范文一:量子力学期末考试重点
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理 ..
薛定谔(Erwin Schrodinger,1887~1961)奥地利 物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 . 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间,两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学(1928 年,狄拉克):描述高 速运动的粒子的波动方程 .
19 - 8 量子力学简介
一 波函数 概率密度 1)经典的波与波函数 机械波
第十九章 量子物理
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t ?
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt ? )
x
λ
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t ? )
经典波为实函数
x
λ
y ( x , t ) = Re[ A e
? i 2 π (ν t ?
x
λ
)
]
19 - 8 量子力学简介
描述微观粒子运动的波函数 微观粒子的波粒二象性
第十九章 量子物理
2)量子力学波函数(复函数)
自由粒子能量 E 和动量 意频率和波长均不变 , 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 ,根据不确定原理 ,粒子在 x方向上的位置完全不确定 .
π2 ) xp ? tE ( i? h
v p 是确定的,其德布罗
Ψ( x, y , z , t ) h E λ= ν= p h
e0 ψ = ) t ,x ( Ψ
自由粒子平面波函数
19 - 8 量子力学简介
3)波函数的统计意义
第十九章 量子物理
概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率.
Ψ
2
= ψψ
*
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ d V = ΨΨ d V
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件
∫ Ψ dV = 1
2
( 束缚态 )
19 - 8 量子力学简介
二 薛定谔方程(1925 年) 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
第十九章 量子物理
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
?Ψ 4π p Ψ =? 2 2 ?x h
2 2 2
自由粒子
(v < c="">
E = Ek
2
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ? Ψ h ?Ψ ? =i 2 2 8 π m ?x 2 π ?t
2
π2 ) xp ? tE ( i? h
e0 ψ = ) t ,x ( Ψ
?Ψ i2π EΨ =? h ?t
2
p = 2mE k
19 - 8 量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
第十九章 量子物理
E = Ek + Ep
h ? Ψ h ?Ψ ? + E p ( x , t )Ψ = i 2 2 8 π m ?x 2 π ?t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ( x, t ) 粒子在恒定势场中的运动 Ep = Ep ( x )
一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
2 2
? i 2 π Et / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d ψ 8π m + ( E ? E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h
19 - 8 量子力学简介
2 2 2 2
第十九章 量子物理
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
? ψ ? ψ ? ψ 8π m + 2 + 2 + 2 ( E ? Ep )ψ = 0 2 ?x ?y ?z h
拉普拉斯算子 定态薛定谔方程
? ? ? ? = 2+ 2+ 2 ?x ?y ?z
2 2 2 2
8π 2 m 2 ? ψ + 2 ( E ? Ep )ψ = 0 h
定态波函数
ψ ( x, y , z )
19 - 8 量子力学简介
定态波函数性质 1)能量 E 不随时间变化; 2)概率密度
第十九章 量子物理
ψ
2
不随时间变化 .
2
波函数的标准条件:单值的,有限的和连续的 . 1) 2) 3)
∫? ∞ < x="" ,="" y="" ,="" z="">< ∞="">
ψ
d x d y d z = 1 可归一化 ;
?ψ ?ψ ?ψ , , 和 连续 ; ?x ?y ?z
ψ ( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
19 - 8 量子力学简介
三 一维势阱问题 粒子势能 Ep 满足的边界条件
第十九章 量子物理
∞ Ep ∞
0, 0 < x="">< a="" ep="Ep" →="" ∞,="" x="" ≤="" 0,="" x="" ≥="">
意义 1)是固体物理金属中自由电子的简化模型;
o
a
x
2)数学运算简单,量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 . 薛定谔方程
d 2ψ 8π 2 mE + ψ ( x) = 0 2 2 dx h
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理
QEp →∞, x ≤ 0, x ≥ a ∴ψ = 0, (x ≤ 0, x ≥ a)
Ep = 0, 0 < x=""><>
2 2
d ψ 8π mE + ψ =0 2 2 dx h 2 d 2ψ 2 8π mE +k ψ =0 2 k=
h2
∞ Ep ∞
dx
o
a
x
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
ψ ( x) = A sin kx
波函数的标准条件:单值、有限和连续 .
