宜章县 http://www.423000.net/

在学习高中数学过程中，学生对向知识的学习、应用，有助于其更地理解数学和生活以及其它学科间

等数学与高等数学的衔接点之一，向量是不等式、析几何以及三角数等多种数学知识的交汇.如果合理地将向量应用在线性规、几何、函数以及不等式等各数学问题中，可以充分发挥向量直观、简明的特，进一步降低学生求的度，对学生解题起到极

一、向量在线性规划中的应用

根据向量的量积，将似z=ax+by的目标函数当作

AM=(a，b)，向量AB=(x，y)的数量积，假设|AM|是定值，

AN在向量AM方向上的影的非零常数倍.所以，投影最值点即

例1 假设z=x+4y这个式子中量x、y满足下面下面三个件:?x-8y1，求z的

解:设N(x，y)是

AM?

AN

，通向量数量积的几何意义可

当N(x，y)处于O(2，4)时，z=x+4y的最

当N(x，y)于P(2，18)时，z=x+4y的最小值

二、向量在几何问题中的应用

1.向量在平面几何中的应用

我们把具有大小和方向的量叫做向量，向量的大小做向量的长度或模.和向量相关的还有相等向量、零向量、共线向量.对于向量(a，b)(b?0)，a?b的充要条是

例2 已知?AOM的三个顶分别是A(0，-2)，O(2，0)，M(-3，1)，点B、C、D分别是AO、AM、OM上的点，求直

解析:

根据上述三角形三个顶点的坐标A(0，-2)，O(2，0)，M(-3，1)，可以得出中点B、C、D的标分别是(1，-1)、(-32，-12)、(-12，12).假设G(x，y)是直线BD的一点，因为DG?DB，则就可以求出BD的方.同理，可以求出BC、CD在直线的方程.通过量分析各几何元素之间关系，进一步将上述问题转变线向量、直线向的问题，进一步就能得出BC、CD

2.

立体几何是高中数学教学中的重点，同也是难点之一，由于空间图形的复性、多变性，要学生有较的空间想象能力、逻辑推理能力等，对于大多数学生来说比较难学.而将向量法运用在立几何题中，可以让复杂的几何问题简单化，让生快速找到问题答案，尤其是在空间想象力不时，尝试建立直角坐标，可将立体几何问题转化为数形式，使立体何问题变得简单易求，从而出解

图1

例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1，如图1所示，知E是棱DD1的中点，问是否在棱C1D1上存

和平面A1BE平行,如存在则证明该结论，要求用向量法

解:将点A当作坐标原点，建立坐标系，假设正形棱长是2，那么B为(2，0，0)，点E为(0，2，1)，点B1

所以BE=(-2，2，1)，而BA1=(-2，0，2).

假设面BEA1的法向量是m=(x，y，z)，那么m

?BE=-2x +2y + z =0并且m?BA1=2x+2z，如果x=1，那么z=-1，y=32，得出

m=(1，

32，-1).

如果在棱C1D1上面存在一点M，且B1M?平

?BM=1×(xa -2)-

32×2-(-1)×2=0，通过算可知xa=1，故M为C1D1中点时，可得出B1M?

三、向量在不等式中的应用

在求解不等的过程中，如果合理应用向量法，则会起到事半功

求

c2+d2不等式问题，可构造出向量的和与差，再利用向量的

|a|-|b|?|a?b|?|a|+|b|进

例4 设a、b?R+， p、q满足p2 +q2=1， 求证:

(ap)2+(bq)2+

(bp)2+(aq)2?a+b.

证明: 设

(ap)2+(bq)2

+(bp)2+(aq)2

=|m|+|n|?|m+n|=p2(a+b)2+q2(a+b)2.

即(ap)2+(bq)2+

(bp)2+(aq)2?

(p2+q2)(a+b)2.

因a、b?R+，p2 +q2=1，

故(ap)2+(bq)2+

(bp)2+(aq)2?a+b.

通过向量法进行求解要比两点之间的离公式、利用角代换等方法都要单.这种方法构思新颖、巧妙，可以向学生展示出整数学建模过程.也就是问题?建模?原，这三个步，分发挥出向量的工

向量本身具有几何形式与代数形式的双重身份，故其是数和几何之间联系重要纽带，在线性规划、平几何、立体几何、不等式及三角函数的题均有一定的价值.在高中数学学中，引导生运用向量知识去解复杂的数学问题，既有助于培养学生灵运用识的力，又可以提高学

高中数学中点弦问题的解题方法

高中数

会泽县

解析几何中与圆锥曲线的的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点问题。“中点弦”问题是一类

一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦题的方法有）： 第一种方法：联立消元法即联立直线和锥曲线的方程，助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的

第种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥线方程并对所得两式作差，到一个与AB的中点和斜率有关的式子， 以大大减少运算量。我称这种代点作差的方

第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆图形的中心中心，按比例缩图形，则一定存在同类的、椭圆等与弦AB点M相切（如下图）。此时缩小

2

2

2

x2

ta2

±

y2

tb2

=1，

两边对x求导，可发并不改变原方程导的结果。因此，利用导

二、题型示例

题型一 以定点为中点的弦所在直

x2y2

+=1内一点M(2,1)引条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在

164

的方程。

解法一：设直与椭圆

M(2,1)AB的中

又A、B两点

两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

2

2

2

2

2222

∴

y1-y2x+x41

=-12=-=-

x1-x24(y1+y2)4?22

11

，故所求直线

法二：由题意知求中点弦斜

即kAB=-

?y-1=k(x-2)?2

消去y得 ?xy2

=1?+

?164

例2.已知双曲线方程

，求以A（2，1）为中点的双曲线

的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作线，使与所给曲线交于P、Q两点，点B是弦PQ的点？这样的直线如果存在，求它的方程；果

（1）以A（2，1）为中点的弦的斜

（2）以B（1，1）为中点的弦的斜

即

。

，所以所中点弦所在直，所以所求中

两边求导，得

但与双

因此直线与曲线无交点，所以满足条件的直

，无实根。

注意：（1）求的方程只满足了必要性，还必须验证其充分

与双

例3．已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 ．

解析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?

?x-y=2

2

?y=4x

得y2-4y-8=0，从而

y1+y2=4,x1+x2=y1+y2+4=8，因此，线段AB的中点的坐

例4.过圆O:x+y=4内一M(1,1)引一条弦，使弦被M平分，求

2

2

方程。

题型二 定点的弦和平行弦的中点坐标

x2y2

+=1，直线l过P（1,1）椭圆C于A、B两点，求AB中点M例5.

