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师生互动:
师:我
们的特征的。
生:从点、、三个方面去学习一个立体图形的。 生:从棱、、表面积等方面去学习长方体正方体的。 师:还记得我们是如何
生:我们是……….
教学二:
(
师:
生:长方形。
师:一定吗,
生:不定。也有可能是正方形、平行四边形、不规则图形 师:怎样才能是个长方
生:沿着高剪。
师:对。
方案及实录:
师:我们该学习圆柱的什么呢,
生:
师:为什么,有什么用,
生:很多包装纸就是求侧面积的。
生:
生:求油桶装少油，就是求圆柱的容积等。 师:看起来实与我们生活很贴近，也有用。今天我们先来研究圆柱的侧
研
生:把它开平面图形。(孩子们很聪明，一点就通。) 师:好主意。把圆柱的侧面展开后会是一个怎样的平面
生:长方形。
生:正方形。
师:好，请们来剪吧。不过请大家看清楚，它们是如何剪的。剪完后变成什么图。 师:谁来说说，他们是怎样
生:
生:
生:
师:
生:
师:很殊。好，我们把圆柱体的侧面展开成平面图形了。你能推出圆柱侧面积的计算公
生:行。
师:
(学分头忙开了。很热闹，兴奋，下面把的交流加整理概述如。) 生:人们小组选择方形。长方形的长相当于圆柱底面的周长，宽当于圆柱的高。因为长方形的面等于长宽，所圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 生:我们小组选择的是平行四边形。平四边形的底是圆柱的底面的长，平行四边形的是圆柱的高。平行四边形的面积等于底乘高，所以圆柱的侧面
师:那如果是不规则图形怎么办,
生:因为圆柱两底平行，高处处相等，所以侧面展开的不规则图形必有两边行，作一条高。沿着这条高剪开，通过平移又能拼成一个长方形。就转化成第一证法
数学课例分析
课例分析
y,Asin(,x，,)本课题目:函数的图象
教材
y,Asin(,x，,)对函数图像的形状和位置的影响，并讨论函数
的图象与弦线的关系，以及 A、ω、φ的物理意义，并从图象变化的过，进一步了解正、余弦函数的
y,Asin(,x，,)由正曲线变换得到的象的思维过程充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。角函图象的学习有助于培养学生利用数形结合的思想解决问题能力。同时，本节在教学中力向学生展示尝试观察、归纳、类比、想等
学生分析:学生经学习三角函数的关知识，并且能够画出正弦函数和余弦函数的图像，一的积极思考、主动探索的能力，因此采用探式学习法，学生能够主动参与知识的发生、发展过程。
1、知识与技能目标:
?掌三
y,Asin(,x，,)?掌握由正弦曲线的图像得到函数 的图像。 2、程方法目标:培养学生的动手实践能和分析、解决问题的能力，归纳总结能力、逻辑
3、情感态度与价值观目标:
?
?培养学生“由单到复杂、由特殊到一般”的化归思想。 ?培养学生的探究能力和协学习的能力，从而提高学生学习数学
教学过程设计:
一、问题导入目标明确:
通过摩天轮上某点的运轨迹，引出迹的解析式，并研究解析式所对应的函数图像与正弦函图的关系。目的是使学生分散的注意力集中起
通过知识链接自主习，一坐标系下，用五点法画出四组函数在一个周期的简图，达到掌握知识的标。在学习新知识的过程中，要让学生学会合作交，共同探究，从而体现出学习中的合作意识，并适当活跃堂
通过
y,Asin(,x，,)的平移伸缩变换，掌握由正弦函数的图象得到函数
图象的方法。
三、目标回顾、总结反思:
y,Asin(,x，,)1、作函数图象的方法:五点法，平移伸缩法
2、通作训练，加强数形结合思想在具体题中的应用。 四、诊断评价、当堂
学生独
这节课的教学程中，有个别需要改进的地方，例如: 1、在完成课内探究的程中需要先把具体的函数关系描述楚，然后再总结一般的结论，并对具体问题加
2、提
3、在
总之，这节能生出发，认真把握教学的重难点，增加了学生学兴趣，有效的营造了一个良的学习氛围，基本目标达到。(另附教
y,Asin(,x，,)函数的图象 一、学习目标
1、理
正弦函数y=sinx 的图象通过平移伸缩变换得到函数 y=Asin(,x+,) 的图
2、通
1
作图:
ππyx,，sin()y,sin(x,)431、
1
0
-1
1y,sinxy,sin2x22、
ππy,sin(2x，)y,sin(x，)333、
1
24、y=2sin x y=sin x
2课内探究
问
yx,sin观察第一组图，指出它们的图像与函数图象之间的关系
,,0y,sin(x，,)xR,结论1. 函数，(其中)的图象，可以看
,作是弦
,,(
问题
yx,sin观察第二组图，并指出它们的图象与图象之间的关系。
y,sin,x,x,R,,1结论2.函数(其中>0且)的图象，可以,
看作是正
(当0<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到。="">
观察
,,1
象，可看
1
,时)
到。
问
yx,sin观察第四组图，并指出它们与图象间的关系。
y,Asinx,x,R(A结论3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正,
弦曲线上所有点的纵坐___________(A>1时)或__________(当0_76("标");</script>不变)而得到的，函数y=Asinx的值域为_____________.最大值
y,Asin(,x，,),x,R问题四、函数的图象
,y,，3sin(2x)3由结论1-3画出函数的图像。
过程:
图像:
y,Asin(,x，,),x,R, 结论4. 函数(其中A>0,>0)图象，可以看作用下面的方法
先把正曲
(当<0时)平行移动 ,="" 个单位长度，得到="">
,再把得
,(当 0<1时)原来的 倍(纵坐标变)，得到="" 的图像，再把所得各点纵坐标____________(当a="">1时)或_________(当0_17("来");</script>
三、小结
yAx,，sin(),,作函数的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图
yx,sinyAx,，sin(),,(2)由函数的图象通过变换得到的图象。 四、课堂
请准
1,1,? ? y,sin(4x,)y,2sin(x，)2336
五、
数学课例分析
数学课例分析
目
录一、课例分的引 1(课例1:幼儿园小女孩学“集合” 2(课例1的分 3(关于建构主义的步认识二、课例分的认识 1(课 2(课例基本特征 3(例分析三、课例2:在“三角形内角和”的课堂上 1(出示课例 2(初步析 3(关认知的初步识四、题析 1(解题分析的引 2(解题的操作 3(“柳卡问题”新议五、课分析的教育价值1(知识层2(能
一、
课例1:儿小女孩学“集合” (新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿及早地引入“合”概念，下是在这背景下发生一个案例() 一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了中，父亲问她今天学了什么,女儿高兴地回答:“我们学了‘集合’”(数学家想道:“对于这样一个高抽
小了(”因此，他关切地问道:“你懂,”女肯定地回:“～一点也不难(”这抽象的概念难道会这样容易吗,了女儿的回答，作为数学的父亲还是放心不下，因此，他又追问道:“你们的教师是怎样教的,”女儿说:“先让班上所有的男孩子站起来，后诉大家这就是男孩子的集合;其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩的集合;接下来，又白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等(最后，教问大家:‘都懂了,’她得到了肯定的答复(”这样的教学似乎也没有什么问题，因此，父以如下的问题作为最后的检验:“那么，我们能否以世界上所的匙或豆组成一个集合呢,”迟疑了一，女儿最回答:“不行～除非它们都能站起来(”(转引自郑毓信《数学教育哲学》P183) 听完这个叙述之后，我们要问:(1)你最突出的感受是什么,说出你最想说的话来( 为了思考引向深入，们还要继续问:(2)课例说了些什么事实,这实说明了什么道理, 为了使说明道的讨论更加集中，我们再上,道重点思考: 点思考题 ?“女教师”怎样组织“集合”教学的,为什么所授的知不是“女儿”所回答,儿园里的“孩子合”、“女孩子集合”、“白孩子集合”、“黑孩子集合”与作为原始数学概念的集合有什么区别, ?“女儿”为什么说集合学习”一点不难”,又为什么要强调子和土豆都“站起来”,这到底“教师”的教学容问题，是“学生”的学习基础，抑或是“数学家”的评估式问题,何认识“女”习中的错误, ?世界上所有的匙子或土豆“组成的集合”与“幼
部分孩子(男、女、白、黑)”组成的合有无同,对幼儿园子认识集合概念而言，是“女教师”的教学不对头还“数学家”的提问不恰当,幼儿园能不能渗透集合概念, 这个讨论的一个目的，是想渗透建构主义的观点(是我们的初步总结( 2课例1分 这个数学学习的故事，向我们展示了包含有教师、学生和数学家的行为、思、情感在内的生动描((1)女孩兴高采烈地回家，手舞足地描述学的情况，天真诚地回答父亲关于“土豆组成集”的问题，在其可笑答案的背后，有引发沉重的悬念(其中给我的最突出的感受是:学生满以为已经学到东西，并教师所努力传播的东西(整个过采用了倒的方，描写了3个主要情节: ?教师教学的情节; ?学生学习的情节(教师的教并列进行); ?数学家评估的情节(分为两个阶段，首先是询问教与学的过程，然后用一题目来检查教效果( 于是，在这个小小的课例里，就涉及到的问题、学的问题、教学内容与教学评等问题(出于提炼建构主观的目的，我提4看法((1)教师传授什，学生就接受什么的传统认识并不靠(教师根据合概的基本特性，就利用课堂情努力行教学设计，并且结合幼儿的特点，运直观性(一眼看清)、活动性(学生扮演元素、组成集合)教学原则，积极组织教学，这个方向值得肯定的;其内容限于集实例的渗透也是可行的，儿童爱活动、喜欢参，从单个动看，让关人员站不但有助集合的“呈现”，且也能产趣味性、奇，并积累数学活动的体验(但是，四次叫学生“站起来”，造成了非
