那晚越女说我?
范文一：古典概型概率公式
古典概型（二）
教学设计
姓名：石璐
班级：
学号： 1402 1451010223
一、课题：人教A 版必修3高中数学3.2.1古典概型
二、课标要求：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数.
三、教材分析：
人教版：本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A ）版》第三章中的第3.2.1节古典概型，它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也是后面学习其它概率的基础．在概率论中占有相当重要的地位, 是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，能解释生活中的一些问题，也有利于计算一些事件的概率，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位．
本节教材主要是学习古典概型的概率公式，教学中学生已经通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，现在需通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题．
北师大版：本节只是初步认识古典概型并归纳出概率计算公式，本节课之前并没有给出互斥事件的概率加法公式，而古典概型的概率计算公式是通过实例直接总结的. 建立概率模型是在第2节中才抽象出来的，而互斥事件的概率加法公式是在第3节给出的.
四、学情分析：
认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，初步理解了古典概型，这几者形成了学生思维的“最近发展区”.
能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.
情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.
五、教学目标：
知识与技能：掌握古典概型的概率计算公式，体会化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.
过程与方法：进一步发展类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养应用能力.
情感态度与价值观：培养勇于探索，善于发现的创新思想. 树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，领会理论与实践对立统一的辨证思想. 增强数学思维情趣, 形成学习数学知识的积极态度.
六、教学重难点：
教学重点：利用古典概型求解随机事件的概率.
突破方法：反复运用概率的加法公式加强理解.
教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
突破方法：利用列表和画出树状图的方式解决.
七、教学理念：建构主义理论的支架式教学.
建构主义的基本观点是个体通过同化与顺应两种形式来达到与周围环境的平衡；个体能用现有的图式去同化新信息时，他处于一种平衡的认知状态；而当现有图式不能同化新信息时，平衡即被破坏，而修改或创造新图式（顺应）的过程就是寻找新平衡的过程。个体的认
知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来，并在“平衡—不平衡—新的平衡”的循环中得到不断的丰富、提高和发展．强调学习者的主动性．
其中，支架式教学应当为学习者建构对知识的理解提供一种概念框架。这种框架中的概念是为发展学习者对问题的进一步理解所需要的，为此，事先要把复杂的学习任务加以分解，以便于把学习者的理解逐步引向深入。
我为学生提供的支架是概率的意义、概率的基本性质，互斥事件和对立事件的概率加法公式以及古典概型。选用建构主义理论的支架式教学可以更好地帮助我们学习概率计算公式。
八、教学方法：讲授法
我采用的教学方法是讲授法。讲授法是教师通过口头语言向学生传授知识、培养能力、进行思想教育的方法，在以语言传递为主的教学方法中应用最广泛。在本节课中，采用讲授发使学生在老师提供的”支架”可以更好地归纳总结出新知识。
九、教学过程：
（一）复习回顾，引入课题
古典概型下我们如何确定每个基本事件出现的概率？
（1）基本事件只有有限个，我们的基本事件都是互斥，且必然事件是可以表示为基本事件的和，那么我们利用概率加法公式．
（2）我们知道概率是用来度量随机事件发生可能性大小的. 现在基本事件也是随机事件，在古典概型里，基本事件出现的可能性是相等的，也就是基本事件的概率是相等的．
【设计意图】利用学生思维的“最近发展区”，明确学习方向，激发学习兴趣．
（二）实践探究，总结规律
对于掷硬币试验中, 出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等, 即
P （“正面朝上”）=P（“反面朝上”）
由概率的加法公式, 得
P （“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1.
因此P （“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=1. 2
即P （“出现正面朝上”)=1" 出现正面朝上" 所包含的基本事件的个数=. 2基本事件的总数
在掷骰子试验中, 出现各个点的概率相等, 即
P （“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）.
反复利用概率的加法公式, 我们有P （“1点”）+P（“2点”）+P（“3点”）+P（“4点”）+P（“5点”）+P（“6点”）=P（必然事件）=1
所以P （“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=进一步地, 利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率, 例如,
P （“出现偶数点”）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=1. 611131++==. 66662
即P （“出现偶数点”）=3" 出现偶数点" 所包含的基本事件的个数=. 6基本事件的总数
因此根据上述两则模拟试验, 可以概括总结出, 古典概型计算任何事件的概率计算公式为： P （A ）=A 所包含的基本事件的个数. 基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时, 应该注意：
①要判断该概率模型是不是古典概型；
②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
【设计意图】学生通过运用观察、比较方法得出古典概型的概率计算公式，体验数学知识形成的发生与发展的过程，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。
（三）应用新知，解决问题
例1单选题是标准化考试中常用的题型, 一般是从A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容, 他可以选择唯一正确的答案. 假设考生不会做, 他随机地选择一个答案, 问他答对的概率是多少？
活动：学生阅读题目, 搜集信息, 交流讨论, 教师引导, 解决这个问题的关键, 即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型. 如果学生掌握或者掌握了部分考查内容, 这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性, 因此, 只有在假定学生不会做, 随机地选择了一个答案的情况下, 才可以化为古典概型.
解：这是一个古典概型, 因为试验的可能结果只有4个：选择A 、选择B 、选择C 、选择D, 即基本事件共有4个, 考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D 的可能性是相等的. 从而由古典概型的概率计算公式得：P （“答对”）=" 答对" 所包含的基本事件的个数1==0.25. 基本事件的总数4总结
古典概型解题步骤:
（1）阅读题目, 搜集信息；
（2）判断是否是等可能事件, 并用字母表示事件；
（3）求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ；
（4）用公式P(A)=A所包含的基本事件个数基本事件的总数求出概率并下结论.
【设计意图】通过实例，掌握古典概型的基本特点，并会利用概率公式计算结果. 总结出古典概型解题步骤.
例2 同时掷两个骰子, 计算：
（1）一共有多少种不同的结果?
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
（3）向上的点数之和是5的概率是多少?
（4）向上点数之和是3的倍数的概率是多少？
解：（1）掷一个骰子的结果有6种. 我们把两个骰子标上记号1,2以便区分, 由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对, 组成同时掷两个骰子的一个结果, 因此同时掷两个骰子的结果共有36种.
（2）在上面的所有结果中, 向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果, 第二个数表示2号骰子的结果.
（3）由于所有36种结果是等可能的, 其中向上点数之和为5的结果(记为事件A) 有4种, 因此, 由古典概型的概率计算公式可得P(A)=41=. 369
（4）记“向上点数和为3的倍数”为事件B, 则事件B 的结果有12种, 因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的, 所以所求的概率为P(B)=121=. 363
利用图表来数基本事件的个数:
【设计意图】一般用列举法列出所有基本事件的结果, 画图表或树状图是列举法的基本方法. 分布完成的结果(两步) 可以用图表进行列举；(两步以上) 可以用树状图进行列举.
（四）小结反思
1、古典概型计算任何事件的概率计算公式 A 所包含的基本事件的个数
基本事件的总数P （A ）=.
2、求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表）, 应做到不重不漏.
