我们把这种形式化的东西
,,,,ccc,,,,21212222nn,,,,,ccc,,,,,31312323nn ,
,
,,,ccc,nnnnnn1122,,,,,
kkk,,,,,,,0kkk,,,(由基的线性无关可知只有全为零)
,
kccckccckccc()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,11112121212122221122nnnnnnnnnn
()()0ckckckckckck,,,,,,,,,, ,111122111122nnnnnnnn
,,,,,, 由 线性无
ckckck,,,,0,1111221nn, ,,
,ckckck,,,,0nnnnn1122,
cxcxcx,,,,0,1111221nn,其次线性
,cxcxcx,,,,0nnnnn1122,
ccc,,11121n
ccc,,21222n,0,即过度矩阵C是可逆
ccc,,nnnn12
By fan feng
可逆矩阵
哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题 目 浅谈可逆矩阵的判、求法 学 生 赵怀志 指教 高 讲师 年 级 2010 专 数学与应用数 系 别 数学与应用数学系 学 院 数学科
哈尔滨师范大学
2012年 11月
论 文 提 要
在高等数中矩阵占有很重要的部, 而可逆矩阵是矩阵比较重要的一类, 在多项式理论、线性方程组理论、向空间、线性变、二次型理论相关理论中具有极其重要的地位,为本文从最基本的矩阵出阐述了可逆的定义、性质及的应用,体现了学的逻辑性及严性的特点,从整体把握可逆矩阵的思想方法,希望对大家有
浅谈可逆
赵怀志
摘 要:本文主要绍了有关可逆矩阵的义、判定、性质、求,。
关键词:可逆 单位矩
1 预备知识:
定义1 由 m ?n 个实a ij 排成
?a 11
a 21A = a m 1?
称之为 m ?n 矩阵,位置(
a 12a 22 a m 2
a 1n ?
?a 2n ? ?
?a mn ??
表示(强调
i , j )
矩阵可简记为A m ?n 或A ={a ij }或A ={a ij }m ?n .
特殊矩阵:
方矩阵 若 m =n ,称A 为n (方)矩阵,也
而a 11, a 22, , a nn 称之为对角元素;(主角)。 当 m =n =1 时,即 A =(a 11), 此时矩阵
矩阵相等 若同
i =1, , m ; j =1, , n ,
零矩阵 所有素都为零的矩阵,称之为矩。一般记作O ; O m ?n . 注意,不同型的零矩阵是不相等
负矩阵 设 A ={a ij }m ?n ,称矩阵 -A ={-a ij } 为矩阵A 的负矩阵。
三角矩阵 设A ={a ij }是 n 阶矩阵。
1)若A 的
?i >j ,称A 是上三角
?a 11a 12
0a 22
A =
00? a 1n ?
?
a 2n ? ?
?
a nn ??
和
?a 110
a 21a 22A =
a
?n 1a n 20??
0? ?
?
a nn ??
。
对角矩阵 若元素
?i ≠j ;其形状是
?a 110
0a 22A =
00?0?
?
0?
, ? ?
a nn ??
记作 A =diag {a 11, a 22, , a nn }=diag {a ii }.
单位矩阵 对角元素为1的
?1
0E =
?00 0?
?
1 0?
?
?
0 1?
零矩阵和单位阵在矩阵运算中
矩阵基本运算:
加法运算设 A ={a ij } 和 B ={b ij } 是 m ?n 的矩阵,A 与B 的加法(或和),记作A+B,定义为一个m ?n
?a 11+b 11a 12+b 12
a 22+b 22 a +b
C ={c ij }=A +B = 2121
a +b
?m 1m 1a m 2+b m 2a 1n +b 1n ?
?
a 2n +b 2n ?
?
?
a mn +b mn ??
a 1n -b 1n ?
?
a 2n -b 2n ?
?
?
a mn -b mn ??
?a 11-b 11a 12-b 12
a 21-b 21a 22-b 22
矩阵的减法: A -B =A +(-B ) =
a -b
?m 1m 1a m 2-b m 2
由定义,容易验证矩阵加法满足下列运算法则(其A , B , C , O 为
(2) 结合律 (A +B ) +C =A +(B +C ) (3) A +O =A (4) A -A =O
数乘矩阵: 数λ与阵A ={a ij }m ?n 的乘积(称之为乘),作λA 或A λ,定义为一个m ?n 的
?λa 11λa 12
λa 22 λa
C ={c ij }=λA =A λ= 21
λa
?m 1λa m 2
λa 1n ?
?
λa 2n ?
。 ? ?
λa mn ??
由定义,数乘运算满足下列运算法则(设A , B , O 是同型矩阵,λ, μ是数): (1) 数对矩阵的分配
矩阵乘法: 设A ={a ij }是一个m ?s 矩阵,B ={b ij }是一个s ?n 矩阵,A B 的乘法,作AB ,定义
s
c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a is b sj =∑a ik b kj
k =1
(i =1, 2, , m ;
由定义,不
j =1, 2, , n ) .
