彬77225821
第一章集合
1. 2.集合的子集共有 个;
的真子集有个.
3、充要条件记表示
(1)充分条件:若，则是充分条件.
(2)必要条件:若，则是必要条件.
(3)充要条件:若，
第二章函数 1、定义域
1y,(g(x),0)(1)分式
y,g(x)(2)式中大于
g(x)(3)对数的真
2、值域
(1)分离变量法
ab,ax，baacy,y,，先把分式函数化为
1
(2)换元法
(3)单调性
3、解析式
(1)待定系数法
(2)换元法
(3)构造法
(4)赋值法
4、函数性质
(1)单调性
xxDxx,,,,且1212,增函数:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有
fxfx()(),12,成立，
xxDxx,,,,且1212,减函数:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有
fxfx()(),12,成立，
单调性性质:(1)、增函数+
(3)、增函数-减函
注:上述结果中的数的定义般情况下是要
复合函数的
函数 单调性
单调
内层函数 ? ? ? ?
(2)奇偶性
函数的奇偶性:(注:奇偶函数的前
奇函数:
若有，则f(x)
偶函数:
fxfx()(),,若有，则f(x)是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称，函数的图象关
2
于原点对称，那么这个是奇函数;
那么这个函数
(3)周期性
f(x)=f(x+T)
(4)对称性
两个函数图
函数与函数的图象关于直线(即轴)对. 数与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(即x轴)对. 函数与函数的图象关于直线对称. 若,则
1、一次函数 2、二次函数
3、对勾函数 4、指数函数
3
5、对数函数
5、反函数
(1)(反函数存在的:从定义域
有反函数;
(2)(原函数的定义、值域分
,1f(a),b,f(b),a
几何语言:
,1,，，点P(a,b)y,fx图象
,1yfx,()(3)(与的图象关
(4)求反函
(1) 确定原函
y,f(x)x,,(y)(2) 由的解析式求出
,1(3) 将x,y对换，得反函数的一
义域(反函数的定域不能
分段函数的反函数以分别求各段函数的反函
(1) 单调函数一一
(2) 周期函
(3) 若一个奇函有反函
y,f(x)y,f(x)y,x(4) 证
4
y,f(x)相同。
6、复合函数
复合函数的定义域利用括号的取
复合函数的解析式换元寻求中间变
增 ? 减 ? y,f(u)
增 ? 减 ? ?
增 ? 减 ? 减 ? 增 ? y,f(g(x))
7、二次函数
(1) 二次函数的解
2(1) 一般式; fxaxbxca()(0),，，,
2(2) 顶点式;(知抛物线
(3)两点式; fxaxx()()()(0),,,,xxa12
8、指数函数
指数性质:
1,pmnmn0 (1)1、a,0 ; (2)、() ; (3)、 a,aa,()a,1pa
mrsrs，nmn(4)、 ; (5)、 ; aaaarsQ,,,,(0,,)aa,
指数函数:
x(1)、 在定义内是单调
x(2)、 在定域内是单减函数。注:
(0，1)
9、对数函数
b(1)指数式与数式的互
5
(2)对数
M(1)、 ;(2)、 ; logloglog()MNMN，,logloglogMN,,aaaaaaN
nmn(3)、 ;(4)、 ; (5)、 ; loglogbmb,,logloglog10,bb,,maaaaam
logbaab,(6)、 ; (7)、 log1a,a
(3)对数
(1)、 在定义域单调递增函
(2)、在定义域是单调递减;注: 对数函
(1，0)
logNm(4)对数的换底公式 : (,且,,且,); logN, a,0a,1m,0m,1N,0alogamlogNaaN, 对数恒
nn推论: (,且,). loglogbb, a,0a,1N,0maam
第三章、数列 1、等差数列
通项公式:(1) ;(其中为，d为公差，n为项
(2)推广: ; aankd,，,()nk
(3) 。 (注:该对任意数列都
naa()，1nn项和:(1) ;(其中为首
nn(1),(2); Snad,，n12
(3) ; (注:该对任意数列都
(4) 。 (注:式对任意数列
aaaa，,，常用性质:(1)、若m+n=p+q ，则有 ; mnpq
aaa是,aaa,，,注:的等差中项，
abab,(2)、若、差数列，则
a(3)、为等差列，S为其
差数列;
6
n(n，1)(4)、 ; (5) 1+2+3+?+n=。 aqapa,,,,,0则pqpq，2
(5)n项和中奇数
Sn，1奇 ,Sn,1偶
n为偶数时
nd S，,S奇偶2
2、等比数列
ann,1*1,,,,()aaqqnN通项公式:(1) ;(其中为首项，n为项数，q为公比) an11q
nk,(2)推广:; aaq,,nk
(3)。 (注:该对任意数列都
前n项和:(1) ; (:该公式对任意数
(2) ; (注:式对任意数列
naq(1),,1,n (3) 。 S,aq(1),,n1(1)q,,1,q,
常用性质:(1)、若m+n=p+q ，
2aaa,,,aaa是,(
abab,(2)、若、等数列，则为
S=qS 奇偶
3、数列的
Sann(1)递推为与的关系
,,,,,,,,,,,,,,,,,S(n1),1,解法:种
或与S,f(S,S)消a
7
解法:把原递推公转化为，累加法(逐差
(3)累乘法
an，1 解法:原递推公化为，利用累
(4)待定
a,pa，qn，1n(pq(p,1),0)1、题型(其中p，q均为常数，)。
q解法(待定系数法):原推公式转化:，其中t,，再利用换元a,t,p(a,t)n，1n1,p法转化为等
nna,pa，qaparq,，(pq(p,1)(q,1),0)，1nn，1nn2、(其中p，q均为常数，)。 (或,
其中p，q, r
aap1n，1n，1n,,，解法:一，要先在原递推公式
ap1nbb,，(其中b,)，得:再待
a,pa，qan，2n，1n3、 推公式为(其中p，q均为常数)。 解法一(待定系
s，t,p,
,st,,q,
解法二(特征根法):由递推公
2,,程，叫做数列特征方程。特征方程的两个根，
n,1n,1,,数列的项a,Ax，Bx，其中A，B由决定(
n,1n,1,,，代a,Ax，Bx，得到关于A、B的方程
n,1a,(A，Bn)x，其中A，B
n,1a,(A，Bn)x，得到
a,pa，an，ba,pa，an，b(p,1、0,a,0)n，1nn，1n4、
8
解法:这种类型一般利用待定系数法构等比列，即令，a，x(n，1)，y,p(a，xn，y)n，1n与已知递推式比较，解出,从而转化是公比
r、 5a,pa(p,0,a,0)，1nnn
解法:这种类型一是等式两边数后转化为，再
f(n)an6、 解法:这类型一般是
4、数列的前n项和公式
(1)利用常用
()(1)naann，,1n等差数列求和
(,1)naq,1,n,(1,)aaqaq等比数列求和
(2)错位
这种方法是在推导等比数列的前n和式时所用的方法，这方法主要用于求数列{a? b}的前n项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等
(3)反序
这是推导等差数列的前n项公时所用的方，
(4)分组法求和
有一类数列，既不是等差数，不是等比数，将这类数列适当拆开，可为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
5、数列的证明 (1)判定一
?定义法:(常
?中项公式法:是等差数列;
?通项公式法:(p，q为常数)是等差数列;
?前n项和公法:(A，B为常数)是等
(1)定义法:(q是不为0的
9
(2)通项公式法:(c、q均是不为0的常数n?N*)是等比数列;
(3)中项
第四章、三角函数
,180,,1、弧制与角度制
2、圆弧的长
若扇形的圆心角为,,为弧度，半径为，弧长为，
112，( Crl,，2,,,Slrr22
2、设是一个任意小的角，边上任意一点的
yyx22yrrxy,，,0，则，，( sin,,cos,,tan0,,,x，，，，rrx TP2、特殊
v 0o 30 o 37 o 45 o 53 o 60 o 90 o
OMxASin 0 1
cos 1 0
\
tan 0 1 不存
在
3、象限正负关系
? ? ? ? sin + + - - cos + - - + tan + - + - cot + - + -
222222sin1cos,cos1sin,,,,,,,,1sincos1,,，,4、角三角函数的基本关系:;，，，，
sin,sin,,,,,sintancos,cos,( ,,,,2tan,，，,,tancos,,,,
5、函数的
cos2cosk,,,，,1sin2sink,,,，,tan2tankk,,,，,,,，，( ，，，，，，，，，，
10
，，( 2sinsin,,,，,,coscos,,,，,,tantan,,,，,，，，，，，，，
，，( 3sinsin,,,,,coscos,,,,tantan,,,,,，，，，，，，，4sinsin,,,,,，coscos,,,,,,，tantan,,,,,,( ，，，，，，，，
o o o oSin45sin135cos45cos(-45)
,,,,,,,,,,,,5sincoscossin6sincoscossin,,,,，,，,,，(，( ,,,,,,,,，，，，,,,,,,,,2222,,,,,,,,
弦、余弦的诱导公:(奇
n,2(1)sin,,,(n为偶数) n,, sin()，,,,,1n 2,2co(1)s,,,,(n为奇数)
n,2(1)s,co,,(n为
sin()sincoscossin,,,,,,,,,cos()coscossinsin,,,,,,,, ;;
tantan,,,tan(),,. ,,1tantan,,
22ab，，sin(),,absincos,,，=
b(辅助角所在象限点的象限决
2tan,1cos21cos2,，,,22sin2sincos,,,, ; ,sin,cos,,,,2，1tan22,21tan,,2222cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,,. 21tan，,
2tan,sin21cos2,,,; ,tan2tan,,,,2,1tan1cos2sin2，,,,
8、三角函数
yx,,，,,,sin0,0,,,1、函数的性质: ，，，，
2,1,,,,x，,?振幅:;?周期:;?频率:;?相位:;?初相:( ,,,,f,2,,
2、正弦函数、余函数和
函 yx,cos yx,tan yx,sin数 性 质
11
图象
,,, xxkk,,，,,,
,1,1,1,1 ,,,,值域 R
,xkk,,,2,时， 当
,;当 xk,，2,,y,1;当 y,1xk,,2,最值 既无最大值也无最小值 maxmax2
k,,k,,时，(
,2, 2, 周期性
奇偶性 奇函数
,,，，2,2kk,，
2,2kkk,,,,,,在上，，,,,,,,k,,kk,上是增函数;在 ,， 在,,，，,,22,,2,2kk,,,，增函数;
,,3，，2,2kk，，k,, 上是增函数( ,,，，,,k,,上是减函数( ，，22，，
k,,上是减
kk,,0,,对称中心 ,，，，，,,kk,0，,,k, 对称,，，,,,,,0k,, 对称中心，，2,,,,,2对称性 ,,xkk对称轴 ,，,,,，，2xkk,,,,
9、三角函
,yx,，sin,1、?的图
1yx,，sin,函数的图象
yx,，sin,,yx,，sin,,到函数的图象;
,yx,,，sin,,短)到原来的倍(
1?数的图象上所点的横坐长(缩短)到原
12
函数
,的图象;再将函的图象上所向左(右)平移个
到函数yx,，sin,,的图象;
,短)到原来的倍(横坐标变)，得到函
第五章、向量 1、实向量的积的
(1) 结合律:λ(μ)=(λμ) ; (2)第一分配律:(λ+μ) =λ+μ; aaaaa
(3)第二分配律:λ(+)=λ+λ. aabb
2、 与的数量积(
(1)设a=,=，则a+=; (,)xy(,)xy(,)xxyy，，bb11221212
(2)设a=,=，
(3)设A，B,则ABOBOAxxyy,,,,,(,); (,)xy(,)xy21211122
(,),xyR,,(,),,xy(4)设=，则=; a,a
(5)设a=,=，则a?=. (,)xy(,)xy()xxyy，bb112212124、 两向量的夹角公式:
abxxyy,，1212cos, (a=,=). ,,(,)xy(,)xyb11222222||||ab,xyxy，,，1122
5、 平面两点
22||ABABAB,,d = (A，B). (,)xy(,)xy,,，,()()xxyyAB,11222121
6、 向量的平行垂直 :
a||=λa ;(交
,aaa () ?=0.(
Pxy(,),7、 线定比分公式 :设，，是线段的分点,
，,xx,12,x,，,OPOP1,，1,12,PPPP,,OPOPtOPtOP,，,(1)，则(). ,,,t,1212，yy1，,，1,,12,,y,，1,,
8、三角形五“”向
ABC,,abc,,O,ABC设为所在
222O,ABC(1)为的
O,ABC(2)
O,ABC(3)为的
O,ABC(4)
13
(1)正弦定理
abc(R为外接圆的半
,,,,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin ,,abcABC::sin:sin:sin(2)余弦定理
222222222abcbcA,，,2cosbcacaB,，,2coscababC,，,2cos;;.
