教学难点

理解三角形面积公式的推

教学过程

一、复习铺垫．

（一）教师提问：我们学过了哪些平面图形的面积？计算些图形面的公式是

教师：今天我们一起研究“三角形的

（二）共同回忆平行四边形面积的计公式

二、指导探索

（一）数方格面积．

1．用数方格的方法求出第69页三个三角形的面．（小内分工

2．演示课件：拼

3．评价一下以上用“数方格”方求出

（二）推导三角形面积计

1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角，并比它们的

2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角转化成已

算面积呢？

3．用两个完全一样的直角三

（1）教师参与学生拼摆，个

（2）演示课件：拼

（3）讨论

①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形（第三拼法）帮助我们

三角形面积公式吗？

②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的积与拼的平行

的面积有什么关系？

4．用两个完全一样的锐角三

（1）组织学生利用手里的学具试．（

（2）演示课件：拼摆图形（出旋

教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四形的面有什么

5．用两个完全一样的钝角三

（1）由学生独立

（2）演示课件：拼

6．讨论：

（1）两个完全相同的三角形都可转化

（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边的面

（3）三角形面积的计算公式

（4）如果用S 表示三角形面，用a 和h 表示三角形的底和高，那么角形面积的算公式可以写

（三）教学例1．

例1．一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米．这个三角形的积是多少平

1．由学生独立

2．订正答案（教师

5.6×4÷2＝11.2（

答：这个三角形的面积是11.2

三、质疑调节

（一）总结这一节课的收获，并出自

（二）教师提问：

（1）要求三角形面积需要知道两个

（2）求三角形面积为什么要

（3）把三角形转化成已学过的图形，还有

（演示课件：三角形

四、反馈练习

（一）下面平行四边形的面积是12平方厘米，求斜线的角形的

（二）计算下面每个三角形

1．底是4.2米，高

2．底是3分米，高是1.3分米；

3．底是1.8米，高是.1.2米；

五、板书设计

《三角形的面积计算公式》教学设计

《三角形的面积》

王雪

教学目标

1、使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能正确地计三角形的

2、使学生通过操作和对图的观察、比较、发展空间念。使学生道转化的思考方在研究三角形的面积时的运用，培养学生分析、综合、抽象、概括运用转化方法解决实际题

3、在探索学习过程中，培养学生实践能、探索意识、合作精神与创新精神；时使他们获得极、成功的情

教学重点和难点

1、掌握三角形面积的计算公式，会运用公计算

2、理解三角形面积计算公式的

教学过程

一、创设情境，导

1、同学们，上一节我们学习了平行四边面积的计你还能记住求平行四边形面积的公式吗？（S=a×b ）那么，个公式是怎样推导

2、同学们，请大家自己看看胸前的巾，知道红领巾是什么形状的吗？（角形）如果叫你们一条红领巾，你知道多大的布吗？（求三角形面积）。要想知道这条红领巾的面时多少，就用到三角形的面积公，今天这节课我们就来研究三角形积的

板书：三角形的面积

二、讲授新课

1、上节课，我们在研究平边形的面积公式时，是把平四边形转化我们学过的方法形正方形来研究的。今天，我们能不能将三角也转化成我们已经学过的形，从而推导出三角形的积

2、提问：请同学们回想一下，三角形按角分类以分为类？分

（锐角三角形、直角三角形、钝

3、我为大家准备了这些三角形，请你们自己试图去一拼，你能发现

4、拼图推导公式，按三角形类别的不同，可以有

（1）两个完全一样的锐

提问：两个完全一样的锐角三角形能拼成了什图形？发现了

两个完全一样的锐角三角形拼成一平行四边形，平行四边形的底相当三角形的底，平四边形的高相当三形的高，平行四边形的面积相当于三角形面积的2倍，因为平行四边形的面积等于底以高，所以三角形的面积等于底以

老师把图形贴在黑板上，再请说推

平行四边形的面积= 底 × 高

三角形的面积= 底 × 高÷2

（2）两个完全一样的钝

两个完全一样的钝角三角形拼一个

（3）两个完全一样的直

两个完全一样的直角三角形拼一

5、小结：我们用两个完全一样的三形，拼成了平行四边形或长方形，利平行四边形或长形的面积公式，推导三角形的面积公式。如果用字母a 表示三角形的底，h 表示三角形高，s 表示三角的面积，你能用字母表示出三角形面