(1) 只有在左矩A 的数和右矩阵B 的行数相等时,才能义法AB ; (2) 矩阵C=A B 行数是A 行数,列
的乘积之和。
注: 矩阵乘不满足交换律(
(i , j ) 位置上的元等于A 的第i
AB =BA 则称阵A
1)单位矩阵与任(同阶)矩阵可交,
3)一个矩与任何(同阶)矩阵可交换的
矩阵法也不满足消去律,但矩阵乘法
(3) 数乘结合律 λ(AB ) =(λA ) B =A (λB ) , 其中 λ 是一个
?a 11a 12
a 21a 22
A =
a
?m 1a m 2
?a 11a 21
a 22 a
A T = 12
a
?1n a 2n
T
a 1n ?
?
a 2n ? ?
?
a mn ?? a m 1?
?
a m 2?
?
?
a mn ??
,
将A 的行和对应互换得到的n ?m 矩阵,定
T
T
由定义可知,(A ) ij =(A ) ji ,即A 在位置的元素
2主要理论
一 定义 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵,
AB =BA =E
那么A 叫
注 若矩阵A 可,那么A
二 判定(以下列出的为充要条件,即可由这些定理判定阵A 是否为可逆矩阵):定1设矩阵A 为n 阶可矩阵, 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶
AB =BA =E .
定理2 设阵A 为n 阶, 则以下几个命
(2)矩阵A 的行列式A ≠0; (3)矩
(4)矩阵的A 伴矩阵A
证 (1)?(2) 因为矩阵A 可逆,
A *A *
(2)?(1)
A A
*
*
*
-1*
(3)?(2)因矩阵A 可逆, 以A *≠0, 且
A ≠0A ≠0一定有(否则假设),
1*-1**-1?*
, 由此可以推得矩
阵, 从而可得A 也为零矩阵, 则A *≠0. 这与A *≠0相矛盾, 所以A *≠0.
(3)?(4)和(4)?(3)(1)?(2)
定理3 矩阵A 可逆的充要条件是在n 阶矩阵B 使得AB =E (BA =E ). 证 (必要性) 矩阵A 可逆, 由定义可知在n 阶矩阵B
(充分性) 由AB =E 两边同时取行列式
定理4 矩A 可逆的充要条是矩阵A 为满
证 因为矩阵A 为秩矩阵等价于A *≠0, 而定理2知A ≠0又等于矩阵A 可逆, 因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可
-1
A *A *A *
=E =A ,
A A A
*
(2)?3因为AA *=A *A =A E , 所以AA *=A A *=A E =A , 又因为
*
A ≠0, 以A *≠0, (2)?(1)的过
定理5 矩阵A 可的充要条件是矩阵A 与矩阵E 等价(对阵A
证 (必要性) 因为矩可逆, 所以A ≠0. 由定理4, 又因为r (E )=n , 所以r (E )=r (E )=n , 即矩阵A 与单位矩阵E 是等
(充分性) 由矩A 与单位矩阵E 等
定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条以矩阵A 为系数矩阵
证 齐次线性方程组AX =B 的解唯一等价于A ≠0, 等价矩阵A 可逆. 定理7 阵A 可逆充要条件是以阵A 系数矩阵的齐次线性方AX =B 的解
定理8 矩阵A 可逆的要条件是矩
证 (必要性) 假设矩阵A
n
λ1E -A =-A =(-1)A , 所以A ≠0; , 由此可得矩阵A 不可逆这矩阵A 逆相矛盾, 以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不
λn (其中(λi ≠0, i =1, 2, , n ), 因(
为λ1λ2 λn =A , 而λ1λ2 λn ≠0, 所以A ≠0, 因此矩阵A 可逆.
三.性质:
-1
性质1 设矩阵A 为n 阶可
-1
A -1B =E , B -1=A ,
性质2 设矩A 为n 阶可逆
-1
1-1
A . K
证明 因为矩A 可逆,所以在
?1??1?
为k ≠0, 所
?k ??k ?
所以kA 可
且(A T )=(A -1).
-1
性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩
-1
T
1-11A =B . k k
-1T
性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩, 若矩阵A T 可
T T -1T -1
证明 因为矩
-1
证明 因为矩
A -1=
1-1
, 即A -1=A . A
性质5 设矩
证明 因为矩A 可逆, 所它逆矩阵A -1存
可得A -1AB =A -10=0, 又因为AA -1=E , 所以EB =0, 即B =0.
性质6 设矩
证明 因为矩阵A 可逆, 所以A -1存在, 因为使AB =AC 两边都左乘A -1
-1
性质7 若矩阵A 、B 均为可矩, 则矩阵AB
-1-1
证明 因为矩阵A 、B 为可矩阵, 所以它们的逆矩阵A 、B 存
-1-1-1-1-1-1
(AB )(B A ) =(AB ) B A =A (B B ) A =AA =E
所以(AB )
-1
(B
-1
A -1)=(B -1A -1)=E , 所以矩阵AB 可逆且(AB )=B -1A -1.
-1
A K 均为n 阶可逆矩阵, 则矩A 1A 2 A K
-1-1-1-1
(A 1A 2 A k )=A k A 2A 1
.
