2、在△ABC,∠A+∠B=110o,∠C=2∠A,则∠A= ,∠B= . 3、直角三角形中两个锐角的为20o,则
4、如下
A
A
A
D
2
F
G
B
D
C
B
1
E
C
B
DE
C
图1 图2 图3
5、如图2,已知∠BDC=142o,∠B =34o,∠C=28o,则∠A= .
8、如图3,CD⊥AB于D,EF⊥AB于F,∠DGC=111o,∠BCG=69o,∠1=42o,则∠2= . 9、如
A
A
E
H
B
F
D
C
B
F
C
图4 图5
10、如图5:△ABC中,∠B=∠C,E是AC上一点,ED⊥BC,DF⊥AB,垂足分
11、△ABC中,BP平分∠B,CP平分∠C,若∠A=60o,则∠BPC= .
选择题
12、满
C、∠A=2∠B=3∠C D、一个外角于和它相邻的一个内角 13、如图6,∠ACB=90o,CD⊥AB,垂足为D,下列论错误的是( ) A、 图中有三
C、∠1
15、下图左:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
A、180o B、360o C、540o D、720o
17、下
A、角大于的余角 B、锐
E
C、钝大于它补角 D、锐角与
1
1
C
A
D
B
A
图6
F
B
C
D
图7
18、已知下列:①相等的角是对顶角;②互补的角就是平角;③互补的两个角一定是一个锐角,一个为钝角;④平行于同一条直线的两直线平行;⑤补角的平分线
A、0 B、1个 C、2个 D、3个
20、图8,果AB∥CD,则角α、β、γ之间的关系
AB
A、 α+β+γ=360o
B、 α-β+γ=180o
?C、 α+β+γ=180o E
D、 α+β-γ=180o 图8 ?
CD
6、
1
?C的三角形是2
( )
A、锐
解答题
21、
B
O
A
C
D
22、
A
D
BC
2
26、
B
E
4
3
F
D
2
C
1
A
27、
A
5、如
3
A
BC
6.如图,在△ABC中, AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,∠BAC=80,∠B=60;求∠AEC的度数.
7、
如图,ΔABC中,∠ABC∠ACB的平分线交于点I,根据下列件,求∠BIC的度数。 ①若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BIC= 。 ②若∠ABC+∠ACB=100°,
⑤从上述中,我们能
00
C
拓展:如图,BE、CD相交
E D
FC
B
A
.22。
B
DC
4
公式三角形
口诀:头
注:个位
2. 头相,尾补(尾相加等10) : 口诀:一个头加1后,头
注:个位
3. 第一数互补,另一个数数字相同: 口诀:一个头加1后,头乘头,尾乘尾。 例:37×44=? 注:
4. 几十一乘几十一:
口诀:乘头,
5.11乘任意数:
口诀:首尾不
注:和满十要进一。
6. 十几乘任意数:
位数,再向下
各种图
三角形公式
1 在直角三角形中,如果一个锐等于30°那么它所对的直边等于边的一半 2 直角三角形斜边上的中线等于斜
3勾股定理
直角三角形两直角边a 、b 的平和、
4勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c 有
5定理
四边形的内角和
6多边形内角和定: n边形的角
7平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
8平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
9推论
夹在两条平行线间
10平行四边形性
11平行四边形判定理1 两对
12平行四边形判定理2 两对
13平行四边形判定理3 角
14平行四边形判定理4 一对
15矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
16矩形性质定理2 矩形的对角线相等
17矩形判定定理1
18矩形判定定理2 对
19菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
20菱形性质定理2 菱形的对线互相垂直,并且每一对角线分一组
22菱形判定定理1
23菱形判定定理2 对线
24正方形性质定1 正形
25正方形性质定理2 正方形的两条对角线,
26定理1 关于中
27定理2 关于中心对称的两个图形,对称点线经过对称中心,并且被对称中心分 28定理 如两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个 图形
29等腰梯形性质定理 等
30等腰梯形的
76等腰梯形判定理 在同底
77对角线相等的
31平行线
如果一组平行线在一条直线上截得的线段,那么在其他直线上截的线相等 32 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,
33 推论2 过三角形一边中点
34 三角形中位线理 三角的中
35 梯形中位线定理 梯形的中位线平行
三角形公式
三角形公式
1 过两点有且
2 两点之
3 同角或等
4 同角或等
5 过一点有且只有
6 直线外一点与直线上各点
7 平行公理 经直线外一点,有
8 如果两条直线都和第三条线
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相
11 同旁内角互
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形
16 推论 三角形
17 三角形内角和定理 三
18 推论1 直角三
19 推论2 三角形的一个外
20 推论3 三角形的一个外
21 全等三角形的
22边角边公理(SAS) 有两边它
23 角边角公理( ASA)有两和它
24 推论(AAS) 有两角和其一
25 边边边公理(SSS)
26 斜边、直角边公(HL) 有斜和一
27 定理1 在角的平分线的
28 定理2 到个角的两边的离
29 角的平分线是到角的
30 等腰三角形的质定理 等腰角形
31 推论1 等腰三角形顶角
32 等腰三角形顶角平分线、边
33 推论3 等三角形的各角相
34 等腰三角形的判定定理 如果一个角有两个角相等,那么这个角所的边也相(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中,如果一个锐角等
38 直角三角形斜边的
39 定理 线段直平分线上点
40 逆定理 和一线段两个端点离相
41 线段的垂直分线可看作和段
42 定理1 关于某条线
43 定理 2 如果个图形关于某直
44定理3 两个图关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那交在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应连线被同一条垂直平分,那么这个图关于这条直线对称 46勾定
