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泊方程(法语:équation de Poisson)是数学一个常见于电学、机械工程和理论物理的偏微分方,因法国数学、几何学家及物理学家泊松
目录
[]
方程的叙述[编辑]
泊松方程为
在这里
代表的
和
可以是在流形上的数或数值的方程。当形属于欧几里得空
,因此
在三维
如果有
恒等于0,这个程会变成一个齐
泊方程可以用格林函数来求解;如用格林函数来解松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很种数值解。像松弛法,不断回圈的代数法,就
数学表达[编辑]
通常泊松方程表示为
这里
代表拉普拉斯算子,
为已知函数,而
为未知函数。当
时,这个
为了解泊松方程我需要更多
其中
为有界开集。
这种情况下利基础数构建泊松
其中
为n维欧几里得间中单
得到
的解。
为了使方程满上述边
为一个
通常情况下
是依赖于
。
通过
可以给
其中
表示
上的曲面测度。
此方程的
静电学[编辑]
在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度后找出电场
此
代表电
是电荷体密
是真空电
如果空间中
此方程
高斯电
如果有一个
:
此处,Q代表总电荷
此泊松方程:
的解Φ(r)则为
erf(x)代表的是误差函数.
注意:如果r远于σ,erf(x)
;正如
参阅[编辑]
离散泊松方程
泊松-玻尔兹曼方程
泊松方
参考资料[编辑]
Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编),Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, 503, 2005,ISBN?9780922152766.
Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.ISBN 1-58488-299-9
外部链接[编辑]
Poisson equation//Hazewinkel, Michiel (编),数学百科全书,Springer, 2001,ISBN?978-1-55608-010-4
Poisson's equation onPlanetMath.
泊松方程
泊松方程
泊方程(英语:Poisson's equation )是数学中一常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程,因法数学家、几何
在这里代表的是拉普拉斯子,而f 和φ可以是在流上的实或复数值的方程。当流形属于几里得空
通常写成
在三维
,因此泊松方程
如果没有
斯方程”。
泊方程可以用格林函数求解;如何利用格林函数来松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很种数值解。像是relaxation method,不断回圈的数法,就是一个例子。 ,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称
在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f 找出φ是一个很际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然找出电场的
此代表电势(单位为特),电荷体密度(单位库仑/立方米),而是
如果空间中
此方程
[编辑] 高斯电荷分布的电场
如果有一个
:
此处,Q 代表总荷 此泊
erf(x ) 代表的是误差函数.
注意:如果r 远
正如我
[编辑] 参阅
?
[编辑] 参考资料
at EqWorld: The World of Mathematical Equations. ? L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical
Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2 ?
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations
for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
求解泊松方程
DOI :10.3969/j.issn1000-4874.2011.04.005
张昆,等:求泊松
图1
的差分格式。此,紧致修
维泊松方程其它偏
弹性力学中平衡问
中温度分布问题都可用松方程来描述。已有大量的文泊松方程的高精度数值法进行了究。文献[1]提出算子佳组合法,文献[2]用解析特解法导出了正方形网下泊松方程九个结点的六阶精度差分式。尽管实现了求解泊松程的高精度差分格式,但是所得格式对非齐次项的
Lele [3]提出了基于导数的紧致格式是一类立在较少网格结点下的高精度格式。文献[4-7]构造紧致法,并将紧致格式应用于各类方程的离散中,获得了高精度数值解。由于以往紧致格式是于方程,而基于数项直接建立的,所以导过程比较复杂,且立格式时所采用的结点数较。例如,二维泊松方程的四阶紧致方法(CFDS4)建立在九结下,三维泊松方程四阶紧致方法立27个结下[8-9]。为了既能够保计算精度,又能使紧致格式灵活地应用于泊松方程的解中,本文将紧致格式低格式结合,构造紧致格式的修正项,将修正项加入到源项中进行求解,提出了种求解泊松方程
当模的题中存在高梯度区域时,为了得到高度的数值解,需要对该区域的网格加密处理,这时采用均网格进行离散,就需要构造基于非均分网格的离散式。文[10]出了基正方形网格维泊方程的九点优化差分法。文献[11]基于Hermite 插值的基本思想,通过在待定逼近式中增加导数项的技术,给了精度的紧致差分格式,该格式对非次项的束条件较宽松。但这两种方均建立在等距格基础上,需要经过坐标变换才应用于非均分网格的数算中,而建立基于非均分网格的紧致修正方法可以根据实际的计算需求调网格的疏密,提
紧修正方法与延时修正法[12,13]中高阶离式的引入思想相同,所可增加数方程组解的稳定性,与延时修正方法的求解程不同,该方法既可避免延修正方法的反复迭代过程,又可以保数值解的高精度。该方虽然是为隐式形式的紧致格式设计的,但也可应
2 基于
以的紧致格式多数立在等距网格上,应用于等距网格时需经过坐变换。下建立的紧致格式可直接应用于非等距格的数值求解中。对于函数f (x ) ,建立如图1
现构造基于非距网
′′′′′αi f i ′?1+f i +βi f i +1=A i f i ?1+B i f i +C i f i +1 (1)
设f (x ) 的高
′′′′′f i ?1, f i +1, f i ′?1, f i , f i +1在x i 进行泰勒展开,得
′′′′′′αi f i ′?1=αi ?f i ?Δx i f i +
??
