范文一:高中数学课件
第二章数列(人教版)
第三节等差数列的前n 项和
授课人:黄猛
一,重难点聚焦
1. 等差数列的前n 项和公式
(1)一般地,我们称
a 1+a 2+a 3+ +a n
为数列{a n }的前n 项和。用S n 表示,即
S n =a 1+a 2+a 3+ +a n 。·
(2)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n ) 。**注意:(1)在运用S n 时,必须在n ∈N (N 是正整数集)时有意义才能使用。
(2)要理解等差数列前n 项和公式的推导关系,它的推导关系如下:1+2+ +n -1+n
n +n -1+ +2+1+1++1+ ++1++1 n
?
1+2+3+ +n =
项的和的问题。)
(3)接着,对于公差为d 的等差数列,我们习惯用两种方式表示S n :(n +1)?n 。(受到高斯算法的启发——求等差数列1, 2, 3, ,n , 前100S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+ +[a 1+(n -1)d ],①
S n =a n +(a n -d )+(a n -2d )+ +[a n -(n -1)d ],②
又①+②,得
2S n =(a 1+a n )+(a 1+a n )+(a 1+a n )+ +(a 1+a n ) n 个
=n (a 1+a n )。
由此得到等差数列{a n }的前n 项和公式
S n =n (a 1+a n )。n (n -1)d 。2
理解和记忆,图解关系如下:如果代入等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d , S n 也可用首项a 1与公差d 表示,即S n =na 1+为了方便
n (a +a ) ?S =, n ?*2()()。n ∈N 高斯算法(基础)→2→3→? n (n -1) ?S n =na 1+(求等差数列1, 2, 3, ,n , 前100项的和的问题)d 。关键2?()
二,方法·技巧平台(结合课堂现实,从学生实际情况出发,有针对性地选择教学)
2. 注重导入过程(运用多媒体,直观方便,优化了教学过程):
(课件)由200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
1+2+3+ +100=?
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+ +(50+51)=101?50=5050。
但是可以观察其他同学的算法,比如:(由于和我们不在同一个时代,所以具体的不知道是哪一个人,假想甲、乙、丙等分别代替他们。)
甲的算法:
1+2=3,
3+3=6,
6+4=10,
。
(逐项累积相加,步骤多、太繁琐)
乙的算法:丙的算法:
1+2=3,1+2=3,
3+4=7,3+4=7,
5+6=11,5+6=11,
, ,
99+100=199,99+100=199(199即为所求)。3+7+11+ +199=?
(两种情况:1,逐项相加最后求和,步骤多、太繁琐。2,对算法容易混淆的人,最容易出错算出199,张冠李戴。)
小结:采取对比、让学生判断的方式进行讲学,加深印象,效果突出。
注意语言的运用技巧:不应有的失误,往往叫人遗憾!(做到不要望墙壁而掉泪、望苍天而哭泣啊!)
你的眼睛真亮,发现这么多问题!
从多角度思考这个问题,好吗?
为我们的成功鼓掌!
课堂上最美的是琅琅的读书声,让我们走进课文,把有关
的句子多读几遍。
3. 注重推导过程(运用多媒体,直观方便,优化了教学过程):
(课件)推导等差数列的前n 项和公式:
1+
(1)由2+ +n -1+n n +n -1+ +2+1→++++ ++++ n
1+2+3+ +n =
S n =
1(n +1)?n →(类似地,有)n (a +a )2(a 为首项类似于上一步中的1,a 为末项类似于上一步中的n ,S 是一个和的符号。)n n
(2)接着细说S n =n (a +a ) ,过程如下→
=n (a 1+a n )→?S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+ +[a 1+(n -1)d ]??S n =a n +(a n -d )+(a n -2d )+ +[a n -(n -1)d ]
2S n =(a 1+a n )+(a 1+a n )+(a 1+a n )+ +(a 1+a n ) n 个
n (a 1+a n )?n (n -1)?→S =na +d ?n 12又a n =a 1+(n -1)d ??S n =
小结:注意可以运用唱数学歌的方式提高性兴趣、提高学生注意力。
3. 活用公式:怎么才能达到活用公式呢?这是大家值得深思地一个问题。承接之前所讲,提
n (a +a )?S =n ?2问学生公式?中的S n 、a 1、a n 、d 、n 分别是什么含义?(需要找2至n (n -1)?S n =na 1+d 2?