(3)三角
111. SabCbcAcaB,,,sinsinsin222
(4)三角形内角
ABCCAB，，,,,,，,,()
CAB,，,,,，222()CAB,. ,,,222
第六章、不等式
1、解不等式
(1)二次不等式
(2)分式不等式
解题步骤:1、移项2、通分3、除乘(意分母不等于0)4、系数化为1(注意系数的正负)5、出根利用穿根法(从右至左至上而下穿偶不
,x,,a(a,0)的解集为:{x,,a,x,a};
,x,,a(a,0)
(4)无理不等式
14
2,f(x)[g(x)] ,,f(x)0?,(7)f(x)g(x) ,与f(x)0?或同解(,,g(x)0,,,g(x)0?,
2,f(x)[g(x)],(8)f(x)g(x),与同解(,f(x)0?,
(5)指数不等式 f(x)g(x)当a,1时，a,af(x),g(x)同解， f(x)g(x)当0,a,1时，a,a
,f(x)g(x),
(10)a1logf(x)logg(x)当,时，,与同解(,aaf(x)0,,
,f(x)g(x),
,当,,时，,与0a1logf(x)logg(x) f(x)0,同解(,aa,g(x)0,, 8、均值不等式
常用不等式:
22abR,,abab，,2(1)(
ab，，,ab(2)(且仅当a,b
222ababab，，(3)(当且仅当a,b时取“=”号)。 ,,,abab，22
极值定理:已知都是
2p(1)若积是定
12sx，y(2)若
，axby，,1(3)已知，若 ，则有: abxyR,,,,
1111byax2，,，，,，，，,，，,，()()2()axbyabababab; xyxyxy
ab，，,1(4)已，若，则
abaybx2xyxyabababab，,，，,，，，,，，,，()()2() xyxy
9、不等式中
1、解连不等式常
.
15
2、定区间上含参数不等式恒
(1)在给定区间的区间形
(为参数)恒成立
(2)在给定区间的子区含参数的不等
(3) 在给定区间的子上含参数的不
(4) 在给定区间的子间上含参数的
对于参数及函数.若恒成
;若有解，则;若解，则;若，则.若函数无最
第七章、直线平
1、角的问题
(1)线线角
,1、异面直线所
的关键是平移(中点平移，顶点平移及形法:把空间图形成悉的或完整的几何体，如正方体、平六面体、长方体等，以便易于发现条异面线间的关系)转化为
2、=其中为
16
(2)线面角
1、定义:平面的一条斜和它平面内的射影所成角，叫这条直线和这个平面所成的角。(2)范围:;(3)求法:作出直线平面上射影;(4)斜线与
的角的特征:斜线与面中所
2、直线平面所
(3)面面角
1、三垂线定理及逆定理:(1)定理:在平面内一直，如果它和这个平面的一条斜影垂直，那么它也和这条斜线垂直。(2)逆定理:在平面一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和条斜线在平内的射影垂直。其作用是证两直线异
2、二角:(1)平角的三要素:?顶点在棱上;?角的边分别在两个半平面内;?角的两与垂直。(2)作平面角的主要方法:?定义法:直接在二面角的上取点(殊点)，分别在两个半平面内棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认观察图形的特;?三垂线法:过中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;?垂面法:过一点作垂面，则垂面与两个半的交所成的角即为平面角;(3)二面角的范围:;(4)二
法:利用面积射影公式SS,,cos,，其中,为平面角的大小。 射原
二面角的平面角根具体图
3、或，
2、距离问题
(1)点线距离
点到直线的距离:般用三垂
(2)点面距离
1、点到平面的距离:?垂法:借助于面面的性质来作垂线，其中过已知点定已知面的垂面是关键;?体
2、利用向量求点
|AB,n|条射线，
|n|
(3)面面距离
两平行平面之间的离:转
17
(4)球面距离
球面距离(球面上过两点的在这两点间的
距离的步骤:?计线段AB;?计算球心
AB的长。
3、体积问题
(1)棱柱:体积,底面积×，或体积,直截
1,底面积×侧棱长;三的体积(其三棱柱一个侧面的面积，
1(2)棱锥:体积,×底面积×高。 3
432(3)球的体
4、证明问题
证明直线与直线的
1转化为判定共面
2转化为二直线同与三条直线
4转化为线
5、转化为向量解AB,(x,y,z)CD,(x,y,z) 111222
xyz111,, ,AB//CDxyz222
证明直线与平面的
1转化为直线与
2转化为线
3转化为面
4转化为证明直线与平法向量垂直
AB,(x,y,z)一步建立空
18
n,(x,y,z)222第
第三步计算 AB,n,0
第四步得出结
证明平面与平面
1转化为判定二
2转化为线
3转化为线
4转化为向量证明两平法向量平行
第一步建立空
第二步求出平面的法量n,(x,y,z)求出平面的
xyz111,,第三
第四步得出结
证明直线与直线的垂的思考
2转化为线
3转化为线与另一线的垂直; 4
AB,(x,y,z)CD,(x,y,z)5转化为向量解 111222
19
AB,CD,0
证明直线与平面
1转化为该直线与平面内任一直线垂直; 2化为该直线与平面内二直线垂直; 3转化为该直线与平面的条垂线平行; 4转化为该直线垂直于一个平平面。 5转化为直线与
证明平面与平面的
1转化为判断二面
2转化为线
3 转化为两平面
第八章、直线和圆
1、斜率公式 :
yy,21k,(、). Pxy(,)Pxy(,)111222xx,21
2、 直线的
(1)点斜式: k ; (直
ykxb,，(2)斜截式: ; (b为直线l在y轴上的截距)
yyxx,,11,(3)两点
两点式的推广:(无任何限
xyab、ab,,00、(4)
AxByC，，,0(5)一般式: 。 (其中A、B不同时为0)
、 夹角公式: 3
kk,21tan||,,(1); (，,) lykxb:,，lykxb:,，kk,,1111222121kk，21
ABAB,1221tan||,,(2); (,,) lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,AABB，,0111122221212AABB，1212
,直线时，直线ll的夹
||AxByC，，00AxByC，，,0d,l4、点到直线的距
20
5、圆的四
222(1)圆的标
2222DEF，,4(2)圆
xar,，cos,,(3)圆的参数
(4)圆的直径式方程 。 (圆的直径
). Bxy(,)22
2226、点与圆的置关系:点
22若， daxby,,，,()()00
PPP则点在圆外; 圆上; 点
222Ax，By，C,07、直圆的位置关系:直线
Aa，Bb，C(): d,22A，B
;;。 d,r,相离,,,0d,r,
OO,d8、 两圆置系的判定:设两圆圆心分别
; d,r，r,外,4条公
; d,r，r,外
dr,r,d,r，r,相交,2条公
9、两圆公共弦直线方
第九章、圆锥曲
y轴上 中心在原点，焦点在
2222标准方xyyx，,1(a,b,0)，,1(a,b,0) 2222程 abab
,,,,xacosxbcos,,参
y B2 y PFPB 2 2 x AAAx 图 形 A1 2 1 2 O O FF2 1
BF1 1 B1
21
A(,a,0),A(a,0)A(,b,0),A(b,0)1212 顶 点 B(0,,b),B(0,b)B(0,,a),B(0,a)1212
轴，轴;短轴为，长轴为 2b2ayx对称轴
F(,c,0),F(c,0)F(0,,c),F(0,c)焦 点 1212
222c,a,b 焦 距 |FF|,2c(c,0)12
c(离心率越大，椭
22aa准 线 ,,,,x y cc
22b通 径 (为焦
|PF|,a，ex|PF|,a，ey1010 焦半
|AB|,2a，e(x，x)|AB|,2a，e(y，y)ABAB焦点弦
仅与它的中点的横坐有关
22ab焦准距 pc,,, cc
，FPF21 ||tanScyb,,焦面积 ,FPFP122
椭圆的的内外部:
2222xyxy00，,,,1(0)ab,，,1(1)
2222xyxy00，,,,1(0)ab,，,1(2)