Q x = 0, ψ = 0, ∴ B = 0
19 - 8 量子力学简介 Q x = a,ψ = A sin ka = 0 Q sin ka = 0, ∴ ka = nπ nπ
k= a , n = 1,2,3,L
2
第十九章 量子物理
∴ sin ka = 0
∞ Ep ∞
量子数
2
8π mE k= h2
h , (n = 1) 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 , (n = 2,3,L) 激发态能量 En = n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
h E=n 2 8ma
2
2
o
a
x
第十九章 量子物理 19 - 8 量子力学简介 2 ?ψ + k 2ψ = 0 ψ ( x ) = A sin kx ∞ Ep ∞ 2 ?x nπ
k=
, n = 1,2,3,L 量子数 a nπ ψ ( x ) = A sin x a
o
a * 0
a
x
归一化条件
2 a A sin 2 0
∫?∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
2 A= a
∫
nπ xd x = 1 a
ψ ( x) =
2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
19 - 8 量子力学简介
2 2
第十九章 量子物理
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
波函数
ψ (x) =
概率密度 能量 量子数
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
2 nπ sin x, (0 < x="">< a)="" a="">
2
o
a
x
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a h2 2 En = n 8ma2
n = 1, 2 ,3 , L
19 - 8 量子力学简介
nπ ψ ( x ) = A sin x a ψn
n =4
2
第十九章 量子物理
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
9 E1
4E1
a
x =0
a2
a
E1
Ep = 0
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理
四 对应原理 在某些极限的条件下,量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
h En = n , (n = 1,2,3,L) 2 8ma
2
势阱中相邻能级之差
h2 ?E = En+1 ? En = (2n + 1) 8ma2
? E ∝ 1 m ,1 a
2
能级相对间隔 当 n → ∞ 时, ?En (
?En h2 ≈ 2n En 8ma 2
2 h2 2 = n 2 8ma n
En ) → 0 ,能量视为连续变化.
19 - 8 量子力学简介
物理意义
第十九章 量子物理
当 n, m , a 很大时,?E → 0 ,量子效应不 明显,能量可视为连续变化,此即为经典对应 . 例:电子在 a = 1.0 × 10 m 的势阱中 .
?2
h2 2 2 ?15 E=n = n × 3.77 ×10 eV 2 8ma h2 ?E ≈ 2n = n × 7.54×10?15 eV (近似于连续) 2 8ma
当 a = 0.10nm 时, ?E ≈ n × 75.4eV(能量分立)
19 - 8 量子力学简介
五 一维方势垒 隧道效应 一维方势垒
第十九章 量子物理
Ep (x)
0, x < 0,="" x=""> a Ep (x) = Ep0 , 0 ≤ x ≤ a E < ep="" 0="">
隧道效应 从左方射入 的粒子,在各区 域内的波函数
Ep0
o
ψ2 ψ3
a x
ψ (x )
ψ1
o
a
x
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理
粒子的能量虽不足以 ψ (x ) 超越势垒 , 但在势垒中似 ψ1 ψ 2 ψ 3 乎有一个隧道, 能使少量 粒子穿过而进入 x > a a o x 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 . 隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性 . 应用 1981年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 研制了原子力显微镜.
量子围栏照片
范文二:量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
第一章 绪论
1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、 玻尔—索末菲的量子化条件 公式 。
3、 并会应用德布罗意 公式
4、了解戴维逊 -革末的电子衍射实验。
第二章 波函数和薛定谔方程
1、 、区别及计算概率密度和概率
2、 可积波函数归一化的方法
3、 态叠加原理是波函数的线性叠加
4、 概率流密度矢量
5、 定态的概念和特点
6、 并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数 及对应能级
7、 线性谐振子的能级
8、定性 隧道效应的概念及应用。
第三章 量子力学中的力学量
1、会算符的基本计算
2、 厄米算符的定义 公式
符。
3、了解波函数归一化的两种方法
4、 动量算符及其本征方程和本征函数
5、 角动量平方算符和 z 分量算符各自的本征值,本征方程
6、 三个量子数 n,l,m 的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题
8、 并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径
