范文一:闭区间上连续函数的基本性质
闭区间上连续函数的基本性质
前面成们研究了函数的局部性质,下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
x,Dx,D定义1 设f为定义在数集D上的函数,若存在,使得对一切有 00
f(x),f(x) ( f(x),f(x) ) , 00
f(x)则称f在D上有最大,最小值,值,并称为f在D上的最大,最小值,值. 0
在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大例如[0,,]sinx
值或最小值,即使f在D上有界,。如在上既无最大值又无最小值,又如 f(x),x(0,1)
1, ,x,(0,1) ,, (4) g(x), x,
,2 ,x,0 或 x ,1 , ,
在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续,则在闭区间f(x)[a,b]f(x)
上有最大值与最小值。 [a,b]
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章?2给出证明.
推论:(有界性)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b] 上有界。
,定理4.7(介值性定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a),f(b),若为f(a) 与 f(b)介于之间的任何实数(f(a),,,f(b)或f(b),,,f(a)),则在开区间
f(x),,x(a,b)内至少存在一点,使得 . 00
f(b)
,
c f(a)
x a0b
推论(根的存在定理)若函数在闭区间上连续,且异号,则f(x)[a,b]f(a),f(b)
x,(a,b)f(x),0至少存在一点使得.即在内至少有一个实根. f(x)(a,b)00
x 0
0
应用介值性定理,还容易推得连续函数的下述性质:若在区间[a,b]上连续且不是常f
MI量函数,则值域也是一个区间;特别若为区间[a,b],在[a,b]上的最大值为,f(I)f
最小值为,则;又若为[a,b]上的增(减)连续函数且不为常数,f([a,b]),[m,M]fm
则f([a,b]),[f(a),f(b)] ( [f(b) , f(a)] )
nx,r x例3 证明:若为正整数,则存在唯一正数,使得. r,0,n00
nnx,,,证明 先证存在性。由于当时有,故存在正数,使得.因ax,,,a,r
nf(x),x在上连续,并有,故有介值性定理,至少存在一点[0,a]f(0),r,f(a)
nx,(0,a)使得. f(x),x,r000
nx,rx再证唯一性。设正数使得 11
nnn,1n,2n,1 x,x,(x,x)(x,xx,?x),001010011
x,x,0x,x由于第二个括号内的数为正所以只能,即. 0101
f例4 设在[a,b]连续,满足
f([a,b]),[a,b] (5)
x,[a,b]f(x),x证明:存在,使得 (6) 000
x,[a,b]证 条件(5)意味着:对任何有,特别有 a,f(x),b0
以及 . a,f(a)b,f(b)
x,a 或 b若或,则取,从而(6)式成立。现设与。。a,f(a)b,f(b)a,f(a)b,f(b)0
令
, F(x),f(x),x
x,(a,b)则,. 有根的存在性定理,存在 ,F(a),f(a),a,0F(b),f(b),b,00
F(x),0f(x),x使得即. 000
范文二:浅论闭区间上连续函数的性质
浅论闭区间上连续函数的性质
摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.
关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性
实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.
从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间上的连续函数的图像两端必须紧紧地连,,,,a,bfx
接着定义在端点处的点上,形成一条封闭,,,,,,,,,,,,,,a,fa,b,fb,,,fa,fb,,,
x,a,x,b,y,0的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.
先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义.
称f(x)在x,x连续,如果limf(x),f(x),00x,x0
,,,,即f(x)在x附近有定义,,,0,,,0,当x,U(x,)时有f(x),f(x),.000
,,,,称f(x)在x,x左连续,如果,,0,,,0,当x,(x,,x]时有f(x),f(x),.0000称f(x)在x,x右连续,如果,,,0,,,,0,当x,[x,x,,)时有f(x),f(x),,.0000
若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连
[a,b]续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在连续,是指函数在区间的每
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点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.
1.闭区间连续函数在其定义域上有界.
闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.
若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数在其定义域上也是有界的.
现在来证明定义于[a,b]的连续函数f(x)在[a,b]上有界.