椭圆的切
22xyxxyy00，,,,1(0)ab(1) 椭圆上一点处
22xxyyxy00，,1 (2)椭圆外一点所引两条切线
22xy22222AxByC，，,0AaBbc，,，,,,1(0)ab (3)椭圆与直线相切的条件是。 22ab
2、双曲线
y轴上 中心在原点，焦点在
22
2222标准方xyyx ,,1(a,b,0),,1(a,b,0)2222程 abab
y FP2 y PB 2 x x 图 形 O O A2 FFA1 2 1 B1
F1
A(,a,0),A(a,0)B(0,,a),B(0,a)顶 点 1212
轴，轴;虚轴为，实轴为 2b2ayx对称轴
F(,c,0),F(c,0)F(0,,c),F(0,c)焦 点 1212
222c,a，b 焦 距 |FF|,2c(c,0)12
c(离心率越大，开
22aa准 线 ,,,,xy cc
ba y,,xy,,x渐近线 ab
22b通 径 ,2ep(为焦准距) pa
|PF|,,a,ex|PF|,,a,ey1010PP在左支 在下支 |PF|,a,ex|PF|,a,ey2020焦半径 |PF|,a，ex|PF|,a，ey1010PP右支 在
22ab焦准距 p,c,, cc
焦面积
双曲线的切
22xxyyxy00,,,,1(0,0)ab (1)双曲线上一
22xxyyxy00,,1 (2)过双曲线外一点所引两条
22xy22222AxByC，，,0AaBbc,,,,1 (3)双曲线与直线相切的条件是。 22ab
3、抛物线
23
圆锥曲线的
轴上， 焦点在轴上， 点在yy焦
标准方2222 y,2pxy,,2pxx,2pyx,,2py程
y y ly PP l ly O x x x P 图 形 FFx O O FF P O l
O(0,0)顶 点
轴 y对称
pppp F(,0)F(,,0)F(0,)F(0,,)焦 点 2222
e,1 离心率
ppppx,, x, y, y,,准 线 2222
2p通 径
pp|||||||| PF,y，PF,x，焦半径 0022
2p,x，x，p,(当
p焦准距
e(e,0)MF一个定点条定直线l的
F动点的轨迹为圆锥曲线。中定点为焦
e,1e,1当0,e,1时，轨迹圆;当时，轨迹为
(1)直接法:如动点满足几何条件本身就
简单明了且易于表达，我只需把这种关
曲线的轨迹
o,ABCBC如:已知底长为8，两底
(2)定义法:其点的轨迹某一基本轨迹的定
22PAPOP如:已知圆，定
RR于，求的
(3)几何法:若求的轨迹某些几何性质(
24
可以用几何法，列几何式，
|AB|,2aABM如:直径，且，为
|OP|,|MN|PP在上取
(4)相关点法(人法):问题中，其动
另一动点(称之为相关点)而运动的;如
是可分析的，这时可以用点坐标表示相
即可求得动点的
22xy,,1(a,0,b,0)AB如:在双
2AB(其中为坐原点，为线的半焦距)，求
(5)交轨法:在动点轨迹，有时会出现要
通过解方程组得出交点(
常与参数法并用。
P(,2,2)l:y,xAB:己知两点，以及一
PAM运动，求线和的
(6)整体法(设不求法):探求的轨迹较
结论的各种关系看成一个体，从整体出
掘和分析。
22ABM如:以圆心的圆圆交于两点，求中
程。
(7)参数法:有求动点应足的几何条件不
(或经分析可发现)这个的运动常常
截距或时间等)的制约，即
化，称这个变量为参数，建立轨迹的
如果需要得到轨迹普通方
在选择参数时，选用的参变以具有某种物
角度，有向线段的数量、直的斜率，点的
选定参变量还要特别注的取值范围
x,y注意:所有的求的问题都要
直线与圆锥曲线
(1)会利用方程解的状况定直线与圆锥曲
锥曲线联立的方程组的解的来入手。(要
意义)，也通过图形进行。(要注意的
22y,k(x，1)A如:
个数。
(2)会求直线被锥曲线所的弦长，弦的中
25
曲线相交，故其方程组的(含有待定的系
标，要注意韦达定理的用，而韦
(,1,,2)y,2x，7如:物线经过两点和，
被抛物线截得的线长是，
(3)当直线与圆曲线相交，求在某些给定
根据条件求解，要注意
2如:已知抛物线程为在轴截距为2的直线
以为径的圆过原，求直
(4)圆锥曲线上点关于某
直线与已知直线垂直，则圆曲线上两点的
解。
第十章、排列组合二项式定理 1、分类数原:完成一件事，有n法,在第一类办法中有m种不同的方法,第二类1办法中有m种不同的方法，??，在第n办法中有m种不同的方
共有 N=m+m+?+m种不同的方
2、分步计数原理:完成一件事，需要分成n步，做第一步有m种不同，做第二1步有m种不同的方法，??，做第n有m种不同的方法，那么完成这件事有 N=m×m×?2n12×m 种不同
n～*mn(n,1)？(n,m，1)3、 排列数公式 :==;(，?N，且) 规定0!,1。 Amn,nmn(n,m)～
mn～An(n,1)？(n,m，1)*mn4、 组合数公式:===(?N，mN,，且)。 Cmn,nnmm～,(n,m)～1，2，？，mAm
mn,mmm,1m0C组合两个性质:(1)C=C ; (2) C+C=; 规定C,1。 nn，1nnnn5、 二
nnnnrnrrnn011222,,,()abCaCabCabCabCb，,，，，，，，nnnnn
rn,rrr (r,0，1，2？，n)二项展开式的通
nn2fxaxbaaxaxax()(),，,，，，，的展开式的系数关系: 012n
n; aaaaf,，，，,,,(1)(1);。 aaaaf，，，，,(1)af,(0)012012n0n
6、二项展开
(1)项数:
r(2)系数:第r，1
n(3)二项
26
边消防军考数学公式.doc
军考数学常用
第一章集合
1. 2.集合的子集共有 个;
的真子集有个.
3、充要条件记表示
(1)充分条件:若，则是充分条件.
，则是必要条件. (2)必要条件:若
(3)充要条件:若，
第二章函数 1、定义域
1(1)分式中分母
(2)根式中大于等
g(x)(3)对数的真
2、值域
(1)分离变量法
ab,ax，baacy,y,，先把分式函数化为
1
(2)换元法
(3)单调性
3、解析式
(1)待定系数法
(2)换元法
(3)构造法
(4)赋值法
4、函数性质
(1)单调性
xxDxx,,,,且1212,增函数:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有
fxfx()(),12,成立，
xxDxx,,,,且1212,减函数:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有
fxfx()(),12,成立，
单调性性质:(1)、增函数+
(3)、增函数-减函
注:上述结果中的数的定义般情况下是要
复合函数的
函数 单调性
单调
内层函数 ? ? ? ?
(2)奇偶性
函数的奇偶性:(注:奇偶函数的前
奇函数:
fxfxfxfx()()()()0,,,,，,或
偶函数:
fxfx()(),,若有，则f(x)是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称，函数的图象关
2
于原点对称，那么这个是奇函数;
那么这个函数
(3)周期性
f(x)=f(x+T)
(4)对称性
两个函数图
函数与函数的图象关于直线(即轴)对. 数与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(即x轴)对. 函数与函数的图象关于直线对称. 若,则
1、一次函数 2、二次函数
3、对勾函数 4、指数函数
3
5、对数函数
5、反函数
(1)(反函数存在的条件:定义域到值域
(2)(原函数的定义、值域分
,1f(a),b,f(b),a
几何语言:
,1,，，点P(a,b)y,fx图象
,1(3)(与的图象
(4)求反函
(1) 确定原函
(2) 由的解析
,1x,y(3) 将对换，得反函数的一
义域(反函数的定域不能
分段函数的反函数以分别求各段函数的反函
(1) 单调函数一一
(2) 周期函
(3) 若一个奇函有反函
y,xy,f(x)y,f(x)(4) 证
4
相同。 y,f(x)
6、复合函数
复合函数的定义域利用括号的取
复合函数的解析换元法
复合函数的单调性
增 ? 减 ? y,f(u)
增 ? 减 ? ?
