沿斜面向下，在式(1)中将静摩擦力反号，得
,,sincos，fsF,,W,11.0kN cos,sin,，fs
3)设箱体处于绕左下角A向下翻的临界平衡状态，受力图3,32c
hb=,，b,Fsin,,a,Fcos,，,Wsin,,,Wcos,,0 M,A22
,,bcos,hsinWF,,,,2.41kN , ,,bsin,acos2
负号表示F为推力时才能使箱体向下翻倒，因软绳只能传递拉力，故箱体不可能向下翻倒。
95
96
4)设箱体处于绕右下角B向上翻的临界平衡状态，受力图3,32d
hbM=,， ,a,Fcos,，,Wsin,，,Wcos,,0,B22
,,bcos，hsinW , F,,,10.4kN ,acos2
综合上述4种状态可知，要保证箱体处于平衡状态，拉力F必须满足
?F? # 4.02kN10.4kN
【讨论】 本题是单体摩擦平衡问题，由于箱体尺寸较高，存在滑动和翻倒两种破坏平衡的可能性，增加了题的难度。若研究对象的几何尺寸不计，则不考虑翻倒问题。 ***
图3-33a所示为攀登电线杆用的脚套钩。已知套钩的尺寸b、电线杆
f直径d、静摩擦因数，求套钩不致下滑时载荷W的作用线与电线杆中心线的距s
离l。
图3-33
【分析】 本题属第2类摩擦问题。已知静摩擦因数及主动力，求保持平衡的几何条件。在分析约束力之后，可以用解析法或几何法。前者如用两个不等式，求解较困难;用等式(临界状态，A、B两处同时达到最大静摩擦力)求解，然后判断平衡范围。
96
97
【解?】 解析法
研究对象:套钩，受力图3-33b。临界状态
F,F,0=,， (1) FANBN,x
F，F,W,0=,， (2) FAsBs,y
d,,,Wl，，Fd，Fl,0M=,， (3) ,,,AsANB2,,
f=F (4) FsANAs
FfF= (5) BsBNs
b, l = 2fs
b判断，套钩不致下滑的范围为 l ? # 2fs
【解?】 几何法
F,F，F分别作A、B两处的摩擦角和全约束力F和F(图3-33c)，，ABAANAs
F,F，F。套钩在F，F，F三力作用下处于临界平衡状态，三力必相交、ABBBNBs
,,,,,,于一点O。F可能的范围是在内;F在内。得 W的平衡范围在BAABBABOAAB内，O处为。由几何关系 lmin
dd (l，)tan,，(l,)tan,,bminmin22
bbl,,, # *** min2tan,2fs
3-7 滚动阻力偶
图3,34a，光滑水平面上圆轮，重W，在重心C作用水平力F。则圆轮平移。1
没有摩擦，不会发生滚动。无摩擦力不滚。
图3-34b，水平面粗糙，有摩擦力F。不可能平衡，对任何一点的主矩不等于s
97
98 零，有转动。如果F较小，则接触点无滑动，轮上点A速度为零，此瞬时轮绕点1
A加速转动。此种运动称为滚动。如轮和支承面都是刚体，即使F很小，也将滚1动。摩擦力F是滚动的条件，不是滚动的阻力。有摩擦力才滚。 s
实际情况并非如此。F较小时，轮不动，保持平衡。图3-34b无法解释。这证1
明在摩擦力阻止接触点滑动之外，还有一种滚动的阻碍。F小不滚。 1
图3-34
形成滚动阻碍的原因是轮和支承面的变形。设轮软地硬(如自行车轮胎)，轮变形夸大如图3-34c。地面支承力是分布力(图上只表示法向分布力，未示切向摩擦力)，分布规律由主动力决定。在F作用时，法向分布力合力F作用线如图1N3-34d，向右偏移d，则轮在W、F、F、F四力作用下平衡。变形，F移，形成1NsN滚动阻碍。
M,(,)Fd习惯上，F仍表示在中心，则根据力平移定理，附加一力偶M，，NrrN称为滚动阻力偶(或滚动阻力、滚阻力偶、滚动阻碍)，如图3-34e。
实验表明，F加大至某值，破坏平衡，发生滚动。这说明滚动阻力偶有最大值，1
或，正压力F合力作用线偏移d有极限值 ,N
M,F, (3--15) rN
式(3-15)称为滚阻定律，称为滚阻系数，量纲为长度，常用mm，与材料变,,
M,F,形有关，参考值见表3,1。主动力矩大于时发生滚动。F大才滚。 1rmaxN
98
99
滚阻系数的参考值，mm 表3,1 ,
铸铁轮或钢轮对钢轨 钢轮对木面 轮胎对路面 木材对木材 钢板间的滚子
0.5 1.5~2.5 2~10 0.5~0.8 0.2~0.7
M,F,轮开始滚动后，继续存在滚动阻力偶M，。 rrN
如滚动后不再有F作用，如图3-34f，点C速度v，圆轮角速度，则继续有,1C
与反向的滚动阻力偶M，并相应产生与v反向的F，M与F使轮减速。如轮,rCsrs与地面都是绝对刚体，则无滚动阻力偶，动力学证明，即使地面粗糙，轮将继续以角速度永远滚动不止。 ,
M,F,图3-34g，如轮上主动力为一力偶M，，则轮将以M的方向滚动，111N
此时静摩擦力F的方向为轮前进方向，F产生轮质心加速度。F称为“牵引力”。sss静摩擦在滚动中成为“动力”，而不是阻力。而滚动阻力偶在滚动中永远是阻力。
注:关于滚动阻力偶的名称。有称为滚动摩擦。滚动阻力偶根本不是摩擦。滚动时的摩擦力，如图3,34中的F，不是上述“滚动摩擦”;它是滚动的条件，不是滚动的阻碍。英语:摩擦friction，滚动阻力偶rolling s