性的泛化，这说明，师传授识时，学生不是被动接受的，他们对知识信息有一个选择、整合和“意义赋予”的过程，认教师传授什么学生就接受什么的传认识并不可靠，这应该引我们对教学观念更新的思( (2)学生在习过程中的错误认识有其在的合理性(在学“集合”(名词)之前，儿童已经有了“听到哨音，到操场排队‘集合’(动词)”的经验，有把一群人看成一个体(小组或班级)的已有知，在女师的设计下，又见到“站起来的组成合”，这两者互作用，是儿童根据原有知识经验，建构新知识的过程，于，新旧知识之间的共同点:“人”，“集到一块”等很自然成“集
面对“土豆”组成的集，“女”首先迟疑了一下，一闪念之间可能出很多否定性的因素:土豆不是人～土豆不能站起来～土豆不会幼儿园里～全世界的土豆既看不全又数清……在这些可能的否定理由，构成反差最大、最明显的是:当初孩子们都站起来，所以，“女儿”最终说”不～除非它们都站起来(”如果，这是一个错误的话，那确实有其内在的合理性，确实是一个可爱的错误，应该说，在课堂上没学生的错误，更没有错误学生( 另外，儿的年龄小，还有足的非形式化数学知识去消化抽象集合，本质认识集念是不可能的，只能是一些具体实例的渗透，为真正学习集合概念作前期准备，因此，与其说女儿土豆站来一个错误，如女教师教学计还
当( (3)用数学家的思维来要求生并不当( 这个例中，出现了3种思方式，即数学家(爸爸)的思维，教师(女教师)的思维，生(女儿)的思维(“数学家”与“学生”在思维上存在巨大差距(成人与儿童、数学识、抽象模式与具体实例)，教师任是要进行教学法的加工，使数学成为儿童可以接受的东西，使得新知识能够在原有识经验的基础上建立来，就是说，数学的“学术形态”需要转为“教育态”，数学不同于数学家的一个方面就在于，们不是要创表示概念，而是去创造概念的理(看来，女教师理解这一点，而“数学家”对数学教育的理解未就比教了解得更多，这表现为: ?女师只给“女儿”供几个由“人”组成的具体集合的实例;而数学家却从集合的实质属性出发出问题，他的检测起点太高，超出了“女儿”的年龄与认识水平，也超出了教师的教学范围( ?“全界”的匙子或豆，与“女儿”所认识的“集合”大相径庭，不是“人”组成的、也不是在“幼儿园”的范内，还是“一眼不能看清”、“多得数也数完”的(朴素想象的无穷):这一切，对第一次接触“集合实例”的儿童，吃不消( ?“匙子或土”含着“并集”的逻结构，既然“女儿”的集合概念尚未过，“并集”当然也就更费解了( ?对女教师设计上的缺陷，“数学家”没有看出来，反认为“这的教学法似乎也没有什么问”( 这种种情况表明，数学育是一门独立的业，即使“数学家”并非天然数学教育，他们往往更注重于学教育的学方面，对数教育的教育方面了解不够，诚然，缺少数学知识就没有资格成为数学
但只有数学知还足以成为一个好的数学教师;惟同时兼有数学专业知识、学教育理论与数学教技能的人才有希成为优秀的数教师( 于评估的不合适，小女儿聪明可爱一面被失败可笑的一面掩盖着，很可能会给小女儿留学数学的消极体验(如换一提问方式或提问标准，小儿将会是数习的成功者，也就是说，多一把子可多出一批人才(应当注到，
(4)女教师教学设计的改进见( 教师不可能幼儿园的儿童传授一个相对完整的集概念，这是完全合理的，对此，不应该对教师求(但如何给儿童提供尽可能优的教学设计方面，确实还有值得研究的问题( ?举例应避免非质属性的泛化( “”、“站起来”、“幼儿园里”等都是成集合的非本质属性，一次又次的重复尤其强化了“站起来”的动作(如让坐着的学生也同时组集合，就以避免“站起来”的强化(从“概念形成”的角度看，此处还没有进行到对共同属性抽象出本质属性的阶段，更应过“变式”来突出本质属性( ?设计能引起认知冲突 女教所呈现的例子幼儿园看得的有限集合，都是具有相同“性别”或相同“肤色”的组成的集合(有一属性的有限个人集中在一起，看成一个整体(小组或班组)，儿童比较好认识，不需太多的思考，所以“女儿”说“一点也难”，这话的一层含义是，学设没有引起学更多
园内外的孩子也组成集合，让孩子与桌一齐组集合等，么，学效果会有很大的不 ?反馈环节太粗糙(教学能没有反馈环节，这一点“女教师”是明白的，但集体回答“是否都懂了,”分不清真懂假懂，也掩盖了‘不出’“未明白”的声音，这个简单化的，相当于医生问来诊的病人:“你有什么病,”用病人的自我诊断来代替医生的诊是不合适的，如果让生去举出集合的例子，检验的情况会更实一些，细致一些，考女教师所提供的例子不仅内容单，而且类型上也只有正例、没有反例，让学生议论就更有必要了，学生说不定会举出一些不构成集合的例子，使识程更加完整(建构主义观点:教中应重视生真的理解，而不是表面的理解，这样，在课堂上教师通过“你们懂了吗,”或“你们还有什么问题”来判断学生是否真正理解就会简单化了((《教育研究》2002(7)学生是否成真正的、深层的理解，教师大致可以从下面几个方面进行判断:?能否用自己的话对所学知识进行解释、达(?能否据所学知识进推、猜测并解相现，解决相关问题(?能否一反三，灵活运用(?能否综合几的关知识解较杂的问题(?否用所学知识决实生活中的问题( ?措词更确切一点 “男孩子的集合”没有界定它的包含集，因而可以理解为“界上”男孩子的集合，准确说，应“该幼儿园里男孩子的集合”( 3关于建构主义的初步认 课例,的提供了建主义的感认识(建义认为，识并非主体对客实在的简的、被动的
构主义重视已有知识经验、心理结构作用，强学习的动性、构性和社会性，强学习的个人体验、智力参与和主活动，对数学教学有许积极的启示(比如什么是学习，在数学教学中学生应当是认知行为的主体，教师是行主导等，都能获得比较合理的解( 建构主义认为，学生们直接接收到的不是知识本身，而是教师用以传递知识的体或信号，并且人也不是被动地接收和记录输入的信息的，总是以已知识经验为，对信息进行主动选择、推理、断，从而建构起关于事物及其过程的表征(建义者策纳说:“知识是无法传授的，传递的只是信息，知识是在认知主体在建构活动中的行为相冲或者相应时才建构起来的(”这既从学习的本质上说明了学生在学习中的主体性，也现了学习过程中的主动性与建构性( 教师的作用是为学生的参与创造适宜的挑战环境，去了解学生数学结构，看他的主观感知有什么问题，新知识应该如何“修剪”得正好适合于吸收到学生的数学知识结中去，学生在想什么，做么，如何使生“活”起来，做适合他的认知构的活动(这既体现了“学生的主位”，又发了“师”的主导用”( 在数学习中，教师的主导作用是说，教师的传授不是从书本上力图明白、准确无误地搬运知识的过程，他应是学建构活动的深谋远虑的设计者、组者、参与者、指导者和评者( 教学不再是一个简单的运知识的过程，而是一个续地、生活泼地与的感性世和理性世界相符的过程(师所追求的是仅让自己吃透教材、讲述明白，而应力图通过自己的“示范”向学
出“活生生”的数学思维活动，揭示隐藏在具知识内背后的想方法，从而帮助个学生发挥主体作用，最终，对独立地去完成数学建构动( 此处，对建构主义不作展开，因为我们的目的是介绍什么是课例、什么是课析( 二、课分析的认识,(课例(案例、个案、教案、学例) 课例是体现教育理论与教技能的教案或课堂录(它是具有典型意义的教学过程，在形上可以是生学数学的故事，又可以是教师教数学的有设计，还可以是教学实践中遇到的困惑的记录(括实发事件)(为了教学的需要，课例的叙述可以对课堂信的摄所侧重，对课堂之外的情况(如教、学生背景)心理活动有所描述(动机、态度、思想、意图、需要等)(这就使得用教学分析研究的课例与记录教学实验的课例略有区别( 2课例的基本特征 (1)典型性:首先例是现实问题缩影，应具有相对完整的情节，对事例发生的时间、地点、具体过程有较完整的交代，使得反映出数学教学活动的本程;同时，些动过程能够体现数学教学的在规律，体现教学设计的基本思想(当，有成的范，也有“尚成功”的典型情((课1中，有教、学、评，过程相对完整;有数学家、教师、学生3种思维并存，情景也十分典型) (2)研究性:就是课例本身具有时气息、现实意义、借鉴作和理论探讨的价值，可以正面获经验或反面取教训，提出(或印了)某些或观点，现有效性( 例1中，师并未教“豆起来”，数学家亦承认“这样的教学法似乎也没有什么问题”，但
回答了“除非土豆站起来”，笑声的后是沉重思考，是，探的心向产生了，研的环境的形成了(我们出于渗建构主义的目的谈了些初看法，大家还可以从多种角度进行更广泛的分析(这就有研究性了( (3)启发性:是课例本身具体、生动、有趣，提问题、能引发思考，能产生观念上的不平衡( 课例1中，学生所回答的并非师所努力传授的，兴彩烈的小女孩最后被爸爸问得既可怜又笑;前面“一点也不”、后面却要土豆荒唐地“站起来”(这些都有强烈的对比效果、都有逻辑错位的，都能提出问题、引发思考，至于教师的教学过程，则明显直观、动性和趣味性( 所以，这个“集合”课例较能体现课例的特征，有代表性( 3课例分析 课例分析是一种通典型教学过程(课例)的分析来学习教育理论与教学技能的教学方式(俗称案例教学，这是一种研究性习(课例分析出体现了教学内容、学习方式和教育观念的转变( 如同上面已经看到的，课例分析的施分3步进行: (1)师供课例，学体情( 较长的课例可以课提供，较短的情节可以随堂呈现(的式可以书面料、录相或头述( (2)教师组讨论，学员分析材料(这是一个师生动、生生合作的学习过程(一般说来，每个课例都可以从多角度进行分析，每个学员又都有自的兴趣指向，如果引导启发当，有的学员会不知从什么地开始谈，有的学会只谈现与技节(此，教师分了解课的内容，提前进精心的准，临场还有机灵活的动态调节(为了使讨论相对集中，可以随课例的呈现提出几