增 ? 减 ? 减 ? 增 ? y,f(g(x))
、二次函数 7
(1) 二次函数的解
2(1) 一般式; fxaxbxca()(0),，，,
2(2) 顶点式;(知抛物线
(3)两点式; fxaxx()()()(0),,,,xxa12
8、指数函数
指数性质:
1,p0mnmna,0a,a,1 (1)1、 ; (2)、() ; (3)、 aa,()pa
mnmrsrs，naa,(4)、 ; (5)、 ; aaaarsQ,,,,(0,,)
指数函数:
x(1)、 在定义内是单调
x(2)、 在定义内是单调递数。注: 指数函
9、对数函数
b(1)指数式与数式的互
5
(2)对数
M(1)、 ;(2)、 ; logloglogMN,,logloglog()MNMN，,aaaaaaN
nnm(3)、 ;(4)、 ; (5)、 ; loglogbb,,log10,loglogbmb,,maaaaam
logba(6)、 ; (7)、 ab,log1a,a
(3)对数
(1)、 在定义域单调递增函
(2)、在定义域是单调递减;注: 对数函
(1，0)
logNm(4)对数的换底公式 : (,且,,且,); logN,a,0a,1m,0m,1N,0 alogamlogNa 对数
nnloglog推论: bb,(,且,). a,0a,1N,0 maam
第三章、数列 1、等差数列
通项公式:(1) ;(其中为，d为公差，n为项
(2)推广: ; aankd,，,()nk
(3) 。 (注:该对任意数列都
naa()，1nS,a前n:(1) ;(其
nn(1),Snad,，(2); n12
SSan,，,(2)(3) ; (注:该公式对任意数列都适用) nnn,1
Saaa,，，，？)(4 。 (注:该公式对任意数列都适用) nn12
aaaa，,，常用性质:(1)、若m+n=p+q ，则有 ; mnpq
aaa是,aaa,，,注:的等差中项，
abab,(2)、若、差数列，则
aSSSSSS,,,,(3)、等差数列，为其
差数列;
6
n(n，1)(4)、 ; (5) 1+2+3+?+n=。 aqapa,,,,,0则pqpq，2
(5)n项和中奇数
Sn，1奇 , Sn,1偶
n为偶数时
nd S，,S奇偶2
2、等比数列
ann,1*1通项公:(1) ;(其中为首项，n为项
nk,(2)推广:; aaq,,nk
(3)。 (注:该对任意数列都
前n项和:(1) ; (:该公式对任意数
) ; (注:该公式任意数列都适
naq(1),,1,nS, (3) 。 aq(1),,n1(1)q,,1,q,
aaaa,,,常用性质:(1)、若m+n=p+q ，则有 ; mnpq
2aaa,,,aaa是,(
abab,(2)、若、等数列，则为
S=qS 奇偶
3、数列的
SannSfa,()(1)递推公
,,,,,,,,,,,,,,,,,S(n1),1,aSa,S,S,f(a),f(a)解法:这种
S,f(S,S)a(n,2)(n,2)或与消去进行求解。 nnn,1n
a,a，f(n)(2)累
7
解法:把原递推公转化为，累加法(逐差
(3)累乘法
an，1 解法:原递推公化为，利用累
(4)待定
a,pa，qn，1n1、(其中p，q
q解法(待定系数法):原推公式转化:，其中，再利用换元a,t,p(a,t)t,n，1n1,p法转化为等
nna,pa，qaparq,，(pq(p,1)(q,1),0)，1nn，1nn2、(其中p，q均为常数，)。 (或,
其中p，q, r
aap1n，1n，1n:一般地，在原递推公式两边同
ap1nb,(其中)，:bb再待定系
a,pa，qan，2n，1n、 递公式为3(其中p，q均为常数)。 解法一(待定系
s，t,p,
,st,,q,
,,解法二(特征根法):对于由递
2,,a程，叫做数的特征方程。
n,1n,1,,a数列通
n,1n,1,,a，
n,1a,,,a,,a,a,x,x为a,(A，Bn)x，其
n,1a,(A，Bn)x，得到
a,pa，an，ba,pa，an，b(p,1、0,a,0)n，1nn，1n4、
8
解法:这种类型一般利用待定系数法构等比列，即令，a，x(n，1)，y,p(a，xn，y)n，1n与已知递推式比较，解出,从而转化是公比
r5、 (p,0,a,0)a,pan，1nn
解法:这种类型一是等式两边数后转化为，再
f(n)an6、 解法:这类型一般是
4、数列的前n项和公式
(1)利用常用
()(1)naann，,1nSnad等差
(,1)naq,1,n,(1,)aaqaq等比数列求和
(2)错位
这种方法是在推导等比数列的前n和式时所用的方法，这方法主要用于求数列{a? b}的前n项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等
(3)反序
这是推导等差数列的前n项公时所用的方，
(4)分组法求和
有一类数列，既不是等差数，不是等比数，将这类数列适当拆开，可为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
5、数列的证明 (1)判定一
?定义法:(常
?中项公式法:是等差数列;
?通项公式法:(p，q为常数)是等差数列;
?前n项和公法:(A，B为常数)是等
(1)定义法:(q是不为0的
9
(2)通项公式法:(c、q均是不为0的常数n?N*)是等比数列;
(3)中项
第四章、三角函数
,,180,,,,,1、度与角度制的算式:，，( 1,2360,,157.3,,,,180,,,2、圆弧的
lCS若扇形的圆角为，半
112Crl,，2,,,，( Slrr22
2、设是一个任意小的角，边上任意一点的
yyx22ysin,,cos,,tan0,,,x，则，，( rrxy,，,0，，，，rrx PT2、特殊
v 0o 30 o 37 o 45 o 53 o 60 o 90 o
OMxASin 0 1
cos 1 0
\
tan 0 1 不存
在
3、象限正负关系
? ? ? ? sin + + - - cos + - - + tan + - + - cot + - + -
2222221sincos1,,，,sin1cos,cos1sin,,,,,,,,4、角三角函数的基本关系:;，，，，
sin,sin,,,,2tan,( ,,sintancos,cos，，,,,,,,cos,tan,,,
5、函数的
cos2cosk,,,，,1sin2sink,,,，,tan2tankk,,,，,,,，，( ，，，，，，，，，，
10
，，( coscos,,,，,,tantan,,,，,2sinsin,,,，,,，，，，，，，，
，，( 3sinsin,,,,,coscos,,,,tantan,,,,,，，，，，，，，
，，( 4sinsin,,,,,coscos,,,,,,tantan,,,,,,，，，，，，，，
o o o oSin45sin135cos45cos(-45)
,,,,,,,,,,,,，(，( 5sincoscossin6sincoscossin,,，,，,,,,,,,,,,,,，，，，,,,,,,,,2222,,,,,,,,
弦、余弦的诱导公:(奇
n,2(1)sin,,,(n为偶数) n,,sin()，, ,,,1n 2,2(1)s,co,,,(n为奇数)
n,2(1)s,co,,(n为
;; sin()sincoscossin,,,,,,,,,cos()coscossinsin,,,,,,,,,
tantan,,,. tan(),,,,1tantan,,,
22absincos,,，= ab，，sin(),,
btan,,(辅助,所在象限
2tan,1cos21cos2,，,,22sin2sincos,,,,,sin,cos,, ; ,,2，1tan22,
21tan,,2222cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,,. 21tan，,
2tan,sin21cos2,,,,tan2tan,,; ,,2,1cos2sin2，1tan,,,
8、三角函数
yx,,，,,,sin0,0,,,1、函数的性质: ，，，，
2,1,,,,,f,,x，?:;?周期:;?
2、正弦函数、余函数和
函 yx,cos yx,tanyx,sin 数 性 质
11
图象
,,, xxkk,,，,,定
,1,1,1,1
,当xk,，2时，时， k,,当xkk,,,2,,，，，，2
,xk,，2,,xk,,2;当 ;当 y,1y,1,最值 既无最大值也无最小值 maxmax2
k,,时，( k,,
,2,2,
奇偶性 奇函数
,,，，在 2,2kk,，,,,,22，，
2,2kkk,,,,,,上是，，,,,,,, kk,,，k,,上是增函数;在 ,,，，,,22,,2,2kk,,,，增函数;
,,3，， ，，2,2kkk,,,,上是增函数( ，，,,k,,上是减函数( ，，22，，
k,,上是减
kk,,0,,对称中心 ,，，，，,, 对中心kkk,0,，,,,，，,,,, 对称中心,0k,,，，2,,,,,2对称性 ,,xkk,，,,对称轴 ,，，2xkk,,,,
9、三角函
,yx,，sin,1、?的图
1yx,，sin,函数的图象
yx,，sin,,yx,，sin,,到函数的图象;
yx,,，sin,,短)原来的倍(横
1yx,sin?的图象上
12
函数
,的图象;再将函数的图象上所有点向(右)平移个单位长度，yx,sin,yx,sin,,到函数的象;再将函数的图象上所有点的纵坐标
短)到原来的倍(横坐标不)，得到函数
第五章、向量 1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，么: ,,,,,aaaaa(1) 结律:λ(μ)=(λμ) ; (2)第一分配律:(λ+μ) =λ+μ; ,,,,aa(3)第二分配律:λ(+)=λ+λ. bb,,,,,,aaacos,2、 与的数量积(
3、 平面向量的坐标运算: ,,,,aa(1)
(3)设A，B,则; (,)xy(,)xyABOBOAxxyy,,,,,(,)11222121,,aa,(4)设=，则=; (,),xyR,,(,),,xy,,,,aabb(5)
4、 两向量的夹角公式: ,,,xxyyab，,,1212,acos,,,b (=,=). (,)xy(,)xy,11222222||||ab,xyxy，,，1122
5、 平面两点
,,,,,,,,,,,,22,,，,()()xxyy||ABABAB,,d = (A(,)xy，B(,)xy). 2121AB,1122,,,,abb06、 向量的平行与垂直 :设=(,)xy,=(,)xy，，则: ,1122,,,,aabb||=λ ,,,xyxy0;(交叉相乘差) ,1221,,,,,,aaa,b0b,，,xxyy0 () ?=0.(对应相乘和为
,Pxy(,)Pxy(,)PP7、
，,xx,12,,,,,,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1，,OPOP,，1,12t,,OP，
8、三角形五“”向
O,ABC设为所在平面
,,,,,,,,,,,,222O,ABC(1)为的外心; ,,,OAOBOC,,,,,,,,,,,,,
O,ABC,，，,OAOBOC0(2)为的重心; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
O,ABC,,,,,,OAOBOBOCOCOA(3)为的垂心;
,,,,,,,,,,,,,
O,ABC,，，,aOAbOBcOC0(4)为
13
(1)正弦定理
abc,ABC(R为外
,,abcABC::sin:sin:sin ,,,,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin(2)余弦定理
222222222;;. abcbcA,，,2cosbcacaB,，,2coscababC,，,2cos
(3)三角
111. SabCbcAcaB,,,sinsinsin222
(4)三角形内角
ABCCAB，，,,,,，,,()
CAB,，. ,,,,,,，222()CAB,222
第六章、不等式 1、解不等式
(1)二次不等式
(2)分式不等式
解题步骤:1、移2、通分3、除变乘(注意分
负)5、求出根利用穿根(从右至左至
(3)绝对
,x,,a(a,0)的解集为:{x,,a,x,a};
,x,,a(a,0)
(4)无理不等式
14
2,f(x)[g(x)] ,,f(x)0?,(7)f(x)g(x) ,与f(x)0?或同解(,,g(x)0,,,g(x)0?,
2,f(x)[g(x)],(8)f(x)g(x),与同解(,f(x)0?,
(5)指数不等式 f(x)g(x)当a,1时，a,af(x),g(x)同解， f(x)g(x)当0,a,1时，a,a
,f(x)g(x),
(10)a1logf(x)logg(x)当,时，,与同解(,aaf(x)0,,
,f(x)g(x),
,当,,时，,与0a1logf(x)logg(x) f(x)0,同解(,aa
,g(x)0,, 8、均值不等式
常用不等式:
22abab，,2(当当a,b时
ab，，,ab(2)(且仅当a,b
222ababab，，(3)(当且仅当a,b时取“=”号)。 ,,,abab，22
极值定理:已知x,y都是正数，则有
x，y(1)若积xy定值p，则
12sx，yx,yxy(2)若和是
，(3)已知，若 ，
1111byax2; ，,，，,，，，,，，,，()()2()axbyababababxyxyxy
ab，(4)已知，若，,1，则
abaybx2xyxyabababab，,，，,，，，,，，,，()()2() xyxy
9、不等式中
1、解连不等式常
.