的轨迹方程。

分析：此题涉及到弦AB的中坐标，且弦的斜率等MP的斜率。故采用“点差法”。

22??3x1+4y1=12

?3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0 ?22

??3x+4y2=12

?3x+4y?

y1-y2y-1

=0?3x+4y?=0?3x(x-1)+4y(y-1)=0

x1-x2x-1

∵点P在椭圆部，直线l与椭圆恒有两个交点，∴点M的

3x(x-1)+4y(y-1)=0

题型三、锥曲线上两点关于某直线

x2y2+=1，确定的m取值

有不同

解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2

的中点，则3x1+4y1=12，3x2+4y2=12

2

2

2

2

3(x1-x2)+4(y1-y2)=0

即3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

2222

x1+x2=2x，y1+y2=2y，

y1-y21

=-

x1-x24

∴y=3x 这就是弦P1P2中点P

它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内

联立?

?y=3x?x=-m322

，得? 则必须满足y<>

4?y=4x+m?y=-3m

3222m，解得- <><>

2

即(3m)<>

题型

x2y2

P是例7.已知AB是椭圆2+2=1(a>b>0)不垂直于x轴

abAB的中点，O为椭圆中心.求证：直线AB和直线OP的斜

证明

设A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2，

x12y12x22y22

则2+2=1，（1）2+2=1，（2） ababx12-x22y12-y22

(1)-(2)得：2=-2，

ab

b2(x1+x2)b2(x1+x2)y1-y2y1-y2

，∴kAB=. ∴=-2=-2

x1-x2x-xay1+y2ay1+y212又kOP

y1+y2b2b21

，∴kAB=-2?，∴kAB?kOP=-2（

ax1+x2akOP

题型

例8.如图，在Rt?DEF

5

，椭圆C：2

x2y2

+=1，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。 a2b2

（Ⅰ）

（Ⅱ）若点K满足OK=

1

ED.，问否存在不平行于EF的直线l与椭圆C

两点M、N且|MK|=|NK|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不

1x2y2

+=1，K(0, 解：（Ⅰ）略；

243

（Ⅱ）

设MN的

涉及到弦MN的中点及弦MN设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0)，直线l

2

2

2

2

则3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0?3x0+4y0k=0 又∵||=||，

KH⊥MN，∴

2

2

y0-

1

?k=-1，

0000

2x0

xy1112

则0+0<><><><>

43422

作者介：杨顺武，男，1969年2月出生，会泽待补人，中学高级教师，国家数学奥匹克二级教练员。 92年7月毕业于靖师范专科学校数学系数学专，本科学历，中共党员。论文《学习中的纠错策略》荣省级一等奖。《数学解题中的几种见错误》荣获省级一等奖。《圆锥曲线的四心》荣获省级二等奖。以上三篇论文的奖单位均为云南省教育科学院；《培养学生直觉思维能力的策略》获《云谐教育论文》评优赛二等奖。《谈考数学规范化解题》荣获《云南和谐教育论文》优竞一等奖。论文《谈高考数学规范解题》发表在《云省教育教学论文精选》一书中。论文《球接问题的解题方法》发表在试指南报2013年第332期第6版上。教育教学中努力做了自我教育，自约，主动研究，自我提高，完善我。做到处处关心爱护学生，和学生建立“忘年交”，与们做相印

好用的高中数学椭圆解题方法

一些好

一、设点或直线

做题一般都需要点的坐标或

,

等,如果是在椭圆

上的点,还可以设为

。一般来说,果题目中涉及到唯一一个椭圆上的的动点,

。还要注意的,很多点坐标都是设而不求的。对于一条直

并且不

, 如

,如果

,其中 α是直的倾斜角。般题目中涉及到唯一动直线时可以设直

二、转化条件

有时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的, 时候就需要这些条转化 一下。 对于一道题来这是至关重要的一步,如果转化得巧,可极地降低运算量。 比 如点在圆可以转化为向点乘得零, 三点共线以转化成两个向平行, 某个角的角平分 线是条水或竖直直线则这个角

有的题目可能不需要转化直接带条件解题即可,有的题给的条件可能有多种化方式, 这时最好先别急着做题,多想种转化方法,

三、代数运算

转化完条件就剩算数了。 很多目都要将直线与椭圆联立便使用一元二次方程的达定理, 但要意并不是所有题目都是这样。有的题目可

,设参

解析几何中有时求面积,如

和

, AB 与 x 轴交于 D ,则

(d是点 O 到

AB 的距离;第三个

)

。

解析几何中很题都有动或动直线。 如果题目只涉及到

可以

若是只

题目中

这时设

在解析几何中还有一种方法叫点法, 设椭圆上两个点坐标, 将两点在椭圆的方程相减, 整理即可得到这两点的中点横纵坐标这

四、能力要求

做析几何题, 首先对人的耐心与信心一种考验。 在做题过程中可能到会一大长串的 子要简, 这时候, 只要你方向没错,坚持算下去肯定能看到最终的结果。 另外运算速和 准确率也是很重要的, 在真正考试的时肯定不像平时做的时候能容你慢慢做题, 此需 要有一定的做速度, 在做题的时候运算确也是须要证的, 因为一旦算错数, 就

五、理论拓展

这一部分主

关于直线:

1、将直的两点式整理后,可以得到这

。据

和

两点的直线, 至于这两点连线否与 x 轴垂直, 是与 y 轴垂直都没关系。 对于一坐标 很复杂的点,可以直代入这个程

2、直线一般式 Ax+By+C=0表示的这条直线和向量(A,B )垂直;过定点

的直

。根据这两推论可以快速地写出两点的垂直平

关于椭圆:

3、椭圆

的焦点弦弦长为

(其中 α是直的倾斜角, k 是 l 的斜率)。右焦点的焦

,将横纵标都取相反数可得左焦点弦的

4、根据椭圆的第二义, 椭圆上的到焦点的距离与到同一侧准线的距离之商等于椭圆

的准线是

。

上给出的几个内容大都是教材中没有的, 但这不代表这些东西在考场上不能。 比如前两 条容,用时候稍稍变换一下,老师也不一定知你是在套结论。如果想用第三条的话, 可以装模作样算, 实际上再套用结论, 估计老师也未必看出来。 至于 4个内, 直 接用有一风险,如果用上能解题话, 不到山穷水尽也最好还别用。这些论, 都能 或多或少地减小

下面看几道题。建议大家看解题过程之前最好先

就算不做一定要看啊,里面涉及到有好

例 1

例 2

例 3

例 4例 5

高中数学解题思想方法定义的诠释

高中

高考试题主从以下几个方面对数学思想方法

① 常用数学方:配方法、元法、待定系数法、数学归纳法、参数

② 数学逻辑法:分

③ 数学思维方法:观察与分析、概与抽象、析与综合、特殊一般、类比、归纳和演绎; ④ 常用数思想:函数与方程思想、数形结思想、分类

一 、 配方法

配法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全方”)的技巧,通配方找到已知和未知的 联系, 从而化繁为简。 何时配, 需要我们适当预测, 并且理运用 “裂项” 与 “添项” 、 “配” 与 “凑” 的技,而完成配方。有时也将

最常见的配方是进行恒等变形,使数学子出现完全平。它主要适用于:已知或者未知中含有二 次程、二次不等式、次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项二次曲线的平移