板书：s=ah÷2

三、巩固练习

1、自主练习第1、2题。

2．判断。

（1）三角形的面积是平行四边形的面积

（2）两个完全一样的三角形可以拼成一个平

（3）一个三角形的底为4米，高为3厘米，那么面积为3×4＝12平方

（4）两个三角形的高相等，它们的面

3、完成自主练习第6题。

四、课堂小结

提问：这节课我们探索了那些知识？学到

这节课我们主要通过用两个完全一样的三角，拼成了平行四边形或长方形，利用平行边形或长方形的面积式，推导出了三角形的式。从而得到三角形的面积等于底乘以高除以2。 这种“转化”数学方法是数研究的重要手段，相信学们今后能应用这一数学方法探究和解决多

五、布置作业

完成自主练习中的其

三角形面积计算公式的推导

三角形面积计算公式

天津市北辰区普育

李广鹏

三角形面积计算公式

一、教学内容

人教版五年级上册第五单元三形

二、 教学目标

1(知识与技能方

让学生通过剪拼、平移、转等方法，探索并掌握三形的面积计公式，能正确用面积公式进行三角形面积计算，加深生对三角形与平行四边面积公式之间内在联的

2(过程与方法方

使学生经历操作、观、填表、讨论、分析、归纳等学活动过程，体会等积变形、转化等数学思想法，发展空间观，发展初步的推理

3(情感态度价值观方

让学生在操作、思考的过程中，提高对“空间与图形”内容学习兴趣，逐形成积极的数学感，培养学生严谨的科学态度。通过学习数学史，激发学生热爱祖国、爱数学之情。 三、教学重

重点:掌握三角形面积的计算公式，能解有关生活中的实际问题。 难点:解三角形面积算公式的推导

四、教具、学具准

多媒体课件、三角形纸片若干、剪刀。

五、教学过程

一、情境导入，揭示

师:在我们美丽的校园，有块平行四边形的空，它的面积样计算的,(件出示校园图，根据学生回答，老师出平行四边形并板书:平行四边形的面积=

师:你还记得平行四形面积的计算方法样推导的,(生:是通过把平行四边形转化成长方形导出来的;老师

[设计意图:在课的开始，先让回忆平行四边形面积的计算方法，使学生复习旧，为探究三角形面计算打下基础，使学生在后面的探究中很容易想到用像研究平行四边形面积计算法一样来探讨三角形的面积的算

师:现在园丁叔叔要它沿着对角线斜着平成2块，块种菊花，一块种牵牛花，请看，每块花地是么形的,(课件示分法:分出2个

师:每块花地的面积多少，该如何计算,家想知道,(生:想)好，咱们就一起来研究三角形的积计算方法。(老出示课题:三角形

[设计意图:通过园丁叔叔分花地，学生在观察的基础上与平行四边形及面积的比较，直觉感三角形面积计算规，增强了整体意识，同时为下的进一步探究，诱发了心理动机;学生身边的具体事物——校园花地为媒介，引出要探讨的问题:三角形的面积怎样计算，不仅置了悬念，同时还让生感受到生活中处处都有数学问，可以激发学生的探知欲望，从而将“教”的目转学生“学”

二、操作“转化”，推

1、寻找思路

师:我们能不能也学学推导行四边形面积的方法，把三角形也化成已学过图形来推

师:想一想，将三角形转化成学过的图形, [设计意图:学生由于有行四边形面积公式推导经验，必然会产:能不能把三角形也转化成已学过的图形来求它的面积呢,从让学生自己到新旧知识间的联，使旧知识成为新知识的铺垫。] 2、

(1)提出操作和探究

师:请小组合作拿出准备好学具袋(装着三角形的信封)，在里面择你认为合适的角形拼一拼，说说你发现什么，并根据你们结论，一起合作填好下(每个小组1张表，并投出

实 验 记 录 表

讨论探索:三角形与拼成的图之

A、两个完全一样的( )三角形拼成一个( );

B、三角形的底与拼成的( )形的底

( ) ;

C、三角形的高与拼成的( )形的

D、原来三角形的面积等于拼成的( )

