与三角函数初相“φ”相识

2005年第6期数学教学6—35

与三角函

246725徽省枞阳横埠中学章礼抗人教版新教材数学《三角函数》一章中,三角函数图象有相当重的地位,因它集中地反映三角数的所有性质.因对其学习和理解既是重点又难点.课本为说明三角函数图象变化机理,详地介绍了怎样由Y= sin逐步变成Y=Asin(~z4-)(其中, ",,是常量),以便学习者能够中领悟到其三角函变化机理.但是在其变化过程中,难点是""的认识,理解,确定.原是课本中只简单地了一句,"4-中,当 =0时,叫初相".如要问它在三角函数中到底有什作用,可能学过之后,知之甚少,在实际中难以确定它.本文想通过分析函数的性 ,来揭与函数深刻

一

图象的对

大家都明白/(z)=Asin(wx4-)(其中

是常量)的图象既是轴对称图形又 L-对称图形;下看看其对称轴和对称中心

(1)z4-=kTr十

=不4-(一)(后?z)(对称轴).不(J(后?z)(对称

(2)f,,dX4-=kTr:=不一(k?

z),则(不

同理g(x)=Acos(~4-)的对称轴是

z=7r一(?z),对称中

h(z)=Atan(wx4-)的对称中L-是

Qf兰

实例分析与应用:

例l(2004年全国高考)函数Y=taa(2x +)图象的一个称中心(71",0),则可以??????????????() (A)吾;(B)一百/r;(c)

分析:申上可知k不一=/r(后?z), 则随k取不同

例2?已知Y=sin2x4-aCOS2x,在列条件下分别求实a的值.(1)函图象关于原点对;(2)函图象关

sin(2x4-)(其中tan=0),则由上分析

a=0:

k】/7r,7r

不+(一J一后不4-

7rtan=

二,函数

(1)若/(x)=Asin(~z4-)是奇函数,则

应满足什么条件?

因/(x)是奇函数,则原点《=)是其图象的一个对称中心,由第一节分析知兰一= 0=不(k?Z)(其他参量无). (2)若/(x)=Asin(wx4-)是偶函数,则

因/(z)是偶函数,则Y轴是图象的一条称轴,由第一节的分析知当不十(三一)= 0=后不4-(k?Z)(与

关).

同理可知g(z)=Acos(wx+~o)中,当=

数学教学2005年第6期

7r(?Z)时,是偶函数,当=7r+(?

z)时,是奇函数.

h(x)=Atan(wx+)中,当=7r(?

z)时,是奇函数.

实例分析与应用:

例3(2004年辽宁高考)己知数f(x)= sin(T'X--)一1,则下列命正的是?() (A)f(x)是周期为l

(B)f(x)是周期为2的偶函数;

(C)f(x)是周期为1的非奇非偶函数; (D)f(z)是周期为2的奇非

f(x)是

例4(2003年天津市高考)已知函数f(x) =sin(wx+)>0,0<<7r)是R上偶

函数,其图象关于点,0)称,且在区间l0,J上是单调函数,求和

分析:因f(x)是

因'厂()的图

故有不一:莩(?z);4

又因0<<7r,故当=0时,=符

')f)二

合条件;贝0=吾(2

I(x)

减,满足条件.

当=2时,=2,.厂()在10,I上递减,

满足条件.

当?3时,?,I(x)在[0,7rE

单调函数.

综上所知,

7rO

===一

三,具体

数学中有一类根据具体三角函数图象确定函数析式问,在这类问题中的确定尤值得大家注.通常法是在图象上任取已知点(X0,Yo)代解析式,考虑

OJX2+===,O)X3+===7r,OJX4+===,

OJX5+=27r.

因一般易求,求也就很方便.对本制,但一般要求?(一7r,7r). 实例分析

例5(2004年辽宁高考)若函数f(x)= sin(wx+)图象(部分),如图1所示,则的

(B)=1,=一号;

(c)===去,===吾;

(D)===

分析:

3一(一吾)=不

一=.

由图象知点(,1)在其上,

i~1=sin(三×271"+).

三×警+=2=吾,故选(c).×+===一===,故远(J_ 例6(2002年全高考)如图2,某地一天从6时到14时的变化曲线近似满Y= Asin(wx+)+b.(I)求这段时间的最大温差. f?)写这段

图2

解:(I)这段时间最大

2005年第6期数学教学6—49

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(上接第6—36

nn/O,,,

uL'这时=10sin(+)+20.

(?)图中从6时到14时的图象是函数点(6,10)图象上

一

12不..不百z,,

因×石::=l4—6:==百;故解析式为:10sin/十一3不1+20

A:三(30—10):10;i?【6)14]).ks4/

三角函数、反三角函数

定义

直角三角

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构一个直角三角形，其中?ACB为直角。?BAC而言，对边(opposite)a=BC、斜

基本函英文缩表达语言描述

数写式

正弦函?A的对边

数边

余弦函?A的邻边

数边

正切函?A的对边比

数边

余切函?A的邻边比对cotangent cot b/a

正割函?A的斜边

数边

余割函?A的斜边比

数边

注:正切函数、余切函数被写作tg、ctg，现已不用这种

secx=1/cosx、cscx=1/sinx

变化规律

正弦值随着角度的增大(或减小)而增(或小) ，余弦值随着度增大(或减小)而减小(或增

正切值随着角度的增大(或减小)而增(减小) ，余切值随角的增大(或减小)而减小(或

正割值随着角度的增大(或减小)而大(减小)，余割值随角度的增大(或减小)而减小(

特殊角

在三角函数中，有一些特殊角，如30?、45?、60?，这些角的三角函数值

式，计算中可

这些函数

角0? 15? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 度

弧

度

sin

值

cos

值

不不存tan存值在在

不不存cot存值在在

几何性质

函数图象

函数对称

无 (kπ/2+π/2,0)

