范文一:导数的概念与运算
导数的概念及运算
导学目标: 1. 了解导数概念的实际背景,理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2. 能根据
12
导数定义,求函数y =C (C 为常数) ,y =x ,y =x ,y =x y =x 的导数.熟记基本初等函数的导数公式(c ,x m (m 为有理数) ,sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln 数,记作____________.
4.基本初等函数的导数公式表
x ,log a x 的导数) ,能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b )) 的导数.
自主梳理
1.函数的平均变化率
一般地,已知函数y =f (x ) ,x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx=x 1-x 0,Δy=y 1-y 0=f (x 1) -f (x 0) =f (x 0+Δx ) -f (x 0) ,则当Δx ≠0时,商____________Δy
Δx y =f (x ) 在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的
平均变化率.
2.函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数 (1)定义
函数y =f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x ) 在x =x 0处的导数,并记作f ′(x 0) ,即______________________________.
(2)几何意义
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是过曲线y =f (x ) 上点(x 0,f (x 0)) 的____________.导函数y =f ′(x ) 的值域即为__________________.
3.函数f (x ) 的导函数
如果函数y =f (x ) 在开区间(a ,b ) 内每一点都是可导的,就说f (x ) 在开区间(a ,b ) 内可导,其导数也是开区间(a ,b ) 内的函数,又称作f (x ) 的导函
(1)[f (x )±g (x )]′=__________; (2)[f (x ) g (x )]′=______________;
(3)??
f (x )?
?g (x )??
′=______________ [g (x )≠0]. 6.复合函数的求导法则:设函数u =φ(x ) 在点x 处有导数u x ′=φ′(x ) ,函数y =f (u ) 在点x 处的对应点u 处有导数y u ′=f ′(u ) ,则复合函数y =f (φ(x )) 在点x 处有导数,且y ′x =y ′u ·u ′x ,或写作f ′x (φ(x )) =f ′(u ) φ′(x ) .
自我检测
1 . f ′(x =3,则lim f (x 0+h )-f (x 0-h )
0) h →0 h
等于( ) A .3 B .6 C .9 D .12 2.设y =x 2·e x ,则y ′等于( ) A .x 2e x +2x B .2x e x C .(2x +x 2)e x D .(x +x 2)·e x
3.若曲线y =x -11
2(a ,a -2
处的切线与两个坐标轴围成的三角形
的面积为18,则a 等于 ( ) A .64 B .32 C .16 D .8
4.若函数f (x ) =e x +a e -x 的导函数是奇函数,并且曲线y =f (x ) 的一条
切线的斜率是3
2
,则切点的横坐标是 ( )
A .-ln 2ln 22 B .-ln 2 C. 2
D .ln 2
5.已知函数f (x ) =f ′ππ
4)cos x +sin x ,则f (4
=________.
题型一导数的运算 例1求函数的导数
(1)y =(1-x ) ? 1?
1+?x ??; (2)y =ln x x (3)y =x e x ; (4)y =tan x .
变式迁移1求下列函数的导数:
(1)y =x 2sin x ; (2)y =3x e x -2x
+e ; (3)y =ln x x +1
题型二求复合函数的导数 例2 (2011·莆田模拟) 求下列函数的导数:
(1)y =(1+sin x ) 2;(2)y =11+x ; (3)y =x +1; (4)y =x e 1-cos x
.
变式迁移2求下列函数的导数:
(1)y =12?(1-3x )
4 (2)y =sin ?2x +π?3?; (3)y =x 1+x .
题型三导 数的几何意义 例3已知曲线y =133+4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
变式迁移3求曲线f (x ) =x 3-3x 2+2x 过原点的切线方程.
1332
s =-+2t ,那么速度为零的时刻是__________. 32
一、选择题(每小题5分,共25分) 7.若点P 是曲线f (x ) =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2
f (1-2Δx )-f (1)的最小距离为________. lim 1.已知函数f (x ) =2ln(3x ) +8x ,则的值为 导数概念课后练习
?x →0Δx ( ) A .10 B .-10 C .-20 D .20 2.如图是函数f (x ) =x 2
+ax +b 的部分图象,则函数g (x ) =ln x +f ′(x ) 的零点所在的区间是 (
) A. ? 11??1?
?42?? B .(1,2 ) C. ?21??
D .(2,3) 3.若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程
为 ( )
A .4x -y -3=0 B .x +4y -5=0 C .4x -y +3=0 D .x +4y +3=0 4.已知点P 在曲线y =4e +1
α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A. ???0,π??ππ??π3π??3π?
4?? B. ??42?? C. ?24?? D. ?4π??
5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x 1,x 2(x 1≠x 2) ,|f (x 2) -f (x 1)|<|x 2-x="" 1|恒成立”的只有="" (="" )="" a="" .f="" (x="" )="" =1x="" b="" .f="" (x="" )="" =|x="">|x>
C .f (x ) =2x D .f (x ) =x 2
二、填空题(每小题4分,共12分) 6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为8.设点P 是曲线y =x 33
-x 2
-3x -3上的一个动点,则以P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是__________________. 9.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板
以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m 时,梯子上端下滑的速度.
10.已知函数f (x ) =12
2
-a ln x (a ∈R) . (1)若函数f (x ) 的图象在x =2处的切线方程为y =x +b ,求a ,b 的值;
(2)若函数f (x ) 在(1,+∞) 上为增函数,求a 的取值范围.
f (x ) =e x 1-x e x
(1)1+x x 0=2;(2)f (x ) x -x 3+x 2ln x
x ,x 0=1.
围 求下列函数在x =x 0处的导数.
自主梳理 1.
f (x 0+△x ) -f (x 0)
△x
2. (1)△
lim △y x →0
△x
f '(x 0) =△lim △y
x →0△x (2)切线的斜率 切线斜率的取值范
3.y ′或f ′(x)
4.0 αxα-1 cos x -sin x a x ln a e x
1x ln a
1x 5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x ) g (x ) +f (x ) g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]自我检测
1.C 2.C 3.A 4.D 5.1
解析 ∵f ′(x ) =-f ′(π
4 x+cos x ,
∴f ′(π
4=2-1.
∴f (π
4
=1.
课堂活动区
例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式Δy
Δx Δx 这一因式约掉才可能求出极限,所以目标就是分子中出现Δx ,从而分子分母相约分.
(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是处理根式问题常用的方法,有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”.
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别:
f '(x (f (x 0+△x ) -f (x 0)
0) =△lim x →0△x
; f '(x ) =lim
f (x +△x ) -f (x ) △x →0
△x
;
(4)用导数的定义求导的步骤为: ①求函数的增量Δy ;②求平均变化率Δy
Δx
③化简取极限. 解 (1)Δy f (1+Δx )-f (Δx =1)
Δx
△=
∴f '(1)=△y △lim
x →0△x =△lim
x → =-12
(2)Δy f (x +Δx )-f Δx =(x )Δx
11
=-
△x
=(x +2)-(x +2+Δx )Δx (x +2)(x +2+Δx )=-1
(x +2)(x +2+Δx )
, ∴f '(x ) =lim △y -1
△
x →0
△x =△lim x →0(x +2)(x +2+△x )
1
(x +2).
