范文一:刹车问题
一问题的重述与背景
美国的某些司机培训课程中有这样的规则 :在正常驾驶条件下车速每增加 10英里 /小时 , 后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云,实现这个规则的一 种简便方法是所谓 “2秒规则 ” ,即后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟 后到达同一标志,而不管车速如何。试判断 “2秒规则 ” 与上述规则是否一致?是 否有更好的规则?并建立刹车距离的模型。
解:(1)计算车速 10英里 /
小时 2秒钟前进距离说明车速 10英里 /小时时两规则并不一致。
1.3.1 问题分析
制订这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前车,即要确定汽车的刹 车距离。
刹车距离显然与车速有关,先看看汽车在 10英里 /小时(约 16km/h)的车速下 2秒钟行驶多
大距离。容易计算这个距离为:10英里 /小时×5280英尺 /英里×1小时 /3600秒 ×2秒 =29.33
英尺(=8.94米) ,远大于一个车身的平均长度 15英尺(=4.6米) ,所以“ 2秒准 则”与上述
规则并不一样。为判断规则的合理性,需要对刹车距离作较仔细的分析。 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成, 前者指从司机决定刹车到制动器开 始起作
用汽车行驶的距离,后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 反应距离由反应时间和车速决定,反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、 视野等)
和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间) ,对于一 般规则可以视
反应时间为常数,且在这段时间内车速尚未改变。
制动距离与制动器作用力(制动力) 、车重、车速以及道路、气候等因素有关, 制动器是
一个能量耗散装置, 制动力作的功被汽车动能的改变所抵消。 设计制动器的一个 合理原则是,
最大制动力大体上与车的质量成正比, 使汽车的减速度基本上是常数, 这样, 司 机和乘客少
受剧烈的冲击。至于道路、气候等因素,对于一般规则又可以看作是固定的。
二:问题分析
1 刹车距离与车速有关;
2 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成, 前者指从司机决定刹车到制动器 开始起作用汽车行驶距离,后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距 离。
3 反应距离又反应时间和成酥决定, 反应时间取决于司机个人状况和制动系统的 灵敏性,对于一般规则可使反应时间为常数,且在这段时间内车速尚未改变。 4 制动力在一般规则下又可看作是固定的。
符号说明:
(1)t 表示反应时间;
(2)d 表示总刹车距离;
(3)1d 表示反应距离;
(4)2
d 表示刹车距离;
(5)v 表示速度;
(6)F 表示制动力;
(7)m 表示质量;
三:模型假设
1 刹车距离 d 等于反应距离 d1与制动距离 d2之和;
2 反应距离 d1与车速 v 成正比,比例系数为反应时间 t1;
3 刹车时间用最大制动力 F , F 作的功等于汽车动能的改变,且 F 与车的质量 m
成正比
4. 反应距离又反应时间和成酥决定, 反应时间取决于司机个人状况和制动系统的 灵敏性,对于一般规则可使反应时间为常数,且在这段时间内车速尚未改变。 四:建立模型
v t d 11= (1)
由假设 3 2
22
1mv Fd =
,而 而 F ma =, 则 2
221v a
d =
其中 a 为刹车减速度,是常数,则:
2
2
kv
d = (2) 则刹车距离与速度的模型为
21kv v t d +=
为了将这个模型用于实际,需要知道其中的参数 t 1和 k . 通常有经 验估计和数据拟合两种方法 . 这里采用反应时间 t 1的经验估计值 0.75秒, 而利用交通部门提供的一组刹车距离的实际数据 (表 3) 来拟 合 k
表 1 车速与刹车距离
根据假设 4及图表第三列的数据: 取反应时间 10.75t s =;
有图表知,实际距离是一个范围值,因此取平均值计算模型中的系数 k ,如果模 型合理,计算的理论值的偏差介于实际值的中间;
7
1
7
2
1
(0. 75)
0. 0231i i d i v i k vi ==-