9、 并会证明定理属于不同本征值(分立谱)的两个本征函数相 互正交
10、 力学量算符 F 的本征函数组成正交归一系的表达式 (分立谱和连 续谱)
11、 本征函数的完全性, 波函数按某力学量的本征函数展开 (分立谱) ,会求展开系数, 理解 展开系数的意义。
12、 两个计算期望值的 公式 ,会证明其等价性,能应用两 公式 算期望值
13、 坐标、 动量算符之间的对易关系, 角动量算符之间的对 易关系。
14、 并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数, 而且本征 函数组成完全系,则两个算符对易
15、 不确定关系不等式。
第四章 态和力学量的表象(4.1~4.3节)
1、 和 什么是表象
2、 不同表象中的波函数描写同一状态。
3、 态矢量和希尔伯特空间
4、了解算符 F 在 Q 表象中的表示形式,算符在其自身表象中的表示
形式。
范文三:量子力学期末考试复习重点复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
第一章绪论
1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程
1、掌握、区别及计算概率密度和概率
2、掌握可积波函数归一化的方法
3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加
4、掌握概率流密度矢量
5、理解定态的概念和特点
6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级
7、掌握线性谐振子的能级
8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量
1、会算符的基本计算
2、掌握厄米算符的定义公式,并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法
4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数
5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值,本征方程
6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题
8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径
9、掌握并会证明定理属于不同本征值(分立谱)的两个本征函数相互正交
10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式(分立谱和连续谱)
11、理解本征函数的完全性,掌握波函数按某力学量的本征函数展开(分立谱),会求展开系数,理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式,会证明其等价性,能应用两公式计算期望值
13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系,掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数,而且本征函数组成完全系,则两个算符对易
15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象(4.1~4.3节)
1、理解和掌握什么是表象
2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间
4、了解算符F在Q表象中的表示形式,算符在其自身表象中的表示形式。
范文四:量子力学考试要点解析
量子力学基础知识
2,,,,,,1(设一个粒子的波动性用波函数描述,则模平方称为,r,t,r,t
概率密度,
2(波函数的三个标准条件:单值,有限,连续
3(态叠加原理:如果,和,是体系可能的状态,则它们的线性叠加 12
,,C,,C, 1122
也是体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。
2,,,2,,,V,i,4(薛定谔方程: ,,2m,t
2,2,,,,V,,E,5(定态薛定谔方程 2m
2d,(x)2m若是一维,+=0 (E,V),(x)22dx,
6(求解定态薛定谔方程的步骤:
(1).一般不同区域有不同的势函数,因此要分区域写出定态薛定谔方程.
2).根据波函数的标准条件(单值,有限,连续),因此求解定态薛定谔方程. 并确定定态能级.
(3).将波函数归一化.
7(一维无限深势阱
, , 设粒子作一维运动,势能函数为
00,x,a,V(x) = ,,x,o或x,a,
x,a x,0x 1
22,2En,()则有 n22ma
2n,()sinxx, ,naa
8(一维谐振子
一维谐振子的哈密顿量是
'2p122x Hmx,,,2m2
1,,E,n,,,则有 ,,n2,,
波函数是
122,,x2 ,,xNeHx,,,,,nn
m,其中,,,
n,,,,,xx1,,,,,,nn
,,11nn,,,,xxxx()()(),,,,nnn,,1122, ,,
9(算符: 代表对波函数进行某种运算或变换的符号
?rr,,坐标算符
????动量算符 pipipjpk,,,,,,xyz10(动量的本征函数
,,,,()()()()rxyz,p
i,1pr 3,e2,, 2
2,
归一化条件
,*,,,,,()()()rrdpp,, ,pp,,,
11(厄米算符的定义式
,, **,,,,,FdxFdx,(),,
12(厄米算符的本征值都是实数 13(厄米算符的三个基本性质:实数性、正交性、完备性。
14(角动量算符
,,,,? ??L,r,p,,i,r,,
直角坐标系 ,,,??,,,,,Lypzpi,(yz)xzy,z,y,,,, ??,,,,,Lzpxpi,(zx),yxz,x,z
,,, ??,,,,,Lxpypi,(xy),zyx,y,x,
22?15( ,,,,,,LY,,,,ll,1,Y,,,lmlm
? ,,,,LY,,,,m,Y,,,zlmlm
