银屑病牛皮癣健康咨询
一、求面
1方法一:(d为P到AB的距离) S,AB,d,ABF22
1方法二:(其中、为A、B的
22xy61、已知椭圆C:(a,b,0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。 3，,1,22ab3
(?)
3(?)设直线l与椭C交于A、B
2
,2c6x2？,b1解:(?)设椭圆
,a,3，,
AB,3ABx?(?)设，。 (1)当轴时，。 Axy()，Bxy()，1122
(2)
m3322设直线的程为。由已
222把ykxm,，代入椭圆方
2,6km3(1)m,，。 ？，,xxxx,12122231k，31k，
22222222212(1)(31)3(1)(91)kkmkk，，,，，22，，3612(1)kmm,2 ？,，,ABkxx(1)(),,21,，,(1)k2222,,222(31)(31)kk，，(31)31kk，，，，
2121212k。 ,，,，,，,33(0)34k?421961236kk，，，，296k，，2k
312AB,2AB,3k,0当且仅
133AB?AOB当最大时，面积取最大值。 ？SAB,，，,max222
2S练习1、过点(0，p)作直线与相交
二、证明某个
22、倾斜角为直线经过线的焦点，且与
FP,FPcos2,(2)若为锐角，
三、证
定点定值问题:?特殊入手，定和定值，再证
3、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点x轴上，椭C上的焦点距离的最大值为3，值为1，?求椭圆的标准方程;?若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，(A、B不是左、顶点)，且以AB直径的圆过椭圆C的右顶点，求:直线l过定点，并求出该定点坐
四、求
k,,,f(k)法一:题意写出所求数式或关于某个变量的函数，例如:，然后根据的范围，求出的范
,,0(k的范
,,0,,0法二:建立参数与，e、横、纵坐标等等
4、已知一曲线C在y轴右
rrFA,FB,0于过M(m，0)且曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有，若存在，求m的取值范
rr2x2练4、、为的左、右，(1)若P为椭
与椭圆交于不同
五、存在性问:(存在
形、菱
22xy5、
(I)
,,,,,,,,(II)是否存在在点的圆，使得该圆
22xy解:(1)因
11,42,222,，,1,a,8xy2,22,所以 解得所以
,,,,,,,,
(2)假设存在心在原点圆，使得该圆的
ykxm,，,22222,ykxm,，解方程组得,
22222222840km,，,则?=,即 164(12)(28)8(84)0kmkmkm,，,,,，,
2222224km,kmkmmk(28)48,,xx，,,222122,,yykxmkxmkxxkmxxmm,，，,，，，,,，,()()(),12，k12121212222,121212，，，kkk228m,,xx,122,12，k,
,,,,,,,,222222288mmk,,38m,23880mk,,,xxyy，,0要使,需使,即,所以,所以又OAOB,，,0k,,012122281212，，kk
2,m,282622226840km,，,ykxm,，,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆m,m,m,,,23338m,3,
22m82622mm8的一条切线,所以圆的径为,,,所的圆为,此时圆的切2r,xy，,r,r,,,233221，k38m,13，k1，822xy262626ykxm,，都足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个点为，,1m,m,,x,,84333,,,,,,,,26262626OAOB,或满足, (,),(,),,3333,,,,,,,,822OAOB,综上, 存在圆心在原点的圆，使
直线和圆锥曲线常考题型
直线
韩梓根
基本知识:
1、
12
,y 2
2
x x y y x ++=
=
,其中 ,
x y 是点 1122(, ) (, ) A x y B x y , 的中点坐
2、弦长公式:点 1122(, ) (, ) A x y B x y , 在直线 (0) y kx b k =+≠
则
1122y kx b y kx b =+=+, ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之
AB ==
=
=
或者
AB ===
=
3、两
, :l y k x b l y k x b =+=+垂直:则 121k k =-
两条直线垂
4、韦
0(0) ax
bx c a ++=≠两个不同的
a
+=-
=
。
知识储备:
1. 直线方程的形式
(1)直线方程的形有五件:点斜、两式、斜截式、截
②点到直线
tan 1k k k k α-=
+
(3)弦长公式
直线 y kx b =+上两点 1122(, ), (, ) A x y B x y
间的距
=
或 12AB y =-
(4)
① 1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且
2、
(1)、椭圆
221(0, 0) x y m n m n m
n
+
=>>≠且
2a = 参数方程:cos , sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式 标准方
221(0) x y m n m
n
+
=?
距离式方程:|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径
22
222b b p a a
;抛物线:
(4)、圆锥
13
4
22=+
y x 的两个焦点,
平面内一个动点 M 满 221=-MF MF 动点 M 的轨迹是 ( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两
tan
2
F PF P b θ
?=
122cot
2
F PF P b θ
?=
(其中 2221212121212||||4, cos , ||||cos ||||
PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==
?=?
)
常见的一些题型:
题型一:数形结
1l y kx =+与椭圆 22:
14
x y C m
+
=始终
解:根据直线 :1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0, 1) ,椭圆 22:14
x y C m
+=
过动点
04m ±≠(, 且 ,如果直线
:1l y kx =+和椭圆 22:
14
x y C m
+
=
14m ≥≠,且 ,即 14m m ≤≠且 。
题型二:弦的垂直平分线问题
例题 2、
y x =交于 A 、 B 两, 在 x 上是否存在一点 E(0x ,0) , 使得 ABE ?是等边三角形, 若存
求出 0x ;若不存在,请说明理由。
解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于 0。 设直线 :
(1) l y k x =+, 0k ≠, 11(, ) A x y , 22(, ) B x y 。
由 2
(1) y k x y x
=+??
=?
2222(21) 0k x k x k +-+= ①
由直线
2242(21) 4410k k k ?=--=-+>
即 210
4
k
②
由韦达
21, k x x k
-+=-
121x x =。
则线段 AB 的中点为 22211
(, ) 22k k k
--
。
22
1112() 22k y x k
k
k
--
=-
-
令 y=0,得 0
2
1122
x k =
-
,则 21
1(
, 0) 22
E k - ABE ? 为正三角形,
∴21
1
(
, 0)
22
E k -到直线 AB 的距离 d
。
AB =
k =
d =
2k =
解得 13
k =满足②式此时 0
53
x =
。
题型三:动弦过定点的问题
例题 3、已知椭圆 C :222
2
1(0) x y a b a b +
=>>
2
x 轴上的顶
(I )求椭
t t =>与 x 轴交于点 T,
是否通过椭圆的
的离心率 2
c e
a
=
=
2a =,
则得 1c b ==。
从而椭圆的方程为
2214
x y +=
(II )设 11(, ) M x y , 22(, ) N x y ,直线 1A M 的斜率为 1k , 则直线 1A M 的
为 1(2) y k x =+,由 122
(2) 44
y k x x y =+??+=? y 整理得 222121(14) 161640k x k x k +++-= 12x - 和 是方
164214k x k
-∴-=
+
则 211
2
12814k x k -=
+,
1121414k y k =
+,
即点 M 的坐标为 211
221
1
284(
, ) 1414k k k
k
-++,
同理,设直线 A 2N 的斜率为 k 2,则得点 N 的坐标为 222
22
2282
4(
, ) 1414k k k k --++
12(2), (2) p p y k t y k t =+=- 1212
2k k k k t
-∴
=-
+,
直线 MN 的方程为:
1211
21
y y y y x x x x --=
--,
∴令 y=0,得 2112
12
x y x y x y y -=
-,将点 M 、 N 的坐标代入,化简后得:4x t
=
又 2t
> , ∴402t
椭圆的焦点为 0)
4t
∴
=
3
t =
故当 3
t
=
时, MN 过椭圆的焦点。
题型四:
例题 4、已
2
1x y a b +
= (0) a b >>上的三点,其中点
A 0) 是椭圆的右顶点,直线 BC
过椭圆的中
心 O ,且 0AC BC =
, 2BC AC = ,如图。
(I)求
(II)若椭圆 E 上存在两点 P 、 Q ,使得直线 PC 与直线 QC
关于直线 x
=PQ 的斜率。
解:(I) 2BC AC =
,且 BC 过椭
2
ACO π
∴∠=
又 0)
∴点 C
的坐标为 。
A 0) 是椭圆的右顶点,
a ∴=222
112
x y b
+
=
将点
C 代
∴椭
22112
4
x y +
=
(II) 直线 PC 与直线 QC
关于直线 x
=
∴设直线 PC 的为 k ,直线 QC 的斜率为 k -,从而直线 PC 的方程
(y k x -=
,即 ) y kx k =+-,
由 22) 3120
y kx k x y ?=+-??+-=??消 y ,整理
222(13) (1) 91830k x k x k k ++-+--
=x = 是方程的一个根,
22
918313P k k x k --∴=
+
即 2P
x =
同理可得:
2Q x =
) ) P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+
=() P Q k x x +-
=
22P Q x x -=
-
=
13
P Q PQ P Q
y y k x x -∴=
=-
则直线 PQ 的斜率为定值 13
。
题型六:面积问题
例题 6、
y a x (a >b >0)的离心率为 , 36
短轴一个
(Ⅰ)
(Ⅱ)设直线 l 圆 C 交 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距
2
3
,求△ AOB 面积的最大值。 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c
,依题
??=?