思考题(在课例分析中，教师更多地从讲台站到了学生的背后，聪明不是教师告诉是学员己去获( (3)教师总结评述，学员掌握原理( 这一步主要教师进行，教师的结首先有理论深度，使学员确实学到东西;其要
老师们在日常教学中，可以独立地行经常的例分析，也可以教研组为单位开展交流( 需要说明的是:课例分析与举例说明是不同的;课例分析与评优课也是不同的，例分析与说课还是不完全相同(然而，课例分析水平的提高，可以促进所有这几方面水平的高( 三、课例2:在三角形内角和课堂上 1出示课例 课例,:在“三角内角和定理”的课堂上 ,解说:“三角形内角和定理”(请参看课本原文)的教设计，人们已经谈了很多，但这并影响学的造，有出息的教师依然在探索新的可能性，下面的镜头，展示了教师对定理教学的精心设计，殊不料“突发事件”屡屡发生(, 教师:如图,，橡皮筋构成?,,,，其中顶点,，,定点，,为动点，放松皮筋后，点,启动收缩，产系列的三形:Δ,,，Δ,,，Δ,,……请观察其内角和会产生怎的变化, ,解说:的主观意是学生看到:?,?，?,?，?,?，这既孕育着极限的思想，又诱发出 ?,，?,，?,,，是，学生发言了(, 学生,:内角和等于( 教师:，说你是怎样观察出, 生,:我不观察，学时老师已教过这个结论( ,解说:老师有点失落，但立
据已经发生的情况，舍去“发现结论”的启发，马上转入“结论证明”的发现(, 教师:是的，小学绍过三角形的内角和等于，没有证明，由于实验可会有误差，无穷个三形也不能逐一检验，所以，进入中学阶段，我们要给出一严格的明( 学生,:通过图,，我看到，当点,趋向于Bc时，?B，?c趋向于，而?A趋于;合起来，三角形内和趋于;同时，这个图形还告诉们，这个论怎明……(教师:(很高兴)你说说证明(学生,:设角形的内角和为度，在Bc上一点,(当,的动
?+?,+?,,
?+?c+?= 相加
?A+?B+?c+(?+?)=2( 但
?A+?B+?c=,
?+?=180， 代入有
+=2,
= [解说:这完全出乎教师的意之外，时间己也弄不清正，既无法立即表态，又不表示出犹豫，明智选择是甩给学生(] 教师:证明出来了，同学们好好看一看，得对不对, [解说:学生默片刻之后，大多表示认可，确实，一旦承认“三角形内角和定值”，整个证就无懈可击，但初中课本没有这的定理，教师利用这段甩给学生的宝贵时间想了，原来图1的设计给学生造成了这的印象:ΔBc，ΔBc，ΔBc，……的内角为常，其实，变量的极限为时，变化可单调上升，也可以单调下降，还可以是摆动的，更危险的是，可能变量根本就不取值,但这怎能向初中生讲清楚,还有本课的教学任务怎么成,] 师:是的，仔细审核每一步都推理有据，计算准确，但是(如图2)，什么ΔABD，ΔAcD，ΔABc的内和都是呢,课本中没有这样的定理(因此，还要先证“三角形内和为定值”(不过，这方法我们提供了一个思路，通过中三角形的关系，并且利用平角等于来证(对此，我们暂且按下不议(现在，我们重新回到ΔABc，看看拉紧皮筋(与放相反)，让A沿BA方向运的情况( 如图3，当点A变BA延
的一瞬间，产出平行线c?BA，由同旁
?c=,?B这时可以猜想
?A+?B+?c=(并且，除了点外，对变化程
?Bc=?c同学们，在这变化过程中，你们看到了什么,学生3:看到三角形角为常数，这个常
?A+?B+?c=?Ac+?B+?BcA(两线平行，内错相等)=(
2初步的认识(1)整个例以解为6个断?教师的原有认识; ?发事件1——反思、步骤调整; ?突发事件2——可爱的错误; ?突发事件的策略处理——推迟判断; ?省悟循环论证，调整情景设计; ?推出新设计，完成再认识( 在这个一波三折的过中，有两次突发事件，两次调节思，一次比一次深刻，次比一更能激起人的感情，这有助于说明，学习活动不完全是“刺激——反应”的过程，也不仅仅是对学习材料识别、加工和理解的认知过，而且还有对该过进行积极的监、调节再知过程，这当中有丰富的情感体验( 这认知的认知，做认知( (2)对改进方案的建构观分析 这个课例，反映了数学学习一个在原有知识经验基础上主动构的过，其进方案体现较为统的建观设
将“两直线平行，旁内互补”作为学生主动建构活动的认知基础，建立它与?A+?B+?c=的系构成了整个设计的核心( ?为了沟通“平行中同旁内角互补”与“三角形中内角和于”之间的联系，[案]首先将“互”求证式中右边“”沟通，这比较容易(还有小学知识作依托)，因而可成为唤起新旧知构成联系的信或桥梁(?同，[方案]又将“平行线中旁内角之”与“角形中的内角之和”沟通，这比较困难，一个是不闭图形(两平行直线被第三条线所截)，一个是封
图4一样，为了将两个形上完全不一样的图形联系起来，[方案]主要使用了三个技术( 其一是把静态三角形“动”起来，一直动到成“完全不一样”的平行，(也可以将平行线“”成三角形，得出一设计)(这有一个从量到质变的过程，要想，其思维跨度也大，因而，中间需要添上中途点来帮助理解，那么怎样才能找到途点呢,这需要第2个技术( 二是借助粗糙直观——习惯上认为太阳光线为行线，于，太成相交线与平行线的一个中转站，成为触发直觉的一根撞( 其三是借助于有限来理解无(由于图3中，是一有角，
转到位置上的，而一旦理解了图3，解定理证明和证中的助线后都不会有多大难(可以认为，这个设计的图本质是，沟通折线BAc平行线BA、的联系(3(元认知的初步认识 在课例,中，主体(教师)对课先有一个认识，经过实践，意识到可以深化，于是调动思维，采取有效的调控策略，从而达到新的认识(这就是主对自身认知过程在我意识的基础上，对自身认知过程的自我省、自我制与自我调(这就是元认知( 元认知基本是一种二级构造，认知活动的对象是问题、之类的东西，而元认知活动的对象则是认知过程本身( 果说堂学的过程是一种认识活动，那么行课例便是认识;如果说解题是一种认识活动，那么进行解题分析便是再认识( 元认知是一种高级认知活动，包括元认知知识、元认知体验和元认知监控( (1)元认知知识( 这是指有关认的知识:即人们对影响自己认识过程与结果的各素及其影响方式的认识(包括认知的体方面的知识、认知的任方的知识、知策方的知识( 在课例,中，教师认识到当初忽视了学生小学学的实，认识图1有诱导“逻辑环法”的暗示，以及证法的建构观分析等，都属于元认知识( (2)元认知体验 这是指伴随认知活动产生的知体验与情感体验，包括知与不知体验，肯定与否定两个方面( 在课例,中，为当初设计有达到目的而，为图2的证明而难，为新设的产生而兴等都是元认知验( (3)元认知
课例2中，自觉采用极限法设发现学习，从突发事件1中自觉作出调整，经过突发事件2之后推出新的方案等，都体现了元认知监控( 元认知的三大组成部分是密切联系、相互存、互相制约的(元认知知识掌握有助于有效的监控，也能激相应的元认知体验，是验和监控的基础;元认知体验助于认知知识的掌握，有利于效地监控，是推动元认知调控的力量，并强化元认知知识;元认知监控水平制约着元认知知识的获得平，既运用元认识知识，又增添新的内容，使认知知识更富，并元知体验的前提( 如同认知能力以自发展样，元知力也可以有意识养成，我们认为进行课例分析、进行解题分析就是自觉行元认知开发的好途径(四、题过程分析 1解题析的例 1[1990
?的
?的根是( (1)识-,—证明,( 题目的条件说是方程?的根时，处于方程系数位置;题目的结论说是方?的根时，处于方系数的位置(因而，条件与结论之，()与()之间都一种对称关系、转关系( 但是，如何揭示这种对称关系呢,我们一下子看不清，但有一点我感觉到了，程?有，而无;方程?有而无，因而，该沟通与关系(设我们没有太多的解题经验，那么，我们总以由方程的求根公式，找出的关系(根与系数的
?
有
?
?
即
?得
这表明，是方程?根(个解法(记为证明1)，反映了我们对问题的一个认识，其知识基础是方程根的概念求根公式，能力主要为运算能力((2)再认识--——题分析(回顾这种解法们可以分为两步:先，由方程?找出与的关式?;然后，把?代入程?得出结论(由此可见，最关键的步骤是找出与的关系(对于这个关键式?，在两个问题:问题1，产生的运算较复杂，不好会由?推?时出错(问题2，使过程，解出，然又代入消去，恰好是一个回路，这个回路是必要的还是余的呢,对于问题1，具体运算的受或理论考，都会致
来代替
把
由
?再
?把?代入?，得
?其根为即方程?根为,这就是中考所提供的准
然后，为根作方程?，变形为?，这两种解法在本质上是一样，还是着于寻找()与()关系，只过是用韦达定理?式比用求根公式?式更简单(抓住这个关键骤，深入思考有没更一般“根与系数关系”，于是“根与系数关”
?当我们一旦想起?式时，条与结论都立即现等价形式:条件结论两相对比，需作一步项算就证明了(差
, 由
移项
这表明是方程?的根(这个解法把题目本所具的对称结构映了出来，把前述两个证明中的思维回路清除一干二净，我的心也禁不住要微微激动起(
?(1)认识——证明,(有一个著名的构三角解法，年复年地出现在各种报刊上，备受人们的称赞(证明, 由余弦定理构造
则
，
，同理
由
，也就是
(2)再识——解题认识(易知，问题的求解可以分成两步:首先是依题意造图形，然是在中由“边之和大第三边”得结论(不等的数学实质是“两边之和大于第三边”(对此，我们可从两方作出反思(,(抓住本质骤“三角两边之和大于第三边”，观察图,，还有一个更
这就又可以把直上看到的事实，返原为代数
相加得，
这个新解法用简单的放缩常识，节省了解题力量;更重要的是，经历了一个“由数到形”、又“由形到数”的数形结合过——真正的、完整的数形结(值得继续反的是，为什么我们长期只看见?，而看不见?(,(抓住距离作转换——配解法(既然，所求证的不等式映了距离关，而距离计算还有勾股定理、解析几的距离公式、复数模、向量
取点(或
?由于
即
这对显然不能成立，故?式能取等号，命题得证(这个证明虽比证明,麻，但有一性，即的条件可以取
就够了(推广
是否有
.
成立吗,
成立吗,例, (1995年)求:对正整数n,数为最简分数((1)认识——反证法(证明, 记结不成立，则d,1，?