配方法使用的最基本的配方依是二项完全平方公式 (a+b) 2=a 2+2ab +b 2,将这个公式灵活 用,可到

a 2+b 2=(a+b) 2-2ab =(a-b) 2+2ab ;

a 2+ab +b 2=(a+b) 2-ab =(a-b) 2+3ab =(a+ b

2

) 2+(

2

b ) 2;

a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca = 1

2

[(a+b) 2+(b+c) 2+(c+a) 2]

a 2+b 2+c 2=(a+b +c) 2-2(ab+bc +ca) =(a+b -c) 2-2(ab-bc -ca) =? 结合其它学知识和性质,相有另外的一些

1+sin2α=1+2sin αcos α=(sin α+cos α) 2;

x 2+ 1

2

x

=(x+

1

x

) 2-2=(x-

1

x

) 2+2 ;?? 等等。

二、换元法

解学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去替它,从而使问题到简化,这叫换元法。 元的实质是转化,关键是构造元和元,理论依据是等量代换,目的变换研究对,将问题移至新 象的知识背景中研究,从而使非标型问标准化、复杂问题简单

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进的变量,可以把散的条件联系起来,隐含条 件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或变为熟悉的

它可以化高次为低次、化分为整式、化无理式为理式、化超越式为数式,在研方程、不等 式、函数、数列、三

换的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又整体换元,在已知者未知中, 某个代数式几出现,而用一个字母来代替它从而简化问,然有时候要通过变形才能发现。例解 不等式:4x +2x -2≥ 0,先变形为设 2x =t (t>0),而变熟悉一元二次不等式求解

三换元,应用于去根号,或者变换为三角形易求时,主要用已知代数式中与三

2 ], 问题变成熟悉的求三角函值域。为什么会想到如此,其中主要应该是发现值

号的需要。如变量 x 、 y 适合条件 x 2+y 2=r 2(r>0)时,则可作三角

均值换元,遇到 x +y =S 形式时,

S

2

+t , y =

S

2

-t 等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、利于标准化原则,换元后要注新变量范围的选取, 一定使新变量范围对应原变量的取值范围, 不能缩小也不扩大。 如上例

2 ]。 三、待定系数法

要定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根所给条件来确定这未知系数的方法叫待 定数法,其理论依据是多项式恒等,也利用了多项式 f(x)≡g(x)的充条件是:对于一个任 的 a 值,都有 f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类

待系数法解题的关键是依据已知,正确列出等或方程。使用待定系数法,就是把具某种确定 形式的学问题,过引入一些待定的数,转化为方程组来决,要判断一个问题是否用待定系数法 求解,主要是看求解数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如具有,就可以用待系数法求 解。例如分解因式、拆分式、数列求和、求函式、求复数、解析几何中求曲程等,这问题 具有确定的数学表达形式,所都可

使用待

第一步,定所求问题含有待定系数

第二步,根恒等的条件,列出一组含待定系

第三步,解程组或者消去待定系数,从而使问

如何列出一含待定系数的方程,主要从以下几方

① 利 用对应系数相等列方程;

② 由

③ 利 用定义本身的属性列方程;

④ 利 用几何条件列方程。

比在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求程:首先设所求程的形式,其中含有待 的系数; 再把几何条件转化为含求程未知系数的方程或方程组; 最后解得的方程或方程组求出 未知的系数,并把求出的系数代已经确的方程形式,得到所

四、定义法

所定义法,就是直接用数学定义解题。学中的定理、公式、性质和法则,都是由定义公理 推出来。定义是示概念内涵的逻辑法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来确念。 定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和示了客观世界的事物的本质特。简单地说, 定是基本概念对数学实体的高抽象。定义解题,是最直接的方法,

五、数学归纳法

归是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。 归纳推分完全归纳推理与不全归纳推理两种。 不完全纳推理只根据一类事物中的部分对象具的同性质,推断该类事物全体都有的性质, 这种 推理方法, 在学推理论证中是允许的。完全归纳推是在察了类事物的全部对象

数学归纳法是用来证明某些与自然有关的数学题的一种推理法,在解数学题中有着广的应 用。 它一个递推的数学论证方法, 证的第一步证

) 时成立, 这是递推的基础; 第二步是假在 n =k 命题成立,再证明 n =k +1时命题也成立,是限递推下去的理论依据,它 判断命题的正确性能否由特殊推广到一,实际上它使命的确性突破了有限,达

骤密切相关, 缺不可, 完成这两步, 就可以断定 “对任何自然数 (

且 n ∈ N ) 结论都正确” 。 由这两步可以看出,数归纳法是由递推实现归纳

运用数学归纳法证明问题时,关键是 n =k +1时题成立的推证,此证明要具有目标意识,注意 与最终要达到的解题标进行分析比较,以此确定和调控解的方向,使差逐减小,最终实现目

运用数学归纳法,可以证下列问题:与自然数 n 有关的恒等、代数不等式、三角不等式、数列 问题、几何

六、参数法

参法是指在解题过程中,通过适当引入一些题目研究的数对象发生联系的新量(参数), 以此作为媒介,进行分析和综合,从而决问题。直线与二次曲线的参数方程都用参数法解题的 。换元法也是引入

辨唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰多采的,科学的任务是要揭示事 物之间的内在联,从而发现事物的变化规律。参数的作用刻画事物的变化状态,揭示变化素之 间的内联系。参数体现了近代学中运动与变化思想,其观点已经渗透中学学的个分支。运 用参数

参数法解题的关键是恰好处地引进参数, 沟通已知和未知之间的内

七、反证法

与面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一,是从反面的角度思考问题的证明方法, :肯定题设而否定结论,从而导出矛推理而得。法国数学家达玛 (Hadamard)对反证法的实质作过 概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,会导矛盾”。具地讲,反证法就是从否定命题的结论 入,并把对命题结论的否作为推理的已条件,进行正确的逻辑推,使之得到与已知条件、已 公理、定理、法则或者已经证明为命题等相,矛盾原因是假设不成立,所以肯定了命题结 论,

反法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一维过程中,两个互相矛盾 的判不能同时都为真,至少一个是假的,这就是逻辑维的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不 能同都假,简单地说“ A 或者 A ” ,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到 矛盾的判,根据“矛盾律”,这矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已公、定 理、法则或者已经明为正确的命题是真的,所以“否定的结论”假。再根据“排中律”,结论 与“定的结论”这一对立的互相否定的断不能同,必有一真,是我们得原结论必为真。 所以反证法是以逻辑思维的基规律和理

反法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定论开始,经过正确无误 的推理导致逻辑矛盾,达到新的否,以认为反证法的基本思想就“否定之定”。应用反证法证 明的主要三是:否定结论 → 导矛盾 → 结论成立。

第一步,设:作出与求证结论相反

第二步,归谬:将反设作条件,并由此通过一系列的正确

第三步,结:说明反设不成立,从而肯定原

在用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则不是反证法。用反证证题时,如果 欲证明的命的方面情况只有一种,那么只要将这种况倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”; 如果结论的方面情况有种,那么必须将有的反面情况一一驳,才推断结论成立,这种证

