第1讲
在以前我们已经接触过奇数和偶数了。对于奇数和偶数已源源流长,实际生活中被广泛的用。因此我们要学
规律:
1、奇数±奇数 =偶数 偶数±偶
奇数±偶数=奇数
奇数*奇数=奇数 奇数*偶数=偶数
偶数*偶数=偶数
2、连续两个整数中必是个奇数和一
3、整数可以分成奇数和偶数两大类. 能被2整除数叫做偶数,不被2整除的
偶数通常可以用2k (k 为整数)表示,奇则可以用2k+1(k 为
特别注意,因为0能被2除,所以0
精典例题:
例1 1+2+3+…+1993的和是奇数?还
分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和,再判别和是奇数,还是数. 但如果从加数的奇、个数考,利用奇数的性质,样可以判断和的奇偶性. 题
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解法1:∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇
∴原式的和是奇数。
解法2:∵1993÷2=996…1,
∴1~1993的自然数中,有996个偶数,有997
∵996个偶数之
又∵奇数个奇数
∴997个奇数
因为,偶数+
所以原式之和
例2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所的两个积相差150,这
解法1:∵相邻两
∴150是这个
∴这个数是150÷2=75。
解法2:设这个数为x ,设相邻的两个奇数为2a+1,2a-1(a ≥1). 则有
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(2a+1)x-(2a-1)x=150,
2ax+x-2ax+x=150,
2x=150,
x=75。
∴这个要求
例3、有7个小碗全部朝上放在子上,每次翻转
个,能否经过若干次翻转,使7个小碗全部口朝下? 分析与解:盲目的试验,可能总也找到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。一开始杯口朝的杯子有7只,是奇;第次翻转后,杯口朝上变为5只,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,只有两只杯子改变上、方向,所以杯口朝上的杯子是奇数。类的分可以得到,无论转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可是偶数0。就是说,不可能使7只杯全部
例4、 有m (m≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,次翻转其中(m-1)只杯子。经若干次翻转,能使口
分析与解:当m 是奇数时,(m-1)是偶数。由2的分析知,如果每次翻转偶数只子,那么无论经
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杯口朝上(下)的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m 只杯子全部杯口朝下,杯口朝下的子数是数,每次翻(m-1)即偶数只子。无论翻转少次,杯口朝下的杯子数永远是
当m 是偶数时,(m-1)是奇数。为了直观,我们先从m= 4的情形手观察,下表中用∪表示杯口上,∩示杯口朝,每次翻转3杯子,保持不动的杯子用*标
由上表看出,只要翻转4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯不动,就可达到要求。一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,要翻奇数次。于m 只杯,当m 是偶数时,因为(m-1)是奇数,所以只杯子翻转(m-1)次,就可使全部杯改变。要做到这一点,只需要翻转m 次,并且依次保持1,2,…,m 只杯子不,
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次翻转中,每只杯子都有一次没有翻
综上所述:m 只杯子放在桌子上,每次翻转(m-1)只。当m 是奇数时,无论翻转少次,m 只杯子不能全部改初始状态;当m 是偶数,翻转m 次,可以使m 只子
思维冲浪——我实践
时间: 辅导教师1、1×2+3×4+5×6+……+99×100的结果是奇数还偶
2、(1)2X+3Y=100,其中X 、y 都是自然数,主是奇
(2)、8a+5b=43,其中a 、b 是自然数,b 是奇数
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3、任意取出10个连续的自然数,它们的总和是奇数还
4、有5张扑克牌,正面向上,小明每次翻转其的4张。那他能在翻动若干次,使5张牌的面
4、放学回家,把原来开着的开关连按了7次,这时灯
5、房间有6盏灯全部关着,每盏灯都有一个开关,每次拨动中的5个开关,要使6盏灯全部点亮,你做到吗?如果能做要
第二讲 奇
例1用0~9这十个数码组成五个两位数,每个数字用一次,要它们的和是奇数,那这五个两位数的
分析与解:有时题目的要求比较多,可先考虑满足部分求,然后再调整,使最后结果达
这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这个数的和是