变式迁移1 解 ∵Δy =(x 0+Δx )+1x 0+1
=(x 0+Δx )2+1-x 20-1(x 0+Δx )+1x 0+12x 0Δx +(Δx )2
=(x +Δx )+1+x 1, 00+∴Δy
2x 0
+Δx Δx (x 0+Δx )+1+x 0+1
∴
△y
△△x =
∴y
'=△y △△lim x →0△x =△lim
x → 2x 2x +1x +1
例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形.
解 (1)∵y =(1-x )
? ?
1+1?
x ? 1x
-x =x -
11
2-x 2,
∴y ′=(x -
1
12)' -(x 2
)'
=1-3-x 21
-12-2
x 2.
(2)y ′=? ln x ?
(ln x )′x -x ′ln x?x ??
′=x
1
=x -ln x
1-ln x x 2=x
2
. (3)y ′=x ′e x +x (ex ) ′=e x +x e x =e x (x +1) . (4)y ′=? sin x ?
(sin x )′cos x -sin x (cos x )′?cos x ?′=cos x
cos x cos x -sin x (-sin x )1
cos x cos x
变式迁移2 解 (1)y ′=(x 2
) ′sin x +x 2
(sin x ) ′=2x sin x +x 2
cos x .
(2)y ′=(3x e x ) ′-(2x ) ′+(e)′ =(3x ) ′e x +3x (ex ) ′-(2x ) ′ =3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2 =(ln 3+1)(3e)x -2x ln 2.
(3)y ′=(ln x )′(x 2+1)-ln x (x 2+1)′(x +1)1x x 2
+1)-ln x ·
2x =x 2+1-2x 2ln x (x 2+1)2=x (x 2+1)2
.
例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为: 分解复合关系→分解复合关系→分层求导
(2)由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.
解 (1)y ′=[(1+sin x) 2]′ =2(1+sin x)·(1+sin x ) ′ =2(1+sin x )·cos x =2cos x +sin 2x .
(2)y ′=??2
-1
??
(1+x ) 2??
′
3
=(1+x 2
)
-
2
(1+x 2)'
=-x (1+x 2
)
-32
=
(3)y ′=(lnx +1) ′ 1x +1(x +1) ′
1x +1
12x 2+1) -12·(x 2
+1) ′ x
x +1
(4)y ' =(xe 1-cos x )' =e 1-cos x +x (e 1-cos x )' =e 1-cos x +x [e 1-cos x (1-cos x )']=e
1-cos x
+xe
1-cos x
sin x
=(1+x sin x ) e 1-cos x .
变式迁移3 解 (1)设u =1-3x ,y =u -4. 则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·(-3) 12(1-3x ). (2)设y =u 2
,u =sin v ,v =2x +π
3
,
则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2 =4sin ? ?2x +π?π?3?
?·cos ?2x +3??
=2sin ? ?4x +2π?3??
. (3)y ′=(x 1+x ) ′ =x ′1+x +x (1+x ) ′
2
1+2
1+x +x 2x 1+x =1+x
例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异;过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上,而在点P 处的切线,必以点P 为切点.
(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可.
(3)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决. 解 (1)∵y ′=x 2,
∴在点P (2,4)处的切线的斜率k =y ′|x =2=4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y -4=4(x -2) , 即4x -y -4=0.
(2)设曲线y =133+4
?133P (2,4)的切线相切于点A ?
x 0,3x 0
+4?3??,则切线的斜率k =y ′|x =x 0=x 20.
∴切线方程为y -? 134??30+3?
=x 2
0(x -x 0) ,
即y =x 20
x -2334
0+3
. ∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 2
240-330+3
,
即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 2
0+4=0,
∴x 20(x 0+1) -4(x 0+1)(x 0-1) =0, ∴(x 0+1)(x 0-2) 2=0, 解得x 0=-1或x 0=2,
故所求切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. (3)设切点为(x 0,y 0) ,则
切线的斜率为k =x 20=1,解得x 0=±
1, 故切点为? ?
1,5?
3??,(-1,1) . 故所求切线方程为y -5
3x -1和y -1=x +1,
即3x -3y +2=0和x -y +2=0.
变式迁移4 解 f ′(x ) =3x 2-6x +2. 设切线的斜率为k .
(1)当切点是原点时k =f ′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y =2x .
(2)当切点不是原点时,设切点是(x 0,y 0) ,则有y 0=x 30-3x 2
0+2x 0,k f ′(x 0) =3x 2
0-6x 0+2,①
又k =y 2
x 0=x 0-3x 0+2,②
由①②得x 31
0=2k =-4
∴所求曲线的切线方程为y =-1
4
x .
综上,曲线f (x ) =x 3-3x 2+2x 过原点的切线方程为 y =2x 或y =-1
4x .
课后练习区
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.1秒或2秒末 7. 2
8.12x +3y +8=0
x
9.解 (1)∵f ′(x ) =?2e ?(2e x )′(1-x )-2e x (1-x )′
?1-x ??
′=(1-x )=
2(2-x )e x
(1-x ),∴f ′(2)=
0. ………………………………………………………………(6分)
(2)∵f ′(x ) =(x -3
2′-x ′+(ln x ) ′
=
-
32
x
-
52
-
1
+
1x
,
∴f ′(1)
=
-
3
2
……………………………………………………(12分) 10.解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米, 则s =5-25-9t , 当下端移开1.4 m 时,……………………………………………………………………(3分)
t 1.4
0=3
=
7
15,……………………………………………………………………………(5分)
又s ′=-11
2(25-9t 2) -2
·(-9·2t )
=9t 125-9t ,……………………………………………………………………
……(10分)
所以s ′(t 71
0) =91525-9×? 7?
2
?15?
?
=
=0.875 (m /s ) .
故所求的梯子上端下滑的速度为0.875
与对数函数
m /s . ……………………………………………(12分)
11
.
解
(1)
因
为
f ′(x )
=
x
-
a x (x >0),……………………………………………………(2分)
又f(x ) 在x =2处的切线方程为y =x +b , 所
以
?2-a ln 2=2+b ,
?
…………………………………………………………
?2-a
2=1,
…(5分)
解
得
a =2,b =-2ln
2. ……………………………………………………………………(7分)
(2)若函数f (x)在(1,+∞) 上为增函数, 则
f ′(x ) =x -a
x ≥0
在(1,+∞) 上恒成
立,……………………………………………(10分)
即a ≤x 2在(1,+∞) 上恒成立. 所
以
有
a ≤1.?????????????????????????????(14分)
导学目标: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2. 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数(a>0,a ≠1) 。
自主梳理 1.对数的定义
如果________________,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作__________,其中____叫做对数的底数,______叫做真数.
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)
①a log a
N =____; ②log a 1=____;
③log a a N =____; ④log a a =____. (2)对数的重要公式
①换底公式:log b N =________________(a,b 均大于零且不等于1) ; ②log a b =
1
log ,推广log a b ?log b c ?log c d =________. b a
(3)对数的运算法则
如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么
①log a (MN)=___________________________;
②log M
a N ______________________;
③log a M n =__________(n∈R) ;
④log n
n
a m
M =m
a M .
3.对数函数的图象与性质
4. 反函数
指数函数y =a x 与对数函数____________互为反函数,它们的图象关于直线______对称.
