2001年3月

华

JOURNAlOFCENTRA[CHINANORMA[UNIVERSITY(Nat.Sci.)

Vo1.35No.1

Mat-.Z001

文

熊元新,刘涤尘

(汉

摘:证明周期冲激函数展开所得到的傅里叶级

理,因此由曼引理导出的傅里叶级数的性质不适台

叶

关

中分

l黎曼引理

文

傅叶

文的分析.

黎引

绝

limr()sindf:0

Iim)cospud0

应黎

,(,)的博里叶系数n,趋于零.即

1rT1

j…/(小一ntdt一0,

r

>(Z)

?=Jimf,(t)s~nntdt=0.? J—J

黎曼对于讨周期函数f(t)展开所得到 的傅里级数在点f的收敛性问题起了极其重要 的作.但它只适合于满足狄义赫(DiricMet)

2周期冲激函数

2.1函数

狱

J

8(t)0.f?0.』

抽

():.

Sa()函数具有以下性质:

JSa()dr一3/2:

JSa()dt=.

J

在?l[s"()]中.越大.函数的振幅越大,

且开原时函数荡越快,衰减越迅速.由抽样 函数的性质得』一卜lim?

6一?

2.2周冲激函数展成傅里叶级数的收敛性 现代网络理论和数字信号处理等领,分析 周期冲激函数的频谱和冲激抽样信号频谱时常 常将周期冲函数(信号)展开成傅里叶级数表示 后行频分析,而周期冲激函不狄赫利 (Dirichlet)条件,但在这些领域将周期函数展 开成傅里叶级数表示后并投有研究它的收敛,因 此必要研究冲激函数展开成傅里

定义

以()?(一)

收

基项

作简介:元新(1962一)男.湖北仙桃

器

信号处理研究

第1期熊新等:周期冲激函数与黎曼引

傅

+{耋一

一

?l_n+1

.?

2'sin寺

对(6)式两边取一..的极限值,则

?卜li—

ra

1

一"+吉jsn(t{jn专

故里级数一个周期内的部分和当"一..时 的极限值是

,

一

!d()cos~t/d一?0,(7a)

n一

_

3

从节讨论函数的定和性质可以发现. d函数是一个可积和绝对可积的函数,并且周期 函数展开

即(7)式与(2)式不相符合又因为当(")一 l

+

im

+

{f:(")c.sp"d"

一

)c.sp

=

limcospt.,

1imr(")ind"

一

旦?Il一")户

一

lirasinpt,

显然式是余和正弦函数值.所以尽管冲激函 数足黎曼引理中的无界且绝对可积的条件.但冲 激函数使黎曼引理中的两限不成立.因.

文献[1]证黎曼引理时将(")分成两 类.第一类函数是函数(")在区间,胡上有界 可积而满足黎曼引理两极限式,第类

文[1]的证:设(")是无界且绝对可积. 不妨设只有6点是奇点.

ll(")Jdu<,,(8)

从而

lc")sinp"d"l?l()sin"d"I

+l(")sin户"d"l,

右的第一

』:("s-npud"1?』:lc"d"<e, 所以当p充分大时,有

l(")sinpudu<2,.

即liral(")sinpudu一0,

同可

文

界绝对可

的数(")_一3(u6)的情况,(8)式不成立.因 为冲激函数在微小的

A3(u—b),显然(")是无界且绝对

ll(")du—A,

因

冲

_n.6]上无界且绝对可积而满足黎曼引理的条件.

华

但不满

r^

Il(")}du<,

成的

liml(")sinpudu=0- 一J

Iiml()cospudu一0.

J'

对

经上述分析.对文献[1]应用黎曼引理推出 的傅里叶级数的系数性质(2)式也作如下修正: 应用黎理可推出:

4结论

本在

应到

开傅

数开

为字

冲函

数满

所明

分了

数奇

(8)

的

可且

?…b趋于零.即满足(2)式.

参考文献:

1]酥传.经福帖.祝学炎等数学

等

[]

1

郜里,为理.应启衍.信号与系

教

PeriodimpulsefunctionandRiemannlemma

X10NGYurn—xin.IIUDi,chen

(Co[|egeofElectricalEngineering,WuhanUniversity,Wuhan430072)

Abstract:Inthepaper.itisprovedthatperiodimpulsefunctionisdividedintoFourier

seriesisconvergent.AsRiemannlemmadonotadapttOimpulsefunction-thequality

thatRiemannlemmaguidesFourierseriesisnotusedperiodimpulsefunction.Thequail—

tyofFourierseriescoefficientthatRiemannlemmaguidesisrevised.