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要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。据奇数的定义,这样成的五个两位数,有两个是奇数,即个位是1和3两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数,根奇、偶数相加减的运算规律,这五数中应有奇数个奇数。现有两个奇数,即个位数1,3的两位。所以五个数的和偶数,不合要,必须整。整的方法是交换十位与个上的数字。要使五个数有奇数个奇数,并且数的和尽可能最大,只要个和十位上一个奇数与一个偶数交换,并且交换的两个的数之尽可能小,由得换5与4的位置。满足题设要求五个位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和
例2 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页。如果将这些文章某种次装订成册,并统一编上页,那么每篇文章的第一面是数
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分析与解:可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数的文章,它的第一面和最后一面所在的页码奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是数页码,最后一面也奇数码,而下去的另篇文章的第一面是排在偶数页码。一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后面所的页码的奇偶性是相异的,版偶数文章,第一面是奇(偶)数页码,最后一面应是偶(奇)数页码,而接的另一篇章的第一面又是排在奇(偶)
以上说明本题的解答主要根据奇偶特点
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章,要这样的第一篇文章的第一面排在数页码上(如第1页),那么接着每一篇有数页的文章都会第面排在数页码,共有7篇这样的文章。后考虑有奇数页的文,第一篇的第一面排奇数页码上,第二篇一面排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等。在8奇数页的文章中,4篇
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排在奇数页码上。因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇
例3 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大内随意摸出两棋,若出的两棋子同色,则从小盒内一枚黑棋子放入盒内;若摸出的两棋子异色,则把其中棋回大盒内。问:从大盒内摸了1999次棋子后,盒内还剩枚棋子?它们都什
分析与解:大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次1枚棋子,摸
从大盒内每次摸2枚棋
(1)所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大内。当所两枚棋子同是黑色,这时大盒少了一黑棋子;当所两枚棋子同是白色,这时盒内
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(2)所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一白。这时要把拿出的白子放回到大盒,大盒内少了一枚黑子。 综合(1)(2),每摸一次,盒内的黑棋子总不是一枚是多一,即改变了黑棋子数的奇偶。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋,摸了1999次,即变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2棋子,所最后剩下的两枚棋是一
例4 一串数排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
到这串数的第1000个数止,共有多少
分析与解:首先分析这串数的成规律和奇偶
1+1=2,2+3=5,3+5=8, 5+8=13,…
这串数的规律是,从第三项起,每一个数等于前个数的和。据奇偶数的加法性,可以得出这数
奇,奇,偶,奇,奇,
容易看出,这串数是按“奇,奇,偶”每三个数为一组周期化的。 1000÷3=333……1,这串数的前1000
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组又1个数,每组的三个数中有1个偶数,并且是3个数,
例5、25个小狗排成5×5的方阵,如果想让每一个狗与相邻的另一小狗交换位
解法分析:
思维冲浪——我实践
1. 在11,111,1111,11111,…些数中,任一个数都不会是某个自然数的平方。
2. 一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17。这17个故事有种编排,但无怎样编排,故正文都从第1页开始,以每
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页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少故事是从奇数
3. 桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝。如果每次翻5只子,那么至少翻转少次,才能使6只子
4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于两边的两个的和,这一行数的左边的几数是这样:0,1,3,8,21,…问:最右边的个