3名学生作答,最好上黑板给大家解释清楚。)
接着,对例题进行讲解:
(课件)例1:2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
解析:对实际运用题,要准确读懂题意,分析清楚题目中的变量关系,再解答。
解:根据题意,从2001——2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以,可以建立一个等差数列{a n },表示从2001年起各年投入的资金,其中,a 1=500, d =50。
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S 10=10?500+10(10-1)?50=7250(万元)。答:从2001至2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
点评:要学会运用所学知识去解决实际问题,这是一种能力的体现。(强调知识的灵活运用)例2:已知一个等差数列{a n }前10项的和是310,前20项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?(从开始讲到结束不断反复提问学生等差数列前n 项和公式中的S n 、a 1、a n 、d 、n 。)
解析:熟练(熟练指要学会公式的正用和反用、到达能举一反三的程度)掌握等差数列的前n 项和公式是解答本题的关键。
解:由题意知
S 10=310, S 20=1220。
将它们代入公式
S n =na 1+n (n -1)d 2
?10a 1+45d =310, 得到??20a 1+190d =1220。
解这个方程组,得
?a 1=4,??d =6
所以,S n =4n +n (n -1) ?6=3n 2+n 。2例题3:已知数列{a n }的前n 项和为S n =n +1n , 求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是, 它的首项和公差分别是什么?
解析:熟练(熟练指要学会公式的正用和反用、到达能举一反三的程度)掌握等差数列的前n 项和公式和推导过程是解答本题的关键。
解:根据S n =a 1+a 2+ +a n -1+a n
与S n -1=a 1+a 2+ +a n -1(n>1),
可知,当n>1时,a n =S n -S n -1=n +
当n=1时,a 1=S 1=2111??2n -?(n -1)+(n -1)?=2n -①222??3满足①式。2
所以:数列{a n }的通项公式为
1
3是一个以为首项,2为公差的等差数列。a n =2n -
点评:要学会运用所学知识去解决实际问题,这是一种能力的体现。(强调知识的灵活运用)
三,综合创新拓展(也即作业布置):
作业:课本45页练习1,根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{a n }的前n 项和S n 。
(1)a 1=-4, a 8=-18, n =8;
(2)a 1=14. 5, d =0. 7, a n =32。
2,已知数列{a n }的前n 项的和为S n =122n +n +3,求这个数列的通项公式。四,总结、反思:
教学过程完整、注重基础、细节清楚到位。但课堂实体板书有欠缺、需要多练习。
范文二:【高一数学】人教版高中数学必修1集合教案ppt模版课件
一 集 合(?1.1.1 集合)
教学时间 : 第一课时
课 题: ?1.1.1 集合
教学目标: 1、理解集合的概念和性质.
2、了解元素与集合的表示方法.
3、熟记有关数集.
4、培养学生认识事物的能力.
教学重点: 集合概念、性质
教学难点: 集合概念的理解
教学方法: 尝试指导
教具准备: 投影片(3张)
教学过程:
(I)引入新课
同学们好~首先,我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字,并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来,来自××中学的三位虽然性别不同,年龄有差异,但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以,在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合(板书课题:集合,并将其姓名用{ }括起来),同样,××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然,刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。 同学们~这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题:(1)集合和元素;(2)集合的分类;(3)集合的表示方法;(4)为什么要学习集合的表示方法,
(II)复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法.
(?)讲授新课
集合概念
观察下列实例(投影〈a〉)
(1)数组1、3、5、7.
(2)到两定点距离等于两定点间距离的点.
(3)满足3x-2>x+3的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一?六班全体男同学.
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通过以上实例,教师指出:
1、 定义:
集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 师:进一步指出:
元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么,
生:例(1)的元素为1、3、5、7,
例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点,
例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x,
例(4)的元素为所有直角三角形,
例(5)为高一?六班全体男同学.
师:请同学们另外举出三个例子,并指出其元素. 生:略.(教师给予评议)。
师:一般用大括号表示集合,{ ? }如{我校的篮球队员},{太平洋、大
西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为??
为方便,常用大写的拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,
2,3,4,5}
2、集合元素的三个特征
问题及解释(投影〈b〉)
(1)A={1,3},问3、5哪个是A的元素,
(2)A={所有素质好的人},能否表示为集合,
(3)A={2,2,4},表示是否准确,
(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋},
是否表示为同一集合,
生:在师指导下一一回答上述问题.
师:由以上四个问题可知,
集合元素具有三个特征:
(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性. 3、元素与集合的关系:隶属关系
,师:元素与集合的关系有“属于?”及“不属于( 也可表示为 ),,
两种。
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,如A={2,4,8,16},则4?A,8?A,32 A.(请学生填充)。
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集A 记作 a,A ,相反,a不属于集A 记作 a,A (或a A) ,
注:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q??