在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾说过:“反法是数学家最精的武器之一”。一般来讲, 反证法常用来证的题型有:命题的结论以“否定式”、“至少”或“至多”、“唯

形式出现的命题;或者否定结论明显。具体、简单的命;或者直接证明难以手的命题,改变思 维方向,从结论入手行反面思考,

第二章 高中数学常用的数学思想

一、

中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹的知识,如数、代数式、方程(组)、不等式(组)、 函等;一类是关于纯粹的知识,如平面几何、立体几何等;类是关于数形合

数结合是一个数学思想方法,包含“形助数”和“以数辅形”两个方,其应用大致以分为 两种情形:或者借助形的生动和观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,为目,比如应用 函数的图像来直观地说函数的性质;或是借助于数的精确性和规严密性来阐明形的某属性, 即 以数作为手,形作目的,如应用曲线的方程来精确

恩斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系空间形式的科学。”数形结合就是根据数问 题的条件和结之间的内在系,既分析其代数义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间 形式的直观形象巧妙、和谐地结在一,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化为易、化繁 为简,而得到解决。“数”与“形”是一对盾,宇宙间万物无不是“”和“形”的矛盾的统一。 华先生说过:数缺形少直观,形少数时难入微,数形合百般

数结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与观的图像结合起来,关键是代数问题与形之间 的相互转,它可以代数问题几何化,何问题代数化。在运数形结合思想分析和解决问题时,要 注意三点:第一要底明一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特,对数学题目中的件和结 论分析其几何意义又分其代数意义; 第二是恰设参、 合理用参, 建立关, 由数形, 形想数, 做好数形转化;第是正确

数学中的知识,有的本身就可以作是数形的结合。如:角三角函数的定义是借于直角三角形 来定义的;任意角的三角函是借助于角

二、

在答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求,然后综合 得解,这就是分讨论法。分类讨是一种逻辑方法,是种重要的数学思想,同时也是一种重要的解 题策略,体现化整为零、积零为整的思想与归类整理的方。有关分类讨论思的数学问具有明 显的逻辑性、综合性、探索性,能训人的思维条理性和概括性,在高考试中占重要的位置。 引起分类讨论原因

① 问题所涉及到的数学概念分类进行定义的。如 |a|的定义分 a>0、 a =0、 a<0三种情况。这种分>

② 问题中涉及到的数学定理、公式和算性质、法则范围或者条件限,或者是分类给出的。如 比数列的前 n 和的公式,分 q =1和 q ≠ 1两种情况。这分类讨论题型可

③ 解含有参数的题目时,必根据参数的不同取值范进行讨论。如解不等 ax>2时 a>0、 a = 0和 a<>

另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形或位置、不确定的结论等,都要通过分类讨论, 保证其完

进行分类讨论时,我们要遵循的则是:分类的对象是确定,标准是统一的,不遗、不重复, 学地划分,分清主次,不越讨论。其中重

解分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先确定讨论对象以所讨论对象的全体的范 ;其次确定分类标准,正确进行合类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(有重复);再对所 分类逐步进行论,分级进行,获取段结果;最后进行归纳小

三、

函思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解问题。方程想,是问题的数 量关系入手, 运数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (程、 不等式、 或方程与不等的混合组) , 然后通过解方程(组)或不等式(组)使问题获解。有时,还实函数方程

笛尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和等 式。我们知道,里有等式,里就有方程;哪里公式,哪里就有方程;值问题是通过解方程来实 现的??等等;不等式问题也与方是近,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区,如函 数 y =f(x),就以看作关于 x 、 y 的二元方程 f(x)-y =0。可以说,函数的研究开方程。方程、 解方程和研究方程的特性,都是应方程

函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通提出问题的数学征,建立函数关系型的数 模型,从而进行究。它体现了“联系和变化”的辩唯物主义观。

而利用函数的性质解题,经常利用的性质:f(x)、 f 1(x)的单调性、奇偶性、

值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次数、二次函数、幂函数、指数函数、数函数、三角函 的具体特。在解题中,善挖掘题目中的隐含条,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用 函数想的键。 对所给的问题观察、 分析、 判断较深入、充分、全时, 才产生由此及彼的联系, 构造出函数原型。另,方程问题、不等式问题和某数问题可以转为与其相关的函数问题,即 函数

函知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理性都有一定的要求,所以是高考中考查 的重。我们应用函数思想几种常见题型:遇到变量,构造函关系解题;有关的不等式、方程、 最小值和最大值之类的问题, 利用函数观点加以分析; 含多量的数学问中, 选定合适的主变量, 从而揭示其的函数关系;实际应用题,翻译成学语言,建立数学模型和函关系式,应用函数性 质或等式等知识解答;等差、等比数列中,项公式、前 n 项的公式,都可以看成 n 的函数,列 问

四、

等转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题一种重要的想方法。通过不断 的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚模法、简单的问题。历年高考,等 转化思想无不见, 我们要不断培和训练自觉的转意识, 将有利于强化解数学题中应变能力, 提高思

转有等价转化与非等价转化。等价转化求转化过程中前因后果是充分要的,才保证转后的 果仍为原问题的果。非等价转化过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如理方程化 有理方程要求验根),它能人带来思维的闪点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要意 转化的等价性与非等价的不要求,实施等价转化时确保其等

著的数学家,莫斯科大学教授 C.A. 洁卡娅曾在一向数学奥林匹克参者发表《什么叫解题》 的演讲提出:“解题就是把要题转化为已经解过的题”。数学的解题程,就是从未知已、从 复杂到简单

等转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化思想方法去解决数学问题时, 没有一个统一的模式进行。它可以在数与数、与形、数与形间进行转换;它可以在宏观进行等 价转化,如在分析解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实 转换,即所说的恒等形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围题等等,都体现了等价转化 想,我们更经常在函数、方程、不等式之进行等价转化。可以说,等价转化将恒等变形在代数式 方面的形上升到保题的真假不。 由于多样性和灵活性, 我们要合理地设计好转的途径和

在学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简化、直观化、标准化的原则,即把我们遇 到问题,通过转化变成们比较熟悉问题来处理;或者将较繁琐、复杂的问题,变比较简单的 问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从式到式?等;或比较难以解决、比较抽象 的问题,转化比较直观的问题,以便确把握问题求解过程,比如数形结合;或者从非标准型向 标准进行转化。按照这些原则进行数学操,转化过程时省力,如顺水推舟,经常渗透等价转化 思,可以

第三章 高考热点问题和解题策略

数高考坚持以“两个有利”(有利高校选新生、有利中学教学)为指导思想,严格遵循“考试 明”的定,内容上不超纲,能力上不超规定次(了解、理解和掌握、灵活和综合运用),在考查 基(基础知识、基本技能、基本技巧)和四种能(逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分 和解决问题的能力)同时,侧重考查教材中的主要容、数思想法和应用意识,特别是突出考 数