证明:f(x),C[a,b],,x',limf(x),f(x')x,x'
,,故,,当x,U(x',),[a,b]时,f(x),M,M,0x'x'x'x'
,又E,,U(x',)x'[a,b]是[a,b]的一个覆盖.,,x'
,由有限覆盖定理知,,U(x,),E,(i,1,2,,n),?ixi
n
使得[a,b]U(x,).,,:ixi,i1
,,取M,maxM,M...M,则有f(x),M,,x,[a,b].x1x2xi
于是f(x)在[a,b]上有界.证完.
若命题条件改为开区间,有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明便进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的.而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在,可以同样推出函数在闭区间上有界.
闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.
2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.
已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值.
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证明:设函数f(x)的上确界为M,由确界的性质可知,
11,,,,,对,都存在x使Mf(x)M,nnnnn
,,,,,,又x[a,b],存在子列{x},使xc[a,b],(k).nnnkk
1 ,,,故有Mf(x)M,nknk
,,,,,两边令k取极限,有f(x)M,又xcnnkk
,由Heine定理及f(x)的连续性可得f(c)M.
最小值情况证明类似.证完.
limf(x),f(c)分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知,这是连续函数x,c
的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就
[a,b]是以此为依据的.而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间里面.因为在两边取极限,可能得到 a,x,bc,a或c,b,总之c,(a,b).nk
即使是一个有界的函数,只要不是闭区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距
fxxc() (,),离,得到一个有界的不连续函数gx的图像(不妨(), (,,0),fcxc(), (,),,
f(x)设有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.
(a,b)limf(x)与limf(x)而一个定义在开区间且存在单调连续函数,如,,x,ax,b
2,虽然在定义域上有界,但都不能够取得最值. h(x),x(0,x,1)
3.连续函数介值定理.
这是一条重要的性质.连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值,称之为介值.从直观上看来,这是显然的.一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点.若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理.而介值定理是零点定理的直接推论,只需在原函数加减一个常数即可.下面给出用到确界定理的证明.
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,,
零点定理:若f(x),C[a,b],若f(a),0,f(b),0,则必存在,(a,b),使得f(),0.
,,证明:记集合E,x,[a,b]f(x),0,易知E,,,
,由于E有下界a,故必有下确界,记为,infE,
,,,,故,x,[a,),f(x),0.两边取极限x,,由于f(x),C[a,b],有f(),0.
,,,,因此,E,故可在E中自选取数列x,使x,(n,,).nn,,在f(x),0两边取极限,有f(),0.故f(),0.证完.n
可以同样构造一个这样的集合E,用反证法来证明,如下:
,,,往证f(),0.若f(),0,有,E,
,,,因f(x),C[a,b],故,,0,使,x,U(,)时有f(x),0.
,,,,,取0,',,有f(,'),0,与,infE矛盾.
,,,,若f(),0.必,,0,使,x,U(,)时有f(x),0.11
,取,,,不存在x,E使x,,,,.与,,infE矛盾.即f(,),0.证完.010
两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质,譬如第二个证明,只是用到函数极限的保号性.这根本在于用确界定理给出了数集的下确界ξ.确界定理是函数连续性的一个刻画,而介值性的结论可以由连续性从直观上得到,只要给出了连续性一个理论上的刻画,余下的证明就像从直观上得到一般简单.但不连续的函数,就未必具有介值性.至于闭区间的条件并没有用到,原因是任何一个连续函数都可以截出某一个闭区间,在这个闭区间上讨论介值的问题.在这里自然引出一个问题,具有介值性,即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续,要补充什么条件才能保证函数连续?
如下面一个处处不连续的函数,其值域是.这说明具有介值性的函数不,,,1,1
一定连续.
x x是有理数,且x,0,1,
,,x x是无理数,g(x), (,1,x,1) ,1 x,0,
,0 x,1,
只要加强条件,令函数在定义域上单调,就一定有函数连续.有以下命题: 若函数y,f(x)定义在[a,b]上,f(x),[A,B],且,,[A,B],,x,[a,b]使f(x),,, 且f(x)在[a,b]上单调,则f(x),C[a,b].
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这个命题的正确性在直观上很显然.证明也只需要简单的说明.用反证法,设函数不连续.由于单调函数只能有第一类间断点,并且间断点的取值要么是左极限,要么是右极限.那么只要通过极限保号性,说明函数不能取得间断点左极限和右极限之间的值便可.