=
=∑∑
则刹车距离与速度关系为 :
2
0. 750. 0231
d v v =+ (4)
表 1中第 4列为计算的刹车距离 , 第 5列是采用最大刹车距 离时的刹车时间。 由 (4)还可以得到刹车时间与车速关系 :
10.750.231t v =+ (5)
实际刹车距离与计算距离的比较:
列数据有 第 及第 由 32) 7, , 2, 1(, 75
. 02
=+=i kv v d i i i
x=[29.3 36.5 44.0 51.31 58.7 65.97 73.3 80.63 88.0 95.29 102.7 109.95 117.3 ];
y=[42 53 69 86 108 132 160 193 228 268 314 366 422];
nh2=polyfit(x,y,2);
plot(x,y,'*',x,polyval(nh2,x),'r-' );
xlabel(' 速度(英尺 /秒) ' );
ylabel(' 距离(英尺) ' );
legend(' 实验数据 ' , ' 拟合数据 ' );
title(' 车速与刹车距离 ' )
x=[29.3 36.5 44.0 51.31 58.7 65.97 73.3 80.63 88.0 95.29 102.7 109.95 117.3 ];
y=[44 59 78 97 124 153 186 226 268 317 372 436 506];
nh2=polyfit(x,y,2);
plot(x,y,'*',x,polyval(nh2,x),'r-' );
xlabel(' 速度(英尺 /秒) ' );
ylabel(' 距离(英尺) ' );
legend(' 实验数据 ' , ' 拟合数据 ' );
title(' 车速与刹车距离 ' )
四.模型的评价:
考察误差,发现当车速超过 102.7英里 /秒时,实际值与理论值的差值越来 越大,当车速更快时,实际值与理论值的误差越大。
范文二:刹车问题
数学建模论文
课题:车辆的安全距离
姓 名
专业班级
学 号
安全行车距离
摘要
随着人们生活水平的不断提高, 马路上行驶的车辆也越来越多, 交通事故的发生 也在不断提高。 针对严重的道路交通情况, 为了保障人民的生命安全, 在遇到紧 急情况时就需要司机能够迅速停下车辆, 避免交通事故发生。 安全行车距离是指 在车辆行驶过程中两辆车之间必须保持的最小距离, 以免在紧急刹车时两辆车相 撞。美国的某些司机培训课程中有这样的规则:正常驾驶条件下车速每增加 10英里 /小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度.又云,实现这个 规则的一种简便办法是所谓“ 2秒准则” ,即后车司机从前车经过某一标志开始 默数 2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何.
试判断“ 2秒准则”与上述规则是一样的吗,这个规则的合理性如何,是否 有更好的规则.
关键词 :总刹车距离 车速 反应时间
一 . 问题重述与分析
问题要求建立总刹车距离与汽车行驶速度的数学模型, 建立数学模型分析如何保 持前后车距, 使得车不相撞。 总刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成, 前 者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离, 后者指从制动器开始起 作用到汽车完全停止行驶距离。 为了建立刹车距离与车速之间的函数关系, 需要 提出几条合理的简化假设。 反应距离由反应时间和车速决定, 反应时间取决于司 机个人状况和制动系统的灵敏性, 对于一般规则可使反应时间为常数, 且在这段 时间内车速尚未改变。制动距离与制动器作用力、车重、车速以及道路、气候等 因素有关,至于气候,道路等因素,对于一般规则可以看作是固定的,制动力一 般规则也可以看作是固定的, 建立刹车距离与速度的模型, 解出比例系数, 进行 检验。
对于建议一:速度每提高 10mph ,汽车的间隔就要提高 15ft; 建议二:汽车的间 隔只需要保持在汽车显示速度行驶 2秒的距离以内,建立子模型。
二 . 模型假设
1)刹车距离 d 等于反应距离 d1与制动距离 d2之和;
2)反应距离 d1与车速 v 成正比,比例系数为反应时间 t;
3)刹车时间用最大制动力 F , F 作的功等于汽车动能的改变,且 F 与车的质量
m 成正比;
4)假设路面条件、天气状况、刹车系统良好。
5) 假 设 汽 车 是 直 线 行 驶 , 汽 车 在 刹 车 过 程 中 做 匀 减 速 直 线 运 动 。