函数平均每年占高考总分的 13.8%,考的知识背景为幂、指、对及一般函数的概、定义域、值 、反函数;函数的性质、函数单调性、偶

三角函数平均每年占高考分的 12.6%,考查的知识背景是三角函数概念、性质、以及有关公式

解(证)不等式平均每年占考总分的 11.2%,考查的知识背景不等式的性、定理;立几、数 列中的最值问

数列、极限和数学归纳法平每年占高考总分的 13.8%,考查的识背景为等(比)数列的概念 与计算公式;

线面间的位置关系平均每年高考总分的 11.8%,考查的知识背为线面间的平、垂直性质与判 定及有关概念。

圆锥曲线平均每年占高总分的 11.7%,考查的知识背景为圆锥线的定义、性质及解几中的

1993年— 1999年高考试题中, 常用的数方法几乎每年考, 常用的数学思想方法查的频率明显 提高,探索性能力题年年考,对应用性题的考查力度断大,阅读理解

今高考命题,选择题继续保持 14个题量,仍分为 1-5题,每题 4分, 6-14题每题 5分,但适 降低最后 2-3的难度,控制语言的抽象水平。填空题保持 1997-1999年水平,共 4个题左右,题 4分,难度将为中等题,以计算题为主,计算量仍不会加大。相比 99年高考, 2000高考适当 低试卷的难度, 进一

进一步注重通性通法的考查,继续 出主体内容(函数、方程、等式、数列和圆锥曲线等) ,淡 化某些不升温的知识(递推数列、复数立体几何等),

应用题将适当控制对建模能力难度的考, 减少普通言转译为数学语的难度, 既注意贴近生活, 又注意靠近课本。 探索性综合题和信息迁移题不可能加难度, 如列合题仍以归纳猜

一、应用问题

应用问题的 “考试要求” 是考查考生的应意识和运用数学知识与方法来析问题解决问题的能力, 这

1、 要求考生关心国家大事, 了解信息社会, 讲究联实际, 重视数学在生、 生活及科学的应用, 明确“数学有用,要用数学”,

2、考查理解语言的能力,要求考生能够从普通言中捕捉信息,普通语言转为数学语言,以数 学语言为工

3、考查建立数学型的初步能,并能运用“考试说明”所规定的数学知

对用题, 考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问的能力上。 实际问题转化为数学问题, 关键是高阅读能力即数学审力,审出函数、方程、不等式、等式,要我们读懂材料,辨析文字 叙述所反应的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,抽象其中的数量系,文字语言叙述 译成数学式符号语言, 建立对应的数学模解答。 可以说, 解答个应用题重点过三关:一是事理关, 懂题意,需要一定的阅读理解能;二是文理关,即把文字语言化为数号语言;是数理 ,即构建相应的数学模型,构建之后还需扎实的基

求解应

1、读题 :读懂和深刻理解,译为数学语言,找

2、建模 :把主要关系近似化、形式化,抽象

3、求解 :化归为常规问题,选择合适的数学

4、评价 :对结果进行验证或评估,对错加以调节,最将结果应用于现实,作出解释或验证。 在近几年考中,经常涉及的数模型,有以下一些类型:数列模型、数模型、不等式型、三 角模型、排列

二、探索性问题

近来,随着社会主义经济建设的迅速发展,要求学校“应试教育”向“素质教育”转化,培养 面发展的开拓型、创型人才。在种要求下,数学教学开放型问题随之产生。于,探索性问题 成了近几年来高考命题中的热点问题,它既是高等校高素质人材的需要,也是中学数学教学培养 学生具创造能力、开拓能力的务所要求的。实际上,学生在学习数学识时,知识的形成过程也是 观察、分析、归纳、类比、猜想、、推证的索过程,探索方法是学生应该学习和掌握的,是今

一地,对于虽给出了明确条件,但没有明确结论,或者结论不稳定,需要探索者过观察、分 析、归纳出结或判断结论的问题(探索结论);或者给出了问题的明确结论,但条件不足或未知, 需要解题寻充分条件并加以证明的问题(探索条件),为探索性问题。此,有些探性问题也 可以改变件,探讨结论相应发生变化;或者改变结论,探讨条应发生变化;或者给出一些实 际中的数据,通过

探索性问题一有以下几

猜归纳型问题是指在问题没有给出结论时,需要从特情况入手,进行猜后证明其猜想的一般 性论。它的思路是:从所给的条件出发,过观察、试验、不完全归纳、猜想,探讨结论,然后再 利用全归纳理论和求对结论进行证明。主要

存型问题是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的式出,其结果 可能存在,需要找来,可能不存在,则需要说明理由。解答一问题时,我们可以先假设结论不存 在,若推论无盾,则结论确定存在;推证出矛盾,则论不存在。代数、三角、几何中,都以出 现此种探讨“是

分类讨论型问题是指条件或者论不确定时,把所有的情进行分类讨论后,找满足条件的条 或结论。此种题型常见含有参数的

探性问题,是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型,正确运用数学思想法是解决这类 问题的桥梁向导,通常需要综合运用归纳与猜想、函与程、数形结合、分类讨论、等转化与非 等转化等数学思想方法能得到解决, 们在学习中要重视对这问题训, 以提高我们的思

三、选择题解答策略

近年来高考数学试题中选择题稳定在 10~12道题,分值 60分。高考选题注重个知识点的小 型综合,渗逶种数学思想和方法,体现基础知识求深度的基考能力的导向 ; 使作为中低档的选 择题为具备较佳区分度的基题型。因此能否在择题上获取高分,对高考学成影响大。解答 选择题的

准确是解答选择题的先决条件。择题不设中间分,一步误,造成错选,全题无。所以应仔细 审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初

迅是赢得时间获取高分的必要条件。高考中生不适应能力的考试,致使“超失分”是造成 低分的一大因素。对于选择题的答题时间,应该控制在不超过 50分钟左右,速越快越好,高考

选题主要考查基础知识的理解、基本技的熟练、基本计算的准确、基本方的运用、考虑题 的严、解题速度的快等方面,是否达《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的求。 历年高考的选择题都采用的是“四选”型,即选择项只有一个是正确的。它包括两部分:题干, 由一不完整的陈述句或疑问句构;备选案,通

选题的特殊结构决定了它具有相应的特殊用与特点:由于选择题不需写出运、推理等解答过 程,在试上配有选择题时,可以增加试卷容量,扩大考查知识的覆盖面;阅卷简捷,评分客观,在一 定程上提高了试卷的效度与信度;侧重于考查生是否能迅速选出确答案,解题手段不拘常规, 利于考查学生的选、判断能力;选择支中往往包学生常的概念误或运算、推理错误,所有有