【设计意图】梳理本节课所学内容，掌握本节课的重难点．
（五）布置作业
教科书习题3.2 A组1、2、3、4.
十、板书设计
十一、反思
首先，反思教学过程：
优点：在整个教学过程我与学生互动较多，轻松愉悦，课堂气氛活跃．讲课时，思路条理过程清晰．我先通过复习旧知，启发学生思考，然后通过列等式的方法，逐步引出古典概型概率公式；板书的书写和设计相差不大，让学生一目了然，有利于学生整理探索概率公式的过程；由于我的声音洪亮，音调有起伏，能够吸引学生注意力，继而认真思考学习．
缺点：（1）我在最开始上讲台时，有一些紧张，小动作多；（2）书写不美观，板书设计有些不合理．
其次，反思教学设计：
我没有把教学理念和教学方法的概念写出来．而且，我并没有很好地分析教学理念和教学方法怎样指导教学．
范文二：概率论公式大全
概率论公式大全（2010版）
1．随机事件及其概率
A ?Ω=ΩA ?Ω=A
吸收律：A ??=A A ??=?
A ?(AB ) =A A ?(A ?B ) =A
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
A -B =A =A -(AB )
反演律：A ?B = AB =?
P (A ) =∑P (AB i ) =∑P (B i ) ?P (A B i )
i =1
i =1
n n
A = A A = A
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n n
Bayes 公式
2．概率的定义及其计算
P (B k ) P (A B k ) P (AB k )
=n P (B k A ) =
P (A )
∑P (B i ) P (A B i )
i =1
P () =1-P (A )
若A ?B ?P (B -A ) =P (B ) -P (A ) 对
4．随机变量及其分布
分布函数计算
任意两个事件A , B , 有
P (a
=F (b ) -F (a )
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
P (B -A ) =P (B ) -P (AB )
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
P (A ?B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) P (A ?B ) ≤P (A ) +P (B )
P (X =k ) =p k (1-p ) 1-k , k =0, 1
(2) 二项分布 B (n , p )
n
P ( A i ) =∑P (A i ) -
i =1
i =1
n n
1≤i
∑P (A A )
i
j
+
1≤i
+ +(-1) P ( A ) = p P (A A A ) ∑P (A A A ) 若
n -1
i
j
k
1
2
n
3．条件概率
k k
P (X =k ) =C n p (1-p ) n -k , k =0, 1, , n
*Possion 定理
lim np n =λ>0
n →∞
P (B A )=
乘法公式
P (AB )
P (A )
有
l i m C p (1-p n )
n →∞
k
n k n
n -k
k !
k =0, 1, 2,
=e
-λ
λk
1
(3) Poisson 分布 P (λ)
P (X =k ) =e
-λ
λk
k !
, k =0, 1, 2,
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b )
?1
f (x ) =?
?b -a
, a
0, 其他??0, F (x ) =??x -a , ?b -a
??
1
(2) 指数分布 E (λ)
f (x ) =???
λe -λx , x >0
? ?0,
其他F (x ) =??0,
x <0?1-e>
, x ≥0
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
f (x ) =
1
-
(x -μ) 22σ2
2σ
e -∞
t -μ) 2
F (x ) =
1
2σ2?
x
-∞
e
-
(d t
*N (0,1) — 标准正态分布
?(x ) =
1
e -
x 22
2π
-∞
2
Φ(x ) =
1
x
-t 2
2π
?
-∞
e d t -∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数
F (x , y ) =?
x
-∞?
y
-∞
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
F X (x ) =?
x
-∞?
+∞
-∞
f (u , v ) dvdu
f +∞
X (x ) =?-∞f (x , v ) dv
F ) =?
y
Y (y -∞?
+∞
-∞f (u , v ) dudv
f +∞
Y (y ) =?-∞
f (u , y ) du
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
?f (x , y ) =?1
?A , (x , y ) ∈G
??0,
其他
(2)
二维正态分布
-
1
?(x -μ21) (x -μ1)(y -μ2) (y -μf (x , y ) =
12(1-ρ2) ??-2ρ+2
?σ21
σ1σ2σ222πσ1σ?e
2-ρ
2
-∞
9.
二维随机变量的 条件分布
f (x , y ) =f X (x ) f Y X (y x )
f X (x ) >0 =f Y (y ) f X Y (x y )
f Y (y ) >0
f (x ) =?+∞
-∞
f (x , y ) dy =?+∞
X -∞
f X (x y ) f Y (y ) dy
f +∞+∞
Y (y ) =?-∞
f (x , y ) dx =?-∞
f Y X (y x ) f X (x ) dx
f ) =
f (x , y ) f Y X (y x ) f X (x ) X Y (x y f = Y (y ) f Y (y )
2
f (y x ) =
f (x , y ) f X (x y ) f Y (y ) Y X f =f X (x )
X (x )
10. 随机变量的数字特征
数学期望
+∞
E (X ) =∑x k p k
k =1
E (X ) =?+∞
-∞
xf (x ) dx
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
E (X k )
X 的 k 阶绝对原点矩
E (|X |k )
X 的 k 阶中心矩
E ((X -E (X )) k )
X 的 方差
E ((X -E (X )) 2) =D (X )
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E (X k Y l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E ((X -E (X )) k (Y -E (Y )) l )
…………………………………………………
X ,Y 的 二阶混合原点矩
E (XY )
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
E ?
(X -E (X ))(Y -E (Y )) ?
?=ρ?D (X ) D (Y ) ??
XY
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
D (X ) =E (X 2) -E 2(X )
协方差
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y )
=±
1
2
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) ) 相关系数
ρX , Y )
XY =
cov(D (X ) D (Y )
…………………………………………………………………………
3
范文三：概率统计公式大全
概率论与数理统计 公式(全)
2011-1-1
第1章 随机事件及其概率
m!n 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 P,m(1) (m,n)!
排列组合
m!公式 n 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 C,mn!(m,n)!