有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也
f:x,f(x)是闭区间,并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说,连续映射[a,b][m,M]把映射成.反过来,这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质.
4.闭区间上的连续函数必定一致连续.
先给出一致连续的定义:
,称f(x)在区间I上一致连续,如果f(x)在区间I上有定义,则对任意,0, 都存在,,0,使对任意x',x'',I,只要当x',x'',,时,都有f(x'),f(x''),,.
一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大.规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小.
由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的.下面给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明:
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,,,(Cantor定理)已知f(x),C[a,b],证明f(x)在[a,b]一致连续.
,,,,,,,,,证明:f(x)在xa右连续,故0,0,x',x''[a,a)[a,b],,,
此时便有x',x'',,且f(x'),f(x''),.,,,
,,,,,,,,,,,令Ex(a,b],x',x''[a,x],只要x'x'',便有f(x')f(x'').,,,,
由上述论证知a,(,),E.故E,,.又,x,E,都有x,b.故,,supE,[a,b].aa,
要注意到,对不同的,E是不同的,现在只针对某一个E进行讨论.,,,,,,,,,,,,,,,,,因f(x)在x连续(若b,则左连续),对上述,0,x',x''(,][a,b],,,,有x',x'',,且f(x'),f(x''),.,,,,,,,由上确界的定义知,,(,,],且,,0,,,,,,x',x'',[a,],只要x',x'',,有f(x'),f(x''),.
,,,,,,,,,取,min(,,,),则,x',x'',[a,],只要x',x'',,
,,,,,,,,,,,或者x',x''[a,],或者x',x''(,],无论如何,都有f(x')f(x'').
,,,,这就说明了对每一个所确定的E,supEE.
,往证每一个E的上确界,b.现在同样只对上述的E进行讨论.
,,,,,,,用反证法,若,b,对上述,,'(',b,)
,,,,,,,,,,,,,x',x''(','),有f(x')f(x'').
,,,,,,,,,,又'(',],且'0,,,
,,,,,,,,,x',x''[a,'],只要x'x''',有f(x')f(x'').,
,,,,,,,只需要取',min(',',,'),可知,x',x'',[a,,'),,,
,,,,只要x',x'',',都有f(x'),f(x''),.这与,supE矛盾.故,b
,,,,,,,,,,,,,这就说明了0,都0,只要x'x''(x',x''[a,b]),都有f(x')f(x'').故f(x)在[a,b]上一致连续.证完.
对Cantor定理的证明,可以通过函数的点连续,把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里面有类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件,把这种类似的性质拓展开去,变成整个区间上真正的一致连续.这个用确界定理的证
[a,,]明用到类似的思想,通过确界的定义找出β,通过β描述的性质.最后得出,,b的结论.确界定理的运用,与零点定理的证明一样,篇幅不多,但却是最主要的部分.而闭区间条件在证明中的反映,则是在“”处体现,若不是f(x)在x,,处连续
闭区间,“”未必成立.这引出了闭区间的条件是否能够削弱的f(x)在x,,处连续
问题,后面将会讨论到.下面给出用区间套定理的证明.区间套套出的点r,就是所谓的“联络点”.
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已知f(x),C[a,b],求证f(x)在[a,b]一致连续.,,
证明:用反证法,若f(x)在[a,b]不一致连续,即,,0,,,0,,x',x'',[a,b],0,,,
当x',x'',时有f(x'),f(x''),.若区间I对固定的满足这样的性质,记为I,P.00
先证明若[a,c],P,[c,b],P,则[a,b],P.,,,,
即对,,,0,,x',x'',[a,c],只要x',x'',,有f(x'),f(x''),.0110,,,
,,0,,y',y'',[c,b],只要y',y'',,有f(y'),f(y''),.220,,,,,00又f(x)在x,c连续,故对,,,',0,,x,U(c,'),都有f(x),f(c),22,,,,,令,min(,,'),,x,y,[a,b],只要x,y,,12,,或者x,y,[a,c],或者x,y,[c,b],有f(x),f(y),,又或者x,y,U(c,')0,,,00则有f(x),f(y),f(x),f(c),f(y),f(c),,,.即[a,b],P.022
记[a,b],[a,b],将[a,b]二等分,则至少有一个区间满足性质P,记为[a,b]1122如此下去构造出一个区间套,其中[a,b],P.nn
,
由区间套定理知存在唯一的r,[a,b],[a,b].:ii,i1
,,,,f(x)在x,r处连续,故对,,,0,只要x',x'',U(r,),便有f(x'),f(x''),.0000
,由于a,b,r(n,,),故,N,当n,N时,[a,b],U(r,).nnnn0
,,,,,,此时x',x''[a,b],都有f(x')f(x''),与[a,b]P矛盾.nn0nn
故f(x)在[a,b]上一致连续.
闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质.反过来,开区间连续函数多了一些不可控的性质,譬
11如函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数f(x),,或者如函数f(x),sinxx般,其图像在端点处无限折曲.这些性质都是由于在自变量很小的变化下,因变量产生了不可控制的变化.这是一致连续的其中一个反面.开区间上一致连续的函数,除了端点外,能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢?
先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因.开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度).开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”,或无限“折曲”. 在上文对
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有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用.闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画.而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在.因为只要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数.这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样.而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值.
回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的.有以下命题:
若f(x),C(a,b),则f(x)的(a,b)一致连续当且仅当limf(x)与limf(x)都存在.,,x,ax,b
,,,证明:",":f(x)在(a,b)一致连续,故,,0,,,0,只要x',x'',,x',x'',(a,b),
,,都有f(x'),f(x''),.于是,x',x'',(a,a,),
有x',x'',,故f(x'),f(x''),. ,,
由Cauchy收敛原理知limf(x)存在,同理可知limf(x)存在.必要性证完.,,x,ax,b
limf(x) x,a,,x,a,,",":补充端点处的定义,令g(x),f(x) a,x,b,
,limf(x) x,b,,x,b,
显然g(x),C[a,b],故g(x)在[a,b]一致连续,可知f(x)在(a,b)一致连续.充分性证完.
从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连.
参考文献:
邓东皋、尹小玲编著~数学分析简明教程~高等教育出版社~1999年版 裘兆泰等编~数学分析学习指导~科学出版社~2004年版
同济大学应用数学系编~微积分,上册,~高等教育出版社~2002年版
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范文三:浅谈闭区间上连续函数的性质
貔。‰墼学绣褒
一。,二……,‰麓二锄。一一彳…,…。…,,,。自然科学学科研究,,E警薹譬耋I理
浅谈闭区间上连续函数的性质
丁冰
(青岛酒店管理职业技术学院
山东?青岛266100)
M。
}摘要本文简介了闭区阕‰b】上连续函数的整体性,l;质以及证明,表述为有界函数定理,最值定理。介值定理一:
≯和一致连续性定理。
?_;≯关键词连续函数有界函数介值最值》
毳中图分类号:0174
文献标识码:A
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在讨论闭区间【a,b】上的连续函数的整体性质中,我们对最值定理,中间值定理和一致连续性定理作了简述,首先讨论最值定理、中间值定理。
由一致连续性定理知,上述两个定理的证明方法有多种。先阐述确界定理。假设f在【a,b】上连续,可证得函数在
【a’b】上也连续^,bl_罂§r(fX一了)=戚厂(,)?
证明:由连续函数在闭区间上必有上、下确界的性质,M(x)在【a,b】上处处有定义,因上确界随取值区间扩大而增大,则M(x)递增,故每点的单侧极限存在。
V)(o∈【a,b】,需证下列等式成立。即M(】(o-o)=M(‰)=M(‰+O)
(1)
...M(x)单调递增,贝lJM(x。-0)≤M(xo-o),又因Vx∈【a,柚,
.厂(.Y)≤suP/《,)=^fb)≤.A彳(而一0)
0■‘J
^射k)=sup.厂(,)s材k-0)
(1)左边等式成立。现证(1)式右边等式成立。
由反证法’..’M(X)单调递增,M()(0)≤M()(o+O)。假若M
()‘0+O)≥M()(0),则可取充分小的£o>0,使得M(xo+O)>M(曲
+岛.于是,对于X>Xo,
sup,(,)-.w(J)≥d,(而+o)>^,k)+‰
由确界定义,jt∈【a,x】,使得
f(x)>M(洳)+80≥f‰)+£o
(2)
但在【a,xo】上。f(x)≤M(弛)。则(2)式中,t∈【洳,x】与f(x)
的连续性矛盾。证毕。
我们知道,在闭区间上的连续函数都是有界的。我们由确界原理和致密性定理来证明最值定理.