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q??
2、“?”的开口方向,不能把a?A颠倒过来写。
4、常用数集及记法
4、常见数集的专用符号(投影〈c〉)
N:非负整数集(自然数集).
N*或N正整数集,N内排除0的集. +
Q:有理数集.
R:全体实数的集合。
注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。 * (2)非负整数集内排除0的集。记作N或N 。Q、Z、R等其它数集内排除0+* 的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z
请同学们熟记上述符号及其意义. 2请同学回答:已知a+b+c=m,A={x|ax+bx+c=m},判断1与A的关系。
[1?A]
(?)课堂练习
课本P,练习1、2 5
2补充练习:若-3?{m-1,3m,m+1},求m[m=-1或m=-2] (?)课时小结
1、集合的概念。
2、集合元素的三个特征。
其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为:对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为:对于给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
(?)课后作业
一、课本P,习题1.1 1 7
二、1、预习内容,课本P—P 56
2、预习提纲:
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(1)集合的表示方法有几种,怎样表示,试举例说明. (2)集合如何分类,依据是什么,
板书设计
?1.1.1 集合
1.集合.
2.集合元素的三个特征:
(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.
3.常见数集专用符号.
练习
小结
作业.
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范文三:【高一数学】高中数学必修一集合的基本运算教案ppt模版课件
第一章 集合与函数概念
1.1集合 1.1.3集合的基本运算
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (2
(3)能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;
教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”;
【知识点】
1. 并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union)
记作:A?B 读作:“A并B”
即: A?B={x|x?A,或x?B}
Venn图表示:
B AA ?
A?B
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素
只看成一个元素)。
说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题:在上图中我们除了研究集合A与B的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们
所关心的,我们称其为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集(intersection)。
记作:A?B 读作:“A交B”
即: A?B={x|?A,且x?B}
交集的Venn图表示
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合。
拓展:求下列各图中集合A与B的并集与交集
B A B B A(B) A A B A
说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集
3. 补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全
集(Universe),通常记作U。
补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集, 记作:CA U
即:CA={x|x?U且x?A} U
补集的Venn图表示
U
A
ACU
说明:补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”
与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合
Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论:
BA?A,A?BB,A?A=A,A?=,A?B=B?A ,,,,
AA?B,BA?B,A?A=A,A?=A,A?B=B?A ,,,
(CA)?A=U,(CA)?A= ,UU
若A?B=A,则AB,反之也成立 ,
若A?B=B,则AB,反之也成立 ,
若x?(A?B),则x?A且x?B
若x?(A?B),则x?A,或x?B B A A:B
-1 3 5 9 x ?例题精讲:
【例1】设集合. URAxxBxxABAB,,,,,,,,,{|15},{|39},,()求eU解:在数轴上表示出集合A、B,如右图所示:
, , ABxx,,,{|35}CABxxx(){|1,9},,,,或U
BC,,1,2,3,3,4,5,6【例2】设AxZx,,,{|||6},,求: ,,,,
(1)ABC(); (2)ABCe(). A
A,,,,,,,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6解:. ,,
BC,3(1)又,?ABC(),3; ,,,,
BC,1,2,3,4,5,6(2)又, ,,
CBC()6,5,4,3,2,1,0,,,,,,,,,,,,,,6,5,4,3,2,1,0得. ? ACBC(). ,,,,AA
【例3】已知集合,,且,求实数m的取值范围. Axx,,,,{|24}Bxxm,,{|}ABA,
解:由,可得. ABA,AB,
B A 在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示: 4 m x -2 4 m x 由图形可知,. m,4
点评:研究不等式所表示的集合问题~常常由集合之间的关系~得到各端点之间的关系~特别要注意是否含端点的问题.
*【例4】已知全集,,,求,,A,{2,4,5,8}B,{1,3,5,8}CAB()CAB()UxxxN,,,{|10,}且UU
, ,并比较它们的关系. ()()CACB()()CACBUUUU
解:由,则. AB,{1,2,3,4,5,8}CAB(){6,7,9},U
由,则 AB,{5,8}CAB(){1,2,3,4,6,7,9},U
由,, CA,{1,3,6,7,9}CB,{2,4,6,7,9}UU
则, ()(){6,7,9}CACB,UU
. ()(){1,2,3,4,6,7,9}CACB,UU
由计算结果可以知道,, ()()()CACBCAB,UUU
. ()()()CACBCAB,UUU
点评:可用Venn图研究与 ~在理解的基础记住此()()()CACBCAB,()()()CACBCAB,UUUUUU
结论~有助于今后迅速解决一些集合问题.