1b ∴=, ∴所求椭圆方程为
2213
x y +=。
(Ⅱ)设
11() A x y , , 22() B x y , 。
(1)当
AB x ⊥
轴时, AB =(2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设
AB 的
由已知
2
=,得 2
23(1) 4
m
k =
+。
把
y kx m =+代椭圆方程,整
122631
km x x k -∴+=
+, 212
23(1) 31
m x x k -=
+。
2
2
2
21(1)() AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1) (1) (31) 31k m m k k k ??
-=+-??++??
2222222
22
12(1)(31)
3(1)(91)
(31) (31) k k m k k k k ++-++=
=
++
2422
212121233(0) 341961
23696
k k k k k k
=+
=+
≠+=++?+++≤ 。
当且仅当 2
2
19k
k
=
,即 3
k =
时, AB =
综上所述
max 2AB =。
∴当 AB 最大时, AOB △
面积取
2
2
S AB =
??
=
。
题型七:弦或弦长为定值问题
例题 7、在平面角坐标系 xOy 中,过定点 C (0, p )作直线与抛物线 x 2=2py(p>0)相交于 A 、 B 两
(Ⅰ)若点 N 是 C 关于标原点 O 的对称点,求△ ANB 面积的最小
(Ⅱ)是否存在垂于 y 轴线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理
(Ⅰ)依题意,点 N 坐标为 N (0,-p ) , 可
=2py联立得 ?
??+==. 22p kx y py
x 消去
y 得 x 2-2pkx-2p 2=0.
由韦达定理得 x 1+x2=2pk,x1x 2=-2p2.
于是 2122
1
x x p S S S ACN BCN ABN -?=
+=??
?
=
21221214) (x x x x p x x p -+=- =
. 228422222+=+k p p k p p
222min 0p S k ABN ==∴?) 时,(当 .
(Ⅱ)假设满足条件直线 l 存,其
)
点的坐标为(2
, 2, 11p
y x O PQ H O +'⊥' 2121) (2
1
21p y x AC P O -+==
'
=
2
212
1
p y +.
, 22
1
211p y a p y a H --=+-
=' 2
2
2
H O P PH
'-'=∴
=
21221) 2(4
1
) (41p y a p y ---+ =), () 2
(1a p a y p
a -+-
22
) 2(PH PQ =∴
=. ) () 2(4
2??
????-+-a p a y p a 令 02=-
p a ,得 p PQ p a ==此时 , 2为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 2
p
y =,
即抛物线
(Ⅰ)前
2222212212212844) (p k p k x x x x k x x k AB +?+=-+?+=-+=
=. 2222+?+k k p
又由点
2k
p d +=
.
从而, , 222222121222
22+=+?+?+?=??=
?k p k p k k p AB d S ABN
. 22max 02p S k ABN ==∴?) 时,(当
(Ⅱ)假设满足条件直线 t 在,其方程为 y=a,则以 AC 为直径的圆的方
, 0) )(() )(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程 y=a代入得 ).
(1) 2(4) )((4,
0) )((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+??????
-=---?=----=则 设线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P (x 2,y 2) ,Q (x 4,y 4) ,
. ) () 2(2) () 2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=??
?
???-+-=
-=
令 p PQ p a p a
===-
此时 得 , 2, 02为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 2
p
y =. 即抛物线径所在的直
2
:
1(0) x y C
a b a
b
+
=>>
过点 M
,且着
(Ⅰ)
(Ⅱ)当过点 (4,1)P 的
,
证明:点 Q 总在某定直线上 解 (1)由题意:
2222222211c a
b c a b ?=?
?+=???=-?
,解得 22
4, 2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y += (2)方
设点 Q 、 A 、 B 的坐标分别为 1122(, ), (,
), (, ) x y x y x y 。
由题设知
, , , AP PB AQ QB
均不为零,记 AP AQ PB QB
λ==
, 则 0λ
>且 1λ≠
又 A , P , B , Q 四点共线,从而 , AP PB AQ QB λλ=-=
于是 1241x x λλ-=-, 1211y y λλ-=- 121x x x λλ
+=
+,
121y y y λλ
+=
+
从而
222
12
2
41x x x λλ-=-, (1)
222
12
2
1y y y λλ-=-, (2)
又点 A 、 B 在椭圆 C 上,即
221124, (3)x y += 22
2224, (4)x y +=
(1) +(2)×2并结合(3) , (4)得 424s y +=
即点 (, ) Q x y 总在定直线 220x y +-=上
方法二
设点 1122(, ), (, ), (, ) Q x y A x y B x y ,由题设, , , , PA PB AQ QB
均不为零。
且
PA PB AQ QB
=
又 , , , P A Q B 四点共线,可设
, (0, 1) PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±
, 于是 1141, 11x y x y λλλ
λ--==
-- (1) 2241, 11x y x y λλλ
λ
++=
=
++ (2)
由于
1122(, ), (, ) A x y B x y 在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程 22
24, x y +=整理得
222(24) 4(22) 140x y x y λλ+--+-+= (3) 222(24) 4(22) 140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)-(3) 得
8(22) 0x y λ+-=
0, 220x y λ≠+-=∵ ∴
即点 (, ) Q x y 总在定直线 220x y +
-=上
问题十:
设 1F 、 2F 分别是椭圆
14
22=+y x 的左、右焦点。
(Ⅰ)若 P 是椭圆上的一个动点,求 1PF ·2PF 的最大值和最小
(Ⅱ)设过定点 ) 2, 0(M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原
,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围。
11
解:
(Ⅰ)解法
所以 (
))
1
2
0, 0F F ,设 (), P x y ,则
(
))
2212, ,
, 3PF PF x y x y x y ?=--=+-
()22
2
1
13384
4
x x x =+-
-=
-
因为 []2, 2x ∈-,故当 0x =,即点 P 为椭圆短轴端点时, 12PF PF ?
有最小值 2-
有最大值 1
解法二:易知 2, 1, a
b c ===
(
))
12
0, 0F F ,设 (), P x y ,则
222
12121212121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???
(
(2
2
2
2221
1232x y x y x y ??=+++-+-=+-?
???
(以下同解法一)
(Ⅱ)显然直线 0x
=不满足题设件,可设
联立 22
2
1
4
y kx x y =-???+=??,消去 y ,整理得:22
14304k x kx ??+++= ???
∴ 1
2122
2
43, 114
4
k x x x x k k +=-
?=
+
+
由 ()2214434304k k k ?
??
=-+?=-> ??
?