一地,解答选择题的策略是:① 熟练掌握各种基本题型的一解法。② 结高考单选择题的 结构(由“四选”的指令、题干和选择项所构成)和不要求写题过程的特点,灵活运用特例法、 筛选法、图法等选择题的常用解法与巧。③ 挖掘题“个性”,寻求简便解,充利用择支 的暗示作用,迅

一、直接法:

二、特例法:

三、筛选法 :

四、图解法:

四、填空题解答策略

填空题是一种传统的题型,也是高试卷中又常见题型。近年高考,都有一定数量填空题, 且稳了 4个小题左右,每题 4,共 16

填题又叫填充题,是将一个数学真命题,成其中缺少些语句的不完整形,要求学生在指定 的空位上,将缺少的语句填写清、准确。它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是个

根据填空时填写的内容形式,可以将填空题分

一是定量型,要求生填写数值、

值域、最大值或最小值、线长度、角度大小等。由于填空题和选题相比,缺选择支的信息,所 以高考题中数

二是定性型,要求填写的是有某种性质的对象或填写给定的数学象的某种性质,如:给定二 次曲线的准线方程、焦

填题不要求学生书写推理或者演算的过程,只要求直填写结果,它和选择题一样,能够在短时 内作答,因而可加大考试卷卷面知识容量,同时也可考查学生对数学概念的解、数量问题的 计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时,基本求就是:正确、迅速、合理、简捷。一般来讲, 每题都应力争在 1~3钟内完成。空题只要求填写结果,每题填对了得满分,填错了得分, 所以,考生在填空题上失分比选择题解答题严。我们很有必要探讨填空题的解答略和方

直接法就是根据数学概念,或者运数学的定义、定理、法则、式等,从已知条件出发,行推 理或者计得出结果后,将所得结论填入位处,它是填

二、特值代入法:

当填空题已知条件中含有某些不确定量,但题暗示答案可能是个定值时,可以将变量取些 特殊数值、殊位置、或者一种特殊情况来求这个定值,

高中数学解题的思想方法

高中数

美著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就味着要善于解题。而当我们解题时遇一个新问题，总想熟悉的题去“套”，这只是足于解出来，只有对学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新法、解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的查，特别是突出考能力的试，其解答过程都蕴含重要的数学思想方法。们要有意识地应用数学思想方分析问解决问，形成能力，提高数学素质，自己

高考试题主从以下几个方面对数学思想方法

① 常用数学方：配方法、元法、待定系数法、数学归纳法、参数

② 数学逻辑法：分

③ 数学思维方法：观察与分析、括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、

④ 常用数学思想：函数与方程想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（

数思想方法与数学基础知识相比较，它较高的地位和层次。数学知识数学内容，可以文字和号来记录和描，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法是种数学意识，只能够领会和运用，属于维的范畴，用对数学问题的认识、处理和决，掌握数学思想方，不是受用一阵子，而是受一辈，即使学知识忘记了，数学思想

数学思想方法中，数学基本方法是数学想的体现，是学的行为，具有式化与可操作性的特征，可选用作为解题的具体段。数学思想是数学的灵魂，它与学基本方法常在习、掌握数学知

可以说，“知识”是基础，“法”是手段，“思想”是化，提高数学素质的心就是提高学对数学思想方法的认识和用，数学素

为帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握题的思想方法，咱们就先介绍高中常用的数学本方法：配方法、换元法、待定系数法、数归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合、殊与一般法、类比与归纳法、观察与验法，再介绍高中常用的数学思想：函数与程思想、数形结合想、分类讨论思想、转化（归）思。最谈谈解题中的有关策略和

在一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三题组的形式现。再性题组是一组简单的选择填题进行方法的再现，示范性题组进行详细解和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨检查学习的效果，起到固的作用。每个组中习题的选取，又尽综合代数、三角、几何几个部分

一、配方法

从而化繁为简。何时配方，需我们适当预测，并且理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有

最常见的配方是进行恒等变形，使数学子出现完全方。它主要适用：已知或者未知中含有二方程、二次不等式、次函数、二次代数式的讨论与求，或者缺xy 项二次曲线的平

配方法使用的最基本的配方据是二项完全平方公(a＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得

a ＋b ＝(a＋b) －2ab ＝(a－b) ＋2ab ；

a ＋ab ＋b ＝(a＋b) －ab ＝(a－b) ＋3ab ＝(a＋ ) ＋（ b ） ；

a ＋b ＋c ＋ab ＋bc ＋ca ＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]

a ＋b ＋c ＝(a＋b ＋c) －2(ab＋bc ＋ca) ＝(a＋b －c) －2(ab－bc －ca) ＝…

结合其它数知识和性质，相应有另外的一些配

1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ；

x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。

二、换元法

解学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替它，从而使问得到简化，这叫换元法。元的实质是转化，关键是构造元和元，理论依据是等量代换，目的变换研究象，将问题移至新对象的知识背景中研究，从而使非标型问标准化、复杂问题简单

换元法又称辅助元素法、变量代换。通过引进的变量，可以把散的条件联系起来，隐的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或变为熟悉的

它可以化高次为低次、化分为整式、化无理式为理式、化超越式代数式，在研方程、不等式、函数、数列、三等

换的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换又称整体换元，是在知或者未知中，某个代数式次出现，而用一个字母来代替它从而简问，当然有时候要通过变形才能现。例如解等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变熟悉一元二次不等式求

三换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，要利用已知代数式中与三角知识中有某点联进行换元。如求函数y ＝ ＋ 的域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么想到此设，其中要应该是发现值域的联系，又有去根号的要。如变量x 、y 合条件x ＋y ＝r （r>0）时，可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角。 均值元，如遇

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准的原则，换元后注重新变量范围的选取，一要使新变量范围对于原变量的取值范围，不能缩小也能扩大。如上

三、待定系数法

要定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后据所给条件来确定些未知系数的方法叫待系数法，其理论依据是多项式恒等，也是利用了多项式f(x) g(x)的要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类

待系数法解题的关键是依据已知，正确列出式或方程。使用待定系数法，就是把有某种确定形式的学问题，过引入一些待定的数，转化为方程组来决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看求解数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如具有，就可以用待系数法求。例如分解因式、拆分式、数列求和、求函式、求复数、解析几何中求曲程等，些问题具有确定的数学表达形式，所都可

使用待

第一步，定所求问题含有待定系数

第二步，根恒等的条件，列出一组含待定系

第三步，解程组或者消去待定系数，从而使问

如何列出一含待定系数的方程，主要从以下几方

①利用

②由恒

③利用

④利

比在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法方程：首先设所方程的形式，其中含有待的系数；再把几何条件转化为含求程未知系数的方程或方程；最后解所的方程或方程组求出未知的系数，把求出的系数代入经明的方程形式，得到所

四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解。数学中的理、公式、性质法则等，都是由定义和公推演出来。定义揭示概念内涵的逻辑方法，它通指出概念所映

定义是千百次实践后的必然结果，它学地反映和示了客观世界的物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对学实体的高度抽象。用定义法解，是最直接方