三 . 符号的定义说明
t表示反应时间,是司机决定刹车到踩下刹车的时间。
d 表示总刹车距离,是司机决定刹车到车完全停住所行驶的距离。
1d 表示反应距离,是司机决定刹车到踩下刹车所行驶的距离。 2d 表示刹车距离,是司机踩下刹车到车完全停住所行驶的距离。
a 表示汽车制动过程的减速度。 v 表示车速 F 表示制动力 m 表示质量
21, k k 为比例系数
四 . 模型建立
根据假设 2) 可知,反应距离为
v k d 11= (t k =1) ① 由牛顿第二定律又可把刹车后运动过程看成匀减速运动, F=ma ② 由假设 3) ,在 F 作用下行驶距离 d2作的功 Fd2使车速从 v 变成 0,由动能定理 可知
22mv Fd = ③
由 ② ③ 可知
2
221v a
d =
(a k 212=) ④ 根据假设 1)可知刹车距离为 221v k v k d += ⑤ ⑤就为汽车刹车距离的数学模型。
五 . 模型求解
利用表求解
速度(英里 /小时) 司机的反应距 离(英尺) 刹车距离(英尺) 反应时间(s ) 20 22 18-22 0.75 50 55 105-131 0.75 65 72 196-245 0.755244755 80 88 334-418 0.75 25 28 25-31 0.763636364 35 39 47-58 0.75974026 55 61 132-165 0.756198347 70 77 237-295 0.75 30 33 36-45 0.75 45 50 82-103 0.7575758 75 83 283-353 0.754545455 60 66 162-202 0.75 40 44
64-80
0.75
由表中数据可知反应距离和车速成正比,平均反应时间为 7536. 01=k s 表中刹车距离有变化范围和平均值,应该用表中刹车距离数据来检验刹车距离
222v k d =, 从而检验总刹车距离的数学模型。
222v k d =意味着 2d 与 v 成二次关系,从而 2d 与 2v 成正比例关系,根据表中车速
和刹车距离平均值的数据,拟合比例系数 2k ,拟合比例系数 2k 的公式为:
∑∑--=13
1
4
13
122i i
i i
i v
d v k ⑥
其中 i v 和 i d 为表中第 i 行的车速和刹车距离平均值。 根据⑥式,运用 MATLAB 软件程序命令如下: v=(20:5:80).*0.44704; v2=v.*v;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,343 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;
subplot(2,1,1)
plot([v;v;v],d2,'o-k','MarkerSize',2)
title('检验二次函数关系 ')
xlabel('车速 v(m/s)')
ylabel('制动距离的最小值、平均值和最大值 (m)') subplot(2,1,2),
plot([v2;v2;v2],d2,'o-k','MarkerSize',2)
title('检验正比例关系 ')
xlabel('车速的平方 v^2(m^2/s^2)')
51015
2025303540
50100
150
检 验 二 次 函 数 关 系
车 速 v (m/s) 制 动 距 离 的 最 小 值 、 平 均 值 和 最 大 值 (m )
0200400600800100012001400
50100
150检 验 正 比 例 关 系
车 速 的 平 方 v 2(m 2/s2)
k2=sum(v2.*d2(3,:))./sum(v2.*v2) r=d2(3,:)-k2.*v.*v
命令窗口显示的计算结果如下: k2 = 0.0827 r =
Columns 1 through 11
-0.5131 -1.7923 -2.5261 -4.2384 -4.4909 -5.2647
-5.3406 -4.7187 -4.0085 -2.6004 0.1151 Columns 12 through 13 3.9857 8.8589
所以刹车距离与汽车行驶速度的关系式为 20827. 07536. 0v v d +=
⑵道路行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的,人们提出了两种建 议:一种认为速度每提高 10英里 /小时,汽车的间隔就要提高 15英里。另一种 认为, 汽车的间隔只需要保持在汽车显示速度行驶 2秒的距离以内。 应用刚才建 立的模型来衡量这些建议是否足够安全?