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和
49四边形的外角
50多边形内角和理 n 边形内
51推论 任意多边的
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条
55平行四边形性质定理3 平
56平行四边形判定理1 两组角
57平行四边形判定理2 两组边
58平行四边形判定理3 对线
59平行四边形判定理4 一组边
60矩形性质定理1
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有个
63矩形判定定理2 对线
64菱形性质定理1
65菱形性质定理2 菱形的对角线相垂
66菱形面积=对角线乘积的
67菱形判定定理1 边
68菱形判定定理2 对角互
69正方形性质定理1 正方形
70正方形性质定理2正方形的两条角线相等,并且互相垂直分,条对角平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图
72定理2 关于中心称的两个图形,对点连
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都某一点,并且被这一点平分,那么个图形关这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上
75等腰梯形的
76等腰梯形判定理 在同一上
77对角线相等的
78平行线等分线段定理 果一组平行线在一条直截得
79 推论1 经梯形一腰的点
80 推论2 经过角形一边的中与
81 三角形中位线理 三角形的位线
82 梯形中位定理 梯形的中位线平行于两底,并且于底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那
84 (2)合比性质 果a /b=c/d,
85 (3)等比性质 如果a /b=c/d=?=m/n(b+d+?+n≠0), 那么 (a+c+?+m)/(b+d+?+n)=a/b
86 平行线分线段比例定理 三条行线
87 推论 平行于三角一边的直线截其他边(
88 定理 如果一条直线截三形的两边(或两边的延长)所得对应线段成比例,那么这条直线平行于三角
89 平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形三边原三角形三边对应成比例 90 定理 平于三角形一边线和其他两边(两边的长线)相交,所构成的三角与三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三
92 直角三角形斜边上的高分的
93 判定定理2 边对应成比例夹
94 判定定理3 三边对应成
95 定理 如果一个直角三角形斜边和一条直角边与另个直三角形斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角
96 性质定理1 相三角形对应高的比,应
97 性质定理2 相似
98 性质定理3 相似三形
99 任意锐角的正弦等于它的余角的余值,
100任意锐角的正切等于它的余角的余值,
101圆是定点的距离
102圆的内部可以看作是心
103圆的外部可以看作是心
104同圆或等
105到定点的距离于定长的点的
106和已知线段两端点的距离相的
107到已知角的两边距离相的
108到两条平行线距相等的点的轨迹,是和
109定理 不在同一线
110垂径定理 直于弦的直径分
111推论1 ①分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分所的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所两条弧③平分所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平
113圆是以圆心为
114定理 在同圆或等中,相等的圆心角所的弧
115推论 在同圆或等圆中,如两个圆心角、两条弧、两条或两弦弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各
116定理 一条弧所对的圆
117推论1 同弧或弧所对的圆周角相;同
118推论2 半圆(直径)所对的圆角
119推论3 如果三形一边上的中线于这
120定理 圆的内四边形的对角补,
121①直线L 和⊙O 相交 d r
122切线的判定定 经过半径的端并
123切线的性质定理 圆
124推论1 经过圆心且
125推论2 经过切点且
126切线长定理 从圆外点引圆的两条切线,它的切
角
127圆的外切四边形
128弦切角定理 弦切等
129推论 如果个弦切角所夹弧
130相交弦定理 圆内的两条相交,
131推论 如果弦与径垂直相交,那么的一
132切割线理 从圆外一点引圆的切线和割线,长是这点到割线与圆交点的两条段长的比中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条
134如果两个圆相切,那
135①两圆外离 d >R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤
136定理 相交两圆的心
137定理 把圆分
⑴依次连结各分点所得的多形
⑵经过各分点作圆的切,以相邻切线的点为
138定理 任何正边形都有一个接
139正n 边形的每个内角等
140定理 正n 边的半径和边心距
141正n 边形
142正三角形面积√3a /4 a表示边长
143如果在一个点周围有k 个
360°,因此k ×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:L=n兀R /180
145扇形面积公式:S 扇形=n兀R^2/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a ≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a ≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注:
b2-4ac>0 注:
b2-4ac<0>0>
三角函数公式 两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
1. 三角形任意边之和大于第
2. 三角形内角
3. 三角形的外角于不相邻的两个角
4. 全等三角形的对
5. 三边对应相等
6. 两边和它们的夹角应
7. 两角和它们的夹边应
8. 两个角与其中一个角的边
9. 斜边和一条直角边对相
10. 等
11. 等腰三角
12. 等
13. 等边三角的三个内角都
14. 三个角都相等
15. 有一个角等于60°的
16. 在直角三角形中, 如果一个锐角等
17. 勾股定理.
