范文一:直线与椭圆相交
直线与椭圆相交
一.知识与方法:思路:联立方程组 消元 根与系数关系 最后寻求与其它条件的联系并确定解题思路。 附:弦长公式:PQ =__________________=_______________________
特别地,当直线过椭圆的焦点时,最好用焦半径公式(MF 1=a +ex 0;MF 2=a +ex 0) 表示弦长。
二.例题:中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆被直线3x -y -2=0截得的弦AB 的中点横坐标为
1
2
,求椭圆的方程,并求AB 。 解:由焦点坐标(0,±52) 则由根与系数的关系及己知得
得c=52且椭圆的焦点在y 轴上, x 12(a 2-50) 2
1+x2=1=10(a 2
-45)
,解得a =75 可设椭圆方程为y 2x 2y 2x 2
a 2+a 2-50
=1 所求椭圆方程为75+
25=1 ?y 2x 2
联立方程??a 2+a 2-50=1 且方程(*)化简为12x 2
-12x+1=0,x 1?1x 2=?
3x -y -2=0
12
消去y 整理得: (x 2
2
1-x 2)=(x 1+x2) -4x 1x 2 10(a 2
-45) x 2
-12(a 2
-50) x =1-4×
112=23
+54a2-a 4
-200=0 (*) AB =(1+k 2)(x 21-x 2) =(1+9) ?
223
=3
设A (x 1,y 1)B(x2,y 2) ,
三.复习题:
1. 椭圆
x 2
+y 2π2
=1的两焦点为F 1和F 2,过F 2作倾斜角为4的直线与椭圆交于A 、B 两点。 求?F 1AB 的面积。
2. 己知椭圆以坐标轴为对称轴,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次
成等差数列,若直线L 与此椭圆相交于A 、B 两点,且AB 中点为P (-2,1),AB =4,求直线L 的方程和椭圆的方程。
3。设F x 2
1、F 2分别是椭圆4
+y 2=1的左、右焦点。 (1)若P 是此椭圆上的一动点,求PF 1?PF 2的最大值和最小值;
(2)设过定点M (0,2)的直线L 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线L 的斜率k 的取值范围。
范文二:过定点且与两相交平面成等角直线条数
过定点且与两相交平面成等角直线条数
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范文三:过定点且与两相交平面成等角直线条数
2004年高考数学湖北卷上有一道选择题。原题是这样的:已知平面α与β所成的二面角为80?,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30?,则这样的直线有且仅有
A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条
此题被很多专家和老师认同为2004年湖北卷上一道较有创意的好题,它全面的考察了学生对空间点、线、面的认知情况,考题的背后隐藏着丰富的知识背景。解答此题需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力,更为称道的是,此题只是“冰山一角”,它提出了一个更一般的命题:与两相交平面成等角的直线问题。下文将围绕这一主旨作一点粗浅研究,仅供参考。
如图所示:两个平面相交,空间分成四个不同区域,我们选取有代表性的区域?与?。考查点P位于这两个区域的情况,显然区域?、?所在的二面角的平面角是互补关系,为了书写方便不妨设区域?所在的二面角的平面角为θ(0,θ,π/2),则区域?所在的二面角的平面角为π,θ,点P在α、β外,为了研究的方便,我们把过点P与α、β相交的所有直线分为两类,即过棱l的直线与不过棱l的直线。
对于不过棱l的直线,无论点P在区域?或?,也无论α、β所成的二面角是多大,过点P与α、β所成角相等的直线有且仅有2条。对于过棱l的第二类直线,我们有如下结论:
结论1:过棱l且与两平面所成角相等的直线一定在二面角的角平分面上。下面给出结论1的简单证明:
如图:在棱l上任取一点M,过P作PA?α于A,过P作PB?β于B,连接MP,MA,MB,易知?PMA是MP与α所成的角,?PMB是MP与β所成的角。由题意可得?PMA=?PMB。
从而得到RtΔPMA?RtΔPMB,所以PA=PB,即点P满足到平面α与平面β的距离相
等,故点P在α与β的角平分面上,故直线MP在角平分面内。
结论2:若二面角的平面角为θ,则角平分面内的直线与两个半平面所成的最大角为θ2。下面给出结论2的简单证明:
过点P作棱l的垂面与棱l交于N,连NA,NB,NP,易知NA?l,NB?l,则?BNA为二面角的平面角,大小为θ,?PNA =?PNB=θ/2,在RtΔPNA中,tan?PNA=|PA/NA|,在棱I 上任取一点M(异于点N),连接MA,在RtΔPMA中tan?PMA=|PA/MA|,因为|MA|,|NA|,所以tan?PNA,tan?PMA,从而?PMA,?PNA,而?PNA=θ/2,故结论2成立。
由上述两个结论,我们可以得到关于第二类直线的一般结论:
若较小的二面角大小为θ,直线与两个半平面所成角为α(0,α,π/2),
当α,θ/2时,无论点P在何区域,有且仅有2条;
当α=θ/2时,点P若在区域?,则有1条,点P若在区域?,则有2条;
当θ2,α,(π-θ)/2时,点P若在区域?,则没有,点P若在区域?,则有2条;
当α=(π-θ)/2时,点P若在区域?,则没有,点P若在区域?,则有1条;
当α,(π-θ)/2时,点P无论在何区域,这样的直线均不存在。
由此可见,与两相交平面成等角的直线究竟有多少,与这两个平面所成的二面角以及直线与平面所成角的大小均有关,要视具体情况而定。
范文四:(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于
(?)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且?为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
解答:(?)解法一:易知
所以,设,则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:易知,所以,设,则
(以下同解法一)
(?)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
?