Keywords:impulsefunction;boundless;absoluteintegrable;Riemannlemma

周期冲激函数与黎曼引理

周 期 冲 激 函 数 与 黎 曼 引 理

熊

()武

摘 要: 证明了周冲激函数展开所得的傅里叶级数收敛于冲激函数, 冲激函不满足黎曼引理, 因黎曼引理导

关

中分

?( ) ?td t = 1, 1 黎曼引理?- ?()3 ( ) ?t= 0, t ? 0.文献1 给了黎曼引理, 且

文分析. sin t ( ) S a t= . t () 黎曼

( ) 函具有以下性质: S a t绝对可积, 那么以的极限式成立: ?b ( ) S a td t = Π2; ? ?0 () lim ?u sinp u d t = 0, p ?+ ??a ?()1 b ( ) S a td t = . Π ?- ?() lim ?u co sp u d t = 0. p ?+ ??a k () S a k t在 lim中, 越大, 函数的振越大, k 应用黎曼理立即推出: 可积和绝对

( ) 且开原点时函数振荡快, 衰减越迅速. 由抽样

2. 2 周期冲激函数展开成傅里叶级数的收敛性( ) 黎曼引理对于讨论周期函数 展开所得到 f t

在代网络论和数字信号处理等领域, 分析 的傅

周冲函数的谱和冲激抽样信号的频谱时常 () 的作用, 但

( ) 常将期冲激函数 信号展开成傅里叶级数表示

后行频谱析, 而周期激函数不满足狄义赫义赫利条件但又能展开傅里叶级数且收敛周期 () 条件, 在些领域将周

此必要究冲激函数展开成傅里叶级

性

( ) ( )? t - iΠn t= ? i= - ?

收

25

p t, sin= lim 为周期冲激函数, 将其展开成里叶级数, 有0 p ?+ ? ? 1 1 显然上两是余正弦函数值. 所以尽管冲激函( ) () 5 ?n t, +co sk t, ?2 ΠΠ k = 1数满足黎曼引理中的无且绝对可积的条件, 冲 傅里叶级数的部分和激函数使黎曼理中的两个极限不成立. 此, 黎 n 11 ( ) S n [ ?n t] ? 曼不适冲激函数, 故由曼引理所导出的傅 + co sk t ?2Π Π k = 1里叶级数的性质均不适合冲激函数. 下详细分 1 n + tsin 析其原因. 1 2 ()6 = . Π t () 文献1证明黎曼引理时将函数 分成两 ?u 2 sin 2 () , 第一类函数函数 在区间[ , ] 上有界且 类?u a b () 对6式边 ??的极限值, 则n 可积而满足黎曼引理的两个限式, 第二类函数是 n +1 () 函数 是无界且绝对可积而满曼引理的两?u sin 1 2 ( ) lim S [ ? limn n t= 个极限式. 下面介绍文献1 对第二类函数

() 文1 的证明: 设 是无且绝对可积, ?u 1 1 1 t = lim n + S a n + S a t () 不妨设只有 点是奇点. 因为| | 可积, 所以对 b ?u 1 2 2 2 Π n+ ?? 2 > 0, 存在 > 0, 使ΕΓ ( ) = ?t, b 故里级数在一个周期内的部分和当 ??时 n ()() 8 Ε, ?u du <|| b-="" γ="" 极限值是冲激函数,="" 此周冲激函数展开成傅="" 从叶级数敛,="" 即="" b="" b-="" γ="" ()="" ()="" ωu="" sin="" p="" u="" du="" ωu="" sinp="" u="" du="" 1="" aa="" (="" )="" t="+" co="" sk="" t,="" π="" π="" k="1b" 并且其里叶系="" ()="" +="" ωu="" sinp="" u="" du="" ,="" -="" γπ="" 1="" 1="" 右边的第一项根据黎曼引理的第一类函数证明,="" 当="" (="" )="" ()b="tco" sn="" td="" t="?7a" n="" lim="" 0,="" n??="" πππ="" 充分大,="" 可使它小于="" ,="" 而后一部分p="" επ="" 1="" b="" b="" (="" )="" ()a="?tsinn" td="" t="7b" lim0.="" n="" πn??="" π()="" ()?="" |="" ωu="" |="" du="">< ε,="" sinp="" u="" du="" ωu="" b-="" γb-="" γ="" ()="" (="" )="" 7b="" 式等于零是因为="" 是偶函数的缘故.="">

b 3 黎曼引理与周冲激函数 () ?u sinp u du < 2ε,="" a="" 上节讨论的="" 函数的定义和性质可以发现,?="" b="" (="" )="" ,="" 并且期="" 函数是一个可积和绝对可积的函数?="" lim="" ω="" usinp="" u="" du="0," 即="" p="" a="" (="" )="">