12(4)
Δx i f i ? 2!
13(5)?Δx i f i +o (Δx i 3)?, 3! ?
′′′′′′Δx i 2+1f i (4)+ βi f i ′+1=βi ?f i +Δx i +1f i +
?
?
12
13(5)?Δx i +1f i +o (Δx i 3+1)?, 3! ?
11?
A i f i ?1=A i ?f i ?Δx i f i ′+Δx i 2f i ′′?Δx i 3f i ′′′+
2! 3! ?
14(4)15(5)?
Δx i f i ?Δx i f i +o (Δx i 5)?, 4! 5! ?
11?
C i f i +1=C i ?f i +Δx i +1f i ′+Δx i 2+1f i ′′+Δx i 3+1f i ′′′+
2! 3! ?
424
14(4)15(5)?
Δx i +1f i ?Δx i +1f i +o (Δx i 5+1)? (2) 4! 5! ?
比较泰勒展
A i +B i +C i =0,
?A i Δx i +C i Δx i +1=0,
A i Δx i 2+C i Δx i 2+1=2! (αi +1+βi ),
D ={(x , y ) 0
?D ={(x , y ) x =0, a ; 0≤y ≤b }U
{(x , y ) y =0, b ; 0≤x ≤a }
建立如
?A i Δx i 3+C i Δx i 3+1=3! (?αi Δx i +βi Δx i +1),
A i Δx i 4+C i Δx i 4+1=
其截断误差为
4!
αi Δx i 2+βi Δx i 2+1) (3) (2!
图2
5i +1
ε=[?A i Δx +C i Δx +
5i
构造紧致修正法所用的低阶
(5)
f 5!
(αi Δx i 3?βi Δx i 3+1)]i (4) 3! 5!
以上格式中的系数见附录。该式可在非等网格下直接进行解。当取等网格Δx =Δx i =Δx i +1时,可得基于等距网格的紧
?2u 22
u u i , j + =?i ?1, j
?x 2i , j Δx i 2+Δx i +1Δx i Δx i +1Δx i
2
u i +1, j (7)
Δx i 2+1+Δx i +1Δx i
11
′′′′f i ′f f i ′++?1i +1= 1010
?2u 22
u u i , j + =?i , j ?122
?y i , j Δy j +Δy j +1Δy j Δy j +1Δy j
6126
f ?f +f i +1 (5) i ?1i
5Δx 25Δx 25Δx 2
2
u i , j +1 (8) 2
Δy j +1+Δy j +1Δy j
将其代入泊松方程,可得基
3 泊
3.1
在矩形区域D (0≤x ≤a , 0≤y ≤b ) 内考
(
2Δx i +1Δx i
+
22 u i , j =2
Δy j +1Δy j Δx i +Δx i +1Δx i
2
u i ?1, j
+
2u + 1, i +j 2
Δx i +1+Δx i +1Δx i
??2u ?2u
?2+2=g (x , y ), (x ,y) ∈D
(6) ?y ??x
?u (x , y ) =z (x , y ), (x , y ) ∈?D ?
222
u + i , j ?12
y y y y y Δy 2+ΔΔΔ+ΔΔj j +1j j +1j +1j
其中:
u i , j +12?g i , j
(9)
张昆,等:求泊松
其中u i , j 2
3.2 紧致修正方法
将二阶导
224
u + i , j ?12
Δy 2+Δy Δy Δy +Δy Δy j j +1j j +1j +1j
u i , j +14+S i , j (13)
H
??22??u ??u
=?g i , j ???2+2??