由得:或
又
?
又
?,即 ?
故由?、?得或
【点评】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.
由于向量具有几何形式和代数形式的"双重身份",使向量与函数、三角函数、解析几何、立体几何之间有着密切联系.在高考中就着重突出了对向量与数学其他分支的结合考查.
同学们在平时的复习中,需要能熟练地掌握向量语言与其他数学语言之间的等价转化.
范文五:椭圆与直线之定点
椭圆与直线之定点
2222xyxy1、椭圆与椭圆的关系是( ) ,,1,,11599,m15,m
A有相等的长短轴 B有相等的焦距 C焦点相同 D准线相同
22bxbxxy002、点P()在椭圆上,则的值为( ) ,,1xy,0,022abb,yb,y00
22222A、 B、 C、 D、 abbac
22xy3、椭圆 (a>b>0)的半焦距为C,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为C,则此椭圆的,,122ab
离心率为( )
2,222,13A B C–1 D –1 222
224、椭圆上一点P到直线的最大距离是 ,此时P点坐标 ,最xy,,,21004936xy,,
小距离是 ,此时P点坐标 。
425和5、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为,过P作长轴的垂线533恰好过椭圆的一个焦点,则椭圆的标准方程为
22xy,,16、方程表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是______. m2mm,1
7、已知椭圆中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点和椭圆上的点最近距
10,5离为,则椭圆方程
8、已知椭圆的焦点为(-3,0),(3,0)且与直线x,y,9=0有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程FF21
为 。
22xy,,1P9、设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同点(i=1,2,3 )使|| , || ……,FPFPi1276
组成公差为d的等差数列,则d的取值范围
22xy10、椭圆:+=1:内接矩形的边平行于对称轴,则矩形最大面积=____________,最大周长_________ 22ab
CC3x(2007)20、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值
1为(
C(?)求椭圆的标准方程;
CAB,ABABlykxm:,,(?)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭
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C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标( 圆
22xy【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为 ,,,,1(0)ab22ab
2, acac,,,,3,1acb,,,2,1,3
22xy ?,,1.43
ykxm,,,,22 (II)设,由得 AxyBxy(,),(,),1122xy,,1,43,
222, (34)84(3)0,,,,,kxmkxm
222222,. 340,,,km,,,,,,6416(34)(3)0mkkm
284(3)mkm, xxxx,,,,,,.1212223434,,kk
223(4)mk,22 yykxmkxmkxxmkxxm,,,,,,,,,,()()().12121212234,k以AB为直径的圆过椭圆的右顶点, kk,,,1D(2,0),?ADBDyy12,, yyxxxx,,,,,2()40?,,,1121212xx,,2212
2223(4)4(3)16mkmmk,,,,,,40, 222343434,,,kkk
2271640mmkk,,,,解得
2k22340,,,kmmkm,,,,2,,且满足. 127
mk,,2当时,,直线过定点与已知矛盾; lykx:(2),,(2,0),
2k22(,0).lykx:(),,m,,当时,,直线过定点 777
2l(,0).综上可知,直线过定点,定点坐标为 7
22xyE:1,,38((2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设椭圆的焦22aa1,
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点在轴上 x
(?)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程; EE
(?)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且PEyFF,FPQ122
,证明:当变化时,点在某定直线上. pFPFQ,a11
2258x8x222222【答案】解: (?). ?a,1,a,2c,1,a,1,a,c,a,,椭圆方程为:,,1853(?) . 设F(,c,0),F(c,0),P(x,y),Q(0,m),则FP,(x,c,y),QF,(c,,m)1222
2由. 1,a,0,a,(0,1),x,(0,1),y,(0,1)
(,),mcxyc,,(,,),,(,).//,,FPxcyFQcm由FPQFFPFQ得: ,112211(,),,0cxcmy,
22xy,1,,22,a1a,,,2222222(xc)(xc)yxyc.xyc,,,,,,,联立,,解得 ,
222,a1ac,,,,
,,
222x2y22 ,,,1,x,(y,1).?x,(0,1),y,(0,1)?x,1,y2222x,y,11,x,y
所以动点P过定直线. x,y,1,0
46((2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (?) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
l(?) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是,PBQ的角平
l分线, 证明直线过定点.