resistance。又，摩擦因数，滚阻系数:国家标准 GB3103,93 附录A 物理量名称中的术语(参考件)，A,kB:A、B不同量纲，k——系数;A、B同量纲，k——因数或因子。
图3,35，轮子及载重共重W = 5 kN，半径R = 200 mm，橡胶轮胎与地面的摩擦因数f,0.8，滚阻系数= 5 mm。求:1)为使轮子滚动，作用在轮,
轴上的水平力F应多大,2)如果轮子被刹住不能转动，为使轮子滑动，F力应11为多大,
,F,0,W，F,0 【解】1)， yN
,FR，M,0,M,0， 1rA
M,F,, rN
, F,125N 1
滚动，F,125N # 1
F,fF,0.8，5000,4000 2)N 1N图3-35
F,4000N时滑动 # 1
使轮子滑动的力比滚动的力大32倍。 ***
图3-36a所示卷线轮重W=10 kN，轮半径R=1 m，r=0.8 m，静止放
99
100
在粗糙水平面上。绕在轮轴上的线的拉力与水平面成角。卷线轮与水平F,30:,T
f面间的静摩擦因数=0.20，滚阻系数=5 mm。求:1) 维持卷线轮静止时线的,s
拉力F的大小;2) 保持F力大小不变，改变其方向角，使卷线轮匀速纯滚动,TT
M,F,,(只滚不滑)的条件，设匀速纯滚动时滚动阻力偶。 rN
【分析】 卷线轮失去静止平衡的情形有两种:开始滑动和开始滚动。
【解】 考虑卷线轮为非临界平衡状态，受力图3-36b
(1) F,0,Fcos,,F,0,F,Fcos,,xTssT
(2) F,0,Fsin,，F,W,0,F,W,Fsin,,yTNNT
(3) ，，，，M,0,M,FRcos,,r,0,M,FRcos,,r,ArTrT
FF,fF? (4) smaxsN
M,,FM? (5) maxNr
，，fW,Fsin,Fcos,, ? (6) sTT
，，，，FRcos,,r,W,Fsin,? (7) TT
1)保持卷线轮静止的条件
由式(6)得不滑动条件
100
101
fWs ? (8) F,2070NT1cos,，fsin,s
由式(7)得不滚动条件
,WF? (9) ,730NT2Rcos,,r，,sin,
F同时满足式(8)和(9)，卷线轮将静止不动。式(9)右端项远小于式(8)右T
端项，故满足式(9)即亦满足式(8)。
2)卷线轮匀速纯滚动的条件
FFMM ?， = smaxmaxr
由式(8)，(9)及上述条件
,fWWs, cos,，fsin,Rcos,,r，,sin,s整理得卷线轮匀速纯滚动的条件
,,cosf? # sRcos,,r
【讨论】本例说明一般先发生滚动。当 时，匀速纯滚动的条件是,,30:f,0.0656。 *** s
3-8 空间力系平衡方程的应用
本章第1节给出了空间任意力系的平衡方程(3-2)。空间问题比较复杂，理论
力学一般只要求掌握单体空间力系平衡问题。
101
102
一、空间汇交力系平衡方程
空间力系中所有各力作用线汇交于一点的力系称
为空间汇交力系。以空间汇交力系的汇交点O作为坐标原点，如图3-37所示，则式(3-2)中3个对轴的力 矩方程为恒等式，于是其独立的平衡方程为
F= 0， F= 0， F= 0 (3-16) x y z ,,,
图3-37 图3-38a所示起重三脚架各杆均长
，两端为铰接。铰D上挂有重量为的重物，且知,,120:，l,2.5mW,20kN1
,,150:,,90:，，，求各杆受力。 OA,OB,OC,r,1.5m32
FFF【分析】 因各杆均为二力杆，可画出铰D受力图3-38b，诸力、、、TADBD
FF,W构成空间汇交力系。已知，则3个未知力，3个方程，可解。取坐标 CDT
FFFOxyzOxy系，由已知条件，可知，，与坐标平面的夹角均为 ,CDADBD
41.5m3,sin,cos,,， , 2.5m55
(a) (b)
,,,Oxy又，由已知角度、、，可知各力在平面的投影与轴x、y间的夹角，312图3-36
FFF故力、、在轴上的投影用二次投影法计算。 CDADBD
【解】研究对象:铰D，图3-38b
Fcos,,cos60:,Fcos,,0， (1) F,0ADBD,x
102
103
,Fcos,,sin60:，Fcos,,0， (2) F,0ADCD,y
,(F，F，F)sin,,W,0， (3) F,0ADBDCD,z
F,,9.15kN , F,,10.57kN， F,,5.28kN， # CDADBD
【讨论】1)结果中负号表示三杆均受压，不必说明。
2)对于单个研究对象的空间力系，为了较清楚地表示研究对象所受各力在空间的方位，允许在原结构图上画受力图(约定假想已解除约束)，不必如本例以铰D的分离体单独画受力图3-38b。
3)空间汇交力系平衡问题，要选定恰当的坐标系，使计算简化。 ***
二、空间力偶系平衡方程
全部由空间力偶组成的力系称为空间力偶系。由于空间力偶系的主矢恒为零，故式(3-2)中3个投影式为恒等式，其平衡方程为