正切三角

函数图像

无

最小正周期

如果一个函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个小的正数叫做f(x)最小正周期(minimal positive period).例如，正弦数的小正周期是2π.于正弦函数y=sinx, 自变x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦数的

y=Asin(ωx+φ), T=2π/|ω|

诱导公式

公式内容

三角函数

公式一公式二

sin(2kπ+α)=sinα sin(π+α)=,sinα

cos(2kπ+α)=cosα cos(π+α)=,cosα

tan(2kπ+α)=tanα tan(π+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα cot(π+α)=cotα

sec(2kπ+α)=secα sec(π+α)=,secα

csc(2kπ+α)=cscα csc(π+α)=,cscα

公式三公式四 sin(,α)=,sinα sin(π,α)=sinα cos(,α)=cosα cos(π,α)=,cosα tan(,α)=,tanα tan(π,α)=,tanα cot(,α)=,cotα cot(π,α)=,cotα sec(-α)=secα sec(π-α)=-secα csc(-α)=-cscα csc(π-α)=cscα 公式五公式六

sin(α-π)=,sinα sin(2π,α)=,sinα cos(α-π)=,cosα cos(2π,α)=cosα tan(α-π)=tanα tan(2π,α)=,tanα cot(α-π)=cotα cot(2π,α)=,cotα sec(α-π)=-secα sec(2π-α)=secα csc(α-π)=,cscα csc(2π-α)=-cscα 公式七公式八 sin(π/2+α)=cosα sin(π/2,α)=cosα cos(π/2+α)=,sinα cos(π/2,α)=sinα tan(π/2+α)=,cotα tan(π/2,α)=cotα cot(π/2+α)=,tanα cot(π/2,α)=tanα sec(π/2+α)=-cscα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2+α)=secα csc(π/2-α)=secα 公式九公式十 sin(3π/2+α)=-cosα sin(3π/2,α)=,cosα cos(3π/2+α)=sinα cos(3π/2,α)=,sinα tan(3π/2+α)=,cotα tan(3π/2,α)=cotα cot(3π/2+α)=,tanα cot(3π/2,α)=tanα sec(3π/2+α)=cscα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2+α)=-secα csc(3π/2-α)=-secα 推导方法

定名法则

90?的奇数倍+α的三角函数，其对值与α三角函

倍+α的三角函数与α的三角数绝对值相同。也是“奇余偶同，奇变偶不

定号法则

将α看做锐角(注意是“看做”)，所得的角的象，取三函数的符号。也就是“象限定，符看象限”。(或为“奇变偶不变，符号

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α在限的正负号。关于正负号有个口诀;一全正，二正弦，三两切，四余，即第一象限全部为正，二象限角，正弦为，第三象限，正切和余切为正，四象限，余为正。简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次正。还可简记为:sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值

比如:90?+α。定名:90?是90?的奇数倍，以应取函数;定:将α看做锐角，那么90?+α是第二象角，第二象限角的正为，余弦为负。所sin(90?+α)=cosα , cos(90?+α)=-sinα 这个

还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如:sin(90?+α)，90?的终边在纵轴上，所以函数变为相

三角恒等式

两角和与差

内容

cos(α+β)=cosα?cosβ-sinα?sinβ

cos(α-β)=cosα?cosβ+sinα?sinβ

sin(α+β)=sinα?cosβ+cosα?sinβ

sin(α-β)=sinα?cosβ-cosα?sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα?tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα?tanβ)

和差化积

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍

sin(2α)=2sinα?cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos?α-sin?α=2cos?α-1=1-2sin?α

tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)?]

cot(2α)=(cot?α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec?α/(1-tan?α)

csc(2α)=1/2secα?cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα?sin(60?+α)sin(60?-α)

cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα?cos(60?+α)cos(60?-α)

tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan?α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot?α-1) n倍

根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

将左边用二项式定理展分别整理实部和部可以得到下面两

sin(nα)=ncos^(n-1)α?sinα-C(n,3)cos^(n-3)α?sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α?sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α?sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α?sin^4α 半角公式

sin(α/2)=??[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=??[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=??[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=??[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2)=??[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=??[(2secα/(secα-1)]

辅助角公式

Asinα+Bcosα=?A^2+B^2(sinαcosβ+cosαsinβ)=?A^2+B^2sin(α+β)=?A^2+B^2sin(α+a

rctanB/A)

万能公式

sina=[2tan(a/2)]/[1+tan?(a/2)]

cosa=[1-tan?(a/2)]/[1+tan?(a/2)]

tana=[2tan(a/2)]/[1-tan?(a/2)] 降

sin?α=[1-cos(2α)]/2

cos?α=[1+cos(2α)]/2

tan?α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和

sin(α+β+γ)=sinα?cosβ?cosγ+cosα?sinβ?cosγ+cosα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?sinγ

cos(α+β+γ)=cosα?cosβ?cosγ-cosα?sinβ?sinγ-sinα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα?tanβ?tanγ)?(1-tanα?tanβ-tanβ?tanγ-tanγ?tanα)

概念

定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R，值域为[-1,1]。

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ(k?Z)，值域

cot(x)的定义域

y=a?sin(x)+b?cos(x)+c 的值域为 [ c-?(a²+b²) , c+?(a²+b²)] 函数图象画法

以y=sinx的图像为，得到y=Asin(ωx+φ)的

方法一:

y=sinx?【左移(φ>0)/右移(φ<0) 单位】="">

方法二:

y=sinx?【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】?y=sinωx?【左移(φ>0)/右移(φ<0)?φ? 个单位】?y="sin(ωx+φ)">

导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/cos?x =sec?x

y=cotx---y'= -1/sin?x= - csc?x

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/?(1-x?)

y=arccosx---y'= -1/?(1-x?)

y=arctanx---y'=1/(1+x?)

y=arccotx---y'= -1/(1+x?)

倍半角规律

如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为?3/2.