5. 学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他:“今天发放的运动员号码加起来奇数还是偶数?”小明说:“除开我的号码,把今天发的它号码加起来,再减去我的号,是100。”今天发放的运动员号码
6. 在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数和,这继续操作下去,后得88,66,99。:原来写的三个整数否
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7. 将888件礼品分给若干个小朋友。问:到奇数件礼品的朋友是奇
函数的奇偶性
1.3.2
一、教学背景分析
(一) 教材分析:
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》(人教A 版)一章第三节第二课《1.3.2奇偶性》。奇偶性是函数的重要性质之一:方面,奇偶性是中习的图对称性容的延伸,另一方面,习性质也为进一步究基本初等函数等内做好准备,而奇偶性在学习了函数的有关概念和单调性的基础上,对函数知识进步深入和广。 (二) 学
我所教学的学生是我校高一的学生,学生还处在适应期,大部分生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱,所以在授课时注重从具体的例子发,即先给出个殊函的图象,让学生通过图象直观获函数奇偶性的感认识,然后在这个础上形成概念。教学程中引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发特点,从促进思维能力的一
二、教学目标
(一) 知
(1)建立
通过观察一些函数图象的对称性,形成奇偶性的直观认识。然后利用表格探究量变化特,通过数运算,验发现的数特征对义域中的“任”值都成立,最后在这个基础建
(2)掌握函数奇
通过对典型例子的探讨,加深对奇偶性实质的理解,进一形成判断的方法步,从而能应用
(3)函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言,理解奇函数、偶函概念的本质征。在这过程中,让学通过自主探活动,体验学概念的形过,使学生学习数学思考的基本方法,培养
(二) 过
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合交流”等一系列教学活
何画板、实物投影仪等辅助教学,激发学生积极主动地参与教学活动。使学生学会数学思考,学反思与感悟,形成良好的数学观。本节课,通过手实践,观察图象创设问题情境引导生概括出图象特点并象出奇偶性的概念;通典型子,学生索质疑,深对奇偶性概念实质的理解;接着就偶性概念的特点,概括出判的方法步骤,最后过例子习加深巩固。在引导分析时,“空白”,学去联想、探索,同鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法需要解决的题弄清。 () 感态度
培养学生合作、交流的能力和团队精神;培养学生善于观察、勇探索、密细致的科学态度;同时过欣赏生活中一些对的图形,使学生感受到数
三、教学重点与难点
重点:①形成奇偶
②掌握函数奇偶
难点:形成奇偶性定义的过程中,如何从图象的直观识过渡到函数奇性的数学符
四、教学过程
五、教学反思:
本节课以“教师为主导,学生为主体”为指导思想,充分考虑到学生的个性展,通过引导学生以自主探究,讨论流方式去获取新知。在形成奇偶性的形式化定过程中,让学生与到组讨论,在讨论解决问题,逐步突破本节难。让所有学生都在数学习中获得成功体验。同时从《课标》评价理出发,学生发表自已的观点。充分质疑,树立自信心,充分培养学观察、类、分析、概括以及合、交
函数的奇偶性
函数的奇偶性
一、选择题
1. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数,
A. f (-25)
C. f (11)
2.已知定义在R 上的奇函数,f (x )
( B ) .
A .-1 B.0 C.1 D.2
3. 下列函数中,既是偶函数,且在区间(0, +∞)内是单调递增
A . y =x B.y =cos x C. y =ln x D.y =2x
4.若函数f (x ) =12x
x +x -
a a =( A ) .
123A. B. C. D.1 234
5.函数f (x ) 的定义域为R ,若f (x +1)
A .f (x ) 是偶函数 B.f (x ) 是奇函数
C .f (x ) =f (x +2) D.f (x +3) 是奇函数
6. 已知f (x ) 是定义在R 上的
时,f (x ) =x -2,
A .4.5 B .-4.5 1f x ,当1≤x ≤2
C .0.5 D.-0.5
7. 已知f (x ) 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x ) =x 3-x ,则函数y =f (x ) 的图象在间[0,6]上与x 轴的交的个
A .6 B.7 C.8 D.9
二、填空题
18. 已知函数f (x ) 满足:f (1)=,4f (x ) f (y ) =f (x +y ) +f (x -y )(x ,y ∈R) ,则4
f (2 013)=________.
1答案 - 2
a -e x
9. 若函数f (x ) =(a 为常数) 在定义上为奇函数,则实
________.
答案 1或-1
10.若f (x ) 是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)=________.
