一、整过程运用动能定理 (一)水平面

1、一物体质量为2kg，4m/s的速在光滑水平面上向左滑行。从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块速度向变为水平向，大小为4m/s，在这段时间内，水平力

A. 0 B. 8J C. 16J D. 32J

2、 一个物静止在不光滑的水平面上，已知m=1kg，u=0.1，用水平外力F=2N，

2

10m/s动5m后立即撤去水平外力F，其还能滑 m(g

【解析】对物块整个过程动能定理

Fs0?umg?s?s0??0

解得:s=10m

3、总质量为M的列车，沿水平线轨道匀速前

1

末节车厢质量为m，中途脱节，机发觉时，机已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图所。设运动的阻力与质量正比，机车的牵引力恒定的。当列的两部分都停止时，它们的

【解析】对车头，脱钩后的全程用动能定理

1

FL?k(M?m)gS1??(M?m)V02

2

对车尾，脱钩后用

V0

1

?kmgS2??mV02

2

而?S?S1?S2，由于原来车是匀速前进

所以F=kMg

ML

由以上方程解

M?m

(二)直面问题(重力、摩擦力和阻力) 1、从地面上，以一定的初

v0将一个质量为m的物体竖直向上出，上升的最大

2

为h，空中的空气阻力大小恒力为f，则人在此过

1212mv0mv0?mgh?fh

mgh?fh22A. B.C.D. mgh?fh

2、一小球从高面H米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至面后又深入沙坑h米停止，沙坑对球的平均阻力是其重力的

【解析】钢球

重力做功

(H+h)?

总

由???解得:f=(1+

H) h

(三)

1、如图所示，斜面足够长，其倾α，质量m的块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿面方的重力分力，若滑每次与挡板相碰均机械能损失，求滑块在斜面经过的

【解析】设其经过和总路程为L，全过程，由动能

得:

3

mgS0sin???ngcos?L?0?

12

mv0 2

P

得L?

mgS0sin??

?mgcos?

12mv0

2、一块木块以v0?10m/s初速沿平行斜面方向冲上一段长L=5m，倾角为??30?的斜面，见图所示木块与斜间的动摩擦因??0.2，木块冲出斜面后落地时的

2

g?10m/s阻

【解析】:整个过程中重力等于没有做 只有摩擦力作负

?umgcos??L?

解得: v=8.08

1212

mv?mv0 22

? 分析:斜面是否足够长若够且能滑落到地

斜面的最小长s:v0?2(gsin??ugcos?)s 则地速

4

2

1212mv?mv0 22

3、如图所示，小滑块从斜面顶点A止滑至水部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动损失，斜面和水平部分与小滑块动摩因数相同，求此动擦因数。 【解析】滑块从A点滑到m，动摩擦数为u

smgh??mgcos??1??mgs2cos?

(四)圆弧

1、如图所示，质量

2、如图所示，AB和CD两端相，弧所对圆角为1200，半径R=2m，整个装置处在竖直平面上。个物体在离弧底E的高度h=3m处以速率v0=4m/S沿斜面向运动，若物体与斜面间的动擦因数u=0.02，试求物体在斜面(不包括圆弧分)上能

【解析】设物体在斜上走过的路程为s，经分析，物体在运动过程中只有重力和擦力对它做功，最后的态是在B、C之间来回运，则在全过程中，由动

12

mgh?R(1?cos600)?u?mgcos600?s??mv0

2

??

5

代入数据，解得s=280m

(五)圆

1、如图所示，质量为m力对

A.0

B. 2??mgRD. ?mgR/2C. 2?mgR

2、一个质量为mR1【解析】:

3、(1小球处低平衡位置时，给小球一定得初速度，要小球能在竖直平面作圆周运动并通过最高P，初速至少应多大,(2)若将上题中绳换

4、如图所示，AB是倾为θ的粗糙直轨，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆的半径为R.一个质量为m的体(可以看作点)从直轨道上P点由静止释放，结果它能

往返运动(已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求:

(1)体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路

(2)终当物体通过圆弧轨道最低点E，对圆弧轨道的压

(3)为使体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么

【解析】:(1)因为摩擦始终对物做负功，所以物

6

在圆心角为2θ的圆弧

对整体过

所以总路程为s,.

μ12

(2)对B?E过程mgR(1,cos θ),mvE?

2

2mvE

FN,mg,?

R

v1=?

R

由??得对轨道压力:FN,(3,2cos

θ)mg.

2mvD

(3)设物体刚好到D

R

12

对全过

mgR(1，cos θ),D?

23，2cos θ

由??得应满足条件:L′,R.

2(sin θ,μcos θ)3，2cos θR

7

答案:(1)(2)(3,2cos θ)mg (3)?R

μ2(sin θ,μcos θ)

5、在水平向的匀强电场中，有一质量m(带正电的小球，用长l的绝缘细线悬挂于O点，当小球在B点静止时细线与竖直向夹角为θ。现给小球一个垂直悬线的速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运。试(1)小球在做圆周运动过程中，在那一个位置的度最小,速度最小值是多少,(2)小球在B的初

【解析】据动能定理可得到:圆周运动速度的最值在平衡位置，即“物

点”。速度最小值在平衡位置的反方向上，即“物理高点”。最高点的最小

，g是等效重

(1)图所示，设小球受到的电场力为FE

/

电场力与重的合力F大小一定，方向沿AB 小从B到A运，克服合力F做功，由动能定

可见A点服阻力做功最多，速度最小。A点等效竖直面圆周运动的最高

对A点，根据牛

所以A点速度

8

6、如图所示,在方竖直向下的匀强电场中,绝轻细线一端固于O,另一端系一带正电的小球在竖直平面内做圆周运动.小球的荷量为q,质量为m,绝缘细线长为L,电场的场强为E.若带电小球恰好能通过高点A,则在A点时小球的速度v1为多大?小球运动到最点B时的速度v2为多大?运动到B时细线对球的