【自主尝试】
1.设全集,集合,求AB,,AB,,. UxxxN,,,,|110,且AB,,3,5,6,8,4,5,7,8CAB(),,,,,,,U
2.设全集,求AB,,AB,,. UxxAxxBxx,,,,,,,,,,,|25,|12,|13集合CAB(),,,,,,,U
22UxxxZAxxxBxx,,,,,,,,,,,|26,|450,|1且3.设全集,求AB,,AB,,. CAB(),,,,,,,U
【典型例题】
1.已知全集Uxx,|是不大于30的素数,A,B是U的两个子集,且满足,,
ACBBCA,,,,()5,13,23,()11,19,29,()()3,7CACB,,,求集合A,B. ,,,,,,UUUU
22,.设集合,若,求实数的取值集合. AxxxBxxax,,,,,,,,|320,|220ABA,,a,,,,
,. 已知 AxxBxxa,,,,,,|24,|,,,,
? 若,求实数的取值范围; AB,,,a
? 若,求实数的取值范围; ABA,,a
? 若,求实数的取值范围. ABABA,,,,,且a
24.已知全集Uaa,,,2,3,23,若,求实数的值. AbCA,,,2,5ab和,,,,,,U
【课堂练习】
,.已知全集,则( ) UAB,,,0,1,2,4,6,8,10,2,4,6,1()CAB,,,,,,,,U
,, 0,1,8,10 , 1,2,4,6 , 0,8,10 , ,,,,,,
2AxBxABB,,,,1,4,,,1且,.集合,则满足条件的实数的值为 ( ) x,,,,
, ,或, , ,,,,或, , ,,,或,, , ,或, 3.若, ( ) ABC,,,,,,0,1,2,1,2,3,2,3,4则(AB)(BC),,,,,,
, , , , 1,2,32,32,3,41,2,4,,,,,,,,4.设集合 ( ) AxxBxxAB,,,,,,,,,,|91,|32则,,,,
,xx|31,,, ,xx|12,, ,xx|92,,, ,xx|1, ,,,,,,,,
【达标检测】
一、选择题
1.设集合则是 ( ) MxxnnZNxxnnN,,,,,,,|2,,|21,MN,,,,,
A B M C Z D ,0,,,.下列关系中完全正确的是 ( )
, , aab,,abaca,,,,,,,,,,, , baab,,,baac,,0,,,,,,,,,,,,,.已知集合,则是 ( ) MNyyxxM,,,,,,1,1,2,2,|,MN,,,,,
, M , , , , 1,41,,,,
,.若集合,,,,,满足,则,与,之间的关系一定是( ) ABABCC,,,,,
, AC , CA , , AC,CA,
UxxxZS,,,,,|4,,2,1,3,.设全集,若,则这样的集合,共有( ) CPS,,,,,u, ,个 , ,个 , ,个 ,,个 二、填空题
,.满足条件的所有集合,的个数是,,,,,,,,,,. 1,2,31,2,3,4,5,,A,,,,
,.若集合,满足则实数,,,,,,,,. AxxBxxa,,,,|2,|AB,,2a,,,,,,,.集合,则集合,,,,,,,. ACACB,,,,,,0,2,4,6,1,3,1,3,1,0,2,,,,,,UU
,.已知,则,,,,,,,,,,,,,,,,. UA,,1,2,3,4,5,1,3,5CU,,,,,U
10.对于集合,,,,定义,,?,=, 设集合ABxxA,,,,|且B()()ABBA,,,,,
,则,?,,,,,,,,,,,,. MN,,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10,,,,
三、解答题
2Axxx,,,,|680,11.已知全集UxNx,,,,|16,集合B,3,4,5,6 ,,,,,,(1)求ABAB,,,,
(2)写出集合的所有子集. ()CAB,U
12.已知全集,,,,集合,且,求实数的取值范围 AxxaBxx,,,,,|,|12ACBR,,()a,,,,U
1,,22.设集合,且求. 13AxxpxBxxxq,,,,,,,,|350,|3100AB,AB,,,,,,,,,3,,
1.1.3集合的基本运算(加强训练) 【典型例题】
21.已知集合AxxxBxax,,,,,,,|15500,|10,若,求的值. AB,,,a,,,,
2.已知集合,若AB,,,,求的取值范围. AxaxaBxxx,,,,,,,,|23,|15或a,,,,
22AxxxBxxax,,,,,,,,|340,|2203.已知集合若ABA,,,求的取值集合. a,,,,
4.有,,名学生,其中会打篮球的有,,人,会打排球的人数比会打篮球的多,人,另外这两种球都不会的人数是
都会的人数的四分之一还少,,问两种球都会打的有多少人.