(1) 按照第一种建议,车速每提高 10英里 /小时,汽车的间隔就要提高 15英 尺,这表明车速与前后车距成正比例关系。引入符号:
1D 表示前后车距
v 表示车速
1K 表示比例系数
于是第一种建议汽车行驶间隔的模型为
v K D 11= ⑦
则 10*447048. 03048. 0*151=K =1.0227s
⑥式即为 v D 0227. 1= ⑧ 由⑤⑦得到
)]([112k K v k V D d --=- ⑨
所以当 211) (k k K v -<时,有 d="" d="">时,有><, 即前后车距大于刹车距离的理论值,所以足="" 够安全;当="" 211)="" (k="" k="" k="" v="" -="">时,有 D d >,即前后车距小于刹车距离的理论值, 因此不安全。
将 0227. 1, 0827. 0, 7536. 0121===K k k 代入⑨式
计算得到:当车速超过 3.2539m/s时,汽车的间隔提高 15英尺就不安全了,所 以这种建议只适用于车速较低的情况。
(2)按照第二种建议,汽车的间隔只需要保持在以汽车现时速度行驶 2秒的距
离以内,这表明车速与前后车距成正比关系。引入符号:
2D 表示前后车距 2K 表示比例系数
于是第二种建议汽车行驶间隔的模型为
v K D 22= ⑩
则 22=K s ⑩式即为 v D 22= 由⑤⑩式得到
)]([1222k K v k v D d --=-
所以当 211) (k k K v -<时,有 d="" d="">时,有><, 即前后车距大于刹车距离的理论值,所以足="" 够安全;当="" 211)="" (k="" k="" k="" v="" -="">时,有 D d >,即前后车距小于刹车距离的理论值, 因此不安全。
将 2, 0827. 0, 7236. 0221===K k k 代入 )]([1222k K v k v D d --=-
计算得到:当车速不超过 15.0713m/s时,汽车的间隔只需要保持在以汽车现时 速度行驶 2秒的距离以内是安全的。
(3)汽车行驶间隔建议:在车速小于 3.2539m/s,车速每提高 10英里 /小时, 汽车的间隔就要提高 15英尺,在车速小于 15.0713m/s,汽车的间隔只需要保持 在以汽车现时速度行驶 2秒的距离以内。
六,模型的评价和改进
通过模型的建立让我们对“ 2秒准则”有了新的认识,是与车
速有关的, 不是任何车辆默数 2秒后直至停车都是安全的, 根据不同 的车速,时间不同。模型通过很理论的假设,对实际情况、人为因素 等都为考虑, 得出的应该是一个理论的一般性结果, 对于驾驶人本身, 我们还应考虑自身的情况。
参考文献
【 1】姜启源, 《数学模型(第三版) 》 ,高等教育出版社, 2003
【 2】韩中庚, 《数学建模竞赛》 ,科学出版社, 2007
【 3】王正林,龚纯, 《 MATLAB 语言常用算法程序集》 ,电子工业出版社, 2008 【 4】杨桂元,黄己立《数学建模》 ,中国科学技术大学出版社, 2008
【 5】寿纪麟, 《数学建模(方法与范例) 》 ,西安交通大学出版社, 1996
附表
车速 (mph) 反应距离 (ft) 刹车距离 (ft) 总刹车距离 (ft)
20 22 18-22 40-44
25 28 25-31 53-59
30 33 36-45 69-78
35 39 47-58 86-97
40 44 64-80 108-124
45 50 82-103 132-153
50 55 105-131 160-186
55 61 132-165 193-226
60 66 162-202 228-268
65 72 192-245 268-317
70 77 237-295 314-372
75 83 283-353 366-436
80 88 334-418 422-506
范文三:刹车、追击、相遇问题
刹车问题
例1:汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶,刹车后经2s速度变为6m/s,汽车刹车
后的运动可认为是匀减速直线运动。求: (1)刹车过程中的加速度; (2)刹车后前进9m所用的时间; (3)刹车后8s内前进的距离.
2、汽车刹车前速度为10m/s,刹车获得的加速度大小为0.5m/s2,求:(1)汽车刹车后25s内滑行的距离;(2)静止前4s内汽车滑行的距离。
安全行驶问题
1、 A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶,A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件?
2. 如图所示,以8m/s匀速行驶的汽车即将通过路口,绿灯还有2 s将熄灭,此时汽车距离
2
停车线18 m 。该车加速时最大加速度大小为2m/s,减速时最
2
大加速度大小为5m/s。此路段允许行驶的最大速度为11.5m/s,下列说法中正确的有(CA)
A.如果立即做匀加速运动且不超速,则汽车可以在绿 灯熄灭前通过停车线
B.如果立即做匀加速运动并要在绿灯熄灭前通过停车线,则汽车一定会超速
C.如果立即做匀减速运动,则在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 D.如果在距停车线5m处开始减速,则汽车刚好停在停车线处
3、经检测汽车A的制动性能:以标准速度20m/s在平直公路上行驶时,制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故?
追击问题
1、物体A、B同时从同一地点,沿同一方向运动,A以10m/s的速度匀速前进,B以2m/s
2
的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求A、B再次相遇前两物体间的最大距离.