自我检测
1. 2log510+log 50.25的值为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .4
2.设2a
=5b
=m ,且11
a b
=2,则m 的值为 ( )
A. 10 B .10 C .20 D .100
3.(2009·辽宁) 已知函数f (x ) 满足:当x ≥4时,f (x ) =? 1?x
?2??
;当x <>
时,f (x ) =f (x +1) .则f (2+log 23) 的值为 ( )
A. 124 B. 112 C. 18 D. 38
4.定义在R 上的偶函数f (x ) 在[0,+∞) 上递增,f (1
3=0,则满足
f (log1x ) >0的x 的取值范围是
8
( )
A .(0,+∞) B .(0,1
2∪(2,+∞)
C .(0,18∪122) D .(0,1
2
)
5.已知0
题型一 对数式的化简与求值 例1 计算:(1)log 2-3(2-) ; (2)1232494
38+lg 245;
(3)已知x -y
y ,求log x
2
=lg x +lg (3-2
2)
y
.
变式迁移1 计算: (1)log72
48+log 12-1
22
log 242-1; (2)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25.
题型二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小. ①log 2633log 55
②log 1.10.7与log 1.20.7.
(2)已知log 1
,比较2b, 2222a, 2c 的大小关系.
变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ) 设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则 ( )
A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .b >c >a
(2)设a ,b ,c 均为正数,且2a
=log ,(1) b =log 1c
1a 1b ,() =log 2c 222
2,
则 ( )
A .a
例3 已知f (x ) =log a >0且a ≠1) ,如果对于任意的x ∈[1
a x (3,2]都
有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围.
变式迁移3 已知函数f (x ) =|lg x |,若0
a +2b 的取值范围是
( )
f (x ) =ln x ,则有
A .(22,+∞) B .[22,+∞) C .(3,+∞) D .[3,+∞)
课后练习
1.设M ={y |y =(12) x
,x ∈[0,+∞)},N ={y |y =log 2x ,x ∈(0,1]
则集合M ∪N 等于 ( )
A .(-∞,0) ∪[1,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,1] D .(-∞,0) ∪(0,1) 2.设a =log 51
32,b =ln 2,c =2 ( )
A .a
x ,x >0,3.若函数f (x ) =?
???log 1
2
-x ) ,x <>
若f (a )>f (-a ) ,则实数a 的取值范围是( )
A .(-1,0) ∪(0,1) B .(-∞,-1) ∪(1,+∞)
A .f (13f (2)
2f (2)
)
5.已知函数f (x ) =a x +log a x (a >0,a ≠1) 在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为
A. 12 B. 1
4 C .2 D .4 二、填空题
6.2lg 52
3
+lg 5·lg 20+lg 22=________.
7.已知函数f (x ) =lg ax +a -2
x
[1,2]上是增函数,则实数a 的
取值范围是____________.
8.已知f (3x ) =4x log 23+233,则f (2)+f (4)+f (8)+?+f (28) =
________.
三、解答题
9.已知f (x ) =2+log 3x ,x ∈[1,9],求y =[f (x )]2+f (x 2) 的最大值
及y 取最大值时x 的值.
.已知函数f (x ) =log a (x +1) -log a (1-x ) ,(1)求f (x ) 的定义域;
(2)判断f (x ) 的奇偶性并予以证明; (3)若a >1时,求使f (x )>0的x 的解集.
a >0且a ≠1.
11.(14分)(2011·郑州模拟) 已知函数f (x ) =lg(a x -b x )(a >1>b >0). (1)求y =f (x ) 的定义域;
(2)在函数y =f (x ) 的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x 轴;
(3)当a ,b 满足什么条件时,f (x ) 在(1,+∞) 上恒取正值.
1.a x =N(a>0,且a ≠1) x =log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log ②loga d (3)①loga M +log a N ②loga M -log a N ③nlog a M
a b
10
3.(1)(0,+∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y="">0><0 y="">0 (6)增 (7)减 4. y =log a x y =x 自我检测 1.C 2.A
3.A [因为3<2+log>2+log><4,故f (2+log="" 23)="" =f="" (2+log="" 23+1)="" =f="">4,故f>
+log .又3+log ?1?3+log23?1?311
23) 23>4,故f (3+log 23) = ?2??= ?2??·3=24
.]
4.B [由题意可得:f (x ) =f (-x ) =f (|x |),f (|log11
8|)>f (3,f (x )
在[0,+∞)上递增,于是|log118|>3x 的取值范围是(0,1
2∪(2,
+∞).]
5.m >n
解析 ∵m <0,n>0,n><0,∵m>0,∵m>
log a c ·log c b =log a b 例1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化. 解 (1)方法一 利用对数定义求值: 设log (2+3) (2-3) =x , 则(2+3) x =2-3=1 3 =(2+3) -12+, ∴x =-1. 方法二 利用对数的运算性质求解: log 1 (2+ ) (2-3) =log (2+ 3) (2+) =log (2+3) (2+) -1=-1. (2)原式=12-lg 49)-41 32 12=1431 2(5lg 2-2lg 7)-32+2+lg 5) =52-lg 7-2lg 2+lg 7+1 2=12+1 2 =12112=2 (3)由已知得lg(x -y 22 =lg xy , ∴( x -y 22 ) =xy ,即x 2-6xy +y 2=0. ∴(x y 2-6(x y ) +1=0. ∴x y =3±22. ?x -y >0,∵??x >0,??y >0, ∴x y >1,∴x y =3+22, ∴log x (3-2 2) y =log (3-22) (3+22) =log 1 -22 3-2 =-1. 变式迁移1 解 (1)原式=log 7 2 48 +log 212-log 242-log 22 =log 7×122 48×42×2=log 133 222 =log 22-2=-2(2)原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25 =21g 2+lg 25=lg 100=2. 例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型,解决此类问题的方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相同,可转化为同底(利用换底公式) 或利用对数函数图象,数形结合解得;③若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较. 解 (1)①∵log 2 3331=0, 而log 626 55>log51=0,∴log 3355. ②方法一 ∵0<><><1.2, ∴0="">log0.71.1>log0.71.2. ∴ 1 1 log 1.2 0.71.1log 0.7由换底公式可得log 1.10.7<> 方法二 作出y =log 1.1x 与y =log 1.2x 的图象, 如图所示,两图象与x =0.7相交可知log 1.10.7 2x 为减函数, 且log 12<><> 2c ,∴b >a >c . 