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n(2) 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 加法和乘乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 法原理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n
种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
(3) 重复排列和非重复排列(有序)
一些常见对立事件(至少有一个)
排列 顺序问题
(4) 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，随机试验但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试和随机事验。
件 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
如下性质:
?每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
?任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 (5)
,这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件、
,基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 样本空间
,,一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母和事件
,A，B，C，?表示事件，它们是的子集。
,为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件(?)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理，
必然事件(Ω)的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
?关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生):
A,B
A,BB,A如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:
A=B。 (6) :A、B中至少有一个发生的事件:AB，或者A+B。 事件的关属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可系与运算
AB表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
::A、B同时发生:AB，或者AB。AB=Φ，则表示A与B不可能同时发生，
称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1
概率论与数理统计 公式(全)
2011-1-1
AΩ-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生
的事件。互斥未必对立。
?运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A?(B?C)=(A?B)?C
分配率:(AB)?C=(A?C)?(B?C) (A?B)?C=(AC)?(BC)
,,
iiA,A::i1i1,, 德摩根率:， A:B,A:BA:B,A:B
,AA设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满
足下列三个条件:
1? 0?P(A)?1，
2? P(Ω) =1
(7) A1A23? 对于两两互不相容的事件，，?有 概率的公,,,,ii,,PA,P(A)理化定 义 :,,,i1i1,,,,
常称为可列(完全)可加性。
A则称P(A)为事件的概率。
1? ， ,,,,,,,？,12n
1PPP,,,,？,,2? 。 ()()()12nn
A设任一事件，它是由组成的，则有 ,,,？,(8) 12m
古典概型 P(A)= P,, = (,):(,):？:(,)P(,)，P(,)，？，P(,)12m12m
A所包含的基本事件数m,, 基本事件总数n
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何(9) 概型。对任一事件A，
几何概型 L(A)P(A),。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。 L(,)
(10) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
加法公式 当P(AB),0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(11) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) ,
减法公式 B当A=Ω时，P()=1- P(B)
P(AB)定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事P(A)(12)
P(AB)条件概率 P(B/A),件B发生的条件概率，记为。 P(A)
1
概率论与数理统计 公式(全)
2011-1-1
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如:P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) ,B
乘法公式: P(AB),P(A)P(B/A),P(B)P(A/B)更一般地，对事件A，A，?A，若P(AA?A)>0，则有 12n12n-1(13)
,P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2P(A1A2An)乘法公式 ????An,1)。
?两个事件的独立性
P(AB),P(A)P(B)ABAB设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
P(A),0AB若事件、相互独立，且，则有
P(AB)P(A)P(B)P(B|A),,,P(B)P(A)P(A)
ABBAABAB若事件，相互独立，则可得到与，与，与也都相互独立。 (14)
,必然事件和不可能事件Φ与任何事件都相互独立。 独立性
Φ与任何事件都互斥。
?多个事件的独立性
设A，B，C是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
B1,B2,？,Bn设事件满足
B1,B2,？,BnP(Bi),0(i,1,2,？,n)1?两两互不相容，， (15) n
全概率公A,Bi:,1i2? ， 式
则有
P(A),P(B1)P(A|B1)，P(B2)P(A|B2)，？，P(Bn)P(A|Bn)。
BnB2AB1设事件，，?，及满足
P(Bi)i,BnnB2B11? ，，?，两两互不相容，>0，1，2，?，，
n
A,Bi:P(A),0,1i2? ，且， (16) 贝叶斯公则 式 P(B)P(A/B)iiP(B/A)，i=1，2，?n。 ,(用于求in
后验概率) P(B)P(A/B),jj,1j
此公式即为贝叶斯公式。
i,1i,1n22P(B)P(B/A)，(，，?，)，通常叫先验概率。，(，，?，ii
n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。
1
概率论与数理统计 公式(全)
2011-1-1
n次试验，且满足 我们作了
AA, 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生; nA, 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样; (17) AA, 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与 否是互不影响的。 n这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
p1,p,qPn(k)AA 用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表
伯努利概
k(0,k,n)nA型 示重伯努利试验中出现次的概率，
kkn,kP(k),pqnk,0,1,2,？,nCn，。
第二章 随机变量及其分布
X设离散型随机变量的可能取值为X(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事k
件(X=X)的概率为 k
P(X=x)=p，k=1,2,?， kk
X则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形(1)
式给出: 离散型随
Xx,x,？,x,？12k机变量的|P(X,xk)p1,p2,？,pk,？分布律 。
显然分布律应满足下列条件:
,
p,1k,pk,0k,1,2,？,k1(1)，， (2)。
F(x)f(x)xX设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
xF(x),f(x)dx, ,,，
f(x)XX则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概(2) 率密度。
连续型随密度函数具有下面4个性质:
机变量的f(x),01? , 分布密度 ，,f(x)dx,1,,,2? ,
x2
3?, P(,X,),f(x)dx xx,12
x1
'4?。 若f(x)在点x处连续，则有F(x),f(x) 1
概率论与数理统计 公式(全)
2011-1-1
(3) P(X,x),P(x,X,x，dx),f(x)dx离散与连
续型随机P(X,xk),pk积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离f(x)dx变量的关
系 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设为随机变量，是任意实数，则函数 Xx
F(x),P(X,x)
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。分布P(a,X,b),F(b),F(a)(a,b]
函数表示随机变量落入区间(– ?，x]的概率。 F(x)
分布函数具有如下性质:
1? ; 0,F(x),1,,,,x,，,
(4) 2? 是单调不减的函数，即时，有 ; x1,x2F(x)F(x1),F(x2)分布函数
F(,,),limF(x),0F(，,),limF(x),13? ， ; x,,,x,，,
4? ，即是右连续的; F(x，0),F(x)F(x)
5? 。 P(X,x),F(x),F(x,0)
F(x),p对于离散型随机变量，; ,kx,xk
x
对于连续型随机变量， 。 F(x),f(x)dx,,,
0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
即B(1,p)
1
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在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生AApn
的次数是随机变量，设为，则可能取值为。 XX0,1,2,？,n
kkn,k， 其中P(X,k),P(k),Cpqnn(5)
八大分布 二项分布 ， q,1,p,0,p,1,k,0,1,2,？,n即B(n,p)
则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为Xpn
。 X~B(n,p)
k1,kn,1k,0.1当时，，，这就是0-1分布，P(X,k),pq
所以0-1分布是二项分布的特例。
X的分布律为 设随机变量
k,,, ,,0()PX,k,e，， k = 0,1,2?， !k
泊松分布 ,X则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或X~,(,),即P()
,者P()。
泊松分布是二项分布的极限分布(np=λ，n??)。
knk,k,0,1,2,l？C,CMNM,P(X,k),, 超几何分布 nl,min(M,n)CN
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
k,1，其中p?0，q=1-p。 P(X,k),qp,k,1,2,3,？几何分布
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
1
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f(x)X设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]
1上为常数，即 b,a
1,a?x?b ,, f(x),b,a, 其他， ,0,,
X则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 均匀分布 分布函数为
0， x
x,a, b,a a?x?b xF(x),f(x)dx,,,, 1， x>b。
x,x12当a?x
x,x21Px,X,x,()。 12b,a