篇二:高中物理 动能 动能定理

动能

动能定理是中教学重点内容，也是高考每年必内容，由此高中物理教学中应提起高度

一、教学目标

1(理解动能

(1)知道什

制中动能的单位是焦耳(J);动是标量，是状态

(3)正确理解和运用动能公式分、解答有关问

2(掌握动

(1)握外力对物体所做的总功的计算，解“代数和”的含

(2)理解和运用

二、重点、

1(本节重点是对动能公式和动能理的理解与应

2(动能定理中总功的分析与计算初学时比较困

9

通过例题逐步提高学生解决

3(通过动能进一步加深功与能的关系的理解，让学生对功、能关系有更全面、刻的认，这是本节的较高要求，也

三、主要

(一)引

初中我们曾对动能这概念有简单、定性的了解，在学习了功的概念及功和能的关之后，我们再进一步对能进行研究，定量、深入理解这一概念及其与功

(二)教学

1(什么是动,它与哪些因素有关,这主要是初中识回顾，可请生举回答，然后总结作如下

物体由运动而具有的能叫动能，它与体的质量和速度有

下面通过举例表:运动物体可对外做功，质量和速度越大，动能越大，体对外做功的能力也强。所说动能是表征运动物体做功的一

2(动能公式

动能与质量和速度的定量如何呢,我知道，功与能密切相关。因此我们可以通过做功来研究能。外力对物体做功使物体动具有动能。下我们就通过这途径研究一个运动物体的动

10

列出问题，引导学

光滑水平面上一物体原来静，质量为m，动能是多少,(因为物体没有运动，所以没有动能)。在恒定外F作用下，物体发生一段移s，得到速度v(如图1)，这个程中外力做功多少,物体获得

样我们就得到了动能与质量和度的定量关

物体的动能于它的质量跟它的速度平方的乘积一半。用Ek表示动能，则计算动能的公

由以上推导过程可以看出，能与功一样，也是标量，不受速度方向的影响。它在国际单位制中的单位是焦耳(J)。一个物体于一确定运动状，它的动能也对应于某一确定值，因此动能

下面通一个简单的例子，加深同学对能概念及公式的理

试比较下每种情况下，甲、乙两物体的动能:(下列点外，其他情况相

?物体的速度是乙的两倍;?物体甲北运动，乙向南运

?物体做直线运动，乙做曲线运动;?物甲的质量是乙的一

在学生得出正答案后总结:动能是标量，与速度方向无;动能与速度的方成正，因此速度对动能的影响

11

3(动能定理

(1)动能定

将刚才推导动能公式的例动一下:假物体原来就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，经过一段位移s，速达到v2，如2，则此过程，外力做功与动能间又存在什

外力F做功:W1=Fs

摩擦力f做功:W2=-fs

可见，外力对物体做的总功物体在这一运过程中动能的增量。其中F与物体运动同向，它做的功使物动能增大;f与物体运动向，它做的功使物体能减少。它们同作用的结果，导致了物体

将上述问题再广一步:若物体同时受几个方向任意的外作用，情况又何呢,导学生推导出正确结论并

外力对体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定

用W总表示外对物体做的总功，用Ek1表示物体初的动能，用Ek2表示态动能，则动能定理表

(2)对动能

动能定理是生新接触的力学中又一条重要律，应立即过举例及分析加深对它的

a(对外力对物体做

12

有的力促进物体运动，而有的则碍物体运动。因此它们做的功就有正、负之分，总功指的是各外力做功的代数;又因为W总=W1，W2，?=F1?s，F2?s，?=F?s，所以总功也可理解为

b(对该定理标

因动能定理中各项均为标，此单纯速度向改变不影响动能大小。如匀速圆周运动过程中，合外力方向向圆心，与位移方向始终持直，所以合外做功为零，动能化亦为零，并不因速度方向

c(对定理中“增加”一词的理解

由于外力做功可正、可负，此物体在一动过程中动能可增加，也可能减少。因而定理中“增加”一，并不表示动能一定增大，它确切含义为末与初态的动能，或称为“改变量”。数值可

d(对状态与过程

功是伴随一个理过程而产生的，是过程量;而动能是状量。动能定理示了过量等于状态量的改变量的

4(例题讲

主要针对本重点难点——动能定理，适当举，加深学生该定理的理解，提高应用

例1(一物体做变速运动时，下列

A(合外力一定对物体做功，使物体动能

13

B(物体所受合外力

C(合外力一定对物体做功，物体动能可能

D(物体加速度

此例主要考察学生对力、速度、加速度、功和动能各物理量的牛顿定律和动定理的理解。只要考到匀速圆

例2(在水平放置的木板槽中，木块以6.0m,s的初速度开始滑动。滑行4.0m后速度减为4.0m,s，若木板糟糙程度处处相，此后木块还可以向前

此例是为加学生对负功使动能减少的印象，需正表示动能定中各物理量的正负。解题过程

设木板对木块摩擦力为f，木块质量为m，据题意使用动能定理

二式联可得:s2=3.2m，即木

此题也可用运公式和牛顿定律来求解，但过程较繁，建议布学生课后作业，比较两种法的优劣，看出动能定理

例3(如图3，在水恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高h2的B处，若在A处速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离

可先让生用牛顿定律考虑，遇到困难后，再指导使用动能定

14

A到B过程中，物体水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三个做功分别为Fs，0和-mg(h2-h1)，所以动能定

从此例可以看出，我们现在的知识水平，牛顿定律无能为力的问题，动定理可以很方便地解，其关键在于动能定理不计运动过程中瞬

通过以上三例总结一下动能理的应用步

(1)明确研究对象及所研的物理过

(2)对究对象进行受力分析，并确定力所做的，求出这些力的功的代

(3)确始、末态的动能。(未知量用符号表)，根据动能定理列出

W总,Ek2—Ek1

(4)求解方程、分析结果

我们用上述步骤再分

例4(如图4所示，用细绳连的A、B两物体质相等， A位于倾角为30?的斜面上，细绳跨过定滑轮后使A、B均保静止，然后释放，设A与斜间的动摩擦力为A受力的0.3倍，不滑轮质量和摩擦，求B下1m时