?由3×?,2×?，得
?这表
?这与d,1矛盾(
?故得为最简分数(再认识——解题分析,(疑的反法这个明，从形式上看反证法的过程很完整，反设、推理、引出矛、得出结论，有的骤都有了(但是，反设d,,并
在得出后，构成矛盾时才用到(但是，得出已经证了结，去掉证法反设、去掉构成矛盾，就是一个正面证法(去掉?、?便是一个完整证明)(记为证明2(这个过程还可成
记为证明3(,(抓住本质步骤容易看出，上证明中本质的步骤、产生实质性进展的步骤，应是?式，抓住这一步，不反证法是多余，甚连设d、p、q全都可以省(
知，与必互素，分数为最简数(上的例子可以到，题目的初步获解，只不过是实现信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的提高准了材料基础，更加有价的、体现学习者的主动创造性的工作是将历时性的性材料组织一个共时性的立体结构(这时，打破输入顺序的材料会呈现出更质、更广泛的联系，新输入料与已储存材料之间也会构成更本质、更泛的组合，从而揭示出学内容的内在的逻辑结构和更直截了当的关系(所谓解题，无非就是寻找数学内容之间的联系，有意识“将历时性的线性料组织一个共时性的立体结构”的过，就是自觉培养解题能力过程，也是解力迅速长的程，其实质就是元认知能力发展的过程(,解题析操作由的引例以到，分析解题过程通常要经过两个步骤:整体分解与信息交合((1)整体分解就是原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用了哪知识，用了哪些方法，它们怎样组合一起的，并从中
注意发现，哪些重要信息是在半途上白白浪费，哪些维回路在盲目中被多余增的，哪些过程是可以合并的，哪步骤是可以转换的(具进行时，可以画逻辑结构图和信息过程图(参见《中学数学课例分析》图3—20，图3—21)((2)信息交合就是抓整分解中提炼出来的本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信息的有序化将删去多的思维回路(将用更一般的原理去集中现的许多过，或用一个单的技巧去代替现有的常规步骤(于是，一个新的解法就诞生了(在这个过程中，着重抓好下面,个要点(?看解题过程是否浪费了更重要的息，开新的解题通道(这需要我们重新视每一个识点发散度，特别是要从知识链上对知识内容作多角度的理解(?看解题过程走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美(?看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步，提高整个解题观点和思维的层次(?看是否可以用一个更特殊技巧去代替现存的常规步骤，以体现解的奇异美(?看解题过程哪个是最实质的骤，抓住这一步既可简化过程可迅速推广(?还要看到，分析解程，“结也是知信息”，会使们对题目认识更深刻和全面((3)解题理念(我们当学会这样一种对待练习题的态度，即把习题看做是精密研的对象，而把解答问题看做是设计和明的目标(并且，应该有这的信念，没有任何一道题是可解决得十全十，总剩下工作要，经过充分讨总结，会有点滴的发现，总能改进个解答的解平(通过解题过程的分析而学会解题，就是通过已知学未知，就是通
道题的学习去培养起解无限道题的数学机(就是极主动去展元认知能力(例4 ,1992年数学高考科(19),方
即
(
?两边
?分解
?但只有，即
得
(解题分析 这个法作整体分解可以得到,个步骤:(1)处理分母，将原方程化为?;(2)处理负指数，将方程继续化为二次方?式;(3)求解次方程及简单数方程?，得(仔对比,个步骤，我们到起转化作用的是前面的“两个处理”，而最能产生实质性进展应是第(2)——处理负指，因问题旦转化了负指数，方程?经是一有公解的标准问题了，抓住这个本质步骤、注意到“两个处理”并无逻辑上的顺关系，们可以对原
,即
,有
,得
(这一处理使我们发现原方程左边构上特点，即子、分母有相同的非零式子，可以相约，时也向我们化一条信息(从而，原
，或
(或设，代入原式，有同样的效果，即将原方程化了(
，
?即
，
?得
(评析
(1)新解法这可以在,,内由心算完成，并且由这个新解法可以看到，目对数3
的解为，推广还使我们看透了题目的本质，原题只不过是由简单数方程?，了一个两边别乘以 的变形，的，我们一开始不能“一眼看到底”，但我们可以从常规解法的分析，逐步认识题目的实质开发出智慧来(这很有趣，一开头我们想隐去负指，
(2)回过看得很清楚，由原方程两边乘以得出方程?之后，又在方程?中除以，这一个思维回(新解的简捷之处在于，删除这个思维回路，直接从原方程中约去(看透这一点，既增了我们元认知知识，又丰了我们认知体验(例5 已知是方程的两个根，不解程
(可见，只求出的值，这由韦达定
由韦达定理，有
?代入，得
?
(
?解题分 细阅读从分析到求解的全过程，我们看到分析是正确的，求解也是确的(但是，们别忘了，题前的分是在思路未明、结论未得的情况下进行的(如同在黑房间里摸索);而题后的分析是在思已明朗、结论已得出的情况进行的(拉开了房间的电灯)，后者比前者多了很多信息，中“
，
?即
，即
(这就表明，求出是多余的，回过头来看?式也会发现，不需要求出的值也分子分同约去(解法,
，得
由此又可演出多解法和作出很多推广(我们还据此编拟了1996年国初中数学联赛第(1)题(参见《数学解题学引论》)( ,“柳卡问题”新 (1)柳问题——数学家们咋了, 据说，在近代科学史曾发生过一件有趣的事:十九纪的一次国际性会议上，自世界各国多著名数学家共进早餐(法国数学柳卡突然向在场的人们出一
某轮船司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天同一时刻有一艘轮从纽约往哈佛，船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在一条航线上，问今天午从哈开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将
从对面开来,(包括在两港口相遇)(问题提出后，一时竞真的难住了数家们，尽管此进行过讨和争论，但得到的案莫衷一是(就是说，这次会议竟还没有人真正地解决这个问题，事后久，才有一位数学家实性地画个简单到几乎连小学生都能看懂的图形，从宣告
图,这的确是一个富有典型性、研性和启性案例，把一群数家都“难住了”的问题，其解法“几乎连小生都能看懂”，数学家们咋了,其次，这个“无字的证明”直观显示出问题的答案，无非是数数(shà)线段,,上有,,个交点，一方面其直观性值得度肯定，另一方，正是这些显化了的点掩盖着些点的内在结构——此类问题以一般性代数模是什么样的,被一些称为“数形结”的“形”的很漂亮，但“数”在哪里,如何结的,最后，我们还嫌图6中的线大多了，各线以地位和作用是一样的吗,最本质的位置在哪里,抓住本质能不能改进或转换,这些疑问导致我们进行解题分析((,)一个小学生能懂的解法(6中的线条很多，但大量是辅助性的，与、均有一一对应关系(从计的角度看，取一条够，或者，将个图形沿平行线束的方向压缩，三条线就重合为一条了(因，们可以认6中，最质的段是及其上的,,个点(与行线束相交的点)(观察上的,,个点，可认被中点分成两段，前半段(包中点)表示:当轮从哈佛起航时，已有,艘纽约起航分布全航道上(包括与到达船)，它们靠近哈的半侧航道与轮船相遇(的后半段(不包括中点)表示:轮船
起航之后，在,天的航中，还有,艘船从纽约起航，它们在近纽的
图,这实质上已得出一个以开形、单凭头叙述就能说清位置关系的解法(另解, 从哈佛开出的船在航道上与之相遇的船可以分成两类:第,类是开船时，已于,天前从纽约进入航道的，共,艘(包括恰起航与恰到达的,艘);第,类是开船后才进入航的船，每天,艘，共,艘，得,，,,,,(如果把题目中行的时间改为“来去都n昼夜”(参见例,)，那么，另解1，可使我们不作图而直接得出一般性结论:(这提醒我们，新解法已触及到目的本质结构，并使得求解当初的纯几何形式开呈现出一些特征(这是种不用画图的数形结合解法(我们称图)((3)找出方程(我们继续寻找相遇点的代数特征，以揭示问题的抽象结构，如上所说，与相遇的船可以分成两类(第,类:当船从佛开时，航道上有的,艘船，些船好在线
图,第,类:当从哈开出后，每隔一昼夜都有,艘船从纽约开出，在,天的航程中，共有,艘陆续进入由此可见:,(从佛开出的船航行昼夜，必与,,x天前从约开来的船相遇(当x取非负整数0，1，2，……,，就到线段上的两端点及,等分点，共,个相遇点(那么，当x不取整数，轮船还能不能遇呢,,(从佛开出船起时，从纽约开来的船恰好的位置上，因为相同，第,个相遇点只能在的中点，此后，轮船到达处之前不会再相遇，直到处与从开船相遇(
除两端点外，遇点或为上的,等分点，或为这些点的中点;转换为解几何语言，些相遇点可合并为段的中点(重合只算一次)，这就提供了一个机会，通过中点公式去摸索轮船相的数量关系(抽象模式)(如图9，设两船相遇时，从哈佛开来的船走了x昼，
图9有
得
，
?
((为整数)(
?其中式?映了般相遇问题的基本关系:式?则反映了这类问题的具体数关系——这是一个隐蔽等量关系(“十世纪”的数学家不可能看不等量关系?，“住”他们的更可是没想到等量关系?，而之所以“没想到”也不是缺少力，更大的可能是柳卡宣问题“最难”，给数学家们一心理暗示，使学家们压根就未向简单的方向上思考(到有的数学家作“认知框”的
如图9，设从哈佛开出的轮船行x昼夜便与纽约开出y昼夜的轮船相遇，依题有，相遇船行的时间差必为
即
相加
(当m取0，1，2，…7时，2x有15个取值，轮船相遇了15次(这个解法有一性，当把7昼夜推广为n昼夜时，可以得出(当m取0，1，2，…，n，便得出2x的2n+1个取值，即轮船相遇2n+1次( (4)简短小结( 上述从问题的提出到问题的解决，再到问题及其解决的再认识，我们历经了数学问题解决的,个阶:形——图式——模式，具体做法,个步骤: (1)分析图形，找出最本质的部分(如本例中的); (2)抓住最本质的线段，从置关系提出新的认识角度，从而产生的解法(另解,)(个解法，在头有一条段，使用文字语言来叙述，是用文字叙述出的图(我们认做到了数形结合((3)从相遇问题的位置关上继续分析，找出相遇处的“中点”性质(与中点)，从而知(本文借助于中点式作了计):次相遇两船行的间之差必整数昼夜(
我们感，这个解题分析的过程中，主要的收获不是得出了两个新解法，而是获得了学学的体验(元知体验)，使得数学不仅能脱简单模仿(一阶段)和反复习(第二阶段)的初级阶段，还能突破自发领悟(三阶段)的中级阶段，入自分析(第四阶段)的高级段(五、课析的教育价值与局限性可以从,个面上去理解((,)(识层
的知识，是“做中学”获得的自己理了的能驾的知识，是有真实背景的知识，而象那传统教学模式下获得的抽的、过度概括化的生硬知(它能立即用于教学实践，处理相应的教学问题((,)(能力层面(课例分析不仅炼课例中蕴含的教育原理、教学则方法等知识，还能使学员的创造能力、解决实际问题能力获得提高和发展(课分析多采用与传统教方法不同的讨论法(研究性学习)，从能为学员供一个良好的的创造环境，学员有着较大的自度、较多的展现自己的机会，有利于教育教造能力和精神的培养((,)(素质层面(课例分析通过把些真的型问题展现在学员面前，要求他设身处地角色师那样去作出反应，从而就为他们提供了一种不用真正深入实践的条件下在短期内接触并处理到大量的各种各样的教学实际问题的机会，提供沟通理论与实践的桥梁，学员从可以获得各种教教学技能，提高素质(同时，学员在分析课例时，一方面不断形成新的理论视野，增长课分析的能力，另一方面在思考着理论何运于际教学，从而又能及时而效地促进了理论向实践的转化，到与实践的好合(可以说，例析缩短了理与实的距离((,)(观念层面(课例分可培养学员对教育教学的反思精神，发展学员对自身教学实进行批判的能力，使学员掌握对教学行自我分析和反思的方法(因为课例分析本身就是对课例所述的个别教育学过程的析、思考、评价等操为，教学身就蕴含着反思学的方法因素(教学自反思精神对学员作为未来教师的成长过程有着不可估量的作用(另