M= 0， M= 0， M= 0 (3-17) x y z ,,,
图3-39所示蜗轮箱在A，B两处各用一个螺栓安装在基础上，铅直
M,100N,m方向的蜗杆输入力偶矩，水平方向的蜗轮输出力偶矩1
M,400N,m，不考虑箱底和基础间的摩擦影响，求两螺栓在x、z方向的约束2
力。
【分析】 以蜗轮箱为研究对象。螺栓
连接为固定端约束，本题简化，不计固定
端力偶，螺栓连接的A，B两处简化为光
滑铰链，约束力各为三个正交分力，仍是
M超静定问题。主动力为两个力偶和1
M，力偶矩矢方向分别沿z轴和x轴，由2
于力偶只能由力偶来平衡，螺栓A，B处
在x、z方向的两对约束力应分别组成两个
F、F力偶;其余约束力则不能解出。 AyBy
【解】 由空间力偶系平衡方程得
103
104
，M,F，0.2m,0 , F,F,2000N # M,02AzAzBz,x
,M，F，0.2m,0F,F,500N， , # *** M,01AxAxBx,z
三、空间平行力系平衡方程
空间各力作用线相互平行的力系称为空间平行力
系。若取坐标的轴与各力平行(图3-40)，则式OxyzOz
(3-2)中，，， M，于是得F,0F,0,0z,,,xy
空间平行力系的平衡方程
F= 0，M= 0，M= 0 (3-22) z xy,,,
圆桌的三条腿成等边三角形ABC如图图3-40
3-41a所示。圆桌半径r,500mm，重W,600N。在三角形中线CD上点M处作用铅垂力F,1500N，。求使圆桌不致翻倒OM,a的最大距离a。
【分析】桌腿与地面的接触面摩擦不计，可视为光滑面。圆桌为研究对象，
受力图3-41b，为空间平行力系。取坐标系如图，圆桌可能绕y轴翻倒，临界情况，
F,0。 C
【解】 受力图3-41b
(a) (b) ， M,0F,DM,W,OD,0,y图3-39
104
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， DM,a,0.5rOD,0.5r
W , # a,0.5r(1，),350mmF
【讨论】1)本题属倾覆问题，倾覆轴为y轴，倾覆力矩为，稳定力矩F,DM为。由稳定力矩大于倾覆力矩的条件可直接解出a。 W,OD
2)空间平行力系有3个平衡方程，本题只用了1个。 ***
四、空间一般力系平衡方程应用举例
图3-42a、b所示，水涡轮受主动力偶矩M=1200，在锥齿轮BN,mz
处受到的约束力分解为3个分力:圆周力F，轴向力F和径向力F， F : F: F=1 : tarta r0.32 : 0.17。已知水涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12 kN，其作用线沿轴Cz，锥齿轮的平均半径OB=0.6 m。假设平衡，求止推轴承C和轴承A的约束力。 【分析】 本题为“轴-锥齿轮-涡轮”组成的单刚体受空间力系作用的平衡问题。轴在向心轴承A处受水平正交2分力，止推轴承C处受正交3分力，本题共有8个未知力，但已知F : F: F=1 : 0.32 : 0.17，相当于两个补充方程，加空间任意力系6ta r
个独立的平衡方程，因此可解。先对z轴列力矩平衡方程，可求F。 t
图3,42
【解】 图3-42c
105
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M,F,OB,0F,2000N ， , ,M,0zttz
F:F:F,1:0.32:0.17F,640N , ， F,340Ntarar
,M,0F，3m-F，4m,0F,2667N ， , # yAxtAx
,F，3m,F，4m，F，0.6m,0F,,325N,M,0 ， , # AyraAyx
F，F,F,0F,0， , F=-667 N # ,CxAxCxtx
FF，F，F,0F,,15N,0， , # ,yAyCyrCy
F,W,F,0F,12640NF,0， , # ,CzaCzz
【讨论】空间力系平衡问题的6个平衡方程中，尽量使每个方程的未知数少，避免解联立方程组。通常是先取与尽可能多的未知力平行或相交的力矩轴，使这些力在力矩方程中不出现，如本例第1个方程。列6个方程的次序应灵活选取。有些题6个平衡方程不一定全部用上。 ***
尺寸如图3-43a所示的均质长方体物块重W=200 N，由不计重量的杆
F,100NF,500NKC、HB和球铰A及辊轴支座E所支持，，，杆KC、HB12
沿物块对角线方向，求物块所受各约束力。
【分析】物块受空间任意力系作用。杆KC、HB为二力杆，B、C处约束力作
用线已知，各有1个未知力;球铰A处有3个约束分力;辊轴支座E处约束力沿
铅直方向。总共6个未知力，有6个独立的平衡方程，可解。
(a) (b) 106
图3-41
107
【解】 受力图3-43b
M,0,F,0 # ,zC
1 # M,0,,F,MP，Fcos45:,OM,0,F,240N,ANE1E4
11F,,433N , # M,0,F,AB，F,DO，F,MN,W,BC,0,AyxAy2E22