让学生自由选研究对象，那么可能有的同学分别选择A、B为研究对象，而有了将A、B看成一个整体

15

分别请两位方法不同的学生在黑板写出解题过

三式联立解得:v=1.4m/s

解法二:将A、B看成一整体。(因二者速度、加速度大小均一)，此时拉力T内力，求力做功时不计，则动能定

f,0.3mg

二式联立解得:v=1.4m,s

可见，结论是致的，而方法二中受力体的选择使解题程简化，因而使用动定理时要适当选取研究

(三)课

1(对动能概念和计算公式次重复强

2(对能定理的内容，应用步骤，适问题类型做必要总

3(通过动定理，再次明确功和动能两个念的区别和系、加深对两个物理量的

五、说明

1(由于计算功时质点的位动能中的速与参考系有关。因此对学习基础较好的学生，可以补充讲解功和能对不同惯性系的相对性动定理的不变性。如时间较紧。可教师适当提示下，让学生在课

2(一课不可能对动能定理的应用讲解的非常面、深刻，但一定要

16

篇三:高中物理动能定理的用归纳与总

一、整过程运

(一)水

1、一物体质量为2kg，4m/s的速在光滑水平面上向左滑行。从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块速度向变为水平向，大小为4m/s，在这段时间内，水平力

A. 0 B. 8J C. 16J D. 32J

2、 一个物体静不光滑的水面上，已知m=1kg，u=0.1，现用水平外F=2N，拉其运动5m立即撤去水外力F，求

【解析】对物块整个过程动能定理

Fs0?umg?s?s0??0

2

解得:s=10m

3、总质量为M的列车，沿水平轨道匀速进，末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关油门，除去牵引力，如图所示。设运的阻力与质量成正，机车的牵引力是恒的。当列车的两部分都停止，它们

【解析】对车头，脱钩后的全程用动能定理

FL?k(M?m)gS1??

17

12

(M?m)V0

2

V0

对车尾，脱钩后用

?kmgS

2

??

12

mV

2

而?S?S1?S2，由于原来车是匀速前进

所以F=kMg 由以上

MLM?m

。

(二)竖直面问题(重力、摩擦和阻力) 1、

面上，以一定

v0

将一个质量为m的物体竖直向上抛，上升的最大

为h，空中受的空气阻力大小恒力f，则人在此

对球所做的功

1mv0

18

2

1

A. 2

B. mgh?fh C. 2

mv0?mgh?fh

2

D. mgh?fh

2、一小球从高面H米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至面后又深入沙坑h米停止，沙坑对球的平均阻力是其重力的

【解析】钢从开始自由下落到落入沙中停止研究过程 据动能定理w=?EK

总

WG+Wf=0-0?

重力做功WG=G(H+h)? 阻力做功Wf=-fh? 由???解得:f=(1+

Hh

)

(三)

1、如图所示，斜面长，其倾为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速V0沿斜面上滑，滑块斜面间的动擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑

19

的重力分力，滑块每次与挡板相碰均无机械能失，求滑块斜面上经过的总路程为

【解析】设其经过和总路程为L，全过程，由动能

得:

mgS

sin???ngcos?L?0?

12

mv0

2

PmgS

sin??

12

mv0

2

得L?

?mgcos?

2、一块木块以v0?10m/s初速沿平行斜面方向冲上一段长L=5m，倾角为??30?的面，见图所示木块与斜面的摩擦因数??0.2，求木块出斜面后落地时的速率(空气

g?10m/s

2

20

)。

【解析】:整个过程中重力等于没做功 只有摩擦

功:

?umgcos??L?

12mv

2

?

12

mv0

2

解得: v=8.08

? 分析:斜面是否足够长若够且能滑落到地

2

斜面的

则落地速度:?umgcos??2L?

12

mv

2

?

12

mv0

2

21

3、如图所示，小滑块从斜面顶点A由滑至水平分C而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能失，斜面和水平部分与小滑块的摩擦数相同，求此动摩因数。 【解析】块从A点滑到m，动摩擦因为u，

mgh??mgcos??

s1cos?

??mgs

2

(四)圆弧

1、如图所示，质量

2、如图所示，AB和CD两端相，弧所对圆角为120，半径R=2m，整个装置处在竖直平面上。个物体在离弧底E的高度h=3m处以速率v0=4m/S沿斜面向运动，若物体与斜面间的动擦因数u=0.02，试求物体在斜面(不包括圆弧分)上能

【解析】设物体在斜上走过的路程为s，经分析，物体在运动过程中只有重力和擦力对它做功，最后的态是在B、C之间来回运，则在全过程中，由动

mgh?R(1?cos60)?u?mgcos60?s??

?

?

22

12

mv0

2

代入数据，解得s=280m

(五)

1、如图所示，质量为m力对

A.0

B. 2??mgRD. ?mgR/2C. 2?mgR

2、一个质量为mR1【解析】:

3、(1小球处于最低平衡位，给小球一定得速度，要小球能在竖直平面内作圆周运动并通过最高点P，初速度至少应多,(2)若将上(来自:WwW.xltkwJ.cOm 小龙 文档 网:高中物理什么时候用动能理)题

4、如图所示，AB是倾为θ的粗糙直轨，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆的半径为R.一个质量为m的体(可以看作点)从直轨道上P点由静止释放，结果它能

往返运动(已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求:

(1)体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路

(2)最终当物体通过圆弧轨道最低E时，对圆弧轨

23

力;

(3)为使体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么

【解析】:(1)因为摩擦始终对物体做负功，以物体最终圆心角为2θ的圆弧上往复

对整体过程

(2)对B?E过程mgR(1,cos θ)mv2E?

2

v1=?

R

μ

.

mv2E

FN,mg,?

R

由??得对轨道压力:FN,(3,2cos θ)mg.

mv2D

(3)设物体刚好到D

R

12

对全过

24

mgR(1，cos θ),mvD?

2由??得应满足

3，2cos θ

?R.