15
2、定区间上含参数不等式恒
(1)在给定区间的区间形
(为参数)恒成立
(2)在给定区间的子区含参数的不等
(3) 在给定区间的子上含参数的不
(4) 在给定区间的子间上含参数的
对于参数及函数.若恒成
;若有解，则;若解，则;若，则.若函数无最
第七章、直线平
1、角的问题
(1)线线角
,,,(0,]1、异面直线所的求法:(1)
的关键是平移(中点平移，顶点平移及形法:把空间图形成悉的或完整的几何体，如正方体、平六面体、长方体等，以便易于发现条异面线间的关系)转化为
2、=其中为
16
(2)线面角
1、定:平面的斜线和它在平面内
,,成的角。(2)围:;(3)法:作出直线在平
的角的特征:斜线与面中所
2、直线平面所
(3)面面角
1、三垂线定理及逆定理:(1)定理:在平面内一直，如果它和这个平面的一条斜影垂直，那么它也和这条斜线垂直。(2)逆定理:在平面一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和条斜线在平内的射影垂直。其作用是证两直线异
2、二面角:(1)平面角的三要素:?顶点在棱;?角的两边分别在两个半面;?两边与棱都垂直。(2)作平面角的主要方:?定法:直接在二面角的棱上取点(特殊点)，分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面，定义法时，要认真观察图形的特性;?三垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的线，用三垂线定理逆定理出二面角的平面角;?垂面法:过一点作棱的面，则垂面与两个半平面
;(4)二面角的法:?转化平面角;?面积
,法:利用面积射影公
二面角的平面角根具体图
3、或，
、距离问题 2
(1)点线距离
点到直线的距离:般用三垂
(2)点面距离
1、点到平面的距离:?垂法:借助于面面的性质来作垂线，其中过已知点定已知面的垂面是关键;?体
,, 2、用法向量到面的距离定理:
|AB,n|,条射线，其中，则
|n|
(3)面面距离
两平行平面之间的离:转
17
(4)球面距离
球面距离(球面上过两点的在这两点间的
距离的步骤:?计线段AB;?计算球心
AB的长。
3、体积问题
V(1)棱柱:体,底面积×高，或体积,直
1Sd,底面积×侧棱长;棱柱的体积(中为三棱柱一个侧面的面
1(2)棱锥:体积,×底面积×高。 3
432(3)球的体
4、证明问题
证明直线与直线的
1转化为判定共面
2转化为二直线同与三条直线
4转化为线
5、转化为向量解 AB,(x,y,z)CD,(x,y,z)111222
xyz111,,AB//CD ,xyz222
证明直线与平面的
1转化为直线与
2转化为线
3转化为面
4转化为证明直与平
,要证直线AB平行于平面
第一步建立空间直角
18
n,(x,y,z)222第
第三步计算 AB,n,0
第四步得出结
证明平面与平面
1转化为判定二
2转化为线
3转化为线
4转化为向量证明两平法向量平行
第一步建立空
第二步求出平面的法量求出平面
xyz111,,第三
第四步得出结
证明直线与直线的垂的思考
2转化为线
3转化为线与另一线的射影垂; 4转化为线成射影的斜线垂直. 5转
19
AB,CD,0
证明直线与平面
1转化为该直线与平面内任一直线垂直; 2转化为该线与面内相交二直线垂直; 3该直线与平面的一条垂线平行; 4转化为该直线垂直一个平行平面。 5转化为直线与平面法向量平行 证明平与平面的垂直的思考途径 1转化
2转化为线
3 转化为两平面
第八章、直线和圆
1、斜率公式 :
yy,21(、). Pxy(,)Pxy(,)k,111222xx,21
2、 直线的
lk(1)点斜式: yykxx,,,() ; (
l(2)斜截式: ; (b
yyxx,,11(3)两点式: yy,Pxy(,)Pxy(,)xxyy,,,; ()(、 () ,121112221212yyxx,,2121
()()()()0xxyyyyxx,,,,,,
xyab、ab,,00、，,1(4) 截距式: ; (分别为直线的横、纵截距，) ab
(5)一般式: 。 (
kk,21lykxb:,，lykxb:,，tan||,(1); (，,) ,kk,,1111222121kk，21
ABAB,1221lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,tan||,(2); (,,) ,AABB，,0111122221212AABB，1212
,ll,直线时，
||AxByC，，00lPxy(,)AxByC，，,04、点到
20
5、圆的四
222(1)圆的标
2222(2)圆
xar,，cos,,(3)圆的参数
(4)圆的直径式方程 。 (圆的直径
). Bxy(,)22
2226、点与圆的置关系:点
22daxby,,，,()()若， 00
dr,,dr,,dr,,
2227、直线与圆位置关系:与圆的位置关系有三
Aa，Bb，Cd,(): 22A，B
;;。 d,r,相离,,,0d,r,切,,,0d,r,交,,,08、 两圆位置关系的判方法:设两圆圆心分别为O，O，径分
; d,r，r,外,4条公
; d,r，r,外
dr,r,d,r，r,相交,2条公
9、两圆公共弦直线方
第九章、圆锥曲线
1、椭圆
中心在原点，焦点在上 y
2222xyyx
,,,,xacosxbcos,,参(,(,为参数)
y B2 y PFPB 2 2 x A图 形 AAx A1 2 1 2 O O FF2 1
FB1 1 B1
21
A(,a,0),A(a,0)A(,b,0),A(b,0)1212 顶 点 B(0,,b),B(0,b)B(0,,a),B(0,a)1212
2b2a轴，轴;短轴为，长轴为 x对称轴 y
F(,c,0),F(c,0)F(0,,c),F(0,c)焦 点 1212
222焦 距 c,a,b|FF|,2c(c,0)12
c(离心率越大，椭
22aa准 线 ,,,,xycc
22b通 径 ,2ep(为焦准距) pa
|PF|,a，ex|PF|,a，ey1010 焦半
|AB|,2a，e(x，x)|AB|,2a，e(y，y)ABAB焦点弦
仅与它的中点的横坐有关
22abpc,,,焦准距 cc
，FPF21||tan Scyb,,焦面积 ,FPFP122
椭圆的的内外部:
2222xyxy00，,,,1(0)ab,，,1(1)
2222xyxy00，,,,1(0)ab,，,1(2)
椭圆的切
22xyxxyy00，,1，,,,1(0)abPxy(,)(1) 椭圆上一点处的切线方程是; 002222abab
22xxyyxy00，,1，,1Pxy(,) (2)过椭圆
22xy22222，,,,1(0)abAaBbc，, (3)椭圆与直线AxByC，，,0相切的条件是。 22ab
2、双曲线
轴上 中心在原点，
22
2222标准方xyyx ,,1(a,b,0),,1(a,b,0)2222程 abab
y FP2 y PB 2 x x 图 形 O O AF2 F1 A2 1 B1
F1
A(,a,0),A(a,0)B(0,,a),B(0,a)顶 点 1212
2b2a轴，轴;虚轴为，实轴为 x对称轴 y
F(,c,0),F(c,0)F(0,,c),F(0,c)焦 点 1212
222 c,a，b |FF|,2c(c,0)焦 距 12
ce,(e,1)(心率越
22aa,,,,xy
bay,,xy,,x 渐近线 ab
22b,2ep
|PF|,,a,ex|PF|,,a,ey1010在支 在下支 PP|PF|,a,ex|PF|,a,ey2020焦半径 |PF|,a，ex|PF|,a，ey1010在右
22abpc,,,焦
双曲线的切
22xxyyxy00,,1,,,,1(0,0)abPxy(,) (1)双曲线上一点处的切线方程是; 002222abab
22xxyyxy00,,1,,1Pxy(,) (2)过双
22xy22222,,1AaBbc,, (3)双
3、抛物线
23
圆锥曲线的
轴上， 焦点在轴上， 点在yy焦
标准方2222 y,2pxy,,2pxx,2pyx,,2py程
y y l y l PP l y O x x Px 图 形 FFx O O FFP O l
O(0,0)顶 点
轴 y对称
ppppF(,0)F(,,0)F(0,)F(0,,) 焦 点 2222
e,1离心率
ppppx,,y,,x,y, 准 线 2222
2p通 径
pp||||||||PF,x，PF,y， 焦半径 0022
2p,x，x，p,,(
p焦准距
l若平面内一个动到一个定一条定直线的
l动点的轨迹为圆锥曲线。中定点为焦
0,e,1e,1e,1时，轨迹圆;当时，轨迹为
(1)直接法:如动点满足几何条件本身就
x,y简单明了且易于表，我们只需把
曲线的轨迹
o,ABCBC135如:已知底的长8，两底角之和，求顶点且的轨迹方程。 (2)定法:其动点的轨迹符合某一基本轨的定义，则根据定义直接求出
22OPAP如:知圆A(2,0)，定点，若是
于，求的轨迹
(3)几何法:若求的轨迹某些几何性质(
24
可以用几何法，列几何式，
ONMN,AB如:是的直，且，为圆上一
OM在上取点，使，
(4)相关点法(人法):问题中，其动
另一动点(称之为相关点)而运动的;如
是可分析的，这时可以用点坐标表示相
即可求得动点的
22xy如:在双线的两条
2OC(其中为坐原点，为
(5)交轨法:在动点轨迹，有时会出现要
通过解方程组得出交点(
常与参数法并用。
lAB如:己知两，以及一直，设长为2的线段在
运动，求直线和交点的
(6)整体法(设不求法):探求的轨迹较
结论的各种关系看成一个体，从整体出
掘和分析。
22AB如:以为心的圆与交于两点，求中点
程。
(7)参数法:有求动点应足的几何条件不
(或经分析可发现)这个的运动常常
x,y截距或时间等)的制，即动点坐标中
化，称这个变量为参数，建立轨迹的
如果需要得到轨迹普通方
在选择参数时，选用的参变以具有某种物
角度，有向线段的数量、直的斜率，点的
选定参变量还要特别注的取值范围
x,y注意:所有的求的问题都要
直线与圆锥曲线
(1)会利用方程解的状况定直线与圆锥曲
锥曲线联立的方程组的解的来入手。(要
意义)，也通过图形进行。(要注意的
22y,k(x，1)如:试实数的不同取值，
个数。
(2)会求直线被锥曲线所的弦长，弦的中