而y =2x 是增函数,∴2b >2a >2c . 变式迁移2 (1)A [a =log 11113π>1,b =223,则2b <1,c =2log="">1,c><2∴a>b >c .] (2)A [∵a ,b ,c 均为正, ∴log 1112=2a >1,log 2=(b 2∈(0,1), log (1 2c =2) c ∈(0,1). ∴0 2,2b <> 故a 例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于x ∈[1 32]时, |f (x )|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为 最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a 为参数,需对a 分类讨论. 解 ∵f (x ) =log a x , [画出函数f (x ) =|lg x |的图象如图所示.∵0 则y =|f (x )|的图象如右图. 由图示,可使x ∈[1 32]时恒有|f (x )|≤1, 只需|f (11 3a 3≤1, 即log 1 a a -1≤loga 3 a a , 亦当a >1时,得a -1 ≤1 3 ≤a ,即a ≥3; 当0 ≥11 3≥a ,得0 综上所述,a 的取值范围是(0,1 3∪[3,+∞). 变式迁移3 C ∴01,∴lg a <0,lg b="">0.由f (a ) =f (b ) , ∴-lg a =lg b ,ab =1. ∴b =1a a +2b =a +2a 又0 a (0,1)上是减函数, ∴a +22 a +13,即a +2b >3.] 课后练习区 1.C [∵x ≥0,∴y =(1 2 x ∈(0,1],∴M =(0,1]. 当0 2.C [∵11 a log 23>1,b =log 2e>1,log 23>log2e. ∴1a 1 b >1,∴0 ∵a =log 32>log3=113 2a >2 M ∪N =∴ b =ln 2>ln e =12b >1 2c =5-111 2=52 ,∴c 3.C [①当a >0时,f (a ) =log 2a ,f (-a ) =log 1a , 2 f (a )>f (-a ) ,即log 1 2a >log 1a =log 22 a ∴a >1 a ,解得a >1. ②当a <0时,f (a="" )="" =log="" 1(-a="" )="" ,f="" (-a="" )="" =log="" 2(-a="" )="">0时,f> 2 f (a )>f (-a ) ,即log 1(-a ) >log2(-a ) =log 1 1 2 2 -a , ∴-a <> -a ,解得-1 由①②得-11.] 4.C [由f (2-x ) =f (x ) 知f (x ) 的图象关于直线x =2-x +x 2=1对 称,又当x ≥1时,f (x ) =ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大, ∵|2-1|>|13-1|>|1 2-1|, ∴f (11 2) f (2).] 5.C [当x >0时,函数a x ,log a x 的单调性相同,因此函数f (x ) =a x +log a x 是(0,+∞)上的单调函数,f (x ) 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=a 2+a +log a 2,由题意得a 2+a +log a 2=6+log a 2. 即a 2+a -6=0,解得a =2或a =-3(舍去) .] 6.3 7.(1,2) 解析 因为f (x ) =lg ? a -2? ?a x ?? 在区间[1,2]上是增函数,所以g (x ) =a +a -2 x 在区间[1,2]上是增函数,且g (1)>0,于是a -2<0,且2a -2="">0, 即1 8.2 008 解析 令3x =t ,f (t ) =4log 2t +233, ∴f (2)+f (4)+f (8)+?+f (28) =4×(1+2+?+8) +8×233=4×36+1 864=2 008. 9.解 ∵f (x ) =2+log 3x , ∴y =[f (x )]2+f (x 2) =(2+log 3x ) 2+2+log 3x 2=log 23x +6log 3x +6=(log3x +3) 2-3. ??(4分) ∵函数f (x ) 的定义域为[1,9], ∴要使函数y =[f (x )]2+f (x 2 ) 有意义,必须??? 1≤x 2 ≤9,??1≤x ≤9, ∴ 1≤x ≤3,∴0≤log3x ≤1,(8分) ∴6≤(log3x +3) 2-3≤13. 当log 3x =1,即x =3时,y max =13. ∴当x =3时,函数y =[f (x )]2+f (x 2 ) 取最大值 13. ???????????????(12分) 10.解 (1)f (x ) =log ??x +1>0, a (x +1) -log a (1-x ) ,则? ?? 1-x >0, 解得- 1 故 所 求 函 数 f (x ) 的定义域为{x |-1 (2)由(1)知f (x ) 的定义域为{x |-1 - f (x ) ,故f (x ) 为奇函数.????????????????????????(8分) (3)因为当a >1时,f (x ) 在定义域{x |-1 x +1 1-x 解得 0 f (x )>0的x 的解集是 {x |0 11.解 (1)由a x -b x >0,得(a x a b ) >1,且a >1>b >0,得b >1,所以x >0, 即f (x ) 的定义域为(0,+ ∞).??????????????????????????????????(4分) (2)任取x 1>x 2>0,a >1>b >0,则a x 1 >a x 2 >0,b x 1 ,所以 a x 1-b x 1>a x 2-b x 2>0, 即lg(a x 1 -b x 1 ) >lg(a x 2 -b x 2 ) .故f (x 1)>f (x 2) . 所 以f (x ) 在(0,+∞)上为增函 数.?????????????????????(8分) 假设函数y =f (x ) 的图象上存在不同的两点A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,使 直线平行于x 轴,则x 1≠x 2,y 1=y 2,这与f (x ) 是增函数矛盾. 故函数y =f (x ) 的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴.????(10分) (3)因为f (x ) 是增函数,所以当x ∈(1,+∞)时,f (x )>f (1).这样只需f (1)=lg(a -b )≥0,即当a ≥b +1时,f (x ) 在(1,+∞)上恒取正 值.?????????????????(14分) ?x -y +1≥区域? 0?x +ay -2≤0?内任一点, A (1,-2) , ? x +4y +1≥0若z =OA ?OM 的最大值为5,则a = 8 。 ①f (x ) 在(-∞, +∞) 上不是单调函数 ②?m ∈(0,1),使得方程f (x ) =m 有两个不等的实数解; ③?k ∈(1, +∞), 使得函数g (x ) =f (x ) -kx 在R 上有三个零点; ④?x 1, x 2∈R , 若x 1≠x 2, 则f (x 1) ≠f (x 2). 高三数学课间训练7(理优 ) 一、选择题: 1. 是“对任意的正数x , 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2, y 0) . 若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= A B C .4 D 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数,则数列{S n }中一定为常数的是 A .S 7 B .S 8 C .S 13 D .S 14 4.已知点P 为?ABC 所在平面上的一点,且AP =x ?AB +y ?AC ,其中x 、y 为实数,若点P 落在?ABC 的内部或边界上,则x 2+y 2的最大值是 A .1 B 2 C .1 D.2 5.若函数f (x ) =sin ωx (ω>0) 在区间[ π3, π 2 ]上单调递减,则ω取值范围是 A .0≤ω≤230≤ B .ω≤323 2 C.3≤ω≤3 D.2 ≤ω≤3 双曲线x 225-y 2 8. 24 =1上的点P 到一个焦点的距离为11, 则它到另一个焦点的距离为 A . 1或21 B . 14或36 C . 1 D . 21 7.已知对任意m ∈R ,直线x +y +m =0都不是f (x ) =x 3- 3ax (a ∈R ) 的切线,则 a 的取值范围是 A 8 F 1, F 2 则该椭圆离心率的取值范围是 A B C D 9.