2(sin θ,μcos θ)

3，2cos θR

答案:(1) (2)(3,2cos θ)mg R

μ2(sin θ,μcos θ)

5、在水平向的匀强电场中，有一质量m(带正电的小球，用长l的绝缘细线悬挂于O点，当小球在B点静止时细线与竖直向夹角为θ。现给小球一个垂直悬线的速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运。试(1)小球在做圆周运动过程中，在那一个位置的度最小,速度最小值是多少,(2)小球在B的初

【解析】据动能定理可得到:圆周运动速度的最值在平衡位置，即“物

点”。速度最小值在平衡位置的反方向上，即“物理高点”。最高点的最小

，g/是等效重

(1)图所示，设小球受到的电场力为FE

电场力与重力的合力F大小一定，方向沿AB 小

25

到A运动，克服合力F做功，动能定理

可见A点服阻力做功最多，速度最小。A点等效竖直面圆周运动的最高

对A点，根据牛

所以A点速度

6、如图所示,在方向竖直向下的匀强电场,绝缘轻细线端固定O点,另一端系一带正电的小球在竖直平面内做圆周运动.小的电荷量为q,质量为m,绝缘细线长L,电场的场强为E.若带电小球恰好能通最高点A,则在A点时小球的速v1为多大?小球运动到最点B时的速度v2为多大?运动到B时细线对球的

26

探究实验动能的大小与什么因素有关

探究实验: 动能的大小与

1(提出问题:

2(猜想:

1)

2)

3(设计实验:

1)实验

2)实

?

?

?

?

4(进行实验:

自己设计表格，并将实数

5( 析与论证:

分析:

结论:

6( 评估和

1)为什么同的钢球要从同一高度释放,而相同的球却要从不同的高度

探究实验: 动能的大小与

1(提出问题:动能的大小与么因素有

2(猜想:

1)动能的大小与物体

2)动能的大小与物体的运

3(设计实验:

1)实验器材:斜面，大小不同的球，木块，小旗

2)实

?如图所示安装

?把木块放在水平面位置B，让钢球从斜面上的点A从静止开始滚下，到B时将木块撞出一段离S,小旗帜做标记，把木块停留的位

?把木块重新放B处，把原来的钢球从更高的地方C滚下，同样木块撞出一段距离，用小旗帜

?换用不同的钢球重复??

4(进行实验:

自己设计表格，并将实数

实验钢球下落小车被撞钢球质量 次数 的位置 出的

1 最小的红球 A 最近

2 最小的红球 C 远

3 较大的白球 A 较远

4 较大的白球 C 比较远

5 最大的黑球 A 更远

6 最大的黑球 C 最远

6( 析与论证:

分析:从实现象可得到，物体动能的大小与物体的量有关和运动速度有

结论:质量相的物体，运动的速度越大，它的动能越

越大，它的动能

7( 评估和

1)为什么不的钢球要从同一高度释放,而相同的球却要从不同的高度释

答:这其中用到了“控制变量法”来研究问。同的钢球要同一释放的目的是:为了使得钢球滚到斜面底端时获得相的速度，即控制速度相同，研究动与质量的单一关系;而相同的钢球却从不同高度释放，这也时为使得钢球滚到斜面底端的速度不相同，即控制质量相同，研究动能

动能 动能定理教案(教师用)

知识导入:

一、动能

1. 定义:物体由于运动而具有的能动能 2.

2

1mv E k =, 二、

1. 定义:合外力所做的总功等于物体动能变化量 . —— 这个结论叫

2

122合 2

121, 式中 W 合是各个外力对物做功的总和, ΔEK 是做功程中始末两个态动能的增量 . 3. 对动能定理

①如物体受到几个力的共同作用,则 2式的 W表示各个力做功的代数,即合外力所 做的功 . W

②应用动能定理解题的特点:跟程的细节无关 . 即追究全过中的运动性

③动能定理的研究对象

④动能定理可用于求变力的功、曲线运动中的以及复过程中的

4. 由牛顿第二定律与运学公式推出

设物体的质量为 m ,在恒力 F 作用下,通过位移为 S ,其速度由 v 0变为 v t ,则:

第二律 F=ma??① 根据运

三、 动量和冲量:

分析:V=at=F/m .t 整理得 F t=mv

1. 冲量:力 F 和力的作用时间 t 的乘积 Ft 叫做力的量, 用符 I 表示,

I = F t它的方向是由力的方向决的,如果力的方向在作用时间不变,冲量方向 就跟力的方相同,所以冲量

2. 动量:质量 m 和速度 v 的乘积 mv 叫动,用字母 P 表示,单位

P = m v 动量的方向与速度向相,所以

例题精选——应用动能定解决的问题 恒力作用下的匀变速直线运动, 不涉及加速度和时间的问题, 利用动能定理求一般 比用牛顿定及运动学公式求解要简单的多. 动定理还能解决一些在学应用牛定律 难以决的变力做功的问题、曲

【例 1】 如图所示, 质量 m 的物体与转台之间的摩擦系数为 μ, 物体与转轴间 距离为 R , 体随转台由静止开始转动, 当转速增加到某值时, 物开始转台 上滑动,此时转开始匀速转动,这过程中摩擦力对物体功为少? 解析 :物体开滑动时,物体转台间已达到最静摩擦力,这里认为就 是滑动

根据牛顿第二定律 μmg=mv2/R??① 由动能定

??② 由①②得:W=?μmgR ,所以在这一程摩擦力做功为?μmgR 点评 :(1)一些变力做功,不能用 W= FScosθ求,应当善于用

(2) 应用能定理解题时, 在分析的基础上无须深究物体的运动状态过程中变 的细节, 只须考虑整个过程的量及程始末的动能. 过包含了几个运动性质不同的分 过程.即可分段考虑,也可整个过程考虑.但求时,有些力不是全过程都作用的,须根 据不同情况分别对待求出总功.计算时要把各的功连符号(正)一同代入公式. 【例 2】量为 m 的物.从 h 高处由静落下,然后陷入泥土中深度为 Δh

提示 :整个过程动能量为零, 则根据动能定理 mg (h +Δh )-W f =0 所以 W f =mg (h +Δh ) 答案 :mg (h +Δh ) 例题精选——规律方 1、动能定理