性质8 可逆阵A 乘方仍可逆
证明 可
m -1
-1m
四.求法:
方法1 定义法:设A 是域p 上的一个n 阶方阵,如果存在p 的n 阶阵B ,使得AB =BA =E ,则称A 是可的,又称B 为A 逆矩阵.
例1:设A n 阶矩阵,且
2A 2 - 3A + 5E = 0∴2A 2 - 3A = - 5E
23
∴ -A 2 - A =E
552323
∴A (-A - E) = -A - E = E
5555
23
∴A 可逆且 A-1= -A - E
55
方法 2 伴随矩阵法:A -1=
1*
A . A
定理n 阶阵A =αij 为可逆的充
?A 11 A 1
A -1= 12
A ?A 1n
A 21 A 22 A 2n
A n 1??
A n 2? ?
?
A nn ?
?A 11 A
其中A ij 是A 中素αij 的
?A 1n
的伴随矩阵,
记作A *,于是有A -1=
1*
A . A
A 21 A 22 A 2n
A n 1??
A n 2?
称为矩阵A ? ?
A nn ?
注 ①对于阶数较低(般不超过3阶)或元素的代数余子式于算的矩阵可用此法求其逆矩
?a 11
阵A =
?a 21
a 12??a 22-a 12?*
?,其伴随矩阵A = ?, 即矩阵具有“主对角元
互换,次对
?A B ?
②对于分块矩阵 ?不能按上
C D ??ij ?101?
?
例2:已知A = 210?,求A -1.
-32-5???
【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0
∴A 可
A 11= - 5, 1 2 A = 1= 7103, A A 21= 2, 2 2 A
A A 31= - 1, 3 2
= -2 32, A = 23, 3 A
= - 2= 1
?5
-
?-52-1? 2
1*1 ? -1
A = 10-22?= 5 A =A 2 ?
?7-21? 7
?21?-?2?
-11?
1?-1?
2?1
初等变换
→(E A -1) 方3 初等
注 : ①对于阶数较(n ≥3)的矩阵,采用初变换法求逆矩阵一般比伴随矩阵简便. 在上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变
?A ?初
→ -1?得A 的逆矩
?E ??A ?
③当逆矩
?A ?初等列
A B ????→E A B , ()() C ?????→ CA -1?
????
求得A -1B 和CA -1. 这
即求出了A -1B 或CA -1. 例3:求矩阵
?12-1?
?A = 310?
-10-2???
的逆矩阵。
?12-1100??12-1100?
? ?
310010→0-53-310(A , E )= ? ? -10-2001? 02-3101?????
1?10 5
3
→ 01- 5
9 00-
5?
?2 -9 2-1
即求的→A =
3 1 ?9
15351-5-491-32-9
22??
0? 100-59
? 12-0?→ 010
? 53? 21 1?001? 59??1?9??1-? 3??5?-?9?
491-32-9
1?9??1-? 3??5?-?9?
方法4 用分块矩阵求逆矩:设A 、B
?A -1?A C ?
?= O B ???O ?O ?O A ?
= -1 ?
B O ???A
-1-1
?A -1-A -1CB -1??A O ?
? ?= -1-1
B -1??D B ??-B DA B -1??O ?
-1
?A -1O ??A 0?
? ?= B -1??0B ??0
-1
0?
?B -1?
?
0052?
例4:已知A =
00
21?1 1-00?
?
,求A -.
2?1100??
【解】 将A 分块如下:
? 00 52?00 ?A = 21 ?A 1?
??O O ? 1-2 00?=
?
??A 2?11 00??
其中A ? 52??21?,?A ?1-2?1=2= ?11??
可求得A -11*?1-2?11=
A A 1?-25?,?A -12=A A *
1?12?1=2= 2
3?-11??
?
0012?
3?-11?
A
32?
1??A -1
1
0?=00-?
33? 1-200? ??-2500??
方法5 Caley -hamilton 定理求逆矩
f (λ)=λE -A =A n +a -11A n + +a n A +a n E =0 为A 的特征多项式,则:f (λ)=λE -A =A n +a n -11A + +a n A +a n E =0
于是-1a
(A n -1
+a -21A n + +a n -1E ) 因此
1a
(A n -1
+a 1A n -2+ +a n -1E ) ?2-例5:已知A = 24?
232?
?,求A -1.
?-11-1??
【解】 A 的特征多项
?-52-16?
1 ?-1
A 2-4A +7E )= 024? A =(10 5010?
??
方法6
?t 11t 12
0t 22
?00
t n -1 0
t 2n -1
t n ??t 2n ?
可逆, ??t nn ?
t -1αn ?
?t 22-1α2n ?
? ?t nn -1??
?t 11-1t 11-1α12
0t 22-1 那么
t 11-1αn -1 t 22α2n -1
1
?αii +1=-t i -
+1i +1?t ii +1(i =1, 2, , n -1)?
其中? -1
αij +1=-t jj -1t ij -∑αkj t ik t kk i =1, 2 , n -2; j =3, 4, , n )(?i
?13
0-1
例6:求
00
?0012?