MN (压)# F,0,,F,，F,0,F,,804N,yBAyBBN
BO # F,0,F，F,F,,0,F,,533N,xAx1BAxBN
DN # F,0,F，F,，F，F,W,0,F,,20N,zAzBE2AzBN
【讨论】空间任意力系平衡一般有3个投影方程和3个力矩方程，本题的特
,M,0殊在于，除F之外，各未知力对轴AN都无矩，可解F。(式中计算ANEEF的力矩: 把F传至点B，然后分解为与AN平行、垂直的二力，取矩)有些题11
也可以用4,6个力矩方程求解(此时要注意方程的独立性)，但不一定是简便的。
***
小 结
本章介绍作用于刚体的各种力系的平衡方程及其应用，重点是平面任意力系平衡方程(3-3)的应用，特别是其中平面简单静定刚体系平衡问题的求解，要求熟练掌握。这也是本章难点(要领见第3-3节开始的叙述和例3-11后的总结)。
其他:平面简单桁架内力分析是平面力系平衡方程的具体应用。单体空间任意力系平衡问题应掌握。摩擦平衡问题也是本章难点，注意静摩擦力公式中的不等号;滚动阻力偶要求掌握概念。
注意各平衡方程中，投影方程用力矩方程替代时的附加条件(请读者思考:力矩方程能否用投影方程替代,为什么,)。注意方程和对象的独立性。
107
八年级物理平衡力作用下物体的运动
第九章 力与运动
教科版八年级下《9.2平衡力作用下物体的运动》教学案例
授课地点: 教室
授课时间: 1课时
【仪器材料】 书本、铅笔、毛巾、木板、光滑玻璃
【 教学目标 】
1. 知识与技能
(1) 理解并掌握二力平衡的条件；
(2) 理解伽利略理想实验原理，学会牛顿第一定律实验的探究方法；
(3) 理解并掌握牛顿第一定律的内容。
2. 过程与方法
经过举例理解并掌握二力平衡的条件，通过实验探究得出牛顿第一定律。
3. 情感、态度和价值观
形成从实际现象中分析并获得物理规律的推理意识。
【 教学过程 】
【 实践活动 】
在百科全书或互联网上查找有关牛顿和伽利略的资料，制作一份关于两位伟大科学家的小报告。
【 板书 】
第二节 平衡力作用下物体的运动
一、二力平衡
同时作用在物体上的两个力，若大小相等，方向相反，作用在同一直线上，我们就说这两个力是一对平衡力，称为二力平衡。
二、实验探究：牛顿第一定律
(1) 猜想：
(2) 制定方案：
(3) 结论：运动的物体，如果不受力的作用（或合力为零）它的速度将保持不变，永远运动下去。
(4) 牛顿第一定律：一切物体在不受外力作用时，总保持匀速直线运动状态或静止状态。
物体受非平衡力
物体受非平衡作用怎样运动
【目标导航】 1．理解什么是合力，掌握同一直线上的二力作用在弹簧上，观察弹簧的伸长，做上记 号。再用一个力F作用在弹簧，使弹簧伸 长相同的长度，读出F的大上F=10N。（如 下图）再测两组数据填入表格。 归纳2：物体受非平衡力作用时的运动状态是＿＿＿＿＿＿。有的由静变＿＿，有的由动变＿＿，有的由慢变＿＿，有的由动变＿＿，还有的改变运动＿＿＿＿作＿＿＿＿运的合成。 2．能应用二力合成来分析、解决一些简单的实际应用。
3．知道物体在非平衡力作用时如何运动。
【复习旧知】
1.物体的＿＿＿＿和＿＿＿＿＿的改变叫做形变。力可以改变物体的＿＿＿＿，也可以改变物体的＿＿＿＿。
2.物体的运动状态改变包括＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿。 3.二力平衡的条件是：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿＿ 。
4.物体在平衡力作用下将处于＿＿＿＿＿＿＿＿状态和＿＿＿＿状态，即运动状态＿＿＿＿＿＿＿。
【课堂导学】
活动1：认识合力
1. 先用F1和F2共同作用在弹簧上，观察弹簧的伸长情况，并注上标记；再用一个力F单独作用在弹簧上，将弹簧拉伸到相同的长度，（如下图左）比较F的作用效果与F1和F2共同作用的效果＿＿＿＿＿＿。F叫做＿＿＿＿，F1和F2叫做＿＿＿＿。
结论：如果两个力F1和F2共同作用的效果跟一个力F产生的效果相同，就把这个力F叫做那两个力F1和F2的合力，而那两个力F1和F2叫F的分力。
这里研究合力的方法是＿＿＿＿＿＿。 活动2：力的合成
求几个力的合力叫力的合成。最简单、最基 本的合成是同一直线上二力的合成。
1．先用F1=4N和F2=6N（都是水平向右）共同
同一直线上方向相同的两个力的合力： F合 =＿＿＿＿，方向与＿＿＿＿相同。 2. 先用F1=9N和F2=6N（F1水平向右，F2水平 向左）共同作用在弹簧上，观察弹簧的伸长， 做上记号。再用一个力F作用在弹簧上使弹 簧伸长相同的长度，读出F的大小。（如下 图）再测两组数据填入表格。
分析以上数据得出结论：
同一直线上方向相反的两个力的合力： F合 =＿＿＿＿，方向与＿＿＿＿＿＿方向 相同。
【课堂练习】
1．如图所示，甲、乙两个同学一起运一 车货物到学校。甲同学用100N的力向东拉 车，乙同学用50N的力向东推车，求这辆车 受到他们两个人的总作用力。