2
2.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
3、甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动,加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内,两辆汽车的加速度大小不变,汽车乙的加速度大小是甲的两倍;在接下来的相同时间间隔内,汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍,汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
追及相遇专题练习
1.如图所示是A、B两物体从同一地点出发,沿相同的方向做直线运动的v-t图象,由图象可知 ( )
A.A比B早出发5 s B.第15 s末A、B速度相等
C.前15 s内A的位移比B的位移大50 m D.第20 s末A、B位移之差为25 m
2.a、b两物体从同一位置沿同一直线运动,它们的速度图像如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.a、b加速时,物体a的加速度大于物体b的加速度
B.20秒时,a、b两物体相距最远
C.60秒时,物体a在物体b的前方
D.40秒时,a、b两物体速度相等,相距200 m
3.公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶,2 s后一辆
2
摩托车从同一车站开出匀加速追赶,加速度为2 m/s,试问:
(1)摩托车出发后,经多少时间追上汽车? (2)摩托车追上汽车时,离出发处多远?
(3)摩托车追上汽车前,两者最大距离是多少?
2
4.汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以0.4 m/s的加速度做匀加速运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始 ( C )
A.A车在加速过程中与
B B.A、
B C.相遇时
A D. 5.同一直线上的A、B两质点,相距s,它们向同一方向沿直线运动(相遇时互不影响各自的运动),A做速度为v的匀速直线运动,B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前,两者可相遇几次?若B在A
前,两者最
6.一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行,由于调度失误,在后面600 m处有一列快车以72 km/h的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器,但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰.
7.一列火车以v1的速度直线行驶,司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动,于是他立即刹车,为使两车不致相撞,则a应满足什么条件?
8.A、B两车沿同一直线向同一方向运动,A车的速度vA=4 m/s,B车的速度vB=10 m/s.
2
当B车运动至A车前方7 m处时,B车以a=2 m/s的加速度开始做匀减速运动,从该时刻开始计时,则A车追上B车需要多长时间?在A车追上B车之前,二者之间的最大距离是多少?
9.从同一地点以30 m/s的速度先后竖直上抛两个物体,抛出时间相差2 s,不计空气阻力,两物体将在何处何时相遇?
10.汽车正以10 m/s的速度在平直公路上匀速直线运动,突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6 2
m/s的匀减速运动,求汽车开始减速时,他们间距离为多大时恰好不相撞?
1、(1)加速度a=(υt-υ0)/t=(6-10)/2=-2m/s2,负号表示加速度方向与初速度方向相反 (2)由公式υt=υ0+at得刹车后车运动的时间t=(υt-υ0)/a=(0-10)/(-2)=5s
由公式s??0t??1at2得9?10t??1(?2)t?2,解得t1=1s,t2=9s>5s(故不合题意,应
2
2
舍去)
刹车后前进9m所用的时间为1s
(3)因为8s>5s,故刹车后汽车运动时间只有5s,6s~8s这段时间汽车是静止的,所以刹
车后8s内前进的距离与刹车后5s内前进的距离是一样的,
12故刹车后8s内前进的距离为s??0t3?1at3
?10?5??2?52?25m
2
2
2、(1)设经过t时间汽车的速度减到0,由速度公式,有:
t=(υt-υ0)/a=(0-10)/(-0.5)=20s30 s,可见,A车加速30 s内并未追及B车.因加a0.4
速30 s后,vA=12 m/s>vB=8 m/s,故匀速运动过程中可追及B车.
5.【答案】 1;2
【解析】 若A车在前匀速运动,B车在后匀加速追赶A车,两车等速时相距最远(间距大于s),故B车追及A车时必有vB>vA,以后B车在前,两车间距逐渐增大,不可能再相遇.
若B车在前匀加速运动,A车在后匀速运动,若追及时两车恰等速,因以后vB>vA,不可再次相遇,即只能相遇1次;但若A车追及B车时vA>vB,相遇后A车超前,但由于B车速度不断增大,仍能再次追及A车,即能相遇2次
.
6.【解析】 两车速度相等恰追及前车,这是恰不相碰的临界情况,因此只要比较两车等速时的位移关系,即可明确是否相碰.
因快车减速运动的加速度大小为:
v快20222
a= m/s=0.1 m/s.
?
2s2?2000
2
t=
v快?v货20?8
? s=120 s.
a0.1
s快=v快t-
121
at=20×120 m-×0.1×1202
m=1680 m22
s货=v货t=8×
120 m=960 m
因为s快>s货+s0=1560 m,故两车会发生相撞.
(v1?v2)2
7.【答案】a>
2s
【解析】 若后面火车的速度减小到比前面火车的速度还小时,后面火车还没追上前面火车,两车不会相撞.若后面火车速度减小到跟前面火车速度相等时,两列火车恰好相遇,这是相撞的临界情况.
