大学物理公式总结

大学物

一、质

(一)基本概念:

? ?,y?1、参

? ,x,x,i? ?, y??,,y2,y1,?3、位移: r r2,r1 xij, zkj,,z2,z1,k21

rdrdz?? dxi?, y??,dy?4、速度: lim xij, zkj,k tdtdtdtdt t 0

d x?d y?d z? d d2r???5、加速度:a lim 2 axi,ayj,azk i,j,k

dtdtdtdtdt t 0 t

6、路程，

8、运动方:r r(t)，

dp ma; 9、

法向加

R; 切向加速度:at d dt

d d d2 2 10、角速度: 11、加速度: dtdtdt

二、质点

(一)基本概念:

1、

a bF dl Fcos dl 2、机械能:E Ek,Ep 3、动

Ek 1m 2 2

12Mmkx; 万有引力势能:Ep ,G 2r

t 5、动量: p m ; 6、冲量 :I F dt 4、势能:重

7、角动量:L r p; 8、力矩:M r F

(二)基

1、动能

iiA力,A内力 Ek,Ek0 Eki, Eki0 (对质点

大学物

2、功

iki,Epi, 恒量

t 3、动量定理: I F dt p,p0 p (对质点) 0

n t n n I Fi dt p, p0 p (对质点系) 0i 1i 1 i 1

若体所受的合外力 F 0，此时体系的动量守恒，即:p mi i

弹性碰撞 1 , 1 4、碰撞定

非弹性碰撞

dLd ,r p, (对质点) 5、角动量定理: M dtdt

dLidLM外 ri Fi (对质点系) dtdtii

当质点质点系所受的合外为零时，质点或质点系的角动量守恒，即:L

三、转动的刚体:

(一)基本概念:

ri2 mi离散12 i1、转动

连续

3、力矩: M r F 4、角动量: L I (对

t 25、角冲量: H M dt t 6、力矩的功: A M d 0 1

(二)基

1、平行

2、转动

A M d 1212I ,I 0 22

4、角

2 t

大学物

5、角动守恒定律:若刚体的合外力矩 0，则刚体的角动量守恒L I 恒

六、气

(一)基本概念:

1、衡态，准静

2、体分子

对于常温

3、种特征

最概然速

2kT2RTRT 1.m 平均速率: 0 f( )d

8kT8RTRT 1.60 m 12方均根速率:

2 2 f( )d 0 3kT3RTRT 1. m

4、平均碰

5、平

(二)基

1、状态方程:

理想气体: pV RT

范德尔斯气

aa ，要理解和b的

2、理

3 2kT

i 53、能量均分

6 2kT

4、理想体的 E RT 单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分

大学物

5、克斯韦

m dN

f( )d 2 kT eN

m 22kT

4 2 d

m , m 22kT 其中，分布

归一化条件:

f( )d 1

,EpkT

6、玻尔

dxdydz， n n0e

,mgh

EpkT

mghkT

， p p0e

7、迁

(1)Fr

1du

S，

3dy

(2)热传导:

CCdQdT1

,K S， K V V dtdy3 1dMd

,D S， D

3dtdy

(3)扩散:

七、热力学

1、E E(T) RT。 2、功A: 过程量。气体准静态过程的膨胀压缩功为 dA pdV，

规定系统外做功A 0，外界系统做功A 0。 3、热量Q:过程量。规定系统

量Q 0，

pdV

1dQ

，

(1)定摩尔热容:CV,m R; (2)定压摩尔热

(i,2)

Cp,m CV,m,R R;

4、摩

(3)等温尔热容:CT,m ; (4)绝热摩尔热容:CQ,m 0; (5)梅

Cp,m,CV,m R; (6)比热容比:

Cp,mCV,m

(i,2)

; i

大学物

5、静态过

6、熵状态量。熵是系统无的量度，定义为S kln ，为系统某宏观态对

观状态数。

(二)基

1、热力学第定律:是热

式中，不等号对应

3、

A为一循过程中系统对外所净功;式中，Q1为一循环过程中系统吸收热量的

Q2为循环过程中

对于诺循环则

式中，T1和T2

4、

式中，A一循环过程中外界统所做的功;Q2为一循环过程中系统从低温热

的热量;Q1为一循

大学物

对于致冷卡

T1,T2

5、卡诺定理: 卡 1,

6、理想气

八、真

(一)基本

大学物

1、电场强

4 0rq0

3、电

(1)点电荷

E 4

r0i 2ri

(2)电荷连续

dq 1dq

，r d 0 4 0 r2 r0 4 0r2

4、荷q在

b Wa

5、电势: Va E dl; 6、电势差: Va,Vb E dl

aaq01qi

4 ri0i

7、势叠加

1 dq 4 0r

(点电荷系)

(电荷

8、电q在电场中运动

积分关系

9、电场

微

10、电通

Va ,

dV n0dn

(二)基本规律、定理: 1、库仑定律:

14 0

q1q2

r0 2r

2、高

qi，

高斯

(1)理论上，

(2)用上，提

适用斯定理求电

3、环

大学物

说明:E流为零，静电场力与路径无关，静电场是无旋场(有势场)，静电场

合。

(三)几种

r R 0 1、均匀带电

qr r 4 R30r R 02、均匀带电球体: q rr R02 4 0r

0 3、无限长均

4、无

，方

九、静电

(一)

1、电平衡条件:E内 0，E表面表面，或:导体为等势体，表面为等势

2、静电平

(1)荷全部分布

(2)面上各处电荷面度与该处表面紧邻处的电场强度的大小成正

3、静电屏蔽:

(1)空腔

(2)接地的空

(二)静

1、极

(1)处电场中的电介质，因极化使电介质的表面(或内部)出现束缚电

大学物

i (2)电极化强度P是电介质极化程度的物理量，其定义为: 。对各

电介质: 0, r,1。

(3)束缚

2、电位移:

(1)定

(三)有

(四)

1、定

2、常

(1)平行板

(3)圆柱形

(五)

Q2112 C,VA,VB, Q,VA,VB, 1、电容器的能量: We 2C22

121 E DE 22

1213、电

大学物理公式总结

大学物理上公式

定律和定理

1．矢量叠加原：任意一矢A 可看成独

a 、F 、E 、B 就分别成了、速度、加速度、力、电场强度和磁感应强度的叠加

2．牛顿定律：F =ｍa （或F =

d p dt

Mm ）；牛顿第三定律：F ′=F ；万有引力定律：F ?=-G 2r

动量定理：I =?p →动量守恒：?p =0条件∑F

222

1．位置矢量：r ，其在角坐标系中：r =x i +y j +z k ；r =x +y +z 角

2．速度：V =

平均速度：V =

速率：V =

（=V τ）角速度：

ω=

角速度与速

a =3．加速度：

a =或

2dt 平均加速度：=

角加速度：β），a n =

a =a τ+a n 在自然坐标系中其中a τ=τn

4．力：F =ｍa （或F =

d p （=ｒβ

（=r2 ω）

）力：M =r ?F （大小：M=rFcosθ方向：右手螺旋

5．动量：p =m V ，角动量：L =r ?m V （大小：L=rmvcosθ方向：右手螺

6．冲量：I =

F dt （=F Δｔ）；功：A =

F ?d r （

7．动能：mV 2/2

mg(

8．势

-kx （弹性力） → kx 2/2

式不同且零点

Mm =EF= -G Mm r p ? (万有引力) →-G 势能零点的情况

r r

机械能：E=EK +EP

Qq r (静力) →Qq ?M 9．热量：Q =4πε0r 4πε0r 2CRT 其中：摩尔

与过程有关，等热容量C v 与等压热

压强：P =F =

=?tS

分子平均平能：=3kT ；

2μ2

麦克斯韦速分布函数：f (V ) =dN V 附近单位速度间隔内的分子数所占

NdV

13．

平均速率：=?V

∞

Vf (V ) dV =

方均根速率：14．

；最可

熵：S=KlnΩ（Ω为力学几率，即：一种宏观态包含的微观

电场强度：E =F /q0 （对点电荷：E =

q 4πε0r

?） r

μ0Id l ?r 0

?毕奥－沙伐尔

μ0Id l ?r 0

磁场叠加原理：B = ?4πL r 2

μ0q v ?r 0?运动电荷的磁场：B = 24πr

磁场的高斯定

磁通量：Φm =??B ?d S

安培环路定理：B ?d l =μ0∑I

载流直导线：B =

μ0I

(sin β2-sin β1) 4πa

圆电流

B =

载流螺线

μ0IR 2

2x 2+R 2

()

安培力：d f =Id l ?B , f =?Id l ?B

B =

μ0nI

(cos β2-cos β1)

载流线圈在均

M =P m ?B

洛仑兹力：f =q v ?B

磁力的功：A =

?Φ

Φ2

=恒量

Id Φ?I ??→A =I ?Φ

U AA ' =R H

d Φ

dt a

动生电

法拉第电磁

IB 1，R H = b nq

感生电动

εi =E k ?d l =-???d S

?t L

自感：L =

N ΦdI 12

， εL =-L ，W m =LI I dt 2

互感：M 12=

N 1Φ12N Φ

，M 21=221 I 2I 1

M 12=M 21

ε12=-M 12

磁场的能量：

dI 2dI

， ε21=-M 211 dt dt

1B 2

，W m =?ωm dV ωm =BH =

22μV

麦克斯韦

D ?d S =∑q i (1)

B ?d S =0 (2)

?B E ?d l =-L S ?t ?d S (3)

L H ?d l =S (δ+?t ) ?d S (4)

D =εE , B =μH , δ=γE

平面简谐波方程：

r )]u {

H =H 0cos[ω(t -)]

u E =E 0cos[ω(t -

三条基本假设：

定态，L =n ?