2．跳伞运动员背着打开的降落伞从空中竖直跳 动。当合力方向与速度相同时，物体作＿＿下，所受的重力和空气阻力的合力为10N，方向＿＿直线运动；当合力方向与速度相反时，竖直向下，已知运动员和降落伞的总重为800N，物体作＿＿＿＿直线运动；当合力方向与运求运动员所受空气阻力的大小和方向。 动方向不在同一直线上时，物体做＿＿＿＿ 运动。
【课堂练习】
3．一个质量为50kg的人站在地面上，人受到1． 列车受到的牵引力是2×104
N保持不哪些力的作用，这些力的合力多大？ 变。如果列车匀速行驶，它受到的阻力是＿ ＿＿＿N；如果列车的速度在增加，它受到
的阻力一定＿＿＿＿＿＿＿＿；如果列车的活动3：力和运动的关系
速度在减小，它受到的阻力一定＿＿＿＿。 1．正在下落的铅球受＿＿＿＿的作用。（不计2．一木箱静止在水平地面上，用50N水平空气阻力）
向右的力拉它，未能拉动，则物体受到的摩2.地面上的物体被提起时，拉力＿＿＿＿重力。擦力是＿＿＿＿
N
；若用
100N
水平向右的
（选填大于，等于或小于）
力拉它在水平面上做匀速直线运动，
则物体
归纳1：物体受到＿＿＿＿＿＿的作用，或者受到的摩擦力是＿＿＿＿N；若用150N水同时受到两个力的作用，而这两个力＿＿＿＿平向右的力拉它，则物体做＿＿＿＿运动。 ＿＿平衡条件，就说这个物体受到非平衡力的3．一个在水平地面上滚动的小球，由快 作用。
变慢最后停下来。这是因为（ ） 3.如下图所示，小车放在光滑水平桌面上，在A．没有力对它作用的缘故 盘中放上一个砝码，小车将由静止变为＿＿＿B．摩擦力使它改变了运动状态 ＿，速度越来＿＿＿＿。 C．重力使它改变了运动状态 D．摩擦力与重力是一对平衡力
4．关于运动和力的关系，下列说法中正 确的是 （ ）
A．物体受到力的作用后速度大小一定会改
变
4.如图所示，让一个小球从斜面上某一高度处B．物体受到力的作用后运动方向一定会改滚到纸板铺垫的水平轨道上，从底端开始，小变
球的速度越来越＿＿＿＿。
C．要改变物体的运动状态就必须对它施加5．抛出的小球，受到＿＿＿＿的作用，在空中力的作用
作＿＿＿＿，它的运动方向和速度大小都＿＿。 D．有力作用在物体上，物体才能运动 5.作用在一个物体上的两个力，分别为F1＝ 3N，F2=5N，并且这两个力在同一条直线上， 则F1与F2的合力（ ）
A.一定是8N B.一定是2N C.可能是3N或5N D.可能是2N或8N
1
【课后巩固】
1． 如果两个力F1和F2共同作用的效果跟一个力F作用的效果相同，那么F就叫做F1和F2的＿＿＿＿，F1、F2就叫做F的＿＿＿＿，求＿＿＿＿＿＿叫做二力的合成。
2． 同一直线上方向相同的两个力的合力的大小等于这两个力的大小之＿＿，合力的方向跟这两个力的方向＿＿＿＿。
3． 同一直线上方向相反的两个的合力，其大小等于这两个力的大小之＿＿，合力的方向跟其中＿＿＿＿的方向相同。 4．物体只受一个力的作用，或者同时受到两个力的作用，但这两个力不满足＿＿＿＿＿＿，这样的力叫做非平衡力。
5．物体运动状态的改变是指＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，物体在＿＿＿＿＿＿力的作用下，运动状态一定改变。当合力的方向与＿＿＿＿＿＿相同时，物体做＿＿＿＿＿＿；当合力的方向与＿＿＿＿＿＿相反时，物体做＿＿＿＿；当合力的方向与运动方向成一个夹角θ时（0°〈θ〈180°），物体做＿＿＿＿＿＿。
6．在建筑工地区上，起重机用于5100N的力竖直向上吊起500kg的货物，货物受到的合力大小为＿＿＿＿N，方向＿＿＿＿。
7．假期，小明帮爸爸干农活，他们沿着小 路拉车，爸爸用400N的力水平向南拉车，小明用200N的力水平向南推车，这二个力的合力大小是＿＿＿＿N，合力的方向是＿＿＿。 8．放在水平地面上的木箱重400N，人站在木箱上，木箱受到地面对它的支持力为900N，则人对木箱的压力是＿＿＿＿N，木箱受到的合力为＿＿＿＿N。
9．小英同学在超市购物时，用5N的水平力推着一辆小车在水平地面上做匀速直线运动，这时小车受到的阻力是＿＿＿N。突然，小英发现前面有一个小孩，她马上用10N的水平力向后拉小车，使小车减速，在减速运动的过程中，小车所受的合力为＿＿＿＿N（假设小车所受阻力的大小不变）。 10．质量为0.1g的水滴在空中竖直下落， 水
滴受到的空气的阻力是5×10-4
N，则水滴所受的合力是＿＿＿N，方向＿＿＿． 11．竖直向上踢出一个重5N的球后，球又落回原处。设球在上升和下降的过程中所受空气的阻力的大小为1N，则球在上升过程中所受的合力为＿＿＿＿N，下落过程中所受的合力大小为＿＿＿＿N。 12．空气对运动物体的阻力与物体运动的快慢有关，物体运动的越快受到空气的阻力越大。空降兵离开飞机后，先加速下落，后又匀速下落，从离开飞机到落地这个过程中，空降兵所受合力的变化情况是（ ） A.一直增大 B. 一直减小，直到等于零 C. 先增大后减小 D.先减小后增大 13．某同学为了观察一个塑料小球下落的运动情况，他将小球上端连接一条纸带，纸带穿过打点计时器(如下图所示)，让小球自由下落，打出的纸带由A到E，如下图所示，关于小球运动状态和受力情况，下列说法正确的是 A．AE段小球是匀速运动，球和纸带的重力等于向上的阻力。 B．AC段小球是减速运动，球和纸带的重力小于向上的阻力。 C． CE段小球是匀速运动，球和纸带的重力等于向上的阻力。 D． CE段小球是匀速运动，球和纸带的重力小于向上的阻力。 14.关于同一直线上两个力的合力，下列说法错误的是（ ）