18. 勾股定
19. 三角形的中位线平行于
20. 直角三角形斜边
21. 相似多边形的对应
22. 平行于三角形边的直线与其他边相
23. 如果两个角形三组对应边比
24. 如果两个三角形组对应边的比相等, 并且
25. 如果一个三角形两个角与另一个三的
26. 相似三角形的
27. 相似三角形的积
28. 锐
课外:1.海伦公式假设有一个三角形,分别为a 、b 、c ,三角
而公式里的p 为半周长: p=(a+b+c)/2
2. 三角形重心定理:三角形三条中线交于一点, 这点叫做角形的重心, 三角形的重心是每条中线的
3. 三角形中线公式:在ΔABC 中,AD 是中, 那
4. 三角形角平分线公:在ΔABC 中,AD
这两天在看代码时发现关于三角形的这些本理和公式很有用,所以网上搜下,主要三角形的正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式(包括
正弦定理
Sine theorem
在一个三角形中,各边和
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R 在同一个三形中量,是此
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R 为三角
证明
步骤1.
在锐角△ABC 中,
CH=a?sinB
CH=b?sinA
∴a ?sinB=b?sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC 中,
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
如图,任意三角形ABC,
作直径BD 交⊙O 于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直
因为同弧所对的圆周角相
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其
意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角正之间的一个关系式,又由弦函数间上的单 调性可知,正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一
余弦定理
余弦定理是揭示三形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已三形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求的问题,若对定理加以变形适当移其它知识,则使用起来
(注:a*b、a*c就是a b 、a 乘c 。a^2、b^2、c^2就是a 的平方,b 的平方,c
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明:
∵如图,有a →+b→=c→
∴c ?c=(a+b)?(a+b)
∴c^2=a?a+2a?b+b?b ∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)
再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC 移到左边表
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
平面几何证法:
在任意△ABC 中
做AD ⊥BC.
∠C 所对的边为c ,∠B 所的
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方,那么第三所对的角一定是直角,如果小于第三边平方,那么第对的角是钝角,果大于三边的平方,那么第三边所对角锐角。即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。同时,还可以用余弦定理求
海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、龙公式、希罗公、海伦-九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron, 称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长求取三角形面积。Morris Kline在1908年出版的著考证,这条公式其实是基
假设有一个三角形,边
S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p 为半周长:
p=(a+b+c)/2
注1:"Metrica"(《度量
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p 作
由于任何n 边多边形都可以分割成n-2个三角形,以伦公式可以用作求多边形面积的式。比如量土地的面
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》) 中的原始证明不同,在此我们三角公公式变形
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC 面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也出了“三斜求积”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,经有三角公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土的面积并不是的三,要找出它来并非易事。以他们想了三角形的三边。如果这样做求三形的积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家
秦九韶他把三角形的条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三求术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数半,自乘而得一数小斜方乘以大斜平方,送到上得
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q 为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P =1时,△ 2=q,
S △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S △=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全致,所以这一式
S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式,我可以将其继续广