得:2k
或 2k >-
又 0
0090cos 000A B A B OA OB <>??>
∴ 12120OA OB x x y y ?=+>
又 ()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
22238411
44
k k k k -=++++
22114k k -+=+
12
∵ 2223
1
01144
k k k -++>++
,即 24k < ∴="" 22k="">
故由①、②得 22
k -
22
k
问题十一、存在性题:(存在点,在线 y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角) ,四边形(矩形、菱、正方 形) ,
设椭圆 E:
222
2
1x y a b +
=(a,b>0)过 M (2
) ,
两点, O 为坐标原点,
(I )求椭圆 E 的方程;
(II ) 是存在圆心原点的圆, 使
?若存在, 写出该圆的方程, 并求 |AB
|的取
解 :(1)因为椭圆 E:
222
2
1x y a b +
=(a,b>0)过 M (2
) ,
两点 ,
所以 2222421611a b a b +=+=???????解得 2211
8
114a b
?=????=??所以 2284a b ?=?=?椭圆 E 的方
22184x y += (2)假设存圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个
A,B, 且 OA OB ⊥
,
y kx m =+解方程组 22
18
4x y y kx m +==+?????得 222() 8x kx m ++=, 即 222
(12) 4280k x kmx m +++-=, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则△ =2
22222164(12)(28) 8(84) 0k
m k m k m -+-=-+>, 即 22840k m -+>
1222
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
2222222
2
2
121212122
2
2
(28) 48()() () 121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k
k
k --=++=+++=
-
+=
+++
,
需使 12120x x y y +=, 即
2222
2
28801212m m k k k --+=++, 所以 2
2
3880m k --=, 所以 223808
m k -=
≥又 22840k m -+>,
所以 22
238
m m ?>?≥?, 所以 2
83m ≥,
即 3m ≥
或 3m ≤, 因线 y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线 , 所以圆的
13
为 r =, 2
22
228381318
m m r m k ===-++
, 3r =, 所求的圆为 22
83x y +=, 此时圆的切线 y kx m =+
都满足 3
m ≥
或 3
m ≤-
,
而当切
3
x =±
与椭圆
2218
4
x y +
=
的两个交点为 (
3
3
±
或
(33-±满足 OA OB ⊥ , 综上 , 存在圆心在原点的圆 228
3x y +=,使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
A,B,
因为 122
2
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
所以 22222
2
1
212122
2
224288(84) () () 4() 41212(12) km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=-
-?
=
+++,
||AB ===
=
=,
①当 0k ≠
时 ||AB =
因为 2
2
1448k
k +
+≥所
44
k k
≤
++,
所以
2232321[1]12133
44
k k
+
≤++,
||AB <>
2
k =
② 当 0k
=时 , ||3
AB =
.
③ 当 AB
的斜率不存在时 ,
两个交点为 (
3
3
±
或 (3
3
-
±
,
AB =
,
综上 , |AB
|
的取值
: ||AB ∈
直线和圆锥曲线常考题型
直线和圆锥曲线题型 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关
22xy例题1、已线与椭圆始
规律提示:通
lykx:101,，,过定点(，)
lykx:(1)1,，,,过定点(，0)
lykx:2(1)1,,，,,过定点(，2)
题型二:弦的垂直平分线问题
2l例题2、过点T(-1,0)作
,ABExxE(,0)，使得是
题型三:动弦过定点的问题
22xy3例题3、已知椭圆C:的离心率为，，,,,1(0)ab222ab
且在x轴上的
(I)求椭圆的方程;
l(II)若直
于点T的任一点，直PA,PA
的焦点,并证明你的结论
题型四:
22xy，,1例题4、知点A、B、C
,,,,,,,,,,,,,,,,
BCAC,2ACBC ,0右点，直线BC
(I)求
(II)若椭
x,3QC
2
题型
22uuuruuurxy
取值范围。
题型六:面积问题
22xy6，,1例题6、已知椭圆C:(a,b,0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距,22ab3
3离为。
(?)
3(?)设直线l与椭C交于A、B
3
题型七:弦或弦长为定值问题
2例题7、在面直角坐xOy中，过
(?)若点N是点C关于坐标原O的称点，求?ANB面积的最小值; (?)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦
恒为定值,若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由。
题型八:角度问题
PMPN，,6. 例题8、(
2PMPN?,(?)若,求点P的坐标. 1cos,，MPN
4
问题
22xy例题9、设椭圆点，且着焦点
C(?)求椭圆的方程;
lC(?)当过点的线与椭圆相
,,,,,,,,,,,,,,,,
，证明:点
问题十:
2x2，y,1设、分别是椭圆的左、右焦点。 FF214
P(?)若是该
lAOBOAB(?)过定点的直
lk坐标
5
问题十一、存在性题:,存在,存
22xy设椭
(I)
(II)是否存在圆
,,,,,,,,
且,若存在，写出该的方程，并
6
直线和圆锥曲线常考题型
直线
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一曲线的置关系都有交、相、相离三情况,从几何角度可 三类:公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共 对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于 点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线直线与双曲线只有一个交点,但并不
直线和椭圆、双曲、抛物线中每个线的公共点问题,可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问 题,从而用代数方法判断线与曲线的位置关
解决直线和圆锥曲线的位置关的解步骤是: (1)线的率不存在,直线的斜存, (2)联立直线和曲线的方程组; (3)讨论类一元二次方程 (4)一元次方程的判别式 (5)韦达定理,同类标变换 (6)同点纵横坐标
(7) x,y , k(斜率 ) 的取值范围
(8)目标:
运用知识
1、中
,y 22
x x y y x ++=
=,其中 , x y 是点 1122(, ) (, ) A x y B x y , 的中点坐标。 2、长公式:若 1122(, ) (, ) A x y B x y , 在直线 (0) y kx b k =+≠上, 1122y kx b y kx b =+=+, ,这同 点纵横坐标变换,是两大坐标变换技之
AB ===
=
或者 AB ===
= 3、两条直线 111222:, :l y k x b l y k x b =+=+垂直:则 121k k =-两条直线垂直,则直线所在
4、韦
0(0) ax bx c a ++=≠有两
+=-
=
常见题型
题型一:数
例题 1、已
:
14x y C m
+=始终有交点,求 m 取范围 练习:1、 点 P(3,2) 和物线 232--=x x y 只有一个公共点的直线有( )
题型二:弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题对称问题是一解题维,首先弄清楚个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂 直(两直线的斜率之积为 -1)和平
例题 2、 过点 T(-1,0)作直线 l 与 N :2y x =交于 A 、 B 两点, 在 x 轴上是否存在一点 E(0x ,0) , 使得 ABE ?是等边三角形,若存在,求出 0x ;若不存在,请说明理
例题 3、已知椭圆 12
22
=+y x 的焦点为 F , O 为坐原点。 (Ⅰ)求过点 O 、 F ,并且与 2x =-相切的圆的方
(Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴的线交椭圆于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ,求点 G 横坐标的取值范
练习 1 已知椭圆 ) 0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点 ) 23, 1(,且离心率 21=e 。
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ) 若直线 ) 0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点 M 、 N , 且线段 MN 的垂直平分线过定点 ) 0, 8
1
(G , 求 k 的取值范围。
练习 2 设 1F 、 2F 分别是椭圆
22
154
x y +=的左右焦点.
是否存在过点 (5, 0) A 的 线 l 与椭圆交于不同两点 C 、 D , 使得 22F C F D =?若存在, 求直线 l 的方程; 若不存在,请说明理
题型三:动弦过定点的问题
例题 4、已知椭
,且
点分别为 A 1(-2,0),A2(2,0)。
(I )求椭圆的方程;
(II )若直线 :(2) l x t t => x 交于点 T, 点 P 直线 l 上异于点 T 的任一点,直线 PA 1,PA 2分别与椭圆交于 M 、 N 点, 试问直线 MN 是否过椭圆的焦点?并证明你的结
例题 5、 (07山东理) 已椭 C 的中心在
(Ⅰ)
(Ⅱ)若直线 m kx y l +=:与 C 相交于 A , B 点(A , B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭 C 的右顶点。求证:直线 l 定点,并求出该定点的坐
练习 直线 m kx y l +=:和抛物线 22y px =相交于 A 、 B ,以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点,证明:
m kx y l +=:过定点,并求定点的坐标。
题型四:
若直线过的定点在已知线上,则过定点的线的程和曲线联立,转化一元二次方程(或类一元二次方 程) ,考察判断式后,韦达理结合定点的坐标就可以求出另一点的坐标,进而解决问
例题 6、
221x y a b
+= (0) a b >>上的三点, 其中点
A
直线 BC 过椭圆心 O ,
,如图。
(I)求
(II)若椭圆 E 上存在两点 P 、 Q ,使得直线 PC 与直线 QC
关于直
练习 1 已知
的离心率为 2
,且在 x 轴
(I )求椭圆的方程;
(II )若直线 :(2) l x t t => x 轴交于点 T, P 直线 l 上异于点 T 的任一点,直线 PA 1,PA 2分别与椭圆交 M 、 N 点,试问直线 MN 是否过椭圆的焦点?并证明你的结
练习 2 (2009辽宁卷文、理)已知,椭圆 C 以过点 A (1, 3
2
) ,两个焦点为(-1, 0) (1, 0) 。 (1)求椭圆 C 的方
(2) E,F 椭圆 C 上两动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定, 并求出这个定
题型
解析几何中的向量线,就是将问转化为同类坐的比例问题,再通过韦达定理 ------同类坐标变换, 将问题解决。此类问题不难解
例题 7、设
194
x y += P 、 Q 两点,且 DP DQ l =uuu r uuu r , 求实数 l 的取值范
例题 8、已知椭圆 C 的中心
4
1x y =
的焦
2. (1)求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过椭圆 C 右点 F 作 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若 AF MA 1λ=, BF MB 2λ=, 求 21λλ+的
(07福建理科)如图,已知 F (1, 0) ,直线 l :x =-1, P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,
为点 Q ,且 QP QF FP FQ ?=?