证法h设函数f在【a,b】上连续,记M=sup厂b).
Hla川
则j{%}cb,6】,使得!骢瓜)=M(M可能为+∞,以下证明中
M为有限数)。
由致密性原理,j{)【II}的子列(可仍记作{)(_)),
则!岘‘=‰∈【口.6】?故由连续性得^f=熙/‰)=It.o),即f
在)(o点取得了最大值。
同理,可证关于最小值的结论。
证法2:令M=sup{f(x)),由定理:若函数f定义在【a,b】上,且连续,则它在该区间上有界,存在常数m与M,使得m≤f(x)≤
錾的≥■皿口衄衄
万方数据
必有f(x)由分点‰【a,b】分为两半。
若f芦勒=0,则c=爿≥;若f(旦勒≠o,则函数必在区间
【a,带或|学,b】上取异号值,满足在左边小于o,在右边大于
‘
‘
O。
铷【a。,b,】分成两半。若f(-学--)=o,则c=鱼挚,c点已找
假设为【al,b。】,则f(a。)0继续如法炮制,再用
到;若fp羚≠o,c点仍未找到。继续用‰。蝴表示。使得f
(o0。经过有限次后,总可以找到这一分点,在这一点处函数值为O。若仍未完成,我们得到了一个区间套,由区间套定理,则存在c—R,且满足liraaI-=lirab。一c,c∈【a,b】。
根据函数的连续性f(c)=liraf(a^)≤0,f(c)=limf(b.)≥O,所以必有f(c)=0,证毕。
可见,函数的连续性是一个本质条件,若f不连续,则定理也不成立。
一致连续性定理的证明:证法一:用确界定理证明。
因f(x)在a点右连续,可知了8>0,使f(x)在【a,a+6】一致连续。这时,若b>a+6,则问题解决:若b≥a+6,则作集合A={xlao)?故南
E主巨歪薹耋直胡…自然科学学科研究…~、…。』么易锄_,……,~缸一,。。。。,:7:///,,电子静字,与技术研究…,..荔
造的放大器,其断路频率都会不一样。某些特别规格的截波器断路频率可能低到只有数百赫兹,而大多数截波器则可能高达数万赫兹。
3截波器技术
截波器是如何降低其偏移电压的呢?下面就以图2为例来加以说明。
图2(a)则是新增到交流放大器输出上的一对开关器。这两个开关器是以并联的方式来运作。初始状态下,运算放大器以下面的输出管脚接地,当该对管脚被切换过来时,上面的管脚便会接地。这样的来回切换开关器,就是在切换输出的极性。
在这种以固定频率交变的过程中,任何补偿电压与极低频率的噪声都会被转换成交流讯号Vos。当开关器位于其中一个位置时,交流讯号会是+Vos,而当它位于另一个位置时则会是-Vos。因此在这种情况下可以很容易地过滤出噪声。但是,输入放大器的任何讯号也都将会被来回切换,这样就对信号的输出带来了困扰。
解决这个困扰的方式,便是在放大器的输入端安置同步开关器。图2(b)那些开关器是互相以并联的方式来运作的。并且与输出端的开关器同步。
藉由将那些开关器安置在输入端,就可以同步切换输入讯号的极性。使输入端相等于其在输出端的极性。例如,一个+lV的输入会在放大器的另一端维持为+lV。但是,在放大器输入端的输入开关右边产生的补偿电压,其极性将会被切换,就如同图2(a)所示。
所以,如果有一个增益为一A的放大器,就可以看到直流讯号在放大器的输出扩大为ViIl×(一A)。直流讯号将会在没有偏移误差的情况下通过截波器,除了其顶端的小方波之外。
为了将该小方波(小的高频率成份)从大的直流讯号上移除,可以使用如图2(c)所示的RC滤波器。于是就可以获取精确直流讯号的精确代表性波形。此外,这种截波器结构不仅仅只降低直流偏移电压,也会降低低频率(极端的低频率)噪声,它会将l/F角降低到零。
4集成截波器以增进增益频宽
当截波器精准地将直流的讯号放大时,整体来说,也有响应频率不足的现象。但仍会以单一放大器的方式来运作。为了增进放大器频率响应的精准度,目前已经出现了几种结合(上接第90页)连续)。易见A非空且有上界b,因而snpA存在,记为c,显然c≤b。
今证只有c=b,否则若c0使f(X)(c.5.,c+6,)在上一致连续,从而可推出f
注释
①秦世才,贾香鸾.模拟集成电子学.电子工业出版社,1996.1.