已知四边形ABCD 为圆的内接四形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD 的面积 这里用海伦
S 圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p 为周长一半,a,b,c,d, 为4边)
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种
关于三角形的面积计算公
设△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,ha 为a
S △ABC =1/2 aha=1/2 ab×sinC =1/2 r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S △ABC = 就是著名的海伦公,在
海伦公式在解题中有
一、 海伦
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S △ABC = aha入手,运用勾定理推导海伦公式。 证明:如图ha ⊥BC ,根据勾
x = y =
ha = = =
∴ S △ABC = aha= a× =
此时S △ABC
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运斯
斯氏定理:△ABC
若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明:由证一可,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S △ABC = aha = a × = 此时为S △ABC 的变形⑤,得证。 证:余弦定理 分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对进证明。 证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC 三角形计算公式,故得证。 证:恒等式 分析:考虑运用S △ABC =r p,因为有三角形接圆半径现,可考应用角函数的等式。 恒式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg ? tg + tg ? tg + tg ? tg = 1 证明:如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒式,: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图知:a +b -c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 ? = 两边同乘以 ,得: r 2 ? = 两边开方,得: r ? = 左r ? = r?p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。 证五:半角定理 半角
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所需对海伦公式进行推广。由于三形内接,所以猜海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD 中,设p= ,
现根据猜想
证明:如图,延长DA ,CB 交于点E 。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB ~△ECD
∴ = = =
解得: e = ① f = ②
由于S 四边形ABCD = S△EAB
将①,②跟b = 代
∴S 四边形ABCD =
所以,海伦公式
四、 海伦公式
海伦公式的推广在实际解题中有着泛的应用,特别是在有关圆接四边的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往
例题:如图,四边形ABCD 内接于圆O 中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求:四边形可能
解:设BC = x
由海伦公式
(4-x)(2+x)2 =27
x4-12x2-16x +27 = 0
x2(x2—1) -11x(x-1) -27(x-1) = 0
(x-1)(x3+x2-11x -27) = 0
x = 1或x3+x2-11x -27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
∴ 四边形可能
在程序中实现(VBS):
Dim a,b,c,p,s
a=inputbox("
a=cint(a)
b=inputbox("
b=cint(b)
c=inputbox("
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgbox s, ,"三角形面积"
锐角三角形:三个角都小于90 。并不是有一个锐角的角形,是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐
b. 直角三角形(简
⑴直角三角形两
⑵直角三角形斜边上
⑶在直角三角形中,如有一个锐角等于30°,
⑷在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边
相反);
(1)三角
(2)三角
二、三角形的性质
1.. 三角形的任何两边和一定大于第三边 ,此亦
2. 三角形内角
3. 等腰三角形的角平分线,底的
4. 直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平--股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边
5. 三角形的外角等于其
6. 一个三角形
三、三角形的边
(1)三角形三内角
(2)三角形的一个外角等和
(3)三角形的一个外角大任
(4)三角形两边之和大于三
(5)在同一个三角形内,大
(6)三角形中的条特殊的线:
1、三角形
三角形的一个角的平分线与这个角对边相交,连结这个角顶点交点的段叫做三角形的角平分线。(也叫三角形的内角
由定义可知,三角形
由于三角形有三个内角,以
2、三角形的中线
重心。
3、三角形的高
从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作线,点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简
由定义知,三角形
由于三角形有三条边,
三角形的三条高交一点,该点做
4、三角形的中位线
连结三角形两边中点的段
定理:三角形的中位线平行于第
四、等腰三角形
A 、等腰三角形的定义:有两边相等三角形是等腰三角形。相等两边做腰。另条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角。底边与腰的夹
B 、等腰三
1 .等腰三角形的两个底角相