?13?
的逆矩阵. ?25?02?
【解】 由定理知:
-1
α12=-t 22?t 12=3
1
2
1-1-1
α13=-t 33t 13-α23t 12?t 22=-2
-1α23=-t 33t 23=--1α34=-t 44t 34=-
5
2
14
12
1-1
α24=-t 44t 24-α34t 23?t 33=-
1-1-1α14=-t 44t 14-(α24t 12t 22+α34t 13t 33)=-
1??
13-2- 2? ?
11 0-1?
24?-1
A = ?
15 00-?
24? 1? 000??2?
3 结束语
本文于可逆矩阵的判定本文出了相应的判方法,从整体上把握了可逆矩阵本身的性质,思路清,而详细介了可逆矩阵若干求法并且每种求法都配以相应例题,尽管如此,逆矩阵的求法还有很多,于本文篇幅及人水平有限,在本文里不能一一列举。最后,衷心希望本文对大家用所
参考文献:
(1)高等代数(第三版)王萼芳、石明 高等教育出版社 2003年7月 (2)性代(数学专业用)李尚志编著 高等育出版社 2008年4月 (3)等代数 (第版)张禾瑞 郝鈵新 高等教育出版社 2007
矩阵乘法和可逆矩阵
矩阵乘法
1. 矩阵
定义2.1 当矩阵A的列数和B行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A第i个行向和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之
设 a a ? a b b ? b c c ? c 11121n11121s11121s
A= a a ? a B= b b ? bC=AB=c c ? c 21222n 21222s 21222s
? ? ? ? ? ? ? ? ?
a a ? a, b b ? b, c c ? c, m1m2 mn n1n2 ns m1m2 ms 则c=ab+ab+ ?+ab. iji11ji22jinnj
矩阵的乘法在规
? 矩阵乘法条件.? 矩阵
由AB=0推
由AB=AC和A,0推不出B=C.(无左消去律)
由BA=CA和A,0
请注意不要犯种常见的错误:数的乘法的性质
矩阵乘法适
? 加乘分配
? 数乘性质 (cA)B=c(AB).
? 结合律 ()=(). ABC ABC
T T T? (AB)=BA.
2. 乘积矩阵
设A是m,n矩阵B是n,s矩. A的列向量组为,, ,,? ,,,B的向量组为12n,,? ,,的向量组为,,? ,,则根据矩乘法的定
? AB的
即A(,, ,,? ,,)= (A,,A,,? ,A,). 12s12s
T? ,=(b,b, ?,b),
T应用这两个质可以得到:如
,=A,= b,+b,+ ?+b,. iI1i12i2nin
即:乘积矩阵AB的第i个列向量,是A的列向量,, ,,? ,,的线组合,
类似地, 乘积矩AB的第i个行向量B的行向量组的线组合,
请注意,以上规律在般教材都没有强调,但对矩阵乘法稍加分就不难
(1) 当两个矩阵,有一个的数字很简单时,接利用以上规律写乘积矩
(2) 利用以上规容易得到
用对角矩阵,从左侧乘一个矩,相当于用,的对角线上的各元素次乘矩阵的各行向量; 用对角阵,从右侧一个矩阵,相于用,对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向
数量矩阵kE一个矩阵相当于k乘此矩阵;单位
两个同阶对角矩阵的相只用把对角
(3) 矩阵分解:当一个阵C的每个列向量都是另一个A的列量的线性组合时,可以构造一矩阵B,使
例如设A=(,,,,,), C=(,+2,-,,3,-,+,,,+2,),令
1 3 -1
B= 2 -1 1 ,则C=AB.
-1 1 2
3. n阶
任何两个n阶矩阵和都可相乘,乘积
(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.
(2)如果AB=BA,则
k 0 (3)方幂 设k是正数, n阶矩阵A的k次
显然的任两个方幂都是交换的,并且
k h k+h kh kh? AA= A. ? (A)= A.
k k k但是一般
求对角矩阵的方幂只需对角线上的
(3) n阶矩
mm-1设f(x)=ax+ax+?+ax+a,
m m-1 f(A)=aA+aA+?+ aA+aE. mm-110
称为A的一个多项式.特别注意在
一般地,由于交换性的障碍,数的多项式的因式分解和乘法公对n阶矩阵的多项式不再成.但是如公式中所出现n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.
当和可交
222(,)=,2+; ABAABB
22A-B=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).
,(A,B),CAB等. 二
前面两式成立还是和交换的
同一个n阶阵的两个多项式
4. 矩阵方和可逆
(1) 矩阵方程
矩阵不能规除法,乘法的运算是解下面
(I) AX=B. (II) XA=B.