例分析常常没有既定的或固定的答，能学员渐认识领悟育教学实践的不确定性不可预期性，从有助于他们形成正确的教育教学观(当然，十全十美的教学不存在的，过去没有，现在有，将来也不会有(课例分析也有明显的局限性，首先是时较多;其次对教师的能力和学员的参与要求很高;再次是个别的案例对提炼系统理论先天不足，所有这些都要求有清醒的认识( 教师中有丰富的课例源，没有进行很好的开发(既少整理、缺少分析)，这是一个很大的浪费(本文的基本目的有两个( 1(介绍课例分析，希望大家都动员起来，进行课例资源的调与开发( 2(掌握课例分析，通过这个途来更新教育观念、提高教学解题能力，迅速为专家级能力(我个人的学数学、教数学实践经历了四个阶段，简单仿，反复练，发领悟，自分析(而第四阶段的主要内就是课例分析，包括知识课例与解题课例的坚持不懈的分析，这种工贯穿了“从矿山工人、到中学教师、再到学教授”的展历，也形成了一种具个性写作风格(果这中有什么经
数学课例分析
课例分析
本课题目：函
教材分析：本节过图像变换，揭示三个参
对函数图像的形状和位置的影响，并讨论数y =A sin(ωx +?) 的图与正弦曲线关系，以及 A 、ω、φ的
变化的过程，进一步了解正、余
ωx +?) 的象的思维过程充分由正弦曲变换
体现了由简单到杂、特殊到一般的化归数
的学习有助于培学生利用数形结合的思解
本节课在教学中图向学生展示尝试观察、归
思想方法。
学生分析：学生经学习了三角函数的相知
函数和余弦函数图像，有一定的积极思、
采用探究式学习，学生能够主动参与知识
教学目标：
1、
①掌握三个参的变化对函数图象的形
②掌握由正弦曲线
2、过程与方法标：培养学生的动手实能
能力，归
3、情
①数形
②培养学生“简单到复杂、由特殊到
③培养学生的探能力和协作学习的能力，从
兴趣。
教学过程设计：
一、问
通过摩天轮上某点的运动轨迹，引出轨迹
析式所对应的函图像与正弦函数图象的
注意力集中起，学习目标明确，诱发
二、自
通过知识链接自学习，在同一坐标系下，
数在一个周期的图，达到掌握知识的目标。在
要让学生学会合交流，共同探究，从而现
并适当
通过课内探究，
的平移伸缩变换，掌握由正函数y =A sin(ωx +?) 的象得到函
三、目
1、作函数y =A sin(ωx +?) 图的方
2、通过作图练，加强数形结合思想
四、诊
学生独立完成案上的检测作业，当堂
课例综述：
这节课的教学程中，有个别需要改
1、在完成课内究的过程中需要先把具的
后再总结一的结论，并对具体
2、提前把函数象的五点法作图落实，让生
个别指导。
3、在学生小组作的过程中，教师需要只
因材施教。
总之，这节课能学生出发，认真把握教学
生学习兴趣，有的营造了一个良好的学习
附教学学案）
函数y =A sin(ωx +?) 的图象
一、学习目标
1、理解三个参数A 、ω、φ对函数y =Asin(ωx +?) 图象的影响，会从
正弦函数y =sinx 的图象通过平移伸缩变换得到
)
的图象。
2、通过作图练，加强数形结合思想在
二、学习过程
1自主探究
作图：在同一坐标下，用五点法作出下列数的
ππy =sin(x +) y =sin(x -) 4 3 1、
2、
y =sin 2x y =sin x 2
4、y=2sin x y=sin x 2
2课内探究
问题一、
观察第一组图，指
（x +?) ，x ∈R （其中?≠0）的图象，以看
作是正弦曲线上所有的_________（当?>0
（当?<>
问题二、
观察第二组图，并
结论2. 函数y =sin ωx , x ∈R （中ω>0
看作是把正弦曲线上有点的横坐标_______（
（当0<><1）到原来的>
观察第三组，并指出它们的图
函数y =sin(ωx +φ) (ω >0且ω≠1)（
象，可以看作是把y =sin(x +φ) 上所有点横坐
时）或________（当0<><>
到。
问题三、函数图象纵向伸缩变换 时）到原来
观察第四组图，
结论3. 函数y =A sin x , x ∈R (A >0且A ≠1) 的图象，可以看作是把正
弦曲线上所有点的纵坐___________（当A>1时）
0_27("来");</script>的A 倍（横坐标不变）而得的，
域为_____________.最大值为_____________，最小值为
______________。
ωx +?), x ∈R 的图象 问题、函
y =3sin(2x +π
3由结论1-3画出函数的图像。
过程： 图像：
)
ωx +?), x ∈R （其中A>0,ω>0）的图象， 结论4. 函数y =A sin(
可以看
先把正弦曲线上所有点__________（当?>0时）或__________（当?<0时）平行移 个单位长度，得到="" 的图，再把所得各点的横坐="" ____________（当ω="">1时） 或___________（当 0<><1时）到原来的 倍（纵坐标不变），得="" 的图像，再把得各点的坐标____________（当a="">1）或_________（当0_f1("不");</script>
三、小结
作函数y =A sin(ωx +?) 图象
（1）
（2）由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +?) 的图象。
四、课堂检测
请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函图象
五、作业 p55的练习1、2
数学课例分析
数学课例分析
710062陕西师范大学数学系 罗增儒
E-mail:zrLuo@snnueducn ((
目 录一、课例分析的引例
11 (课例:幼儿园小女孩学“集合”
21 (课例的分析
3 (
二、课例分析的认识
1 (课例
2 (课例的基本特征
3 (课例分析
2三、课
1 (出示课例
2 (初步剖析
3 (关于认知的初步认识
四、解题分析
1 (解题分析的引例
2 (解题分析的操作
3 (“柳卡问题”新议
五、课
1(知识层面
2(能力层面
3(素质层面
4(理念层面
参考文献
1
一、课例分析的引例
1 课
(新数学运动强调应当中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概，以下在一背景下发生
一个数学家的女儿由幼园放到了家中，亲问她今天学到了什么,女儿高地回答道:“我们今天学了‘集合’”(数学想道:“对于这样一个度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了(”因此，他关切地问道:“你懂吗,”女儿肯定地回答:“懂～一点也难(”这样抽象的概念难会这样容易吗,听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放不下，此，他又追问道:“你们的教师是怎样教的,”女儿说:“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大这就是男孩子的集合;其次，她又让所有的女孩子起来，并说这女孩的集;接下来，又是白人孩子的集合，黑孩子合，等(最后，教问大家:‘是否都懂了,’她得到了肯定的答复(”这样的教学法似乎也没有么问题，因此，父亲就以如下的题作为最的验:“那么，们能以世界所有匙子或
P183)终回答道:“不行～除非它们都能站起来(”(转引自郑毓信《数教育哲学》 听完这个叙述之
1()你最突的感受是什么,说出
为了把考引向深入，我
2()课例说些什么事实,这些事实
为了使说明理的讨论更加集中，我再
重点思考题
?“女教师”是怎样组织“集合”教学的,为什教师所授的知不是“女儿”所回答的,幼儿园里的“男孩子集合”、“女孩子合”、“白孩子合”、“黑孩子集合”与作为原始数学
?“女儿”为什么说集合学习“一点也不难”,又什么要强匙子和豆都“站起来”,这到底是“教师”的教学内容问题，还是“学生”学习基础问题，或是“学家”的评估方式问题,如何认“
?世界上所有的匙子或土豆“组成的集合”与“幼儿里部分子(男、、白、黑)”成的集合有无不同,对于幼儿园孩子认识集合概念而言，是“女教师”的学不对还是“数学家”的提问不恰当,幼
这个讨论的一目的，是想渗透建构主义的点(
21 课例的分析
这个数学学习的故，向我们展示了包含有教师、学生和学家行
1描述(()女孩兴高采烈地回家，手舞足蹈地描述学习的情况，天而坦诚地答父亲关“土豆成集合”的题，在其可笑答案的背后，有引发沉重思考的悬念(其中给我的突出的感受是:学生以为已到的东西，并非教师所努力传播的东西(个
3写了个主要情节:
?
?学生习的情节(与教师的
?数学家评估的情节(分为两个阶段，首先是询问教与学的程，然
于是，在这个小小课例里，就涉及到教的问题、学的题、学
2
4于提炼建主义观点的目的，我
1()教师传什么，学生就接受什么的
女教师根据集合概念基本特，就近利用课堂情景努力进行教学设计，并且结合幼儿的特点，运用直观性(一眼看清)、活动性(学生扮演元素、组成集合)的教学原则，积极组织教，这个方向是值得肯定的;其内容限于集合实例渗透也是可行的，儿童偏活动、喜欢参与，单个动看，让有关人员站起来不但有助于集合的“呈现”，而且也能产生趣味性、新奇感，并积累数学活动的体(但是，四次叫生“站起”，造了非本质属性的泛化，这说明，师传知识，学生被动接受的，他们对知识信息有一个选择、整合和“意义赋”的过程，认为教师传授什么学就受什么的统识并不靠，这应
2 ()学在学习过程中的错误认识
在学习“集合”(词)之前，儿童已经有了“听到哨音，到操场排队‘集合’(动词)”的验，也有把一人看成一个整(小组或班)的已有知识，在女教师的设下，又见到“站起来的人组成集合”，这两者的互作用，是儿童根据有知经验，建构新知识的过，于是，新识之间的共同点:“人”，“聚集一块”等就很自然地为“
面对“土豆”组成的集合，“儿”首先迟疑了一下，一闪念之间可能出现多否定性的因素:土豆不是人～土豆不能站起来～土豆不会在儿园里～全世界的土豆既看不全又数不……在这些可能的否定理由中，构成反差最大、最明显的是:初孩子们都站起来了，以，“女儿”最终说“不行～除非它们都站起来(”果说，是一个错误的话，那确实有其内在的合理性，确实是一个可爱的错误，应该说，在课堂上没有学的错误，更没有错误的生( 另外，女的年龄太小，还没有够非形式化数学知识去消化抽象的集，从质上认集合概不可能的，只能是一些具体实例的渗透，为真正学习集合概念作些前准备，因此，与其说女儿要土站起是一错误，不如女师的教设计有缺
3 ()数学家的思维来要求
3 在这个课例，出现种思维方式，即数学家(爸爸)的思维，教师(女教师)的思维，学生(女儿)的思维(“数学家”与“学生”思维上存在巨大差距(人与儿童、数学与常、抽象模式与具体例)，教师 责任就要进行教学法的工，数学成为儿童可以接受的东西，使得新知识能够在原有知识经验的基础上建起来，就是说，数的“学术形态”需要转变“教形态”，数学教师不同于数家的个方就在，我们不是要创造表示概念，而是去创造概念的理解(来，女教师理解这一点，而“数学”对数教的理未
?女教师只给“女儿”提供几个由“人”组的具集合的实例;数学家却从集合的实质属性出发提出问题，他的检起点太高，超了“女”的年龄与认识水平，也超
?“全世界”的匙子或土豆，与“女儿”所认识的“集合”大相径庭，不是由“”组成、也不在“幼儿园”的范围内，还是“一眼不能看清”、“多得数数不完”的(朴素象的无):这一切，对第一次接触“集合实例”的
?“匙子或土豆”含着“并集”的逻辑结构，既然“儿”
3
”当
?对女教师设计上的陷，“数学家”没有看出来，反认为“这样的
这种种况明，数学教育是一门独立的专业，即使“数学家”也并非天然了解数教育，他们往更注重于数教育的数方面，而对学教育的教育面了解不够，诚然，缺少数学知识就没有资格为数学教师，但只数学识还不足以成为一个的数学教;惟同时兼有数学专业知识、数学教育理论与数学教学能的
由于估的不合适，小女儿聪明可爱的一面被失败可笑的一面盖着，很能会给小儿留下数学的消体验(如果换一种提问方式或提问标准，小女儿将会是数学学的成功者，也就是说，多一把以多出一批人才(应当注意到，失败是功
4 ()女教师教学设
女教师不可能给幼儿园的儿童传授一个相对完整集合概，这是全合理，对此，不应该对教师求(但在如何给儿童提供尽可能优的教学设计方面，确实还值得研究的问题( ?举例避
“人”、“站起来”、“幼儿园里”等都是组成集合的非本质属性，次又一次的复尤其强了“站起”的动作(如果让坐着的学生也同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化(“概念形成”的角度看，此处还没进行到对共同属性抽象出本质属性的阶段，更通
?
