必有卧槽
范文一：高中数学不等式求最值和点差法
不等式求最值总共涉及13个系列，
目前已全部上传到今日头条！
头条号：龙门数学分享中心
今天我就分享部分精彩题目：
希望同学们阅读时先独立思考！
图片上只写了三种方法，本题应该至少会有4种方法！
题目3比较讲究技巧，题目4涉及三角换元
换元法包括代数换元，三角换元（包括超级三角换元）
记住一句话，换元法能改头换面！改天换地！
下面介绍点差法，
点差法是解析几何里面重要的解题方法！
尤其是直线与椭圆使用点差法会得出一个重要结论！
本题可以直接采用重心公式求解！
（更加简单明了）
用点差法解决问题都涉及弦中点问题！
弦中点包括题目告诉中点和自己构造中点！
本文原创，如果你觉得对你有帮助，欢迎点赞和分享！如果你有更好的想法，欢迎留言互动！
最近很多网友问我一个问题：现在努力还来得及吗？
我来大概回答一下：
你在问这个问题的时候，你就是在逃避，你就是想放弃，只是还没完全放弃，如果你真心想好好学习，哪怕今天是6月6号，那又如何？说实话，你问的时候，我真想骂你，不过还好，你比很多放弃自己的人强太多，至少还在犹豫。
如果你想好好学习，先摆好自己的姿态，不要犹豫，一定要相信自己，不是自己说我相信我自己，而是从行动上证明你相信自己。it is easy to say！再者就是要沉得住气，欲速则不达！如果你之前耽误了学习，现在想好好学习，那就马上行动，完全相信自己，不放弃每一次学习的机会！
最后送同学们一句：差不多就是差很多！
现在社会竞争很大，表面上你觉得你和某人差不多，为什么他能成功，你却不行，不要抱怨，差不多就是差很多，竞争永远比我们想象的要激烈！
试着这样想一下：
你今天比某人差一点，明天差一点，一个月下来，你们就会有差别，一年下来，你们的差距就很大，不要纵容自己，不要放弃超越，不要什么尽力而为，那都是扯蛋，一定要全力以赴！在全力以赴的同时做好计划和规划，想不成功都难！
问题的关键是：你相信我说的话吗？你的执行力怎么样？你会坚持去做吗？想到很容易，做到就很难！如果不行，你就放弃自己吧，我就可以马上送你一句话：现在努力来不及了，可是，你愿意接受这样的结果吗？
不信我说的？不信算了，我又没收你钱！你开心就好。
范文二：高中数学解题思路大全：利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法
李海港 张传法
ab，均值不等式当且仅当a,b时等号成立)是一个重要的不,,,abab(00，，2
等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
yxx,,()82例1. 当时，求的最大值。 04,,x
解析:由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定04,,x820,,x
2828xx，,,()值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需yxx,,()82将凑上一个系数即可。
11282xx，,2 yxxxx,,,,,()[()]()82282?,8222
当且仅当，即x,2时取等号。 282xx,,
yxx,,()82所以当x,2时，的最大值为8。
评注:本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项
15例2. 已知，求函数的最大值。 x,fxx(),,，42445x,
1解析:由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需()42x,?450x,,45x,对进行凑项才能得到定值。 42x,
5? xx,,,，5404
11? fxx()(),,，42,,,，54x，345x,54,x
1,,,254()x?，,,，,3231 54,x
1当且仅当，即时等号成立。 54,,xx,154,x
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评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离
2xx，，710y,x,例3. 求的值域。 ()?1x，1
解析:本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x，1)的项，再将其
分离。
22xx，，xx，，，，710()()15144y,,,，，x， ()15x，x，x，111当，即时 x，,10x,,1
4yx,，21()?，,59(当且仅当x,1时取“,”号)。 x，1
当，即时 x，,10x,,1
4yx,,，521()?,1(当且仅当x,,3时取“,”号)。 x，1
2xx，，710y,x?的值域为。 ()?,1(][),,，,，，19:x，1
A评注:分式函数求最值，通常化成ymgx,，，,,()BAm()00，，g(x)恒正gx()
或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
11例4. 已知，求的最小值。 t,，abab,,，,0021，，ab
11解法1:不妨将乘以1，而1用a，2b代换。 ，ab
1111 ()()()，,，，??1ab2abab
2ba,，，，12ab
2ba,，，3ab
2ba,，32?ab
,，322
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,2baa,,21,,2ba,,当且仅当时取等号，由 ,，得ab,,2abb,,1,,ab，,21,2,,a,,2111,即时，的最小值为。 t,，322，,2abb,,1,2,
11解法2:将分子中的1用代换。 ab，2，ab
ab，22ab，2ba，,，，，12abab 2ba,，，,，3322ab
2ba2ba评注:本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即t,，，3baba
11可用均值不等式求得的最小值。 t,，ab
三、换元
x，2y,例5. 求函数的最大值。 25x，
t2解析:变量代换，令，则 xtty,,,,20()，则tx,，2221t，当t,0时，y,0
112y,,,当时， t,01412t，22t?tt
21t,当且仅当，即时取等号。 2t,2t
32xy,,,时，故。 max24
评注:本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最
值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
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15例6. 求函数的最大值。 yxxx,,，,,,2152()22解析:注意到的和为定值。 2152xx,,与
22yxx,,，,()2152