,,x ,e,x,0 , f(x), x,00, , ,,0, 其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为 指数分布
,,x1,e,x,0 , F(x), 0, x<0。>
记住积分公式: ，,n,xxedx,n! ,0
1
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X设随机变量的密度函数为 2,(x,) ,122,,,,x,，,， ， f(x),e 2,, ,,,,0,X其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的 2X~N(,,,) 正态分布或高斯(Gauss)分布，记为。
f(x) 具有如下性质:
x,,f(x)1? 的图形是关于对称的; 1x,,,2? 当时，为最大值; f(), 2,, 2X~N(,,,)X若，则的分布函数为 2,(t), ,x122,Fx,edt(), ,,2,, 正态分布 ,,0,,1参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为
X~N(0,1)，其密度函数记为
2x,12,()x,e
2,，， ,,,x,，,
分布函数为 2tx,12。 ,x,edt(),2,,,
,(x)是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x),1-Φ(x) 且 Φ(0),1/2
2,X,X~N(,,,)如果，则 , 。 N(0,1),
,,x,x,,,,,21。 P(xXx),,,,,,,,,,12,,,,,,(6) 下分位表:P(X,,),,; ,分位数
P(X,,),,上分位表:。 ,
X已知的分布列为
x,x,？,x,？12nX ， P(X,xi)p1,p2,？,pn,？(7) 离散型
y,g(x)Y,g(X)的分布列(互不相等)如下: ii函数分布
g(x),g(x),？,g(x),？12nY ， P(Y,y)ip1,p2,？,pn,？
p若有某些g(xi)g(xi)相等，则应将对应的相加作为的概率。 i1
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先利用X的概率密度f(x)写出Y的分布函数F(y),P(g(X)?XY连续型
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f(y)。 Y
第三章 二维随机变量及其分布
如果二维随机向量=(X，Y)的所有可能取值为至多可列,
个有序对(x,y)，则称为离散型随机向量。 ,
设=(X，Y)的所有可能取值为，(x,y)(i,j,1,2,？),ij
且事件{=}的概率为p,称 (x,y),ij,ij
P{(X,Y),(x,y)},p(i,j,1,2,？)ijij
为=(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分,
(1) 布有时也用下面的概率分布表来表示:
联合分布 离散型 Y y y ? y ? 12j X
x p p ? p ? 111121j
x p p ? p ? 221222j
？？？？？
x p ? ? ii1p ij
？？？？？
这里p具有下面两个性质: ij
(1)p?0(i,j=1,2,?); ij
(2) p,1.,,ijij
1
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对于二维随机向量，如果存在非负函数,,(X,Y)
，使对任意一个其邻边f(x,y)(,,,x,，,,,,,y,，,)
分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<><><>
有
P{(X,Y),D},f(x,y)dxdy,,,连续型 D
则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X，Y)的分布,,
密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1) f(x,y)?0;
，,，,(2) f(x,y)dxdy,1.,,,,,,
(2)
二维随机 ,(X,x,Y,y),,(X,x:Y,y)变量的本
质
设(X，Y)为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y),P{X,x,Y,y}
称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函
数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
的概率为函数值的一个实值函{(,,,)|,,,X(,),x,,,,Y(,),y}1212
数。联合分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:
(3) (1) 0,F(x,y),1;联合分布
(2)F(x,y)分别对x和y是非减的，即 函数
当x>x时，有F(x,y)?F(x,y);当y>y时，有F(x,y) ?F(x,y); 21212121
(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即
F(x,y),F(x，0,y),F(x,y),F(x,y，0);
(4) F(,,,,,),F(,,,y),F(x,,,),0,F(，,,，,),1.
x,x，y,y，(5)对于 1212
F(x，y),F(x，y),F(x，y)，F(x，y),0. 222112111
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(4)
离散型与 P(X,x，Y,y),P(x,X,x，dx，y,Y,y，dy),f(x，y)dxdy连续型的
关系
X的边缘分布为
; P,P(X,x),p(i,j,1,2,？),i,iijj离散型
Y的边缘分布为
。 P,P(Y,y),p(i,j,1,2,？),,jjij(5) i边缘分布X的边缘分布密度为
，,密度 f(x),f(x,y)dy;X,,,连续型
Y的边缘分布密度为
，, f(y),f(x,y)dx.Y,,,
在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为 i
pijP(Yy|Xx) ,,,; jipi,离散型
在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为 j
pijPXxYy (,|,),, ijp,j(6)
条件分布 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
f(x,y)f(x|y); , f(y)Y连续型
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
f(x,y)f(y|x), f(x)X
一般型 F(X,Y)=F(x)F(y) XY
p,pp iji,,j 离散型
(7) 有零不独立 独立性 f(x,y)=f(x)f(y) XY
连续型 直接判断，充要条件:
?联合概率密度函数可分离变量。
?正概率密度区间为矩形。 1
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22，，,,,,,,,,,x,2(x,)(y,)y,1 1122,,,,,,,,，,,,,2,,,,,,1,2(1,),,,,1122，，二维正 ,f(x,y)e,2,,,,,2112态分布
其中是5个参数 ,,,,,0,,,0,|,|,112,12
若X,X,?X,X,?X相互独立， h,g为连续函数，则: 12mm+1n
随机变量 h(X，X,?X)和g(X,?X)相互独立。 12mm+1n
的函数 特例:若X与Y独立，则:h(X)和g(Y)独立。
例如:若X与Y独立，则:3X+1和5Y-2独立。
设随机向量(X，Y)的分布密度函数为
1,(x,y),D ,SD , f(x,y),, ,0,其他 ,,
其中S为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y), D
U(D)。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D 1
1 x O
图3.1
(8)二维
均匀分布 y
1
D2 2 x O 1
图3.2
y
d D 3
c
a b x O
图3.3
1
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设随机向量(X，Y)的分布密度函数为
22，，,,,,,,,,,x,2(x,)(y,)y,11122,,,,,,,,，,,,,2 ,,,,,,2(1,,)11122,,,,，，,f(x,y)e, 2,,,,,2112
其中是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分,,,,,0,,,0,|,|,112,12
(9)二维布，
正态分布 22记为(X，Y),N( ,,,,,,,,).12,12
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分
布，
22即X,N( ,,,),Y~N(,,).112,2
22但是，若X,N(，(X，Y)未必是二维正态分布。 ,,,),Y~N(,,)112,2
根据定义计算: F(z),P(Z,z),P(X，Y,z)Z
，,
对于连续型，f(z), f(x,z,x)dx Z,,, Z=X+Y
22两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。 ,，,,,，,1212
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
222(10) ， ,,C,,,C,ii,,iiii关于随机
变量的函 若X,X？X相互独立，其分布函数分别为12n数的分布
F(x)，F(x)？F(x)，则Z=max, min(X,X,?X)的分布12nxxx12nZ=max,min(
函数为: X,X,?X) 12n
F(x),F(x) ?F(x)？F(x) maxxxx12n
F(x),1,[1,F(x)] ? [1,F(x)]？[1,F(x)] minxxx12n
1
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相互独立，且服从标准正态分设n个随机变量X,X,？,X12n
布，可以证明它们的平方和
n2 W,X ,i,1i
的分布密度为
nu,1,,122ueu,0, ,n,n,, f(u)2, ,2,,,2,,, ,0,u,0.,
22我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W,，,(n),
2分布 ,其中
n1,，,n,,,x2 ,,xedx.,,,02,,
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量
分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:设 ,
2 Y,,(n),ii
则
k2 Z,Y~,(n，n，？，n).,i12k,i1
1
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设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
2 X~N(0,1),Y~,(n),
可以证明函数
X T, Y/n
t分布 的概率密度为
n，1,,n，1,,,,22,,t2,,,,()1ft,， (,,,t,，,).,,nn,,,,n,,,,2,,
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T,t(n)。
t(n),,t(n)1,,,
22设，且X与Y独立，可以证明X~,(n),Y~,(n)12
X/n1F,的概率密度函数为 Y/n2
,nn，,,12nn，n112,,,,F分布 ,n122,1,,,,nn2,,112,,,,,,y1，y,y,0,,,,f(y), ,nnnn,,,,,,,,1222,,,,,,,22,,,,,,0,y,0,
我们称随机变量F服从第一个自由度为n，第二个自由度为n12
的F分布，记为F,f(n, n). 12
1F(n,n), ,112,F(n,n),21
1
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第四章 随机变量的数字特征
离散型 连续型
设X是离散型随机变量，其分
设X是连续型随机变量，其概率密 布律为P(),p，X,xkk 度为f(x)，
期望 k=1,2,?,n， ，,
(期望就是平均值) E(X),xf(x)dxn,,, E(X),xp ,kk,1k (要求绝对收敛)
(要求绝对收敛)
Y=g(X) Y=g(X)
一维随机变量的函数的期，,n
E(Y),g(x)p望 E(Y),g(x)f(x)dx,kk,,1k(1) ,,
一维方差
2随机D(X)=E[X-E(X)]， ，,2变量2标准差 D(X),[x,E(X)]f(x)dx D(X),[x,E(X)]p,,kk的数,,k， ,(X),D(X)字特
征
?对于正整数k，称随机变量X?对于正整数k，称随机变量X的
的k次幂的数学期望为X的kk次幂的数学期望为X的k阶原点
阶原点矩，记为v,即 ,即 矩，记为v kk
kk，, kkν=E(X)= , xpk,iixf(x)dx,ν=E(X)= k,,,i
k=1,2, ?. k=1,2, ?.