五、数学归纳法

归是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推分完全归纳推理与完全归纳推理两种。不完全纳推理只根据一类事物中的部分对象有共同性质，推断该类事物全都具有的性质，这种推理方法，在数推理论证中是允许的。完全归纳推是在察了一类事物的全部对象

数归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个推的数学论证方法，的第一步是证命题在n ＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成，无限递推下的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊广到一般，实际上它使命的正确性突了有限，达到无限。这两个步密切相关，缺一不可，完成了两步，就可以断定“对任何自数（或n≥n 且n∈N）结论都确”。由这两步可以看出，数学归纳法由递推实

运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时题成立的推证，此证明要具有目标意识，注意最终要达到的解题标进行分析比较，以此确定和调控解的方向，使差逐减小，最终实现

运用数学归纳法，可以证下列问题：与自然n 有关的恒等、代数不等、三角不等式、数列问题、几何

六、参数法

参法是指在解题过程中，通过适当引入一与题目研究的学对象发生联系的新量（参数），以此作为媒介，进行分析和综合，从而决问题。直线与二次曲线的参数方程都用参数法解题例证。换元法也是引入参

辨唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰多采的，科学的任务是要揭示事物之间的内在联，从而发现事物的变化规律。参数的作就刻画事物的变化状态，揭示变化素之间的内联系。参数体现了近代学中运动与变化思想，其观点已经渗透中学学各个分支。运用参数

参数法解题的关键是恰好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内联系，利用参数提供的信

七、反证法

与前所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定理的假设而否其结论，就会导致矛盾”。体讲，反证法就是从否定命题的论入手，并把对命题结论的定作为推理的已知条，进行正确的逻辑推理，使之得到与知条件、已知公理、定理、法或者已经证明为正确的命题等相矛，盾的原因假不成立，所以肯定了命题的结论，从而命题获得了证明。 反证法所依据的是辑思维律中的“矛”和“排中律”。在同一思过程中，两个互相矛盾判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛律”；个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判，据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同真，必有一假，而已条件、已知公理、理、法则或者已经证明为正确的命题都是真，所以“否定的结”必。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论为真。反是以逻

反法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否结论开始，经过正确无误推理导致逻辑矛盾，达到新的否，以认为反证法的基本思想是“否定之定”。应用反证法证明的主要三步：否定结论 → 导出盾 → 结论成立。

第一步，反设：作出与

第二步，归谬：将反设作为条件，并由

第三步，结论：说明反设不成

在应用反证法证题时，一定要用到“反”进行推理，否则就不反证法。用反证证，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这情况驳倒了就可，种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有种，那么必须将所有的反面情一一驳倒，才能推断原结论立，

在数学解题中经常使用反证法，牛曾经说过：“反证法是数学家最精当武器之一”。一般来，法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的题；或者直接证明难以下手的命题，变其思维方向，从结论入手进行面思

数形结合思想方法

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、数等；一于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关数形结合的知识，主

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为种形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，以形作为手段，数为目的，比如应用数图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的，如应用曲的方程

恩格斯曾说：“数学是研究现实世界的量的系与空间形式科学。”数形结合就是根据数学问的条件和结论之间的内在联，既析代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观象巧妙、和谐地合在一起，充分利用这种结，寻解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的一。华罗庚先生说过：数缺形时直观，形少时难入

数形结合的想，其实质是将抽象的数学与直观的图结合起来，关键是代数问题与图之间的相互转化，它可以代问几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题，要注意三点：一要彻底明白一些概念和的何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理参，建立关系，由数思形，以想数，做数形转

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的合。如：锐角三角函数的定义借助于三角形来定义的；任意角的三角函数是借助直角坐标系或单

分类讨论思想方法

在解答某些学问题时，有时会遇到多种况，需要对种情况加以分类，并逐类求解，后综合得解，这就是分类论。类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种要的解题策略，体现了化整为零、积零为的思与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、合性、探索性，能训练人的思维条理性和概性，所以在高考试题中占有重的位置。 引起类

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定的。如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②="" 问题中涉到的数学定理、公运性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n="" 项和的公式，q="">

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数不同取值范围进行讨论。如不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<>

另外，某些不确定的数量、不确定的图的形状或位置、不确定的结论等，都主过类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分讨论时，我们要的则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，遗漏、不重复，科学地划分，清主次，不越级讨论。其中重

解答分类讨论问题时，我们的基本方和步骤是：首先要确定讨论对象以所对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行理分类，即标准一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后行归

函数与方程

函数思想，是指用函数的概念和性质去分问题、转化问题和解决题。方程思想，从的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学型（方程、不等、方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）不等式（组）来使问题获解。有，还实现函数与方程的互相转、

笛卡尔的方想是：实际问题→数学问题→数问题→方程题。宇宙世界，充斥着等式和不等。我们知道，哪里有等式，里就程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等；不等式问题与方程是近亲，密切相关。而数和元方程没有什么本质的区别，如函数y ＝f(x)，就可以看作关于x 、y 的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函的研究离不开方程。列方程、解方和研究方的特性，

函数描述了自然数量之间的关系，函数思想过提出问题的数征，建立数关系型数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和化”的辩唯物主义观点。一般地，函数思想是构造从而用函的性质解，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、期性、最大值和最小值、图像换等，要求我们熟练握是一次函、二次函数、幂函数、指数函数、数函数、角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的键。对所给的问题观察、分析、判断比深入、充分、全面时，才能产生由及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不式问题和某些代问题也可以化与其相关的函数问

函数知识涉及知识点多、面广，在概念性、应用、解性都有一的要求，所以是高考中考查的重点。我们用函数思想的几种常见题型是：到变，造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数点加以分析；含有多变量的数学问题中，选定合适的量，而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，函数性质或不等式等知识答；等差、等比数列中，项公式、前n 项和的公式，都可以看n 的函数，数列问也

等价转化是把未知解的问题转化到在已有识范围内可解的问题的种重要的思想方法。通断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规甚至模式法、简单问。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培和训练自觉的转化意识，将有利强化解决数学问题中的应变力，

转化有等转化与非等价转化。等价化要求转过程中前因后果是充分必要，才保证转化后的结果为题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结进行必要的修（如无理方程化有理要验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性非等价性的不同要求，实施等价转时确

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A. 雅洁卡娅曾在一次向奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演时提出：“题是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是未知向已知、从复杂简

等价转化思想的特点是具有灵活性和多样性。在应用化思想方法解决数学问题时，没有一个统一的模式进行。它可以在数与数、形与形、数与形之进行换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻；它可以在符号统部实施转换，即所说的恒等变形。消、换元、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式进行等价转化。可以说，等转化是将恒等变形代数式方的形变上升到保持命题的真假不变。由于其样性和灵活性，我们要合地

在数学操作施等价转化时，我们要遵循熟悉、简单化、直观、标准化的原则，即把我们遇到问题，通过转化变成我们比较熟悉的问来理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、分式到整式…等；或者比较难决、较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结法；或者从非标准型向标准进行转化。按照这些原则行数学操作，转化过程省时省力，有顺水推舟，经常渗透价

