哀思沫
1、(2007四资阳)如图8-1，
对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE?BC于点E，PF
?CD于点F.
(1) 求证:BP=DP;
(2) 如图8-2，
旋转，在旋转过程中
明;若不是，请用反例加以说; 图8-1 8-2 (3) 试选正方形ABCD的两个顶点，
PECF的两个顶点连结，使得到的
长度始终相等，并证明
2、(2007甘肃陇南)四
(2)观察图形，猜
并证明你的猜想(
AEF3、(2007江苏扬州)如图，正方绕逆时针旋转后得到正方，边nABCDAEFG与交
(1)以图中已标有字母的点为端点连两线段(正方形的对线除)，要求所连结的两条线段相交且相
432cm(2)若正方形的边长，重叠部分(边
E
B A
A4、(2007浙江台州)把正方形点，按顺时针方向旋
HBH与交于点(如图)(试问线段与
请先观察猜想，然后再证
D C
G
H
F A B
E
(第5题)
5((本题10分)
BDEAFBDF如图1，在正方形中，角线与相交于点，平
1(1)求证:; EFACAB，,2
BBACA(2)点从点发，沿着向点运动(不与点重
BACACA沿着的延长运动，点的动速度相同，当动
BDFEAC,AF，BACFFE之停止
1ABEF请猜想，三者之的数量关系，并证
BDAE,3CE,2(3)在(2)的条件下，当，时，求的长( 1111
A E1A D D A
DAFE E 1F
F 1 CB CB CB图1 C 1
图2
(第27题图)
(5)(13分)如图，正方形ABCD中，过DDE?AC，?ACE =，CE
6、 (2007开封) (本题
内一点，在正方形ABCD外有一点E，
满足?ABE,?CBP，BE,BP， DA(1) 求证:?CPB??AEB;
P(2) 求证:PB?BE;
E
BC 图 7
FAF7.(2007海南),本题满12分,如图11，在正
BDEBCG于点，交的
,ADE,CDE(1)求证:?;
HCCH,CEFGFH,GH(2)过
AD,1,ECG(3)，，试问否在的值，使为等腰
的值;若不存在，请
AD
E
F
H
BGC
((2007常)(本小
已知，如图，正方形ABCD的边长为6，形EFGH的三个顶点E、G、H分在正方形 ABCDAB、CD、DA上，AH=2，连结CF( GCD(1)当DG=2时，
(2)设DG=x，用x的代数式
F(3)判断?FCG的面积能否等
H
ABEby
正方形的计算与证明
正方形的计算与证明 ECD一、填空
1、已:如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE,AD，?ADE,75?，则?AEB,,,,。 BA2、正方ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则?FAB,,,,。 3、正形ABCD中，对角线的是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和
A4、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，AM的垂直平D分线GH交AB于G，交CD于H，若AM,10cm，则GH,,,。 H5、正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正形ABCD的
G心，则图中阴影部分的
二、精心选一选～ BCM1、四边形ABCD，O是对角线的交点，下条件能判定这个四边形是正方
A、AC,BD，AB?CD，AB,CD B、AD?BC，?A,?C C、AO,BO,CO,DO，AC?BD D、AC,CO，BO,DO，AB,BC
2、正方形具有而菱形
A、对角线互相平分 B、每条对角平一组对角 C、角线等 D、对边相等 3、以线段AB两个端点A、B为顶点作位置不同的
BA、1个 B、2个 C、3个 D、4个
A4、在正方形ABCD所在平面内找一P，P点与A、B、C、D中点都连在一个等边角形，那么这样的P
5、如图所示，以正方形ABCD中AD为一边向外作等
6、下说法错误的是,, DCA、四个角相等的四边是矩形 B、四条边相等的四形是正方 C、对角线相等的菱形是正方形 D、对角互相垂的形是正方形 DC7、如图所示，在平行四形ABCD中，AD,2DC，M、N分在AB两边的延长线上，且有MA,AB,BN，MC与DN的关系是,,。 GHA、相等 B、
三、说理与简答
1、如图所示，正方形ABCD中，P对线AC上一点，PE?AB于NABME，PF?BC于F。想EF与PD的数量关系、位置关系，
PF
CBE
2、已知:如图所示，在正方形ABCD和方形AEFG有一公顶点A，把正方形AEFG绕A点旋如图所示位置，连结DG、BE。试说
DC
G
F
AB
第 1 页 共 4 页 E
3、已知:如图所示，在正方形ABCD，E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，结CG，试说明:ΔCGB是等腰三
G F
C B
4、如图所示，在RtΔABC中，?C,90?，?A、?B的分线交于点D，DE?BC于E，DF?AC于F，试说明四边形CEDF
DF
CEB5、如图所示，在正方
DC
N
AMBE
6、已知:如图所示，ABCD是方形，过B作BF?AC，E是BF上一点，四边
F
CD
E BA
7、如图所示，ABCD是正形，AE?DB，BE,BD，BE交AD于F，试说明:ΔDEF是
AD
O
E FG BC
?