?x i , j ?y i , j ??????
?
??2u ???2u ?
?2?=?2?+ ????x i , j ????x i , j ??
H L
S i , j
L
??2??2u ???u ?
??2???2???x i , j ??????x i , j ????
H
?
?
? (10) ??
?
??2u ?2u ?
?2+2????x i , j ?y i , j ??
L
?
?
? (14) ??
??2u ???2u ?
?2?=?2?+ ????y i , j ????y i , j ??
H L
4
其中u i , j 表示具有四阶
紧致
第一,通过方程(9)计算具有二
L
??2??2u ???u ?
??2???2??y i , j ??y i , j ?????????
H
?
?
? (11) ??
?
数值
第二
2
2
代
式中上角标H L 别表示高阶紧致格式与低阶经典格式,“*”表示纳入高阶格式
成离
????x i , j ????y i , j ??
数,而“*”的部分则进入离散方程
将式(15)和式(16)代入泊松方程中,可
L H
??222??2u ???u ?u ??u
?2+2?+??2+2?? ???x i , j ?y i , j ???x i , j ?y i , j ??????
L
L
散方程(13)的源项,在计算过程中需要
格式
第三步,算求解泊松方程的紧致离散方程(13),得
以上方法就求解松方程的紧致修正方法。该方法将高阶式与低阶式结合,造紧致式的修正项,并将修正项加入到源项中进行求解,克服了将隐形式的紧致格式直接代偏微分方程中的困难。按照同样的方法在源项中引高精度的经典修正项,可构造求解泊松方程的经典修正方法,以保证代数程组求解的稳定性。紧致修正方法既可以将高阶式引入到的离散求解中,从而得到高精度的解,同时又保证了所求解代数方程组对角优条,增了代数方程组过程的定。此外,该方法还
采用同样方法,可以得出求解三维泊松方程致修正法中
??2u ?2u ??2+2????x i , j ?y i , j ??
将上式整理后得
L
??
?=g (x , y ) (12) ??
?
(
2
Δx i +1Δx i
+
2
Δy j +1Δy j
+
24
) u i , j , k =
Δz k +1Δz k
2224
+ () u i , j =2
Δx i +1Δx i Δy j +1Δy j Δx i +Δx i +1Δx i
224
u + i ?1, j , k 22
Δx i +Δx i +1Δx i Δx i +1+Δx i +1Δx i
u i ?1, j
4
2
+2u i +1, j 4+ Δx i +1+Δx i +1Δx i
u i +1, j , k
4
+
24
u + i j ?k , 1, 2
Δy j +Δy j +1Δy j
426 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑2011年第4期
224
u + i , j +1, k 22
Δy j +1+Δy j +1Δy j Δz j +Δz j +1Δz j
u i , j , k ?1+
其中
4
24
u +S i , j , k i , j +1, k +1
Δz 2+Δz Δz j +1j +1j
(15)
S i , j , k =?g i , j ?
H
??222??u ?u ??u
+2+2?? ??2
?x ?y ?z ??i , j , k i , j , k i , j , k ????
??2u ??2u ?2u
+2+2?2?x y z ????i , j , k i , j , k i , j , k ???
L
??
? (16) ??
?
4 数值算例
采用本文构造的紧致修正方法用于下面三个算例,其中数值解
sinh(γξi )
;
sinh(γ) tanh(γξi )
; (3) 双曲正切的网格(tanh mesh)x i =
tanh(γ)
其中:γ为控制参,取γ=1;ξi 被定义在[?1,1]之间。结点数为20×20,区域为[0,2]×[0,2]时,这三种不同比率网
(2) 双曲正弦的网格(sinh mesh)x i =
图3 三种不同比率的网格系统示意图
ε=
算例1
(17)
式中的u i P j 表具有p 阶精度的数值解,L 1和M 1分别为x 方向和y 方向的结数,而双曲正弦与双曲正切网
??2u ?2u x +y
??x 2+?y 2=2e , (x , y ) ∈[0,2]×[0,2]?
(19) ?y y +2
y ∈2]?u (0,y ) =e , u (2,y ) =e , [0,
?u (x ,0) =e x , u (x , 2) =e x +2, x ∈[0,2]?