(Ⅰ)求
(Ⅱ) 过点 F 的直线交轨
,
值。
练习 设椭圆 ) 0(12
:2
22>=+a y a x C 的、 右焦点分
坐标原点 O 到直线 1AF 的距离为
||3
1
1OF . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)设 Q 是椭 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 ) 0, 1(-P ,较 y 轴于点 M ,若 QP MQ 2=,求直 线 l 的方
练习 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 24x y =
的焦点,离心率等于
(1)
(2) 点 P 为圆上一点, PA 、 PB 分别
若 111222, PF F A PF F B λλ== ,求 12λλ+的
题型六:面积问题
例题 9、 (07陕西
6
短轴一
为 。
(Ⅰ)
(Ⅱ)设直线 l 圆 C 交 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距
2
3
,求△ AOB 面积大值。
214
x y +=交于 A 、 B 两点,记 ABC ?的面积为 S 。 (Ⅰ)求在 0k =, 01b <的条件下, s="" 的最大值;="" (ⅱ)当="" 12="=,S" ab="" 时,求直线="" ab="">
练习 2 (山东 06文)已知的心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边 形为正方形,
(Ⅰ ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ ) 直线 l 过点 P(0,2)且与椭相交于 A 、 B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时,求直线 l 的方
题型七:弦或弦长为定值问题
例题 10、 (07湖北理科)在直坐标系 xOy 中,过定点 C (0, p )作直线与抛物线 x 2=2py(p>0)相交 A 、 B 两
(Ⅰ)若点 N 是 C 关于标原点 O 的对称点,求△ ANB 面积的最小
(Ⅱ) 是否存在直于 y 轴线 l , 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程; 若不存在,说明理
练习 (山
设椭圆 E: 22
221x y a b
+=(a,b>0)过 M (2
,
两点, O 为坐标原点,
(I )求椭圆 E 的方程;
(II ) 是存在圆心原点的圆, 使
?若存在,
写出该圆的方程,并求 |AB |的取值范围,若不存在说明理
题型八:角度问题
例题 11、 (08重庆理) 如
(Ⅰ)
(Ⅱ)若 2
1cos PM PN MPN
-∠=, 求点 P 的坐标 .
练习 (05福建理)已知方向向量
122
22=+b
y a x (a>b>0)点,且椭圆 C 中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方
(Ⅱ)是否存在过点 E (-2, 0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M 、 N ,满足 3
4
=?OM cot ∠ MON ≠ 0(O 为原点) . 若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由 .
练习 (07四川理)设 1F 、 2F 分别是椭圆 14
22
=+y x 左、右焦。 (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 1PF ·2PF 的最大值和最小
(Ⅱ)设过定点 ) 2, 0(M 的线 l 与椭圆交于不同两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 斜率 k 的取值范
练习 (08陕西理)已知物线 C :22y x =,直线 2y kx =+交 C 于 A B , 两点, M 是线段 AB 的中点, 过 M 作 x 轴
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)是否
,若存在,
问题
例题 12、 (08安徽理)设椭圆 22
22:1(0) x y C a b a b
+=>>
过点 M
,且
(Ⅰ)
(Ⅱ ) 当 过 (4,1)P
AP QB AQ PB =
,证明:
练习 (08川理) 设
离心率 e ,
20FM F N =
.
(Ⅰ)若 1
2||||FM F N ==
a 、 b 的值; (Ⅱ)证明:当 ||MN
取最小值时, 1
2FM F N + 与 12F F 共
问题十:
例题 13、已知直线 ) 0(1122
22>>=++-=b a b
y a x x y 与椭圆 相交于 A 、 B 两点。
(1)若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为 2,求段 AB ; (2) 若
2
, 2
1[∈e
(07四川
22
=+y x 左、右焦。 (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 1PF ·2PF 的最大值和最小
(Ⅱ)设过定点 ) 2, 0(M 的线 l 与椭圆交于不同两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 斜率 k 的取值范
(2009
已知椭圆 C 中心在原点,点 x 轴上,
(Ⅰ)
(Ⅱ) 设点 P 是椭圆 C 的左准与 x 轴的点, 过点 P 的直 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点, 当线段 MN 的中 点在正方形 Q 内(包括边界)时,直线 l 的斜率的取值范
问题十一、存在性问题:(存在点,存
角) ,四
例 14、 (2009山东卷理 ) (本小题满分 14分)
设椭圆 E: 22
221x y a b
+=(a,b>0)过 M (2
,
两点, O 为坐标原点,
(I )求椭圆 E 的方程;
(II ) 是存在圆心原点的圆, 使
?若存在,
写出该圆的方程,并求 |AB |的取值范围,若不存在说明理
例 15、 (2009山东卷文 ) (本小题满分 14分)
设 m R ∈, 在平面直坐系中 , 已
, a b ⊥ , 动点 (, ) M x y 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程 , 并说明该方程所表示曲线的形状 ;
(2)已知 4
1
=
m , 证明 :存圆心在原点的圆 , 使得该圆的任意一
(3)已知 4
1=
m ,
x y R +=(1<><2)相切 a="" 1,="" 且="" l="" 与迹="" e="" 只有一个公共点="" b="" 1,="" 当="" r="" 为何值="" 时="" ,|a1b="">
例 16、 (2009江苏卷) (小题满分 16分) 在平直角坐标系 xoy 中,已
截得的弦长为 l 的方程; (2) 设 P 为平面上点, 足:存过点 P 的无穷多对相垂直的线 1l 和 2l , 它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交, 且直线 1l 被圆 1C 得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得 的弦长等,试求所有满足条件的点 P 的
例 17、 (2009湖北卷理 ) (本小题满分 14分)
过抛物线 22(0) y px p =>的对轴上点 ()(),00A a a >的直线与抛物线相交于 M 、 N 两点,自 M 、 N 直线 :l x a =-作垂线,
(Ⅰ)当 2
p
a =时,
1AMM ?、 11AM N ? 、 1ANN ?的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ,是否存在 λ,使得对任意的 0a >,
都有 2
212S S S λ=成立。若存在,求出 λ的值;若不存在,说明理
例 18、 (2009全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12分)
已知椭圆 2222:1(0) x y C a b a b +=>>
,过右焦点 F
斜率为 1时,坐标原点 O 到 l
(I )求 a , b 的值;
(II ) C 上是
成立?
坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
例 19、 (2009福建卷理) (本小题满分 13分)
已知 A,B 分别为曲线 C : 22x a
+2
y =1(y ≥0,a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直
线 l 过点 B, 且
(1)若曲线 C 为半圆,点 T 为弧 AB 的三分点,求出点 S 的坐; (II )如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a , 使得 O,M,S 三点共线?若存在,求 a 的值,若不存在,请说明理
例 20、 (2009陕西卷理 ) (本小题满分 12分)
已知双曲线 C 的
,离心率 e =
(I )求双曲线 C 的方程;
(II)如图, P 是双
1
, [, 2]3
AP PB λλ=∈ ,求 AOB ?面积的取值范
例 21、 (本小题满分 14分)
已知双
221(0, 0),
y x a b a b
-=>>
离心率 e =
(Ⅰ)
(Ⅱ)如图, P 是双曲
1
, [, 2],3
AP PB λλ=∈ 求△ AOB 面积的取值范围 .
十二、课后作业
1.已
214
y x +=, M 是圆上的动点.
1x y +=上点, N 是点 M 在 x 轴上的射影, 点 Q 满足条
OQ OM ON =+
, 0=?→→BA QA .求段 QB 的中点 P 的轨迹方程; (提示:用好
及直角三角形的性质 , 数量积 0不一定要转化成垂直,有时候就直接使用数量积
式反而更简便,尽量少用中间变量 ,P 的轨迹方程为 2
21142y x ??