() 文献1所证明的函数 区间[ , ] 内无 ?u a b Π 1 1 ( ) lim ?tco sn td t = ? 0, 界且绝对可积使黎曼引理的两极限式成立是建 n?? ?- ΠΠ Π( ) 立在 8式成立的基础上, 而对于无界绝对可 ( ) ( ) ( ) 又 为 当 即 7 式 与 2 式 不 相 符 合.? u =() () () 的数 ?u = ?u - b的情况, 8不成立, 因 () () - ??时,?u t0 a t0 b 为冲激函数在

b () 小 数 , 它 等 于 某 一 常 数. ?u = Ε 1 () lim?u co sp u du ?ap ?+ ? Π() () A ?u - b, 显然 是无界且绝对可积的, 并且?u b

bp t, co s= lim 0 p ?+ ?() | ?u | du = A , ?b- Γ b () lim ?u sinp u du 因此可得如下结论: p ?+ ??a

) ( ) ( b ? ?然在区间 冲 激

()

但它不满文献1 证明黎曼引理的第二类函数所.

() 用的件. 因为 可积, 所以对 > 0, 存在 数展

数字信号理提供了一力的理论依据. 虽然 > 0, 使 b 冲激函数在个区间内可积和绝对可

成的系式, 所黎曼引理的两个极限式 证明的傅里叶级数的性质均不适合冲激函数.b () 分析了冲激函数不满足曼引理的原因是冲激函lim ?u sinp u du = 0, p ?+ ??a 数区域内积分不是任意小的数, 即不满足式b () lim ?u co sp u du = 0 ( ) 8条件. 后对由黎曼引理推出的傅里叶

() ( ) 的性质 2式进行了修正: 即函数

( ) 可积满足式 8的条件, 那么傅里叶级数的系

() ,

用

:参考文献() ( ) 式 8的函数 的傅里叶级

( ) 1 陈传璋, 经福临, 祝学炎, 等. 数学分析 下册[. 北京: 高 M () 零, 即满足 2式. 等教育出版社, 1982. 95, 115.

4 结 [ 美 ] 陈惠开. 现络分析 [. 北京: 人民邮电出版社,M 2 1992. 652, 892. 本文在周期冲激函数被展开成傅里叶数并 ( ) 郑君里, 杨

Per iod im pulse f un c t ion an d R iem ann lemm a

22, X ION G Y u an x in L IU D ich en

(), , 430072Co llege o f E lec t r ica l E ng inee r ingW uh an U n ive r sityW uh an

A bstra c t: In th e p ap e r, it is p ro ved th a t p e r io d im p u lse fu n c t io n is d iv ided in to Fo u r ie r

. , se r ie s is co n ve rgen tA s R iem an n lemm a do no t adap t to im p u lse fu n c t io n th e qu a lity

. th a t R iem an n lemm a gu ide s Fo u r ie r se r ie s is no t u sedp e r io d im p u lse fu n c t io nT h e

.qu a lity o f Fo u r ie r se r ie s co eff ic ien t th a t R iem an n lemm a gu ide s is rev ised : ; ; ; Key word sim p u lse fu n c t io nbo u n d le ssab so lu te in teg rab leR iem an n lemm a

单位阶跃函数与单位冲激函数

单

1、单位阶跃函数

   (1)

位阶

0;t>0时，其值为

1;当t,0时,发生跳变，其值未定(可取为 );当t由负值(或正值)

趋近于0时，

                   &nbs

p; 

        &nb

sp;

数称

函的图表示在图2a中(仅向右平移)。由此可见，函

   与此类似，移位的单位阶跃

   对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0;t>0

图3

3(a)表示的络在t<0时，A、B两端问的电压为零;在t>0时，接

2、单位冲激函数

1、  单位冲激函数

位

       (2)

表明

的面积等于

1，如5(a)所示(图中括号内

2、移位的单位冲激函数:

  令

         &nbs

p;      

其图如5(b)

3、冲激函数:

   ——常数A与的乘积。

位

         图 6 冲激函

数Aδ(t)的图形

冲激函数匹配法在信号与系统教学中的应用研究

冲函

论文

冲凼

文/徐 斌

【 要】《信不系统》中的系统分析时,系统响应在0时具有不连续性的特点。冲激凼数匘配法是0-状态，起始态，求0+状态，初始条件，的效方之一。针对目前学参考书中关于冲激凼数匘配法的介绍不系统,生对该法的学习感到困难的问题。本文对冲激凼数匘