三角函数的反函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余arccot x等，自表示其正弦、余弦、正切、余切、割、余割为x的角。为限反三角函数为单值数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2?y?π/2，y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;应地，反余弦函y=arccos x的主值限在0?y?π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<><π>

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一自变量对应一个函数值要求，其像与其原数关于函数y=x对。其概念首由欧拉提，并且首先用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而

反三角函

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条; y=arccos(x)，定义[-1,1]，值域[0,π]，图

y=arctan(x)，定义域(-?，+?)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条; sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 [-π/2,π/2]

证明方法如下:设arcsin(x)=y,sin(y)=x ,将这两式子入上式即可得其他几个用类似

推广

高等代数中三角函

sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)

cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2

tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)] 勒展开有无穷数，e^z=exp(z)=1+z/1～+z?/2～+z^3/3～+z^4/4～+…+z^n/n～+… ? 此时三角函数定义域

?三角函数

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q，

Q=Asinx+Bcosx，因此也可从此出发定义三角

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种似的数,,双曲函数，其拥很与三角函数的类似的性质，二者

复数性质

(1)对于z为实数y来说，复数内余弦函数的性质与常所说的正余弦函数性质是

(2)复数域内余弦函数

(3)在复数域内不能再

(4)sinz、cosz分为奇函数，偶函数，以2π为周期。复数三

sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa =sinachb+ishbcosa

cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina =cosachb+ishbsina

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi) cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi) sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

三角函数

sin αcos α

1、同角的三大关系：①平方关系sin 2α+cos2α=1 ② 商数关系=tanαα

cos αsin α2、和角与差角公式：sin(α±β)=___________________;cos(α±β)=_______________________

tan (α±β)=__________________________;变形：tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β) 3、二倍

tan2α=_________________;

4、升降幂公式：1+sin2α=_______________;1-sin2α=_________________; 1+cos2α=_______________;1-cos2α=_________________; b

5、辅助角公式(合一公式) ：a sin x +b cos x =a +b sin(x +?), 其中tan ?=．

k πk πk π

6、诱导公式：α),cos(±α),tan(±α), 将α视为锐角, 奇偶不, 符号看象限(奇偶看k ,

222数名 )

7.sin αcos α,sin α+cosα,sin α-cos α的关系：(sinα±cos α) 2=1±2sin αcos α;(sinα+cosα) 2+(sinα-cos α) 2=2

8、解题策

(1) 熟悉公式的结构特点(正用用), 化简三原则：名化同名, 异角化同角,

(2) 关注角的关系：①角的分拆示:已知角表示未知角 ②角的范围：用已知的角的

所

求角的范围, 已知角的函

(3) 常值代换特别是用“1”的换；项的分拆与角的配

引入辅助角等

9. 函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0,ω>0)的图象变

π3π

①“五点法”作一个周期

②图象变换本质上是点的变换, 即只针对x,y 而言, 具体题可概为一般y=f (x ) 的变换；处理平时要注意取自变量x 前的系数, （方法：配

③整体法：将ωx＋φ整看作做X, 转化为本函y=AsinX求解函的最, 对称中心(tanx 的对

为(,0), k ∈Z), 对轴

④图象法：数形结合借助图象或“五法”解相应的参数与性(A 由最值确定, ω由周期

可利用

最高最低点

a b c

正弦定理：2R (2R 为△ABC 外接圆的直径) ．

sin A sin B sin C

b 2＋c 2－a 2222

余弦定理：a ＝b ＋c －2bc cos A , 变形：cos A ＝

2bc

111

面积公式：S △ABC ＝bc sin A ac sin B ＝ab sin C .

222

策略：

①解决几何问题要找对三角形, 把问题归结到某个角形中去, 甚至某条边

②式子含角的正弦或边的一次式可用正定理；式子含的余弦是边的二次式, 则多用余弦理 ③一个技巧：边角互化, 一个思想：方程

二、真题汇编 1.( 13·课标Ⅰ,15) 设当x =θ时, 函数f (x )=sinx -2cos x 取得最大值, 则cos θ=_________. (13·课标Ⅰ.17)

(1).若PB =, 求PA

(2)若∠APB =150?,

2. (14·课标Ⅰ,6) 如图, 圆O 的半径为1, A 是圆上的定, P 是上的动点, 角x 始边为射线OA , 终边为射OP , 过点P 作直OA 的垂线, 垂足为M , 将点M 到直线OP 的距表示成x 的函数f (x ), 则y ＝f (x ) 在[0,π]上

1+sinβππ

(14·课标Ⅰ,6) 设α∈(0,), β∈ (0,且tan α( )

22cos βππππ

A.3α-β= （B ）3α+β= （C ）2α-β= （D ）2α+β=

2222

(14·课标Ⅰ,16) 已知a , b , c 分别为?ABC 的三

面积的最大

-cos160°3. (15·课

(15·课标Ⅰ.8) 函数f (x )=cos(ωx +?) 的部分图像如图所示, 则f (x ) 的单调递减区间为( ) 1313

A.(k π kπ+), k ∈Z B. (2k π-,2k π+), k ∈Z

44441313

C. (k -, kk ∈Z D. (2k ,2k +k ∈Z

4444

(15·课标Ⅰ.16) 在四边形ABCD 中，A =B =C =75?, BC =2,则AB

的取值范围是

_______

33 B. 2211

C.- D. 22

4.(16·课标Ⅰ.12) 已知函数f (x )=sin(ωx +?),(ω>0,|?|≤), x =-f (x )

2445π

且f (x ) 在(, 单调,

1836

A.11 B.9 C.7 D.5

(16·课标Ⅰ.17) ?ABC 的内角A , B , C 的对边分

3(II)若c =?ABC 的面

三、典例分

1. 两

-cos160°(15·课标Ⅰ.2) sin20°cos10°sin10°=( )

变式1：sin45?sin105?+sin45?sin15?= ( )

B. 22

C.- D. 22

A.0 B. C. D.1

2211

sin α-sin β=,cos α-cos β=求cos(α-β)

1+sinβππ

(14·课标Ⅰ,6) 设α∈(0,), β∈ (0,且tan α( )

22cos βππππ

A.3α-β= （B ）3α+β= （C ）2α-β= （D ）2α+β=

2222

变式2：(16·课标Ⅰ.17) ?ABC 的内角A , B , C 的对边分别别为a , b , c 已知2cos C (a cos B +b cos A )=c 33

(I)求C ；(II)若c =7, ?ABC 的面积为求?ABC

2变式3：P42变式训练

变式4:（16上海）设a , b ∈R,c ∈[0,2π), 若对任意实数x 都有2sin(3x -)=a sin(bx +c ), 则满足条

3(a , b , c ) 的组数为______________

变式5：省质量检测)

变式6：锐角?ABC , 比较sin A cos B 的大小变

中，AB =(cos 18?, cos 72?), BC =(2cos 63?, 2cos 27?)，则

面积为

A ．

B ． C ． D ．

2. 回归定义 (11·课标Ⅰ.5) 已知角θ顶点与点重合, 始边与x 轴的半轴重合,

变式2：将点P 绕原点逆时

3. 化简求值

1.(16课标III,5) 已知tan θ=则cos 2θ+2sin2θ=____________

π1

(13课标II,15) 设θ为第二象限,

423π

变式1：若(16

457117

A ． B ． C ．-1 D.-

25552545

变式2：设α, β为锐角sin α=,cos(α+β)=, 求sin β

513ππ3π

已知cos(x -x ∈(), 求sin x

41024

(14课标II,14) 函数f (x )=sin(x +2α)-2sin αcos(x +α) 的最大值为_________

sin9?+cos15?sin6?cos40?