A.合力一定大于其中任何一个力
B.合力为零时，二力的三要素一定相同 C.合力为零时，物体的运动状态一定不 变 D.合力一定小于其中任何一个力 15．用250N的力竖直向上提起200N的油桶，
油桶受到合力的大小和方向是 （ ） A.50N，竖直向上 B. 50N，竖直向下 C.450N竖直向下 D.450N，竖直向上 16.下列关于力的说法中正确的是 （ ） A．三要素都相同的两个力一定是平衡力 B．物体受非平衡力作用时，运动状态一定发生改变 C．游泳运动员只受到水向前的力，他对水不施力 D．“蜘蛛人”攀爬高层建筑时，使他上升的力是他对自己的拉力 17．跳伞运动员在空中竖直降落，运动员和伞总重为800N，当空气对运动员和伞的阻力为1000N时，运动员和伞受到的合力大小是 （ ） A．1000N B．800N C．200N D．1800N 18．正在做曲线运动的物体的受力情况（ ） A．不受任何外力作用B．受到平衡力的作用 C．受到非平衡力的作用 D．受到惯性的作用 19．已知F1=30N ，F2=50N( ) ，它们为同一直线上的两个力，则它们的合力可能为（ ） A．大小为80N，方向与F1 的方向相反 B．大小为80N，方向与F2的方向相反 C．大小为20N，方向与F2的方向相反
D．大小为20N，方向与F1 的方向相反
20．放在水平传送带上随传送带一起做加速运
动的工件，受到的力有 （ ）
A．重力、传送带的支持力、摩擦力
B．重力、传送带的支持力、摩擦力 C．重力、传送带的支持力 D．重力、摩擦力
21．同一直线上的两个力作用在同一物体上，已知其中一个力的大小是600N，合力大小是1000N，则另一力大小是（ ） A.一定等于400N B.一定小于400N C.可能等于1600N D.一定大于1600N 【课外拓展】 22．水平地面上有一块重为500N的石块，某同学用400N的提力去提它，则物体受到的合
力为＿＿＿＿N，重力和提力的合力为＿＿＿
＿N。
2
23．光滑水平面上的一个物体在受到与运动
方向相同的而大小逐渐减小的力的作用下，物体将做＿＿＿＿直线运动。（选填“加速”“匀速”或“减速”） 24．某物体在一对平衡力作用下做匀速直线运动，现仅减小其中一个力的大小，则该物体的运动情况是 （ ） A．一定做加速直线运动 B．一定做减速直线运动 C．一定做变速直线运动 D．有可能做曲线运动 25.如图甲所示，物体A始终只受到同一直线上的两个力F1 、F2的作用，F1 、F2的大小随时间的变化如图乙所示，则下列分析正确的是（ ） A．在t1时间内，物体受的合力先变大后变小，合力的方向始终与F2相同。 B．在t1时间内，物体受的合力先变小后变大，合力的方向始终与F2相同。 C．在t1时间内，物体受的合力先变大后变小，合力的方向始终与F2相反。 D．在t1时间内，物体受的合力先变大后变小，合力的方向始终与F2相反。
26. 肖明用 500 牛的水平力推着一辆重 200千克的小车在平直的大路上向南做匀速直线运动，车子所受的支持力是＿＿＿，阻力
为＿＿＿；突然前方冒出一个小朋友横穿大
路，肖明立即用800牛的水平力向后拉车，车子在水平方向上所受的合力是＿＿＿，方向为＿＿＿。 （设计人：庞德军）
物体受非平衡力
海陵中学初二物理教学案 第八章《弹力和弹簧测力计》
作用在弹簧上，观察弹簧的伸长，做上记 归纳2:物体受非平衡力作用时的运动状态物体受非平衡作用怎样运动 号。再用一个力F作用在弹簧，使弹簧伸 是,,,,,,。有的由静变,,，有的由
【目标导航】 长相同的长度，读出F的大上F=10N。(如 动变,,，有的由慢变,,，有的由动变,1(理解什么是合力，掌握同一直线上的二力下图)再测两组数据填入表格。 ,，还有的改变运动,,,,作,,,,运的合成。 2(跳伞运动员背着打开的降落伞从空中竖直跳 动。当合力方向与速度相同时，物体作,,2(能应用二力合成来分析、解决一些简单的 下，所受的重力和空气阻力的合力为10N，方向,,直线运动;当合力方向与速度相反时，实际应用。 竖直向下，已知运动员和降落伞的总重为800N，物体作,,,,直线运动;当合力方向与运3(知道物体在非平衡力作用时如何运动。 求运动员所受空气阻力的大小和方向。 动方向不在同一直线上时，物体做,,,,
【复习旧知】 运动。 1.物体的,,,,和,,,,,的改变叫做 【课堂练习】 /N F/N 合力F 实验序号 F12合4形变。力可以改变物体的,,,,，也可以N保持不3(一个质量为50kg的人站在地面上，人受到1( 列车受到的牵引力是2×101