方法1:设两车经过时间
t
v1t-
12
at-v2t=
s2
2
化简得:at-2(v1-v2)t+2s
=0
2
当 Δ=4(v1-v2)-8as时,t无解,即两车不相撞
.
2s
方法
2v1-at=v2
v1t-
12
at-v2t=s 2
(v1?v2)2
解得a=
2s
(v1?v2)2
为使两车不相撞,应使a>.
2s
方法3:后面的车相对前面的车做匀减速运动,初状态相对速度为(v1-v2),当两
22
车速度相等时,相对速度为零,根据vt-v0=2as,得,为使两车不相撞,
2
(v1-v2)
2s
8. 【答案】 8;16
【解析】 设在B车减速过程中A车追及B车,其间历时为t,则:
vAt=vBt-
12
at+7,代入数据解得:t=7 s(取有意 2
v
义值).而B车减速至零,历时t0=B=5 s<t,故上解错误.正确的解答应为:
a
2
vB
?72
vBvAt=+7,所以:t==8 s.
vA2a
两车等速时间距最大,B车减速至A、B等速历时:t1=所以A、
B
Δsm=vBt1-
vB?vA10?4
? s=3 s,a2
12
at1+7-vAt
1 212
=10×3 m-×2×3 m+7 m-4×
3 m
2
=16 m
9. 【答案】 距地40 m,第一物体抛出后4 s相遇 【解析】 设第一物体上抛t s后相遇,则: 30t-10×(t-2)解得:t=4 s,相遇高度
2
112
×10t=30×(t-2)- ×22
h=30t-
12
×10t=40 m. 2
范文四:刹车陷阱问题
刹车陷阱问题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、知识清单
1. 刹车陷阱问题
⑴刹车陷阱问题--在实际生活中,汽车刹车停止后,不会做反向加速运动,而是保持静止。
⑵题目给出的时间比刹车时间长还是短? 若比刹车时间长,汽车速度为零.若比刹车时间短,可利用公式v=v 0+at直接计算,因此解题前先求出刹车时间t 0。
⑶刹车时间t 0的求法.由v=v 0+at,令v=0,求出t 0便为刹车时间,即t 0= -v 0/a。
⑷比较t 与t 0, 若t ≥t 0,则v=0;若t
⑸若t ≥t 0,则v=0,车已经停止,求刹车距离的方法有三种:
1①根据位移公式x=v0t at 2,注意式中t 只能取t 0; 2
②根据速度位移公式-v 20=2ax ;
③根据平均速度位移公式x=v0t 0/2.
二、经典例题1
2. 飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动,其着陆速度为60 m/s,则飞机着陆后在12 s内滑行的距离为( )
A.300 m B.200 m C.288 m D.1152 m
3. (2016·广东肇庆高三月考) 汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶,急刹车时的加速度大小为5 m/s2,则自驾驶员急踩刹车开始,2 s内与5 s内汽车的位移之比为( )
A .5∶4 B .4∶5 C .3∶4 D .4∶3
4. 汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动,见前方有障碍物立即刹车,刹车后加速度大小为5 m/s2,则汽车刹车后第2 s内的位移和刹车后5 s内的位移为( )
A .30 m, 40 m
C .12.5 m, 40 m B .30 m, 37.5 m D .12.5 m, 37.5 m
5. 汽车在关闭发动机后前进60m 的过程中,速度由7m/s减小到5m/s,若再滑行10s ,则汽车又将前进( )
A .40m B .50m C .70m D .80m
6. 汽车以20 m/s的速度做匀速运动,某时刻关闭发动机而做匀减速运动,加速度大小为5 m/s2,则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为( )
A .3 s B .4 s C .5 s D .6 s
7. (2013?河南二模)汽车在水平面上刹车,其位移与时间的关系是x=24t-6t2,则它在前3s 内的平均速度为( )
A .6m/s B .8m/s C .10m/s D .12m/s
8. (2016·安徽铜陵高三月考) 一辆汽车在平直公路上做刹车实验,0时刻起运动过程的位移与速度的关系为x =(10-0.1v 2)m ,下列分析正确的是( )
A .刹车过程的加速度大小为10 m/s2
B .刹车过程持续的时间为5 s
C .0时刻的初速度为10 m/s
D .刹车过程的位移为5 m
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范文五:刹车问题数学建模
关于刹车问题数学建模
摘要
理论上来说:当汽车刹车轮胎抱死时,汽车刹车距离与质量无 因为从能量守恒可以得到摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化量:Fns=1/2mu(平方) 其中F 是车对地面的压力,n 是车跟地面的摩擦系数,s 是刹车距离,m 是车的质量,u 是车的速度,其中车对地面的压力等于车的重力F=mg,所以得到mgns=1/2mu(平方) s=u(平方)/2gn