?对于正整数k，称随机变量X?对于正整数k，称随机变量X与
与E(X)差的k次幂的数学期E(X)差的k次幂的数学期望为X
矩 ,,望为X的k阶中心矩，记为，的k阶中心矩，记为，即 kk
即 k(()),,EX,EXk k,,EX,EX(()).k
.，,k(x,E(X))f(x)dx,= ,k,,=， (x,E(X))pii,k=1,2, ?. i
k=1,2, ?.
1
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2，则对于任设随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ
意正数ε，有下列切比雪夫不等式
2,,, P(X,,),2,切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
P(X,,,,)
的一种估计，它在理论上有重要意义。
(1) E(C)=C
(2)(2) E(CX)=CE(X)
期望nn
(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E(CX),CE(X)的性,,iiii,,11ii质
(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件:X和Y独立;
充要条件:X和Y不相关。
(1) D(C)=0;E(C)=C 2(2) D(aX)=aD(X); E(aX)=aE(X) 2(3)(3) D(aX+b)= aD(X); E(aX+b)=aE(X)+b
22方差(4) D(X)=E(X)-E(X)
的性(5) D(X?Y)=D(X)+D(Y)，充分条件:X和Y独立; 质 充要条件:X和Y不相关。
D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
期望 方差
0-1分布 B(1,p)p(1,p)p
二项分布 B(n,p)np(1,p)np
泊松分布 P(,),, (4)
常见1,p1分布几何分布 G(p)2pp的期
望和
nMnMMN,n,,,,方差 超几何分布 H(n,M,N) 1,,,,,NNNN,1,,,,
2a，bb,a()均匀分布U(a,b) 212
11指数分布e(,) 2,,1
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22 ,正态分布 N(,,,) ,
2n 2n ,分布
n0 (n>2) t分布 n,2
，,n
E(X),xp E(X),xf(x)dx ,,iiX,,1i,, 期望
，,n
E(Y),yp E(Y),yf(y)dy ,,jjY,,1j,,
, , E[G(X,Y)]E[G(X,Y)]
二维随机变量的函数，,，, G(x,y)pijij,,ij(5) G(x,y)f(x,y)dxdy的期望 ,,,,,,二维
随机 ，,22变量 D(X),[x,E(X)]f(x)dx X D(X),[x,E(X)]p,ii,,的数,,i方差
2字特，, D(Y),[x,E(Y)]pjj,,2征 j D(Y),[y,E(Y)]f(y)dyY,,,
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与,11
Y的协方差或相关矩，记为，即 ,或cov(X,Y)XY
协方差 = E(XY)- E(X)E(Y) ,,,,E[(X,E(X))(Y,E(Y))].XY11
与记号相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分,XY
别记为与。 ,,XXYY1
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对于随机变量X与Y，如果D(X)>0, D(Y)>0，则称
,XY= , XYD(X)D(Y)
为X与Y的相关系数，有时可简记为，且||?1。 ,,,XY
当||=1时，称X与Y完全相关: ,P(X,aY，b),1
,正相关，当,1时(a,0)，, 完全相关 ,,负相关，当,,1时(a,0)，,相关系数
而当时，称X与Y不相关。 ,,0
以下五个命题是等价的:
? ; ,,0XY
? cov(X,Y)=0;
? E(XY)=E(X)E(Y);
? D(X+Y)=D(X)+D(Y);
? D(X-Y)=D(X)+D(Y).
,,,,XXXY,, 协方差矩阵 ,,,,YXYY,,
kl对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为XE(XY)
混合矩 与Y的k+l阶混合原点矩，记为,;k+l阶混合中心矩记kl
为:
kl u,E[(X,E(X))(Y,E(Y))]kl
(6)(?) cov (X, Y) = cov(Y, X);
协方(?) cov(aX, bY) = abcov(X, Y);
差的(?) cov(X+X, Y) = cov(X, Y)+cov(X, Y); 1212
性质 (?) cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(Y).