关

1.引言

《不系》课程中,时域经典法求解线性时不变系统响应比较繁琐,多教材淡化了该部分内容。如果不将时域求解系统响上升到物理层面,对后面三大变换的学习和理解有困难。系统响应求解离开系统初始状态，0-状态，到初始件，0+状态，的跳变这一问题,而解决这一问题的最有效方法即冲激凼匘配法。该方是一种数学的通用法,有泛用价值。但笔者在多年教学中发现,关于冲激凼匘配法介绍都比较繁琐,逻辑分析不严谨,教师对该法的教和学生的学均困难。一些教材了绕过这一教学障,淡化甚回避这一内容,因如何让冲激数匘配法的教学浅显易懂在《信

2.

2.1零输入响应

零入响应是励为零,起状态单独作用时引起的响应分量。既然输入为零,那么,统就没有冲激戒者阶跃作用。因此,

2.2零状态响应

状态响是初始状态

2.3全响应

全响时,系统始状态不为零,激励源也不为零,因此系统响应在0时刻可能有变,但

3.冲击凼数配备法的数学描述

r′(t)+2r(t)=δ(t) ，1，

方程知,右端δ(t)不属于r′(t)就是属于2r(t)。于讨论的是系统响应从0-状态，起始状态，求0+态，初始条件，的跳变,因此将讨论匙间定义在邻域[0-,0+]上。不假设右端δ(t)属2r(t)。然r(t)含有δ(t),那么r′(t)就含有δ′(t);但是程右端没有δ′(t),为了平衡r′(t)中δ′(t),r(t)中应该含有负的δ′(t),这样r′(t)中就必须含有δ″(t)。同样的,方程右端又没有δ″(t),了平衡r′(t)的δ″(t),r(t)中应

然上述设是不成立的,即右端自由项δ(t)

凼u(t)上截取匙间[0-,0+]这一部分。既然r′(t)中含有δ(t),那么r(t)就应

r(t)中应还有?u(t)的积分项?tu(t);二

中必有之相消的负?tu(t);按这样分析下话,好像也陷入了死循环。但是我们在匙间[0-,0+]上讨论系统响应r(t)及导数项在零时刻的跳变情,而凼数t及其各次幂凼数在该匙间上连续,恒等零。因此?tu(t)其的项不会影响r(t)及其导数项在零刻的跳变情冴。因此,只讨论到?u(t)这一项即可,凼数在零时刻有没有跳变决于其表达是否存在?u(t),跳变的大

r′(t)=aδ(t)+b?u(t) ，2，

对上式积分得

r′(t)=a?u(t) ，3，

由跳变量决于?u(t)的系数,因此系统响r(t)就有a个单位的跳变,r′(t)有b个单位的跳变。将，2，和，3，式

4.实例分析

设某一

r″(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e′(t) ，4，

激励e(t)=u(t),时系统全响

求

rzi″(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0 ，5，

其解rzi(t)=[Ae-t+Be-2t]u(t),因为没有激励作用,其响应及导数项在零时刻不会跳。

rzi(t)=[2e-t-e-2t]u(t) ，6，

求零状态

rzs″(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2δ(t) ，7，

t0时,上述方程的通解为:

rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u(t) ，8，

设

rzs″(t)=aδ(t)+b?u(t) rzs′(t)=a?u(t) rzs(t)在零时刻连续 ，9，

，9，

rzs(t)=0.5e-2tu(t) ，10，

求响应时。分方程的形式，8，式完全相同,因其通解的形式如，8，式相同,全响应初始件是在r(0-)=1;r′(0-)=0

r(t)=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut(t) ，11，

5.总结

典法是分系统响应的本方法,也是学习其他方法的基础。本文运用冲击凼数匘配的原理介绍和数学分,释了系统

系响

参考文献

[1]郑里,应启珩,杨为理.信号不系

，作者单位:湖北工业大学，

《信号与系统》中冲激函数δ（t）的教学探讨

《信号与系统》

探讨

ISSN1009-3044

Compu~rKnowledgeandTechnology

Vo1.7,No.25,September2011.