这里假定A是行列不为0的n阶矩阵,在条下,这两个方程解都是
当B有一列时,(I)就是一线性方程组.由莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(,, ,,? ,,),则 X也该有s列,记X=(,, ,,?,,),则有A,=,,i=1,2, ?,s,这12s12siis个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯
这些方程组系数矩都是,可
(I)的解法:
将A和B并列作阵(A|B),
(A|B),(E|X)
TTTT.(II)的解法:对两边转置(I)的形式:=.再用
TTT (A|B),(E|X)
矩阵方程是历年考题常见的题型,但是考试真题并不直接写成(I)
(2) 可
定义 设A是n阶矩阵,如果存在n
-1此时B是唯一的,称为A的逆
如果A可逆,
AB=0,B=0;AB=AC,B=C.(左消去律); BA=0,B=0;BA=CA,B=C. (右消去) 如果可逆,则在乘法
-1-1 =,=. =,=. ABCBACBACBCA
由此得到基本矩
-1-1(I) AX=B的解X=AB . (II) XA=B的解X= BA.
这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初换法大(多了一次阵乘积
定理 n阶矩
-1-1-1-1证明 “,”对AA=E两边行列式,得|A||A|=0,从而|A|,0. (并|A|=|A|.) “,”因
推论 如果A和B 都n阶矩阵,
于是只要AB=E(或BA=E)一式,则A和B都可逆并且
? 如果A可逆,则
-1-1-1A可逆,并
TT-1-1TA也
-1-1-1当c,0时, cA也可逆,并且(cA)=cA.
kk-1-1k对任何正整k,也可逆,
-kk-1-1k(规定可逆阵A的负整数次
-1-1-1? 如果A和B都可逆,
积的情形.)
(4) 逆矩
? 初等变换法
-1-1当A逆时, A是矩方程AX=E的
-1(A|E),(E|A)
这个方法称为求矩阵的初等变换.它比下面介绍的伴随
若A是n阶矩阵,记A是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 ij
AA ? A 11 21n1
T A*= A A ? A=(A). 1222n2 ij
? ? ?
A A ? A 1n2n mn
-1规定n阶矩的伴随矩阵并没有求
基本公式: AA*=A*A=|A|E.
于是对于
-1-1A=A*/|A|,
-1因此可过求*来计.这就是求逆
和初等变换法较, 伴随矩阵计算量要大得多,
对于2阶矩阵
a b * d -b
c d = -c a ,
因此当ad-bc,0时,
-1 a b d -b
c d = -c a (ad-bc) .
伴随矩阵
-1-1? 如A是可逆矩阵,
n-1TTn-1 |?A*|=|A|. ? (A)*=(A*). ? (cA)*=cA*.
kk? ()*=**;()*=(*). ABBAAA
n-2? 当n>2
n=2
矩阵可逆性总结
矩阵的可逆性
摘要:本文通过由矩的除法引出
矩阵的定义,性,算法及其判定法等,之后对可逆矩
关键词:可逆矩阵;伴矩阵;三角
一、逆矩阵的定义:
因为数的a÷b是:已知两数的乘积b及其一个因数a求另外个因数x,也就是解方程ax=b。只要能求出除数a的数a?1使aa?1=1,则除法b÷a可以转化为乘法b×a?1。们联到矩阵的运算上,对矩阵A, B,用B“除以”A也就要求一矩阵X使AX=B。在前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律,还应考虑求另一矩阵Y满YA=B。如能到一个A?1满足条件A?1A=I,在矩阵方程AX=B两边左乘A?1就得到A?1AX=A?1B而X=A?1B。如这个A?1还满足条件AA?1=I,则A(A?1B)=B,X=A?1B就是AX=B的唯一解。
所以给逆矩阵下一个定:对于矩阵A,如果存在矩阵B满条件AB=且BA=I(表示单位
二、矩阵
1、A可逆??B∈F,使得AB=I;(定) 2、若A可逆,则A是
4、n级矩阵A可逆?矩A的秩为n,即r(A)=n; 5、n级矩阵A可逆?A的行向量线性无关; 6、n级矩阵A可逆?A的列向量组线性无
7、n级矩阵A可逆?A可以表示成一列初等矩阵的乘积; 8、n级矩阵A可?A可经过系列初等行变换化为I; 9、n级矩A可逆?A可经过一系列初等列变化为I; 10、n级矩阵A可逆?齐次线性方程组Ax=0只有唯一
三、逆矩阵的性质:
1、 逆的唯一性: 如A可逆,
证明: B,B1都
B AB =B(AB1)? BA B= BA B1?IB=IB1?B=B1. 这就证明了A的逆的唯一性。
由A所满足的条件AA?1=I,A?1A=I知道: 引理 A
2、 n阶方阵A,B可→它们的乘积可逆,且 AB ?1=B?1A?1. 一地,如果A1,A2,?,Ak可逆→则它们的乘积A1A2?AK可
?1?1
(A1A2?Ak)?1=A?1k?A2A1.
交换律对矩阵乘不成立,因此AB?A?1B?1不一定等于单
AB?B?1A?1=AIA?1=I,B?1A?1?AB=B?1IB?1=I 当AB≠BA也成立,因此(AB)?1=B?1A?1. 3、 0≠k∈F,A可
5、 设m方阵A与n方阵B可逆,
?1
?1A=
B
可逆,且
.