25
曲线相交，故其方程组的,,0(尤其含有待
,,0标，要注意韦达
如:设抛物线经过两和，对称轴平行，开口向右，
被抛物线截得的线长是，
(3)当直线与圆曲线相交，求在某些给定
,,0根据条件解，但
2l如:已知抛物方程为在上截距为2的直
l以为径的圆过点，求
(4)圆锥曲线上点关于某
直线与已知直线垂直，则圆曲线上两点的
解。
第十章、排列组
1、分类计数原理:完成一件，有n类办法,在
办法中有m种不同方法，??，在第n类办法
共有 N=m+m+?+m种不同的方
2、分步计数原理:完成一件，需要分成n个
步有m种不同的方法，??，做n步有m种
n～*mmn,0!,13、 排列数公
mAn(n,1)？(n,m，1)n～*mnmN,mn,4、 组合数公式:===(?N，，且)。 nCnm1，2，？，mm～,(n,m)～Am
mmn,mmm,10合的两个性
5、 二项式
nnnnrnrrnn011222,,,()abCaCabCabCabCb，,，，，，，，？？nnnnn
rn,rrr 二项式的通项
nn2的展开式的
naaaaf，，，，,？(1)af,(0); ;。 aaaaf,，，，,,,？(1)(1)012n0012n
6、二项展开
(1)项数:
r(2)系数:第r，1
n(3)二项
26
等边三角形面积公式小学数学
篇一:小学数学何形体
小学数学几形体周
1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2
2、正方形周长=
3、长方形
4、正方形的积=边
5、三角形的积=底×
6、平行四形的面
7、梯形的面积=(
8、直径=半径×2d=2r
9、圆的周长=圆×直径=圆
10、圆的积=
定义定理公式
三角形的面积,底×高?2。公式S=a×h?2
正方形的面
长方形的面
1
平行四边形的面
梯形的面积,(上
内角和:三形的
长方体的体积,长×宽×高公式:V=abh
长方体(或正方体)的体积,
正方体的体积,长×棱
圆的周长,直×π公
圆的面积,半
圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)积于底面的周长乘高。:S=ch=πdh,2πrh圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上头的圆
圆柱的体积:圆柱体积等于
圆锥的体积,1/3底面×
初中
1 过两点有
2 两点
3 同角或
4 同角或
5 过一点有只有一
6 直线外一点线上各点连
2
7 平行公理 经过直外一点，有
8 如果两条直线和第三条直
9 同位角相
10 内错角相
11 同旁内角
12两直线平
13 两直线平
14 两直线平
15 定理 三角形
16 推论 三角形
17 三角形内定理 三角
18 推论1 直角
19 推论2 三的一个外角
20 推论3 三的一个外角
21 全等角形的
22边角边公理(SAS) 有两边和
23 角边角公理( ASA)
3
个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中
25 边边边公理(SSS) 有
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一角边对应相等的两个直角三角全等 27 定理1 在角平分线上的点到这个角的
28 定理2 到一角的两边的距
29 角的平分是到角的
30 等腰三角形的性理 等腰三角
31 推论1 等角形顶角的
32 等腰三角形的角平分线、底
33 推论3 等边角形的各角都
34 等腰三角形定定理 一个三角形有两个角
35 推论1 个角都
36 推论 2
4
37 在直角三角形中，如一锐角等于30?那么它所对的直角边等于边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于
39 定理 线段平分线上的
40 逆定理 和一条两个端点距离
41 线段的垂直平线可看作和线
42 定理1 于某条直
43 定理 2 如果两形关于某直线对
44定理3 两图形关于线对称，如果它们
45逆定理 如两个图形的点连线被同一条直
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b平方和、等于斜边c，即a +b =c 47勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c关系a +b =c ，那么这
48定理 边形的
49四边形的外
5
50多边形内角和定理 n边形的内角
51推论 意多边
52平行四边形
53平行四边形
54推论 夹两条平
55平行四边形性定理3
56平行四边形判定理1 两组对
57平行四边形判定理2 两组对
58平行四边形判理3 对角
59平行四边形判定理4 一组对
60矩形性质理1
61矩形性
62矩形判定定1 有三
63矩形判定定2 对角
64菱形性
65菱形性质定理2 的对角线互相
66菱形面积=对线乘积的
6
67菱形判定定理1 四边
68菱形判定定理2 对角线
69正方形性质定1 正方形的
70正方形性定理2正方两条对角线相等，
71定理1 于中心
72定理2 关于中心对称两图形，对称点连经过对称中心，并且被对称中心分 73逆定理 如果两个形的对应点连线都经过某
点平分，那这两个
74等腰梯形性质理 等腰
75等腰梯形的
76等腰梯形判定 在同一底
77对角线相等
78平行线等分线理 如果一
相等，那么其他直
79 推论1 经形一腰的中
80 推论2 经三角形一
7
必平分第
三边
81 三角形中位线理 三角形的
的一半
82 梯形中位线定 梯形的中位
一半 L=(a+b)?2 S=L×h
83 (1)比例的
如果ad=bc,
84 (2)比性质
85 (3)比性质
那么
(a+c+…+m),(b+d+…+n)=a,b
86 平行线分线段例定理 三
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线其他边(或两边的延长线)，得的对应线段成比例 88 定理 如果直线截三角形的两边(或两边的延长线)得的对应段成比例，那么这条直线
89 平行于三
8
所截得的三角形的边与原
90 定理 平行角形一边线和其他两边(或两
91 相似三角形判理1 两角
92 直角三角形被边上的高分成
93 判定定理2 对应成比例且
94 判定定理3 三边对应成
95 定理 如果一直角三角形的
角形的斜边和一条边对应成比
96 性质定理1 似三角形对应
分线的比
97 性质定理2 相似
98 性质定理3 相似三角
99 任意锐角的正值等于它的余
于它的余
9
100任意锐角的正切于它的余角
于它的余
101圆是点的距
102圆的内部可看作是圆
103圆的外部可看作是圆
104同圆或
105到定点的距离于定长的点的
径的圆
106和已知线段两端点的距离相
平分线
107到已知角的边距离相等
108到两条平行线离相等的点的
离相等
109定理 在同一直
110垂径定理 垂于弦的直径平
111推论1 ?分弦(不
10
平分弦所对
?弦的垂直平分
?平分弦所对的一条直径，垂直
112推论2 圆的两
113圆是以心为对
114定理 在同圆等圆中，相等
相等，所对的
115推论 在同圆等圆中，如果
弦的弦心距中有一相等那么它
116定理 一所对的圆周
117推论1 同弧或等弧所的周角相等;同圆圆中，相等的圆周角所对的弧也等 118推论2 半圆(或
对的弦是直径
119推论3 如果三角形边的中线等于这边半，那么这个三角形是直角三角 120定理 圆的内接四形的对角互补，并且任何
11
的内对角
121?直线L和?O相交 d,r
?直线L和?O相切 d=r
?直线L和?O相离 d,r
122切线的判定定理 过半径的外端
123切线的性定理 圆
124推论1 过圆心且
125推论2 过切点且
126切线长定理 圆外一点引圆
圆心和这一的连线
127圆的切四边
128弦切角定 弦切角
129推论 如果两弦切角所夹的
130相交弦定理 内的两条相交
相等
131推论 如果弦
两条线段
12
132切割线定理 从一点引圆的
线与圆交点的两条
133推论 圆外一点引两条割线，这一点
134如果两圆相切，
135?两圆外离 d,R+r ?两圆外切 d=R+r
?两圆相交 R-r,d,R+r(R,r)
?两圆内切 d=R-r(R,r) ?两圆内含d,R-r(R,r)
136定理 相两圆的连
137定理 把圆
?依次连结各分所得的多
?经过各分点作圆的切线，相邻线的交点为顶的边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有个外接圆和一个内切圆，
139正n边形个内角都等
140定理 正n边形径和边心距把
141正
n边形的面积Sn=pn,2 p表示正n边形的周长
142正三角
13
143如果在一个顶点有k个正n
360?，因
144弧长
篇二:小学 五年级 数学三角
三角形的
一、填空题
1、 一个三角的面积是25方厘米，和它等底
米。
2、 ?在一长9厘米，26厘米的长方
是( 18 )平方厘米。
3、 一个平行边形的底是6
等底等高的三角
4、 沿着平四边形的任角线剪开,分成
平行四边形的底( 等 ).它们的( 高 )和平行四边形的
5、 一个三角形
14
底是( 5 )厘米.
6、 一个三角形的底
7、 直角三形的两条直长分别为3厘米
平方厘米。
8、 一个等直角三角直角边是10
9、 一个三角形的高分别扩大4
10、 一个等腰三角，已知一个底角
11、 一个角三角形，一个锐角是另一个
12、 在一面积是36方米的长方形里
( 18 )平方厘米。
13、 一个角形和一个
么平行四边形面积是三
14、 270方厘米,( 2.7 )平方
15
15、 一个三角的面积比它等高的平行四边
面积是( 25)平米，三角形的
16、 两个完一样的三可以拼成一个(
形面积的( 一半 )，所以三角的面=(底×高?2 )，如果用S表示三角形的面积，用a表示角形的底，h表示三角形的高，那么三形的面
17、 一个边三角形长是12厘米，高
18、 一个等三角形的
平方分
19、 三角一条边长是4米，这条边上的
上的高是(8平
20、 一个等直角三角
21、 一个角三角形的
( 8 )厘米.
16
22、 一个平行四形和一个形面积相等，底边
行四边形的高是( 3)厘米.