已知x 、y ∈R A B C D a ,最小值为b ,则a +b 的值是 10 培英高中2009,2010学年高三数学教案 课题 导数的概念与运算 备课教师:王运钦 预期讲授时间:25分钟 实际讲授时间:_______分钟 ?知识梳理 用定义求函数的导数的步骤. 1. (1)求函数的改变量Δy; ,y(2)求平均变化率. ,x ,y,flim(3)取极限,得导数(x)=. 0,x,0,x 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线f(x)在某一点(x,y)处的导数是过点(x,y)的切线斜率. 0000物理意义:若物体运动方程是s=s(t),在点P(i,s(t))处导数的意义是t=t处的瞬时速度. 0003.求导公式 ,nn1,,))(c=0,(x=n?x(n?N*). 4.运算法则 ,,,]f]如果f(x)、g(x)有导数,那么,f(x)?g(x)=(x)?g′(x),,c?f(x)= ,fc(x). ?点击双基 ,y21.若函数f(x)=2x,1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于 ,x 2A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx ,y22解析:Δy=2(1+Δx),1,1=2Δx+4Δx,=4+2Δx. ,x 答案:C 3,f2.对任意x,有(x)=4x,f(1)=,1,则此函数为 44A.f(x)=x,2 B.f(x)=x+2 34C.f(x)=x D.f(x)=,x 解析:筛选法. 答案:A 33.如果质点A按规律s=2t运动,则在t=3 s时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 2解析:?s′=6t,?s′|=54. t=3 答案:C 24.若抛物线y=x,x+c上一点P的横坐标是,2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为 ________. 解析:?y′=2x,1,?y′|=,5. ,x=2 6,c又P(,2,6+c),?=,5. ,2 ?c=4. 答案:4 abc5.设函数(fx)=(x,a)(x,b)(x,c)(a、b、c是两两不等的常数),则++=________. ,,,f(a)f(b)f(c) 32解析:?f(x)=x,(a+b+c)x+(ab+bc+ca)x,abc, 1 培英高中2009,2010学年高三数学教案 2,f?(x)=3x,2(a+b+c)x+ab+bc+ca. ,,ff又(a)=(a,b)(a,c),同理(b)=(b,a)(b,c), ,f (c)=(c,a)(c,b). 代入原式中得值为0. 答案:0 ?典例剖析 2【例1】 (1)设a,0,f(x)=ax+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处切线的倾斜角的取00 π值范围为,0,,,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为 4 11bb,1A.,0,, B.,0,, C.,0,||, D.,0,||, a2a2a2a 32(2)(2004年全国,3)曲线y=x,3x+1在点(1,,1)处的切线方程为 A.y=3x,4 B.y=,3x+2 C.y=,4x+3 D.y=4x,5 413(3)(2004年重庆,15)已知曲线y=x+,则过点P(2,4)的切线方程是______. 33 2(4)(2004年湖南,13)过点P(,1,2)且与曲线y=3x,4x+2在点M(1,1)处的切线平行的 直线方程是______. 剖析:本题的各小题都是考查导数的几何意义的,导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率. π解析:(1)?过P(x,f(x))的切线的倾斜角的取值范围是,0,,, 004 bbb?P到曲线y=f(x)对称轴x=,的距离d=x,(,)=x+. 002a2a2a ,f又?(x)=2ax+b?,0,1,, 00 ,b1,bb1?x?,,,.?d=x+?,0,,. 002a2a2a2a 2(2)?点(1,,1)在曲线上,y′=3x,6x, 2?切线斜率为3×1,6×1=,3. ?所求切线方程为y+1=,3(x,1). 413(3)?P(2,4)在y=x+上, 33 22又y′=x,?斜率k=2=4. ?所求直线方程为y,4=4(x,2),4x,y,4=0. (4)y′=6x,4,?切线斜率为6×1,4=2. ?所求直线方程为y,2=2(x+1),即2x,y+4=0. 答案:(1)B (2)B (3)4x,y,4=0 (4)2x,y+4=0 评述:利用导数的几何意义,求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论 导数除用来求切线的斜率外,还有哪些方面的应用? 答:导数的应用较广,如求函数的单调区间,求函数的极值、最值等. 3【例2】 曲线y=x在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析:求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点. 解:曲线在点(3,27)处切线的方程为y=27x,54,此直线与x轴、y轴交点分别为(2,0)和 (0,,54), 1?切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54. 2 2 培英高中2009,2010学年高三数学教案 评述:求切线的斜率是导数的一个基本应用. 32【例3】 已知曲线C:y=x,3x+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x,y)(x?0),000 求直线l的方程及切点坐标. 剖析:切点(x,y)既在曲线上,又在切线上,由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可. 00 y0解:?直线过原点,则k=(x?1). 0x032由点(x,y)在曲线C上,则y=x,3x+2x, 000000 y20?=x,3x+2. 00x02又y′=3x,6x+2, 2,f?在(x,y)处曲线C的切线斜率应为k=(x)=3x,6x+2. 00000 22?x,3x+2=3x,6x+2. 00002整理得2x,3x=0. 00 3解得x=(?x?0). 002 31这时,y=,,k=,. 084 133因此,直线l的方程为y=,x,切点坐标是(,,). 428评述:对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时,要有求导意识. 【例4】 证明:过抛物线y=a(x,x)?(x,x)(a?0,x<> 线,与x轴所成的锐角相等. 剖析:利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系,只要求出切线的斜率进行比较即可. 解:y′=2ax,a(x+x), 12 y′|=a(x,x),即k=a(x,x),y′|=a(x,x),即k=a(x,x). 12A1221B21x,xx,x12 设两条切线与x轴所成的锐角为、β,则tan=|k|=|a(x,x)|, ,,A12tanβ=|k|=|a(x,x)|,故tan=tanβ. ,B21 又、β是锐角,则=β. ,, 评述:由tan=tanβ不能直接得=β,还必须有、β为锐角时(或在同一单调区间上时)才能,,, 得=β. , ?闯关训练 夯实基础 21.函数f(x)=(x+1)(x,x+1)的导数是 2A.x,x+1 B.(x+1)(2x,1) 2 2C.3xD.3x+1 3解析:?f(x)=x+1, 2,f?(x)=3x. 答案:C 2.曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为3x+y+3=0,则 00 ,,ffA. (x)>0 B. (x)<0>0> ,,ffC. (x)=0 D. (x)不存在 00 ,f解析:由题知(x)=,3. 0 答案:B 32,f3.函数f(x)=ax+3x+2,若(,1)=4,则a的值等于________. 3 培英高中2009,2010学年高三数学教案 102,f解析: (x)=3ax+6x,从而使3a,6=4,?a=. 3 10答案: 3 24.曲线y=2x+1在P(,1,3)处的切线方程是________________. ,f解析:点P(,1,3)在曲线上,k=(,1)=,4,y,3=,4(x+1),4x+y+1=0. 答案:4x+y+1=0 235.已知曲线y=x,1与y=3,x在x=x处的切线互相垂直,求x. 00232解:在x=x处曲线y=x,1的切线斜率为2x,曲线y=3,x的切线斜率为,3x. 000 12?2x?(,3x)=,1,?x=. 