+-= ???
)
2.如
143
x y +=,设 n 是过原点线, l 是与 n 垂直相交于 P 点、 与椭圆相交于 A,B 1OP =, 是否存在上述
→
PB AP 成?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理
3.在平面直角坐
2x py =(0p >)相交于 A B , 两点.若
点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ANB △ 面积的最小
4.过点 () 2
p
M m , -
作抛物线 22x py =(0p >)切线,点分为 A 、 B . (I )证明直线 AB 过 y 轴上的定点 T ,并求 T 的坐标; (II ) m 取何值时, ABM ?的面积最小,求这个最小
5. 在平面直坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A (-1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点, 点 P 的轨迹方
, 设直线 AP 和 BP 分别与直 x=3交于点 M,N ,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的标;若不存在,说明理
6.如图,已某椭圆的
轴的直线与椭圆的一个交点为 B , 且 |F 1B |+|F 2B |=10,椭上不同的两点 A (x 1, y 1), C (x 2, y 2) 满
(1)求该椭
(3)设弦 AC 直平分线的
7.抛物线过点 ()1,0A -,以直线 1x =为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方
(2)若直线 l 轨迹 C
2
x =-平分,设弦 MN 的垂直分线 的方程为 y kx m =+,试求 m 的取值范
8.已知 =(x,0), =(1, y) ((a a -⊥+
(1)求点 P(x, y) 的轨迹 C 的方程;
(2)若直线 l :y=kx+m(km≠ 0) 与曲线 C 交于 A 、 B 两端, D(0,-1), 且有 |AD|=|BD|,求 m 的取值范
9.已知椭圆 C :22221(0) x y a b a b +=>>的离心率为 2
,且在 x 轴
(I )求椭圆的方程;
(II ) 若直线 :(2) l x t t => x 轴交于点 T, P 直线 l 上异于点 T 的任一点, 直线 PA 1,PA 2分别与椭圆交于 M 、 N 点,试问直线 MN 是通过椭圆的焦点?并证明你的结
x
10.已知,椭圆 C 以过点 A (1, 32
) ,两个焦点为(-1, 0) (1, 0) 。 (1)求椭圆 C 的方
(2) E , F 是椭圆 C 的个动点, 如果线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定, 并求出这个定
11. 在平面角坐标系 xoy 中, 已知圆
圆 22
219
x y a +
=与圆 C 的一个点到椭圆两点的距离之和为 10. (1)求圆 C 的方
(2)试探究圆 C 上是否存在异于点点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理
12.在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 (0) C p , 作直与抛物线 22x py =(0p >)相交于 A B , 两点. (I )若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称,求 ANB △ 面积的最小值; (II ) 是否存在垂直于 y 的直线 l , 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒 为值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说理
直线和圆锥曲线常见题型
直线和圆锥曲线经
山东省济南市历城二中数教研组长
直线与椭圆、双曲线、抛物中每一曲线的位置关都有交、相切、离三种情况，从几何角度可分三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线交于一点，但并不是相切；对于曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲只有一个交点，但并不
直线和椭圆、双曲线、抛物线每一曲线的公共点题，可以转化为它们的方程所组成方程组求解的问题，从而用数方法判断直线与
解决直线圆锥曲线位置关的解题步是： （1）线的斜率不存在，直线的率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨类一元二次方程 （4）
12
? ? 3、两条线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2
??
两条直线垂直，则直线所在
4、韦达定理：若元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个
bc
x1?x2??,x1x2?。
aa
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线圆锥曲线的位
x2y2
??1始终有交，求m的取值范围 例题1、知直线l:y?kx?1
4m
思路点拨：直线方的特点是过定点（0，1），椭圆
和动点（0
解：根据直线l:y?kx?1的程可知，直线恒过
则点（0且m?4，如果直线l:y?kx?1
）条。
解：抛物线y?x?3x?2 如图，点P（3，2）在抛物线
根据过抛线内一点和物线对称轴平行重的直线和物线只有一个交点，可知点P(3,2) 和抛物线y?x?3x?2 只有一公共点的直线有一条。故择D 规律提示：含焦的区域为圆锥曲线的内部。（这里
一、过一定点P和抛物线只有一个共点的直线的条
2
2
（1）若定点P在抛物外，则过点P和物线只有一个公共点的直线3条：两条切线，一条对称轴平行或
（2）若定点P在抛物上，则过点P和物线只有一个公共点的直线2条：一条切线，一条对称轴平行或
（3）若定点P在抛物线，则点P和抛物线有一个公共点的直线有1条：抛物线的对称轴平行或重的直线和抛物线
二、过定点P和双曲线只有一个共点的直线的条
（1）若定点P在双曲线，则点P和双曲只有一个公共点的直线有2：和双曲线的渐近线平行直线和双曲线只
（2）若定点P在双曲上，则过点P双曲线只有一个公共点的线有3条：一条切线，2条和渐近线
（3）若定点P在曲线外且不在渐近线上，则过点P4条：2条切线和2和渐近线平
（4）若定点P和双曲线只一个公共点的直
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，对称中心，过点P线
哪个是称轴，。 两点，在x轴上
?y?k(x?1)
消y整理，得 2
y?x?
k2x2?(2k2?1)x?k2?0 ①
由直线和抛物线
??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0
即0?k?
2
1
② 4
2k2?1
,x1x2?1。 由韦达定理，得：x1?x2??2
k2k2?11
,)。 则线段AB的中点为(?
2k22k
线段的垂直平
111?2k2y???(x?) 2
2kk2k
令y=0,得x0?
1111
?E(?,0) ，则222k22k2
??ABE为
?d03
思维规：直线过定点设直线的率k，利韦达定理法，将弦中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的直平分线方程写出来，求出了横截距坐标；再利用正三角形
倍，将k确定，进而求
x2
?y2?1的左焦点为F，O为坐标点。 例题3、已
（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆
（Ⅱ）设过点F且不与坐轴垂直的直线交圆于A、B两点，线段AB垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐
分析：等圆心到定点的距离；第二，定点的的垂直平分线如果和x存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，由弦AB的方程求出点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段程，就
解：(I) ∵a=2，b=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在
2
1上
设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
x22
代入+y=1，整理得
2
(1+2k)x+4kx+2k-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
2
2
2
2
4k2
, 则x1+x1=-2
2k?112k2
x0?(x1?x2)??2,
22k?1y0?k(x0?1)?
k2k2?1
∴AB垂直平分
1
y?y0??(x?x0)
k
令y=0，得
2k2k2
xC?x0?ky0??2?
2k?12k2?12
?
k表示出来，
1e?。
2M、N，且线
分析：第一问中已椭圆的离心率，可以得到a,b
32
a,b的第2关系式，解方程组，就可以出a,b的值，确定椭
第二问，设出点坐标，联立程组，转为一元二次方程，通过别式得出k,m的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点G(,0)，得垂直平分线的斜率，垂直平分线的斜率和弦的斜率之积-1，可得k,m等式，用k表示m再代入等式，就可以求出k的取
18
1b21322
解：（Ⅰ）?离心率e?，?2?1??，即4b?3a（1）；
2a44
又椭圆过点(1,)，则
3
2192??1，（1）式代入上式，解得a?4，，椭圆方程为22a4b
x2y2
??1。
43
1）
， 2
3?4k8
24m3?4k2
?k??1，
?32mk?3?4k8k13?4k22)?4k2?3，即k2?k?式，可得(，则k?
208k老师支招：如果只说一直和椭相交，没有说直线点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方为：y?kx?m，再和曲线联立，化成一元二次方程，就
路。本题决过程中用了两大解题技巧：与达定理关的同类坐标变换技巧，点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决线和圆锥曲线的问题的键就是充分、灵活的运这两大解题技巧。 练习2、
x2y2
??1的左右焦点．是否存在过点A(5,0)的直线l
圆交于不同的两点C、D，使得F2C?F2D？若存在，求直线l的方程；不存在，请
分析：由F2C?F2D得，点C、D关于过F2的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)
??1的内部，可以设直
y?k(x?5)，联立程组，得一元
程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦定理得弦CD的中点M的
l的方M(x0,y0)。 0， 2
2
?5k)(125k?20)?0，即
?20k25k2
，M(，22
4?5k4?5k?
20k
)。 2
4?5k
又点F2(1,0)，则直线MF2的斜率为kMF2
20k
25k， ??25k21?5k2
?1
4?5k2
?