应用能定理涉一个过程, 两个状态. 所谓一个程是指做功过程, 应明确该过程各 外力做的总功;两个状是初末两个状态的动能. 动能定理应用的基

①选取研究对象,明确并分析运

②分受力及各做功的情况,受哪些力?每个力是否功?在哪段位移过程中做功?正 功?负功?做多少功?求出代和. ③明确过程始末

④列方程 W=EK2一 E k1,必要时注意分析题目的潜在条件,补充方程进行求解. 【例 3】总质量 M 的列车沿水平直线轨道匀速前进,其 末节车厢质为 m ,中途脱节,司机发,机车已行驶 了 L 的距离,于是立关闭,除去牵引力,设阻力与 质成正比, 机车牵引力是恒定, 当列车的两部分都 停止,

解析 :此题用动能定求解比用运动学结合牛顿第二定律 求解简单. 先出草图如图所示, 标明各部分运动位移 (要 重视画草) ; 对车头, 脱钩后过程, 根据动能理便可解

-m)v 02

对末节车厢,根据动能定理有一 μmgs 2=-?mv 02

而 ΔS=S1一 S 2由于来列车匀速

F=μ

Mg .以上方程联立解得 ΔS=ML/ (M一

m ) . 说明 :对有关两个或两个以上的有相互作用、 有相对运的物体的动力学问题 , 应用动能定理 求解会很方便.最基本方法是对每个物体分应能定理列方程,再找两物体受力、 动上的联系,列出方

2、应用动能定理的

(1)于动能定理反的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值系,所以对由 初始状态到终止状态这一过程中物体运动性、 运动轨迹、 做功的力恒是变力等诸多 问不必加以究,就是应用动能定理不受这

(2)般来说,牛顿第二定律和运动学知识求解的问题,用动定理也可以求解,而且往 往用动能定理求解简. 可是, 有些用动定理够求解的问题, 应用顿第二定律和运动 学知识

(3)用动能定可求变力所做的功.在某些问题,由于力 F 的大小、方向的变化,能直 接用 W=Fscosα求出变力功的值,但可由动能

【例 4】如图所示,量为 m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平上做匀速圆周运 动,拉力为某个值 F 时,转动半径为 R ,当拉力逐渐减小到 F/4,物 体仍做匀速圆运动,半为 2R ,则外力对物体所做的

FR 3FR 5FR

B C D 442

A ; ; ; 、零 ; 解析 :当绳的拉力为 F 时,小做匀速圆周运

/R??①

当绳的拉力减为 F/4时,球做匀速圆周运动的

/2R??②

在绳的拉力由 F 减为 F/4的过程中,绳的拉力

=-?FR 所以,绳的拉力所做的功的大为 FR/4,A选项正确. 说明 :用能定理求变力功是常有效且普遍适用

【例 5】质量为 m 的机以水平 v 0飞离跑道后逐渐上升 , 若飞机此过程中水平速保持不 变 , 同时受到重力和竖直向上的恒定升力 (该升力由其他力的力提供 , 不含重力 ). 今得当 机在水平方向的位移为 L 时 , 的上升高度为 h, 求 (1)飞机受

(2)起飞到升至 h 高度的过程中升力所做的功在高度 h 处飞机的动能 ? 解析 (1)飞机水平速度不变 ,L= v0t, 竖直

, 消去 t 即

02

2h a v l = 由牛顿

?

+

??

?

(2)升力做功 W=Fh=20221h mgh v gl ??

+ ???

在 h 处 ,v t

2hv =

, ()222

2002

114122k t h E m v v mv l ??

∴=+=+ ???

3、应用动能定理要注

注意 1. 由于动的大小与参照物的选择有关,而动能定理是从牛运动定律和运动学规律 的基础上推导出来, 因此用动能定理解题时, 能小应选取地球或对地球匀速直 线运动的物体作参照

【例 6】如图示质量为 1kg 的小物 5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上木 板,木板质量为 4kg ,木板水平间动摩擦因数是 0.02,经过 2S 以后,木块从木板另一 端以 1m/s相对于地的速度滑出, g 取 10m /s ,求这一过程中木板的. 解析 :设木块与木板间摩擦力大小为 f 1,木与地面间擦大小

得 v =0. 5m/s 对木板:(f l -f 2) s=?Mv 2

,得 S=0·5 m

5 m

注意 2. 用动定理求变力做功,在某些问题中由于力 F 大小的变化或方向变化,所以不 能直接由 W=Fscosα求出变力做的.此时可由其做

【例 7】质量为 m 球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动,运过程 中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球过轨道的最低点,时绳子的张力为 7mg, 此后球继圆周运动, 经过半个周恰能通过高点, 则在

A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR

解析 :小球在圆周运动最低点

设小球恰能过最高点的速度为 v 2, 则 mg=mv22

/R??②

设设过半个圆周的过程中小球克服气阻力所做的功为 W, 由动能定

2

-?mv 12

??③

由以上三式解得 W=mgR/2. 答案:C

说明:题中空气力一般是变化的, 又不知其大小关系, 只能根据动能定理求功,而 应用动能定理时、 末两个状态的动又要据圆周运动求不能直套用, 这往往是该类

注意 3. 区动量、动能两个物理概念.动量、动能都描述物体某一时刻运动状态的状态 量,动是矢量,动能是标. 量的改变必须经过一冲量的过程, 动能的改

一个做功的过程.动量的数量与能的数量可以

=2mEK 联系在起,对于同一物体来 说,动能 E K 变了,动量 P 必然变化了,但动量变化了动能不定变化.例如动量仅仅是 方改变了,这样动就不改变.对于不同的物体,还应考虑

【例 8】动量

解析 :由 E k =m

P 22

可知,动量大小相等的物体,其动能与们的

应为 3:2.

【例 9】在平面上沿一条直线放完全相同的小物体 A 和 B ,它 们相距 s , 在 B 右侧距 B2s 处有一深坑, 图所示, 现对 A 施以瞬间 冲量,使物体 A 沿 A 、 B 连以速度 v 0开始向 B .为使 A 与 B 能 发生碰撞,且碰撞之又不会入侧坑中,物体 A 、 B 与平面 间的动摩擦数应满足什么条件?

解析 :A与 B 相碰,

001, . 22v mv mgs gs

μμ??