所以理论上来说:当汽车轮刹车胎抱死时,汽车刹车距离与质量无关
而现实生活中往往车载货越多,刹车距离就越长。因此,我们对汽车的刹车问题建立数学模型进行探究。
关键词
距离 质量 速度 压力 重力 车胎抱死 载货质量
一、问题重述
据统计,全世界每天发生的车祸高达上千次,轻则造成一大批伤者,重则夺取数百条人命。因此,如何制定汽车行驶的法规,尽量减少交通事故的出现,成为各国政府最关心的问题之一。
为此,最切实可行的而且最有效的办法是:通过对汽车刹车距离的研究,定下两车行驶的间隔距离。
下面是一份来自美国某高速公路关于刹车距离的数据统计表。
(注:上述数据表中的单位是国外度量单位,mph 在美国代表英里每小时,在国内代表公里每小时;ft 在美国代表英尺,在国内基本上不用这一单位;sec 或s 在国际上都代表秒。为方便数据处理,仍按照给定的度量单位形式进行计算。)
分析数据,然后依次考虑以下问题:
(1)建立总刹车距离与汽车行驶速度的关系式。
(2)目前,有两种汽车行驶间隔的建议:一种认为速度每提高10mph ,汽车的间隔就要提高15ft 。另一种认为,汽车的间隔只需要保持在以汽车现时速度行驶2秒的距离以内。试用(1)所建立的数学模型来研究上述两种建议的可行性。 (3)能否给出不同速度下汽车行驶间隔建议。
二、模型准备
1、刹车距离与车速有关;
2、刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成,前者指从司机 决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离,后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。
3、反应距离又反应时间和成酥决定,反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性,对于一般规则可使反应时间为常数,且在这段时间内车速尚未改变 4、制动力在一般规则下又可看作是固定的。
5、汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成,反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离,刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。
6、反应距离有反应时间和车速决定,反应时间取决于司机个人状况(灵敏、机警等)和制动系统的灵敏性,由于很难对反应时间进行区别,因此,通常认为反应时间为常数,而且在这段时间内车速不不变。
7、刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。有能量守恒制动力所做的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是,最大制动力大体上与汽车的质量成正比,汽车的减速度基本上是常数。 8、路面状况可认为是固定的。
三、模型假设
1、刹车距离d 等于反应距离d1与制动距离d2之和; 2、反应距离d1与车速v 成正比,比例系数为反应时间t1;
3、刹车时间用最大制动力F ,F 作的功等于汽车动能的改变,且F 与车的质量m 成正比。
四、模型建立及求解
1、由假设2
d 1 t 1v (1) 2、由假设3 Fd 2
1212
v mv 而 F=ma ,则 d 2 2a 2
其中a 为刹车减速度,是常数,则:
d 2 kv 2 (2) 3、则刹车距离与速度的模型为 d = tv + k1v
其中t 1根据经验取0.75秒 ,先利用实际数据来确定k
表1 车速与刹车距离
由d i =0. 75v i +kv i , (i =1, 2, , 7) 及第2第3列数据有
2
k =
2
(d -0. 75v ). v ∑i i i i =1
4
v ∑i i =17
7
=0. 0255
则刹车距离与速度关系为: d
=0. 75v +0. 0255v 2
(4)
表1中第4列为计算的刹车距离, 第5列是采用最大刹车距 离时的刹车时间。 由(4)还可以得到刹车时间与车速关系:
t=0.75v+0.0255v (5)
(符号说明:t-反应时间、d-总刹车距离、d 1--反应距离、d 2—刹车距离、 V —车速、F —制动力、m —车的质量)
图1 刹车距离(*)与总刹车距离(实线) 比较
五、建模优化
行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离后才会停下,这段距离就叫刹车距离。研究刹车距离对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用。
六、进一步讨论与分析