5k2
??1，此方程无
1?5k2
存在满足条
老师提醒：通过2个例题和2个习，我们可看出，解决垂直平线的问，即对称问题分步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，化为一元二方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜，写出垂直平线的程，就可以解决问题。需要注意的点是，求出的参数一定要满足
题型三：动弦
圆锥曲线自身有些规律性的东西，其中一些性是和直线与圆锥曲前我们
x轴上的顶点分别为
AT的任一点，直
的坐标都知道，可以设直线M的，相当于知道了
过所求的M、N点坐标，求出直线MN的方程，将点的坐标代入，
可以了，否则
解：（I）由已知椭
c?，a?2,则得c?b?1。 ax2
?y2?1 从而
（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率k1,则直线A1M的
由?
?y?k1(x?2)222
消y整理得(1?4k)x?16kx?16k121?4?0 22
?x?4y?4
??2和x1是方程的两个
??2x1?
1?4k12
4k12?8k12
则x1?，， y?122
1?4k11?4k1
2?8k124k1
即点M的坐标
1?4k121?4k12
28k2?2同理，设直线A2N的斜率为k2，
的坐标为(
21?4k2
4
x?
t故当t?
时，MN过椭圆
2
2
2
方法总结：本题由点A1(-2,0)
2?8k12根，结合韦达定理运用同类坐标变
1?4k1
再利用直线A1M的方程通过同点的坐标
4k1
； 2
1?4k1
其实由?
?y?k2(x?2)22
消y整理得(1?4k2x)2?1k61k6?2x?222
?x?4y?4
?4，得0到
22
?4k216k2?48k2?2
，即，很快。 y?2x2?x?22222
1?4k21?4k21?4k2
16k12?4
不过如果看到：将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的
1?4k1
28k2?2?4k2
就得点N的坐
1?4k21?4k2
真容易出错，但这
本题的关键是到点P的双重身份：点P即直线A1MA2N上，
t?是否满足t?2。 PA1，PA
2的直线方
MN的方程。再点F，求出tx轴上，椭圆C的点到（Ⅰ）求椭圆C的
（Ⅱ）直线l：y?kx?m椭圆C相交于A，B两（A，B不是左右顶点），且以AB直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求
分析：第问，是待定系数法求椭圆标方程；二问，直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的顶点和A、B的连线相垂直，证明直线l
x2y2
解（I）由题意设椭圆的标准方程
aba?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b2?3
x2y2
???1 43
（II）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?
?y?kx?m
得 22
?3x?4y?12
(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，
??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0
8mk4(m2
?3)
x?x??,x?x?（注意： 3(m2?4k2)
?（注意：这一
3?4k2
2
??1， ， 127
当m??2k时，l:y?k(x?2)，直过定点(2,0),与
2k22时，l:y?k(x?)，
2
综上可知，直线l过定点，
7
当m??
名师经：在直线和圆锥曲线位关系中，以弦为直径的经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂
过定点，也不知道斜，设出l：y?kx?m，是经常的一招，在第二讲中遇到了这样
练习：线l：y?kx?m抛物y2?2px相于A、B，以AB为直径的圆过抛线的顶点，证明：直线l：y?kx?m过定点，
分析：以AB为直径圆过抛物线的顶点O，则OA?OB，
x1x2?y1y2?0，再通过y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k2x1x2?mk(x1?x2)?2将条件
转化为(k2?1)x1x2?mk(x1?x2)?m2?0以得到x1x2，x1?x2，解出k、m的等式，就可以了。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?
?y?kx?m2
得，（这里消x得到的）
ky?2py?2
?y?2px
x2?y1y2?0，
pm?m2k?0，
p,0)。
由出题人迁移得到的，解题维都一样的，因此要能在平时，把我们腾飞学校老讲解的内容理解透，在高考考取140多分，
本题解决程中，有个消元技巧，就是线抛物线联时，要消去一次项，计量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点、横坐标变换-------直线方程的纵坐标示横坐标。其实解析几何就这
题型四：过已知曲线
若直线的定点在已知曲线上，则定点直线的方程和曲联立，转化为一元二次方程（或类一元次方程），考察判断式后，韦达定结合定点的坐标就可以
标，进而解决问题。下面我们就通例题领略一下思
x2y2
例题6、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三
Aab
????????????????
是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0，BC?2AC，如图。
(I)求点C的坐标
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与
关于直线x?PQ的斜率。
12?b2
?1 将点C代
?4，
?椭圆E的方程
y2
4
?1 (II)? 直线PC直线QC关于直
?设直线PC的率为k，则直线QC的斜为?k，从而直线PC的
y?k(x，即
y?kx?k)，
??y?kx??k)由?2消y，整
2
x?3y?12?0??
(1?3k2)x2?(1?k)x?9k2?18k?
3?0?x?
9k2?18k?3?xP?
2
1?3k
2即xP?
x
?
x3
方法总结：本题第二问中，由“直线PC与线QC关于直线x?互为相
(1?3k2)x2?(1?k)x?9k2?18k?3?0的根，易得点P
2，再将其中k用-k换下来，就
2，这计算量就减少了许多，场上就省了大量的时间。 xQ?接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，
直接计算yP?yQ、xP?xQ，就降低了算。总之，题有两处是需要同学们好好一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线交，点的坐标是方程组消元得到的方程的根；二是利直线的率互为相反数，减少计算
x2y2练习1、已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)abA1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭
（II）若直线l:x?t(t?2)x轴交于点T,点P为线l2分别与椭圆交M、N点，
?b?1。 A1M的方程
?0 11则x1?，， y?122
1?4k11?4k1
2?8k124k1
即点M的坐
1?4k121?4k12
28k2?2?4k2
同理，设直线A2N的斜率为k2，
1?4k21?4k2
?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?
k1?k22
??，
k1?k2t
y?y1y2?y1
， ?
?直线MN
4x?
t2?16k2x?16k12?4?0的一个4k12?8k12
，利用直线A； x1?1M的方程通过坐标
1?4k11?4k1
16k12?4
再将?2x1?的k1用k2换下来，x1前系数2用－2换下来，就得
1?4k12
28k2?2?4k2(,)，如果在解题，能看到这一点，计算量将少许多，并且也不易出
在这里减少计算量是本题重点。否则，大很容易陷入繁杂的运算中，且算错，费时耗精力，希同学们认真体
本题的关键是看点P的双重身份：点P即在直
k1?k2y?y1y2?y12
得直线与x轴的交点，即横截距??，由直线MN
k1?k2tx?x1x2?x1
x?
44x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简
，由?
解出t?，到此
tty1?y2不
是否满足t?2。 3
练习2、：（2009辽宁卷文、理）已
3
1，0）（1，2
AF的斜率互为
A，通过解方程组，
k,用-k换下
，将点A的坐标代入方 1?1?c2（舍去） 4
3x2y2
??1得 （Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入
243
3
(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
23
设E(xE,yE),F(xF,yF),为点A(1,)在椭圆
2
3
4(?k)2?12
xF? 2
3?4k3
yE?kxE??k ………8分
2
又直线AF的率与AE的斜率互为相反
3
4(?k)2?12
xF?2
3?4k
3
yE??kxE??k
2
所以直线EF
的斜率KEF?
yF?yE?k(xF?xE)?2k??xF?xExF?xE1
。 2
即直线EF的斜率
老师总结：
最后由斜率公式，
再通过
\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3) ìx1=lx2?即? í?y=3+l(y-3)2???1
方法一：方
x2y2
又QP、Q是椭
94
ì???x222+y2\??í94
=1??22 ??(lx2)??9
+(ly2
+3-3l)4=1消去x2，
可得(lyy2
2+3-3l)2-l22
4
=1-l2
即y2=
13l-5
6l 又Q－2￡y2￡2， \－2￡
13l-5
6l
￡2 解之得：
1
5
???5 则实数l的取
?5??
。
方法二：判别式法、韦
x1221?542k2(1??)2
45(4?9k2
)??
即36?5(1??)2?9k2?49k2?1?49k2
② 由①得0?
19k2
?1
5
，代入②，整理得
1?
36?9
， ?2
5(1??)51
???5 5
解之得
当直线PQ的斜率存在，即x?0时，易知??5??总之实数l
?5?
1。 5
?1?