②高德远,攀晓娅等.大规模集成电路-系统和设计原理.电子工业出版社,
2003.7.
架构。璨成J一词表示将拥有不同特性的两个放大器集成在
~起,以增进放大器的效能。
其中一种架构是将一个简单的截波器当作运算放大器的auto-huller来使用。该截波器便会『偏压调整J运算放大器的输入。
而在另一个架构中,截波器则是扮演伺服补偿@的角色,其输出便会调整第二部放大器的输入阶段。(这与透过以8管脚DIP方式封装的旧型运算放大器上的第八根管脚来调整输入偏压的方式是一样的。)
第三种架构则是双输入放大器。如下图便是双输入放大器中的两个放大器的组态。低偏移放大器会以直流放大器的方式来运作,而该直流放大器则因为具有截波器的优点而拥有低偏移效能。高速放大器则必须采用以增进增益频宽的放大器。
图3集成截波器-双输入放大器
现在来看看这两个放大器的响应频率。在高速放大器设计中,最难的部分便是让其响应频率上有一个支架,而不是一般放大器每10倍下降20dB(20dB/decade)的典型特性,必须将该支架置入放大器中,这样才可以让低补偿放大器的响应频率堆栈在上面。
5结论
通过上面对放大器误差分析和截波器的高精确放大的特点,可以看出截波器在放大器领域的应用将更为广泛采用。提出集成截波器,将大大增强了放大器的讯号的精准度,也具有传统放大器响应频率。同时具有低补偿电压运作与较高的增益频宽,使得截波器的应用范围更广泛.
◎黄建文,艾西加,盂红霞等.微电子电路设计原理及应用.微电子技术应用丛
书。1999.7.
lim(b。-扎)=0,于是limb.=lim做-a.)+limaI=芎,从而
可知号∈h,bJ,由于f(x)在亏连续,即V£>0,j6I>0当lx-引<6时有If(x)-f(芎)I<£,又当n充分大时,必有‰,bAc(亏-
£。号+£),从而Vx’,x”∈‰^】当Ix'-矧<等时有|xt?x"l≤lx'?引+fxI.+矧<6。因而ff(xI)?f(x”)f≤|f(x.)?f(Ol+If(x。)?f(芎)I<2e。
这表明f(x)在k’b。】上一致连续,这与所作区间套的性质矛盾,所以f(x)在【a,b】上一致连续.参考文献
【l】张顺燕著数学的源与流【MI.北京:高等教育出版杜.2009.9.
【2】裴礼文著数学分析中的典型问题与方法【M】.北京:高等教育出版社,1993【3】吴良森等数学分析习题精解【M】北京:科学出版社。2002.2.【4】张燕州等.高等数学【M】.北京:科学出版社,2003.7.
【5J同济大学.高等数学【M】.北京:高等教育出版社,1988.4.
(x)在【a,c+6.】上一致连续,f(x)在【a。c+半】上一致连续,这与
c的作法矛盾,故只有c---b,换言之,f(x)在【a’b】上一致连续。
证法二:用单调有界数列必收敛证明。
若f(x)在【a,b】上连续但不一致连续,将【a,b】等分为两个区间,则f(x)至少在二者之一中不一致连续。记这样的一份为【a。bt】,今将【a1,b。】又二等分,同理又必有一份记为[a2,蝴,使f(x)在其上不一致连续,如此类推,可得区间套{‰,M),f(x)在每个闭区间套‰,bII】内都不一致连续,因为{aII)递增且有上界b。由单调有界数列必收敛知,{aII)必收敛,设liraan=芎,因
【6】林木元.一致连续性定理的若干证法.广西教育学院学报.2007“).