BB?1
6、 设A可逆,
7、 在这里我
a11a12a1n
?a2na21a22
设Aij是
an1an2?annA11A
A?= 12
?A1n
A21A22?A2n
???
An1An2
称为A的伴
???
1
d0
由行列式按行(列)展开公式立即得
??00dE, (1)其中d= A .
1
1
00 =?d
如果d= A ≠0,那么由(1)得A dA? = dA? A=I.则,A与 dA? 互为
可逆矩阵。
8、 A是一个s×n矩阵,如果P是s×s逆矩阵,Q是n×n可逆
9、A可逆?A的逆A-1也
)
-1
=(A-1)
k
,记为A-k.
四、逆矩阵的求法:
1、初等变换法
1)初等行变换
设A可逆,故存在初等阵E1,E2,?,Ek
因此,如果用一系列初等行变将A化为I,则用同样的初等行变换就I化A?1,这就给我们提供了一计算A?1有效方法:若
A,I → I,A?1 (初等行变换)
?012例如:求A= ? 114?
?的逆矩阵。
?2-10??
解:
? 012100??4010??0
1
0??1 114010??→
11
012100?100? ?→
114
012
?→
1?2-10001?? ?
2-10000?? ?0? 01-3-8
0-21? ?00?114010??1106-32?02-11?→ 0104-21??→ 0104-21??10
?→
01
04-21?
??00-23-21?? ?00-23-21?? ?00
-23-21??
?
1002-1
1??→ 0104-21? ?
001-
321
-1?2??
? 2
-11??所以A-1
= 4-21? 3?-2
1
-1? 2??
2)列初等变换
401210-23-20
1
IA
同上,对矩 ,可对其进初等列变换,化
CI
?11?
例如:求A= 12??的逆矩阵。
??
?1
1解:
1 0?1??10??10?? ? ?2? 11? 01??2-1?-1
? 所以A= → → ? ???-1101-12-1??? ? ?
? ?1???01??-11?
3)行、列初等变换
对矩阵
AI
II 进行行
C
,即可求
(B、C并不唯一)
2、伴随矩阵法
根据上述伴随矩阵的定,我们可知,当 A ≠0,A?1= A A?,其A?的
3、恒等变形法
有些计算问题表面上与求逆矩无关,但实质上只有通过求出有关矩阵逆阵才能算出来。而这个逆矩阵求出常须对给矩阵等式恒变形,且
例:已知A6=I,试求A11,其中A=
√3 2
?√3 2
. 12
1
解:对矩阵式恒等变形得
故,A11=A?1,而A又为
1 2√3 2
.
?√3212
4、分块法求逆矩阵
1)用分块
若A1,A2,?,As均可逆方阵(级
A1?00?A1
A= ??? 和B= ??? ,均可逆,且
0?AsAs?0
A1?1?00?1?1A= ??? ,B= ?
0?As?1As?1
2)用分块
???
A1?1
? . 0A1A3
可逆,并
例:设A1,A4分为m,n
证:为A1,A4可逆,所以 A1 ≠0, A4 ≠0,故根据拉普拉斯定 A = A1 A4 ≠0,即A可逆。A为分块下三角,则其逆仍为下三阵,且其主角线上得分块矩阵为A的主对角线上相应分块矩阵的
?1A10?1
故可设A= 1 , XA?4
?1
0Em0A0A1
于是有 1 = , 1A3A40EXA?n4
1?1
将上式两端乘开,比
?1
A1
= ?1?1
?A4A3A1
1 。 A?4
5、利用哈密
哈密——凯莱(Hamilton--Caylay)定理:对于n级方阵A特征项f λ = A?λI =C0+C1λ+??+Cnλn而言,A
例:若A= 210 ,利用哈密顿——凯莱定理求A?1。
?1101?λ1
解:由f λ = A?λI = 21?λ
1 1
?1
0 =?3+2λ+2λ2?λ3又由哈密?λ
1
顿——凯莱定理有?3I+2A+2A2?A3=0,即3A 2I+2A?A2 =I,则A?1=3 2I+2A?A2 =3I+3A+3A2=10 013
00
2
1
2
2
1
011?111?101?12110 +3 210 ?3 210 =3 012 . 11?101?10?321
利用哈密顿——
设n方阵A的特征为f λ = A?λI =C0+C1λ+??+Cnλn,令λ=0,得 A =0,可见A
1
可见,A?1=?C C1I+C2A+?+CnAn?1 .
1
五、逆矩阵的应用
1、用在密码破
先在26个英文字母数字间建立一一对应的关,
若要发出信“SEND MONEY”,使
19,5,14,4,13,15,14,5,25,其中5
矩阵码法是信息编码与解码技巧,其中的种是基于利用可逆矩阵的方法,我们利用矩阵乘法对“明”SEND MONEY进行加密,让其变成“密文”后再行传送,以增加法用户破译的难度,而合法用户轻松密。 如果一个矩阵A的元素均为整数,而且其行列式A,那
-1
A*
=A
即知,A-1 元素均为整数,我以利用这样的A来对
?121? ?