2. 等腰三角形的顶角平分线,底边上的,
3. 等腰三角形顶角的平线
4. 等腰三角形
5. 等腰三角形两
6. 等腰三角形的两
7. 等腰三角形是轴对称图形,
8. 等腰三角形底边上的垂
C 、等腰三
如果一个三角形有两个相等,那么这两个所对
五、等边三角形
A 、等边三角形的定义:三边都相等的形叫做等边三角形。也称为“三角形”。 等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是
B 、等边三角形的性质:【具
1)等边三角形的内角
2)等边三角形每条上的中线、高线所
3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称是每边上的中线、高线或所对角的角平分线所
C 、等边三角形的判定:【首
(1)三边相等的三角是
(2)三个内角都相等
(3)有一个角是60度等
六、全等三角形
A 、全等三角形的定义:两个三角形的形状、小、都一样时,其中一个可经过平、旋转、折等运动(或称变换)使之与另一个完全重合,这两个三角形称为
当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点对应顶点,互相重合的边叫对应,互相重合角叫做对应角。由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,
B 、三角形
1. 边边【SSS 】三
B △C B △C
如:在△ABC 与△A ′B ′C 中:
如果 AB= A′B ′ AC=A′C ′ BC=B′C ′
那么 △ABC ≌△A ′B ′C ′
2. 边角边【SAS 】两边和它的
B △C B △C
如:在△ABC 与△A ′B ′C 中:
如果 AB= A′B ′ ∠A=∠A' AC=A′C ′
那么 △ABC ≌△A ′B ′C ′
3. 角边角【ASA 】两角和它的
B △C B △C
如: 在△ABC 与△A ′B ′C 中:
如果 ∠A=∠A' AB= A′B ′ ∠B=∠B'
那么 △ABC ≌△A ′B ′C ′
4. 角角边【AAS 】两个角和其一个
B △C B △C
如: 在△ABC 与△A ′B ′C 中:
如果 ∠A=∠A' ∠B=∠B' AC=A′C ′
那么 △ABC ≌△A ′B ′C ′
5. 直角三角形全等条件有:斜边、直角边【HL 】斜边和一条直角边对应相等的个直角
如果 AB= A′B ′ BC=B′C ′
那么 RT △ABC ≌RT △A ′B ′C ′
C 、全等
1、全等三角形
2、全等三角形
3、全等三角形的对应
4、全等三角形的对
5、全等三角形的
6、全等三角
7、全等三角
SSS, SAS, ASA, AAS, HL均为判定三角形全等的定理。
七、三角形的面积
三角形的面积=底×高÷2
S =a ×h ÷2
三角形的边长公式
a 方+b方-2abcosC=c方(a b c是3边,A B C分别是a b c对应的角)
它其实也包括了勾股理的. 当C=90度
a 方+b方=c
直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a 公式直求法
摘要:在直角三角形边abc 关系中,利用ab 边条件求得第三边,这是人的普做法。定a 公式直求法的发现打破了人们的传统识。利用定a 直求法,在abc 三边系中,只要给定一个a 值整,可求得另两边bc 的整解关系。这种方法简单方便,易教易学,具有特殊的
关键词 平方整数解公直
引言:a^2+b^2=c^2整数性,在2000多前就已被现。计算直角三型形边关系的勾弦定,体现了我国古代劳动人民的聪明智慧。代有关费马大定理的的研究,也大多a^2+b^2=c^2关系手。 关平方整数解的求法,古希腊数学家丢番图(Diophantna )给出的法则是√2ab 为完平方数时,可构造出a^2+b^2=c^2整关系。这里的平方整数解受ab 两个条件制约,而且这个理论也无回答,当a 为全整数时,a^2+b^2=c^2关系能否成立?现在用定a 式直求法,只要一个a 值条件,就可求得bc 的整解关系。同时由公式直求法得出,当a 为≥3的全体整数时,a^2+b^2=c^2 的整数解关系都成立。 一, 直角三形a^2+b^2=c^2的a 值奇
定理1. 如a^2+b^2=c^2是直角三角形的三整数长,则必有如下a 值的奇数列、偶数列
(一) 直角三角形a^2+b^2=c^2奇数列a 法则:
若a 表为2n+1型奇
a=2n+1
{ b= n^2+(n+1)^2-1
c= n^2+(n+1)^2
证:由勾股弦定理,若abc 为直角角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立,现将奇数列a 法则条件代入勾股弦定理
(2n+1)^2+(n^2+(n+1)^2-1)^2=(n^2+(n+1)^2)^2
化简后得到:
4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立;
由法则条件分别取n=1、2、3 ? 时得到了:
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
11^2+60^2=61^2
13^2+84^2=85^2
故得到奇数列a 法则成立
(二) 直角三角形a^2+b^2=c^2的偶数列a 法则:
若a 表为2n 型偶
a= 2n
{ b= n^2 -1
c= n^2+1
证:由勾股弦定理,若abc 为直角角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立,现将偶数列a 法则条件代入勾股弦定理
(2n )^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2
化简后得到:
n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1
即等式关系成立;
(这里需要说明,当取n=1时,有b= n2 –1=1-1=0,此时失三角形,故只能
4^2+3^2=5^2
6^2+8^2=10^2
8^2+15^2=17^2
10^2+24^2=26^2
12^2+35^2=37^2
14^2+48^2=50^2
故得到偶数列a 关系成立
故定理1关系成立
由定理1得出,当a 为≥3的全体整数时, a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。
二,直角三角形边
定理2. 如a^2+b^2=c^2是直角形边长的一组整数解,有(an )^2+(bn )^2=(cn )^2(其中n=1、2、3?)
证:由勾股弦定理,凡a^2+b^2=c^2是整
a c,根据平面线段比放大的原理,三等
b 2b 3b
4a 4c;? na nc,
4b nb 由a 、b 、c 为数条
3a 、3b 、3c ;4a 、4b 、4c ? , na 、nb 、nc 都是整数。
故定理2得证
应用例子:
例2.证明303^2+404^2=505^2是整数解?