变式3：cos40?3tan10?)=______ ;=____________;cos9?-sin15?sin6?cos251-sin40?

tan70?+tan50?3tan70?tan50?=_______

1π

变式4：已知直线x =a (0_3c("则");</script>

25的纵坐标=__________

4. 辅助角公式

1.(16课标III,15）函数y=sin3cos x 的图像可由函数y=sinx+3cos

x 的图像

2. ( 13·课标Ⅰ,15) 设当x =θ时, 函数f (x )=sinx -2cos x 取最大, 则cos θ=_________. 变

3已知函数f (x ) ＝sin2x ＋a cos2x 图象的一条对轴方为x =-, 则实数a 的值

A ．-33

B ． C ．3 D ．3 33

变式1: 2sinα-cos α=5, 则tan(α-)=________

4已知函数f (x )=cosx (sinx +cosx )-. 求数f (x ) 的最小正周期及单

3πππ

变式：已知函数f (x )=cosx ?sin(x +)-2x , x ∈R. 讨f (x ) 在区间[-]上单调性并求最

3444

ωx

5. 函数f (x )=6cos3sin ωx -3(ω>0)在一个周期内的象如图示, A 为图象的最高点, B , C 为

交点, 且?ABC 为正三角形.

（Ⅰ）求ω的值

83102

（Ⅱ）若f (x 0,

533

将函数y =

x +sin x (x ∈R )的图向左移m (m >0)长

则m 的最小

πππ5π B. C. D. 12636

例2：图象和性质

变式1：将函数f (x )=2sin(2x +图向右平移?(?>0)个单, 再将图像上各点保持纵坐标不变,

1π

原来的倍, 所得图像关于

283π3π7ππA ． B ． C ． D ．

16882ππ

变式2:(12课标I,9) 知ω>0,函

15131

A ．[] ] C.(0, D.(0,2]

24242

2. 已知函数f (x )=cos(2x 则（）

3π

A ．其最小正周期为2π B ．其图象关于直线x =对称

8ππ

C ．其图象关于点(,0) 对称 D ．该函数在区间(-上

84ππ

若函数f(x )=a sin(x +3cos(x +是偶函数, 则实数a 的值为

变式3：（2016年浙江高考）设函数f (x )=sin2x +b sin x +c,则f (x ) 的小正周期( ) A ．与b 有, 且与c 有关 B ．

ππ

3. 已知函数f (x )=Asin(ωx +?)(A>0,|?|<)>

134

A ． B. C ． D.1

255

变式：已知函数f (x )=43sin(ωx +)(ω>0)部分图象如图

ππππA ． B ． C ． D 48612

4. 如图, 为了研究钟表三角函数的关, 立如图所示的坐标系, 设针位置P (x , y ) ．若初

P 0??, 当秒针从P 0(注：此时t ＝0) 正常开

与时间t 的

ππ?－π－π t ＋ A ．y ＝sin ? B ．y ＝sin ?306?606ππ?－π－π －t ＋? C ．y ＝sin ? D ．y ＝sin ?306??303

例3：解三角形 1、（16年上海高考）已知?ABC 的三长分别为3,5,7, 则该三角形的外接圆径等于_________ 变式：已知三棱锥P -ABC , 在底面?ABC 中, ∠A =60?, BC 3, P A ⊥面ABC , P A =2则此三棱锥的外球

2. 在?ABC 中, a =15,b =10,A =60°, 则cos B =( )

22226

B. C.-333

变式1: (14课标2理) 钝角三

2A.5 B. 5 C.2 D.1

3π

变式2：在?ABC 中, 设a , b , c 分别为A , B , C 的对,

3. 在?ABC

, B , C 的对边且a cos C , b cos B , c cos A 成等差数列, 则角B 等于________

变式：在?ABC 中, 设a , b , c 分别为角A , B , C 的对边,

4. 在?ABC 中, a , b , c 分别为角A , B , C 对边, 且a cos B -bcos A , 当tan (A -B ) 取最大值时, 角B

变式1：(12陕西) 在?ABC 中a , b , c 分别为角A , B , C 的对边, 若a 2+b 2=2c 2, cos C

变式2：在△ABC 中, 角A , B , C

变式3：(2013新课标Ⅱ,17) △ABC 的内角的对边分别为a , b , c , 已知a =b cos C +c sin B （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2,求△ABC 的面积的最大值。

变式4：(11课标.16) 在△ABC 中, B =60?, AC 3, 则AB +2BC 的最大值

例5：在△ABC 的内角的

2c =b

（1）求角A 的大小（2）若a =b =4求c 的大小

变式：在△ABC 中, a =3,b 6, B =2A .

(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.

变式:(2016年浙江高考) 在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已

)

a 2

（II ）若△ABC 的面积S =, 求角A 的大小.

例5. 四边形ABCD 的内角A 与C

(II)求四

变式1：(16漳州) 已知△ABC 的三个角分别为A , B , C , 向

(1) 求证: △ABC 是直角三角形；

(2) 若AC =3, BC =6,P 是的一点, 且∠APC =∠BPC =120?, 设∠P AC =α,

1π

变式1： (14北京理,15) 如图, 在△ABC

37（1）

（2）求BD , AC 的长.