《信号与系统》中激函数6It)的

陈光红

E—mail:kfyj@cccc.net.ca

http://www.dnzs.net.cn

Te1:+86—551—56909635690964

(苏州市职业大学电子

摘要:通过对冲激函数8(t)的程定义,性质及由其引起的冲响应h(c)等的

举例说明了与冲激数相关的知识点及

需注意的问题,用三种方法求解冲

关键词:冲激函数8(t);激响应h(t);傅立

中图分类号:G642文献标识码:A

TeachingDiscussionofDiracDeltaFunctioninInformationandSystem CHENGuang——hong

(DepartmentofElectronicInformationEngineering,SuzhouVocationalUniversity,Suzhou

215104,China)

Abstract:DefinitionandpropertyofDiracdeltafunctionisanalyzed.Impulseresponsecause

dbyDiracdeltafunctionisintroduced.Some

examplesareusedtoexplainthenotice.Threemethodsareusedtosolvetheimpulseresponse.

Keywords:Diracdeltafunction;impulseresponse;Fouriertransform;Laplacetransform

信号与系统是通信技术和电子息技术专业的一门核心课程.冲激

号与系统中的重信号,此信号本身

质,偶对称性质等,由其衍生的卷积性质,冲激响应等是信

知识点.学生在学的过程中反映公式

象,难理解.现将与冲激函数有关性质,应中需要注意的问题举例说明,并将这些用在平的教学中,效果良

1冲激函数8(0的相关知识点

1.1冲激函

l(f)=0,?0

?

{)=?,f=0(1)

li(t)dt=lL一?

8(t)是一个奇异函数,而不是一个通函数,较抽象,但是它对于中于一瞬间(或一点)现的物理

以理解为持续时间无穷小,瞬间幅度穷大,涵面积恒为1的一种理想信号. 1.2冲函数6(t】的采样(筛选)

若函数t)在t=O连续,则f(t)8(t)=o)8(t)(2)

ifq)3(t)dt=.厂(0)(4),,

lf(t)8(t—to)dr=,)(5)#I--

#;0,.

冲激函数的采样(筛选)性质可以总为4条公:两条乘积,两条积分.乘积公式在使用时与卷积性

分公式在使用时要注意积分范围是包含0

分析:由(式5)可知,此题中to=l,则

,0)=f+2t+1)一!dr=1+21+1=4

若将题中的上下限进行修

有不少同学仍旧套用(式5)计算出结果4,则是误的.这是因为修改后

积分的结果应为0.

l-3冲激函数6(t】与任意函

收稿日期:2011-07-29

作者简介:陈光红(1979一),女,江苏安人,讲师,工程师,硕士,主要从事信号系统,子技术的教学与研

6264*信息技术谭程奠合本栏目责任

第7卷第25

任意函数与冲激数的卷积是任意函

f(t)术8(1)=f(t)

to)=f(t-to) f)8(t—

例题2下列各

(A},0)0)=,(0)

ComputerKnowledgeandTechnology

(6)

(7)

(c》j一厂一to)8(Odt=f(to)ID}f(t一)0一to)=,(0)占0

分析:此题的选项A即式2,选项B式7,答案C或D中选择.对于项C,参照式4解得结应为一to);对于选项D,

式3求得其结果是确的,所以本题应

1.4冲激函数8(D引起的冲激响应h(t)的求解

当激励为单位冲激函数6(t)时,系的零状态响称为单位冲激响应,称冲激响应,用h(t)~ra.面以例题3来说明冲

应的求解方法.

例题3已知某线性非时变系统的微分程为y"(1)+5y,(t)+4y(t):f),试该系统的

方法一:时域经典法,即用解微分方程的

根据冲激响应的定义,当t)=8(t),系统的零

h(0一)=h.(0一)=0

微分方程的特征根为=-1,h==-4,统的冲激响应为h(I)=(cec2e8(【),c,,C:为

数.

由奇异函数

代入上式可得冲

方法二:利

根据傅立叶变换的微分性质和线性性质,可将微分方两边取傅立叶变换,

1l

硼神==嘉+未

由傅立叶逆变换可知:激响应南0)=去(茸一

方法三:利

利用拉普拉斯变换的时域微分特和线性性质,可将微分方程边取

()+50)+4,:()=y(s)

1l

):::王+

')+5s+4s+1s+4

由拉普拉斯逆变换可知:激响应矗0)=(g,一

2结论

通过对冲激函数8(t)的定义,性质由其引起的激响应h(t)l~-,分类说明了冲激函数苓(1)的作及在使用时的注意事

将抽象的知识点实例化,使学生们更易理解和用.通过引导学生利用不同知识点和方法对同题目进行析,将《信号与系

的内容融会贯

参考文献:

【1】周昌雄.信号与系统[M].西安:西电子科技大学出版社,2008.5. [2】杨林耀.信号系统[M】.北京:中国人民大学出版社,2000.4. 【3】国试书业组.信号与系统【M].武汉:华中范大学出版社,2010.7. 本栏目责任编辑:梁书信息技术与谭租奠

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