(2)学生以小组为单位进行作

教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并对性地进指导学困

[设计意图:这里，根据学生“学”的需要设计了一个合作学习的程，让学生分组实，合作学习，为学设了一个自己解疑释惑的机会。不仅使学生找到了新知识的连接点与转化方式，而且学生正确掌握操作方法，形成作

(3)展示学生的剪拼过程，交

师:哪个小组想来展示、汇报们

让小组组长汇报。(学生一边拿角形在黑板演示，一边根据所填的表格，演示完毕把品贴在黑板

生:两个完全一样的锐角三角形成一个平行四边形，三角形的底拼成的平行四形的底一样，三的高与拼成的平行四边形的高相等，原来三角形的积等于拼成的平行四边形面积一半。 学生可能会出现以几

组1用两个完全一样的锐角三角形拼成个平

当第一组的学生说到用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的时候，老追问:我发现你们择了2个完全一样的三，可我留意到你们还有其它三角形的，你们为啥不选用呀,(只学生回答得关键所在——2个不一的三角形拼不成我们学过的图形，老都

组2用两个完全一样的直角三角形拼成一个平行四形、长形或者正

组3用两个完全一样的钝三角形拼成一个平行四形。 每一汇报完课件演示:用旋转平移的方法将三角形转化成各已学过的图形。(两锐三角形) (两钝三

(两直角三角形) (两腰直

根据学生的回答和课件的演示得出:两个完一样的三角形能拼成一个平行四边形，角形的底和高分与平行四边形的

等，三角形的面积是平行四边形面积的一。 [设计意图:在大量感知的基础上，通自主学习，再通过件的演示使同学们更具、晰地弄清了将两个完全一样的三角形转化成平行四边形后，它们间底有什么关系。同时又渗透了转化的数思想方法，突破了教学难点，提高了课教

3(归纳公式

师:你能根据我们的结推导出三角形的面计算方法,请把你的推导填在书上84页的这里。(投影示书上的横线空位) 学生填完后，投

师:说说你推导的理由是什么,(如学生不能把关键问题回出来，应当给予引

让三、四位同学分别胆地推导说理，接着同学们价自己的猜测和证明。老师根据学生的汇报，结三角形面积公的推导过程，并完

因为 : 两个完全一样的三角形可以成一个

平行四边形的面积 = 底 × 高

所以 : 一个三形的面积 = 底 × 高 ? 2 师:如果用S表三角形的面积，用α和h分别表示三形的底和高，那么你能字母写出三角形的面公

结合学生回答，教师板书:S=ah?2

[设计意图:由图形直观应用，进行观察，推理，加深对三角形的面积计算公式的理解。当将三角转化成已学过的平行四形，找出它们间的关系，使感知了三角形面积的计算后，思考:三角形面积的计算公式是怎样的,从而启学生依靠自己的维去抽象出事物的本质属，得出计算公式，培养学生的抽象概括能力。] 4、

师:(课件出示引入图)现在你会解决丁叔叔

学生列式计算，反馈、

三、解决问题，体现数

1(解决问题,学习

(屏幕显示)出示85页

学生独立完成，集体

师:你认为计算三角形的面积，什么地方容易出错,(强“?2”一关键环

2、数学常识，阅读

师:其实早在2000年前，我国伟大劳动人就开始会用这个公式来计算三角形土地的积了。请同学们后把85页的“

读一读。

3(实践运用,P86

要在公路中间的一块三角形空(见下图)上种草坪。1?草坪的价格是12元。种这草坪需要多

学生独立完成，然后汇报、

四、联系生活，综合运用，适

1、选择:请选出正确的式子计算下面三角形的面积 ( )

A.6×4 B.4×3?2 C.4×6?2 D.6×3?2

提问，学生回答，老师追问为什么，根据生回答

角形的面积时，底与高要对应(课件出

?两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 ( ) ?三角形的底高都是5分米，它的面

?请说出下图中哪两个三角形面

学生思考、讨论，然后汇报，老师追问为什么，根据学生答得出:等底等高的两个三角形的面相等,但形状不一相同(课件出示)。 ?你能画出和它们面积相等的三角形? (学生操作尝试) [设计意图:练习设计体现生活化、多样化、层次分明，同时也让学生一次感受到数学与活生活的密切联系。练习分三个次设计，第一层基本练习，旨在巩固、熟练公;第层设断