现在取A= 253? 明文SEND MONEY对应的9个数值按3列排成以下矩
232????19414??121??19414??434549? ? ? ? ?
阵:B= 5135? AB= 253? 5135?= 105118128?
232? 141525? 817793? 141525?
????????
对应着将发出去的密文码:43、105、81、45、118、77、49、128、93 现在用A-1去左乘上述矩阵即可解密得到明
?434549??1-11??19414?
? ? ?-1
10511812820-15135A ?= ?= ? 817793? -41 ?1??????141525?
为了构造“钥矩阵”A,们可以从单位
初等行变换,而且只用某行整数倍加到另一行,当然,第一初行变换也能用,这样得到矩阵A,元素均为整数,而且由A=±1可知,A-1的元素必然均为
2、乘车路线问题
每两个城市之间若有一条经过其他大城市的路,则在这两城代表的点之间连一条线,设中国的
第i个大
(1)如下建立一个n?n矩阵A=(aij)n?n,如果vi和vj有一边,即第i个城市到第j个城市一条不经过他城市的路,则aij=1;
(2)先求从第i城市第j城市
由于果从第i城市到第k城市有一长为1的路,从k城市到第j城市有一条长为1路,决定了一条从第i城市到第j城市有条长为2的路. 故第i城市到第j
k=1n
恰是上面建立的矩阵A的平方中的第i行j列的素。结论:A中第i行j列的元为第i个城市到第第j城市的长度为2的路的条
2
六、可逆矩阵
在许实际问题中我们遇到的矩阵A往是任意的m×n矩阵(一般m≠n),然存在常的逆矩阵A?1,这就促使人们想象能否推广逆概念,引进某种具普通逆矩
设给定A∈Fn×m,未知矩阵X= xij ∈Fn×m其中xij,1≤i≤n,1≤j≤m是未知的。考虑矩阵方程AXA=A的
1、定义:阵方程AXA=A的解X称为
任意矩阵A的义逆A?1总是存
2、广义逆的性质
1)、矩阵方程AXA=A恒有解.即任矩阵A的广义逆A-总是存在的。 2)、唯性:一般来,矩阵A的广义逆A-并不唯一 。 3)、矩阵A具有一广义逆A-的充要件是矩阵A可逆方阵。 3、广义逆的秩:设rank(A)=r,
?Ir
A=P 0
?0??Q, ?0?m?n
其中P,Q别是m阶和n阶逆矩阵,并且
?IrB?-1
X=A-=Q-1 ?P, CD?
??n?m
又:其中B∈Fr?(m-r),C∈F(n-r)?r,D∈F(n-r)?(m-r)是任意的。 所以:rankA-≥rankA.
而且对任意正数k,r≤k≤min{m,n},总
(n-r)?r矩阵,并取D为
广义逆A-的
4、矩阵义的应用 1)、非其次线性程的相容性定理:证明方程Ax=β有解的分必条件是β=AA?1β,其中A是m×n矩阵,β是m×1矩阵,x是n×1未知,A?1是A的广义。 2)、非其线性方程组解的构定理:设方程Ax=β有。则它的通解为x=A?1β+(I n ?A?1A)z,其中A?1是矩阵A的某个定的广义逆,而z是任n×1矩阵。 3)、齐次线性方程组解的结构定理:程Ax=0有解,而且它的通为x=(I n ?A?1A)z,其中A?1是矩阵A的某个取定的广义逆,而z是任意n×1矩阵。 证明 这是例1和例2
本篇小论文中主要介绍了矩阵逆的义,性质,判断方法,求解方法,应用推广广义逆,从而使大家对可逆矩阵有系统的、更面的了解。还介绍有关逆矩,广义逆的一些应用,让大家对逆矩阵的更好的
参考文献:
1、炯生,查建国,王新茂;《线性代第2版》;中国科技技术大学出版社;20101
可逆矩阵的求法
学院:数计学院 班级:10级1班 姓名:任莎莎(1008020127) 彭莎(1008020143)
可逆矩阵的求法
??摘要??:我们在书本上学了用初等变换法
将再介绍3种求逆阵的方法:(1)二阶的公式求逆法(2)利用
目录:
1、 矩入???????????????????(2) 2、 矩阵的定义???????????????????(2) 3、 可矩阵的定义 ????????????????(2) 4、 可逆阵的性质 ????????????????(3) 5、 可逆矩的求法 ????????????????(3) (1) 伴随矩阵法 ?????????????????(3) (2) 二阶矩阵的公式求逆法 ???????????(4) (3)
一、矩阵的引入
在解析几何考虑坐标变换时,如果只考虑坐
那么平面直
?x?x1cos??y1sin?,
(1) ?
y?xsin??ycos?.11?
其中?为x轴与x1轴的角。显然新旧坐标之间的关系,完可以通过公式中系数所
s?co?
?
??sin
? (2)
co?s?
s?in?
表示出来。通,数表(2)
点不动的仿射坐
?a11?
?a21
?a?31
a13z?x?a11x1?a12y?1
?
a2 3 z 1 ?y?a21x1?a22y?1
?z?ax?ay?az
311321331?