A 和 B 碰前速度 v 1, 221011

22mv mv mgs

μ-=-, 1v =A 与 B 后共同

=2mv2, 2112v v =AB 不落入

21222, 2

mv mg s μ?≤ 解

综上, μ应满足条

00142v v gs gs

μ≤≤ 【例 10】如图所示,两个全相同

、

B

置于水平地面上它们的间距 s =2.88m.质量为 2m 、大小

可忽略的块 C 置于 A 板的左端. C与 A 之间的动摩擦因数为 μ1=0.22, A、 B 与水平地面 的动摩擦数为 μ2=0.10, 最大静摩擦力可认为等滑擦力. 开始时, 三个物体 于静止状.现给 C 施加一个水

mg 5

2

的恒力 F , 假定木板 A 、 B 碰撞时间 短碰撞后粘连在一起.要使 C 最终不脱离木板,每块的长度至少应为多少 ? 【分析】 :这题重是分运动过程,我们必须看到 A 、 B 碰撞前 A 、 C 是对静止的, A 、 B 碰撞后 A 、 B 速度相同,且作加运动, C 的速度比 A 、 B 大,作减速,最终 A 、 B 、 C 达相同的速度, 此过程中当 C 恰好 A 的端运到 B 的右端的时候, 两块木板的总长度 最短。 【解答】 :设 l 为 A 或 B 板的长度, A 、 C 之间的滑动摩擦力大小为 f 1, A 水平

∵ μ1=0.22。 μ2=0.10 ∴ mg f mg 252F 11μ=<>

??① 且 ()g m m f mg +=>=25

2

F 22μ?② 一 开 始 A 和 C 保 持 相 对 静 止 , 在 F 的 作 用 下 向

()()21222

1v m m s f F +?=?- ?③

A 、 B 两 木 板 的 碰 撞 瞬 , 内 力 的 冲 量 远 于 外 力 冲 量 。 由

mv 1=(m +m ) v 2 ?④

碰撞结后到三个体达到共同速度的相互作用过程中,设木向前移动的位移为 s 1. 选 三 个 体 构 成 的 为 研 究 对 象 , 外 力 之 和 为

()()32122v m m m v m m mv ++=++ ?⑤

设 A 、 B 系统与水乎地之间的滑动摩擦力大小

2223132122

1221mv mv s f s f -=

?-? ? ⑥ ()g m m m f ++=23. μ?⑦ 对 C 物体,

12311122122122mv mv s l f s l F -=+?-+???? ⑧

由以上各式,再代人数据可

注意 4. 动量定理与动能定

【例 11】如图所示,在光滑的水平面内有两个滑块 A 和 B ,其质量 m A =6kg , m B =3kg,它们之间用一轻细绳相连.开始时绳子完松 ,两滑块靠在一起,现用了 3N 的水

绳被间绷直后,再拖动 B 一起运动,在 A 块前进了 0. 75 m时,滑块共同前进速度 v=2/3m/s ,求连接两滑块

解析 :本题的键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可成远大于外力 F ,所以可认为 A 、 B 组成的系统动守.此过程相当于完全弹性碰撞,系统的机械

根据题意,设绳长为 L ,以子绷直前的滑块 A 为象,由动

① 绷直的瞬间,可以认为 T >>F ,因此系统的动量守, m A v 1=(m A 十 m B ) v 2② 对于绳绷直, A 、 B 组成系统(

F (0. 75-L )=?(m A 十 m B ) v 12-?(m A 十 m B ) v 22

??③ 由式①一③解得 L =0. 25m 答案 :0. 25 m

4. 动能定理的综

动能定理动量定理、 守恒定律的综合应用是力学问题的难点, 也是高考考查的重 点,解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒,哪一程中应用动能定理、动量定理 【例 12】 某地风的约为 v=20m/s,设空气密度 ρ=1.3kg/m3, 如果把通过横

2

风的能全部转化为电能 , 则利用上述已量计算电功率的公式应为 P=_________,大小约 为 _____W(取一位有效

E k =231122mv v ts ρ?=? P=33511

1.32020110() 22

k E v s w t ρ==???=?? 【例 13】两个人要将质量 M =1000 kg 的小车沿一型铁轨推上长 L =5 m, 高 h =1 m 的斜 端.已知车在任何情况下受的摩擦阻力恒为车重的 0.12倍,人能挥最大推力各 为 800 N. 水平轨道足长, 在不允许用别的工具的情况下, 两人否

如果能应如何办?(要求写出分析和计算过

) 析 :

F >f, 人在水平轨道上推动小车加速运动,

可见人不可能小车直接由静止沿坡底推至坡顶. 若两人先让小车在水平轨道加速运动, 再冲斜坡减速运动, 小车在平轨道上运动 最小

(F 一 f ) s 十 FL 一 fL 一 Mgh=0

100001

520400

Mgh s L m m m F f ?∴=

-=-=- 答案 :将车刚好推到坡顶,在水平

巩固提升:

1.关于动能的理解,下列

A .动能是普遍存在的机械能的一种基本形式,凡是运动物体都具有动能 B .动能总是正值,但对于不同的参考系,同一物体的动能大小

C .一定质量的物体,动能变化时,速一定变化,但速度变化时,动不一定变化 D .动能不变物体,一定处于

2.关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物动能的变,下列说法

A .动物体所受的力不为零,合力必做功,物体的动能一定要变化 B .运动物体所受的合力为零,则物体的动能一定不变 C .运动物体的动能保持不变,则物受合力不一定为零 D .动物体所受力不为零,则该物体

3.物体在合外力作用下做直运动的 v -t 象如图所.下列表述

A . 0~1s 内,合外力做正功 B .在 0~2s 内,合外力总是做负功 C .在 1~2s 内,合外不做功 D .在 0~3s 内,合外力

4. (江平湖中学 08~09学年高一下学期月考 ) 蹦床是运动员在张 绷紧的弹性上蹦跳并在空中做各种动作的运动项目.如图所示,运员 着网后的最低是 C ,从 B 点脱离网后沿直方到最高点 A . 则运员 动能最