两条基本公式：

ε0h 2n 22

=0. 529n A r n =2

πme

=nh ，h ν=E n -E m 2π

E n =-

me 48ε0h 2

-13. 61=eV

n 2n 2

n =1, 2, 3,

15．

电势：U a

∞

E ?d r （对点电荷U

q 4πε0r

）；电

ΔW) 16．电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU2/2；电场能量密度ωe =ε0E 2/2 17．磁感应强

定律和定理

3．矢量叠加理：任意一矢量A 可其独立的分量A i 的和。即：A =ΣA i （把式

成r 、V 、a 、F 、E 、B 就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度和

强度的叠加原理）。

4．牛顿定律：F =ｍa （或F =

?F =-G 2r r

d p ）；牛顿第

5．动量理：I =?p →动量守恒：?p =0条件∑F

6．角动

7．动能原理：

→角动

A =?E k （比

8．功能原理：A 外+A非保内=ΔE →机械能守恒：ΔE=0条

10．能量均原理：在平态下，物质分每个自由度都具有相同的平均动能，其大小都为kT/2。 11．热

定律：ΔE=Q+A 10．热力学第二定律：

孤立系统：ΔS>0 （熵增加原理）

11．库

12． 13．

高斯定理：

q （电场是有源

E ?d S =ε0

环路定理：E ?d l =0 （静电场无旋，因此是保

14．

? μId l ?r 毕奥—沙伐尔定律：d B =0

4πr 2

μI 直

4πr μI 无限长载流导线：B =0

2πr

μI μI θ 载流圆圈：B =0，圆弧：B =0

2R 2R 2π

大学物理（上）复习

一、质点力学

? ?+y ?1、参照系，质点 2、矢径：r =x i j +z k

?=(x -x )i ? ?+?y ??+(y 2-y 1)?3、位移：?r =r 2-r 1=?x i j +?z k j +(z 2-z 1)k 21

?r d r dz ??=dx i ?+υy ??+dy ?4、速度：υ=lim ==υx i j +υz k j +k

dt dt dt dt ?t →0?t

d υd υ? ?υd υd 2r ?=d υx i ?+a y ??+y ?5、加速度：a =lim ==2=a x i j +a z k j +z k dt dt dt dt dt ?t →0?t

6、路程，速率 7、轨迹方程：f (x , y , z ) =0 8、运动方程：r =r (t ) ，或 x =x (t ) ， y =y (t ) ， z =z (t )

d p

=m a ； 9、圆周运动的加速

法向加速

υ2

；切向加速度：a t =

d υ dt

d θd ωd 2θ

=2 10、角速度：ω= 11、加速度：α=

dt dt dt

二、质点学中的守恒

F ?d l =?F cos θdl 2、机械能：E =E k +E p 3、动能：

E k =

m υ2 2

12Mm kx ；万有引力势能：E p =-G

4、势能：重力势能：E p =mgh ；弹性势能：E p =

5、动量： p =m υ； 6、冲量：I =

F ?dt

7、角动量：L =r ?p ； 8、力矩：M =r ?F

（二）基本

112

m υ2-m υ0 （对质点） 22

A 外力+A 内力=E k -E k 0=∑E k i -∑E k i 0 （对

2、功能原理表达式：A 力+A 非保守内力=E -E 0=(E k +E p ) -(E k 0+E p 0) 当 A 外力+A 非保守力=0

∑(E

k i

+E p i )=恒量

3、动量定： I =?F ?dt =p -p 0=?p （对

n t ?n ? n

I =? ∑F i ??dt =∑p -∑p 0=?p （对质

i =1i =1?i =1?

若体系所受合外力∑F =0，

弹性碰撞?1

υ-υ1?

4、碰

υ10-υ20?

?0<1,>

d L d

=(r ?p ) （对质点） 5、角动量定理： M =

dt dt

d L i d L M ==∑=∑r i ?F i （对质

dt dt i i

当质点或质系所受的合外力为零时，质点或质点系的角动量守恒，即：L =

三、转动的刚

?∑r i 2?m i 离散

12?i

1、转动

2??r 2dm 连续

3、力矩： M =r ?F 4、角动量： L =I ω（

t θ2

5、角冲量： H =?M ?dt =??t 6、力矩的功： A =?M ?d θ

θ1

（二）基

1、平行轴公

2、转动定：M =I α 3、转动动能

A =?M ?d θ=

1212I ω-I ω0 22

4、角动量定理：

=??dt =?=I -I 0ω0

t 0

5、角动量守恒律：若刚体到的合外力矩=0，则刚体的角动量守恒=I =恒矢量四、机械振动：（一）简谐振

+ω2x =0 1、简谐动动力学特方

ωt +?) 3、

如果物体的运动律满足上三个方程中的一个，即可判定该物体的运动为简谐振动。（二）描述简谐振动的

1、周期T ，频ν和角频率ω： T ，ν和ω取决于振动系统本身的性质，因此称为有周期、固有频率和固有角频率。它们

ω=2πν=2π

（1）对

ω=

k 2πm

， T = =2πm ωk

（2）对于单摆，有

ω=

g 2πl ， T = =2πl ωg

2、振幅A 初位相?：A 和?除

-υ0?υ?

（1）振幅A ： A =x + 0? （2）初位相?：由tan ?=，即可求

ωx 0?ω?

得?

若物体初速υ0仅知方向而不知时，可以采用另一种解析法或旋转矢量法来确定

?。

（三）简振动的速度、

dx π??

=-ωA sin (ωt +?)=ωA cos ωt +?+? dt 2??

注意，速度的

2、简谐

d υd 2x π??a ==2=-ω2A cos (ωt +?)=-ω2A sin ωt +?+?=ω2A cos (ωt +?+π)dt dt 2??

注意，加度的位相比度的位相超前π2，比位移的位相超

3、简

1111

E k =m υ2=m ω2A 2sin 2(ωt +?) E p =k x 2=kA 2cos 2(ωt +?)

2222

E 11

k =p = E =E k +E p =kA 2=m ω2A 2

222

（四）旋

该法可以简洁、观地分析振情况及振动的合问题，并能直接看出位相的超前或落，要求熟练掌握。（五）简谐振动

1、同方向、同频两简谐振动的成：同方向、同频简谐振动的合成仍然是简谐振动，其角频与原来分振动的角频率相同，其振幅和初

A =

A 1+A 2+2A 1A 2cos(?2-?1) ； ?=arctg

A 1sin ?1+A 2sin ?2

A 1cos ?1+A 2cos ?2

当?Φ=?2-?1=2k π(k =0, ±1, ±2, ) 时，合振动的振幅A =A 1+A 2最大；当?Φ=?2-?1=(2k +1) π(k =0, ±1, ±2, ) 时，合振的振幅A =A 1-A 2为最小，当分振幅A 1=A 2，

2、同方向、频率稍有差异的简谐振动的合成：合振动为拍振动；振幅变化的

为拍频率，大

3、相互垂、频率相同的两谐振动的合成：合振动质点运动的轨迹通常为椭

殊情况

（三）平简谐波：波源为谐振动，媒质为均匀的、各向同性的、无限大

间

1、波动

???x ?

?+?0? u ??

2、能

?????1x ?22

?+?0?； 3、平均能量密度：=ρA ω

2u ??

ρA 2ω2u 2

4、平均流密度（波

波所传播到空间各点都可以看作发射子波的波源，任一时刻这些子波的包络就是新的

（五）波的干涉：

波的叠加原理：几列波在质中任一点时，相遇点振动的位移等于各列波单独存在时该点振动位移的

波的相干条件：??=?2-?1-2π

r 2-r 1

?±2k π,

?±(2k +1) π

k =0, 1, 2, （加强）

k =0, 1, 2, （减弱）

?±k λ,

当?1=?2时， δ=r 2-r 1=?λ

±(2k +1) ?2?

（六）驻波：

k =0, 1, 2, （加强）k =0, 1, 2, （

两列振幅相同的干波，在同一线上沿相反方传时，形成驻波。有波节和波腹，相两波节或波腹之间的距离为（七）多普

当观察者和波

。没有位相

u +υR

S u -υS

当观察者和波相背运动时，上式υR 和υS 取负值。六、气体动理学理论：（一）基

1、平衡态，静态过程，理想气体

对于常温下的刚性分：i =t +r （单原子、双原子、多子分子的i 分别为3，5，6） 3、三种特速率（麦

∞

2kT 2RT RT

==1. m μμ

平均速率： =

υ?f (υ) d υ=

8kT 8RT RT

==1. 60 πm πμμ

方均根速率：

2=??υ2?f (υ) d υ?=

∞

3kT 3RT RT

==1. m μμ

4、平均撞频率： Z =2πd 2n 5、平均自

1kT =22

2d n 2d p

（二）本定律

理想气体： pV =νRT

?a a ? 德瓦尔斯气

V V 00??

2、理想气体

nm υ2=n t =n k T 33

?2kT ?i ?5

3、能

2?2

?6?2kT ?

4、理气体的

单原子子刚性

i 2

5、麦克斯韦

?m ?dN

=f (υ) d υ= 2πkT ???e N ??

m υ22kT

?4πυ2?d υ

m υ-?m ?22kT ?其中，分函

归一化条件：

∞

f (υ) d υ=1

-E p kT

6、玻尔兹

dx dy dz ， n =n 0e

-mgh

E p kT

mgh kT

， p =p 0e

7、迁移

（1）内摩

1du

?S ， η=ρ

3dy

（2）热传导：

C C dQ dT 1

=-K ?S ， K =ρV =V η dt dy 3μμ1dM d ρ

=-D ?S ， D =

3dt dy

（3）扩散：

七、热力学基

1、内能E ：状态量。体 E =E (T , V ) ，理想气 E =E (T ) =RT 。 2、功A ：过程。气体准态过程

规定系统对外做A >0，

V 2

V 1

pdV

1dQ

，

（1）定容尔热容：C V , m =R ；（2）定压摩尔

(i +2)

C p , m =C V , m +R =R ；

4、摩

（3）等温摩尔热容：C T , m →∞；（4）绝热摩尔热容：C Q , m =0；（5）梅逸公：C p , m -C V , m =R ；（6）比热容比：γ=5、准静态过程，可逆过程

6、熵态量。熵是系统无序度度，定义为S =k ln Ω，Ω为系统某宏观态

观状态数。

（二）基

1、热力学一定律：是热运动范

C p , m C V , m

(i +2)

； i

Q =?E +A

2、热力学二定律：具体表述很多，著名的有开尔文表述和克劳修斯表述，这两种表述是

热力学第二定律指明了自然中一切实际的热力学宏过程都是单向的、不可逆的。力学第二定律的微观意义：不可逆过程的实质是从一个概率较小宏观状态率较大观状态的转变过程。热力学第二定律的

（1）熵增加原（对孤立统或绝热过程）： dS ≥0，或式中，不等号对应不可逆过程，等号对应可

?S =S 2-S 1≥0

(2) dQ dQ （2）克劳

(1) T T

式中，不号对应不可逆过

Q A

=1-2 Q 1Q 1

A 为一循过程中系统对外所做的

为一循过程中系

对于卡诺循环

T 2

T 1

式中，T 1和T 2分别为高

Q 2Q 2

A Q 1-Q 2

式中，A 为一循过程中外界对统所做的功；Q 2一循环过程中系统从低温热源吸收的热量；Q 1为一循环过程中系统向高温热源放

对于致冷卡诺

T 2

T 1-T 2

5、卡诺定理： η≤η卡=1-

T 2

T 1

6、理想气体

八、真空中的静电场

（一）基本

F q

1、电场强度： E =； 2、点电荷电场强度公式：E =r 20

4πε0r q 0

3、电场

（1）点电荷

∑E i =∑

14πε0

q i

?r 0i 2r i

（2）荷连续分

dq 1dq

，r =d =?2?r 0 20??4πε0r 4πε0r

4、电q 在

∞ b W a

=?E ?d l ； 6、电

a a q 01q i ?