τ=
εsinh ?εtanh
(18)
εsinh
其中εsinh 为双曲正弦网格计算所得误差,εtanh 为双曲正切网格算
计算是用Fortran77语言进行编程且在双精度制下进行的。在计算过中,选用了以下几种同
(1) 等距网格(uniform mesh);
该问题的析为u =e x +y 。下面分采用阶经方法(FDS2)、四阶经典修正方法(FDS4)和四紧致修正方法(CFDS4)计算问题的数值解。表1给出了三种不同方法等距网格下的误差。从表1可以看出,四阶致差法的精度高于同价的经典修正方法,二阶经典方法的精度低。此数值例表明
表2给出了二阶典方法四阶紧致修正方法在非等距网格下的误差对比。结果表明,当网格的率发生变化时,四阶紧致修
张昆,
表1
10×10 20×20 30×30 40×40 50×50
FDS2 1.117E-02 2.684E-03 1.175E-03 6.557E-04 4.175E-04
FDS4 2.096E-03 1.351E-04 2.701E-05 8.688E-06 3.667E-06
CFDS4 1.855E-03 1.172E-04 2.328E-05 7.473E-06 3.161E-06
表2 阶经典方法与四阶紧致修正方法在等距网格下
网格数 格式
0.200 0.218 0.221 0.222 0.222 FDS2 τ
CFDS4 sinh-mesh ε 2.190E-03 1.647E-04 3.455E-05 1.134E-05 4.815E-06 CFDS4 tanh-mesh ε 4.860E-04 2.590E-05 4.795E-06 1.507E-06 6.570E-07
τ 0.778 0.843 0.861 0.867 0.864 CFDS4
表3 二阶典差分方法,四阶经典差分方法,四阶紧致差
格式种类 10×10×10 20×20×20 30×30×30 40×40×40 50×50×50 FDS2 3.174E-04 7.876E-05 3.481E-05 1.951E-05 1.246E-05 FDS4 5.417E-05 3.457E-06 6.844E-07 2.164E-07 8.843E-08
CFDS4 4.774E-05 2.995E-06 5.887E-07 1.853E-07 7.551E-08
表4 二阶典差分方法、四阶经典差分方法和四阶紧致差分方法不同网格数下的误
格式种类 10×10×10 20×20×20 30×30×30 40×40×40 50×50×50
FDS2 3.084E-03 7.469E-04 3.288E-04 2.327E-04 1.175E-04
FDS4 1.949E-04 5.908E-06 8.042E-07 3.999E-07 6.878E-08
CFDS4 1.432E-04 3.690E-06 4.341E-07 2.450E-07 2.827E-08
x ∈[0,1],z ∈[0,1]; 大,而二阶经典方的误差变化较小,
致方
u (x , y , 0) =e x +y , u (x , y ,1) =e x +y +1,
算例2
x ∈[0,1],y ∈[0,1] (20)
?u ?u ?u
+2+2=3e x +y +z , 2?x ?y ?z
222
(x , y, z) ∈[0,1]×[0,1]×[0,1];
u (0,y , z ) =e y +z , u (1,y , z ) =e y +z +1,
其精确为u =e x +y +z 。下面分别采
方法、四阶经典修正法及紧修正方法计算问题的数值解。表3给出了三种不同方法计算该问题的误差对比。计算结表明紧致修正方法对三维泊松方程
算例3
y ∈[0,1],z ∈[0,1];
u (x , 0, z ) =e x +z , u (x ,1, z ) =e x +z +1,
?2u ?2u ?2u 2
++=?3πsin πx sin πy sin πz , 222?x ?y ?z
428 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑2011年第4期
(x , y, z) ∈[0,1]×[0,1]×[0,1];
u (0,y , z ) =0, u (1,y , z ) =0,
(Δx i 2+1+Δx i +1Δx i ?Δx i 2) Δx i
βi =3
Δx i +Δx i 3+1+4Δx i +1Δx i 2+4Δx i Δx i 2+1
参 考 文 献:
[1] BIRKHOFF G, ROBERT E. Some current questions on
solving linear elliptic problems[J]. Numer. Math., 1990, [2] MANOHAR R, STEPHENSON J W. Optimal finite
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spectral-like resolution[J]. Journal of Computational [4] 王涛, 田振夫, 葛永斌. 腔
流的高精度
WANG Tao, TIAN Zhen-fu, GE Yong-bin. High accuracy numerical simulation of traveling wave con- vection in binary fluid mixture in large aspect ratio rectangular cell[J]. Chinese Journal of Hydrodynamics,
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LI Ming, TANG Tao, FORNBERG B. A compact fourth-order finite difference scheme for the steady incompressible Navier-Stokes equations[J]. Interna- tional Journal for Numerical Methods in Fluids, 1995, [6] GAMET L, DUCROS F, NICOUD F, et al. Compact
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重网格解
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Physics, 1992, 103(1): 16-42. 432-437. 57(1): 527-546.