二、判断题
1、 两个面积相的三角形可
2、 等底等的三角
3、 三角形的等于平行四
4、 用两个角三角形以拼成一个长方
5、 三角形底扩大到2倍，高也扩大
6、 两个三角形积相等，它
7、 平行四边面积等于
8、 等底等高角形可拼成
9、 平行四边形内最三角形的面积
10、 任意两个角形都能拼
11、 一个平行形可以分成
12、 两个三角以拼成一个
13、 直角角形的三边是5米，4米
17
14、 一个长方内画一个大的三角形，这
15、 三角形的高于这个三角形
16、 两个等底等高三角形，面积
17、 三角形
18、 两个面积相三角形，它们
19、 三角面积的大与它的底和高有
三、选择题
(1)两个完全样的三角
A、长方形 B、正方形 C、梯形D、平行四边形
(2)要计算三的面积，必
A、底和高B、底的
(3)一个三角形与平行四边形相等，高相等，已知平
A、8 B、32C、16 D、无法确定
(4)如图，三个同的长方形
A、甲面积大
B、乙面积大
18
C、丙面积大
D、一样大
E、无法比较
(5)能拼成平行四边形
A、任意两个三角形 B、形状一样 C、面积相等 D、形状一样而且面积相等
—2—
(6)一个正方形周长扩2倍后，新正方
A、2 B、4 C、8 D、16
(7)将一个方形拉成平行四边形(
A、比原来B、比
(8)两个完全一
A、梯形B、正
(9)在面积为42平方米的
A、21B、 30C、14
四、应用题
1、?一块三角地，底长是150m，高是50m，
籽多少千克,
19
4700千
2、一个三角底长3m，底延长1m，那么三
积是多
3.6 m2
3、一块广告是三角形，
方米用油漆0.4克，刷这
16千克
4、?一个长为4厘米方形，从一边的中
一个角，你道剩
2平方厘米
5、?一个行四边形，增加6厘米，底不
减少4厘米，面积就减24平方厘米。
18平方厘米
—3—
6、左图
行四边
图中画
20
角形，使它的面积
与平行
面积相等。
7、明明的房间是个4米、宽3长方形。用直角边分别是4分米和3分米这样的直角三角形地砖铺地，至少
20个
8、三角形广告牌，25分米，高20米。如果每平方米刷漆2千，那么将这个广告牌正反两面刷漆，购买18千克
需要10千
9、一块三角形，底长38，高是5米，如果每
387600千克
10、 一块三角形地，底是500，是360米，这块地的面是多少,如果用拖拉机每天耕1.8公顷，这块地
5天
11、 一块三角形的璃，量得这它的是11.5分米，高是8.4分。如果每平方分米玻璃的价钱是1.2元，买这块玻
57.96元
21
12、 一种直角三角形的，一条直角边15厘米，另一条直角边长24厘米，做150面这样的小旗，至少要用红布
2.7平方米
13、 一块三角形的广板，底26米，高7.2米，如果要油漆这块广告牌，每方米要用油漆0.85千克。至
81千克
—4—
篇三:小学数
小学数学
1 正方形
C周长 S面积 a边长
面积=边长×
2 正方体
V:体积 a:棱面积=棱长×
3 长方形
C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab
4 长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
22
(1)表面积(长×宽+
(2)体积=长×
5 三角形
s面积 a底 h高面积=底×高?2s=ah?2
三角形高=面积 ×2?底
6 平行四边形s面 a底 h高面
s面积 a上 b下底 h面积=(上底+下
8 圆形
S面积 C周
(1)周长=直
(2)面积=
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面
(3)体积=底面积×
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径体积=面×?3 直线:可以向两端无限;没有端点。读作 :直线AB或直线BA。线段:不能向两端延伸;有两个端点。读作:线段AB或线段BA。射线:向一端无限伸;有一个端点。读作:射线AB(
23
角:由一点引出两条射线成的图形叫
一、线的认识
直线:
把线段的两端
直线是可以向两方限长，没有
线段:直线上两点间段叫线段。
线段的长短是可以度量的，有两个端点，
射线:
以一点为端点，一个方向无
二、平
在同一平面内不相交条直线叫平行
三、相
两条直线的位置关
当两条直线相交成角，这两条互相垂直。其中一条直
24
经过直线上或直线外的一点，可以作一条并
从直线外一点到这条直的有线段中，直段最短。 从直线外一点直线引垂线，这点到垂足之间的线段的长，叫做点
四、认识
当物体围绕一个点或一个轴圆周动时，我们称种动为旋转。当这种旋转过程停止某一个位置时，它的位置与这个的连线与水平线之间将形
从一点引出两条射线所组成的形，叫做角。角也可成是一条射线绕着它的端点旋转成的，两条射线的公共端点叫角的顶点，组成角的两条
角的大小与两边射线或线的短无关，只两的位置(两边射线或线段张的大小)相关，时钟、表的指针在不同的时刻所成的
五、角的度
要测量角，必须确定角单，于是人们平均分成360份，把其中1份所形成的角称为1度角，并将一度作为度量角
用量角器来测角的大小。
用量角器量角的候，把量
25
的中心和角的顶点重合，度刻度线的一条边重合，角的
根据角的度数，可把角分为锐
1、路程速度时
2、正方形周长公
4、长方形周长公式:C=2(a+b) 5、长方形面积公式:S=ab
6、加法交换律:a+b=b+a
7、加法结合
8、乘法交换律:a?b=b?a
9、乘法结合律:〔a?b〕?c=a?〔b?c〕
10、乘法分配
11、角的大小分类，从小到大是:锐、直角、钝角、平、角 锐角是小于90度的角，直角90度，钝角是大于90度而小于平的角，角是180度的角，周
12、三角形按角类:锐角三
13、三个角都是锐角是锐角三形叫锐角三角形;有个角是直角的三角形叫直角三角;有一个角是钝角的三角形叫钝角角形。三角形按边分类有:
26
三角形，等
14、从三角形的一点到它的对一条垂线，顶点和垂
15、小数的计数单十分之一，
16、小数的性质:小
17、1平角=2直角 1周角=2平角=4直角
18、三角形具有定性 ，三
19、三角形的
20、学会角，
27
等边六边形边长公式10则
以下是网友分享的关等边六边形
等边三角形去角六边
等边三角形去角
?ABC为等边三角形，去除三个小等的顶角后为六边，
11? S0,2BCAD,2(a+2b)AC-DC
12a,2(a+2b)(a+2b)-(2+b)2
13(a+2b),
(a+2b) 2
1s,2EFh,2bAF-OF
1 ,2b
1
1 ,2b? 2
3b2
S,?ABC面积-3个?AEF面积,S0-s,-34332222,4[(a+2b)-3 b]4+4ab+ b)求
S:
从图2可
蓝色六边
图1蓝色六边形面积
面积，则:
2323bS,(a+4ab+ b24
三角形边长
三角形边长公式
解三角形
解直角三角形(斜三
勾股定理，只适于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”) a +b =c , 其中a和b分为三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系的三个正整数。比如:3，4，5。他们分别是3，4和5的。常见的勾股
2
等等. 解
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别a,b,c. 则有(1)正 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) (2)余弦
b =a +c -2ac*CosB
c =a +b -2ab*CosC注:勾股定
cosb=(a +c -b )/2aC cosC=(a +b -C )/2ab
斜三角形
已知条件定理
一边和两角(如a、B、C)正弦定
两边和夹角 (如a、b、c) 余弦定理由弦理求第三边c，由正弦定理求小边所对的角，再由A+B+C=180?求出另一角，在
三边 (如a、b、c) 余弦定理由定理求出角A、B，再利A+B+C=180?，求出角C 在有解
两边和其中一边的对角 (如a、b、A) 正定由正弦定理求出角B，由A+B+C=180?求出角C，在利用弦定理求出C边，可有两
勾股定理(毕
3
内容:在任何一个角三角形中，两条直角边长的平方之和定于长的平方。几何语言:若?ABC足?ABC=90?，则AB?+BC?=AC? 勾股的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的，则这个三
[3]射影定理(
内容:在任何一个角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平等高斜边上的点到不是两直角边垂足的外顶的线段长度的乘积。
(3)ABXAC=BCXAD
正弦定理
内容:在任何一个三角形中，每个的弦与对边之比等三形面积的两倍与三边边长和的乘积之
形/abc结三角形
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圆半径)
余弦定理
内容:在任何一个三中，任意的平方等于另外两边
4
言:在?ABC中，a?=b?+c?-2bc×cosA 此定理可以变形为:
cosA=(b?+c?-a?)?2bc
三角形边长
三角形边长公式
解三角形
解直角三角形(斜三
勾股定理，只适用直角三
理”) a +b =c , 其
边，c为斜边。 勾股弦数
的三个正整数。比如:3，4，5。他们分别是3，4和5的倍
数。 常见的勾股数
在三角形ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c. 则有 (1)正弦定
接圆半径) (2)
c =a +b -2ab*CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的
一种特殊情况。
(3)余弦定理变形公
cosb=(a +c -b )/2aC cosC=(a +b -C )/2ab
5
斜三角形的解法:
已知条件 定理
一边和两角 (如a、B、C) 正弦
两边和夹角 (如a、b、c) 余弦定理 由余理求第三边c，由正弦定理求出边所对的角，再 由A+B+C=180?求出另一角，
三边 (如a、b、c) 余弦定理 弦定理求出角A、B，再用A+B+C=180?，求出角C 在有解
两边和其中一边
A+B+C=180?求出C，在利用正
勾股定理(毕
内容:在任何一直角三角形中，两条直角边长的平方之和一等斜长的平方。 几何语言:若?ABC满足?ABC=90?，则AB?+BC?=AC? 勾股的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角
[3]射影定理(
内容:在任何一个角三角
6
边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边足另两顶点的线段长度的乘积。
(2)AC?;=CDBC (3)ABXAC=BCXAD
正弦定理
内容:在任何一个三角形中，每个的弦与对边之比等于形面积的两倍与三边边长和的乘积之
三角形/abc 合角形面积公
余弦定理
内容:在任何一个三角形中，任意一边的平方于另两边的平方和减去这两的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言:在?ABC，a?=b?+c?-2bc×cosA 此定理
多边形公
内角
正n 边形的内角
7
正n 边形的一个
外角
正n 边形外角和等
所以正n 边的一个
所以正n 边形的一个角也可以用这
中心角
任何一个正多边形，都可作一个接，多边形的中心所作外接圆的圆心，所以每条边的心角，实际上就是这条边所对的
正多边形中心
对角线
在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的个顶点其他顶点连线，就成了顶点2(2是那两个相邻的点)个三角形。而正多边形的顶点数数相同，所以用边数减2个三角形。三角形内角和:180度，所把边数减2乘上180度，就是
对角线数量的
面积
设正n 边形的半径为R ，边长为an ，中心为αn ，边心距为r n ，则αn=360??n，an =2Rsin(180??n)，r n=Rcos(180??n)，R =r n +(an?2) ，周长pn=n×an，面
8
对称轴
正多边形的
奇数边:连接一个顶和顶点所
偶数边:连接相对两个边的中，或者连接相对称的两
正N 边形
正N 边形对称轴数都N 条(如三有奇数条边，N=3，有
正六边形计
正六边形
1、多边形的内角计算公
2、正多边形各内
3、正六边形位面积
已知:边长a，?DAB=120?, ?CAD=60?, ?CDA=30?, ? Sin30?= AC/AD
AC= AD×Sin30?= a×1/2
AC=1/2 ×a
9
? Cos30?= CD/AD
CD = AD×Cos30?= a×(31/2/2)
?梯形ADHEF面积:
=梯形AEDH面积×2
=,(AC×2，DH，DH)×CD?2,×2
=,(1/2 ×a×2，a，a)×a×(31/2/2)?2,×2 ?2.6a2
四边形不
四边形不等式是一比较常
设m[i,j]表示
m[i,j]类似如
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i?k?j)
如果对于任意的a?b?c?d，有m[a,c]+m[b,d]?m[a,d]+m[b,c]，那么m 满足四边形不等式。
以上是适用这种优
对于一道具体的题目，们首先要它满足这个条件，一
通常的动态规划的复
设s 为m 的
我们可以证明，s[i,j-1]?s[i,j]?s[i+1,j] (证明过程见下)
10
那么改变状态
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]?k?s[i+1,j])
复杂度分析:不难出，复杂
例，
(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]?n
所以总复杂度
对s?s?s的证明:
设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d
对于任意k=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])
=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]
+m[k,j])
=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])
?m满足四边形不等式，?对于i?s[i,j]?s[i+1,j]，同理可
证s[i,j-1]?s[i,j]
证毕
四边形不
四边形不等式是一比较常
11
设m[i,j]表示动
m[i,j]类似如
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i?k ?j)
如果对于任意的a ?b ?c ?d ，有m[a,c]+m[b,d]?m[a,d]+m[b,c]，那么m[i,j]满足
以上是适用这种优
对于一道具体的题目，们首先要它满足这个条件，一
通常的动态规划的复
设s[i,j]为m[i,j]的
我们可以证明，s[i,j-1]?s[i,j]?s[i+1,j] (证明过程见下)
那么改变状态
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]?k ?s[i+1,j])
复杂度分析:不难看出，
(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]?n 所以
12
对s[i,j-1]?s[i,j]?s[i+1,j]的证明:
设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d
对于任意k(mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])
=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])
=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]
+m[k,j])
=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])
?m 满足四边形
(mk[i+1,j]-md[i+1,j])?(mk[i,j]-md[i,j])?0
?s[i,j]?s[i+1,j]，同理
证毕
扩展:
以上所给出的状态移方程
很多状态转移方程满足四
解决这类问题
0. 证明w 满足边形不等
形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w
满足条件才能进一步
1. 证明m 满
2. 证明s[i,j-1]?s[i,j]?s[i+1,j]
13
三角形边长计
三角形边
(1),?=sr; (2),?=(s-a)*ra=(s-b)*rb=(s-c)*rc; (3),?