5. (东北师大附中 08~09学年高一学期期 ) 如

平面与竖平面内的光滑曲轨道 BC 在 B 点吻接 (即水平面是弯曲轨道的线 ) ,一小物块从水 平面上的 D 点初速度 v 0=8m/s出发向 B 点滑行, DB 长为 12m ,物与水平面的动摩擦因

,求:(1)小物块滑到 B 点时的速

(2)小物块沿弯曲轨道滑的最大高

6. 如图所, 物体由静止自由下落 H 后入一砂坑中, 陷入深度为 h , 不考虑空气阻力. 问:物体在砂坑中受的平均阻力是其重力

7. 如图所示, 一只 20kg 狗拉着一个 80kg 雪橇以 3m/s的速度冲上坡

1

10

的斜坡.已知斜坡对雪橇的摩阻力恒为 20N ,狗拉雪橇坡时的加速度

,经过 10s

拉雪橇的套绳突然断开,雪橇刚好能冲上坡顶.求斜坡. (g

)

提升题

1. 某人用将一质量为 1kg 的物体由止向上提升 1m , 这时物体的度为 2m/s, 则下列说法中 错误

)( )

A .手对物体做功 12J B .合力对物体做 12J C .合力对

.物体克服重力做功

10J

2.一量为 m 的小球,用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点.小球在水平力 F 作用下,从平衡置 P 点 很缓地移到 Q 点,如图所

A . mgl cos θ B . Fl sin θ C . mgl (1-cos θ) D. Fl cos θ

3.连接 A 、 B 两弧形轨道 ACB 和 ADB 形状相同,材料同,如图所示,个小物体由 A 以一 定的速度 v 开始沿 ACB 轨道到达 B 的度为 v 1; 若由 A 以相同速 v 沿 ADB 轨道到达 B 的速度 为 v 2,较 v 1和 v 2的大

A . v 1>v 2 B . v 1=v 2

C . v 1

D .条件不足,无

4. (西师大附中 08~09学年高一下学期期中 ) 质量为 m 的物体以初速 v 0沿水平面左开始 运动,起始点 A 与一轻弹簧 O 端相距 s , 如图所示.已知物水平面间的动摩擦因数为 μ,物 体弹相后,弹簧的最大压缩量为 x ,则从开始撞到弹簧被压缩最短,物体克服弹簧弹 力所

12mv 20-μmg (s +x ) B.12

mv 2

0-μmgx C . μmgs D. μmg (s +x )

5. (上市交大附中 08~09学年高一下学期期中 ) 如图所示,质量为 m 的小物体由静止始 A 点下滑,斜面的最低点 B ,再沿水平面到 C 点停止.已知 A 与 B 高度差为 h , A C 的水平 距离为 s ,物体与斜面间及平面的动摩擦系数相同,则物体由 A 到 C 过程中,摩擦力对物 体做是 ______,滑动摩擦系

6.某兴趣小组计了如图示的玩具轨道,其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆 管弯, 固定在竖直平面内 (所有数字均由圆或圆组, 圆半径比细管内径得 ) , 底端与水 平地面相切.弹射装置将一个小物体 (可视为质点 ) 以 v a =5m/s的水平初速度由 a 点弹出,从 b 点进入轨道, 依次经过“8002”后从 p 点水平抛出. 物体与面 ab 间的动摩擦因数 μ=0.3, 不计其机能损失. 已知 ab 段长 L =1.5m , 数字“0”的半径 R =0.2m , 物体

g =10m/s2. 求:(1)小体从 p 点抛出

(2)小物体经过数字“0”的最高点时道对小体作用力

7. (2010·坊模拟 ) 第 21届冬奥会于北京时间 2010年 3月 1日中午 12点, 在加拿大温哥华 利闭幕, 冬奥会的办大众的滑雪热. 某娱乐城滑雪场地示意图如图所示.

AB 和 BC 及斜坡 CE 组成, AB 、 CE 均为倾角为 θ=37°的斜坡, BC 是半径为 R =14m 的

圆弧道和坡相切于 B ,弧道末端 C 点的切线水平, A 、 B 两点竖直度差 h 1=37.2m ,滑雪爱 好者连同滑雪装备总质量为 70kg ,从 A 点由静止由滑下,在 C 点水平滑出,经一段间后, 落到斜坡上的 E 点,测

,sin37°=0.6, cos37°=0.8) ,求:

(1)滑雪受好者离开 C 点的速度大小; (2)滑雪爱好经过 C 点

(3)滑雪爱好者由 A 点滑到 C 的过程克服雪坡

1. 答案:ABC 2. 答案:BCD 3. 答案:A 4. 答案: 5. 答:(1)4m/s (2)0.8m 6. 答

h

答案:50m

能力提升

1. 答案:B 2. 答案:C 3. 答案:A 4. 答案:A 5.

6. 答案:(1)0.8m (2)0.3N 方向竖直向下 7. 答

讲义参考答案

1.C 题型 2:考例 A

Nv

题型 3:答案:(1)0.98m (2)1.1N方向竖直

题型 4:考例 100J 变式 W =1

2

.

动能和势能实验

动能和势能实验

1. 利用如图装置进行“探究动能小的影响因素”实验。用根细绳将小悬挂起来，拉起球，当细绳与

成θ角后松手，小球撞击水平

动的距离s 。改变角度θ的大小，

（1）利用如图两根细绳悬挂球，而不

其好处是。

（2）本实验探究的问题是物的动能大

第32题图

（3）利用上述实验，同还可以探究

2. 为了模拟研究汽车超载和超速带来的安隐患，明同学设

丙所示的究实验，将A 、B 、C 三个小球先后从同一装置，高度分别为h A 、h B 、h C 的位置滚下（m A =mB h B ），动块运动一段距离后静止，请你根据活经验和所的物理探究方法，对以下