y ∈[0,1],z ∈[0,1];
u (x , 0, z ) =0, u (x ,1, z ) =0,
x ∈[0,1],z ∈[0,1];
u (x , y , 0) =0, u (x , y ,1) =0,
x ∈[0,1],y ∈[0,1] (21)
此算例为文献[8]提供,其确解为u = sin πx sin πy sin πz 。表4给出了几种不同的差分法计算结果比较。该算例同样表明紧修
5 结论
本文将高阶致格式与低阶格式结,构紧致式修正项,并将修正项加入到源项中进求解,得到了一种求解泊松方程的紧致修正法。数值算例说明了紧致格式的度高于经典格式的精度,四阶紧致格比经典格式对网格的依赖性强。该方法既保证了数解的高精度,又可
附录
方
12Δx i +1
A i =3, 322
Δx i +Δx i +1+4Δx i +1Δx i +4Δx i Δx i +1
12
B i =?2,
Δx i +1+3Δx i +1Δx i +Δx i 2
12Δx i +1
C i =3, 322
Δx i +Δx i +1+4Δx i +1Δx i +4Δx i Δx i +1
αi =
Δx i +1(Δx i +1Δx i +Δx ?Δx )
,
Δx i 3+Δx i 3+1+4Δx i +1Δx +4Δx i Δx i 2+12i 2i
2i +1
张昆,等:求解泊松方程的紧致修正法
[10] 杨志峰, 许协庆. 泊松方程的高度优化差分
水动力学研
[11] 田振夫. 求解泊松方程的紧致高
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泊松方程的推导
若R=0,函数
区域???(1
R 1R 出奇, 上述微分运算不能运行. 为了计算包括R=0在的) 的数值, 了
r '=0, 那么R =r , 这时以坐标原点为球心做一个半径 a 的球, 将
R ) 对该球体进行积分, 则:
?V ???(1R ) dv =
1
4π?(1R 1R ) d s =S (-R R ) ?d s =-31S R =-21a 2?ds S =-4π因此:?V [-???()]dv =1, R =0∈V
1
R ) =0, 因, 若体积V 不包括R =0式中体积V 包括了R =0原点. 已知当R ≠0
的原
R )]dv =0, R =0?V
维δ函定义, 即根据δ函数定义, 式中被积函
-
14π???(1R ) =δ(R )
泊松方程进行求解
第1期
泊松方程进行求解
2M =-q 2w =-D 袁向荣等:子空迭代法计算
(9)
将钢
(6) 的第2式, 有
M (P ) =
i =1N
∑H w 23(P , R )
i
i
i
N
+M
3
(P )
(10)
图1
w (P ) =
i =1
∑Q w 23(P , R )
+w
3
(P )
内点
表1
x
y
式中, H i 和Q i , 由边界条件确定.
M 3(P ) =-w
3
q 4D ( x 2+ y 2)
x H w 13(P , R ) ∑
i
i
N
(P ) =--(11)
i =1
5
1015202530350000000
I 0. 1910490. 3391780. 4294280. 4594380. 4294400. 3391420. 190899
1637638
II 0. 1910440. 3391590. 4293980. 4594610. 4295160. 3392950. 191088
解析解
8019609
0. 1910. 3390. 4290. 4590. 4290. 3390. 191
053211450461450211053
6913196
( x 2+ y )
64
3 算例和结语
s
算例的计算结与解解很吻合, 表明了本文方法的有效性. 对于简支板宜采用分阶段解法, 求解时可使联立方程式数减
参 考 文 献
为简单起见, . 设图1所示四边简支正方形板的边长a =40刚度D 1=1×106, D 2=4×
106, D 3=2×106, q 0=100. 分两种
1 何福, 沈亚鹏. 板壳理论. 西安:西安交通大
1993. 119~121
2 王淳. 域外奇点法在弹性力学中的应用.