变式2 .在△ABC 中, 内角A , B , C 对的边

(2)若角B =BC 边上中线AM =7, AC 的长及△ABC

练习：

1.(14新课标2理) 函数f (x )=sin(x +2?)-2sin ?cos(x +?) 的最大值为_________

→→→→

2. 在△ABC 中, A =AB =2,AC =3,CM =2MB , 则AM ?BC =( )

1144A.- B.- C.

333

πππ2ππ

3. 设函数f (x )=Asin(ωx +?)(A,ω, ?是数,A>0, ω>0),若f (x ) 区间[]

62236则f (x ) 的最

2πA. B. π C. D.2π 23

4.(16泉州) △ABC ，∠BAC =45?, AD ⊥BC 于D , BD =2,DC =3,则AC 边上的中线BE 的长=___________

5.(16厦门) 已知平面四点A , B , C , D 满足AB =BC =CD =2,AD =23, 设△ABD , △BCD 的积分别为S 1,S 2, 则S 12+S22的

6. (13大纲卷) 已知函数f (x )=cosx sin2x , 下列结论中错误的是( ) π

(A)y =f (x ) 的图像关于(π,0) 中心对称 (B)y =f (x ) 的图像关于

2(C) f(x ) 的最大值为

(D) f(x ) 既奇函数, 又是周期函数 2

7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半为始边的锐角α和钝角β终边分别与位圆交点A ，2B ．点A 的横坐标是，点B 的

8.(16三明) 如图, 在△ABC 中, AB =2,cosB =, 点D 在线段BC 上．

3π

(Ⅰ) 若∠ADC 求AD 的长；

42sin ∠BAD

(Ⅱ) 若BD =2DC , △ACD 面积为, 求的值．

3sin ∠CAD

9. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对

(I)若cos C =, 求cos(A +C ) ； (Ⅱ) 若b +c =5,a =7, 求△ABC 的面积,

110.(16省质检单科) 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c, 已知A ≠且3sin A cos B +sin2A =3sinC

（第7题）

2π

(1)求a 的值；(2)若A =, 求△ABC 周长

11. (南平) 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的

(2)若b =2,求a 2+c 2的最大值, 并

12. (龙岩) 已知函数f (x )=sin(ωx +?)(0<><π, ω="">0)为函数, P , Q 分为函数y =f (x ) 图象上

2低点, 且|PQ |=(1)求函f (x ) 的

A 3

(2)在△ABC 中, 角A , B , C 所对边分别为a , b ,c, 已

π4

tan A 2c

13. (福州) △ABC 中, 角A , B , C 所对的边分

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若BC 边上的中线AM 2, 高线AH =3, 求△ABC

14.(16省质检) 在△ABC

3（Ⅰ）若△BCD 3, 求CD ；（Ⅱ）

15. 已知函数f (x )=4cosωx ? sin(ωx -)+1 (ω>0),其相邻的两个零点

(1)求f (x ) 的解析式(2)△ABC 中, 角A , B , C 为三个内，且f (A )=1,B =又AC =2，

41π7ππ

(3)若x 0∈, f (x 0)=, 求f (x 0+) 的值

312312

高三三角函数

第六章三角函数

第1节

一、课前预习

（一）知识点梳理

1. 正弦函数的定义：形如y =sin x 函数. 2. 正弦函数

3. 正

（1）定义域和值域（写出最值点）（2）偶性：（3）周期：（4）单调区间：（5）对称：（6）对称中

的定义

的定义域

3. 函数y =3sin(2x +

) 的最大值是，

4. 函数y =sin x 的奇偶性，函数y =sin x -cos x 的奇性是 5. 函

) 的最小正周期是y =sin 2x -cos 2x 的周期是 ) 的单调

7. 用五点作图法作出函数y =-sin x +1, x ∈[-π, π]的

108

二、典型例题

例1.

求下列函数的值域：

（1）y =cos x -sin x （2）y =

2+sin x

（3）y =sin x +cos x , x ∈[0, π]

2-sin x

例2. （1）求函数y =sin(2x +（2）已知函数y =sin(2x +

例3. 设函数f (x ) =sin(2x +?)(-π<><0), y="f" (x="" )="" 图像一条对称是直线x="（1）">

例4. 如图半径为R ，圆心角为45?的扇形，D 在AB 上，点C 在半径OB 上，M , N 在半径OA 上，四边形CMND 为形，称之为扇形的内接矩形，试求该内接矩形

109

) 在(-π, 0]内的单调递减区间；

) +cos(2x -

) ，求函数的调递增

”变为函数y =f (x ) 为偶函数，试求?；

M N A

三、反馈练习

1. 函数y =2sin(-x ) 的调递

≤x ≤

) 的值域是

3. 若函数f (x ) =a sin x +bx +2(a , b 为数），若f (-5) =7, 则f (5) 4. f (x ) sin x 是周期为π的奇函数，则f (x ) 可以

A . sin x B . c o s x C . sin 2x D . c o s 2x

5. 已知函数y =sin 2x 的图像，

6. 求函数y =sin x cos x -sin x +2的最小

7. 若

8. 已知函数f (x ) =2cos x sin(x +

) 的图像只需

]时，方程cos 2x +sin 2x =k 有实根，求实数k 的取

) -sin 2x +sin x cos x ，

（1）求f (x ) 的最大值和最值，写出此时的x 的集；（2）求f (x ) 的单调

110

9. 已知f (x ) =2cos x +3sin 2x +a , (a ∈R ), x ∈[

10. 已知f (x ) =a sin x +b cos x （1）当f () =

ππ

, ]时，f (x ) 的最大值为4，求a . 42

2时f (x ) 的最大值为，求a , b 的值；

（2）当f () =1

11. 已知函f (x ) =sin(ωx +?)(ω>0, 0<><π) 是r="">

3π

, 0) 对称，4

]上是单调函数，求ω, ?的值.

111

第2节余弦、正切函数

一、课前预习

（一）知识点梳理

3. 函数y =cos x , y =tan x 在一个周内的大

4. 研究三函数的基本思想是：

y =A tan(ωx +φ), 的形式后，再讨论该函数的奇偶、单调

（二）基练习 1.

) 的最小值为x =，最

?ππ?

), (x ∈?-, ?) 是（） 2?22?