=?(r*ra*rb*rc); (4),?=ra*rb*rc/?(rb*rc+rc*ra+ra*rb);
(5),?=s *tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2); (6),?
=s*(s-a)*tan(A/2)=s*(s-b)*tan(B/2)=s*(s-c)*tan(C/2); (7),?=abc/(4R); (8),?=bc*sinA/2=ca*sinB/2=ab*sinC/2;
(9),?=abc*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)/s; (10),?
=2R *sinA*sinB*sinC; (11),?=a *sinB*sinC/sinA=
b *sinC*sinA/sinB= c *sinA*sinB/sinC; (12),?
=(a /sinA+b /sinB+c /sinC)*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2); (13),?
=[(b +c )*sin(2A)+(c +a )*sin(2B)+(a +b )*sin(2C)]/12; (14),?=2s *sinA*sinB*sinC/(sinA+sinB+sinC) ; (15),?
=?{(a +b +c )/[8(cotA) +8(cotB) +8(cotC) +8]};
(16),?
=a /[2(cotB+cotC)]=b /[2(cotC+cotA)]=c /[2(cotA+cotB)]; (17),?
=[b *sin(2C)+c *sin(2B)]/4=[c *sin(2A)+a *sin(2C)]/4 =[a *sin(2B)+b *sin(2A)]/4; (18),?
14
=?[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]/3; (19),?=1/
?[(1/ha+1/hb+1/hc)*(1/hb+1/hc-1/ha)*(1/hc+1/ha-1/hb)*(1/
ha+1/hb-1/hc)];
(20),?=a*ha/2=b*hb/2=c*hc/2;
(21),?
=(ha*sinA+hb*sinB+hc*sinC) /(18*sinA*sinB*sinC).
三角形边长的
三角形边长
解三角形
解直角三角形(斜三
勾股定理，只适用直角三
理”)
a +b =c , 中 a 和 b 别为直角三角形两直角边，c 为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理
正整数。比如: 3， 4，
5。他们分别是 3，4 和 5
15
4，5; 6，8，10;5,12,13;10,24,26;等等.
解斜三角形:
在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对分别a,b,c. 则有(1)正
b =a +c -2ac*CosB
c =a +b -2ab*CosC注:勾股理实是余弦定理的一种特殊 情
cosb=(a +c -b )/2aC cosC=(a +b -C )/2ab
斜三角形
已知条件定理
一边和两角(如 a、B、C)正弦定理 A+B+C=180?，角 A， 由正弦定理求出 b 与 c，在有
两边和夹角 (如 a、b、c) 余弦定理由余理求第三边 c，由正 弦定理求小边所对的角，再由 A+B+C=180?求出另一角，在
三边 (如 a、b、c) 余弦定理由定理求出角 A、B，再利 A+B+C=180?，求出角 C 在有
两边和其中一边的对角 (如 a、b、A) 正弦理正弦定理求出角 B，由 A+B+C=180?求出角 C，在利用正定理出 C 边，可有两
16
勾股定理(毕达
内容:在任何一直角三角形中，两条直角边长的平方之和定 边长的平方。几何语言:若?ABC 满足?ABC=90?，则 AB? +BC?=AC?勾股理逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于 第三边长的，则这个三
[3]射影定理(
内容:在任何一个直三角形中，作出斜边上的，则斜边上的高 的平等于所边上的点到不是两直角边垂足的另外顶的 线段长度的乘积。几何
(3)ABXAC=BCXAD
正弦定理
内容:在任何一个三角中，每个角的正对边之比等于三角形 面
sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S 三形/abc结合三角形面积公式，可以
余弦定理
17
内容:在任何一个三角形中，任意一边的平方等另外边的平方 和减去这两 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言:在?ABC 中， a?=b?+c?-2bc×cosA此定理可
三角形边长计
三角形边
发表——斜三角形长的经典计
a/sinA=B/sinB=c/sinC
大写的是角，
现在你是已知A、B 、C和c求a、b。求出两边后相加即可。
我们研究的
1:正弦定理:已知角形的两
2:余弦定理:已知三角两边与其中一
3:当斜三角形三个边长已知两个边不用就无法计算求解第。 4:已知三角形的个边长和一个角就无法
18
个角。
5:已知斜三角形的一个，可求出斜三角
《程形学自然
3:当斜三角形三个长已知两个
任意三角形求
《1》关于《程形学程体系统理论》求任三角形的三边求经公式，在无数个任意三角形中至少有个任意三角形，可以用《程形学程体统理论》推导出任意三角形的
1 已知两边可出第三
2 已知一边和一角可求
3 已知一个角可
《2》RT直角三具备以上这
1 已知两边可出第三
2 已知一边和一角可求
3 已知一个角可
《3》注意*** 任意三
是一元三次方程和一元方程的高次求解的，高次方程得
19
《4》用《程形学程体
边长L——代表A，B，C。 角
斜三角形[锐角三角形，角角形]三边(
(1)在斜三角ABC
A.B.C设C>B>A，斜形的三个边长存
包括1.无数个 斜形[无数个
2.两个RT直角角形{这
3注:在无数个锐三角形和钝角形中，其中就存
a:锐角三角(不用
b:钝角三角(不
(2)在斜三角ABC
A.B.C设C>B>A，已知
a:锐角三角形(不用算)的经典公
锐角三角形(用角计
1:A =(A+2B)*(C -B )
2 :A =(A+2C)*(B -C )
????????用《程学程体系
20
b: 钝角三角(不用角计算)的公式:边长定B法~中
2:8(A*C) =(4A +C )*(C +A -B )
设a,b,c;ma,mb,mc;ha,hb,hc;ra,rb,rc分别表?ABC的三边长,中线,高和旁切圆半径，s,R,r别表示?ABC的半周长，外接与内切半径，A,B,C别表示?ABC的三内角。请给
设三角形面积为?，根据三
系，列出下列21三角形
(1),?=sr;
(2),?=(s-a)*ra=(s-b)*rb=(s-c)*rc;
(3),?=?(r*ra*rb*rc);
(4),?=ra*rb*rc/?(rb*rc+rc*ra+ra*rb);
(5),?=s *tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2);
21
(6),?=s*(s-a)*tan(A/2)=s*(s-b)*tan(B/2)=s*(s-c)*tan(C/2);
(7),?=abc/(4R);
(8),?=bc*sinA/2=ca*sinB/2=ab*sinC/2;
(9),?=abc*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)/s;
(10),?=2R *sinA*sinB*sinC;
(11),?=a *sinB*sinC/sinA= b *sinC*sinA/sinB= c *sinA*sinB/sinC;
(12),?
=(a /sinA+b /sinB+c /sinC)*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2);
(13),?
=[(b +c )*sin(2A)+(c +a )*sin(2B)+(a +b )*sin(2C)]/12;
(14),?=2s *sinA*sinB*sinC/(sinA+sinB+sinC) ;
(15),?
22
=?{(a +b +c )/[8(cotA) +8(cotB) +8(cotC) +8]};
(16),?
=a /[2(cotB+cotC)]=b /[2(cotC+cotA)]=c /[2(cotA+cotB)];
(17),?
=[b *sin(2C)+c *sin(2B)]/4=[c *sin(2A)+a *sin(2C)]/4
=[a *sin(2B)+b *sin(2A)]/4;
(18),?
=?[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]
/3;
(19),?=1/
?[(1/ha+1/hb+1/hc)*(1/hb+1/hc-1/ha)*(1/hc+1/ha-1/hb)*(1/ha+1/hb-1/hc)];
(20),?=a*ha/2=b*hb/2=c*hc/2;
(21),?
23
=(ha*sinA+hb*sinB+hc*sinC) /(18*sinA*sinB*sinC).
由于三角形有三边，所以
性质 设?ABC
1、三角形的三条中
2、三角形的
................,,,,,,,
ma=(1/2)?2b +2c -a ;
................,,,,,,,
mb=(1/2)?2c +2a -b ;
................,,,,,,,
mc=(1/2)?2a +2b -c 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)
24
3、三角形的三条中
4、直角三角形边上的
三角形角平分线定义1 角的一个角的平分这个角的对边相交，连结这个角顶点和交点的线段叫做三角形角平分线。(也叫三角形
由定义可知，角形的
由于三角形有三内角，所三角形有三条角
B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2(
1、三角形的角平分
2、三角形的
...................,,,,
ta=2/(b+c)?bcp(p-a) ;
25
...................,,,,
tb=2/(c+a)?cap(p-b) ;
...................,,,,
tc=2/(a+b)?abp(p-c) 。
26
等边三角形去角六边形面积公式
等边三角形去角六边
△ABC为等边三角形，去除三个大小相等的顶后为六边形，求图1六边形面积S，已知GI=a，EF=b，△AEF面积为s，高为h。 假等边△ABC面
11∴ S0＝2BC·AD＝2·(a+2b)·AC-DC
12a＝2·(a+2b)·(a+2b)-(2+b)2
13(a+2b)＝
(a+2b) 2
1s＝2·EF·h＝2bAF-OF
1 ＝2b
1 ＝2b∴ 2
3b2
S＝△ABC面积-3个△AEF面积＝S0-s＝-3·4332222＝4[(a+2b)-3 b]4+4ab+ b)求图2六边形
S：
从图2可知，图2
蓝色六边形面积等于
图1蓝色六边形面积加以
面积，则：
2323bS＝(a+4ab+ b24