00036 1答案: 36 236.点P在曲线y=x,x+上移动,设点P处切线的倾斜角为,求的范围. ,,3 2解:?tan=3x,1, , tan??,,1,+?). , π当tan?,0,+?)时,?,0,); ,,2 3π当tan?,,1,0)时,?,,π). ,,4 π3π??,0,)?,,π). ,42 培养能力 27.曲线y=,x+4x上有两点A(4,0)、B(2,4).求: (1)割线AB的斜率k及AB所在直线的方程; AB (2)在曲线AB上是否存在点C,使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在,求出C点的坐标; 若不存在,请说明理由. 4,0解:(1)k==,2, AB2,4 ?y=,2(x,4). ?所求割线AB所在直线方程为2x+y,8=0. 2,y(2)=,2x+4,,2x+4=,2,得x=3,y=,3+3×4=3. ?C点坐标为(3,3),所求切线方程为2x+y,9=0. 38.若直线y=3x+1是曲线y=x,a的一条切线,求实数a的值. 3解:设切点为P(x,y),对y=x,a求导数是 0022,y=3x,?3x=3.?x=?1. 00 (1)当x=1时, ?P(x,y)在y=3x+1上, 00 ?y=3×1+1=4,即P(1,4). 3又P(1,4)也在y=x,a上, 3?4=1,a.?a=,3. (2)当x=,1时, ?P(x,y)在y=3x+1上, 00 ?y=3×(,1)+1=,2,即P(,1,,2). 4 培英高中2009,2010学年高三数学教案 3又P(,1,,2)也在y=x,a上, 3?,2=(,1),a.?a=1. 综上可知,实数a的值为,3或1. 2确定抛物线方程y=x+bx+c中的常数b和c,使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切. 9. ,y解:=2x+b,k=y′|=4+b=2, x=2 ?b=,2. 2又当x=2时,y=2+(,2)×2+c=c, 代入y=2x,得c=4. 探究创新 3210.曲线y=x+3x+6x,10的切线中,求斜率最小的切线方程. 22,y解:=3x+6x+6=3(x+1)+3, ?x=,1时, 32切线最小斜率为3,此时,y=(,1)+3×(,1)+6(,1),10=,14. ?切线方程为y+14=3(x+1),即3x,y,11=0. ?小结 1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键. 非多项式函数要化成多项式函数求导. 2. 要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. 3. 教学点睛 (x,,x),f(x)00,flim1.(x)=的几种等价形式: 0x,0,x f(x),f(x)0,limf(x)= 0x,x0x,x0 f(x,h),f(x)00lim= h,0h f(x),f(x,h)00lim= h,0h 2.曲线C:y=f(x)在其上一点P(x,f(x))处的切线方程为 00 ,fy,f(x)=(x)(x,x). 000 ,3.若质点的运动规律为s=s(t),则质点在t=t时的瞬时速度为v=(t).这就是导数的物理意义. s00 4.直线与曲线相切,并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,由解析几何知,直线与曲线相 切,有且只有一个公共点,即切点. 拓展题例 22【例题】 曲线y=x+1上过点P的切线与曲线y=,2x,1相切,求点P的坐标. 22解:设P(x,y),由题意知曲线y=x+1在P点的切线斜率为k=2x,切线方程为y=2xx+1,x,000002而此直线与曲线y=,2x,1相切, 22?切线与曲线只有一个交点,即方程2x+2xx+2,x=0的判别式 0022Δ=4x,2×4×(2,x)=0. 00 273解得x=?,y=. 0033 27723?P点的坐标为(,)或(,,). 33333 5 培英高中2009,2010学年高三数学教案 课后反思: 6 叶利雄 编 导数的概念与运算 一、知识点 1.用定义求函数的导数的步骤. ,y,y,(1)求函数的改变量Δy;(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数(x)=. limf0,x,0,x,x2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线f(x)在某一点(x,y)处的导数是过点(x,y)的切线斜率. 0000物理意义:若物体运动方程是s=s(t),在点P(i,s(t))处导数的意义是t=t处的瞬时000速度. 3(常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式: +nn,1(C为常数);, n?N;;; (x)',nx(sinx)',cosx(cosx)',,sinxC',0 11xxxx(lnx)',; ; ; . (logx)',loge(e)',e(a)',alnaaaxx '''法则1 ((和与差的导数等于导数的和与差) f(x),g(x)],f(x),g(x) ,,,法则2 .(前导后不导,后导前不导,中间是加号) [f(x)g(x)],f(x)g(x),f(x)g(x) ,,f(x)f(x)g(x),f(x)g(x),[],(g(x),0)法则3 (分母平方要记牢,上导下不导,2g(x)g(x) 下导上不导,中间是减号) ,,,4(在对导数的概念进行理解时,特别要注意与是不一样的,代表函fx()(())fxfx()000 ,数在处的导数值,不一定为0 ;而是函数值的导数,而函数值xx,(())fxfx()fx()000 ,是一个常量,其导数一定为0,即=0。 fx()(())fx00 二、课堂训练 31(曲线在点,,1,3处的切线方程是( ) yxx,,4,, (A) (B) (C) (D) yx,,74yx,,72yx,,4yx,,2 32(曲线y=x的切线中斜率等于1的直线 A(不存在 B(存在,有且仅有一条 C(存在,有且恰有两条 D(存在,但条数不确定 33(曲线y=x+x,2在点P处的切线平行于直线y=4x,1,则P的坐标是( ) 00 A.(1,0) B.(1,0) 或(,1,,4) C.(,1,0)或(,1,,4) D.(,1,,4) 24(某物体的运动方程为(位移单位:m,时间单位:s),则它在t,2s时的速度为 ( s(t),5t 叶利雄 编 ’5(, 则y 等于( ) y,lnx 111 ,. B.-x C. D. , 2xxx,1 36(已知f(x)=?sinx,则f’(1)=( ) x 111A .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1 333 4ll7((2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为 yx,xy,,,480A( B( C( D( 430xy,,,xy,,,450430xy,,,xy,,,430 328(曲线y=x+3x+6x,10的切线中,斜率最小的切线方程是( ) A.3x+y,10=0 B.3x,y,11=0 C.x=,1 D.不存在 2a,______.9(已知直线与抛物线相切,则 yax,xy,,,10 210. 曲线y=,x+4x上有两点A(4,0)、B(2,4).求: (1)割线AB的斜率k及AB所在直线的方程; AB (2)在曲线AB上是否存在点C,使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在,求出C点 的坐标;若不存在,请说明理由. 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 淮安市涟西南中学高三备课组2006.2.23 理解导数的有关概念及其几何意义,掌握导数的运算法则.会求函数在某点处切线的斜率. 导数的概念及其几何意义 导数的几何意义 1.设函数x,xx,x在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则函数y,f(x),x00 ,yfxxfx()(),,,相应地有增量,如果时,与的比 yfx,(),,y,y,x,0,x00,x ,y(也叫函数的平均变化率)有极限(即无限趋近于某个常数),我们把这个极限值叫做,x fx,,x,fx()()//00函数fx(),xx,y,f(x)在处,记作y,即lim 00xx,0,x,0,x理解:?函数应在点x的附近有定义,否则导数不存在。 0 ?在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而,y可能为0. ,x ,y?xy,f(x)是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲,x,x 线x,f(x)(x,,x,f(x,,x)y,f(x)上点()及点)的割线斜率. 