女教师所呈的例都是幼儿园里看得见的有限集合，都是具有相同“性别”或相同“肤色”的人组成的特殊集(具有同一属性的限个人集中在一起，看成一个整体(小组或班组)，儿比较好认识，不需太多的思考，所以“女儿”说“一点也不难”，这句话的另一含义是，教学计没有引起生更多认冲突(如果让男女孩子、白孩子组成，让幼儿园内外的孩子也组成集合，让孩与桌子一齐组成集合等，那，教学
教学不能没有反环节，这一点“女教师”是明白的，但集体回答“是否都懂了,”分不清真假懂，也掩盖了‘不出声’或“未明白”的声音，这个简单化的提问，相当于医生问诊的病人:“你有么病,”用病人的自诊断来代替医生的诊断是不合适的，如果让学生去举出集合的例，检验的情况更真实一些，细致些，虑到女教师所提供的例子仅内容一，类型上也只有正例、没有反例，让学生举例议就更有必要了，学生说不定举出一不构成集合
建构主义观点:教学中应重视学生真正的理解，而不表面的理解，这样，在课堂上教师通过“你们懂了吗,”或“们还有什么问”来断学生是否真正理解就会
20027究》()
学生是否形成真正、深层次的理解，教师大致以从
?能否用自的话对所学知识进
?能否据所学知进行推论、猜测并解释关
?能否
?能否综合方面的相关知识解决
?能否应用学知识解决实际
?措词更确切一点
“男孩子的集合”没有界定的包含集，因而可以理解为“世界上”男孩子的合，准确，是“该幼儿园里男
3
课例,的分析提供了建构主义的感性认识(建构主义认为，认并非主体客观实在简单的、被动的反(镜面式反映)，而是一个在原有知识经验基础上，主动建构过程( 建构主义视已有经验、心理结构的作用，强调学习的能
4
习的个人体验、智力与和自活动，对数学教学有许多积极的启示(比如什么是学习，在数学教学中学生应当是认知行为主体，教师是行为的主导等，都能得比较合理的解释( 构主义认为，学生们直接收到的不是知识本身，而是教师用以传递知识的体或信号，并且人也不是动地接收和记录输入的信息的，而总是以已有知识经验为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建起关于事物及其程的表征(建构主者策纳说:“知识是无法传授的，传递只是息，知是在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时被建构起来的(”这既从学习的本上明了学生学中的主性，也体
教师的用为学生的参与创造适宜的挑战环境，去了解学生的数学结构，看他的主观知有什么问，新知识该如何“修”得正好适于吸收到学生的数学知识结构中去，学生在想什么，在做什么，如何使学生“活动”起来，做适合他认知结构的活动(这既体现了“学生的主体地位”，又
在数学学习中，教师主导作用是说，教师的传授不单是从书本上力图明白、准确无误地搬运知的过程，他应是数学建构活动深谋远虑的设计者、织者、参与者、指导和评估者( 学不再是一个简单的运知识的过程，而是个连续地、生动活泼地与学生的感性世界和理性世界相符合的过程(教所追求的不是仅让自己吃透材、讲述白，应力图通过自己的“示范”向学生展出“生”的数学思维活动，揭示出隐藏在具体知识内容后的思想方法，从而帮助每个生发挥体
此处，对建构主义不作展开，因为我们的目的是介绍什么是课例、什么是课例析( 二、课
,(课例(案例、个案、教案、学例)
课例是体现育论与教学技能的教案或课堂实录(它是具有典型意义的教学过，在形式上可以是学学数学的生动故事，又可以是教师教学的有趣设计，还可以是教学实中遇到的困惑的录(包括实发事件)(为了教学的需要，课例的叙述可以课堂信息的摄有所侧重，课堂外情况(如教师、学生的景)及心理有所描述(动机、态度、思想、意图、需等)(这就使得用于教学析研
2课例的基本特征
1 ()典型性:首先课例是现实问题的缩影，应具有相对完整的节，对事发生的时间、地点、体过程有完整的交代，使得能反映出数学教学活动的基本过程;同时，这活动与过程能够体现数教学的在规律，体现教学设计的基本思想(这当，有
13功”的典型情节((课中，有教、学、评，过程相对完整;有数学、教师、种思维并存，情
2 ()研究性:就是课例本身具有时代息、实意义、借作用和理论探讨的价值，可以正面获得经验或面取得教训，提炼(或印证了)某些理论或
1 课例，教师并未教“土豆站起来”，数学家亦承认“这样的教学法似也没有什么题”，但女孩回答“除非土豆起来”，笑的背后是沉重的思考，于是，探究的心向产生了，研究的环的形成了(我们出于渗建构主义的谈了些初步看法，大家还可以从多种角度进更
3 ()启发性:就是课本身具体、生动、有趣，能提出问题、能引发
1 课中，学生所回答的并非教师所努力传授的，兴高彩烈的小女最后被爸爸得既可怜可笑;面说“一也不难”、后面却要土豆荒唐地“站起来”(这些都有强烈的对比效、都有逻辑错位的幽，都能提问题、引发思考，至于教师的教学过程，则显
所以，这个“集合”的课例比较能体课
3课例分析
5
课例分析是一种通过典型教学过程(课例)的析来习教育理论教学技能的教学方式(俗称案例教学，这是一种研性学习(课分析突体现了教学内容、学习方
3 如同上已经看到的，课例分析
1 ()
较长的课例可以课前供，较短的情节可以随堂呈现(提供的式可是
2 ()
这是一个师互、生生合作的学习过程(一般说来，每个课例都可以从多个角度进行析，每个学员都有自己的兴指向，如引导启发不当，有的学员会知从什么地方开始谈，有的学员会只谈现象与节(因此，教师要充了解例的内容，提前进行心的准备，场还得有机敏灵活的动态调节(为了使讨论相对集中，以随
在课例分析中，教师更地从讲台站到了学生的背后，聪明是由师
3 ()
这一步主要由教师进行，教师的总结首先要有理论深度，使学员确学到西;其次要体现现场
老们日常教学中，可以独立地进行经常性的课例分析，也可以以教组为单位开展流( 需说明的:课例分析与例说明是不的;课例分析与评优课也是不同的，课例析与说课还是不完相同的(然而，课例分析平的提高，以促进所有这几方面水平的提高( 、课
1出示课例
课例,:在“三角形内角和
,解说:“角形内角和定理”(请参
设计，人们已经了很多，但这并不影响教
教师依然在探索的可能性，下面的镜头，
学的精心设
教师:如图,，用橡皮筋构成?,,,，其中顶点,，,为
AAΔΔΔ定点，,为动点，放松皮后，点,启动缩，产生一系列的三角形:,,，,,，1,A,,……请观察其内角和会产
,,, ,解说:教师的主意图是让学生看到:?,?，?,?，?,?，这既孕,,,,,着极限的
0 ?,，?,，?,,，180
但是，学生发言了(,
0 学
教师:好，说说你是怎样观察出来的,
学生,:不用观察，小学时老师
,解说:老师有点失落，立即又根据已经发生的情况，舍去“发现结”的启，上转入“结论证
0 教师:是的，小介绍过三角形的内角和等于，但没有明，于
无穷个三角形也不能一检验，所以，进入中学阶，我
0BCBCA 学生,:通过图,，我看到，当点,趋向
0,;合起来，三角形内和趋向于;同时，这个图形还告诉们，这结
…(
教师:(很高兴)你说说证明(
6
xBCAD学生,:设角形的内角和为度，在上取一点,(相
图,)，有:
xAD+?+?, ?,,11
xAD+?C+?= ?,,
xDD+?A+B+C+??=2 相
xA+B+C=??, 但 ?
DD+?=180 ?，,,
,xx+=2, 代入有 ,,,
0x= 180
[ 解说:这全出乎教师的意料之外，时
]既无法立即表态，又不能表示出犹豫，明智的选择是甩给学( 教:证明出了，同们好好一看，做得对不对,[ 解说:学生沉默片刻之后，大多示认可，确实，一承认“角形内角和为定值”，整个证明就无懈
1定理，教师利这段甩给学生的宝贵时间通
AAAΔBCΔBCΔBC生造成了这样的印象:，，，……的内角和,1,
,为常数，其实，变量极限为时，其变化过程可以单调上升，也可单
0,动的，更危险的是，可能变量根本就不取值但这怎能向初生讲
]务怎么完成,
2 教师:是的，细审核每一步都推理有据，算准
xΔABDΔACDΔABC，，的内角和都是呢,课本中没有样的定
内角和为定值”(不过，这个方法向我们提供了一个思路，过图
,ΔABC角等于来证(此，我们暂且按下不议(现在，让们重新
ABA放松反)，让点沿方
AA3ABAACA 如图，当点变为延长线上的，，……，?
00AA? C?BA的一瞬间，产生出平行线，由同旁内之和于
0C =B ?,?180
这时可以猜想
,A+?B+?C= ?(,,,
AAn并且，了点外，对变化过程中
AAABC=?C ?nn0
同学们，在个变化过程中，你
03学生:看到三角形内角和为常数，个
A+?B+?C ?
A=?AC+?B+?BCA(两线平
0= (
7
2初步的认识
16()
?
1—— ? 突发事件反思、步骤调整;
2—— ? 突发事件可爱的错误;
? 突
?
?