在思考中，从正、反两方面强化对积公式的理解;第三个层次，主通过实际问题的决，让学生感知生的数学，增强学生用数学的意识，并通过变题练习，练学生思维的灵活性与逆向思维力，同时深化对三角形求积公的

四、总观全课，体验

师:这节探究了什么,是怎样探究的呢,(渗透数学方法) 引导学生根据板书，节课学习内容和探究思路。 师:对～今天我们分小通过动手操作，相互讨论、流，用摆拼的方法将角形转化成学过的图推导出了三角形面积的计算公式，你还想研究其推方法吗,请回家想，下节课告诉老师。 [设想:这两问引导学生从学习内容及学习方法对本课作出总结，引导学生回顾和反思自己获知识的思路和过，归纳提炼习方法，对于多种策略推导三角形面积的计算，我设计了在课后总结时提出让学生课后，探索其它的推导方法，从培养学探究精。]

三角形的面积

平行四边形的面积 = 底 × 高

一个三角形的面积 = 底 × 高 ? 2

S=ah?2

三角形面积计算公式的推导方法

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

三角形面积计算公式的

作者：杨炳海

来源：《学校教育研究》2016

人教版学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这排的：一是明确目标；二是用数格的方式能确定三角形的面积；是能否转化成以前学过的图形进计算？四是拿两个完全一样的直角三以拼成以前学习过的长方形或平行四边形，所以直角三角形的面积是长方形或平行四边形面积的一半；五验证锐角三角形和钝角角形是否也能拼成平行四边形；六定所有类型的三角形能转化成平行四边形，并且两者关系“等底，

课堂教是师生、学生之间有效互动的过程，具有活力的精彩的取决于课堂中有效的生成，这又源于学生思考过程。华罗庚说，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公。”要培养学生的空间观念和创造能力，就必须重视推导公式的过程教学，从学生的认知特点出发组织学生大胆地操作实践， 求规律，推导出公式。学生掌握新的过程是在老师的引导下，充分利用已有知识和学习验，主动与

一、为三角形面积计算公式推

第一，预设生成不是借学生的口说出师想说的话，而是把教师的预设用成的状态呈现给学。这需要教师给学供丰富而有价值的探究材料，选择多样而有效的学习方式，组织学生通动手实验、猜测、证、推理与交流等活动，实现知识“

第二，学新知识的基础是选取复习内容的依据，连接点是复习的重点。三角形面积知识的基础是长方形、正方形、平行四边形的面积公及三角形底和高的认识，知识连接点是图形的转化变换 。在教学新识之前除了要复习好以上的内容外，还要指导学生平四边形面积公式推导过程，唤起“ 转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法的认识。 第三，用数方格求面积有一定局限性的，天我们来究如何求三角形的面积？一石激起千层浪，由方方法的局限性这一认识的困惑与冲突，有效地引发了学生探究面积计算式的生，使学有了探

二、三角形面积计算公

第一，操作学具。启发学生用两个完全一样三角形一个学过的那些图形？请同学们过拼一拼，折一，剪一剪，转化成已学过图形。这里把“新”问题转“老”问题来解决，有效地把学法指导融入到了教学中，给学生创造了更广阔、更实的自主空间，疑有利于学生可持续性发展。学生动手、动脑相互交流，把两个完全一样的三形转成

三角形的面积计算公式

三角形的面积

1.已知三角

2.已知三角形三边a,b,c，则

（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

3.已知三角形两边a,b,这两边

4.设三角形三分别为a、b、c，内切圆半径

则三角形面积=(a+b+c)r/2

5.设三角形三分别为a、b、c，外接圆半径

则三角形面积=abc/4R

6.S△=1/2 *

| a b 1 |

| c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式,三角形ABC在平面

| e f 1 |

选区取好按逆针顺序从右上角开始取，因为这样得出的结果一般都为正值，果按这个规则取，可能得到负值，但不要紧，只取绝对值就可以了，不会影响三角形面积

7.海伦——秦九韶三角形中线面积公

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线

8.根据三角函数求面

S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆

9.根据向量求面

SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）

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