答案 -1
11.设奇函数f (x ) 的定义域为[-5,5],当x ∈[0,5]时,函数y =f (x ) 的象如图示,则使函数y <0的x 的取值集合
答案 (-2,0) ∪(2,5)
12. 对于函数f (x ) =lg x -2+1,有如下
①f (x +2) 是偶函数;
②f (x ) 在区间(-∞,2)上是减函,在区间(2, +∞)
③f (x +2) -f (x ) 区间(2, +∞)上
其中正确命题的序号是 .(你认为正确的命题序
答案 ①②
函数的奇偶性
函数的奇、偶性
一.真题
(2013)设函
(2015)已知f(x)是奇函数,当x ﹥0时,f (x ) =x 2+ln(x ++x 2) ,则当x ﹤0时,f(x)= 【 A 】 A. -x 2+ln(x ++x 2) B. x 2-ln(x ++x 2) C. -x 2+ln(-x ++x 2) D. x 2+ln(x ++x 2)
注:(1)奇函数:定义域关于原点对称且f (x ) =-f (-x ) ;
偶函数:定义域关于原点对称且f (x ) =f (-x ) ;
(2)奇函数的图形关于原点对称,函数的图形关于y
(3)解题方法:①代入特殊
②根据奇函数f (0)=0;
③根据奇偶
④根据奇偶函数的定义域关于原点对称。 2+a 是奇函数,则a =0 x
二.练习题
1. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,
2. 若函数f (x ) =
3. 在函数y =x 3,y =2x ,y =
log 2x ,y = A )
4.. 若定义在R 上的函数f (x ) 满足:对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) +1,则下列法一定正确的
D. y =x 为奇函数,则a=5\3。 3x +5(x -a )
A. f (x ) 为奇函数 B f (x ) 为偶函
5. 函数f (x ) =x x +a +b 是奇函
6. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2) =-f (x ) ,则f (6)的
A .-1 B .0 C.1 D .2
函数的奇偶性
1. 理解奇函数、偶函数的定义和性质,能断函数的奇偶性,提高逻辑
2. 自主学习,合作探究,学会断函数奇偶性的规律
3. 激情投入,体验解决数学问题的严性,养成严谨的数学
【学习过程】
一、预习导学:
1. 奇函数、偶函数是如何定义的?你认为定义中的关键
【思考】(1)定义中,对D 中任意一个
(2)如果f (-1) =f (1),f (-2) =f (2),f (-3) =f (3),则这个函数定
2. 奇函数的图象有何特征?偶函的图象有何特征?试
思考1:如果函数的定义域不是关于原点对的,那么这个函数还具有
思考2:有没有既是奇函数又是偶函数的函数?认有,请举例子;认为没有,
3. 判断函数奇偶
D , 都有-x ∈D ,如何理解?
二、预习检测
1.下列命题:
(1)如果一个函数的定义域关于坐标点对称,则这个函数
(2)如果一个函数为偶函数,则的定义域关于坐标原
(3)如果一个函数的定义域关于坐标点对称,则这个函数
(4)如果一个函数的图像关于y 对称,则这个函数
其中正确的命题的个数是 ( )A .1 B .2 C .3 D .4
2. 已知y =f (x ) 是奇函数,若g (x ) =f (x ) +2且g (1)=1,则g (-1) =.
四、预习疑
一、知识总结(学
二、结合例题对重难点的突破(小组合作,质疑式探究,老师点评) 探点一:函数奇
例1. 判断下列函数是否具有奇偶性,并说明理. (考察学对概念的理
①f (x )=x ; ②f (x )=x 4+x 2+1;
③f (x )=x 2+1, x ∈[-2,3]; ④ f (x )=x 3+1
【小结】(判断
思考:
①如果f (0) =a ≠0,函数f (x ) 以是奇函数吗?以是偶函数
②若f (x ) 是定义在[a , b ]上的奇函,则a,b 的
探究点二:函数
例2. 作出y =
1x 2的图像并判断其奇偶性,写出它的单调区. (考察学生图、识图和
【我的收获】
1. 知识方面.
2. 数学思想方法
3. 我的感悟:。