在这个三折的过程中，有两次突发事件，两次调节反思，一次比一深刻，一次一次更能起人的感，这有助于明，学习动不完全是“刺激——反应”的过程，也不仅仅是对学习材的识别、加工和理解的知过程，且还有对该过程进行积极的监控、调节的再认
这种
2 ()
这个课例，反映了学学习是一个在原有知识经验基础主动
4了较为
4[] ?由图可以到这个方案将“两直线平行，同旁内互补”作
0A+B+C=?? 基础，建立它与?的联系成了
0[] ?为了沟通“行线中同旁内角互补”与“三角形内角和
0首先将“互补”与求式中右边“”沟通，这比较容易(还小学识
成为唤起
[]?同时，方案又将“平行线中同旁内角之”与“角形中的内之和”沟通，这比较困难，一个是不封闭图形(两平直线被第三条线所)，另一个是封闭图形(三
4 图
[]一样，为了将这两个外形上完全不一样图形系起来，方主要使用了三个技术( 其一是把静态的三角“动”起来，一直到成为“完全不一样”的行
8
行线“动”成三角形，出另一设计)(这有一个从量变到变的
2也大，因而，中间需要添上中途点来帮助理解，那么怎才能找中途点,这需第个技( 其二是借助于粗糙的直观——习惯上认为太阳线为平行线，于，太阳了相交线与平行线的一个中转站，为
?ABA3 其三是助于有限来理解无限(由于图中，一个限
CACAC3绕点旋转位置上的，而一旦理解了图，理解定的证和
有多大困难(
CABACBA可以为，这个设计的图形本质是，沟通
3(
在课例,中，主体(教师)对课题首先有一个认识，经过实，意识到识可以化，于调动思维，采取有效的调控策略，从而达到新的认识(这就是主体对自认知过程在自我意识基础，对自身认知过程的自我反省、自我控与
元认知基本上是一种二构造，认知活动的对象是问题、数据之类的西，而元活动的对象则是
如果说课堂教学的过程是一认识活动，那进行课例分析便是再认识;如果说题是一种识动，那么进行解题
元认知是一种级认知活动，包括元认知知、元
1 ()元认知知识(
这是指有关认知的知识:即人们对影自己识过程与结的各种因素及其影响方式的认识(包括认知主体方面的知、知的任务方面的知识、认
1 在课例,中，教师认识到当初视了生小学学的事实，认识到图有诱导“逻辑循环证法”的暗示，以新法的建构观分析等，
2 ()元认知体验
这是指伴随认知活产生的认知体验与情感体验，包括知不知体
2 在课例,中，为当初计没有达到目的而失落，为图的证明而为难，为新设的生而高兴等都
3 ()元认知监控
这是指人们够积极自觉地对认知活进
21 在课例中，自觉采用极限法来设计发现学，从突发事件中自觉作出调整，经过发事2件后出新的方案等，都体
元认知的大成部分是密切联系、相互依存、互相制约的(元认知知识的掌握有助于有的监控，也能起相应的元认知验，是体和监控的基础;元认知体验有助认知知识的掌握，也有利于有效地监控，是推动认知调控的力量，并强元认知识;元认知监控水平约着元认识的获得水平，既运用元认识知识，又增添新的内容，使元知
如同认知能力可以自觉地发展样，元认知能力可以有意识养成，我们认为进行课例析、进行题析就是自觉进行元认
四、解题过程的分析
1解题分析的引例
axβ1 [1990]是关于 例年林
(x?a)(x?b)?cx=, ?
x的根，试证明关于的方程
9
(x?a)(x?β)+cx=0 ?
a,b的根是(
1 ()认识,—证明,(
a,a,ba,bβ 题目的条件说是方程?的根时，处于程系的
a,a,a,bββ?的根时，处于方程系数的位置(因而，条件与结论之间，()与()之都有一种对称关
但是，如何揭示这种对称关系呢,我们一子看清楚，但有点我们感觉到了，方程?有a,ba,βa,βa,ba,βa,b，无;方程?有而无，因而，
a,a,bβ设我们没有太多的解题经验，那么，我们总可以由方程的根公式，找与的关系(根与系数关系)(
2()()4a+b+c?a+b+c?ab,
代入方程?，有
，，，，+++?++??(abc)(abc)x?x?+cx=0, ? ,,,,22，，，，
2x?(a+b+c)x+ab+cx=0,即 ? 2x?(a+b)x+ab=0,得
(x?a)(x?b)=0.
a,b
1这个解法(记为证明)，反了我们对问题的一个认识，其知识基础是方根的概与根公式，能力主
2——()再认识解题分析(
a,βa,b回顾这种法我们可以分为两步:首先，由程?出
a,βa,b?代方程?得出结论(由此可见，关键
对于这个
1问题，产生运算比较复杂，弄不好还
a,βa,β2问题，使用程中，先解出，然后又代入消去，恰好是个回路，这回路是必要的
1对于问题，具体运算的感或理论思考，都会导致我们用“根与系数关系”(达定理)来代替
2 证明把方程?
a,β
aba,βc+=+?:
?,
abaβ.=:
再把方程?
a,bx=a,x=b,,其根为这就是中考所提供的标准答，也可
10
aba+,βc=+?:
,
abaβ.=:
a,b然
a,βa,b这两种解在本质上是一样的，还是着眼于
韦达定理?式比用求根公式?式更简单(抓住个关键骤，深入思有没有更一般性的“根与???=,系数关系”，是“根与系数系”
bc+=?=xxxx,,,,,,aa
,bac,?xx,?=,,a
,ax+bx+c=,(i=,,,),ii
,ax+bx+c=a(x?x)(x?x),,, ?kkaS+bS+cS=S=x+xk=,(,,,,,,).,,,k,,
,,
当我们一旦想?式时，条件与结论都
?(x?a)(x?b)?cx=(x?a)(x?β),条件
?(x?a)(x?β)+cx=(x?a)(x?b).结论
两相对比，只需作步移项运算就证明了(差异析
(x?a)(x?b)?cx=(x?a)(x?β),
(x?a)(x?β)+cx=(x?a)(x?b),移项
a,b
这个解法把题目本身具有的对称结构反映了出来，把述两证
干二净，我的心情也禁不住要
a>,,b>,,c>,,例, 已知求证
,,,,,, ?a+b+ab+b+c+bc>a+c+ac.
1()
有一个著名的构造角形解法，年复一年地出现在种报
?ABC证, 由余弦定理可
OA=a,OB=b,OC=c,
,AOB=BOC=COA=??, ?,,,
,,则 ，AB=a+b?,abcos,,,
,, ，=a+b+ab
=++22BCbcbc,
同理 22CA=a+c+ac.
由三
AB+BC>CA ，
11
222222也就是 a+b+ab+b+c+bc>a+c+ac.
2()
?ABC易知，问题的解可以分成两步:首先是依题意造图，
大于第三边”得出论(不等式的数学实质“两
对此，我
?OAC,(抓住本质骤“三角形两边之和大于第三边”，观
也有
OA+OC>AC.
又由“大角对大边”有
AB>a,BC>c.
这就又可以直观上看到的事实，
a,b,c证明, 由为正数知
++>22ababa,
22b+c+bc>c,
2222+++++>+ababbcbcac,
相加得， 2222=a+c+2ac>a+c+ac.
这个新解法只用到简的放缩常识，节省了解题力量;重要
”、又“由形到”的数形结合过程——正
ABCAOC值得续反思的是，为什么我们期
,(抓住
既然，所求证的不等式映了距离关系，而距离计算还有股定、
数模、向
证明, 配方
,,++=++?,,,,aabb(ab)(ab),,,
,b,,,,++=++bbccb(c),,,
,a,,,,c+ca+a=a+(+c).,,
,a,bA(a,),B(?b,),C(,,?c)取点(或复数)，则有
,,,,
不等式
CAAB+BC?( ?
由于
3a13(a+b)?(+c)=(a?b)?a, 2222
ab+bc+ca=0.即
a>0,b>0,c>0这对显然不能成立，故?式
a>0,b>0,c>0这个证明虽比证明,麻烦，但一般
ab+bc+ca?,.
就够了(
a,b,c>,,k,k,k?(?,,,)推
12
222222a+b+kab+bc+kbc?a+ckac. 123
k>,k<0 成立吗,="">
+,,n,
IMO1995n, 例, (年)求证:对正整数分为最
1()
(21n+4,14n+3)=d.d1证明, 记
(p,q)=1p,q?N,
21n4pd,+=:
?,
14n3qd.+=:
1=(3q?2p)d.3×2×?由?,，得 ?