?∑4πε?r i 0i

7、电

?1?dq ???4πε0r

（点电荷系）

（电荷作连续分布）

8、电荷q 在电场中运动时电

?积分关系?

9、电场强

?微分关系?

10、电通量：Φe =?E ?d S

V a =?

∞

?d l

dV =-n 0

（二）

14πε0

q 1q 2

r 0 2r

2、高斯

S 1

ε0

∑q i ，说明静电场是有源场。

高斯定理的意义：

（1）论上，揭

（2）用上，提

适用高定理求电

3、环路理：?d l =0，说明静电场是无旋场（保守力

说明：E 流为零，静电场力作与路径无关，静电场是无旋场(有势场) ，静电场

合。

（三）几种

1、均匀带

?r r >R ?4πεr 200? ?qr

?r ?4πεR 30r ≤R

2、均匀带

q ??r r >R 02??4πε0r

3、无限长

?r ?2πεr 00?

4、无限长均

r R

?r 0 2πε0r

，方向垂直

5、无限大均

九、静场中的导体

1、静电平条件：E 内=0，E 表面⊥表面，或：导体为等势体，表面为等

2、静电平

（1）荷全部分布

（2）表面各处电荷面密度与表面紧邻处的电场强度的大小成正比。 3、静电

（1）空腔导体能蔽外电场的用。（2）接空腔导体隔离内、外电场的影响。（）静电场中的电介质： 1、极化的宏

（1）处电场中的电介质，因极化使电介质的表面（或内部）出现束缚

i （2）极化强度P 是度电介质极化程度的物理量，其定义为：=。对各

电介质：=ε0(εr -1。（3）束缚电荷面密度：σ'=?n 2、电

（1）定义：=ε0+；（2）

?d =∑q

自由i

V A -V B

2、常见

εS 4πεR A R B

；（2）球形电容器：C =； d R B -R A

（3）圆

2πεl

；（4）孤

（五）

Q 2112

=C (V A -V B )=Q (V A -V B ) 1、电容器的能量： W e =

2C 22121

εE =DE 22

121

3、电场的

V V 2V 2

2、电场的能

1）位置矢量：由坐标原点引向质点所的有向线段，通常用r 表示，简称位矢或矢径，在直角

r =xi +yi +zk （1—1）

在自然坐标系中

r =r (s ) （1—2）

在平面极坐标系中

r =rr 0 （1—3）

（2）位：由超始位置向终止位置的有向线段，就是位矢的增

?r =r 2-r 1 （1—4）

位移是矢量，只与始、末位置关，与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数

路程是质点在空间运所经历的轨迹长度，恒为正，用号?s 表示。路程的大小与质点运动的轨迹开有关，质点在其往返的次数有关，故在一

?r ≠?s （1—5）

但是在?t →0时，有

dr =ds （1—6）

由于矢量增量既有方向改又有大小的改变，故应区分?r 与?r

（3）速度v 与速率v ：平均速度

=?r

（1—7）平均速率

（1—8）因此，

（平均速率）质点在t 时刻的瞬时速度

v =dr

（1—9）

质点在t 时刻的速度

v =

（1—10）由（1—6）式知

v =

dr dt =ds dt

=v （1—11）可见瞬时速度的模就是瞬时速率。在直角

v =

dx dt i +dy dt j +dz dt

k =v x i +v y j +v z k （1—12）式中v dx x =dt , v dy dt , v dz

y =z =dt

，分别称为速

z 轴的分

在自然坐标系中

v =v τ0 （1—13）

式中τ0是

位矢r 速度v 是描质点机械运动的状态参量。（4）加

dv d 2r a ==2 （1—14）

dt dt

加速度描述质点速

dv y dv x dv z d 2x d 2y d 2z

a =i +j +k =2i +2j +2k =a x i +a y j +a z k （1—15）

dt dt dt dt dt dt dv y d 2y dv x d 2x dv z d 2z 式中a x ==2 ， a y ==2，分别称为加速度=2 ，a z =

dt dt dt dt dt dt

在x 轴、y 轴，z 轴的分量。

在自然坐标中

dv v 2

a =τ0+n 0=a x +a n （1—16）

dt ρ

dv v 2

式中a τ=是加速度a 是轨

dt ρ

式。

3、运学中的

（1）已知运方程求质点的速度、度，这类问题主要是利用求导数的方法，如已知质点的运

x =x (t )

则质点的位

dx dv d 2x

?x =x 2-x 1; v =; a ==2 （1—17）

dt dt dt

（2）已知点加速度函数a =a (x , v , t ) 以及初始条件，建立质

方程，这类

设初始条件为：

t =0时，v =v 0, x =x 0

若a =a (t ) ，则因a =所以

dv dt

?dv =?

v 0

v t

a (t ) dt

即

v =v 0+?0a (t ) dt （1—18） v =v 0+?0v (t ) dt （1—19）

若a =a (v ) ，则因所以

=a (v ) ， dt

v 0

t dv

=?0dt （1—20） a (v )

求出t =

v 0

，再解出v =v (t ) 代入（1—17）式即可求出运动方程。 a (v )

若a =a (x ) ，是因a =v =a (x ) ，有

V 0

vdv =?x a (x ) dx （1—21）

4、曲线运动

若以抛出点原点，水平前进方向x 轴正向，向上方为y 轴正向，则（1）运动

x =v 0cos θt ??

?y =v sin θt -1gt 2

??2

（2）速度方程为

?v x =v 0cos θ

v =v sin θ-gt 0?y

（3）

v 0sin θ

（1—22） t H =g

所以射高为

v 02sin 2θ

（1—23） H =

飞得总时间T =2t H 水平射程

v 02sin 2θ

（1—24） R =

（4）轨道方程为

y =x tan θ-

圆周运动

g 2

x （1—25） 2

2(v 0cos θ)

（1）描述

线量角量

dr =ds τ0 d θ v =v τ0=

ds d θ

τ0 ω=

dt dt

dv v 2d 2s v 2d ωd 2θ

a =τ0+n 0=2τ0+n 0 χ==2 （1—26）

dt R dt R dt dt

线量与角量的关系：

dr =Rd θ

v =R ω

a τ=R β, a n =R ω2 （1—27）

（2）匀加速（即β=

ω=ω0+βt

θ=θ0+ω0t +βt

ω2=ω0=2β(θ-θ0) （1—28）

（3）匀变速率（即a x =常数）的曲动；以轨道为一维坐标轴，以弧长为坐标，亦可与匀加速直线运动

v =v 0+a x t 1

s =s 0+v 0t +a τt 2

v 2-v 02=2a τ(s -s 0) （1—29）

（4）匀率圆周运动（a τ=0）：它在直角坐标系中的运动

?x =R cos ωt

（1—30） ?

v =R sin ωt ?y

轨道方程为：

R =x 2+y 2 （1—31）

5、刚体

（1）定轴转动的量描述：刚体定轴转动时，定义于转轴的平面为转动平面，这时刚体上各点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的

在刚体中任选一转动平面，以轴与转平面的交点为坐标原点，过原点引一条射线为极轴，则从原点引向考质点位矢r i 极轴的夹角θ即为角置，于一样可引入角速度ω，角加速度β，即书对质点圆运动描述（1—26），（1—27），（1—28）式中在刚体的定轴

（2）刚体定轴转动的动学特点：角量描的共性——即所有质点有同的角位移、角速度、角加速度；线量描述的是个性——即各质点线位、线速度、线加速度与质点到轴的

6、相对运动的概念

（1）我们只讨论两个参考的相对运动是平动而没转动的情况，设相对于观者静的参考系为S ，相对于S 系作平动的参考系为S '，则动物体A 对于S 系和S '系的位矢、速度、加速度变换

r AS =r A S '+r S 'S

v AS =v A S '+r S 'S （1—32） a AS =a A S '+a S 'S

（2）上述变换关系在低速（即v

二、重点、难

（1）注区分矢量A 增量的模?A =A 2-A 1和模

?A =A 2-A 1在运动学中要区分：

?位矢

?位矢的模的

?速度

上述关系

图中?A =A 2-A 1，表示矢量的增量，故矢量增量的模当然

?A =A 2-A 1，而?A =?A 2=A 2-Oc =A 2-A 1，表示矢量A 的

由此可知：

→

?dr

||=v 表示速度的大小;

dr dr ??dt ||≠?

表示位矢

?dt 它是

?dv

dv dv ?|dt |=a 表示加速度的

||≠?

dt dt ?dv =a 表示切向加速度的

?dt

（2）切忌将量与其模连：例如下面式?r =4i +2j =4. 47m 就是一种错误的书

（2）用矢量方法来描述物理律，其优越性在于：a. 具有鲜明的物理意义；b. 简的数学形式及对于各种坐标系保持不变的形式。具体运算时，常将各量写成标量式，一个作平面曲线运动的质点，其加速度a

dv d 2x d 2y a ==a x i +a y j =2i +2j

dt dt dt

dv dv v a ==a x τ0+a y n 0=τ0+n 0

dt dt ρ

即如图1—2 2、关于瞬时性

在中学读者所遇到的物理都是恒量，如匀加速（即a =常量），恒力作（F=常量），但在大学物理中我们接触到的基本上是变量，a =a (t)，F=F（t ）等。因此，必须应用微

在运动学中，从运动方求速度、加速度主要求导的方法；从速度、速和初始条件求运动方程主要是用积分的方法，当被积数的变量积分元变量不一致时，要通过恒等变换使

例如，一质的加速度a =3－5x ，求其速度表示式。显然，若只是简单地写成

=3-5x

dv =(3-5x ) dt a =

是不能完成题目所的。因为等右边被积函数（3－5x ）是x 的函数，而积分变量是t ，为完成这个积分，须进行下面的恒

因为 a =

dv dv dx dv ==v dt dx dt dx

所以 vdv =(3-5x ) dx

若设初

?vdv =?(3-5x ) dx

v x

积分解得

v =6x -5x 2

作定轴转动的刚体同样存在类问题，即已知刚体定转动的运动方程求角速度、加度；已知刚体定轴转动的角加速度的函数及初始条件，求运动方。对这知、能要求与质点在直线运动中的要求相同，此

3、关于相对性

式（1—32）描述的是同一个运在两个平动参考系中的运动学之间的转换关系。正确运用（1—32）的关键是明每个运动学量与观察之间的系，即要区分“牵连”、“相对”、“绝对”等物

遵从（1—32）式适用的条和范围是正确运用的另一个关键。 4、自然

大家不太悉，因而是难点一，这里的关键是记住下面一组公式并能熟

?ds

v =?dt ?dv d 2s ?

=2 ?a τ=dt dt ?22v v ?a n ==?ρR ?