改变物体的,,,,。 变。如果列车匀速行驶，它受到的阻力是,哪些力的作用，这些力的合力多大, 2
2.物体的运动状态改变包括,,,,、,,,,,N;如果列车的速度在增加，它受到 3 ,,、,,,,、,,,,和,,,,。 的阻力一定,,,,,,,,;如果列车的 分析以上数据得出结论: 3.二力平衡的条件是:,,,,、,,,,、速度在减小，它受到的阻力一定,,,,。 活动3:力和运动的关系 同一直线上方向相同的两个力的合力: ,,,,和,,,,, 。 2(一木箱静止在水平地面上，用50N水平1(正在下落的铅球受,,,,的作用。(不计 F =,,,,，方向与,,,,相同。 合4.物体在平衡力作用下将处于,,,,,,向右的力拉它，未能拉动，则物体受到的摩空气阻力) 2. 先用F=9N和F=6N(F水平向右，F水平 1212,,状态和,,,,状态，即运动状态,,擦力是,,,,N;若用100N水平向右的2.地面上的物体被提起时，拉力,,,,重力。向左)共同作用在弹簧上，观察弹簧的伸长， ,,,,,。 力拉它在水平面上做匀速直线运动，则物体(选填大于，等于或小于) 做上记号。再用一个力F作用在弹簧上使弹 【课堂导学】 受到的摩擦力是,,,,N;若用150N水归纳1:物体受到,,,,,,的作用，或者簧伸长相同的长度，读出F的大小。(如下 活动1:认识合力 平向右的力拉它，则物体做,,,,运动。 同时受到两个力的作用，而这两个力,,,,图)再测两组数据填入表格。 1. 先用F和F共同作用在弹簧上，观察弹3(一个在水平地面上滚动的小球，由快 ,,平衡条件，就说这个物体受到非平衡力的12 簧的伸长情况，并注上标记;再用一个力F变慢最后停下来。这是因为( ) 作用。 单独作用在弹簧上，将弹簧拉伸到相同的长A(没有力对它作用的缘故 3.如下图所示，小车放在光滑水平桌面上，在 度，(如下图左)比较F的作用效果与F和B(摩擦力使它改变了运动状态 盘中放上一个砝码，小车将由静止变为,,,1 FC(重力使它改变了运动状态 共同作用的效果,,,,,,。F叫做,,，速度越来,,,,。 2 ,,,，F和F叫做,,,,。 D(摩擦力与重力是一对平衡力 12实验序号 F/N F/N 合力F 12合 4(关于运动和力的关系，下列说法中正
1 确的是 ( )
2 A(物体受到力的作用后速度大小一定会改
3 变
分析以上数据得出结论: B(物体受到力的作用后运动方向一定会改4.如图所示，让一个小球从斜面上某一高度处
同一直线上方向相反的两个力的合力: 结论:如果两个力F和F共同作用的效果跟变 滚到纸板铺垫的水平轨道上，从底端开始，小12
F =,,,,，方向与,,,,,,方向 合一个力F产生的效果相同，就把这个力F叫球的速度越来越,,,,。 C(要改变物体的运动状态就必须对它施加
相同。 做那两个力F和F的合力，而那两个力F5(抛出的小球，受到,,,,的作用，在空中力的作用 121
【课堂练习】 和F叫F的分力。 作,,,,，它的运动方向和速度大小都,,。 D(有力作用在物体上，物体才能运动 2
1(如图所示，甲、乙两个同学一起运一 这里研究合力的方法是,,,,,,。 5.作用在一个物体上的两个力，分别为F,1
车货物到学校。甲同学用100N的力向东拉 3N，F活动2:力的合成 =5N，并且这两个力在同一条直线上，2
车，乙同学用50N的力向东推车，求这辆车 求几个力的合力叫力的合成。最简单、最基 则F与F的合力( ) 12
受到他们两个人的总作用力。 本的合成是同一直线上二力的合成。 A.一定是8N B.一定是2N
1(先用F=4N和F=6N(都是水平向右)共同 C.可能是3N或5N D.可能是2N或8N 12
1
海陵中学初二物理教学案 第八章《弹力和弹簧测力计》
-4【课后巩固】 N，则水滴所油桶受到合力的大小和方向是 ( ) 滴受到的空气的阻力是5×1023(光滑水平面上的一个物体在受到与运动1( 如果两个力F和F共同作用的效果跟一受的合力是,,,N，方向,,,( A.50N，竖直向上 B. 50N，竖直向下 方向相同的而大小逐渐减小的力的作用下，12
个力F作用的效果相同，那么F就叫做F和11(竖直向上踢出一个重5N的球后，球又落C.450N竖直向下 D.450N，竖直向上 物体将做,,,,直线运动。(选填“加速”1
F的,,,,，F、F就叫做F的,,,,，回原处。设球在上升和下降的过程中所受空16.下列关于力的说法中正确的是 ( ) “匀速”或“减速”) 212