方法总结：
通性通法，通法解，但算量较大，计繁琐，通法，要求考生必深入思考，丝马迹，过自己的思维
例题8：已知椭圆C的中心在原，焦点在x轴
y轴于M点，若MA??1AF，
（07福建理科）图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P平面上的动
????????????????直线l的垂线，
（Ⅰ）求动点P的
（Ⅱ）过点F
????????????????
MA??1AF,AF??2BF，求?1??2的值。
小题主考查直线、抛物线、量等础知识，考查轨方程的求法以及研究曲线几何特征基本方法，考查运算能力和综
?FQ得： ?4x.
????????????????
?y1?y2?4m，
?
?y1y2??4．
????????????????
由MA??1AF，MB??2BF得：
y1?
22
???1y1，y2????2y2，整理得： mm
?1??1?
22，?2??1?， my1my2
2?11?
??? m?y1y2?
??1??2??2?
??2?
2y1?y2
my1y224m m?4
??2??0
解法二：
????????????????????????????
（Ⅰ）由QP?QF?FP?FQ得：FQ?(PQ?PF)?0，
y?4x.
2
0. 过点A，B分别作准线l的垂
????????????
MAAA1AF
则有：??.????②
MBBB1BF????????
?1AFAF
由①②得：??，即?1??2?0.
?2BFBF
x2y2
?1(a?0)左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的练习：设椭
a2
一点，且AF2?F1F2?0，坐标原点O到直线AF1的距离为（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴点P(?1,0)，较y轴
1
|OF1|． 3
?2，求直线l的方程．
山东2006理
x2y2
??1有相同的焦点，直线y=xC 双曲线C与
（I） 求双曲
(II)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴QC的顶点
????????????8
?A(x1,y1)在
161??1216
()??1?0 2k?1?1
162
k?k2?2?0. 3
16
?(16?k2)?12?32?1?16?k2?0.
3
?16?32?1?16?12?
同理有：(16?k)?2?32?2?16?
22
162
k?0. 3
若16?k2?0,则直线l过顶点，
??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16?
162
k?0.的
??1??2?
328
k2?16??3
?k2?4，
此时??0,?k??2.
?所求Q的坐标为(?2,0).
解法二：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
???????
????PQ??????????QB?1QA??2，
?(?4k,?4)???44
1(x1k,y1)??2(x2?k
,y2).
??4??1y1??2y2，
??1??
4y，?42??， 1y2
又?1??2??
8， 3
?
112?? y1y23
即3(y1?y2)?2y1y2
y2
?1得 将y?kx?4代入x?3
2
(3?k2)y2?24y?48?3k2?0
?3?k2?0，否则l与渐近线平行。
2448?3k2
?y1?y2?,y1y2?。
3?k23?k2
?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2)
1kx1?4x1?k
同理
?1??
4
kx2?4
?1??2??
2
448
???.
kx1?4kx2?43
（*）
即 2kx1x2?5k(x1?x2)?8?0
y?kx?4
又 y2
x??1
3
2
消去y得(3?k2)x2?8kx?19?0.
当3?k?0时，直线l与双曲线得渐近线平行，合题意，3?k?0。 由韦
2
2
8k3?k2
19
x1x2??
3?k2x1?x2?
代入（*）式得
k2?4,k??2
?所求Q点的坐标
x2?4y的焦
PA、PB都不与x轴垂直，其点
P?2的值。
b2412，由2?1?e?1??，
a55x2
?y2?1得：F1(?2,0),F2(2,0)，设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)， （2）由5
??????????????????有PF1??1F1A,PF2??2F2B得：
(?2?x0,?y0)??1(x1?2,y1),(2?x0,?y0)??2(x2?2,y2)
解得：?1??
y0y,?2??0， y1y2
y0
(x?2)，
根据PA、PB都不与x轴垂直，且y0?0，设直线PA的方程
x22222
?(x?2)?5yy?4y(x?2)y?y?0 ?y2?1，整理后，
2
?y0
根据韦达定理，得：y0y1?，则y?122
(x?2)?
5y0
从而，?1??
y0
?(x0?2)2?5y2 y1
y0
?(x0
?2)2?5y2 y
2)?4
0）的离心率
3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l椭圆C交于A、B两点，坐标点O到直线l的距离为面积
，求△AOB2
?c??
解：（Ⅰ）设椭
，依题意?a
?a??
x2
?b?1，?所求椭圆
3
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。
?419k?6k2?12?3?69k2?2?6k
1k??，即时等号成立。
k3
当且仅当9k?
2
综上所述ABmax?2。
1。 ??当AB最大时，△
AOB面积取最大值S??ABmax?
222
x2
?y2?1交于A、B两点，记?ABC练习1、（07浙江理）如图，直
的面积为S。
（Ⅰ）求在k?0，0?b?1条件下，S的
考查解析几
?x2,b?，
?b2?1?b?1，
当且仅当b?
2
时，S取到最
?y?kx?b,?
（Ⅱ）解：由?x2
2
??y?1,?4
得 ?k2?
??1?2
?b2?1?0， ?x?2kbx
4?
??4k2?b2?1， AB??k2?x1?x2
4k2?b2?1
??k??2
12?k4
2
y?
2626226
x?，或y?x?，或y??x?,或y??x?。 22222222
练习2、（山东06文）已椭圆中心在坐标点O，焦点在x轴上，椭圆的短端点和焦点所组成的四边形正方形，两准线
(Ⅰ)求椭
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，ΔAOB面积取得最值时，求直
x2y2
解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0).
ab
b?c
2a22
（I）由已知得
? b?1 ?4
c
c2?1222
a?b?c
a2?2
?所求椭圆方程为
1?k2?
1?2k2
16k2?24
21?k
2
.
原点O到直线l的距离d?
?S?ADB
116k2?24222k2?3
?AB?d??22
21?2k1?2k
16k2?24
解法1：对S?两
1?2k2
4S2k4?4(S2?4)k2?S2?24?0 （*） ?S?0，
16(S2?4)2?4?4S2(S2?24)?0
?4-S2
S2
?0
S2?24
4S2
?0
则2k2
?m2
?3， ?S?
22mm2
?4
?22?22
m?
42. m
当且仅当m?
4
即m?2时， m
Smax?
2 2. 2
此时k??
所以，所求直线方程为 ?x?2y?4?0.
解法二：由题意知直线l斜率存在且不
设直线l的方程为y?kx?2，A(x1,y1)，B(x2,y2) 则直l与x轴的
2,0)
k
2?2
解法2：S?AOB?S?POB?S?POA
1
?2?x2?x12
?x2?x1
?
222k2?3
?
1?2k2
下同解法一
已知中心在原点，焦点在x上的椭圆的离
2
，F1,F2为其焦点，
椭圆相交于A,B两点，且?F2AB的最大面为2，求椭圆的方程。
2
得a:b:c?2:1:1，所以椭圆方
?x?my?c222
设直线AB:x?my?c，由?2 得：(m?2)y?2mcy?c?0 22
?x?2y?2c
??4m2c2?4c2(m2?2)?4c2(2m2?2)?8c2(m2?1)?0
2mc?
y?y?12??m2?2
由韦达定理
2
?yy??c12?m2?2?
2
22cm2?1
y
1?y2?(y1?y2)?4y1y2?2
2,c?1
C（0，p）作
（Ⅰ）若点N点C关于坐标原点O的对点，求△ANB面积的
（Ⅱ）是否在垂直于y的直线l，使得l被以AC为径的圆截得长恒为定值？若存在，求出l方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图） 本小主要考查直线、圆和抛物线等面解析几何的基础知识，考综合运用学知识进行推理运算的能力和决问题的能力. 解
（Ⅰ）依题意，点N坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直
?x2?2py为y=kx+p,与x=2py联立得?消去y得x2-2pkx-2p2=0.
?y?kx?p.
2
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是S?ABN?S?BCN?S?ACN?
2
1
?2px1?x2 2
＝px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2
O?,t与AC为直径
,） 22
＝
12
y1?p2. 2
?H?a?
2
y1?p1
?2a?y1?p, 22
2
2
?PH?O?P??H
121
(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44
p
＝(a?
)y1?a(p?a),
2
=
?PQ?(2PH)2
=4?(a?2
?p?)
y2?a(p?a)?. l存在，其方程
从而，S?ABN?
112p?d?AB??2p?k2?k2?2??2p2k2?2, 22?k2
?当k?0时，（S?ABN）max?22p2.