例如一质

ct 运动，b ，c 均为常数，2

Rc ，其切向加速度法向另速度相等所经历的最小时间是

ds d 2s

解：由

dt dt v 2(b -ct ) 2

a n ==

R R

故当a τ=a n 时，

(b -ct ) 2

=|-c | R

t min =

b R - c c

解题示例

例1—1 点作平面曲线运动，

t =3s 的位矢；t =2s

时的速度和加度；（5）刻t 的切速度和法向加速度：（6）t =2s 时质点所在处轨道的曲

解：（1）由运动

x 2

y =1-

（2）t =3s 时的

|r (3) |=+64≈12m ，方向由r (3) 与x 轴的夹角a =arctan

示。

y (3)

=-41?38'表x (3)

（3）第2s 内的位移?r =[x (2) -x (1)]i +[y (2) -y (1)]j =3i -3j ，大

平均速

?x ?y

的大小不

?t ?t

（4）由v =

dx dy

i +j =3i -2tj , 当时, dt dt

v (2) =3i -4j ,

大小v (2) =9+16=5m ?s , 方向为a =arctan(

-1

-4

) =-53?8'。 3

a =

=-2j dt

-1

即a 为恒矢，a =a y =-2m ?s , 沿y 轴负方向. （5）由质点在t 时刻的速

v x 2+v y 2=9+4t 2，得切向加速度

dv 4t 622

，法向

dt +4t +4t

注意：

dv dv dv dv

≠||，因表示速度大小随

度对时间变化率的模，切向加速度a τ是质点的（总）加速a 的一部分，即切向分量，其物理意义是描述速大小的变；法向加速度a n 则描述速度方

（6）由a n =

v 2

, t =2s 时所求的曲率半径为

|v (2) |225ρ===20. 8m

a n (2) 1. 2

例1—2 一质沿x 轴作直运动，其加速度为a =6t , t =2s 时，质点以v =12m ?s 的速度通过坐标原点，求该点的

-1

解 v =adt +c 1=6t d t +c 1=3t +c 1

因为 t=2时, v=12，故 c 1=0

又 x =vdt +c 2=(3t ) dt +c 2=t +c 2

因为 t=2时, x =0，故 c 2=－8，故 x =t -8m

例1—3 例1—3图所示，一轻弹B 的右端固定，左端与小球A 接，自然放置在光滑水平面上，因受到来左方突然打击，使球获得水平向右的初速v 0，此后小球的加速度与它离开初始位置O 的

解本题未明确给出始条件，但初始条可任意给定，现取小球在始位置的时刻为零时刻，O 为坐标原点，则初始条

（1）由a =-βx =

dv dv dx vdv

==, 即

v 2v 0212

，得-=-βx , v d v =-βx d x ?v 0?0

222

即 v =（2）由v =

v 02-x 2

dx dx

, 有2=dt 2dt v 0-βx

t dx

=?0dt 22

v 0-βx

两边积分

利用积分公式

v 0

x x dx x 1

运=arcsin , 得arcsin =t , arcsin =βt ，22

a v 0v 0a -x

sin t ，即

动方程为x =

例1—4 质点沿半径R 的圆周运动，运方程为θ=7-bt , b 为正常数。求：（1）切向加速度和法向加速度；（2）

a τ=a n 时质点转了多少圈？

解由v =

ds d θ

=R =-3Rbt 2得 dt dt

dv v 2

（1）a τ==-6Rbt , a n ==9Rb 2t 4；

dt R

（2）a =

a τ2+a n 2=3Rb 4+9b 2t 6，

a n 3bt 3

); a 与切向的夹

a τ2

（3）

21/3

) ； 3b

（4）在运动方程

θ=7-bt 3中，令t 3=

219

, 得θ=, 故转过的圈数3b 3

θ19

N ==≈1r e ，v

2π6π

例1—5 车停止时窗上雨痕倾斜θ0角，火车以速率v 1前进时窗上雨痕向

θ1，火车快以另一速率v 2进时窗上雨痕向后倾斜θ2角，求v 1与v 2的

解设雨对速度为v 0，则当以v 1前进时，v 1雨车=v 0-v 1=v 0+(-v 1) ，当车以v 2前进时，v 2雨=v 0-v 2=v 0+(-v 2) ，根据以上式

?v 0cos θ0=v 1雨车cos θ1 (1)

?v 0sin θ0=v 1-v 1雨

?v 0cos θ0=v 2雨车cos θ2 (3)

?v 0sin θ0=v 2-v 2雨

联立上面

v 11+cot θ0tan θ1

v 21+cot θ0tan θ2

大学物理公式总结

一、质点力学

? ?+y ?1、参照系，质点 2、矢径：r =x i j +z k

?=(x -x )i ? ?+?y ??+(y 2-y 1)?3、位移：?r =r 2-r 1=?x i j +?z k j +(z 2-z 1)k 21

?r d r dz ??=dx i ?+υy ??+dy ?4、速度：υ=lim ==υx i j +υz k j +k

?t dt dt dt dt ?t →0

d υx ?d υy ?d υz ? ?υd υd 2r ???5、加速度：a =lim ==2=a x i +a y j +a z k =i +j +k

dt dt dt dt dt ?t →0?t

6、路程，速率 7、轨迹方程：f (x , y , z ) =0 8、运动方程：r =r (t ) ，或 x =x (t ) ， y =y (t ) ， z =z (t )

d p

=m a ； 9、圆周运动的加速

法向加速

υ2

；切向加速度：a t =

d υ dt

d θd ωd 2θ

=2 10、角速度：ω= 11、加速度：α=

dt dt dt

二、质点学中的守恒

F ?d l =?F cos θdl 2、机械能：E =E k +E p 3、动能：

E k =

m υ2 2

12Mm kx ；万有引力势能：E p =-G 2r

5、动量： p =m υ； 6、冲量：I =?F ?dt

4、势能：重力势能：E p =mgh ；弹性势能：E p =

7、角动量：L =r ?p ； 8、力矩：M =r ?F

（二）基本

112

m υ2-m υ0 （对质点） 22

A 外力+A 内力=E k -E k 0=∑E k i -∑E k i 0 （对

2、功能原理表达式：A 力+A 非保守内力=E -E 0=(E k +E p ) -(E k 0+E p 0) 当 A 外力+A 非保守力=0

∑(E

k i

+E p i )=恒量

3、动量定： I =?F ?dt =p -p 0=?p （对

n t ?n ? n

I =? ∑F i ??dt =∑p -∑p 0=?p （对质

i =1i =1?i =1?

若体系所受合外力∑F =0，

弹性碰撞?1

υ-υ1?

4、碰

υ10-υ20?

?0<1,>

d L d

=(r ?p ) （对质点） 5、角动量定理： M =

dt dt

d L i d L M ==∑=∑r i ?F i （对质

dt dt i i

当质点或质系所受的合外力为零时，质点或质点系的角动量守恒，即：L =

三、转动的刚

?∑r i 2?m i 离散

12?i

1、转动

2??r 2dm 连续

3、力矩： M =r ?F 4、角动量： L =I ω（

t θ2

5、角冲量： H =?M ?dt =??t 6、力矩的功： A =?M ?d θ

θ1

（二）基

1、平行轴公

2、转动定：=I α 3、转动动能

A =?M ?d θ=

1212I ω-I ω0 22

4、角动量定理：

=??dt =?=I -I 00

t 0

5、角动量守恒律：若刚体受的合外力矩=0，刚体的角动量守恒L =I =恒量六、气体动理学理论：（一）基

1、平衡态，静态过程，理想气体

对于常温下的刚性分：i =t +r （单原子、双原子、多子分子的i 分别为3，5，6） 3、三种特速率（麦

∞

2kT 2RT RT

==1. m μμ

平均速率： =

υ?f (υ) d υ=

∞

8kT 8RT RT

==1. 60 πm πμμ

方均根速率：

2=??υ2?f (υ) d υ?=

3kT 3RT RT

==1. m μμ

4、平均

1kT =

2πd 2n 2πd 2p

（二）本定律

理想气体： pV =νRT

范德瓦

??a a ?

?，要理解

2、理想气体

nm υ2=n t =n k T 33

?2kT ?i ?5

3、能

2?2

?6?2kT ?

4、理气体的

单原子子刚性

i 2

5、麦克斯韦

?m ?dN

=f (υ) d υ= 2πkT ???e N ??

m υ22kT

?4πυ2?d υ

m υ-?m ?22kT ?其中，分函

归一化条件：

∞

f (υ) d υ=1

-E p kT

6、玻尔兹

dx dy dz ， n =n 0e

-mgh

E p kT

mgh kT

， p =p 0e

7、迁移

（1）内摩

1du

?S ， η=ρ

3dy

（2）热传导：

C C dQ dT 1

=-K ?S ， K =ρV =V η dt dy 3μμ1dM d ρ

=-D ?S ， D =

3dt dy

（3）扩散：

七、热力学基

1、内能E ：状态量。体 E =E (T , V ) ，理想气 E =E (T ) =RT 。 2、功A ：过程。气体准态过程

规定系统对外做A >0，

V 2

V 1

pdV

1dQ

，

（1）定容尔热容：C V , m =R ；（2）定压摩尔

(i +2)

C p , m =C V , m +R =R ；

4、摩

（3）等温摩尔热容：C T , m →∞；（4）绝热尔热：C Q , m =0；（5）梅逸公式：C p , m -C V , m =R ；（6）比

C p , m C V , m

(i +2)

； i

5、准静态过

6、熵态量。熵是系统无序度度，定义为S =k ln Ω，Ω为系统某宏观态

观状态数。

（二）基本定律和

1、热力学第

Q =?E +A

2、热力学第定律：具体表述很多，最著名的有开尔文表述和克劳修表述，

热力学第二定律指明了自然界中切实际的热力学宏观过程都是单向的、不可逆的。热力学第二定律的观意义：不可逆过程的实质是从一概率小的宏观状态概率较的宏观态转变过程。热

（1）熵增加原理（对孤立系统或绝热过程）： dS ≥0，或式中，不等号应不可

（2）克劳修斯不等式： dS ≥

(2) dQ dQ

， ?S =S 2-S 1≥?

(1) T T

?S =S 2-S 1≥0

式中，不等对应不可逆过程，等号对应可逆过程。 3、循环

Q A

=1-2 Q 1Q 1

A 为一循环程中系统对外所做的净功；式中，Q 1为一循环过程系统

为一循环过程中系统放出热量的总（

对于卡诺循环则有： η卡=1-

T 2

T 1

式中，T 1T 2分别为高温热源和低温热源的温度。 4、致冷

Q 2Q 2

= A Q 1-Q 2

式中，A 为一循环程中外界对系统所做的功；Q 2为一循环过中系统从低温热源吸收的热；Q 1为一循环过

对于致冷卡诺循环则有： w 卡=

T 2

T 1-T 2

5、卡诺定理： η≤η卡=1-

T 2

T 1

6、理想气体各种准静态

八、真空中的静电场

（一）基本概念及场的

F q

1、电场强度： E =； 2、点电荷场强

4πε0r q 0

3、电场强度叠

（1）点电荷系的场强： =

∑E =∑4πε

i i

q i

?r 0i 2r i

（2）电荷连续分布的任意带电体场

dq 1dq

，r =d =0??4πε0?r 2?r 0 4πε0r 2

4、电荷q 在电场中受力： F =q E

∞ b W a

5、电势： V a ==?E ?d l ； 6、电势差： V a -V b =?E ?d l

a a q 01q i ?