(7)(?) 若随机变量X与Y相互独立，则,,0;反之不成立。 XY独立
和不22(?) 若(X，Y),N()， ,,,,,,,,,1212相关
则X与Y相互独立等价于X和Y不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理 1
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2011-1-1
，X，?相互独立，均具有有限方差，即D设随机变量X12
切(X) 比nn,,11,, limPX,E(X),,,1. 雪,,ii,,n,,nn,1,1ii,, 夫 大特殊情形:若X，X，?具有相同的数学期望 12 数E(X)=μ，则上式成为 I 定n,,1,, limPX,,,,,1. 律 ,i,,n,,ni,1,, 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 (1) 伯,,, ,,limP,p,,,1.大数定律 努,,n,,n,,利 X,,大 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A 数发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 定,,,,, limP,p,,,0.律 ,,n,,n,, 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛设X，X，?，X，?是相互独立同分布的随机变量序列，12n 钦且E(X)=μ，则对于任意的正数ε有 n 大n,,1,,limPX,,,,,1. 数,i,,n,,ni,1,,定 律 ，X，?相互独立，服从同一分布，且 设随机变量X12 具有相同的数学期望和方差: 2，则随机变量 E(X),,,D(X),,,0(k,1,2,？)kk n ,Xn,(2) 林,k,1k Y,中心极限定理 德nn,伯2,X,N(,) 格的分布函数F(x)对任意的实数x，有 ,nn, 列n,,2Xn,,维,tk,,,x1,,1,k2limlim().FxPxxedt,,,,, ，，定,,n,,,,,,,nn2n,,,,理 ,,,, 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 设随机变量服从B(n, p)(0<><> 莫F(x)对于任意实数x,有 n 弗 ,n,,2Xinp,拉,t,,,x1,,1,i2 limlim().FexdtPxx,,,,,，，普,,n,,,,,,,nn,(1)2npp,,,拉,,,,斯 定 理 M 若当N,,时,,p(n,k不变)，则 N (3)二项定理 kn,kCCkkn,kMN,M ,Cp(1,p)(N,,).nnCN 超几何分布的极限分布为二项分布。 若当，则 n,,时,np,,,0 k,,,,kknk(1)Cp,p,e(4)泊松定理 (n,,).n!k 其中k=0，1，2，?，n，?。 二项分布的极限分布为泊松分布。 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 第六章 样本及抽样分布 在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指 总体 标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一 个具有分布的随机变量(或随机向量)。 个体 总体中的每一个单元称为样品(或个体)。 我们把从总体中抽取的部分样品称为样X,X,？,X12n 本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。 在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与 总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机(1) 样本 数理统计样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示X,X,？,X12n的基本概 n个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后，念 表示n个具体的数值(样本值)。我们称之x,x,？,x12n 为样本的两重性。 设x,x,？,x为总体的一个样本，称 12n 样本函数 ,,,(x,x,？,x) 12n和统计量 ,,为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不含任 ,x,x,？,x何未知参数，则称()为一个统计量。 12n1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 n1样本均值 x,x. ,in,1i 样本方差 n122 S,(x,x). ,in,1,1 i n12 样本标准差 S,(x,x).,in,1i,1 样本k阶原点矩 n1k M,x,k,1,2,？.常见统计 ,kin,1i量及其性 质 样本k阶中心矩 n1k, M,(x,x),k,2,3,？.,kin,1i 2,，(),， DXE(X),,n n,12222ES,,，, (*)E(S),,n n122其中，为二阶中心矩。 S*,(X,X),in,1i 2设x,x,？,x为来自正态总体的一个样本，N(,,,)12n 正态分布 则样本函数 def,x, u~N(0,1). ,/n(2) 正态总体 2x,x,？,x设为来自正态总体的一个样本，N(,,,)12n下的四大 分布 则样本函数 t分布 defx,, t~t(n,1), s/n 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 2为来自正态总体的一个样本，则样设x,x,？,xN(,,,)12n 本函数 22def (n,1)S,分布2 w~,(n,1),2, 22其中表示自由度为n-1的分布。 ,(n,1), 2设为来自正态总体的一个样本，而x,x,？,xN(,,,)12n1 2为来自正态总体的一个样本，则样本y,y,？,yN(,,,)12n2 函数 22def,S/11 F~F(n,1,n,1), 1222,S/22F分布 其中 nn12112222 S,(x,x),S,(y,y);,,12iin,1n,1,,11ii12 表示第一自由度为，第二自由度为F(n,1,n,1)n,1121 的F分布。 n,12 (3) 正态总体2S与独立。 X下分布的 性质 第七章 参数估计 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成,,,,？,,12m k它的k阶原点矩中也包F(x;,,,,？,,).v,E(X)(k,1,2,？,m)12mk 含了未知参数，即。又设,,,,？,,v,v(,,,,？,,)12mkk12m 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 x,x,？,x12n n1k (k,1,2,？,m).x ,ini,1 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有 n,,,1,,,,v(,,？,),x,(1) ,112mi,ni,1,点估计 矩估计 ,n,,,1,2,,,v(,,？,),x,,212mi,n,i,1 , ,？？？？？？？？？, , ,n,,,1m,v(,,,,？,,)x.,,m12mi,ni,1, ,,, 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(,,,,？,,)即为参数12m (,,,,？,,)的矩估计量。 12m ,?,若,为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 g(x)g(,)g(,)1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中为未知参数。又设f(x;,,,,？,,),,,,？,,221m1m 为总体的一个样本，称 x,x,？,x21n n L,(,,,？,,),f(x;,,,,？,,) 2211,mim,1i 为样本的似然函数，简记为L. n 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称 P{X,x},p(x;,,,,？,,)21m n L(x,x,？,x,;,,,？,,),p(x;,,,,？,,)极大似然222111,nmim,1i估计 为样本的似然函数。 ,,,2 若似然函数在处取L(x,x,？,x;,,,,？,,),,,,？,,1m221n1m ,,,2到最大值，则称分别为的最大似然估计,,,,？,,,,,,？,,1m21m 值，相应的统计量称为最大似然估计量。 ,lnLn,0,i,1,2,？,m ,,,i,,,ii ,?,若为的极大似然估计，为单调函数，则为的,g(x)g(,)g(,) 极大似然估计。 ,,, ,,,,,,(x,x,？,x)设为未知参数的估计量。若E ()=，12n , ,,则称 为的无偏估计量。 无偏性 2E()=E(X)， E(S)=D(X) X(2) 估计量 ,,,, ,,,,(x,x,,？,x),,,(x,x,,？,x)的 设和是未知参数112212n12n 评选 ,,,, 标准 ,比,D(,),D(,)的两个无偏估计量。若，则称有效。 1212有效性 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 , ,,设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 ,n , limP(|,,,|,,),0,n n,, , ,,则称为的一致估计量(或相合估计量)。 n一致性 ,,?,,,若为的无偏估计，且则为的一致估计。 ,D(,),0(n,,), 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应 总体的一致估计量。 ,。如果我们从样本出设总体X含有一个待估的未知参数x,x,,？,x12n 发，找出两个统计量与,,,(x,x,,？,x)1112n ，使得区间以 ,,,(x,x,,？,x)(,,,)[,,,]2212n1212置信区间 ,的概率包含这个待估参数，即 和 1,,(0,,,1) 置信度 P{,,,,,},1,,,(3) 12 ,1,,那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度(或置信[,,,]区间 12 估计 水平)。 