【答案】解:(?) A(4,0),设圆心
MN2222(x,y),MN线段的中点为E,由几何图像知ME,,CA,CM,ME,ECC2
22222,(x,4),y,4,x,y,8x
22(?) 点B(-1,0), . 设P(x,y),Q(x,y),由题知y,y,0,yy,0,y,8x,y,8x112212121122
y,yy,y1212,,,,,8(y,y),yy(y,y),0,8,yy,0直线PQ方1212211222x,1x,1y,8y,81212
y,y1221y,y,(x,x),y,y,(8x,y)程为: 1111x,xy,y2121
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2 ,y(y,y),y(y,y),8x,y,y(y,y),8,8x,y,0,x,121121121
所以,直线PQ过定点(1,0)
3已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率,且点P(-2,0)在椭圆C上( e,2(?)求椭圆C的方程;
(?)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA?PB时,求证:直线AB恒过一个定点(并求出该定点的坐标(
2x62,,,ya11如图,已知椭圆C:的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相,,2a3
,,,,,,,,
交于P、Q两点,且( APAQ ,0
(?)求椭圆C的方程;
l(?)求证:直线过定点,并求出该定点N的坐标(
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,,6F,2,0已知椭圆C过点M1,,是椭圆的左焦点,P、Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|,,,,,,2,,
成等差数列(
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A(
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22xy3,,1如图已知椭圆(a,b,0)的离心率为,且过点A(0,1)( 22ab2
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点(求证:直线MN恒过定点( when the Terminal level when installed on the line number (Word) should be arranged from top to bottom. 6.4.4 cable core must be completely loose and straight, but not damage the insulation and core. Core bundle of the same plate vertically or horizontally arranged
,,23已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点(过点P(1,1)分别作斜率为k,k的椭圆的动弦AB,E1,12,,,,3,,
CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k; 1
(3)若k+k=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标( 12
22xy31,,,,1已知椭圆及点,过点M作直线l交椭圆于P,Q两点( M,,,,,12422,,
(1)若M是弦PQ的中点,求直线PQ的方程;
(2)求证:以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A,并求出定点A的坐标( when the Terminal level when installed on the line number (Word) should be arranged from top to bottom. 6.4.4 cable core must be completely loose and straight, but not damage the insulation and core. Core bundle of the same plate vertically or horizontally arranged
2x2,,y1如图,椭圆E:的右焦点为F,过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD,设弦AB、CD的中点分2
别为M、N(
(?)求证:直线MN恒过定点T,并求出T的坐标;
(?)求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程,并判断定点T与轨迹的位置关系
when the Terminal level when installed on the line number (Word) should be arranged from top to bottom. 6.4.4 cable core must be completely loose and straight, but not damage the insulation and core. Core bundle of the same plate vertically or horizontally arranged
22xy1,,已知点,是椭圆M:(a,b,0)的两个焦点,且椭圆M经过点(1)F,3,0F3,0,,13,,,,,12,,22ab2,,求椭圆M的方程;
,,,,,,,,3(2)过点P(0,2)的直线l和椭圆M交于A、B两点,且,求直线l的方程; PBPA,5
(3)过点P(0,2)的直线和椭圆M交于A、B两点,点A关于y轴的对称点C,求证:直线CB必过y轴上的定点,并求出此定点坐标(
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