8、如图?所示，已知正方形ABCD对线AC、BD相
F E
第 2 页 共 4 页 CD
9、如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点PBC边上一动AMD点，PE?MC，PF?BM，垂足分别E、F。 E?当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，
?在?中，当点P运到什么位时，矩形PEMF
10、如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上点，AE、ADDE、BF、AF把形分成8个小块，每个小块的面积分别
S8。?试比较S3与S2，S7，S8的小，并说明理由;?前述问题条5S8S件中的正方形ABCD变为ABCD，其余条件不变，上述
3 S6FS 1S
7S 4S2S CBE
11、如图所示，在矩形ABCD中，AB,24cm，BC,12cm，点P沿AB边从点A开始点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边
?当t为何值时，ΔQAP为
?求出此时四边形QAPC面积，并提出一
DC
Q
ABP
12、作:将一把三角尺放中正方形ABCD中，并它的直角顶点F在对角线AC上滑动，直角一边始终经过点B，另一边与射线DC相交点Q，探究:?当点Q在DC上时，线段PQ线段PB之间有怎样的大小关系,试说你观到的结论;?当点Q在DC的长线上，?中你观察到的结论还成立吗,说明理由。,
AAADDD
P
PQ
CBBBCC ???Q
13、已知:如图所示，在正形ABCD中，?EAD,?EDA,15?，试说AD明:ΔBEC是
E
CB第 3 页 共 4 页
14、如图所示，在正方ABCD
CD于H，G为FH中点，求
D A
E
H G
B CF
第 4 页
将大正方形分割成若干小正方形的一种简捷方法
中学数
２ ０ ０
９将
大 正方 形 分成割 若 干 正小 方 形的一
广大州 附学 中属学 （ ５ １０ ０ ５ ０） 昌颜明 湖
省双南县第三小牌学 （４ ２５２ ０ ０） 蒋玲玲
一 个将的正 方形 成割若 干 个 小的正 方形 问 在小 学数题 学题特 是小别 数 学竞学赛 题经中 出常 ．现 下如 就面 是道两 见常的 数竞学 题 ： 赛１ ． 将 一 个方
能取（
Ａ． ４ ． ５Ｂ
）
． ８ Ｃ ． ９Ｄ
（
第六十 江苏届 初
２ 试．设 计一 方种法 ， 一个把正 方
图
．４
５
图６
图
那么 ｋ× 的分阶 割擦 去 格线 将，一 个 （ 一 １）Ｘ （ １ ） 一阶正 方合形 成一个 大正方 形 这，时 剩 余 的 就 有 还× ｋ 一 （１ｋ ）Ｘ （ 一１ ）１＋＝２ｋ ， 显
ｋ足≥，２ 从而我们 得 到 了将
漏 分地成 割个８正方 形 （分得 的正 方形 大小 可 以 同相 ； 又） 如何 正 方 形
方． 形 （ １ ９９ ７ 安年 省徽 中初数 学竞赛 题） 很 多 究的 割 方
形
分 割成 于 ２偶 的 数个 正方 所有 分 法． 我们 这 将种 分割 为称数偶分 割． 还 我可 在以上 面 的偶 数 割 分， 将 其某中 个 方 形进 行 正２ ２× 分割， 此 时 多 会３个 方， 故上面 的所有偶 数 分 中割就得会到
并
取得了好较的 成 果¨ ． 他们得到
任 意一正个方 都 可形 被以割分成 （ 为 除ｎ ２ 、３ 、 ５外 的正 整 数） 正 形方 ． 他 们对 结 果证的明
较对繁 ，人 他们研 究在的基 上 础给 出一 相种对 较 单 简的证明 ．面 是 人本 在 种一相 对简 的捷 分割 方 基上础 对个这 论结给
２ Ｉ ｊ ＋｝ ３ （其中 ｋ≥ ２ ） ． 样就这
奇切数 分割 ．
次 依上 通的三 分割 ， 就得 我到了结 果： 任 意个 一方 形都正 可以 分割成 ｎ （ ｎ 除为２ 、 ３ 、 ５外 的 整 数）个 正方 形 按 ．上面 分 的方法 很割容 解易 答本文
我
知道 们 采，均取分 方式的很容
形 别分分 割 成 下列 个 数 的正 方 形 ： ２ ， ３ ， ４ ，…
… ，
这． 种分割 我称 为 ＿其ｊ ｝ × 阶
是 就当 分 别
道竞赛． 题一 （江省初竞中题 赛） 选 ．第 二（ 安徽初题中竞赛题） 分得 ８ 要，种就是 ４＝ ， 即 在４× ４阶分割