,，,,422152()()xx
,，,，,,421528()()xx
y,0又，所以 022,,y
3当且仅当，即时取等号。 x,2152xx,,,2
故。 y,22max
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意
一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
,练一练,
yxx,,()631. 若，求的最大值。 02,,x
12. 求函数的最小值。 y,，,xx()3x,3
2x，8y,x,3. 求函数()1的最小值。 x,1
114. 已知，且，求xy，的最小值。 ，,9xy,,00，xy
4参考答案:1. 2. 5 3. 8 4. 39
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范文三：高中数学解题思路大全—利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法
ab，均值不等式当且仅当a,b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它,,,abab(00，，2
可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能
利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当时，求的最大值。 yxx,,()8204,,x
解析:由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个04,,x820,,x
式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系2828xx，,,()yxx,,()82数即可。
11282xx，,2 yxxxx,,,,,()[()]()82282?,8222
当且仅当，即x,2时取等号。 282xx,,
所以当x,2时，的最大值为8。 yxx,,()82
评注:本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最
大值。
2. 凑项
15例2. 已知，求函数的最大值。 x,fxx(),,，42445x,
1解析:由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑()42x,?450x,,42x,45x,项才能得到定值。
5?xx,,,，540 4
111,,,254()x?，,,，,3231?fxx()(),,，42,,,，54x，3 54,x45x,54,x
1当且仅当54,,x，即时等号成立。 x,154,x
评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离
1
2xx，，710y,x,例3. 求()?1的值域。 x，1
解析:本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x，1)的项，再将其分离。
22xx，，xx，，，，710()()15144y,,,，，x，()15 x，x，x，111当，即时 x，,10x,,1
4yx,，21()?，,59(当且仅当x,1时取“,”号)。 x，1
当，即时 x，,10x,,1
4yx,,，521()?,1(当且仅当x,,3时取“,”号)。 x，1
2xx，，710y,x()?,1?的值域为(][),,，,，，19:。 x，1
Aymgx,，，,,()BAm()00，评注:分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，gx()
然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
11abab,,，,0021，，例4. 已知，求的最小值。 t,，ab
11解法1:不妨将乘以1，而1用a，2b代换。 ，ab
1111 ()()()，,，，??1ab2abab
2ba,，，，12ab
2ba,，，3 ab
2ba,，32?ab
,，322
,2baa,,21,,2ba,,，得当且仅当时取等号，由 ,ab,,2abb,,1,,ab，,21,2,
2
,a,,2111,即时，的最小值为。 322，t,，,2abb,,1,2,
11解法2:将分子中的1用代换。 ，ab，2ab
ab，22ab，2ba，,，，，12abab 2ba,，，,，3322ab
2ba2ba评注:本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式t,，，3abab
11求得的最小值。 t,，ab
三、换元
x，2y,例5. 求函数的最大值。 25x，
t2解析:变量代换，令tx,，2，则 xtty,,,,20()，则221t，
当t,0时，y,0
112y,,,当时， t,01412t，22t?tt
21t,当且仅当2t,，即时取等号。 2t
32xy,,,时，故。 max24
评注:本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而
为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
15例6. 求函数yxxx,,，,,,2152()的最大值。 22
2152xx,,与解析:注意到的和为定值。
3
22yxx,,，,()2152
,，,,422152()()xx
,，,，,,421528()()xx
022,,y又，所以 y,0
3当且仅当，即时取等号。 x,2152xx,,,2
y,22故。 max
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用均值不等式。
,练一练,
1. 若，求的最大值。 02,,xyxx,,()63
12. 求函数的最小值。 y,，,xx()3x,3
2x，8y,x,()13. 求函数的最小值。 x,1
11，,9xy,,00，4. 已知，且，求的最小值。 xy，xy
4参考答案:1. 3 2. 5 3. 8 4. 9
4
范文四：高中数学 必修5 30.基本不等式求最值
30. 基本不等式求最值
教学目标 班级 ______ 姓名 ___________
1. 掌握基本不等式 .
2. 能运用基本不等式求最值 .
教学过程
一、基本不等式 .
1. 重要不等式:(R b a ∈, ) ,当 b a =时,取等 .
2. 基本不等式:ab b a ≥+2
(0, >b a )当 b a =时,取等 . 3. 基本不等式的常用形式: (1) ab b a 2≥+(0, >b a ) ; (2) 2) 2(
b a ab +≤. (2)用基本不等式求最值:
① 用前看条件是否满足:b a , 均为正数 .