万方数据
浅谈闭区间上连续函数的性质
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
丁冰
青岛酒店管理职业技术学院,山东,青岛,266100科教导刊
THE GUIDE OF SCIENCE & EDUCATION2010(30)
参考文献(6条)
1. 林木元 一致连续性定理的若干证法[期刊论文]-广西教育学院学报 2007(04)2. 同济大学 高等数学 19853. 张燕州 高等数学 20034. 吴良森 数学分析习题精解 2002
5. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 19936. 张顺燕 数学的源与流 2009
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjdk201030055.aspx
范文四:闭区间上连续函数的证明
?????
2
P.172
1.设为R上连续的周期函数. 证明:在R上有最大值与最小值. ff
设的周期为T,则在[0, T]上连续,于是在[0, T]上有最大值与最小值.又因fff为为R上连续的周期函数,所以在R上有最大值与最小值. ff
2.设I为有限区间.证明:若在I上一致连续,则在I上有界. 举例说明此结论当Iff为无限区间时不一定成立.
设区间I的左右端点分别为,因在I上一致连续,所以对,存在a,b,,1,,0f
b,a,,,,,,,,,,(,),使得当,且时,有. 令x,x,I|x,x|,,|f(x),f(x)|,12
,,a,a,b,b,[a,b][a,b]M,0,,则在上连续,于是在上有界,即存在,ff111111122
使得在[a,b]上|f(x)|,M. 111
另一方面,当x,[a,a),I|x,a|,,|f(x),f(a)|,1时,有,于是,111
|f(x)|,|f(a)|,1x,(b,b],I|f(x)|,|f(b)|,1;同样当时,有. 111
令M,max{M,|f(a)|,1,|f(b)|,1},则对任何x,I,都有|f(x)|,M. 111
设f(x),x,则在(,,,,,)上一致连续,但在(,,,,,)上无界. ff
sinx3.证明:f(x),在(0,,,)上一致连续. x
sinx 因为lim,1,,,00,x,,,,,0,所以,,当时,有 11,x,0x
,sinx,,|1|. ? x2
sinx又因为lim,0,N,0x,N,所以,当时,有 x,,,x
,sinx,||. ? x2
sinx令a,,2b,N,,2[a,b][a,b],,显然在连续,于是在一致连续,从而11x
,,,,,,,,,0|x,x|,,x,x,[a,b],当且时,有 22
,,,sinxsinx. ? |,|,,,,,xx
现在取,,,,,,,当且时,则必有以下三种,,min{,2,,}x,x,(0,,,)|x,x|,,12
情形之一发生:,,,,,,,,,或者或者 x,x,(0,,)x,x,[a,b]x,x,(N,,,)1
N,0ab1
,,,,,,sinxsinxsinxsinx,,若,,,|,|,|,1|,|,1|,,,,x,x,(0,,),由?式,有 1,,,,,,xxxx22
,,,,,,sinxsinxsinxsinx若,,,,由?式,有|,|,||,||,,2,,2,, x,x,(N,,,),,,,,,xxxx
,,,sinxsinx若,,,|,|,,,由?式,有. x,x,[a,b],,,xx
sinx所以在上一致连续. f(x),(0,,,)x
4.试用有限覆盖定理证明根的存在定理.
证 设在连续,,. 由连续函数的局部保号性,存在,,,0[a,b]f(a),0f(b),0f
使得在内,在内. [a,a,,)f(x),0(b,,,b]f(x),0
假设对任何x,(a,b)f(x),0x,都有,则由连续函数的局部保号性,存在的某000邻域U(x,;),(x,,,x,,)f(x),使得在此邻域内且的符号与f(x),0f(x)0x0x0x0000
的符号相同. 集合族
H,{(x,,,x,,)|x,(a,b)},{[a,a,,)},{(b,,,b]} xx
是[a,b]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在的一个有限子集 H
*H,{(x,,,x,,)|i,1,2,?,n},{[a,a,,)},{(b,,,b]} iiii
**覆盖了H[a,b]f(x),0f(x),0. 将中的邻域分成两部分:使的邻域记为,使的邻H1
**域记为HH(x,,,x,,). 的所有开区间中右端点最大的区间记为,令这个最大的21kkkk右端点x,,,,(b,,,b]f(x),0,,b,,a,,(a,b). 因为在内,所以,,即. 因kk
**为(x,,,x,,)[a,b]覆盖了,所以存在中的一个区间,使得HHiiii
*H,,(x,,,x,,),. 由于是的所有开区间右端点中最大的,故区间1iiii
**HH(x,,,x,,),x,(x,,,x,,)f(x),0不属于而属于,从而,有. 因为12iiiiiiii
区间的右端点属于区间,所以区间(x,,,x,,)x,,,,(x,,,x,,)kkkkkkiiii
必与区间相交,那么在这两个区间相交的公共部分(x,,,x,,)(x,,,x,,)iiiikkkk
(x,,,x,,)内既大于零,又小于零,矛盾. fiikk
5.证明:在上的连续函数为一致连续的充要条件是与都存(a,b)f(a,0)ff(b,0)
在.