解;由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整数解,根据增比计算法则,
以直角三角形 3×101 5×101 关系为边长,必有303^2+404^2=505^2
4×101
三,直角三角形边
3a + 2c + n = a1
(这里n=b-a之
定理3. 若直角角形a^2+b^2=c^2是满足b-a=n关的整数解,那么,利用以上3a+2c+ n = a1式连求得到的a1、a2、a3?ai 所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之
证:取n 为1,由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2,这n=b-a=4-3=1,根据 3a + 2c + 1= a1定差
a1=3×3+2×5+1=20 这时得到
20^2+21^2=29^2 继续利用公式计算得到:
a2=3×20+2×29+1=119 这时得到
119^2+120^2=169^2 继续利用公式计算得到
a3=3×119+2×169+1=696 这时得到
696^2+697^2=985^2
故定差为1关系成立
现取n 为7,
140^2+147^2=203^2 继续利用公式计算得到:
a2=3×140+2×203+7=833 这时得到
833^2+840^2=1183^2 继续利用公式计算得到:
a3=3×833+2×1183+7=4872 这时得到
4872^2+4879^2=6895^2
故定差为7关系成立
再取n 为129,我们有直角三角形387^2+516^2=645^2,这里n=516-387=129,根据 3a + 2c + 129= a1定差
a1=3×387+2×645+129=2580 这时得到
2580^2+2709^2=3741^2 继续利用公式计算得到:
a2=3×2580+2×3741+129=15351 这时得到
15351^2+15480^2=21801^2 继续利用公式计算得到:
a3=3×15351+2×21801+129=89784 这时得到
89784^2+89913^2=127065^2
故定差为129关系成立
故定差n
故定理3得证
以上给出了三种平方整数解的不同法,但是仍未能涵盖全平方数解,引入增元法概念后,我们将给出全体平方整数解的
定义.增元求解法
在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以的知数项元加入,使其构成式关系与求值运。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法,叫
四,直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“增元定a 计算法则”
定理4.如a 、b 、c 分别是直角三角三
a ≥3、4、5 ?
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q
c= b+Q
则此时,a^2+b^2=c^2是整数解;
证:在正方形面积关系,由边长为a 得到面积为a^2,若(a^2-Q^2)÷2Q =b(其中Q 为增元项,且b 、Q 是整), 则可把a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb,把分解关系下
Q2 Qb 后可得到一边长为 b+Q的
关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2可
Qb 的三
故定理4得证
应用例子:
例1.利用增元定a 计算法则求直角角
解:取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^- Q^2)÷2Q=(15^2-1^2)÷2 =112
c= b+Q =112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q=(15^2-3^2)÷6=36
c= b+Q =36+3=39
所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
例2.计算a=60
解:利用b=(a^2-Q^2)÷2Q ;c= b+ Q关系计算得到:
b=(60^2-2^2)÷(2×2)=899;c= 899+ 2; 所以有:60^2+899^2=901^2
b=(60^2-4^2)÷(2×4)=448;c= 448+ 4; 所以有:60^2+448^2=452^2
b=(60^2-6^2)÷(2×6)=297;c= 297+ 6 ; 所以有:60^2+297^2=303^2
b=(60^2-8^2)÷(2×8)=221;c= 221+ 8 ; 所以有:60^2+221^2=229^2
b=(60^2-10^2)÷(2×10)=175;c= 175+ 10; 所以有:60^2+175^2=185^2
b=(60^2-12^2)÷(2×12)=144;c= 144+ 12; 所以有:60^2+144^2=156^2
b=(60^2-18^2)÷(2×18)=91; c= 91+ 18 ; 所以有:60^2+91^2=109^2
b=(60^2-20^2)÷(2×20)=80;c= 80+ 20; 所以有:60^2+80^2=100^2
b=(60^2-24^2)÷(2×24)=63;c= 63+ 24 ; 所以有:60^2+63^2=87^2
b=(60^2-30^2)÷(2×30)=45;c= 45+ 30 ; 所以有:60^2+45^2=75^2
b=(60^2-36^2)÷(2×36)=32;c= 32+36 ; 所以有:60^2+32^2=68^2
b=(60^2-40^2)÷(2×40)=25;c= 25+ 40 ; 所以有:60^2+25^2=65^2
b=(60^2-50^2)÷(2×50)=11;c= 11+ 50 ; 所以有:60^2+11^2=61^2
增元定a 计算法则,当取a=3、4、5、6、7 ? 时,过满足Q 为整数的不同取值,将一个不漏地求出全部平
以上给出了三种平方整数解的不同法,但是仍未能涵盖全平方数解,引入增元法概念后,我们将给出全体平方整数解的
定义.增元求解法
在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以的知数项元加入,使其构成式关系与求值运。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法,叫
四,直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“增元定a 计算法则”
定理4.如a 、b 、c 分别是直角三角三
a ≥3、4、5 ?