（1）用来研究超速安全隐患时，需要控制的变量是 ，实验时应择 两个

（2）用来研究超载安全隐患时，应选择 两个图所示验进行比，通过这个

3．某同学在体活动中，从球下落陷入沙坑的度猜想到：物体的重力势能可能与物体的质量、下落和运动路径有关．于是设计了如图所示的实：用小、形状相同的A 、B 、C 、D 四个铅球，其中A 、C 、D 三球的质量为m ，B 求质量为2m ，让A 、B 两球距沙表明高H 静止下落，C 球从距面高2H 静止下落，D 球从距沙表面高2H 的光滑弯曲管道上静止滑入，最后管道端竖直地落下（球在光滑管道中运动的能损失计）．实验测得A 、B 两球陷入沙深度分别h 1和h 2，C 、D 两球陷入沙

（1）本实验中，铅球的重力能大小是通

（2）比较A 、B 两球，发现B 球陷沙深更大，由

（3）比较A 、C 两球，发现C 球陷沙深更大，由

（4）比较C 、D 两球，发现两球运动的路径同，但陷入沙深度相同，由此可得出论：物体的重力能与物体运动的路径（填：“有关”或“

4. 同学在探究“机械能及其转化”验时，设计并进

（1）如甲，质量为m 小球从高度为h 的光滑斜面顶端由静止自由滑下，达斜面底端的速为v ，此过程只有动能和重力势能相互转化．如果小在斜面顶端时重力势为mgh ，在斜面底端时重力势为零，能为mv 2。且h =0.2m，g=10N/kg，则小球滑到光滑斜面底端时

（2）图乙，将小球一定的速度v 0沿水平方向抛出，小球运动过程中也有动能和重力势能相互转化．时间t 内小球在水平方向运的距离为x =v 0t ，在方向下落的高度为y=gt 2，则y 与t 2的关系可用丙图

（3）如丁所示，小球沿光斜面AB 由A 点静止自由滑下后进入光滑水平桌面BC ，已知小球经过B 点时速度大小不变，小球从C 点水平抛出后落在平地E 点，地面上D 在C 点正下方，已知CD 竖直高度1.25m ，θ=30°,g=10N/kg，若求DE 间的离大于2 m，则斜面AB

动能定理实验

济北中学高一物理

探究恒力做功与动能改

编制:王永军 审核:潘涛 日

教师寄语:今天尽你的最大努力去好，明天你也许就能做得好。 实验的:探究恒力功与动能改变

实验原理:

探究恒力功与物体动能变的关系，可以通过改变力对物体做的功，测出力对物体做同的功时物体动能的变化，从而得到探究恒力做与物体动能改变关系。 实验器材:一端附有定轮木板、小车、钩码若、打点计时、交流电

实验步骤:

1(如图，用细线将木板的小车通过

与悬吊的钩码相连。改变

力的一个分力平衡小车及带受到的

小车做匀速运动。

2(在细的另一端挂上钩，使小车的质量远大于钩码的质量，小车在细线拉力用下做匀加速运。由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力等于钩码所的重力大小。 3(把纸带的一端固定在小车的后面，一端打点计时器。接通电源，开小车，让车拖着纸带运，打点计时器就在纸带上打

4(重复以上实验。选择一条点迹清晰的带进行数据分析，由纸带可以到位移和时的信息，由钩码可知道小车所受的

数据处理

11221、计算W=mgS，(V、V用平均速度计算)，

2、结论:恒力所做的功跟动能化量之间的关系是恒力做的功等物体动能的

1、砝码和砝码盘的总质量远小于小车

2、平衡摩擦力时，应连着带且穿过计

3、车所受的阻力f应包括小车受的摩擦力和点记时器对小车后所拖纸带的摩擦。 4、小应靠近打点记时器，且要先接通电源后

【典型例题】

例1:某探究学习小组的同欲验证“动

他们在实验室组装了一套图所示的装

们还找到了打点计时器所

当滑块连接上纸带,用细写、纸带、滑

线通过滑轮挂上空的小沙桶时,释放桶,滑块由静止开始运动.若你是小组的一位成员,

(1)你为还需要的实验有 (2)实验时为了保证滑块受到的合力与沙和桶总重力大小基本相等,沙和沙桶的总质量应满足的实验条件 ,实时首先要做的

(3)在(2)的基础上,某同天平称量滑块的质量M,往沙桶中装入适量的细沙,用天平称出时沙和沙桶的总质量m,让沙桶带动滑块加速运动,用打点计时器记录其运动情况,打点时器打出的纸带上取两点,测出这两点的间距L以及这两点对应的滑块度的小v与v(v<>

题中的字母表示实验中测量得到

例2:某同学为探究“恒力做与物体动能改变的关”,设计如下实验,

?摆好实验装置如图所

?将质量为200 g的小拉到打点计

并按住小车.

?在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中,他挑了一个质量50 g的钩码

?打开电磁打点计时器的电源, 放小车,打出一

(1)在多次重复实验得到的纸带中取出自认满意的一条.经测量、计算,得如下数据: ?第一个点到第N个点

?打下第N点时小车速度大小为1.00 m/s.该同钩的重力当作小车所的拉力,算出:拉力对小车做的功为 J,小车动能的增量为 J. (2)此次实验探结果,他没能得到“恒力对物体做的功,于物体动能的增量”,且误差很大.显然,在实验探究过程中忽视了各种生误差的素.请你根据该同学的实验装置和操作过程帮分一下,造成较大误差的主要原因是: 例3:某实验小组采用图所示的探究“能定理”，图中小车可放置砝码，实验中，小车碰到动装置时，钩码尚未到达地面，打点计时器工作

?在小车中放入砝码，把纸带

穿过打点计时器，连在小

用细线连接小车和钩

?将车停在打点计时器附近， ， ，小车拖纸带，打点计器在纸带上打下一列

?改变钩码或小车中砝码的数量，

(2)是钩码量为0.03 kg，砝码质量为0.02 kg时得到的一条纸带，在纸带上选择始点0及A、B、C、D和E五个计数点，可获各计数点到0的距离s

小车的瞬时速度v,请将C点的测量果填表1中

222(3)实验小根据实验数据绘出了图中的图线(其中Δv=v-v),根据图线可获得0的结论是 (要证“能定理”，还需测量的

表1纸带的测量

-1测量点 s/cm v/(m?s)

0 0.00 0.35

A 1.51 0.40

B 3.20 0.45

C

D 7.15 0.54

E 9.41 0.60

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