0000 /?fx()xxy,f(x)y,f(x)是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点000 x,f(x)y,f(x)处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线上点()处的切线的斜率。00因此,如果x,f(x)xy,f(x)y,f(x)在点可导,则曲线在点()处的切线方程为000 /y,f(x),f(x)(x,x)。 000 ?导数是一个局部概念,它只与函数xy,f(x)在及其附近的函数值有关,与无,x0 关。 fx,,x,fx()()00?若极限xlimy,f(x)不存在,则称函数在点处不可导。 0,x,0,x 第 1 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 x,f(x)x?若在可导,则曲线在点()有切线存在。反之不然, f(x)y,f(x)000 若曲线x,f(x)x在点()有切线,函数在不一定可导,并且,若y,f(x)y,f(x)000 函数x,f(x)x在不可导,曲线在点()也可能有切线。 y,f(x)000 如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,y,f(x)(a,b)x,(a,b) ///都对应着一个确定的导数f(x)f(x)f(x),从而构成了一个新的函数。称这个函数为 /函数y在开区间内的,简称,也可记作,即 y,f(x) ()(),yfx,,x,fx//f(x)y== lim,lim,x,0,x,0,x,x 理解:?如果函数在开区间内每一点都有导数,则称函数在开区y,f(x)(a,b)y,f(x) 间(a,b)内可导。 ?导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求 一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函数xy,f(x)在点处0 ///的导数就是导函数f(x)f(x)xy在点的函数值.即=. 00xx,0 ()()fx,,x,fx/?求导函数时,只需将求导数式中的limxf(x)x换成就可,即= 0,x,0,x y,f(x) ,y,f(x,,x),f(x)?求函数的改变量。 ,yf(x,,x),f(x)?求平均变化率,。 ,x,x ,y/?取极限,得导数ylim=。 ,x,0,x //1*nn,:()0()()cxnxnN,,, ,; ?:如果函数f(x)、g(x)有导数,那么 //,[()()]()()[()]()fxgxfxgxcfxcfx,,,,,, 第 2 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 5. 一般地,已知函数x,yx,,x,y,,y的图象是曲线C,P(),Q()是曲y,f(x)0000线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲 线无限接近点P,即趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线,x ,yPT叫做. 此时,割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜k,PQ,x ,y率k,也就是说,当趋向于0时,割线PQ的斜率的极限为k. k,,xPQ,x 21.若函数的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy), fxx,,21,, ,y则等于 ……………………………………………………………………( ) ,x 2A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 3/2.若函数,f(x),x[f(,2)],则= 0 , .12 f(2),, 33.若,fx()3,fxx(),x,,则的值为 .1,-1 00 35,,4. 已知曲线,在处的切线的倾斜角为,则 . yfx,x,2f2,,,,,36三、 21.求与直线yx,240xy,,,平行且与曲线相切的直线方程. 2解: 设,yx,?,x1(,)xy,,,又, kyx,,,22000000切线xx,0 ?,y1yx,,,12(1)yx,,21,?切点为(1,1),?切线为,. 0 n2.设函数,fxxa()(2),,fx(),求. nn(22)(2)xaxxa,,,,,解:,fx()lim, ,,0x,x n,111221nnnnn,,,,,2(2)nxa,,,,,,,,,lim[(2)24(2)2()]CxaCxxaCx nnn,,x0 3.(2004年高考重庆卷文科) 143已知曲线yx,,,求过点P(2,4)的切线方程. 33 解:? P(2,4)在曲线上,当切点为P(2,4)时, ,kf,,(2)4, 切 第 3 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 ?过点P(2,4)的切线方程为; yx,,44 当切点不是P(2,4)时,设切点为Txy(,), 00 y,420则,k,kfxx,,()x,2,又(), 00切0切x,20P(2,4) T(1,1),y,43220?,xyxx,,,24,即, 0000x,20 14143332又,?, yx,,xxx,,,,24000003333 3232即xx,,,340xx,,,,1330,, 0000 3322(1)3(1)0xx,,,,(1)(2)0xx,,,x,2,,又 00000 ?x,,1,?切点为T(1,1),,?过点P(2,4)的切线方程为yx,,2. 0 综合得过点P(2,4)的切线方程为yx,,2或yx,,44. 34.若直线yxa,,yx,,31是曲线的一条切线,求实数a的值. 22解:设切点为P(x,k,3,y),则 ,又,?3x=3.?x=?1. kyx,,30000切线0切线xx,0 3?切点既在切线上又在曲线上, ?yxa,,yx,,31,. 0000 3(1)当x,1yx,,,314时,?,, ?a=-3 41,,a000 3(2)当x,,1yx,,,,312,,,,2(1)a时,?,?a=1 000 综上可知,实数a的值为-3或1. 21.(2003年天津高考)设yfx,(),曲线在点处切 afxaxbxc,,,,0,()Pxfx(,())00 ,处的倾斜角的取值范围为 , 则P到曲线[0,]yfx,()对称轴距离的取值范围为…( ) 4 11b,1bA.[0,][0,][0,||][0,||] B. C. D. a2a2a2a322.(2004年全国3)曲线y=x-3x+1在点(1,-1)处的切线方程为……………( ) 第 4 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 yx,4-4 3413.(2004年重庆15)已知曲线y=x+,则过点P(2,4)的切线方程是______. 3324.(2004年湖南13)过点P(-1,2)且与曲线y=3x-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______. yx,,24 21.函数f(x)=(x+1)(x-x+1)的导数是…………………………………………( ) 2A.x-x+1 B.(x+1)(2x-1) 2 2C.3xD.3x+1 32.已知点P在曲线yxx,,-5上移动,设点P处的切线倾斜角为α,则α的取值范围( ) ,,3,3,,,3,,,,,,,,,,A. B. C. D. 0,0,,,,,,,,,,,,,,,,224424,,,,,,,,,, 43.若曲线yxx,,在点P处的切线平行于直线,则点P的坐标为( ) yx,3 A、(1,3) B、(-1,3) C、(1,0) D、(-1,0) 13324.已知yxxax,,,3a是曲线的一条过原点的切线,则的值为 .1或 yx,4解:当切点为(0,0)时,,k,1,又,; kya,,?,a1切切x,0 22当切点为,?,,,361xxak,1(,)xy时,,又,, kyxxa,,,,360000切00切xx,0 yx,,,0032又切点在切线和曲线上,xxaxx,,,3?,即,消去a得 0000,32yxxax,,,30000,, 1322xx(32)0,,361xxa,,,x,0?,x1.5,而此时,,代入得a,. 0000004 13 3232yxxx,,,3yxxx,,,34 第 5 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 10325.函数f(x)=ax,+3x+2,若(-1)=4,则a的值等于________. f3 26.曲线y=2x+1在P(-1,3)处的切线方程是________________. yx,,,41 237.已知曲线y=x-1与y=3-x在x=x处的切线互相垂直,求x. 00 123解:x,kx,,3kx,2kk,,1,,又,?,?. ,,,61x201001236 328.