∑?4πε?r i 0i

7、电势叠加原理： V =∑V i =??

?1?dq ???4πε0r

（点电荷系）

（电荷作连续分布）

8、电荷q

?积分关系?

9、电场强度与电势

?微分关系?

10、电通量：Φe =?E ?d S

V a =?=-

∞

?d l

dV n 0dn

（二）基本规律、定理： 1、库

14πε0

q 1q 2

r 0 2r

2、高斯定理：?d =

S 1

ε0

∑q i ，说明静电

高斯定理的意义：

（1）理论上，揭示了静电场是有场的

（2）应用上，提供了另一种求E 的

适用高斯定理求电场强度的：球对称，轴

3、环路理：?d l =0，说明静电场是

说明：E 环为零，静电场力作功与路径无关，静电场是无旋场(

（三）几种典型的静

1、均匀带电球面： =?q

?r r >R ?4πεr 200? ?qr

?r ?4πεR 30r ≤R

2、均匀带电球体： =?

?q ?r r >R 02

??4πε0r

3、无限长均匀带电圆

?r ?2πεr 00?

4、无限长均匀带电直线： E =

r R

?r 0 2πε0r

，方向垂直于带电平面。 2ε0

5、无限大均带电平面： E =九、静电场中的导体和电介：（

1、静电平衡件：E 内=0，E 表面⊥表面，或：导体等势

2、静电平衡时导体上

（1）电荷全部分布在导体表面，导体内各处

（2）表面上处电荷面密度与该处表面紧邻处的电场强度的大成正

（1）空腔导体能屏外电场的作用。（2）接地的空腔导体离内、外电场的影响。（二）静场中的电

（1）处于场中的电介质，因极化使电介质的表面（

i ∑（2）极化强度P 是量度电介质极化程度的物理量，其定义

电介质：=ε0(εr -1。（3）束缚电荷面密度：σ'=?n 2、电位移：

（1）定义：=ε0+；（2）对于各向同性电介质：=ε0εr =ε。（三）有介质时的高斯理：（四）电介的

?d =∑q

自由i

V A -V B

2、常见电容器的电容：（1）平行板电

εS 4πεR A R B

；（2）球形电容器：C =； d R B -R A

（3）圆柱形电容

2πεl

；（4）孤立导体：R →∞，C =4πεR R B ln R A

（五）静电场

Q 2112

=C (V A -V B )=Q (V A -V B ) 1、电器的能

2C 22121

εE =DE 22

121

3、电场的能

V V 2V 2

2、电场的能量密度： w e =

大学物理公式总结

大学物理第一学

概念（定义和相

222

1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中：r =x i +y j +z k ；r =x +y +z 角位置：θ

2．速度：V =

平均速度：V =

速率：V =

（=V τ）角

角速度与速度的关系：V=ｒω

a =3．加速度：

a =或

2dt 2

平均加速度：=

?V ?t

角加速度：β），a n =

a =a τ+a n 在自然坐标系其

4．力：F =ｍa （或F =

d p （=ｒβ

2（=r2 ω）

）力矩：M =r ?F （大小：M=rFcosθ方向：右手螺旋法则）

5．动量：p =m V ，角动量：L =r ?m V （大小：L=rmvcosθ方向：右手螺旋法则）

6．冲量：I =

F dt （=F Δｔ）；功：A =

F ?d r （气体对外做功：A=∫PdV ）

7．动能：mV 2/2

mg(重力) → mgh

8．势能：A 保= – ΔE p 不同互作

-kx （弹性力） → kx 2/2

不同且零点选择不同其形式不，

Mm =EF= -G Mm r p ? (万有引力) →-G

r r

机械能：E=EK +EP

Qq r (静电力) →Qq ? 4πε0r πε0r 2

9．电场

E =

q 4πε0r

?） r

∞

10．电势：U a

E ?d r （

q 4πε0r

）；电势能：W a =qUa (A= –ΔW)

11．电容：C=Q/U ；电容储能：W=CU2/2；电能量密

12．磁感强度：大小，B=Fmax /qv(T)；方向，磁针

定律和定理

1．矢量叠加原理：意一矢量A 可看成其独立的分量A i 和。即：A =ΣA i （把式

。 B 就别成了位置、速度、加速度、力、电场强度磁感应

2．牛顿定律：F =ｍa （或F =

d p dt

Mm ）；牛顿第三定律：F ′=F ；万有引力定

3．动量定：I =?p →动量守恒：?p =0条

4．角动量定理：M =

5．动能原理：

→角动量守恒：?L =0条

A =?E k （比较势能定义式：A

6．功能原理：A 外+A非保内=ΔE →机械能

Qq （k=1/4πε） F 0?=k 2r

12．高斯定理：

q （静电场是有源场）→无穷大平板：E=ζ/2ε0

E ?d S =ε0

13．环定理：E ?d l =0 （静

? μId l ?r 14．毕奥—沙伐

4πr 2

μI 直长载流导线：B =0(cosθ1-cos θ2)

4πr μI 无限长流导

2πr

μI μI θ 载流圆圈：B =0，

2R 2R 2π

大学物理第二学

电磁学

1．定义：

①E 和B ：

F =q(E +V ×B )

②电势：U =

B=Fmax /qv；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯

E =F /q0 单位：N/C =V/ｍ

∞

E ?d r

F 非静电 + -

电势差：U =?E ?d l 电动势：ε=?K ?d l （K =）

-+q

③电通量：φe =

磁通量：φB =E ?d S ??

磁通链：ΦB =NφB 单位：

B ?d S ??

④电偶极矩：p =ql

-q l ⑤电容：C=q/U

*自感：L=Ψ/I

单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I1=Ψ12/I2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I =

? 磁矩：m =IS =ISn

； *位移电流：I D =ε

d φ 单位：安

⑦*能流密度：

2．实验定律

S =

E ?B

?③安培定律：d F =Id l ×B μId l ?r Qq ②

d B =r 0

4πr 24πε0r 2

①库仑定律：F =

d φB

④电磁感应定律：ε感= – 动电

感生电动势：ε=*⑤欧姆定律：U=IR（E =ρj ）其中ρ为电导率 3．*

q 电场的高斯定理：E ?d S =?

(V ?B ) ?d l

（E E i ?d l i 为

ε0

q （E 静是

E ?d S =静

ε0

E 感?d S =0 （E 感

磁场的高斯定理：B ?d S =0

B ?d S =0（B

（B 感是无源场） B ?d S =0

E ?d l =0 （静电

d φB 电场的环路定理：E ?d l =-dt

d φB

（感生电场

B ?d l =μ0I （稳磁场

安培环路定理：B ?d l =μ0I +μ0I d 4．常用公式

d φe （变化的电场产生感生磁场） B ?d l =με00感

①无限长载流导线：B =μ0I 螺

2πr ②电粒子在匀强磁场中：半径R =mV 周

磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力

2222③电容储能：W c =2CU *场能量密度：ωe =2ε0E 电

E +20B 22 *电感储能：W L =2LI *磁场

电磁场能流密度：S=ωV

④

*电磁波：C=

=3.0×108m/s 在介质中V=C/ｎ，

2π

0000

波动学

1．定义和概念

简谐波方程： x 处t 时刻相位振幅

简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)

相位Φ——决定振

振幅A ——振动量最大值决定于初态ｘ0=Acosφ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位（x 0,V 0） V 0= –A ωsin φ 频

圆频率ω=2πν 簧振

周期T ——振动一次的时间单摆ω=

波速V 绳V=

空气V=

波的干涉：同振动向、同频率、相位差恒定的波的叠。光程：L=ｎｘ（即光走的几何

相位突变：波从波媒质进入波密媒质时有相位π的突（折合光程为λ/2）。：频率相

驻波：两列完全相同仅方向相反波

多普勒效应：因波与观察者相对运动产生的频率改变的象。衍射：光偏离直线传播现象。

偏振光（亦线偏振光或称平面偏振光）：只有一方向

部分偏振光：各振动方向概率等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 2．方法、定律和定理 ①旋转矢量法：如图，意一个简谐动ξ=Acos(ωt+φ) 可

时针旋转的矢量A 在ｘ方向的投影。干

g /l

/ 光速V=C/n

B /

A 1+A 2

+2A 1A 2cos ?φ

其中：Δφ=φ

1-φ2–（r 2–r 1）当Δ

当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1）

②惠更斯原理：波子波的包络面为新波前。（用来判断的传播方向） ③菲涅尔原理：面子波

动。

④*马吕定律：I 2=I1cos 2θ ⑤*

当入射光以I p 入射角入射时则反射光为垂直射面

光。I p 称布儒斯特

tg ip = n2/n1

3．公式

振动能量：E k =mV2/2=Ek E= Ek +Ep =kA2/2 E p =kx2/2= (t) *波动能量：=

222

ρω2A 2 I==2ρωA V ∝A

*驻波：

波节间距ｄ=λ/2 基波波

基频：ν0=V/λ0=Ｖ/2Ｌ；

*多普勒效应：

V -V s

机械波ν' =V +V R （V R ——观察

C -V r 其中V r 指光源与察

C +V r

dsin θ=ｋλ（明纹） θ≈sin θ≈ｙ/Ｄ条纹间距Δy=D/λd

单缝衍射（夫琅禾

瑞利判据：

θmin =1/R =1.22λ/D（

光栅：

dsin θ=ｋλ（明纹即主极大满足条件） tg θ=ｙ/ｆ

ｄ=1/ｎ=L/N（光栅常数）薄膜

δ反=2ｎ2ｔ+δ0

δ0= 0

中 λ/2 极增反：δ反=(2k+1)λ/2 增透：δ反=kλ

现代物理

（一）量子力学

1．普朗克提出量量子化：ε=ｈν（最小一份能量值） 2．爱因斯提出光

光电效应方程：ｈν=ｍｖ+A 其中：逸出功A=ｈν0（ν0红限频率） 2

2 最大初

3．德布罗意提出物质波理论：实物粒也

ε=ｈν=mc2 对比光的

m 0-

V 2c 2

>0且ν≠ｃ/λ亦ν≠V/λ；而对光子：m 0=0且ν=C/λ

4．海森伯不确定系： ΔｘΔｐx ≥ｈ/4π ΔｔΔE ≥ｈ/4π 波函

=ψ0=粒子在ｔ时刻ｒ

???dV =1 Ψ的标准条件：续、

（二）狭义相对论：

1．两个基本假设：①光速不变理：真空中在所有惯性系中光速相同，与光源运动无关。 ②义相对性原：一切理定律所

Σ’系→Σ系 Σ系→Σ’系 x=γ(x’+vt’) x’=γ(x - vt) y=y’ y’=y z=z’ z’=z

t=γ(t’+vx’/c2) t’=γ(t-vx/c2) 其中：γ=

v 2c 因V 总小于C 则γ≥0所以称其膨胀

v 2c 2

为收缩因子。

3．狭义相对论的

①同时的相对性：由Δt=γ(Δt’+vΔx’/c2) ，Δt’=0时，一般Δt ≠0。称x’/c2为同时性因子。 ②运的长度缩短：Δx=Δx’/γ≤Δx ′ ③运动的钟慢：Δt=γΔt’≥Δt ′ 4．几个