求,,,,,,叫做二力的合成。 气的阻力的大小为1N，则球在上升过程中所A(三要素都相同的两个力一定是平衡力 24(某物体在一对平衡力作用下做匀速直线2( 同一直线上方向相同的两个力的合力的受的合力为,,,,N，下落过程中所受的合B(物体受非平衡力作用时，运动状态一定发生运动，现仅减小其中一个力的大小，则该物大小等于这两个力的大小之,,，合力的方力大小为,,,,N。 改变 体的运动情况是 ( ) 向跟这两个力的方向,,,,。 12(空气对运动物体的阻力与物体运动的快C(游泳运动员只受到水向前的力，他对水不施A(一定做加速直线运动 3( 同一直线上方向相反的两个的合力，其慢有关，物体运动的越快受到空气的阻力越力 B(一定做减速直线运动 大小等于这两个力的大小之,,，合力的方大。空降兵离开飞机后，先加速下落，后又D(“蜘蛛人”攀爬高层建筑时，使他上升的力C(一定做变速直线运动 向跟其中,,,,的方向相同。 匀速下落，从离开飞机到落地这个过程中，是他对自己的拉力 D(有可能做曲线运动 4(物体只受一个力的作用，或者同时受到两空降兵所受合力的变化情况是( ) 17(跳伞运动员在空中竖直降落，运动员和伞25.如图甲所示，物体A始终只受到同一直个力的作用，但这两个力不满足,,,,,A.一直增大 B. 一直减小，直到等于零 总重为800N，当空气对运动员和伞的阻力为 、F的作用，F 、F的大线上的两个力F1212,，这样的力叫做非平衡力。 C. 先增大后减小 D.先减小后增大 1000N时，运动员和伞受到的合力大小是 小随时间的变化如图乙所示，则下列分析正5(物体运动状态的改变是指,,,,,, 13(某同学为了观察一个塑料小球下落的运( ) 确的是( ) ,,,,,,,,,,,，物体在,,,,动情况，他将小球上端连接一条纸带，纸带A(1000N B(800N C(200N D(1800N A(在t时间内，物体受的合力先变大后变1,,力的作用下，运动状态一定改变。当合穿过打点计时器(如下图所示)，让小球自由18(正在做曲线运动的物体的受力情况( ) 小，合力的方向始终与F相同。 2力的方向与,,,,,,相同时，物体做,下落，打出的纸带由A到E，如下图所示，关A(不受任何外力作用B(受到平衡力的作用 B(在t时间内，物体受的合力先变小后变1,,,,,;当合力的方向与,,,,,,于小球运动状态和受力情况，下列说法正确C(受到非平衡力的作用 D(受到惯性的作用 大，合力的方向始终与F相同。 2相反时，物体做,,,,;当合力的方向与的是 ( ) 19(已知F=30N ，F=50N，它们为同一直线上C(在t时间内，物体受的合力先变大后变121运动方向成一个夹角θ时(0?〈θ〈180?)，A(AE段小球是匀速运动，球和纸带的重力的两个力，则它们的合力可能为( ) 小，合力的方向始终与F相反。 2物体做,,,,,,。 等于向上的阻力。 A(大小为80N，方向与F 的方向相反 D(在t时间内，物体受的合力先变大后变116(在建筑工地区上，起重机用于5100N的B(AC段小球是减速运动，球和纸带的重力B(大小为80N，方向与F的方向相反 小，合力的方向始终与F相反。 22力竖直向上吊起500kg的货物，货物受到的小于向上的阻力。 C(大小为20N，方向与F的方向相反 2
合力大小为,,,,N，方向,,,,。 C( CE段小球是匀速运动，球和纸带的重力D(大小为20N，方向与F 的方向相反 1
7(假期，小明帮爸爸干农活，他们沿着小 等于向上的阻力。 20(放在水平传送带上随传送带一起做加速运 路拉车，爸爸用400N的力水平向南拉车，小D( CE段小球是匀速运动，球和纸带的重力动的工件，受到的力有 ( ) 明用200N的力水平向南推车，这二个力的合小于向上的阻力。 A(重力、传送带的支持力、摩擦力 力大小是,,,,N，合力的方向是,,,。 B(重力、传送带的支持力、摩擦力 8(放在水平地面上的木箱重400N，人站在C(重力、传送带的支持力
木箱上，木箱受到地面对它的支持力为 D(重力、摩擦力
21(同一直线上的两个力作用在同一物体上，900N，则人对木箱的压力是,,,,N，木箱
已知其中一个力的大小是600N，合力大小是受到的合力为,,,,N。
1000N，则另一力大小是( ) 9(小英同学在超市购物时，用5N的水平力26.肖明用500牛的水平力推着一辆重200A.一定等于400N B.一定小于400N 推着一辆小车在水平地面上做匀速直线运千克的小车在平直的大路上向南做匀速直C.可能等于1600N D.一定大于1600N 14.关于同一直线上两个力的合力，下列说法动，这时小车受到的阻力是,,,N。突然，线运动，车子所受的支持力是,,,，阻力【课外拓展】 错误的是( ) 小英发现前面有一个小孩，她马上用10N的为,,,;突然前方冒出一个小朋友横穿大22(水平地面上有一块重为500N的石块，某A.合力一定大于其中任何一个力 水平力向后拉小车，使小车减速，在减速运路，肖明立即用800牛的水平力向后拉车，B.合力为零时，二力的三要素一定相同 同学用400N的提力去提它，则物体受到的合动的过程中，小车所受的合力为,,,,N车子在水平方向上所受的合力是,,,，方C.合力为零时，物体的运动状态一定不 变 力为,,,,N，重力和提力的合力为,,,(假设小车所受阻力的大小不变)。 向为,,,。 D.合力一定小于其中任何一个力 ,N。 10(质量为0.1g的水滴在空中竖直下落， 水,设计人:庞德军, 15(用250N的力竖直向上提起200N的油桶，
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