(3)
a12a22a32
a13?
a23? (4) a33??
?
称为坐标变
二、矩阵的定义
由数域F上的sn个数aij(i?1,2,?,s;j?1,2,?,n)排成的s行(横的)n
?a11?
列(纵的)数表??
?a?s1
???
a1n?
??称为数F上的一个sn列矩阵,简
?
三、可逆矩阵的定义
对于n阶矩A,若存在n阶
(或非奇异矩阵),
四、可逆矩阵的性质
1)若A可,则A的逆矩
2)若A,B均可逆,则AB
?1
?B?1A?1。
3)若A可逆,
?1
。
5)若A可逆,则(kA)?1?k?1A?1。 6)若A可逆,则(A?)?1?
1AA。
五、可逆矩阵的求法
(1)伴
?a11??
定义:设Aij是矩阵A????
?a
?n1??A11?A????
?A?1n
a1n?
??中元素aij代数余子
?
???
An1?
??称为A的伴随矩阵。
Ann??
?
?
?
由行列式依行(列)开公式可
????
A0?0
0A?0
???
0?
0?
?AI。??
?
?A??
若A可逆,则A?0,于是A(例 1 设
?1?
A??2
?3?
1A
A?)?(
1A
A?)A?I,所以A?1?
1A
A?。
224
3?
?11?,判定A是否可逆,若可逆,求A。
?
?3?
解:因为A?2?0,所以A可逆,又A11?2,A12??3,A13?2,A21?6,A22??6,
?2
1?1??A???3A2?
?2
6?62
?4?5?= ?2??
?
A23?2,A31??4,A32?5,A33??2,所以A
?1
?1?
3???2?1?
3?31
?2??5?2??1??
。
(2)二阶
设
?d?A???c???A
?aA??
?c
b??d?
(其中
a?d0?即b,c
)?0,A则
?
A
?1
b?
A?d??1?
?
a?A??c
?A?
?b??, a?
这个公式的推到思想是从A?1A?I这个重要结论出发,构造个阵B,去左乘A使其等于单矩阵A,若AB=I那A?1?B。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆
(3)初等变换法:
这是一种最常用的方法,为了看出如何用初等变换法求矩,先证一个引理:可矩阵的行化阶梯形矩阵一定是单位矩阵,换句话说,可逆矩阵可
等行变换?1
过一系列初变换化成单位
?A?初等
例2
?0
?
求A??1
?2?
11?1
2??
4的逆矩阵。 ?0??11?1
240
100
010
0??1
??1,2??0????0????21??
010
22?2
11?1?113420
01010?2
100
0?
??3?1(?2)?0????? ?1??
?0
?
解:因为(A,I)??1
?2??1?0??0?
11?3
42?8
010
10?2
0??1??3?2(3)?,?1?2(?1)??0???????0????01??0?
??2?3(1)?,?1?3(1)?
0?????? ?1??
?1?0??0?
010
00?2
243
?1?2?2
1??1?1??
?
?11??3(?)??2????????0
??0?????。 ???
010
001
24?32
?1?21
11?12
???????
所以A?1
??2???4?3???2
?1?21
11?12
(4) 利用
若n阶阵A可逆,则A?1A?I,是A?1的第j是性方程组的AX??j的解,j?1,2,?,n因我们可以去解性方组AX??,中??(b1,b2,?,bn)T,然后把所得的解的公共式b1,b2,?,bn分别1,0,…0;0,1,…0;0,…,0,1代替,可求的A?1的第1,2,…n列。这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微
(5) 分块求逆法
当一个可逆矩阵的级数较大,即使用初等变换法求它的逆矩然算量较大,如果把该矩阵块,再对块矩阵求逆矩则可减少计算量,用分块求逆法解题的具体步
①根据所给矩
?A11?A21
A12?
? A22?
②选择适当
?A??0
0??B?
?1
?A???0
?1
?A1
0??
,?1??B??
?
?
???As??
?1
?A1?1
?????
?
???A?,??0?1
As??
C?
?B?
?1
?A?1???0
?ACB
B
?1
?1?1
???
,
?A??0
C??B?
?1
?1
?A???1?1
??BCA
0??0
,?1??B??BA??C?
?1
?B?1CA?1???1
?A
B
??0?,?0??B
?1
A??0?
?1
?0???1
?A
B
??,0?
?1
?A?1
A?1
?1????s
?
A??1
B
?1
???
?????
??
,?C????0?A?s
?
?A?1?1
??B0??
A?A?1CB?1?
。 ?
??1
?
?5200??例3
设4阶方
????001?2?试求A?1。 ?0
1
1??
解:设A2??1?2?0?1??5?
?21?,A?2???1
1?,则A=?A1
A?是分块
??1???0?2???2?1
?200??12????2500???A?1
???02?2
??33?1?故A?1。??01??33? ??133??
??01???
?13
3??
【参考文献】
?1?初等变换的系与可逆
?2?高等代数题解精——钱吉林 ?3?高等代数(第二)——德余 ?4?高等代数习题解——杨
?2?
5? ?