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q
c= b+Q
则此时,a^2+b^2=c^2是整数解;
证:在正方形面积关系,由边长为a 得到面积为a^2,若(a^2-Q^2)÷2Q =b(其中Q 为增元项,且b 、Q 是整), 则可把a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb,把分解关系下
Q2 Qb 后可得到一边长为 b+Q的
关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2可
Qb 的三
故定理4得证
增元定a 计算法则,当a=3、4、5、6、7 ? 时,通过满足Q 为整数的不同取,将个漏地求全部平方整数解。这里,Q 的取值原则是:若a 为奇数,1,再把a^2标准解,取中若干重组因积的2倍小于a ,则因积为Q 。若a 为偶数,先把a^2标准分解,去掉一个2后取其中若干重组因数
应用例子:
例1.利用增元定a 计算法则求直角角
解:由Q 的取值原则分解a2得到:152= 32× 52,
取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^- Q^2)÷2Q=(15^2-1^2)÷2 =112
c= b+Q =112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q=(15^2-3^2)÷6=36
c= b+Q =36+3=39
所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
再取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q=(15^2-5^2)÷10=20
c= b+Q =20+5=25
所以得到平方整数解15^2+20^2=25^2
再取a 为15,选增元项Q
a= 15
{ b=(a^2-Q^2)÷2Q=(15^2-9^2)÷18=8
c= b+Q =8+9=17
所以得到平方整数解15^2+8^2=17^2
例2.计算a=60
解:由Q 的取值原则分a^2得到:60^2= 2^4×3^2×5^2 ,去掉个2有效因数为2^3×3^2×5^2,取这些因数重组不于60的偶数积
利用b=(a^2-Q^2)÷2Q ;c= b+ Q关系计算得到:
b=(60^2-2^2)÷(2×2)=899;c= 899+ 2; 所以有:60^2+899^2=901^2
b=(60^2-4^2)÷(2×4)=448;c= 448+ 4; 所以有:60^2+448^2=452^2
b=(60^2-6^2)÷(2×6)=297;c= 297+ 6 ; 所以有:60^2+297^2=303^2
b=(60^2-8^2)÷(2×8)=221;c= 221+ 8 ; 所以有:60^2+221^2=229^2
b=(60^2-10^2)÷(2×10)=175;c= 175+ 10; 所以有:60^2+175^2=185^2
b=(60^2-12^2)÷(2×12)=144;c= 144+ 12; 所以有:60^2+144^2=156^2
b=(60^2-18^2)÷(2×18)=91; c= 91+ 18 ; 所以有:60^2+91^2=109^2
b=(60^2-20^2)÷(2×20)=80;c= 80+ 20; 所以有:60^2+80^2=100^2
b=(60^2-24^2)÷(2×24)=63;c= 63+ 24 ; 所以有:60^2+63^2=87^2
b=(60^2-30^2)÷(2×30)=45;c= 45+ 30 ; 所以有:60^2+45^2=75^2
b=(60^2-36^2)÷(2×36)=32;c= 32+36 ; 所以有:60^2+32^2=68^2
b=(60^2-40^2)÷(2×40)=25;c= 25+ 40 ; 所以有:60^2+25^2=65^2
b=(60^2-50^2)÷(2×50)=11;c= 11+ 50 ; 所以有:60^2+11^2=61^2
例3.请利用定a 直求法则和增比则求出8个a 边长为11的直三角形长关系(b 、c 可取1~8位小数); 解:由
11^2+60^2=61^2 (a 取11,Q =1;)
11^2+9。6^2=14。6^2 (a 取110,Q =50;)
11^2+26。4^2=28。6^2 (a 取110,Q =22;)
11^2+3024。99^2=3025。01^2 (a 取1100,Q =2;)
11^2+30249。999^2=30250。001^2 (a 取11000,Q =2;)
11^2+7562。496^2=7562。504^2 (a 取11000,Q =8;)
11^2+15124。998^2=15125。002^2 (a 取11000,Q =4;)
11^2+10。43671875^2=15。16328125^2 (a 取1100000000,Q =472656250;)
本文给出求算平方数解的公式方法使
《学术评审团
在直角三角形三边a 、b 、c 中,任意给定一a 值整数,就可求得b 、c 整,这是一改变直角三角形a^2+b^2=c^2整数解计算理论现。其给出的求算方整数,特别是连续求得互素平方整解公式方法,角度新颖,直观、简单,易教、易学,为平方整数和问题建立了完
18三角形四边形求角
18三角形
求几何图
1.七边形
2.一个多
4 A(B( 5 C( 6 D( 7
3.如图,?ABCD中,下
AC=BD A(B( AC?BD C( AB=CD D( AB=BC
4.以下四个
5.如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的点,如
(
6.如图,在?ABCD,对角线AC、BD相成的
1
7.如图,在?ABC中,D,E分别是
8.若一个多边形的一个角等
9.