高考热点问

数学高考持以“两个有利”（有利高选拔新生、利中学教学）为指导思想，严遵循“考试说明”的规，内不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综运用），在考三基（基础知识、基本、本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教中的主要内容、数学思想方和应用识，特

函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的识背景为幂、指、对及一般函数概念、定、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；

三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三数的概念、性质、以及有关公

解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背为不等性质、定理；立几、数列中的最值

数列、极限和数学归纳法平均每年占高总分的13.8％，考查知识背

线面间的位置关系平均每年占高考总分11.8％，考查的知识景为线

圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景锥曲线的定义、性质及解几

1993年—1999年高考试题中，常用的数学方乎每年考到，常用的数学思想方法查的频率显高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查度不断加大，阅读理

今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4，6-14题每题5，当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。空题保持1997-1999年水，共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高，2000高考将适当降低试卷难度，

进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（、方程、不等式、数列和圆锥曲等），淡些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何），做好向新高中教

应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语译为数学语言的难度，既注意贴近活，又注意课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，数列综合题仍以归纳

一、应用问题

应用问题的“考试要求”是考查考的应用意识和运用数学知识与来分析问题解决问题的能力，

1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生、生活学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际

2、考查理解语言的能力，要求考生够从普通语言中捕捉信，将普言转化为数学语言，以数学语言

3、考查建立数学模型的步能力，并能运用“

对应用题，考弱点主要表现在将实际问题转化成题能力上。际问题转化为数学问题，关键是提阅读能即数学审题能力，审出函数、方、不式、式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的学实质，抽象其中的量关系，将文字语言叙述转译成数式符号言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即文字语言化为数学的符号语言；三是数理关，即建相应的数模型，构之

求解应用题的一般步

1、读题：读懂和深刻理解，译

2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；

3、求解：化归为常规问题，

4、评价：对结果进行验证评估，对错误加以调

在近几年高考中，经常涉及的数学型，有以下一些类型：数列模、函数模型、不等式模型、三角

二、探索性问题

近年来，随着社会主经建设的迅速发展，要求学校由“教育”向“素质教育”，培全面展的开拓型、创型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。是，探索问题成近几年来高命题中的热点问题，它既是高等学选拔高素人材的要，也是中学教学培养学生具有创造能力、开拓能的任务所要求的。实际上，学生在学习数学识时，知识的形成过程也是观察、分、归纳、类比、猜想、括、推的探过程，其方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学的重要方向。 一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（索结论）；或者虽出问题的明确结论，但条件不足或未知，需要题者寻找充分条件并加以证明问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结相应发生的变化；或改变结论，探讨件相发生的变化；或者给出

探索性问题一般有以下几种类型：猜想

猜想归纳型问题是指在问题没有给出论时，需要从特殊情况入手，进行猜后其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出，通过观察、、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进证明。其主要体现是解答列中

存在型问题是指结论不确定的问题，即在学命题中，结论常以“是存在”的形式出现，结可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说理由。解这一类问题时，我以假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；推证出矛盾，则结论不存在。代、三角、几何中，都可以出现种探

分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满件的条件或结论。此种题型常见于含有参的问题，或者情况

探索性问题，是从高层次上考查学生创性思维能力的新题型，确运用数学思想法决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数结、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方才能得到解决，我们在学习中重视对这一问题的训练，以高我

三、选择题解答策略

近几年来高考数学试题中选择题稳在14～15道题，分值65分，占分的43.3%。考择注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和法，体现基知识求深度的考基础力导向; 使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度基本题型。因此能否在选择题上获取分，对高考数学成绩影响重大。答选

准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中分，一步失误，造成错选，全无分。应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏；初选后认真检

迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型试，致使“超时失分”是造成低分的一因素。对于选的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越，高考要求每道选择

选择题主考查基础知识的理解、基技能的熟练、基本计算的准确、基本方法运用、考虑问题的严、题度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理、掌握”三层次的要求。历年高考选择都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。它括两个部分：题干，由一个不完整的陈句或疑问句构成；备选答案，通常由个选

选择题的殊结构决定了它具有相应的殊作用与特：由于选择题不需写出运算、理等解答过程，在试卷配选题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简，评分客观，在定程度上提高了试卷的度与度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择中往往包括学生常犯的概念误或运算、推理

一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌各种基本题型的一般解。② 结合高考单选的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所成）和不要书写解题过程的特，活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法技巧。③ 挖掘题目“个性”，寻简便解法，充分利用选择支的示作

六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学发生联系的新变量（参数），以此作为媒，再进行分析合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法题的例证。换元法也

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷，联系的方式是丰富多的，科学的任务就揭事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的用就是刻画事物的态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代学中运动与变化的思想，其观点经渗透到中学数学的各个分支。运

参数法解题的关键是恰到好处地进参数，沟通已知和未知之内在联系，利用参数提供的

Ⅰ、再现性题组：

1. 设2 ＝3 ＝5 >1，则2x 、3y 、5z

2. （理）直线 上与A(-2,3)的

（文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky="">

3. 点Z 的虚轴上移动，则复数C ＝z ＋1＋2ｉ在平面上

4. 三棱锥的三个侧面相垂直，它们的面积分

5. 设函数f(x)对任意的x 、y∈R，都有f(x＋y) ＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的r>

6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x ＋2y － ＝0的最大距离是_____。

A. 3 B. C. D. 2

【简解】1题：设2 ＝3 ＝5 ＝t ，分别取2、3、5为底的对数，解出x 、y 、z ，再用“比较法”较2x 、3y 、5z ，得出3y<><5z； 2小题：（理）a(-2,3)为t="" ＝0时，所求点为t="" ＝±="" 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a="" ＝1，c="" ＝="" ，所以e="" ＝－="" ；="" 3小题：设z="" ＝b="" ｉ，则c="" ＝1－b="">

4小题：设三条侧棱x 、y 、z ，则 xy ＝6、 yz ＝4、 xz ＝3, 所以xyz ＝24, 体积为4。

5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x ＝4sin α、y ＝2cos α，再求d ＝ 的最大值，选C 。

四、填空题解答策略

填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又常见题型。近几年高考，都有定数量的题，且稳定了4个小题左右，每题4分，16分，越占全卷

填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些的不完整形式，要求学生在指定的空位，将缺少填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的以是一个词语、数字、

根据填空时所填写的内容形式，

一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大或最小值、段度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的息，所以高考题中数

二是定性型，要求填写的是具有某种性的对象或者填写给定的数对象的性质，如：给定二次曲线的准线方

填空题不要生书写推理或者演算的过程，求直接填写果，它和选择题一样，能够在短时间作答，因而可加大高考试卷卷的识量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和理论证能力。在解填空题时，基本要求就是：、迅、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求结果，每道题填对了得分，填错了得零分，所，考生在填空题上失分一般比选择和解答题重。我很

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