A. 增函 B. 减函数 C. 偶函

3. 下列数中，既为偶数又在区间(0, π) 上单调递

πx

(-) D . y =cos A . y =x B . y =cos(-x ) C . y =s i n x 22

1-cos x

4. 函数y =的最小正周期为sin x 2

5. 函数y =sin 2x 的值

6. 函

sin x cos x

的值域是1+sin x +cos x

8. 已知

π3π

]，求f (x ) 的最值. （1）求f (x ) 的最小正周

7. 函数y =

112

二、典型例题

例1.

讨论函数y =cos x cos(x +

) -sin x sin(x +

) 的最小正

x 的值.

例2.

已知函数f (x ) =cos(2x -

) +2sin(x -

) sin(x +

)

（1）求函数f (x ) 的最小正期和图像的对称轴方程；（2）求函数f (x ) 在区

已知函数f (x ) =x 2+2x ?tan θ-1, x ∈[-1, ]，其中θ∈(-

, ]上的值域. 122

ππ

, ) 22

（1）当θ=-

时，求函数y =f (x ) 的

（2） θ的取值范围，使y =f (x ) 在区

例4. 已知函

[]

) ，直线x =t (t ∈R ) 与函数f (x ), g (x ) 的图像分别

时，求MN 的值；

（2）求MN 在t ∈?0,

?π?

时的最大值。 ??2?

113

三、反馈练习

1. 函数y =cos 2x 在R 上的递增

（1）对任意的φ, f (x ) 都是非

其中假命题序号是，因为当φ= 时，该

3. 已知下列四个命题：（1）y =tan x +x , (2) y =tan x ?cos x , (3) y =2cos x -cos x ，（4）y =x ?tan x ，其中是奇函数的序号为

4. 设函f (x ) =cos 2x ，若f (x +t ) 奇函数，

5. “a =1”是“函数y =cos ax -sin ax 的最

A. 充分非必要条 B. 必

) 的最小正周期为

，其中ω>0，则ω= 5

3cos x +cos(

+x ) 的

x 3π1

+), (x ∈[0, 2π])的图像和直线y =的交点个数是222

8. 在同一平直角坐标系中，函

（）

A.0 B.1 C.2 D.4

9. 函数y =cos 2x 的图像向单位，得到函数y =cos(2x -10. 为了

) 的图像.

) 的图，只需将数y =sin 2x

5π5π长度单位 B. 向右平移个

C. 向平移个长

11. 函数y =3cos(ωx +?)(ω>0, 0<><π) 为奇函数，a="" 、b="" 分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且="">

A . x =1 B . x =2 C . x =

D . x =

114

12. 已知

x x x

cos -2sin 2+3 444

（1）求函

12. 已知函

) ，判断函数g (x ) 的奇偶性，并说明理由. 3

) cos(x -

) +3sin 2x

（1）若x ∈R ，求函数的最小正周期、值域及单调

13.

π3π

4, 4

]，求该函数的值域及

) -2cos x , x ∈[, π] 62

，求函数f (x ) 的值； 5

（2）求函数f (x ) 的值域.

115

第3节形如y =A s i n ω(x +φ) 的函数

一、课前预习

（一）知识点梳理

1. 函数y =A sin(ωx +φ)(A >0, ω>0) 中，A 叫做φ叫做，函数的周期T =，频率f = 2. 图像的变换：

（1）如

答：（2）如何将函数y =sin x →

答：（3）如何将

答：（二）基练习 1.

x x π

的图像，

ππ

个长度单 B. 向右平移

C. 向平移个长

2. 给出下列六种图

（1）图像所有点的纵坐标变，横坐标缩短为原来的标伸长为原来

；（2）图像所有点的纵坐

ππ个单位；（4）

2π2π

个单位；（6）图像向左平移个位；请用上述变换中的两种变换，将函

x π

变换到函数y =sin(+) 的图像，那么这两种变换正确的

顺序填上一你认为正确的标即可） 3. 利用“五点法”作

116

x π

+) 的简图，并指

二、典型例题

例1. (1)把函y =sin x 的图

个单位，再把有图像上的点横坐

，得到的图像所

πx ππ2π

) A. y =sin(2x -) B. y =sin(+) C. y =sin(2x +) D. y =sin(2x +

32633

(2) 若函y =f (x ) 所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将

π1

个单位，沿y 轴向下平移1个单，得到曲线与y =sin x 图像相同，f (x )

1π1π

A . y =sin(2x +) +1 B . y =sin(2x -) +1

22221π1π

C . y =sin(2x +) +1 D . y =sin(2x -) +1

2424

例2. 已知函y =A sin(ωx +φ)(A >0, ω>0, <, b="">

移

最低点为（8，-4），试确定此

例3. （1）已知函数y =sin 2x +a cos 2x 的

（2）函数y =sin x cos x +cos 2x -3的图像一个对称中

对称，求a .

A .(

2ππ2π5π, -) D .(, -) , -) B .(, -) C .(-333262

（3）关于函数f (x ) =4sin(2x +

)(x ∈R ) 有

①由于f (x 1) =0, f (x 2) =0可知x 1-x 2是π的整数倍； ②y =f (x ) 的表达式可改写为f (x ) =4cos(2x -③y =f (x ) 的图像关于点(-

)(x ∈R )

, 0) 对称；④y =f (x ) 的

对称；

其中正确的命题

117

三、反馈练习

1. 叙述如何

2. 函数y =A sin(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<><2π)>

1π

sin(2x +) 得图像得到y =sin x . 33

2π

，且它的图像过 3

(0, -2) ，求

3. 已

) ，且y =f (x ) 的最大值

对称轴的距离为2，并过

（1）求φ；

) （2）计算f (1) +f (2) +f (3) + +f (2010

4. 在下列各组值中，能使函f (x ) =sin(ωx +?) -3cos(ωx +?)(x ∈R ) 既是偶

]上为增函数的是（）

1π15π2ππ, ?= B . ω=, ?= C . ω=2, ?=- D . ω=2, ?=- 232636

A . ω=

5. 函数y =sin(ωx +φ)(x ∈R , ω>0, 0≤φ<2π)>

A . ω=

, ?=

B . ω=

, ?=

5π C . ω=, ?= D . ω=, ?=

4444

πππ

118

6. 下函数中，图象

π?