d1d=1.这表明正数是的
d1这与,矛盾( ?+21n4
故得为
(2)
,(可疑的反证法
这个证明，从形式上看证法的过程很完整，反设、推理、出矛
dd=1有了(但是，反设,,并没有参加运，只是得出后，构矛盾时才用到(但是，得出d=1已经证明了结论，去掉反证法的设、掉构成矛盾，就是一个正面
2是一个完整的证)(记为证明(这个过还可
(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,1)=13 记为证明(
,(抓住本质步骤
容易看出，上述证明中本质的步骤、产生实质性进展的骤，
dpq反证法
4证明 由恒等式
3×(14n+3)?2×(21n+4)=1 +21n4
21n+414n+3知，与必互素，分为
由上面的例子可以看，题的初步获解，只不过是实现了信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的提高准备了料基础，更加有价值的、体现学者的主动创造性的工作是历时性的线性材料组织一个共时性的立体构(这时，打破输入顺序材料会呈现出更质、广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本质、更广泛的组合，从揭示出数学内容的更在的逻辑结构更直截了的关(所谓解题，无非就是寻找数学容之的联，有识“将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构”的程，就是自觉培养解题能力的过程，是解题力速生长过，其
,解题分析的操作
由上面的引例可以看，分析解题过程通常要经过个步
1()整体就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用了哪些知，用了哪些法，它们是样组合在起的，并中提炼出几最本质的步骤，在这个整体分解中，要注意发现，哪些重要息是在半途上被白白浪的，哪些回路是在盲目中被多余增添的，哪些过程是可合
13
3—203—具体进行时，可以画逻辑结构图和信息过程图(参《中学
2()信息交合就是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤，将信单元转换重组成的信息，这些新息块的有序化将删去多余的思维回路(将用更一般的原理去中现存的许多过程，用一简单的技巧去代替现有的常规步骤(
在这个过
?看解题过程是否浪费了更重要的信，以辟新的解通道(这需要我们重新审视每一个知识点发散度，特是从知识链上对知识内
?看解题过程多了哪些思维回路，通过
?看是否可以用更一的原理去代替现存的许多步骤，高整解
?看是否可以用一更特殊的技巧去代替现存的常
?看解题过程中哪一是最实质性的步骤，抓住这步既
?还要看到，分析解题程时，“结论也是已知信息”，这会我们题
3()解题理念(
我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对，而把答题看做是设计
并且，应该有这样的信念，没有任何一题是以解决得全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的讨总结，总有滴的发现，总能改进这
通过解题过程的分析而学会解题，就通过已知学未，就是通过有限道题的学习去培养起解限道题的学智(就是积极主动去
?x+134199219________=3例 ,年数学
解 去分母，得?xx,+,=,+,?,,
x?x即 ( ?,?,+,?,=,
xx两边乘以，得
x?1即 3=3
x=?1
解题分析 对个解法作整体分解可
1()处
2()处理负数，将原方程继续化
3x=?1()求解二次方程及简单
仔细对比,个步骤，们看到起转化作用的是前面的“个处
2的应是第()步——处理负指数，因为问题旦转化负指数，方?已经是一个有公式求解的标准问题了，抓住这个质步骤、注意“两处理”并无逻辑上的顺序关
x先处理
xx?+3(13)x,=3?3 x13+
x+1,
x+1=0,有
x=?1
(这一处理使我们发现方程左边结构上的特点，即分子、母有
14
)实式?已经向们传达了这个信息，同也
x?x(1=3?3
从而，
??xxx++,,,(,,)?x==, ，xx,,,,++
??xx,,,,,++==或 (xx?xx,,,(,,),++
?xy=3y=,或设，代入原式，有同样的效果，即将原程化
xx?+3(31)=3 ， ?x13+
?x即 ， ?3=3
x=?1得 (
1评析 ()新解法这可以,,秒内由心算完成，并且由这个新解法可以看，题目数3的依赖是非实质
x?+1a=a,(a>0,a?1) x1a+
x=?1的解为，这个广还使我们看透了题目的本质，原只不是
x+31=1个两边分别以 的变形，是的，我们一开始不能“眼看
规解法的分中，逐步认识题目的实质并开发出解题智慧来(这很有趣，一开头们想隐去负数，而最终保留负指更简单～x(1+3)2 ()回过头来看得很清楚，由原方程两边乘以得出方程?之后，又在方程?中除以x(1+3)，这是一个思维回路(新解法的简捷之处就在于，删除
x中约去(看透这一，既增添了我们元认知知识，又富了
112+5a?b例 已知是方程的两个根，不解程求的
(a+b),ab可见，只需求出的值，这由
解 由韦达定理，有
ab,,+=:
?,
ab,;=:
++11(ab)2+=代入，
+42==1 ( ?141++
解题分析 仔细阅从分析到求解的全过程，我们看分析正
15
但是，我们别忘了，解题前的分析是在思路未明朗、结论未得的情况下行的(如在黑房里摸索);而解题后的分析是在思路已明朗、结论已得出的情况下进的(如同拉开了房的电灯)，后者比前者多了很多信息，其中“结也
a+b+()2=1 ， ?abab()1+++
(a+b)+,=ab+(a+b)+,即 ，
ab=,
a+b=,a+b这就表明，求出是多余的，回过头来看?式也会发现，不需求的值也能分子分
解法, 由韦达定理有
ab=1 ，
,,+得 ,+a,+b=+,a++,aaab
,a=+
++,,aa
=,.
1996 由此可演变出很多解法和作出很多推广(们还据
1一()
,“柳卡问题”新议
1 ()柳卡问题——数学家们咋了,
据说，在近代科学史上曾发生过一件有趣的:十世纪的一次国性会议上，来自世界各国的许多著名数学家共进早(法国数学家卡突然在场的人们提出一个被他称
6 例某公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同时刻也有一轮船从纽开往哈佛，轮船在途中花的时间去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上，问今天午从哈佛开出的轮船，开往纽约航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从面开
问题提出后，一时竞真的难住了数学家们，管为此行过探讨和论，但得到的答案莫衷一是(就是说，这次会议还没有人真地解这个问题，事后许久，才一
6画了一个简单到几连小学生都能看懂的图形，而宣
图,
这的确是一个富有典型性、研究性启发性的案例，把一群数学家都“难住了”的问题，其解法“乎
shà其次，个“无字的证明”直观地显示出问题的答案，无非是数一数()线段,,有,,个交，一方面直观性值高度肯定，一方面，正是这些显化了的点掩盖着这些点的内在结构——类问题以一般性代数模是什么样,被一些文章称为“数形结合”的“形”的很漂，
6最后，我们还嫌图中的线条多了，各条线以地位和作用是一样的吗,最本的位置哪,抓住本质能不
这些疑问
(,)一
6OAOBCA图中的线条很多，但大量是辅性的，与、均有一对应关系(从计数的角度看，取一条就够了，或说，将整个图沿平线束的方向压缩，三条线
6OA此，我们可以认图中，最本质的线段是及其上的,,个(
16
OA观察上的,,个点，可认被中点分成两，前半(包括中点)表示:当轮船从哈佛起航时，已有,艘从纽约起的船分布在航道(包括起航与到达的船)，它
OA侧航道上与轮船相遇(的后半段(包括点)表示:船从哈佛起航之后，在,天的航程中，还有,艘船从纽起航，它们在靠近纽约的半侧
图,
这实质上已得出一可以离开图形、单凭口头叙就
另解, 从哈佛开出的船在航道上与之相遇的船可以分两类:,类是船时，已于,前从纽约进入航道的船，共,艘(包括恰起航与恰达的,艘);第,是开后才进入航道的船，每天,艘，,
n1如果把题目中航行的时间为“来去都是昼夜”(参见例,)，那么，解，可我不作图而直接得
N=(n+,)+n=,n+,(
这提醒我们，新解法已触及到题目的本结构，并使得求从当初的纯几何形式开始呈现出一些代数征(这是种不
3()找出方程模型(
我们继续寻找相遇点的数特征，以揭示问题的抽象结构，如所说，与
OA第,类:当船从佛开出时，航道上已有的,艘船，这些恰
A,A,A,,,A8分点上，如
图,
第,类:当船从哈佛出后，每隔一昼夜都有,艘船从约开，
A,A,A,,艘船陆续进入，,,
由此可见:
xxx,(从哈佛开出的船航行昼夜时，与,,天前从纽开来的船相遇(当取非负整数012OA，，，……,时，得到段上的两端点及,等分
x那么，当取整数时，轮船还
A,A,A,,,A,(从哈佛开出的船起航时，从纽约开来船恰在
AAA速相同，第,个遇点只能在的中点，此后，轮船在达处
AA(0?i?j?6)AA处才与从开来的船相遇(从到
OA这就告诉我们，两端点外，相遇点或为上的,等点，为
AA(,?i?j?，)几何语言，这些相遇点可以合并为线的中点(
供了一个机会，通中点公式去摸索轮船相的数
9xy如图中，设两相遇时，从哈佛开来的船走
9图
ijij++x,y.有 ==,,
x+y=，得 ， ?
x?y=(i+j)?， ((为整数)( ?
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其中式?反映一相遇问题的基本关系:式?则反映了这类问题的具体数量系——这是一个隐蔽等量关系(“十世纪”的数学家不可能看不等量关系?，“难住”他们的更能是没想到等量关系?，而之所以“没想到”也不是少能力，更大的可能是柳宣称题“最困难”，给数学家一个心理暗，使数学家们压根就未向简单的方向上考(直到有的数学家作“认知
2 9xy另解如图，设从哈佛出的轮船航行夜便与从纽约开出昼夜的轮船相遇，题意有，遇船航行的时间差必
xy，,+=:
,
xym(m,,,,,,,，).?==:
xy，,+=:
即 ,
xym.?=?:
2x=7?m相加 (
m01272x1515当取，，，…时，个取
7n这个解法一般性，当把昼夜推广
,x=n?m(
m012n2x2n+12n+1当取，，，…，时，得出个
4 ()简短小结(
上述从问题的提出到问题的解决，再到问题及其解的再认识，我们历经了数学问题解决的,个阶段:形——图式——模式，具体
1OA ()析图形，找出最本质的部
2 ()抓住最本质的线段，从位置关系上提出的认识度，从产生的解法(另解,)(这个解法，在头脑里有一条线段，但用文字语言来述，是文字叙述出来的图式(我们认
AA3()从相遇问题的位置关上继续分析，找出相遇的“中”性质(与的点)，ji从而知(本文借助于中点公式作了计算):每次遇两船航行的时间差必整数个昼夜(这就找出了这类问的
xy7,+=:
,
xym(m?0,1,2,,=7).=:
我们到，在这个解题分析的过程中，主要的收获不是得出了两个的解法，是获得了数学的验(元认知验)，使得学数学不仅能摆脱简单模仿(第一阶段)和反复练习(二阶段)的初级阶段，还能突发领悟(第三阶段)的中级阶段，进入自分
五、课例
可以从,个层面上去理解(
(,)(知识层面(
通过课例分析获得的识是内化了的知识，是“做中学”获得自
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是有着真实背景的知识，而不象传统教学模式获得的抽象的、过度概括化的生硬识(它能即于教学实践，处理
(,)(能力层面(
课例分析不能炼课例中蕴含的教育原理、教学原则和方法等知识，还能使学的创造能力、解决实际问能力获提高和发展(课例分析多用与传统教学方法不同的讨论法(研究性学习)，从而能为学提供一个良好的宽松的创环境，学有着较大的自由度、较多的展现自己的机会，有于教
(,)(素质层面(
课例分析通过把一真实典型问题展现在学员面前，要求他们设身处地像角色教师那样去作出反应，从而就为他们提供了一种不用正深入实践的条件下在短期内接触并处理大量的各种各样教学实际问题的机会，提供沟通理论实践桥梁，学员从中可以获得各种教育教学技能，提高素质(同时，学员在析课例时，一方不断形成新理论视野，增长例分析的能力，另一方面探索思考理论运用于实际教学，从而又能及时而有效地促进了理向实践的转化，达到理论与实的较好合(可以说，
(,)(观念层面(
课例分析可培养员对育教学的反思精神，发展学员对自身教学实践进行批判的能力，使员掌握对教学进行自我析和反思的方法(因课例分析本身就是课例所描述的别教育教学过程的析、思考、评价等作行为，教学本身就蕴含着反思教学的方法论因素(教学的自反思精神对学作为未来教的成长程有不可估量的作用(另外，课例分常常既定的或固定的答案，能使学员逐渐认识领教育教学实践的不确定性和可预期
当然，十全十美的教学是不存在的，过去没有，现在没有，来也不会(课例分也有显的局限，首先是耗时较多;其次是对教师的能力和学员的参与要求很高;再次是别的案对提炼系统的理论先天不足，所有这都
教师中有丰富的课例资源，没有进行很好的开发(既缺少整理、更缺少分析)，这是一很的浪费(本文的基
1 (介绍课例析，希望大家都动员起来，行
2 (掌握课例分析，过这个途径来更新教育观念、提高教学解题
我个人的学学、教数学实践经历了四个阶段，即简单模仿，反复练习，自发领悟，自分析(而第四段的主要内就是课例析，包括知识例与解题课例坚持不懈的分析，这种工作贯穿了“从矿山人、到中学教师、再大学授”的发展历程，也成了一种个性的写作风格(如果这当中有什么经验或秘密的话，那就
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