在?ABCD中,长AB到E,使BE,AB,连
D
第10
A(?E??CDF B(EF?DF C(AD?2BF D(BE?2CF
10.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
不能判断四边形ABCD
A( AB?DC,AD=BC
C( AB=DC,AD=BC B( AB?DC,AD?BC D( OA=OC,OB=OD
11.如图,在平行四边
2
12.如图,等边?ABC中,点D、E分
13.
在这四个条件中任两个作为已知条件,定
14.如图,?ABCD的对角线AC、BD
交于点O,点EAD的中点,?BCD的
15.如图,在?ABCD中,BC=10,sinB=,AC=BC,则?ABCD的面积是(
16.如图,在四边形ABCD中,对角AC、BD交于点O,AD?BC,请添加条件: ,使四边形ABCD为平行四边形(不添加任
17.正多边形一个外角的数是60?,则该正多形的数是18.一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长
积为 (
3 ,则它的面
19.如图,在?ABCD中,DE平分?ADC,AD=6,BE=2,则?ABCD的周长是 (
20.如图,在?ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF:BC=1:2,连接DF,EC(若AB=5,AD=8,sinB=,则DF的长
A(
B(
C( D( 2 21.
22.
23.正方形的
24.边长为3
cm的菱形
25.下列命是
26.如图,菱形ABCD,对角线AC、BC相交
4
27.如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)边AB上,以C为中心,把?CDB旋转90?,则旋转后点D的对应点D′的坐
28.如图,D为?ABC内部一,E、F两点分别在AB、BC上,且
ADC的面
)
A(16 B(24 C(36 D(54
29..菱的两条对角线长
30.知矩形ABCD的周长为20cm,两条角AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于?CDE与?ABF判断完全正确的
5
31.如图,在形AOBC中,点A标
C两点的坐
(
A((,3)、(,,4)
C((,)、(,,4) B( (,3)、(,,4) D((,)、(,,4)
32.如图,Rt?ABC中,?ACB=90?,D为斜边AB的中点,AB=10cm,则CD的长为 cm(
33.图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE垂直平分BC的延长
34.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的
6
35.
和AD的延长
36.
于点O,连
A( 28? B( 52? C( 62? D( 72?
37.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD
(若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )
38.与点A重合,则
A(
7 6 B(
12 C( 2 D( 4
39.如图,边长为2的正方形ABCD中,PCD的中点,连接AP并延长BC的延于点F,?CPF的外接圆?O,连接BP并延长交?O于点E,连接EF,则EF的
40.如图,在四边形ABCD中,AD?BC,DE?BC,垂足为点E,连AC交DE于点F,点G为AF的中点,?ACD=2?ACB(若DG=3,EC=1,则DE的
41.的直线
分别落边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与AD交于F,D′F与BE交于点G(设AB=t,那么?EFG的周长为 (用含t的
42.如图,将矩形ABCD沿CE向上折叠,使点B落在AD上的点F处(若AE=BE,则长AD与宽AB的比值
43.已知正形ABCD的对
44.菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的数之比
8
45.顺次连接矩形四中点所形成的四边形是线的分别
46.如图,四边形ABCD是菱形,O条对角线的交点,过O点的三直线将菱分成阴影和白部分(当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积
47.如果菱形的两条角线的长为a和b,且a,b满
48.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延线上,
A(
4 B(
C(
D( 2 49.
50.
51.的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N(正方形ABCD的变长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积
A(
a B( 2a C( 9 2a D( a 22
52.图,两个连接在一起的菱形的边长都1cm,一只电子甲虫,从点A开始ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行,当电子甲虫爬行2014cm时停下,则它停的位
53.圆心,大于线段AB长度一半的长径画弧,相交于点C,D,则线CD所求(连AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一
54.( )
A( 30? B( 60? C( 90? D( 120?
55.以下命是
A( 梯
B( 对角
C( 四边
D( 有两条相互直
56.正方形ABCD在直坐标系中的位置如下图表,将
A((2,0)
B( (3,0) 10 C((2,,1) D((2,1)
57.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6(
A( 4 B(
C(
D( 5 58.
59.
60.如图,将矩形纸ABCD折叠,使边AB、CD均
61.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB上,EF?AC于F,连接EC,AF=3,?EFC的周长为12,则EC的
62.如图,菱
11
63.如图,在四边形ABCD中,AD?BC,AB=CD=2,BC=5,?BAD的平分线交BC于点E,且AE?CD,则四边形ABCD
64.如图,在梯形ABCD中,AD?BC,?ADC=90?,?B=30?,CE?AB,垂足为点E(若AD=1,
AB=2,求CE的长(
65.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的点,
12
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