? （B ）y =sin 2x -

π?

? 6?

（C ）y =cos 4x -

π?

? （D ）y =cos 2x -

π?

? 6?

7. 将函数y =f (x ) 的图像向右平移

个单位，再将所得像上各点的横坐标伸长

坐标不变；最后所得图像向平移2个单，得到曲线与函数y =cos x 图像重合，则f (x ) 解析

332π2π

C . y =cos(2x +) -2 D . y =c o s 2(x +) +2

8. 函数y =sin 2x 的像向右平移?(?>0) 个单位，得到图

A . y =cos(2x +

) -2 B . y =c o s 2(x -

) -2

对称，则?的最小值

A .

5π11π11π

B . C . D .

9. 设点P 是函数f (x ) =sin ωx 的图像C 的一个对称中心，若P 到图像C 的

，则f (x ) 的最小正周期是（） 4

ππ

A . 2π B . π C . D .

?π?

10. 将

6??

值是

后的图象图所示，平移后的图象所对应函数

A．y =sin(x +C ．y =sin(2x +

) B．y =sin(x -)

) D．y =sin(2x -) 33

11. 已知函数 f (x )=Asin(ωx +?)(A>0, ω>0, x ∈R) 在一个周期内的图象如

求直线 y =

3与

119

第4节反

一、课前预习

（一）知识点梳理 1. y =sin x , x ∈[-

ππ

, ]的反数称为反正弦函

2. y =cos x , x ∈[0, π]的

ππ

, ) 反函数称为反

（二）基

2ππ

, 且x ∈[-, ],x = 2222

, 且x ∈[0, 2π],x = 2

, 且x ∈[0, π],x = 2

（2）已知sin x =

（3）已知cos x =-

120

, 且x ∈[0, 2π],x =21ππ

（5）已知tan x =-, 且x ∈(-, ), x =

4221

（6）已

2. 求

（4）已知cos x =-

二、典型例题

例1.

求下列函数的定义

（1）f (x ) =arcsin(x -1) ，定义域为；值域为（2）f (x ) =2arccos(

-x ) ，定义域为；值域为 2

（3）f (x ) =x +1，

例3.

x ∈[-, 1]的最值

≤x ≤

2π

) 的值域 3

1-x ) 的x 的范围例4. 求满足不等式arcsin x

例5. 设β=sin x x ∈(-

π5π

6, 6

]，求arccos β的范围

121

三、反馈练习

1. 直

，则∠A 3

3. f (x ) =arcsin(2-x ) 的定义域为 4. 给出四个函数：（1）y =arccos x ；（2）y =为

5. y =x +arcsin x , x ∈[0, ]的值域为 6. arcsin x >1，则x 的值范围

（3）y =arctan x ；其中偶函数的-arccos x ；

A .(1, ] B . (s i 1n , 1] C .(sin1, ] D . φ

π5π

]，则arccos x

8. 函数y =arccos x -π的奇偶性是

29.

1-2x

的反函数的最大值是，

11. 在?ABC 中，∠B =arccos(-x ), a =3, c =6，当x 变化时，

10. y =3arccos

122

第5节最简

一、课前预习

（一）知识点梳理

1. 三角方程：有未知数的三角函数的

2. 在三角程中，形如sin x =a , cos x =a , tan x =a 的程统

1. 求下列三角

, x ∈R 解

（2）. cos x =-

（3）. tan x =-1, x ∈R 解集为

2. 已知sin α=

, （1）若α为锐

（2）若α为三角形内

123

二、典型例题

例1. 求下列方

(1)2tan x +1=0 (2)2cos 2x =1 (3)3sin(2x +

例2. 根据条件，求下列方程的解集（1）cos(x +

（3）2sin 2x -1=0, x ∈(0,

例3. 求下列方

（1）3sin x +2sin x -1=0 （2）sin

) =1

) =

1π

, x ∈(0, 2π) （2）3tan(x +) =3, x ∈(0, π) 23

)

x x

-cos =1 22

例4. 已知cos(2x +

例5. 设关于x 的方程sin x -3cos x -k =0, x ∈[-π, π] 1）方程

2）就k 的变化，讨论

124

) =-, x ∈(0, 2π) 求满足条

三、反馈练习

1. 若α是三角形

，则α 2

的α的集合 2

3. 若sin 2x =-

，且0<2π，则x>

，则x 2

4. 若sin 2x =-

5. 已知3tan x =1，则x 6. tan 2x +1=0在区间（1,3）内解 7.

, α∈R ，则α3sin x -cos x =1的解集为

, x ∈[0, 2π]，求x = 2

9. 已知sin x +cos x =10. 若x =

是方程2cos(x +α) =1的解，α∈(0, 2π) ，则α

11. 三角方程2sin(

-x ) =1的解集为（）

π5π????

A . ?x x =2k π+, k ∈Z ? B . ?x x =2k π+, k ∈Z ?

33????ππ????

C . ?x x =2k π±, k ∈Z ? D . ?x x =k π+(-1) k , k ∈Z ?

33????

12. 设关于x 的方程2cos 2x +4sin x +m -2=0, x ∈[-1）方程有两解 2）方程

ππ

, ]，分别

125

第6节三角

一、课前预习

知识点梳理

??正弦函数??基本图像?余弦函数?

?正切函数?

??奇偶性????

三角函数?基本性

??值域与最值?????对称性?

?数形结合?

基本方法?整

?化归???二、

例1. 已知量m =(sin x , 1) ，=(cos x , （1）

（2）若a ，b ，c 是?ABC 的角A ，B ，C 的对边，a =2，c =22，且f (A )

例2. 已知数f (x ) =A sin(ωx +?), x ∈R (

) ，函数f (x ) =(m +n ) ?m ． 2

]上的最大值，：角A ，角C

) 的图像与x 轴

π2π

, -2) ，且图像上一个最

ππ

(1) 求f (x )

相邻两个交点之间

122

126

2π， 3π

（1）求ω的；（2）若函数y =g (x ) 的图像是由y =f (x ) 的图像向平移个

y =g (x ) 的

例3.