2设为总体的一个样本，在置信度为x,x,,？,xX~N(,,,)12n 单正态总 21,,体的期望下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下: [,,,],和,12和方差的(i)选择样本函数; 区间估计 1,,(ii)由置信度，查表找分位数; (iii)导出置信区间。 [,,,]12 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 (i)选择样本函数 ,,x u,~N(0,1). ,/n0 (ii) 查表找分位数 已知方差，估计均值 ,,,x,,, P,,,,,,1,,.,,/n,0,, (iii)导出置信区间 ，,,，00 x,x，,,,,,nn，， (i)选择样本函数 x,, t,~t(n,1). S/n (ii)查表找分位数 未知方差，估计均值 ,,,x,,, P,,,,,,1,,.,,S/n,, (iii)导出置信区间 ，，SS x,x，,,,,,nn，， (i)选择样本函数 2(n,1)S2 w,~,(n,1). 2, (ii)查表找分位数 方差的区间估计 2,,(n,1)S,,P,,,,,1,,. 122,,,,, (iii)导出的置信区间 , ，，n,n,11SS ,,,,,21，， 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 第八章 假设检验 假设检验的基本思想: 认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能 发生的，即小概率原理。 是否成立。我们先假定H是成立的。如果根据 为了检验一个假设H00 基这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H是不正0本确的，我们拒绝接受H;如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝0 思接受H，我们称H是相容的。与H相对的假设称为备择假设，用H表示。 0001 {K,R}想 这里所说的小概率事件就是事件(事件即:统计量K的观, , K测值落入拒绝(区)域R，R由给定的显著性水平α查相应的分布表确 定。)其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或 0.10。 假设检验的基本步骤如下: ; (i) 提出零假设H0 基 (ii) 选取统计量K; 本 (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ; 步,x,x,？,xK(iv) 由样本值计算统计量K的观测值; 12n 骤 ,,, K与,|K|,,(或K,,)比较的大小，作出判断:当时否定H; 0 否则，认为H相容。 0 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 当H为真时，而样本值(实际是指由样本值计算出的统计量0 , K的观测值K)却落入了拒绝域(有α的概率 )，但按照我们规 定的检验法则，应当拒绝H。这时，我们把客观上H成立判为00 第一类 H为不成立(即否定了真实的假设)，称这种错误为“以真当假0 错误 (弃真)”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 , P{否定H|H为真}=; ,00两 此处的α恰好为检验水平。 类 当H为假(即H为真)时，而样本值却落入了接受域，按01错 照我们规定的检验法则，应当接受H。这时，我们把客观上H。00误 不成立判为H成立(即接受了不真实的假设)，称这种错误为“以0 第二类 假当真(受假)”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概,错误率，即 P{接受H|H为真}=。 ,01 拒绝域、 接受域 都是针对零假设H而言。 0 注:零假设 H总是有等号(包含大于等于或小于等于)。 0 1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当样本 变小，则变大;相反地，变小，则变大。容量n一定时，,,,, 两类 取定要想使变小，则必须增加样本容量。 ,, 错误 在实际使用时，通常人们只能控制犯弃真错误的概率，即的 给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我关系 们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很 小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 对应样本 条件 零假设 统计量 拒绝域 函数分布 |u|,u , H:,,,002 2,, ,x0 H:,,,u,u,U00N(0，1) ,,/n0已知 H:,,, u,,u00 , |t|,t(n,1), H:,,, 002 2, x,,0H:,,, t,t(n,1)00t(n,1) T,, S/n未知 H:,,, t,,t(n,1)00 ,1 概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1 2w,,(n,1),或 222 H:,,,02 w,,(n,1),,1222, (n,1)S2w,,(n,1) 2,未知 0222 H:,,,00w,,(n,1) , 222H:,,, 00w,,(n,1) 1,, 1 考研数学知识点-概率统计一. 随机事件和概率 (4)全概公式 设事件 B1 B 2 ? Bn 满足1、概率的定义和性质 1 ? B1 B 2 ? Bn 两 两 互 不 相 容 ，(1)概率的公理化定义 P Bi gt 0i 12 ? n ， 设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一 n个实数 PA，若满足下列三个条件: A Υ Bi 1? 0?PA?1， 2? i 1 ， 2? PΩ 1 则有 3? 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有 P A PB1P A B1 PB2P A B2 ? PBnP A Bn ? ? 。 P Υ Ai ? P Ai i 1 i 1 此公式即为全概率公式。 常称为可列(完全)可加性。 (5)贝叶斯公式 则称 PA为录?A 的概率。 设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1? B1 ， 2 ， Bn 两两互不相容， Bi gt0， 1， B …， P i(2)古典概型(等可能概型) 2，…， n， 1? 1 ω 2 ? ω ω n ， n A Υ Bi ， P A gt 0 ， 1 2? P ω 1 P ω 2 ? P ω n 。 2? i 1 n 则 设任一事件 A ，它是由 ω 1 ω 2 ? ω m 组成的，则有 P Bi P A / Bi P Bi / A ，i1，2，…n。 PA ω 1 Υ ω 2 Υ ? Υ ω m 库 n P ω 1 P ω 2 ? P ω m ? P B j 1 j P A / B j 文 此公式即为贝叶斯公式。 m A所包含的基本事件数 P Bi ， i 1 ， ， n ) 通常叫先验概率。 Bi / A ， ( 2 …， ， P n 基本事件总数 度 ( i 1 ， 2 ，…， n )，通常称为后验概率。如果我们把 A 当作观察的“结果” B1 ， B 2 ，…， Bn 理解为“原 ，而2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、 百 因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出贝叶斯) 了“由果朔因”的推断。(1)加法公式PABPAPB-PAB 3、事件的独立性和伯努利试验当 PAB,0 时，PABPAPB (1)两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P AB P A P B ，则称事件(2)减法公式 A 、 B 是相互独立的(这个性质不是想当然成立的) 。PA-BPA-PAB当 B A 时，PA-BPA-PB 若事件 A 、 B 相互独立，且 P A gt 0 ，则有 P AB P A P B P B A P B当 AΩ时，P B 1- PB P A P A 所以这与我们所理解的独立性是一致的。(3)条件概率和乘法公式 若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、 P AB A 与 B 也都相互独立。(证明)定义 设 A、B 是两个事件，且 PAgt0，则称 为事件 P A 由定义，我们可知必然事件 和不可能事件 与任A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 何事件都相互独立。(证明) P AB 同时， 与任何事件都互斥。P B / A 。 P A (2)多个事件的独立性条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， 1 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-概率统计 PABPAPB;PBCPBPC;PCAPCPA 称为随机变量 X 的分布函数。 并且同时满足 PABCPAPBPC P a lt X ? b F b F a 可以得到 X 落入区 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 间 a b 的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机 两两互斥?互相互斥。 两两独立?互相独立, 变量 X 随机取值的统计规律性。 分布函数 F x 是一个普通的函数，它表示随机变量(3)伯努利试验 定义 我们作了 n 次试验，且满足 落入区间(– ?，x内的概率。 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生; n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一 F x 的图形是阶梯图形， x1 x 2 ? 