② 质能关系E=mc2 粒子的静止能量为：E 0=m0c 2 粒子

-1) m 0c =m 0V ++ 2

v c 2

当V

Σ’系→Σ系： u u v

u v x ' +y ' -c x =1+v u y =1+ c u x ' c 2u x ' Σ系→Σ’系：u u x -v u y -v c x ' =1-v u y ' = 2u x ' 1-v c c u x '

=u z ' -v u c z 1+v c u x '

u ' =u z -v c z 1-v

c u x '

大学物理公式总结

大学物理(下)主

大学物理上公式

定律和定理

,,,,,,,AAA1(矢量叠加原理:任意一矢量看成其独立的分量的和。即:=Σ(把

,,,,FEBa、、、就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度磁感

,,,,,dp,,MmFFFF2(牛顿定律:=,a (或=);牛顿第三定律:′=;有引力定

,,,,,p,0I,,pF,0?动量守恒:件

,,,,,222r,x，y，z1(位置矢量:，其在直角坐标系中:;角位

,,,,,d,dsdr,r,,,V,VV,2(速度:平均速度: 速率:(,)角速度: ,dt,tdtdtV,V角度与速度

,2,,,,drddV,,,Va,,a3(加速度:或平均加速度: 角加

,,,2dVV2a,aa,ana, 在自

,,,,,dp,,FFM,r，Fa4(力:=, (或=) 力矩:(大小:M=rFcosθ

,,,,,L,r，mV5(动量:，角动量:(大小:L=rmvcosθ向:右

,,,,,I,FdtA,F,dr6(冲量:(=Δ,);功:(气体对

27(动能:mV/2 mg(重力) ? mgh 8(势能:A= – ΔE不同相互作用力势能形p2 -kx(弹性力) ? kx/2 式不同零点选择不同其形式不同，在默认MmMmF= (万引力) ? =E,Gp ?,Gr势能零点的情况下: 2rr机械能:E=E+EKP QqQq (静力) ? ?rM29(热量:其中:摩

与过程有关，等容热容量C与等压热容量C之间的关系为:C= C+R vppv

FI210( 压强: P,,,n,3S,tS

3M11(

dN12( 麦斯韦速率分布函数:(意义:在V附近单位速度间隔内的分子所占

大学物理(下)主

,dN8RTV,VVf(V)dV,13( 平

23RT2RTV,V, 方均根速率:;最可几速率: ,,p14( 熵:S=KlnΩ(Ω热力学几率，即:一种宏观态包含的微态数) ,,,qEF电强度:=/q(对

大学物理(下)主

,,,,Idl，r00dB,,毕奥,沙伐尔定律: 24,r,,,,Idlr，00B磁场

,,,,qv，r00运动电荷的磁场: B,,24,r

磁场的高斯

,,安培环路定理: B,dl,,I,0,L

,I0载流直导线: ，，B,sin,sin,,214a,

圆电流轴线上任

22IRIR,,00B,, 332r222，，2x，R

载流螺线管轴线上

,nI0 ，，B,cos,,cos,212,,,,,,安培力:, df,Idl，Bf,Idl，B,L

载流线圈在均匀磁场中所受

,,, MPB,，m

,,,洛仑兹力: f,qv，B

,2I,量A,Id,,,,,,A,I,,磁力

IB1R,UR， ,HAA'Hnqb

d,法拉第电磁感应定律: ,,,idt

,,a,,,(v，B),dl动生电

感生电动势，涡旋

,,,,B, ,EdldS,,,,,ik,,,t,L

大学物理(下)主

NdI,12自感:L， L， ,WLI,,,,LmIdt2

,,NN112221,,MM互感:， 1221II21

M,M1221

dIdI21MM， ,,,,,,12122121dtdt磁场的能量:

21B,W,,dV， ,,BHmmm,22,V麦克韦方程

,, (1) D,dS,,qi,,S

(2) B,dS,0,,S

,,,,,BE,dl,,,dS (3) ,,,LS,t

,,,,,,DH,dl,(,，),dS (4) ,,,LS,t

,,,,,,

, , D,,E,,,EB,,H平简

r,E,Ecos[(t,)]0u{ rH,Hcos[,(t,)]0u三条基本假设:

h定态，， h,,E,EL,n,,nhnm2,两

22o,hn20 r,0.529nA,n2,me

4,13.6me1 eV,,,,En2222n,n8h0

n,1,2,3,？？

大学物理(下)主

,,,qU,E,dr15( 电势:(对点电荷);电势能:W=qU(A= –aUaa,,a4,,r0

ΔW)

2216( 电:C=Q/U ;电容器储能:W=CU/2;电场能

17( 磁感强度:大小，B=F/qv(T);方向，小磁

定律和定理

,,,,,AAA3(矢量叠加原理:任意一矢量可看成其独立的分量的

,,,,,,FEBa成、、、、、就分别成了位置、速度、加速度、力、

强度的叠加原理)。 ,,,,,dp,FFFFa4(顿定律:=, (或=);牛顿

,Mm ?F,,Gr2r,,,,,p,0I,,pF,05(动量理:?

,,,,dL,L,0MM,06(角动量定理:?角动守恒:

A,,,EA,,E7(动能原理:(比较势能定义式:) pk保8(功能原理:A+A=ΔE?械能守恒:ΔE=0

M9(理想气

10( 能量分原理:在平衡态下，物质分子的每个自由度具有相

小都为kT/2。

11( 热力学第一

克劳修斯表述:不可能把热量从低温物体传到高温物体而不产生其它响。

开尔文表述:不能从单一热源吸取热量，使之完全为有用的功而不产生其它影

实:在孤立系统内部发生的过程，是由热力学概率小的宏观状向热

概率大的状态行。亦即在孤立系统内部所发生的过程总是沿无序

增大的方向进行。 11(

,Qq (k=1/4πε) 0?F,kr2r

,,q12( 高斯定理:(静电场是有源场)?无穷大平板:E=σ/2ε 0,,EdS,,,0

,,13( 环路定理: (静电场无旋，因此是

大学物理(下)主

,?,Idlr,，0 14( 毕奥—沙伐尔定律: dB,24,r θ2 ,,I0 I 长流导线: B,(cos,,cos,)124,r r P o R ,I, θ0 无限长载流导线: 1 B,2,r I ,I,I,,,00 载

大学物理(上)复习一、质力

(一)基本概念:

,???r,xi，yj，zk1、参照系，质点 2、矢径:

,,,??????，，，，，，3、位移:,r,r,r,,xi，,yj，,zk,x,xi，y,yj，z,zk 21212121

,,,,rdrdxdydz??????,,,,,i，,j，,k,i，j，k4、速

,,,2d,dd,,ddr,,,,yxz??????5、加速度: a,,,,ai，aj，ak,i，j，kxyzlim2tdtdtdtdtdt,,,0t

f(x,y,z),06、路程，速率 7、轨迹方程:

,,r,r(t)x,x(t)y,y(t)z,z(t)8、运动方程:，

,,,,,,dp9、圆周运动的加速度:; 牛顿定律:; a,a，aF,,mantdt

2d,,a,a法向加速度:; 切向

2ddd,,,,,10、角速度: 11、加速度: ,,,2dtdtdt二、质点力学中的守恒定律:

(一)基本概念:

,,bbA,F,dl,Fcos,dl1、功: 2、机械能:E,E，E 3、动能:kp,,aa

12 E,m,k2

1Mm2Ekx4、势能:重力势能:E,mgh; 弹性势能:; 万有

大学物理(下)主

,t,,,p,mI,F,dt5、动量: ; 6、冲量 : ,0

,,,,,,M,r，F7、角动量:; 8、力矩: L,r，p

(二)基本定律和基

11221、

A，A,E,E,E,E (对质点系) ,,kkkiki00外力内力ii

2、功能原理

，，当时，系

,,t,,,I,F,dt,p,p,,p3、动量定理: (对质点) 0,0

nnn,,t,,,,, (对质点系) I,F,dt,p,p,,p,,,,,0i,0,1,1,1,,iii

,,F,0若

1弹性碰撞,,,,,214、碰撞定律: e,,0完全非弹性碰撞,,,,1020,e0,,1,非弹性碰撞,

,,,,dLd，，M,,r，p、角动量定理: (对

,,,,,dLdLiM,,,r，F (对质点系) ,,ii外dtdtii

,当质点或质系所受的合外力矩为零时，质点或质点系的角

三、转动的刚体:

(一)基本概念:

2,r,m离散,ii1,2iI,1、转动惯量: 2、转动动能: E,I,,k22,rdm连续,,

,,,,,M,r，F3、力矩: 4、角

,,,t,2H,M,dt,M,,tA,M,d,5、角冲量: 6、力矩

大学物理(下)主

(二)基本定律和基

21、平行轴

,2、转动定: 3、转

1122 A,M,d,,I,,I,0,22

H,M,dt,,L,I,,I,004、角动

5L,I,,矢量、角动量守恒定律:若刚体受到的合外力矩，刚体

四、机械振动:

(一)简谐振动

2，，F,,kx1、简谐振动动力学特征方程: 2、简谐振动运动特征

x,Acos(,t，,)3、简谐振的

如果物体的运规律满足上述三个方程中的任意一个，即可判定物体

(二)描述简谐振动的

1、周期T，率和角频率: T，和仅取决于振动系统本身性质，

有周期、固

,2km,,,2,,T(1)对于弹簧振子，有， mk,

,lg2,,T(2)对于单摆，有， ,,2,lg,

2、振幅A和位相:A和除与系统性质()有关外，完全由初始条件

2,,,,,200,tan,(1)振幅A: (2)初位相,:由，

若物体初速仅方向而不知数值时，可以采用另一种解析法或转矢量

,。

(三)简谐振动的速度、加速

dx,,,，，,,,Asint，,Acost，，1、简谐振动的速度: ,,,,,,,,,dt2,,

大学物理(下)主

注意，速度的位相比位移的位超

2、简谐振动的加

2,,ddx,,222，，，，a,,,,,Acos,t,，,,,Asin,t，,，,,Acos,t，,，,,,22dtdt,,

注意，加度的位相比速度的位相超前，比位移位相

3、简谐振动的

11112222222sincos ，，，，E,m,,m,A,t，,E,kx,kA,t，,kp2222

11E222EEEkAmAEE ,,,，,,,kpkp222(四)旋转矢量投影法:

该法可以简洁、观地分析振动情况及振动的合成等问题，并能直接看出位相超前或

(五)简谐振动的

1、同方向、同频率两谐振动的合成:同方向、同频率两简谐振动合成仍然是简谐振动，其角频与原来振动的角率

,,Asin，Asin221122,; ,arctgA,A，A，2AAcos(,,,)121221Acos,，Acos,1122当，合振

A,A,A当时，合振动的振幅为最小，当,,,,,,,(2k，1),(k,0,,1,,2,？)1221

A,0分振幅，合振幅。 A,A12

*2、同方向、频率稍有差异的两简谐振动的合成:合振动为

,,,,,为拍频率，大小为。 12

*3、相互垂直、频率相同的两简谐振动的合成:振动质点运动的轨迹通常为圆，

(三)平面谐波:波源为简谐振动，媒质为均匀的、各向性的、

，，x,,1、波动方程(波函数): y(x,t)Acost,,，,,,,0,,u,,，，

大学物理(下)主

，，x1,,222222、能量密度:; 3、平均能量

1224、平均能流密度(波强度): I,wu,,A,u2

(四)惠更斯

波所传播到空间各点都可以看作是发射子波的波源，任一刻这些

的波面。

(五)波的干涉:

波的叠加原:几列波在媒质中任一点相遇时，相遇点振动位移等

时该点振动位移的

,,2,,0,1,2,？(加强)kk,,rr21,,,,,,,,2,波的相干条件: ,21,,(2，1),0,1,2,？(减弱)k,k,

,,,,0,1,2,？(加强)kk,,当时， ,,, rr,,,,,,2112,(2，1),0,1,2,？(减弱)kk,2,

(六)驻波:

两列振幅相的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，

,相邻两波节或波腹之间的距离为。没有位相能

(七)多普勒

,u，R,,,当察者和波源相向运动时， RSu,,S当观察者和波源相运动时，

六、气体动理学

(一)基本概念:

1、平衡态，静态过程，理想气体分子模型，统计假设 2、气体分的自

i,t，ri于常温下的刚性分子:(单原子、双原子、多原子子的

3、三种特征速率(麦克斯韦率

22kTRTRT,最概然速率: ,,,1.414p,,m

,8kT8RTRT,,,,平均速率: ,,,,, f()d1.60,0,,,,m

大学物理(下)主

1,3kT3RTRT222，，,,,,,,,,,f()d1.732方均根

24、平均碰撞频率: Z,2,dn,

,1kT,,,,5、平均自由程: 22Z2,dn2,dp(二)

1、状态方程:

pV,,RT理想气体:

,,aa,,，，德瓦尔斯气体(1mol):p，,V,b,RT，要理解和b的

1222、

3,kT单原子子,2,i5,E,kT,kT刚性双原子分子3、能量均定理(

6,kT刚性多原子

i4、理想气体的内能公式: , E,RT2

32m,2,,,dNm2kT2,,5、麦克斯韦速率分布律(物理含义): ,f,()d,,,e,4,,,d, ,,N2kT,,,

32m,2,,,m22kT,,f,(),,e,4,,其中，分布函数(物

,f(,)d,,1归一化

EEpp,,kTkT6、玻尔兹曼分布律: ， dN,nedxdydzn,ne00

mghmgh,,kTkTn,nep,pe对于

1du(1)内摩擦: F,,,,S， , ,,,,rdy3

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CCdQdT1VV(2)热传导: ， ,,K,S,,,,K,,dtdy3,,

,1dMd(3)扩散: ， ,,D,SD,,,dtdy3

七、热力学基础:

(一)基本概念:

iE,E(T,V)、内能:状态量。气体，理想气体。 1E,(),EET,RT2

V2dA,pdVA,pdV2、功: 过程量。气体准静态过程的胀压

A,0A,0规定系统对外做功，外对

QQ,0Q,03、热量:过程量。规定系统吸

dQ14、摩尔热容:C，对于理

i,(1)容摩尔热容:; (2)定摩尔热

(2)i，; CCRR,，,p,mV,m2

(3)等温摩热容:C,,; (4)绝热摩尔热

Ci(，2)p,m(5)梅逸公式:C,C,R; (6)比热容比:; ,,,p,mV,mCiV,m

5、准静态过程，可逆过程和可

S,kln,6、熵状态量。熵是系统无序度的量度，定义为，,为

观状态数。

(二)基本定律和基

dQ,dE，dA1、热力学第一定律:是热运动范围内的能量守恒定律。表达

2、热力学第定律:具体表述很多，最著名的有开尔文表述克劳修

是等价的。

热力学第二律指明了自然界中一切实际的热力学宏观过程是单向

热力学第二律的微观意义:不可逆过程的实质是从一个概较小的

大的宏观状态的转

热力学第二定律的数学

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dS,0(1)熵增原理(对孤立系统或绝热过程): ，或 ,S,S,S,021中，不号对应不

(2)dQdQ(2)克劳修斯不等式: dS,， SSS ,,,,21,(1)TT式中，不号对应不

QA2,,,1,3、循环效率: QQ11

式中，为一循过程中系统对外所做的净功;为一循环过程中系统收热

为一循环过程中系统放出热量的总(绝

T2,,1,对于卡诺循环则有: 卡T1

式中，和分别为高温热源和低温热源的

QQ22w,,4、致冷系数: AQ,Q12

式中，A为一环过程中外界对系统所做的功;为一循环过程系统从

热量;为一循环过程中系统向高温热源放的

T2w,对于致冷卡诺循环则有:

T2,,,,1,5、卡诺定理: 卡T1

6、理想气体各种准静态等

过程定容过程等压过程等温过程热过

Q,0，，， n,常数dp,0dV,0dT,0特 V,

,pV,C1 pV, ,1n ,常数,常数pV,常数TV,CpV,常数过

,AE,, V2,A,RTln ,,,,CTVpV,pVVm,1 1122 A,pV,RT,,,A,A 0 pn,1pVpV,21122,,RTln,p,,11

i ,C,T,C,T,C,T,C,T,,R,T0 ,EV,mV,mV,mV,m2

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,C,TQ 0 同同A ,E,E，Ap,m

Ri C,C，RC,,C,0C,C,C,RC p,mV,mT,mQ,mV,mn,mV,m2n,1

CCCC，2，2，2，2iiii p,mp,mp,mp,m ,,,,,,,,,,,,,— CiCiCiCiV,mV,mV,mV,m

Q,A，EQ,A Q,A，EQ,,E,,0,A，,E热一律

— — — — — 物理意义 pppp c a c a a b c b — 图像 d b Vd a c d d VVVb

p pppa b c c b a c a

d c d a Vd VVb d Vb

八、真空中的

(一)基本概念及场的

,,,qF,,Er1、电场强度: ; 2、电荷电强度公

3、电场强度叠加

1q,i(1)点电荷系的场强: E,E,,,rii,,024,,riii0

dq1dq,,dErEdEr(2)电荷连续分布的任

4、电荷q在电场中受力: F,qE

,,,,,bWaV,,E,dlV,V,E,dl5、

q1,i,(点电荷),,,,4r,i0i7、电势叠加理: ,,VV,,i1dq,(电荷作

8、电荷在

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,,,VEdl,,积分关系a,,a9、电场强度与电势的关系: ,dV,,En,,微分关系0dn,

,,10、电通量: ,,E,dSe,S

(二)基本规律、

qq1,121、库仑定律: F,,r024,,r0

12、高斯

高斯定理的意义:

,1,理论上～揭示了静电场是有源的

E,2,应用上～提供了另一种求的简便方法。适用高斯定理求电场强的:球

3、环路定

E说明:环流零，静电场力作功与路径无关，静电场是无旋(有势

合。

(三)几种典型的静电

0r,R,,E,1、均匀带电球面: q,,,rr,R02,4,,r0,

qr,,,rr,R03,,,4R,0E,2、

0r,R,,,E,3、无限长均匀带电圆柱面: ,,,rr,R0,2,,r0,

,,,E,,r4、无限长均匀带电直线: 02,,r0

,E,5、限大均匀带电平面: ，方向垂于带电

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九、静电场中的导体和

(一)静电场中的

,,E,01、静电平衡条件:，，或:导体为等势体，表面

2、静电平衡时导体上的

(1)电荷全部分布在体表面，导体内部各处净电荷为零。 (2)面上各处电荷面密度与该处面紧邻处电场强度大

(1)空腔导体能屏蔽外电

(2)接地的空腔导体隔离内、外场

(二)静电场中的

1、极化的宏观

(1)处于场中的电介质，因极化使电介质的表面(或部)

,P,iP(2)电极化强度是量度电介质极化程度的物理量，其定为:。

，，P,,,,1E电介

,,(3)束缚电荷面密度: ,,P,n

2、电位移: D

D,,E，PD,,,E,,E(1)定义:; (2)对于各向同电介质:。 00r(三)有质时的

(四)电介质的

qC,1、定义: V,VAB

2、常见电容器的

SRR4,,,ABC,C(1)平行板电容器: ; (2)球形电

2l,,C(3)圆柱形电容器:; (4) 孤立导体:R,,， ,C,4,,RRBlnRA

(五)静电场的

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2Q112，，，，W,,CV,V,QV,V1、电容器的能量: eABAB2C22

1122、电场的能量密度: w,,E,DEe22

1123、电

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1)位置矢量:坐标原点引向质点所在处的有向线段，通常用表示，简r位矢或

(1—1) r,xi，yi，zk

在自然坐标系中

(1—2) r,r(s)

在平面极坐标系中

r,rr0 (1—3)

(2)位移:由超始位置指向终止位置的有向线段，就是位

,r,r,r21 (1—4)

位移是矢量，与始、末位置有关，与质点运动的轨迹及质点其间

,s路程是质点在空间动所经历的轨迹的长度，恒为正，用符号表示。程的大小与质点运动的轨迹开有关，质点在其往次数有关，

,r,,s (1—5)

,t,0但是在

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dr,ds (1—6)

,r与,r同，由于矢量的增量既有方向改变又大小的

dr与dr不同。

(3)速度与速率: vv

平均速度

,r (1—7) v,

平均速率

,s (1—8) v,

,r,sv,,因此，平均速度的大(

,t,t

t质点在时刻的瞬

dr (1—9) v,

t质点在时刻

ds (1—10) v,

由(1—6)式知

drdsv,,,v (1—11)

dtdt

可见瞬时速度的模就是瞬时速率。直

dxdydz (1—12) v,i，j，k,vi，vj，vkxyzdtdtdt

dxdydzyvvv式中，分别称为速度在轴，轴，轴的分x,,,,,zxyzdtdtdt

量。

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在自然坐标系中

(1—13) v,v,0

是轨道切线方向的单位矢。式中,0

位矢和速度是描述质点机械运动的态参

(4)加速度:

2dvdr (1—14) a,,2dtdt

加速度是描述质点速度变化率的物理量。在直

222dvdvdvdxdydzyxz (1—15) a,i，j，k,i，j，k,ai，aj，akxyz222dtdtdtdtdtdt

222dvdvdxdvdzdyyxz式中，，，

y在轴、轴，轴的分

在自然坐标中

2dvv,a,，n,a，a (1—16) 00xn,dt

2dvv,a,,a,n式中，是加速度是轨道切线方向和法线向的

式。

3、运动学中的两问题(以直线运动为例) (1)知运动方程求质点的速度、速度，这

方法，如已知质点的运

x,x(t)

则质点的位移、速度、加

2dxdvdx (1—17) ,x,x,x;v,;a,,212dtdtdt(2)已知质加速度函以及初始条，立质点的运

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方程，这类问题主要用积分方法。初

t,0时， v,v,x,x00

dv若，则因 a,a(t)a,

dt所以

dv,a(t)dt,,0v0

即

v,v，a(t)dt (1—18) 0,0

v,v，v(t)dt (1—19) 0,0

dv若，则因， a,a(v),a(v)

所以

vtdv,dt (1—20) ,,0v0()av

vdvt,求

dv若，是因，有 a,a(x)a,v,a(x)

dxVx

(1—21) vdv,a(x)dx,,Vx00

4、曲线运动中的两类典型抛体运动

y若以抛出为原点，水平前进方向为轴正向，向方为

(1)运动方程为

,txvcosθ,0, 1,2,y,vsint,gt0,,2

(2)速度方程为

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,,vcosv,x0 ,v,v,gtsin,y0,

v,0(3)在最高点时，故达最点的

vsin,0t, (1—22) Hg

所以射高为

2vsin2,0H, (1—23)

飞得总时间 T,2tH

水平射程

2vsin2,0R, (1—24)

(4)轨道方程为

g2,yxtanx,, (1—25) 22(vcos,)0

圆周运动

(1)描述圆周运动的

线量角量

d,dr,ds, 0

dsd,v,v, ,,,,00dtdt

2222dddvvdsv,, (1—26) a,,，n,,，n,,,000022dtdtdtRdtR

线量与角量的

,dr,Rd

v,R,

2a,R,,a,R, (1—27) ,n

(2)匀角速(即=常数)圆周运动:可与匀加速线运

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,,,，,t0

12,,,，,t，,t 002

22,,,,2,(,,,) (1—28) 00

常数)的曲运动;以轨道为一维坐标轴，以弧(3)匀变

长为坐标，亦可与匀加速直线动

v,v，at0x

12s,s，vt，at 00,2

22 (1—29) v,v,2a(s,s)0,0

(4)匀速圆周运动(即):它在直角坐标系中运动方

,x,Rtcos,

(1—30) ,v,Rsin,ty,

轨道方程为:

22 (1—31) R,x，y

5、刚体定轴转动

(1)定轴转动的角量述:刚体在定轴转动时，定义垂直于转轴的面为转动平面，这时刚体上各点均在自的转动面

在刚体中任一转动平面，以轴与转动平面的交点坐标

,引一条射为极轴，则从原点引向考察质点的位矢与轴的

置，于是一可引入角速度，角加速度，即本书对质点周运

—26)，(1—27)，(1—28)式中在刚体的轴转

(2)刚体定轴转动的运动特点:角量描述的共性——即所有质点都有相同的角位移、速度、角加速度;线量描述的是个性——即各质的线位移、线度、线加速度与质

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6、相对运动

(1)我们讨论两个参考系的相对运动是平动而有转

,S对于观者静止的参考系为S，相对于S系作平动的考系

,S系的位矢、速度、加速度变换关系分别:

r,r，r,,ASASSS

v,v，r (1—32) ,,ASASSS

a,a，a,,ASASSS

,S(2)述变换关系只在低速(即)运动条件下成，如

32)式中速度变换关系亦成立，而加速度变换关系不S系

成立。

二、重点、难

1、关于矢量性

,A,A,A(1)注意区分矢量A的增量模和

,A,A,A在运动学中要

,,,位矢的增量模 rrr,21 ,,,,位矢模的增

,,,速度增的模 vvv,21 ,,,,速度模的

上述关系可用图1—1表示

图中，表矢量的增量，故矢量增量的模当然表

,,A,A,A,A,,A,A,Oc,A,A，而，表示矢量A的模

由此可知:

dr,||, 表示速度的大小;v,drdr,dt||, ,表示位矢的模的变化率,drdtdt,, vr,dt它是

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dv,a||, 表示加速度的大小;,dvdvdt||, ,dvdtdt,,a 表示切向加

(2)切忌将矢与其模连等:例如下面的等式就,r,4i，2j,4.47m是

(2)用矢量方法来描述物理规律，其优越性在于:a.具有鲜明的物理意义;b.简洁的数学形式及对于种坐标系保持不变的形式。具体运时，常各矢量写成坐分量式，如一个面线运动的质点，

22dvdxdya,,ai，aj,i，jxy22dtdtdt 2dvdvv,,a,,a，an,，nx0y000,dtdt

即如图1—2

2、关于瞬时性

在中学读者遇到的物理量都是恒量，如匀加速(

(即F=常量)，在大学物理中我们接触到的基本上是变，如=(t)，F=Faa(t)等。因此，

在运动学中，从运动方程求度、加速度主要是求导的方法;从速度、加速度和初始条件运动方程主要是用积分的方法，当被函数的变量积分元的变量一时，要通过恒

例如，一质点的加速度=3,5x，求其度

显然，若只是简单地写

dva,,3,5x dt

dv,(3,5x)dt

是不能完成题目所的。因为等式右边被积函数(3,5x)x的函数，而积分变量t，为成这个积

dvdvdxdv因为 a,,,v

dtdxdtdx

所以 vdv,(3,5x)dx

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若设初始条件为，则有 x,0,v,000

vdv,(3,5x)dx ,,00

积分解得

2v,6x,5x

作定轴转动的刚体同样存在两类题，即已知刚体定轴转动的运动方程求角速度、角加速度;已知刚体定转动的角加速度的函数及初始条件，求运方程。对这些识、能的要求质在直线运动中的

3、关于相对性

式(1—32)描述的是同一个运动在个平动参考系中的运动学量之间的转换关。正确运用(1—32)式的关键是明确个运动学量与观察者之间的关系，即要区分“牵连”、“相对”、“绝对”等物理。例如:连矢，为相rrSSAS对位

遵从(1—32)式适用的条件和范围是正确用的

4、自然坐标系

大家不太熟，因而是难点之一，这里的关键是记住下面组公

,dsv,,dt2,dvds, a,,,,2dtdt,22vv,a,,n,,R,

12s,bt,ct例如一质点沿半径为R的圆周按规律

b,Rc且，则其切向加速度和法向另速度相等所经的最

2dsds解:由于 v,,b,ct,a,,,c,2dtdt

22vbct(,)a,, nRR

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故当时， a,a,n

2(b,ct),|,c|

bRt,, mincc

解题示例

2例1—1 质点作平面曲线运动，已知，求:(1)质点x,3tm,y,1,tm

t,3st,2s运动的轨道方程;(2)地的位矢;(3)第2内位移

t,2s时速度和加速度;(5)时刻t的切向加速度和向加速

所在处轨道的曲率

解:(1)由运动方程消去t，得道

2x 1y,,

t,3s(2)时的位矢，大小为r(33),x(3)i，y(3)j,9i,8j

y(3)|r(3)|,81，64,12ma,arctan,,41:38,，方向

x(3)

示。

(3)第2内的

,y|,r|,9，9,32mv小，方向与与轴成，平均速度xa,arctan,,45:

,x,yvx,yv,,v,的大小不能用表示，但它的分量表示

dxdy(4)由 v,i，j,3i,2tj,当时,

dtdt

v(2),3i,4j,

,4,1大小。 v(2),9，16,5m,s,方向为a,arctan(),,53:8,

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dv a,,,2j

,1a,a,,2m,s,沿y轴负方向.为恒

222(5)由质点在t时刻的速度，得切向加速度v,v，v,9，4txy

6dv4t22a,a,a,a,,，法向加速度。 ,n,22dt9，4t9，4t

dvdvdvdv注意:，因为表示速度大小随时间的变率，而

dtdtdtdt

度对时间变率的模，切向加速度是质点的(总)加速度一部

分量，其物意义是描述速度大小的变化;法向加速度则描速度方

2v(6)由a,,t,2s时所求的率

2|v(2)|25 ,,,,20.8m

a(2)1.2n

例1—2 一质点沿轴作直线运动，其加速度为时，

,1v,12m,s以的速度通过坐标原点，该点

2解 v,adt，c,6tdt，c,3t，c111,,

因为 t=2时, v=12，

23 又x,vdt，c,(3t)dt，c,t，c222,,

x,0因为 t=2时, ，故 c=,8， 2

3x,t,8m

例1—3 例1—3图所示，一弹簧B的右端固定，左端与小球A连接，自然放置在光滑水平面上，因到来自左方的突然打击，使小球获得平向右初速度v，此小球加速度与离开始位置O 的位

为正常数，(1)小球速度与位移x的函数关系:(2)小

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解本题明确给出初始条件，但初始条件可任给定，

始位置的时刻

dvdvdxvdv(1)由两边积分a,,,x,,,,

dtdxdtdx

22vxvv120,,,,x,，得 vdv,,,xdx,,0v0222

22即 v,v,,x0

dxdxv,,有,dt(2)由 22dt,v,x0

xtdx,dt两边积分 ,,2200v,,x0

,,xxdxx1用积分公式，运,arcsin,

v0x,sin,t动方程为，即小球在O点近

3例1—4 质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为为正常数。

t,?切向加度和法向加速度;(2)加速度;(3)时加速度与

a,a时质点转了多少

dsd,2v,,R,,3Rbt解由得

dtdt

2dvv24a,,,6Rbt,a,,9Rbt(1); ,ndtR

2226(2)， a,a，a,3Rb4，9bt,n

3a3btn,arctan,arctan(,);与切

2a,

21/3a,|a|,得t,()(3)令; n,3b

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21933,,7,btt,,得,,,(4)在运动

3b3

,19N,,,1rev，

,,26

例1—5 火车停止时窗雨痕向前倾斜角，火车以速率前进时窗上雨痕向后倾v,01，火车加快以另一速率前时窗上雨向后倾斜角，求

v,v,v,v，(,v)解设雨对速度为，则当车以前进时，，当车以

v,v,v,v，(,v)，根据以上两式可作出例1—5图，若以竖直下为

y正向，火车前进方向为轴

,,cos,cos (1)vv,0011

,,cos,cos (3)vv,0022

v,v,v联立上面四式，消除得 01雨车2雨车

,,1，cottanv011,

v1，cottan,,202

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