证 (必要性)设,,,在上一致连续,故,,当且(a,b),,,0,,,0x,x,(a,b)f
,,,,,,时,成立. |x,x|,,|f(x),f(x)|,,
于是当,,,,,,,,,,,时,必有,从而x,x,(a,b)0,x,a,,0,x,a,,|x,x|,,
,,,. 由Cauchy收敛准则,可知存在,同理可证存在. |f(x),f(x)|,,f(a,0)f(b,0)
(充分性)补充定义,,则在连续,于是f(a),f(a,0)f(b),f(b,0)f[a,b]f在一致连续,从而在一致连续. [a,b](a,b)f
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范文五:闭区间上连续函数性质的证明
?3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )
一. 有界性:
命题1 , 在上. 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.
证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
二. 最值性:
命题2 , 在上取得最大值和最小值.
( 只证取得最大值 )
证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.
命题3 ( 零点定理 )
证法 一 ( 用区间套定理 ) .
证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 . 令, 则非空有界, 有上确界. 设
有. 现证
, ( 为此证明且 ). 取> 且
.
由在点连续和, ,
. 于是. 由在点连续和
,
. 因此只能有. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
四. 一致连续性:
命题4 ( Cantor定理 )
证法 一 ( 用区间套定理 ) .
证法 二 ( 用列紧性 ).
二. 实数基本定理应用举例:
例1 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果
,
, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )
证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 ) 设集合 . 则, 不空 ; , 有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设 , 则 .
下证 .
?) 若, 有; 又, 得.
由 递增和, 有, 可见. 由
,
. 于是 , 只能有.
?) 若, 则存在内的数列, 使?, ; 也存在
数列
, ?,. 由递增, 以及, 就有式
对任何 成立 . 令, 得
于是有.
证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或
时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分
点为 . 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会
出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取
, 如此得一级区间
. 依此构造区间套, 对,有 . 由区间套定理, , 使对
任何,有.
现证.
事实上, 注意到时?和?以及递增,就有
.
令 , 得于是有.
例2 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有
,
. 试证明: 方程 在区间 内有实根 .
证 构造区间套,使 .由区间套定
理,, 使对,
有. 现证 . 事实上, 由在上的递增性和
的构造以及?
和?,, 有
.
注意到在点连续,由Heine归并原则, 有
,
, . 为方程在区间
内的实根.
例3 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 .
证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体实数是可列的,即可排成一列:
把区间 三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含,记该区间为一级区间. 把区
间三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含,记该区间为二级区间. ?? .
依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理,
, 使对, 有
. 当然有 . 但对 有 而
, . 矛盾.
习 题 课 ( 4 时 )
一( 实数基本定理互证举例:
例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.
证 设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界,
是的上界. 易见
在闭区间 内含有数列的无穷多项, 而在 外仅含有的有限项. 对分, 取
使有的性质.??.于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数
列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .
例5 用“确界原理”证明“区间套定理”.
证 为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原
理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .
设 , .易见有 和.
由,.
例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.
证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每
一点都不是的聚点, 则对
, 存在开区间 , 使在内仅有的有限个点. ?? .
例7 用“确界原理”证明“聚点原理”.
证 设为有界无限点集. 构造数集 中大于的点有无穷多
个.
易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对
,由不是的上界
中大于的点有无穷多个; 由是的上界, 中大于的点仅有有限个. 于是, 在
内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .
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