（Ⅱ）假设满足件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的
(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0,将直线方程y=a代入得
x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0,
p??
则?＝x?4(a?p)(a?y1)?4?(a?)?y1?a(p?a).
2??
2
1
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有
pp??
PQ?x3?x4?4?(a?)y1?a(p?a)??2(a?)y1?a(p?a).
22??
令a?
pp
?0,得a?,时PQ?p为定值，故满条件的直线l存在，其方
y?
p. 2
即抛物线的通径在的直线。 练习、（山东09理）（22）（本小题满
x2y2
设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2
，
ab
E恒有两个交
，,1)两点,
x2y2??1 84E
?y?kx?m?
解方程组?x2y2得
??1?
4?8
x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
222222
则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0,即8k?m?4?0
2
2
4km?
x?x??12??1?2k2?2
?xx?2m?8?121?2k2?
,
k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22
y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?
1?2k21?2k21?2k2
2
2
????????
要使OA?O,B
2
2
2m2?8m2?8k2
??0,所以y1?y02,即22
1?2k1?2k
?m2?23m2?822
3m?8k?8?0,所以k??0又8k?m?4?0,所以?2,所以
83m?8?
2
m2?
8,
即m?
或m?,因为直线
3m2?线,所以圆的半径
2
228
,)或
8x2?y2?，使得该圆的
3
2m2?88(8k2?m2?4), ?
1?2k2(1?2k2)2
|AB|?????
①当k?0时|AB|?
因为4k?
2
1
?4?8所
11
?, 1
4k2?2?48
k
所以
32321?[1?]?12,
334k2?2?4k
|AB|?
k??时取”=”. 2
② 当k?0时
,|AB|?
③ 当AB的斜
两个交点为|AB|?
,
3
,直线与椭圆
P
（Ⅰ）求点P
PN＝（Ⅱ）若PM2
,求点P的坐标.
1?cos?MPN
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨是以M、N为焦，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦
b?
x2y2
??1. 所以椭圆的方
(Ⅱ)由PMPN?
2
,得
1?cosMPN
PMPNcosMPN?PMPN?2. ①
因为cosMPN?1,P不为椭圆长轴顶点，P、M、N构成三角形.
中，MN?4,
MN
2
?PM?PN?2PMPNcosMPN.22
将①代入②，得
2
4?PM
2
?PN?2(PMPN?2).
2
y2?1
上. 故点P在以M、N
为焦点，实轴长为
?-. 22
0，－23）
C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存过点E（－2，0）的直
OM?ON?
请说明理由.
4
6cot∠MON≠0（O为原点）.若存，求直线m的方程；若不
本小题主要考查线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的本方法和
力.满分14分.
（I）解法一：直线l:y?3x?23， ①
过原点垂直l的直线方程y??解①②
x， ② 3
3. 2
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l对称点在椭圆C的右
a23??2??3.
c2
∵直线l过椭圆焦点，∴该
③ p=3.
0）.
. ③ 当直
12k212k2?6
,x1?x2?, (3k?1)x?12kx?12k?6?0, ?x1?x2??2
2
3k?13k?1
2
2
2
2
|MN|??k
2
(x1?x2)?4x1x2??k
22
12k2212k2?626(1?k2)
(?2)?4??,3k?13k2?13k2?1
点O到直线MN的距离d?
|2k|?k
2
?OM??
4
6cot?MON,
424
,?S?OMN?6.?|MN|?d?, 333
?|OM|?|ON|sin?MON?
即46|k|
k2?1?
4
6(3k2?1). 3
整理得k2?
1,?k??. 33
2
6. 3
当直线m垂直x轴时，也满足S?OMN?故直线m的方
23x?, 33
x??2.
226(k?1) ?26?.3k2?1 以下与解法
解法三：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
设直线m:x?ty?2，代入③，整理得(t?3)y?4ty?2?0.
22
?y1?y2?
4t?2
,yy?, 1222
t?3t?3
4t28
)?2?|y1-y2|=(y1?y2)?4y1y2=(2
t?3t?3
2
24t2?24
(t2?3)2
?OM??
4
cot?MON,即 |OM|?|ON|cos?MON?4cos?MON?0, 33sin?MON
42
,?S?OMN?6. 33
?|OM|?|ON|sin?MON?
S?OMN?S?OEM?S?OEN
1
?|OE|?|y1?y2|?2
24t2?24
. 22
(t?3)
24t2?24242
6∴=，整理得t?3t. 22
3(t?3)
解得t??3,或t?0.
故直线m的方程为y
?
23
xx?,或y??333
23,
或x??2.
32?1的左、右焦点。
的最大值和最小值；
A、B，且∠AOB为锐角
及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c所以F1,F2
??，设P?x,y?，则
?
?????????
PF1?PF2?x,?y,
??x21
x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44
?
222
?????????
?2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端时，PF1?PF2
1当x??2，即点P为椭圆长轴端时，PF1?PF2
解法二：易知a?2,b?1,c?
F1,F2
?
?，设P?x,y?，则
?
???????????????????????????PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2
1
??x??2?
?
2
?y?x2
?2
?y2?12??x2???
（Ⅱ）显然直线x?0不满题设条件，可
3?0
??2?k2?1?8k2
??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
222
k?k?k?
444
2
3k2
?k2?1
??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵
k2?k2?
44
3
故由①、②得?2?k??
或?k?2 22
练习3、（08陕西理）已抛物C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中，过M作x轴的垂
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB
????????
（Ⅱ）是否存在数k使NA?NB?0，若存，求k的值；若不存在，
解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，
2x2?kx?2?0，
由韦达定理得x1?x2?
k
，x1x2??1， 2
??． ?
?kk2x1?x2k
?，?N点的坐标为??xN?xM?24?48
?m?k．
?M是AB的中点，
1?x2)?4]
?k21?k2
???4???2． 2?2?4
k2k2k2?16
?MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??．
488|x1?x2|?又|AB|?
．
??k2?16??，解得k??2．
8????????k??2即
2
解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x2得
k
2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．
2?kk2x1?x2k
?，?N点的坐标为??xN?xM?24?48
?2
?．?y?2x，x ?
?抛物线在点N处的切
k
?k，?l∥AB．
4
????????
???1??????1?4?(?1)?k???
4216??24??
?k2??3?
???1????3?k2?
16??4??
?0，
3k2
??1??0，??3?k2?0，解得k??2．
416
????????
即存在k??2，使NA?NB?0．
问题九：四
x2y2
例题10、（08安徽理）设椭圆C:2?2?1(a?b?
0)过点M
，且着焦点为
ab
F1(
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与
????????????????
满足APQB?AQPB，证：点Q总在某定
22解 (1)由题意：
x2y2??1
42
????
AQ?,则??0且??1
QB
?
2
x12??2x2y12??2y22
?4x，??（1） ?y，??（2）
1??21??2
又点A、B在
22
x1?2y1?4,??(3) x2?2y2?4,??(4)
2
2
（1）+（2）32并结合（3），（4）得4s?2y?4
即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上 方法二
????????????????
设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，PA,PB,AQ,QB均不为零。
????????PAPB且 ?
AQQB
????????????????
又 P,A,Q,B四点共线，可设PA???AQ,PB??BQ(??0,?1),于是
4??x1??y
,y1? （1） 1??1??4??x1??y
,y2? x2? （21??1??
x1?
由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C
2
0 （3） 0 (4)
F离心率e，F2，1、
解析：数列和解几位列数第三和第二，意
2
由ec?1，
2
a2
∴a?2c．
22
又a2?b2?c2，
∴b2?c2，a2?2b2．
∴l：x?a?2c?2c，M(2c,y1)，N(2c,y2)．
c
c
2
2
延长NF2交MF1P，记右准线l交x轴
∵F1M?F2N?
∴9c2?c2?20，2?2
，b2?2，a2?4． ∴a?2，b
??????
（Ⅰ）另解：∵FM?FN?0，∴(3c,y1)?(c,y2)?
0，y1y2??3c2?0． 12
又F1M?F2N??y1y2??3c2
联立?22，消去y1、y2得：
9c?y?20?1?22
?c?y2?20
??????????
??????????
??
??????????
222
?
取最小值．
1由??y??(x?c)k???x?2c
?y2??
c
k
?????1． MN?y1?y2?c?k??k
当且仅当3k?1即k2?1，k?时取
k
? 即当????MN最小时，k?
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