３到１ ， 就是种 ＝１ ４ ， 即 在 ４１１×４阶分 割 中 擦去 １ ３ １×３ 阶分割 的线格， 其中一的 正个形 进
阶２割 分可即．
：２４
３
：９
４ １ ＝
６值
指得 出， 的面上的割分法只是 目前方相较对 简单 一分 法种 已 而 得要同一
法该应不是 唯一 的 请 ， 有趣兴 的 者
续探 索．继
参文献考
１ 图
图２
图
３
上 面 在 ｋ的×阶分后 割中 ， 适当擦地 去线 格将可 干小正方 形并成 大 的
６所
［ １］ 王季． 美方正形 的分 割 ［ ］ ． Ｊ学生中理科
［２ 张］ 斌 如．将何一大个方正形割成分干小正方
学 ． ０２０ ７（ ５ ）
．
将大正方形分割成若干小正方形的一种简捷方法
将大正方形分割成
捷方法 中学数学研
将大正方形分割成若干小正方形的一种简捷法 广州大
湖南省双牌县第三小学(425200)蒋玲玲
将一个大的方形分割成若干小的正方形 问题在小学数学题特别是小学数学竞赛题中经常出 现.如面就是两道常见的数学竞赛: 1.将个正方形分成n(n>1)个小正方形, 则n
A.4B.5C.8D.9
(第十六届江苏省
2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗 漏地分割成8个正方形(分的正方形大小可以不 相同);又问如何正形按上述要求分成31个
(1997年安徽
很多的究对分割法进行了较深入的探讨 并取得了较好的成果?儿.他们都得到了一个结果: 任意一个正方形都可以被分割成(n为除2,3,5外 的正数)个正方形.但他们结果的证明还相对 繁,本人他们研究基础上给一种对简 的明.下面是本人在一种相对简捷的分割方法 基础上对这
我们知道,采取均分的方式很容易将一个正方 分别分割成列个数的方
.
这种分割我称其为_j}×阶分割.下图(1,3) 就是当分
2:43:94=16
图1图2图3
在上面的k×后阶分割中,适当地擦去格线可将 若干正方形合并大的正形,
图4.图5图6
那么在k×阶的割中擦格线,将一(一 1)X(一1)阶正方形合并成一个大正方形,这时剩 余的就还有k×一(k一1)X(1)+1=2k,显 然这里的满足k?2,从而我们得了将一个方 形割成2的偶数个正方形的所有分法.我们 将这种分
我还可以在上的偶分割中,其中某一个 正方形进行2×2阶分割,此时就会多出3个正方形, 故上面所有偶数分割中就会得到一个的分割数 2Ij}+3(中k?2).这样就得到了大于等于7的一
依次通过上面的三种分割,我就得到了结果:任 意一个正形都可以分割成n(n为
按上面分割方法容易解本文最前面的 道竞赛题.第一题(江苏省初中竞赛题)选.第二 题(安徽初中竞赛题)要分得8种,就是=4,即在 4×4阶分割中擦去3×3阶分割的格线就;而要得 到31,就是=14,14×14阶分割中擦去13 ×13阶分割的格线,再将其中
2阶分割即可.
值得指出的,上面的割方法只是
简单的一种分法而已要得到同一种分割数目,分割 的方应该不是唯一,请兴趣读
参考文献
[1]王美.正方形的分割[J].中学生理科月刊,2004(2). [2]斌.如何将一个大正方分割成若个小正方
正方形证明
正方形证明
已知：正方形EFGH的四个顶点都在正方形ABCD的
证明：作出如图的辅助线，可知，MJKL是一个
d
∴S△EMF＝S△FJG＝S△GKH＝S△HLE，
∴SAEFB+SCDHG＝S△EMF+S△AEN+SNBMF+S△GKH+S△
CPG+SPDHK＝S△EMF+（d+m)c+(a+b+b-m)d+ S△GKH+(a+c-d+m)a+
1
2121212
(b+c+b-m)(a+c-d) =2 S△EMF+
12
(cd+cm+ad+2bd-dm+a2+ac-ad+am+2ab+2bc-2bd+ac+c2-cd-am-cm+dm) =2 S△EMF+(a2+c2+2ab+2bc+2ac)
SBCGF+SADHE =S△FJG+S△BOF+SOCGJ+S△HLE+S△DQH+SQAEL＝S△FJG+（a+m)d+
111
(a+b+c-d+b-m)a+ S△HLE+(a+c-d)（c+m）+(b+d+b-m) c 222
1
=2 S△FJG+(ad+dm+a2+2ab+ac-ad-am+ac+am+c2+cm-cd-dm+2bc+cd-mc)=2
21
S△FJG+(a2+c2+2ab+2bc+2ac)
2
12
12
∴SAEFB+SCDHG＝SBCGF+SADHE.
如下图形都有S1+S2＝S3+S4这一性质