1、汽车的“刹车”,其机理是控制轴承的转动,这样就让汽车轮子只能滑动或者说平动。当然,在实际情况中,有时只是“部分刹住”了,部分刹住时,轮子除滑动外还有滚动,这时形成的“刹车距离”与“刹车”的力度密切相关。 2、刹车距离s 与哪些主要因素有关呢?显然与刹车时的速度、车子的质量、路面状况以及空气阻力有直接关系。车速越大,惯性就越大,刹车距离就越远;车子的质量越大,刹车距离也越远;路况越好,越光滑,刹车距离也越远。例如火车刹车后就较难停住,往往要滑行好远。天雨、下雪结冰时,汽车刹车后刹车距离也较长。所以汽车在行进时遇到弯道,车多时、天雨路滑时一般要慢行,控制速度,缩短刹车距离,减少交通事故。
3、速度为v 的汽车刹车“完全刹住”后,假设是在理想的光滑、水平的直行路面上,根据牛顿第一定律可知中它将一直保持速度v 进行下去,永不会停止。在实际路面上之所以行进s 后要停下来主要是在水平方向受到了与运动方向相反的摩擦力的作用。(在竖直方向,受到重力及支撑力达到平衡)。根据牛顿第二定律有f=ma,(f 为合摩擦力,m 为质量,a 为加速度),又可把刹车后运动过程看成匀减速运动,所以,02-v2=2as,消去a 有s=-(f<><>
4、在实际情况下,当某种车型、某种路面确定时,刹车距离s 与车速v 的关系可近似抽象为二次函数s=mv+nv2.对于某种车型的车,也可实际测定刹车距离s 与速度v 的函数关系。
七、建模应用扩展
例1:刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40千米/小时以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是碰了。事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12米,乙车刹车距离略超过10米,又知
甲、乙两种车型的刹车距离s(米) 与车速x(千米/小时) 之间分别有如下关系: s甲=0.1x+0.01x2 s乙=0.05x+0.005x2
问超速行驶应负主要责任的是谁.
分析:要弄清主要责任者,就需分析行驶速度,要弄清速度问题,就要运用刹车距离函数和实测数据,构建一元二次不等式。 略解:由题意列出不等式 s 甲=0.1x+0.01x2>12 s乙=0.05x+0.005x2>10
这是常见的一元二次不等式,分别求解,得 x<-40或x>30 x<-50或x>40
由于x>0,从而可得,x 甲>30千米/小时,x 乙>40千米/小时。 经比较知乙车超过限速,应负主要责任。
注:解实际应用题首先要正确理解题意,恰当地进行数学化设计,化归为课本中的标准化模型加以解决。
例2:已知汽车从刹车到停车所滑行的距离(米) 与时速(千米/小时) 的平方及汽车总重量成正比例. 设某辆卡车不装货物以时速50千米行驶时, 从刹车到停车走了20米, 如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时, 发现前面20米处有障碍物, 这时为了能在离障碍物5米以外处停车, 最大限制时速应是多少(答案只要保留整数部分, 设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1秒钟)?
分析:设从刹车到停车滑行距离为s 米,时速为v 千米/小时,卡车总重量为t, 根据题意得
s=k·v2·t0(k为比例系数)
略解:设卡车空载时的总重量为t0, 则 20=k·502·t0
设卡车限速为x 千米/小时(x>0),则 20-5-x≥2kt0x2, 消去kt0,化简得,-15≤0 即 2·18x2+5·125x-15·18·125≤0
由题意,其解(舍去小数部分)为0
注:1、在数学建模的过程中我们所处理的变量、参数及常数往往都是带单位的量。对于测量值的单位必须给予足够重视,不可掉以轻心。必要时还要进行量纲分析。
2、此题建模后,在对一元二次不等式这个模型求解时,涉及到较大数据的处理。学会数据分析和处理的方法有时是很必要的。
八、模型评价
根据以上计算验证,模型基本能指导低速、低载重的汽车。当车速不超过
104.6千米/小时,实际值只是微差、当车速再快时实际值就会大于理论值。 刹车距离的模型d kv 2的模型假设知识和低速、到高速是、可能由于车子的轴承的高速运转产生热量,摩擦力有所改变。或者、速度越高车身、车轮与空气、地面的摩擦力有所变化而致。种种因素考虑还不周全,所以模型还有待进一步优化。
参考文献
1、数学模型:杨启帆 浙江大学出版社
2、数学建模:原理与方法 蔡锁章主编 北京:海洋出版社,2000 3、数学建模竞赛赛题简析与论文点评:西安交大近年参赛论文选编 赫孝
良等[选编] 西安:西安交通大学出版社,2002 4、数学建模 刹车问题:百度文库 5、刹车建模:
http://wenku.baidu.com/view/79fa0072f242336c1eb95ed6.html 6、刹车数学模:
ttp://wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=515792e1527a0469
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