16(氢原子
42,ee1s ,,,,,,,,,,EEn1,2,3,,n22222ann0
波函数是 ,,,,RrY,,,,,nlmnllm
17(厄米算符本征函数是正交的
属不同本征值的本征函数相互正交 18(力学量的平均值公式
若波函数归一,
,(x),c,(x),nnn
3
2F,|c|,,nnn
*?,,,FxFxdx()(),
19(坐标算符与动量算符的对易关系式
,,,,,x,p,i,x与p的对易子 xx,,,,
,,,xpi,,, ijij,,,,
20(
,,,,,,,,, Lypzpiyz,,,,,,xzy,,zy,,,,
,,,,,,,Lzpxpi,zx,,,,, y,,xzxz,,,,
,,,,,,,,, Lxpypixy,,,,,,zyx,,yx,,,,
,,,,,,,,,,,,,,L,x,0L,y,i,zL,z,,i,yL,L,,i,L ,,xxxr,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
21(测不准关系
设二厄密算符对易关系为:
????? ABBAik,,
2 ()k22??()(),,,,AB4
222(),,,xxx
22( 把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。
选取一个特定力学量 Q 表象,相当于选取特定的坐标系,
u(x), u(x), ..., u(x), ... 是 Q 表象 的基本矢12n量简称基矢。
4
波函数
at(),,1,,at(),,2 ,,,,?,,
,,at()n ,,?,,
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基
矢有无限多个,所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的
函数空间,称为Hilbert空间。
?23(在 表象中,算符用矩阵表示 Q
*?FuxFuxdx,()() mnmn,
,算符 在自身表象中的矩阵为对角矩阵。 F
24(本征方程
FFatat()(),,,,,,111211 ,,,,,,,QFFatat表象:()(),212222,,,,,,,,,,,, ,,,,,,
求解本征值和本征矢
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零,即:
FFFat,,() ,,,,111211n,,,,FFFat,(),212222n,,,, ,,,,,0
,,,,FFFat,(),nnnnn12,,,, ,,,,,,,,
FFF,,11121n FFF,,21222n
0,
FFF,,nnnn12
5
,,,,,;称为久期方程。求解久期方程 可得到一组λ 值 12n它们就是F的本征值。把求得的λi 分别代入式中就可以求得与这λi 对应的本征矢。
?H24( 求解定态薛定谔方程, 比较复杂,无法直接求解,若可将其分成两部分
??? ,,HHHHH,,,,,00
一级微扰修正
0,,(1)'(0)?,EHH,,,,,|nnnnn
2'Hnm(2)E, ,n(0)(0)EE,mn,nm
2,||H,(0)nm,EEH,,,,,nnnn(0)(0) EE,mnm
25((自旋:每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向,则
S=?/2 ,z
26(自旋算符必须满足
???S,S,i,S
写成分量形式是
?????,,SSSSi,S,,xyyxz,,?????SSSSi,S ,,,,yzzyx
,,?????SS,SS,i,Szxxzy,,
?S由于在空间中任意方向的投影只能取?两个值。为方便起,/2
?见,引入算符,令 ,
6
,?? S,,2
即
,,,?????? , , S,,S,,S,,xxyyzz222
而且
222,===1 ,,zyx
,,,,,,0 xyyx
27(泡利矩阵
010,i10,,,,,,, , ,,,,,,xyz,,,,,,10i00,1,,,,,,
相应地
010,i10,,,,,,,,,,, ,,SS,Sxzy,,,,,,1001i0222,,,,,,
28(全同粒子:静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如,电子、质子,中子等
29(全同性原理:
由于全同粒子具有不可区分性,则在全同粒子体系中,任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变,即不会出现任何可观测的物理效应,该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。
30(对于玻色子,波函数要求对于交换两个粒子是对称的 对于费米子,波函数要求对于交换两个粒子是反对称的.
吴世海 编辑整理
7
范文五:量子力学考试试题
郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷A 卷
1. 态叠加原理
一、简答题(每小题8分,共32分)
2.波函数的统计解释及波函数的标准条件
3. 全同性原理和泡利不相容原理
4. 量子力学五个基本假设是什么?
二、计算题(共68分)
1. 假设一平面转子角速度为ω,转动惯量为I ,试用波尔-索莫非条件求其能量可能值 (8分)
??? (8分) ] =2. 证明对易关系 [ L x , y i
z
3. 设氢原子处于归一化状态 ψ(r , θ, ?) =
12
R 21(r ) Y 10(θ, ?) -
2
R 21(r ) Y 1-1(θ, ?)
求其能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 (15分)
4. 二元矩阵A ,B 满足A 2=0, AA ++A +A =1, B =A +A , (1)证明B 2=B
(2)在B 表象中求出A 的矩阵 (共15分)
5. 在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出
0??1c
?
H = c 30?
00c -2?
??