点P在曲线y=x-x+上移动,设点P处切线的倾斜角为,,求,的范围. 3 2解:?tan,,=3x-1,?tan?[-1,+?). π当tan,,?[0,+?)时,?[0,); 2 3π当tan,,?[-1,0]时,?[,π]. 4 3ππ?,?[0,]?[,π] 24 29.曲线y=-x+4x上有两点A(4,0)、B(2,4).求: (1)割线AB的斜率k及AB所在直线的方程; AB (2)在曲线上是否存在点C,使过点C的切线与AB所在直线平行? 若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由. 4,0解:(1)k==-2,?y=-2(x-4).?所求割线AB所在直线方程为2x+y-8=0. AB2,42(2),=-2x+4,-2x+4=-2,得x=3,y=-3+3×4=3. y ?C点坐标为(3,3),所求切线方程为2x+y-9=0. 210.确定抛物线方程y=x+bx+c中的常数b和c,使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切. 解:由题意知,切点为(2,4),k,2, 切线 又,kfb,,,(2)4,?4+b=2,?b=-2,又切点为(2,4)在抛物线上, 切线 2?422,,,bc,即c=4. 3211.曲线y=x+3x+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程. 22解:曲线上任意一点处的斜率为,y=3x+6x+6=3(x+1)+3, 32?x=-1时,切线最小斜率为3,此时,y=(-1)+3×(-1)+6(-1)-10=-14. ?切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0. 第 6 页 共 7 页 新课程数学http://www.xkcmath.com/ 朱跃武整理 2212.曲线y=x+1上过点P的切线与曲线y=-2x-1相切,求点P的坐标. 2解:(方法一)设P(x,y),由题意知曲线y=x+1在P点的切线斜率为k=2x, 00022切线方程为y=2xx+1-x,而此直线与曲线y=-2x-1相切, 0022?切线与曲线只有一个交点,即方程2x+2xx+2-x=0的判别式 00 2722Δ=4x-2×4×(2-x)=0. 解得x=?,y=. 3000033 2727?P点的坐标为(,)或(-3,) 33333 22(方法二)设Pxy(,)Qxy(,)yx,,1yx,,,21,分别为切线与曲线和的切点. 1111 , 2,yx,,111,222,22yx,,,21,xx,,221222,2x1,,xx,,22则121?xx,12xkx,2,,,消去得 ?,,,24xx,,1切12xx,,122,xx,,212,kx,,4切,12,yy,切12k,,xx,, 3232727x,,x,3,,?P点的坐标为(,)或(-,). 321333333 第 7 页 共 7 页 教案30 导数的概念、性质与运算(1) 一、课前检测 1. 函数y =ax +1的图象与直线y =x 相切,则a =( B ) A . B. C. D.1 8 4 2 1 1 1 2 2. 若f '(x 0) =2,则lim k →0 f (x 0-k ) -f (x 0) 2k = 答案:-1 3.在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y ) ,则 ?y ?x 为( C ) 1?x A . △x +x - 1?x +2 B . △x - 1?x -2 C . △x +2 D .2+△ 4.已知两曲线y =x +ax 3 和y =x +bx +c 都经过点 2P (1,2),且在点P 处有公切线,试求a,b,c 值。 答案:a =1, b =2, c =-1 二、知识梳理 1. 平均变化率:函数 f (x ) 在 [x 1, x 2] 上的平均变化率 为 ,若?x =x 2 -x 1, ?y =f (x 2) -f (x 1) , 则平均变化率可表示为 . 解读: 2. 导数的概念:设函数y =限接近于0时,比值 f (x ) 在区间(a , b ) 上有定义,x 0∈(a , b ) 当?x 无 无限趋近于一个常数A ,则称f (x ) 在点x =x 处可导,并 称常数A 为函数f (x ) 在x =x 0 解读: 3. 导数的几何意义:函数f (x ) 在点x 处的导数f '(x ) 的几何意义就是曲 线y = f (x ) 在点 处的 . 4. 常见函数的导数: 基本初等函数的导数公式 解读: 5. 导数运算法则 (1) [f (x ) ±g (x )] / / ;(2) [f (x ) g (x )] ; (3)[f (x ) ]/= [g (x ) ≠0]. g (x ) 解读: 6. 简单复合函数的导数: 若y = '?u x ',即y '=f (u ), u =ax +b ,则y '=y u x x 解读: 三、典型例题分析 例1求下列函数的导数: (1)y=(2x2-1)(3x+1) 答案:y ' =18x 2+4x -3 (2)y = (3)y = (4)y =ln (3x +2) 答案:y (5)y =sin(2x + π ' x sin x 答案:y =2x sin x +x cos x 2 ' 2 ln x x 答案:y ' = 1-ln x x 2 = 33x +2 π?? ) 答案:y ' =2cos 2x +?33?? 变式训练:设 ? ?ln(1+x ), x >0? f (x ) =?0, x =0 ?1 ? x <> 求 f '(x ) . 答案: ?1 ?x +1 x >0?' f (x )=?0 x =0 ?1 ?-2 x <> 小结与拓展:一定要熟记导数公式及求导法则,它是导数问题的基础。 导数的几何意义: 例2 已知曲线y =13x + 3 43 。 (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求曲线斜率为4的切线方程。 简答:在点P (2,4)处的切线与过点P (2,4)的切线的意义是不同的,(1)点P (2,4)是切点,在点P (2,4)处的切线斜率就是函数在该点处的导数,由点斜式可得切线方程4x-y-4=0。(2)点P (2,4)可以不是切点,因P (2,4)在曲线上,当然也可以是切点,所以(2)的答案应包含4x-y-4=0,另外过点P (2,4),可能存在的切线可有如下求法:设切点Q (x k =y =x 0 ' 2 , 0 13 x 0+ 3 43 ) ,则切线PQ 的斜率 ,所以,由斜率公式得 1x 0+ 3 4 x 0-2 2 -4 =x 0 2 ,整理得 x 0-3x 0+4=0 32 ,为因式分解添加项得,解得除x 0 =2之外的解x 0=-1, 即(x 0+x 0) -4(x 0-1=) ,0(x 0+1)(x 0-2) =0 3 2 2 于是,k=(-1) 2=1,得x-y+2=0. =y =x 0 ' 2 (3)已知切线斜率为4,即k (2,4)和(-2,-), 34 =4,所以,x 0 =2或-2,得切点 于是,斜率为4的切线方程为4x-y-4=0和12x-3y+20=0. 变式训练:曲线y =x 3+3x 2+6x -10的切线中,求斜率最小的切线方程. 答案:3x -y +17=0 小结与拓展:本题的各小题都是考查导数的几何意义的,导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率. 注意“在”与“过”的区别。 例3 曲线y =-x 2+ 4x 上有两点A (4,0)、B (2,4). 求: (1)割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程; (2)在曲线AB 上是否存在点C ,使过C 点的切线与AB 所在直 线平行? 若存在,求出C 点的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)k AB =4-0=-2, 2-4 ∴y =-2(x -4). ∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y -8=0. (2)y '=-2x +4,-2x +4=-2,得x =3,y =-32+3×4=3. ∴C 点坐标为(3,3),所求切线方程为2x +y -9=0. 变式训练:已知曲线y =x 2-1与y =3-x 3在x =x 0处的切线互相垂直,求x 0. 答案: 31 6 解:在x =x 0处曲线y =x 2-1的切线斜率为2x 0,曲线y =3-x 3的切线斜率为-3x 02. ∵2x 0·(-3x 02)=-1,∴x 0=1. 6 四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成) 1. 知识: 2. 思想与方法: 3. 易错点: 4. 教学反思(不足并查漏): 范文二:导数的概念与运算
范文三:导数的概念与运算
范文四:导数的概念与运算
范文五:导数的概念、性质与运算