ωx (ω>0) 的

例4. 如图，某拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函

ω>0) x∈[0,4]的图象，

S(3，

；赛道的后一

ω的值和M ，P 两

（II ）应如何计，才能使折线段

三、反馈练习

1. 函数y =2cos x +sin 2x 最小值是 2. 函数y =cos 2x +sin x cos x 的最小正周期是3. 函数y =sin x +arcsin x 的值域

) =1在区间(0, π) 内的解是

127

5. 设x =sin α, α∈[-

π5π

6, 6

]，则arccos x

6. 函数y =A sin(ωx +φ)(A , ω, ?为常数，A >0, ω>0），在闭间[-π, 0]上的

πx

≥kx 成立，实数k 的取值范围_____________ 时，不等式sin 7. （09上海

8. 已知函f (x ) =sin x +tan x . 项数为27的等差列{a n }满

?ππ?

?，且公差d ≠0. 若22??

f (a 1) +f (a 2) +?+f (a 27) =0，则当k =___________时，f (a k ) =0.

9. 函数y =sin(x +

)(x ∈[-

ππ

, ])是（）

A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 10. 下列函数中，既为偶又(0, π) 上是单

πx

A . y =x B . y =c o s -(x ) C . y =sin(x -) D . y =c t

11. 已知y =f (x ) 是

x 1

，则f (x ) =

π5π????

A . ?x x =2k π+, k ∈Z ? B . ?x x =2k π+, k ∈Z ?

33????ππ????

C . ?x x =2k π±, k ∈Z ?

D . ?x x =2k π+(-1) k , k ∈Z ?

3???

12. 已知数y =2sin(ωx +φ)(ω>0) 在区间[0, 2π] 图像如下：

A . 1 B . 2 C . D .

13.

)(ω的最小正

（1）求ω的值；

（2）求函数f (x ) 在区间[0,

2π

]上的取值范

128

14. 已知

x x x

cos -2sin 2+3 444

（1）求函

15. 已知函数f (x ) =sin(ωx +?) -cos(ωx +?)(0<><π, ω="">0) 为偶函数，且函数y =f (x ) 的图

(1) 求f () 的值；

) ，判断函数g (x ) 的奇偶

π 2

(2) 将函数y =f (x ) 的图像向右平移

个单位后，再将到的函数图像上各点

原来的4倍，纵坐标不变，得到y =g (x ) 的图像，求y =g (x ) 的单调递减区间.

16. 已知?ABC 的面积为3，满足0≤AB ?AC ≤6，设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取范围；（2）

+θ) -3cos 2θ的最

129

初三三角函数

龙文教-------您个学龙得信龙的龙龙化

龙文育性化龙龙

教龙, 林晶学生, 仕黄鑫龙, 年月日段一、

教学目龙,初

2,能龙地用确sinA、cosA、tanA表示

3,逐步培龙生察学、比龙、分析～

教学重龙点,

1,重点教学: 正弦～余

2,龙点教:用含有字母符龙几个号siaA、cosA、tanA

切

B二、授龙容,内

龙角三角函数

??【知龙梳理】?A的龙龙斜龙,1当它与直角角形的龙角固定龙～的龙龙斜龙的比龙是固定龙～。2, sinA、cosA、tanA分

A?A的龙龙?A的龙龙?A的

4、龙角三函的龙都是正

?【融知于龙】?

、如龙在～?～?～～

龙文教-------您个学龙得信龙的龙龙化

龙龙,直角三角形中～角龙龙斜龙的比龙与 30? 、如中～?～?～～求2RtABC?C=90?A=45?AB=2m?BC?龙龙斜龙比龙是一定

3、?当A取其他一定度龙角龙～数?它与的龙龙斜龙

??【典型例

探究,任意画和RtABC?例1,

～使得?RtA′B′C′?C=C?

～?～′=90?A=A′=a?

BCBC''与那有什龙龙系,能解龙一

龙龙,龙就龙～在直角三形中～龙角当的度一定龙～不管三形的大

的龙龙斜龙的比与

斜龙c 龙龙a

ACb

龙文育教-------您个学龙得信的龙龙化性化龙龙校例, 如龙～在中～?～和

13533

CAA4C

(2) (1)

?【固龙龙巩】?

1,三角在正方形格

343

354A A, B, C, 4

5D,

o2,如龙～在

B C 5～AC,4～龙cosA,; ,

A, 　B, C, 　D,

3,如

baA, B, C,

abD.2222abab++

、把各龙龙度都龙大倍

余弦龙的龙系龙; ,

,,,,不AcosA=cosA′ BcosA=3cosA′ C3cosA=cosA′ D

1、知龙点回龙。

龙文育-------您学龙得信龙的龙龙化性化龙

四、生龙于本次龙

? 特龙龙意 ? 龙意 ? 一般 ? 差

生龙字,学五、龙龙定,教

、生次作龙龙价, ?好学 ?

、生次上龙情价, ?好学况 ? 龙

龙龙字,

龙文育龙龙,教教

龙后作龙1,如龙～已知是射龙上的任意一点～于～且,,11POBPMOA?MPMOM=3

～龙α的龙等于; ,4cos

3443, , , ,ABCD4553

龙文教-------您个学龙得信龙的龙龙化

龙龙龙1 2 3

,在?中～?～?～?～?

中正的是; ,确

,,,,以上均不正确Aa=c?sinB Ba=c?cosB Ca=c?tanB D

2,在中～?～～龙等于; ,3RtABC?C=90?cosA=tanB3

3255 , , , ,ABCD55532

,在中～?～～～龙4RtABC?C=90?AC=5AB=13

～～,sinA=______cosA=______?tanA=_______,如龙～在?中～?～,,～龙52ABCC=90?BCAC=12

～～,sinA=_______cosA=______tanB=______

,如龙～在～?～～～龙?的

,如龙,,～在?中～?～～～

?提高龙龙

龙文教-------您个学龙得信龙的龙龙化

7～龙α～α,,已知,α是

,如龙～α的龙点在角坐龙9系的原点～一龙在

;～,～求角α的三三角函龙,个数3P22

,在中～的龙分龙

龙文教-------您个学龙得信龙的龙龙化

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