(1)设c < 1,应用微扰论求h="" 本征值到二级近似;="" (2)求h="">
(3)在怎样条件下,上面二结果一致。 (共22分)
郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷B 卷
1. 德布罗意关系
一、简答题(每小题8分,共32分)
2.波函数的统计解释及波函数的标准条件
3. 全同性原理和泡利不相容原理
4. 试描述史特恩-盖拉赫实验
二、计算题(共68分)
? B ?和B ?均是厄米算符,则(A ?)也是厄米算符 1. 证明:如果算符A
(8分)
?=-ie ix
2. 试求算符F
d dx
的本征函数 (8分)
3. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动,已知粒子的波函数为
4 π x 2 π x
ψ(x ) =a
cos
a
求粒子能量取值的几率分布与其平均值。 (14分)
4. 有一粒子,其 Hamilton 量的矩阵形式为:H = H0 + H’,其中 ?200??00α?
? ?
H 0= 020?H '= 000?α<1 002?="">1>
????
求能级的一级近似和波函数的0级近似。 (共18分)
5. 求S ?= ?0
x
2 ?1
1?0?及S ?= ?0
?y 2 ?i
-i ?
0?的本征值和所属的本征函数。
(共20分)?
郑州轻工业学院2007—2008+学年度 第二学期 《量子力学》课程期末试卷(A )
一、基本概念解释与简答题(每题7分,
共14分
1. 哪些实验表明电子具有自旋现象?举例说明电子具有自旋。
2. 解释轨道角动量的空间量子化现象。画出l =3 时角动量空间量子化分布图。
?x
二、证明题(共16分)
?, f (x )]=-i ?f (x ) 。 (5分) 1. 证明: [P x
2. 证明:厄密算符的本征值必为实数。 (5分)
3. 设电子1、2
?, S ?,体系处于对称波函数为的自旋分别为:S 12
χs (1) =χ+(s z ) χ+(s z ) =++的状态,证明:总自旋角动量Z 分量的本征值为λ= (6分)
三、计算题(共70分)
1. 一维谐振子处在第一激发态ψ(x ) =
α
2?2αxe
122-αx 2
,其中α=
μω
,求:
(1)粒子的概率密度; (2)几率最大的位置。 (10分)
?E 1(0) +a ?= 2. 设 H =H 0+H ',在H 0表象中,H
b ?
b E 2
(0)
?
?, +a ??
其中E 10
(20分)
3. 已知氢原子在t =0时处于状态
ψ(x , 0) =
13
?2(x ) ??-
?0?
?1?
23
?1(x ) ??+c 3?3(x ) ??
?0?
?1?
?1??0?
其中,?n (x ) 为该氢原子的第n 个能量本征态。求:(1)能量的可能值、相应概率及平均值;(2)自旋z 分量的可能值、相应概率及平均值;(3)写出t >0时的波函数。 (20分)
4. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数 ψ(x ) =
2a sin
3πx a cos
πa
x
描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值。 (20分)
(三角公式:2sin
α+β2
cos
α-β2
=sin α+sin β)
郑州轻工业学院2007—2008学年度 第二学期 《量子力学》课程期末试卷(B )
一、基本概念解释与简答题(每题7分,
共14分)
1. 解释斯特恩-革拉赫实验。
2. 解释隧道贯穿现象(要求画出图形) 。,该现象说明微观粒子具有什么性质?
二、证明题(共16分)
?, L ?]=i L ?。 (5分) 1. 证明:[L x y z
?=- ?2. 证明:H
2μ
2
2
?) 是线性算符。 (5+U (r 分)
3. 设电子1、2
?, S ?处于对称波函数为χ(2) =--的自旋分别为:S s 12
的状态,证
明:总自旋角动量平方的本征值为S z =- 。 (6分)
三、计算题(共70分)
?Axe -λx , 当x ≥0
1. 一维运动的粒子处于ψ(x ) =?的状态,式中λ>0,
? 0, 当x <0求:(1)证明归一化常量a =(2λ)="" 3/2;(2)粒子的概率密度;="" (3)粒子出现在何处的概率最大?="">0求:(1)证明归一化常量a>
?'的作用,2. 设一体系未受微扰作用时只有两个能级;现在受到微扰H E 01及E 02,
'=H 21'=a ,H 11'=H 22'=b ;a , b 均为实数。用微扰公式求能量微扰矩阵元为H 12
至二级修正值。 (20分)
3.
?∞?
一粒子在一维势场中运动,其势能分布为u (x ) =?0
?∞?
x <00≤x ≤a="" x="">a
,求粒子的
能级和对应的波函数。 (20分)
?0
4. 设力学量 F 在某一表象A 中的矩阵为F = ?
e -i θ
求:
(1) F 的本征值、正交归一本征函数。
(2) F 的对角化矩阵及其幺正矩阵。
e i θ?
?0?, 其中θ 为常数,?
(20分)
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00≤x>