情况计算:I. 用直接法, 即按式(3) 求解; II. 采用分阶段法, 即按式(9) 求解. 两者边界点和外点均取40点, 内
报, 1988:97~102
(本
子空
袁
(石家
摘要 本采用子空间迭代法在计算结构频率和型的同时计算
关键词 振型导数, 灵敏度计算, 子空
参数的变化对构频率振型的影响, 一般通过计算结构的频率和振型对设计参数的数即灵敏度计算来分析.
(K -λφT φi =1i M ) φi =0, i M
(1)
结构动设计、修改及模型修正中需要
式中, K , M 为n 阶对称正定或半正定矩
34 学 与 实 践1998年
系统第i 阶单特征值及对应特征向量, 对于
φφi ′i =x +c
式中()′是对设计参数的导数, x 是
(K -λ′i M ) φi =b i
(2)
Ting 的方法和其它算法一样是将特征值问
问题分开计算.
图1所平面框架, 用梁单元分为78个单
74个结点222个由度. 单元划分及有关参数见文献[6].设计参数选为图1标记处单
的一个解, c =-φT i Mx -
b i =(λ′i M -T
T
φM ′φi . 式(2) 2i
算与Nelson 法比较(迭过程s 阶特征向量导数Φ的 ′计算也采用Nelson 法) , 8阶特征向量导数的误差
) φi K ′+λi M ′
(3)
λ) φi ′′-λi =φi (K i M ′
193. 74. 可见前4阶精度很好, 特征对计
(3) 可见, 特征值导数为显式计算格
量导数计
72. 32s , 说明对少量设计参数的特征向量
征向量导数为隐计算格, 且其控制方程式(2) 为亚定方程, 因此特征向量导数计算比困难、复杂, 灵敏度计
[1]
本方法效率较高, 但对计参数较多的特征向量导数计算, 算法的每一步中关于()′的运算多, 本算法的计算效率
.
, 模态法
[2]
, Lanczos 法
[3]
等.
这些算法都在特征对计算之后进行的. 现介绍一种对特征对特征向量导数同
s 初始迭代矩阵D 01) 选
-1
2) P =MD 0, P ′=M ′D 0, ^K =K
3) D 1=^K P , D ′K (P ′-K ′D 1) 1=^4) Q =MD 1, Q ′=M ′D 1+MD ′1
5) 对阶K =D 1T P , M =D 1T Q 计算
征向
6) 如各特征值满足精度要求, 则计算
图1 平面框架尺寸及设计参数位置
参 考 文 献
1 Zhang L M , He B Q , Yuan X R. Assessment and review of
design sensitivity analysis in structural system identification. J
V ib Eng ,1994, (Special English Issue ) :92~99
Φ=D 1ΦΦ′ , =D ′ +D 1Φ ′1Φ
, P ′=Q Φ +Q Φ ′ 7) 否则就计算P =Q Φ并返回步骤3) , 继续计算.
以上算法去掉所有的() ′运算, 就是特征问题计算的
[4]
2 张弥, 何柏庆, 袁向荣. 特征量导数计算
.
的比较和
3 袁向
以上算法中, 开始D 1为所有振型的线性组合, 每一次迭代D 1中阶振型成分增加,
s 阶阶振型的线性组合[4], Φ 为其线性
力学及
4 倪振. 振动力学. 西安:西安交通大
301~308
5 Ting T. Accelerated subspace iteration for eigenvector deriva 2tives. A IA A J , 1992, 30(8)
6 Eckert L , Caesar B. Model updating under incomplete and
noisy modal test data. Proc. 9th IMAC. 1991. 563~572
(1997年7月20日收到第1稿, 199710月4日
阵, 骤6) 中D 1的导数迭代过程中是显式计算, Φ 的导数计算虽是隐式, 但其控制方程为s 阶, 其计算量远小于式(2) , 这样通过迭代将特征向量导计
与其它方相比, 本方是在计算征值问题的同时计算特征向量导数. 除此之外本算法只是在特征值算法中增加部分矩阵的乘法和加法运算. Ting 曾介绍了一种计算特征向量导的