是第一类间断 样; 点，随机变量 X 在 x k 处的概率就是 F x 在 x k 处的跃 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他 次试验 A 发生与否是互不影响的。 度。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 分布函数具有如下性质:用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1? 0 ? F x ? 1 ? lt x lt ? ;1 p q ， 用 Pn k 表 示 n 重 伯 努 利 试 验 中 A 出 现 2? F x 是单调不减的函数，即 x1 lt x 2 时，有k 0 ? k ? n 次的概率， F x1 ? F x 2 ; 库二. 随机变量及其分布 3? F ? lim F x 0 ， x ? ? 文1、随机变量的分布函数 F ? lim F x 1 ; x ? ?(1)离散型随机变量的分布率 度 4? F x 0 F x ，即 F x 是右连续的; 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xkk12…且取各个值的概率，即事件XXk的概率为 P X x F x F x 0 。 百 PXxkpk，k12…， 5? 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出: (3)连续型随机变量的密度函数 X x1 x 2 ? xk ? 定义 设 F x 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函 P X xk p1 p 2 ? pk ? 。 显然分布律应满足下列条件: 数 f x ，对任意实数 x ，有 (1) pk ? 0 ， k 12 ? ， x F x ? f xdx ? ， ? ?p k 1 则称 X 为连续型随机变量。 f x 称为 X 的概率密度函 (2) k 1 。 数或密度函数，简称概率密度。 f x 的图形是一条曲线， 称为密度(分布)曲线。(2)分布函数 由上式可知，连续型随机变量的分布函数 F x 是连续函 对于非离散型随机变量，通常有 P X x 0 ，不可 数。 所以，能用分布率表达。例如日光灯管的寿命 X ， X x 0 0 。 P P x1 ?X?x2 P x1 ltX?x2 P x1 ?Xltx2 P x1 ltXltx2 Fx2Fx1 所以我们考虑用 X 落在某个区间 a b 内的概率表示。 密度函数具有下面 4 个性质: 1? f x ? 0 。 定义 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 ? F x P X ? x 2? ? ? f xdx 1 。 2 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-概率统计 ?F ? ? f xdx 1 X Bn p 。 ? 的几何意义;在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。 X如果一个函数 f x 满足 1?、2?，则它一定是某个随机变量 P X k q n npq n 1 C 2 p 2 q n 2 ? C k p k q n k ? p n的密度函数。 n n x23? P x1 lt X ? x 2 , F x 2 F x1 , ? f xdx 。 容易验证，满足离散型分布率的条件。 x1 1 k 当 n 1 时，P X k p q ，k 0.1 ， k 这就是(0-1)4? 若 f x 在 x 处连续，则有 F ′ x f x 。 分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。P x lt X ? x dx ? f xdx ?泊松分布 设随机变量 X 的分布律为它在连续型随机变量理论中所起的作用与 P X xk pk λk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 P X k e λ ， λ gt 0 ， k 012? ， kE ? ω ? A ? P A 古典概型，五大公式，独立性 则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ω ? X ω ? x ? F x P X ? x X π λ 或者 P λ 。 泊松分布为二项分布的极限分布(npλ，n??)。对于连续型随机变量 X ，虽然有 P X x 0 ，但事件 库 X x 并非是不可能事件 。 ?超几何分布 C M C N kM k 012? l k n P X k 文 xh l min M n ? f xdx nP X x ? P x lt X ? x h CN x 随机变量 X 服从参数为 nNM 的超几何分布。 度令 h ? 0 ， 则 右 端 为 零 ， 而 概 率 P X x ? 0 ， 故 得P X x 0 。 ?几何分布 . 概率论公式大全(2010版) 1(随机事件及其概率 A,,,AA,,,, A,,,,吸收律: A,,,A A,(AB),AA,(A,B),A A,B,AB,A,(AB) AB,A,BA,B,AB反演律: nnnn A,AA,A::::iiii,1,1,1,1iiii 2(概率的定义及其计算 P(A),1,P(A) A,B,P(B,A),P(B),P(A)若 P(B,A),P(B),P(AB)对任意两个事件A, B, 有 加法公式:对任意两个事件A, B, 有 P(A,B),P(A)，P(B),P(AB) P(A,B),P(A)，P(B) nnnn1, P(A),P(A),P(AA)，P(AAA)，？，(,1)P(AA？A):,,,iiijijk12ni11ijn1ijkn,,,,,,,,i1, 3(条件概率 P(AB)，，PBA, P(A) 乘法公式 ，，P(AB),P(A)PBA(P(A),0) 1 P(AA？A),P(A)PAA？PAAA？A，，，，12n121n12n,1 (P(AA？A),0)12n,1 全概率公式 nn P(A),P(AB),P(B),P(AB),,iii,1i,1i Bayes公式 P(B)P(AB)P(AB)kkkP(BA) , ,knP(A)P(B)P(AB),ii,1i 4(随机变量及其分布 分布函数计算 P(a,X,b),P(X,b),P(X,a) ,F(b),F(a) 5(离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 k1,kP(X,k),p(1,p),k,0,1 B(n,p)(2) 二项分布 若P ( A ) = p kkn,kP(X,k),Cp(1,p),k,0,1,？,n n *Possion定理 limnp,,,0 n,,n k,,,,kknklimCp(1,p),ennn,,n有 k! k,0,1,2,？ P(,)(3) Poisson 分布 k,,, P(X,k),e,k,0,1,2,？k! 2 6(连续型随机变量 U(a,b)(1) 均匀分布 1,,a,x,b,b,af(x), , ,0,其他, 0,, ,x,a,F(x),, ,b,a, ,1, E(,)(2) 指数分布 ,,x,e,x,0,,f(x), ,,0,其他, ,0,x0, ,F(x),,,x1,e,x,0, (3) 正态分布 N (, , , 2 ) 2,()x,,122, ()fx,e,,,x,，, 2,, 2,,()t,x122, F(x),edt,,,,,2 *N (0,1) — 标准正态分布 2x,12, () x,e,,,x,，, 2, 2t,x12 ,(x),edt,,,x,，,,,,,2 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 xyF(x,y),f(u,v)dvdu ,,,,,, 边缘分布函数与边缘密度函数 3 ，,xF(x),f(u,v)dvdu X,,,,,, ，,f(x),f(x,v)dv X,,, ，,yF(y),f(u,v)dudv Y,,,,,, ，,f(y),f(u,y)du Y,,, 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) 1,,,(x,y),G f(x,y),,A ,0,其他, (2)二维正态分布 22，，,,,,1(x)(x)(y)(y),,,,1122,2,,，,,2221,,2(1,),,,,,12，12，f(x,y),，e2 21,,,,,12 ,,,x,，,,,,,y,，, 9. 二维随机变量的 条件分布 f(x,y),f(x)f(yx)f(x),0 XXYX ,f(y)f(xy)f(y),0 YYXY ，,，,f(x),f(x,y)dy,f(xy)f(y)dy XYXY,,,,,, ，,，,f(y),f(x,y)dx,f(yx)f(x)dx YXYX,,,,,, f(yx)f(x)f(x,y)XYXf(xy) ,,XYf(y)f(y)YY f(xy)f(y)f(x,y)YXYf(yx) ,,YXf(x)f(x)XX 10.随机变量的数字特征 数学期望 4 ，, E(X),xp,kkk1, ，,E(X),xf(x)dx ,,, 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 kE(X) X 的 k 阶绝对原点矩 kE(|X|) X 的 k 阶中心矩 kE((X,E(X))) X 的 方差 2E((X,E(X))),D(X) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 klE(XY) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 kl，，E(X,E(X))(Y,E(Y)) X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ，，E(X,E(X))(Y,E(Y)) X ,Y 的相关系数 ,,XEXYEY(,())(,()),,E ,,XY,,DXDY()(),, X 的方差 5 D (X ) = E ((X - E(X))2) 22D(X),E(X),E(X) 协方差 ，，cov(X,Y),E(X,E(X))(Y,E(Y)) ,E(XY),E(X)E(Y) 1 ，，,,D(X,Y),D(X),D(Y)2 相关系数 cov(X,Y) ,,XYD(X)D(Y) …………………………………………………………………………………………………………………………… 6范文四：概率论公式大全
范文五：概率论公式大全