② 求“和” b a +的最小值,使“积” ab 为定值;
求“积” ab 的最大值,使“和” b a +为定值 .
③ 判断能否取等 .
二、例题分析 .
1. 求“和”的最小值 .
例 1:若 0>x ,求函数 x x y 4+
=的最小值,并求此时 x 的值 .
练 1-1:求函数 31-+
=x x y (3>x )的最小值 , 并求此时 x 的值 .
练 1-2:若 1
1-+
a a 有最 _____(填“大”或“小” )值,为 ________.
2. 求“积”的最大值 .
例 2:已知 10
练 2:设 230
3. 其他类型求最值 .
例 3:已知 0, 0>>y x ,且
191=+y
x ,求 y x +的最小值 .
练 3:求 1
62) (2++-=x x x x f (1->x )的最小值 .
规律总结
利用基本不等式求最值的方法:
① 判断条件是否满足(即 0, >b a ) ;
② 运用基本不等式求最值,消除未知数使“和”或“积”为定值; ③ 分析取等条件;
④ 作答 .
作业:已知 310
范文五：高中数学基本不等式求最值苏教版
基本不等式求最值 一.学习目标:
知识目标:会用基本不等式解决简单的最值问题. 能力目标:渗透“转化”的数学思想，提高学生的运算能力和逻辑推理能力.
情感目标:培养学生严谨的科学态度及思维习惯. 二.学习过程
(一).知识回顾:
ab+基本不等式，该不等式成立的前提________________,等号成立的条件,ab2
ab+_________________.其中叫做这两个数的_______平均数，叫做这两个数的ab2
______平均数.
(二).自主观察:
+b=1.已知,则ab的最大值为___________,此时______,_______. a=ab+=2,abR,,
+ab+b=2.已知,则的最小值为___________，此时______,_______. a=ab=2,abR,,
,则的最大值为___________. 3.已知02,,,aaa(2),
1+yx=+xR,4.已知,则的最小值为_______________. x
(三).自主探究:
1x,0yx=+探究一:若,则是否有最值,若有，是最大值还是最小值, x
1yx=+探究二:若则是否有最值, x,1,x
(四).自主合作:
1x，思路:以下问题均可转化成求形如的最值问题. x
1yx=+5.已知则的最小值为( ) x>1,x-1
22A. 1 B. 2 C. D. 3
2xx++4y,x,6.若x<0,则的最大值为_____________，此时___________.>
1 用心 爱心 专心
x7.若则的最大值为______________,此时___________. y,x,x>0,2xx+3+1
(五).自主发展:
1思路:以下问题是否仍能转化成求形如的最值问题, x，x
118.已知则的最小值为____________. +mnmn+=1(>0),mn
14+9.已知,则的最小值是_______________. +ab+=1,abR,,ab
14+10. 已知,则的最小值是_______________. +ab+=2,abR,,ab
(六).自主评价:
1则 ( ) 1.设函数fxxx()=2+-1(>0),fx()x
A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数
2.下列函数中，最小值为22的是 ( )
12,yx=tan+A. B.yxx=sin+(0<)>
xx-C. D. yx=log+2log2 yee=+22x3.若则的最大值是( ) xyxy+2=4,>0,>0,lg+lgxy
A. 2 B. C. D. 2lg2lg2,lg2
2tt-4+1t>0y=4.(10重庆高考)已知，则函数的最小值为__________________. t
,,11,,22,,x4y，，x,y,Rxy,0,,5.(2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值22,,yx,,,,为 .
19xy++=16.已知xy>0,>0,且，则的最小值为________________ xy
2 用心 爱心 专心
3 用心 爱心 专心
4 用心 爱心 专心
5 用心 爱心 专心
6 用心 爱心 专心
7 用心 爱心 专心
8 用心 爱心 专心
9 用心 爱心 专心
10 用心 爱心 专心
11 用心 爱心 专心
12 用心 爱心 专心
13 用心 爱心 专心
14 用心 爱心 专心
15 用心 爱心 专心
16 用心 爱心 专心
17 用心 爱心 专心
18 用心 爱心 专心
19 用心 爱心 专心
20 用心 爱心 专心
21 用心 爱心 专心
22 用心 爱心 专心
23 用心 爱心 专心
24 用心 爱心 专心
25 用心 爱心 专心
26 用心 爱心 专心
27 用心 爱心 专心
28 用心 爱心 专心
29 用心 爱心 专心
30 用心 爱心 专心
31 用心 爱心 专心
32 用心 爱心 专心
33 用心 爱心 专心
34 用心 爱心 专心
35 用心 爱心 专心
36 用心 爱心 专心
37 用心 爱心 专心
38 用心 爱心 专心
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