【课堂练习】
,.设集合MxZxNnZn,,,,,,,,,,|32,|13,则 ( ) MN,,,,,,
, 0,1 , , 0,1,2 , ,1,0,1,2 ,1,0,1,,,,,,,,
,.设,为全集,集合则 ( ) MUNUNM,,,,且
, , , , CMC,NCNCM,MC,NCNCM,,,UUUUUUU
x,3,,,.已知集合,则集合是 ( ) xx|1,MxNxx,,,,,|0,|3,,,,,,x,1,,
, , , , C()MN,C()MN,NM,NM,UU.设,则,,,,,,,,,,,. 4AB,,AB,,菱形矩形,,,,,
25.已知全集,,,,,,,. UaaAaCAa,,,,,,,2,4,1,1,2,7则,,,,,,U
【达标检测】
一、选择题
1.满足的所有集合,的个数 ( ) 1,31,3,5,,A,,,,
, , , , , , , , 2.已知集合,则AB,, ( ) AxxBxxx,,,,,,,,|23,|14或,,,,
x|-1
SxxTxaxaSTR,,,,,,,,,|23,|8,3.设集合,则的取值范围是( ) a,,,,
A B C D aa,,,,31或aa,,,,31或,,,,31a,,,,31a
4.第二十届奥运会于,,,,年,月,日在北京举行,若集合
, B,参加北京奥运会比赛的男运动员A,参加北京奥运会比赛的运动员,,,,
,则下列关系正确的是 ( ) C,参加北京奥运会比赛的女运动员,,
, , , , AB,BC,ABC,,BCA,,5.对于非空集合,和,,定义,与,的差,那么 MNxxMxN,,,,|且,,
,,(,,,)总等于 ( ) , , , , , , MN,MN,二.填空题
ABxyxy,,,,,(x,y)|x+2y=7,(,)|1AB,,6.设集合,则,,,,,,,. ,,,,
2,UAxxxN,,,,x|x是不大于10的正整数,|20,7.设,则,,,,. CA,,,,,U
8.全集,,,,集合,则的包含关系是,,. XxxTyy,,,,|0,|1CTCX与,,,,UU9.设全集,,则,,,,UAx,,x|x是三角形,|x是锐角三角形Bx,|x是钝角三角形CAB(),=,,,,,,U
,,,,,,,,,,.
10.已知集合,则,,,,. MNyyxxR,,,,,,y|y=-2x+1,xR|2,MN,,,,,
.解答题 三
222211.已知, AxaxaBxxx,,,,,,,,,x|190,|560Cxx,,,,x|280,,,,,,
?.若,求的值. ABAB,,,a
?.若,求的值. aACC,,
12.设U=R,M={},N={},求. x|x,1x|0,x,5CMCN,UU
2AxxxmmRBxxx,,,,,,,,,|(2)()0,,|56013.设集合,求AB,,AB,. ,,,,
,(,(,集合的基本运算
【自主尝试】
1. ABABCAB,,,,,,3,4,5,6,7,8,5,8,()1,2,9,10,,,,,,U
ABxxABxxCABxxx,,,,,,,,,,,,,,,,|13,|12,()|2125或2. ,,,,,,U
ABABCAB,,,,,,,,1,1,5,1,()0,2,3,43. ,,,,,,U
【典型例题】
A,2,5,13,17,23B,2,11,17,19,29由Venn图可得, ,,,,
A,1,2提示:,?ABA,, ? BA,,,
,,,44a
3.?; ?; ? a,,2a,4,,,24a
2,或, a,,4a,2b,3aa,,,235
【课堂练习】 1-4:ACAA
【达标检测】
选择题 1-5:ACACD
填空题
6. 8 7. 2 8. 9. 10. A,,3,1,3,4,61,2,3,7,8,9,10,,,,,
三(解答题?
11.(1)? ? AB,,2,4,3,4,5,6ABAB,,,,2,3,4,5,6,4,,,,,,,,
(2) ?UA,,1,2,3,4,5,6,2,4 ?CACAB,,,1,3,5,6,3,5,6 ,,,,,,,,,,UU?CAB,的所有子集是:,,3,5,6,3,53,6,5,6,3,5,6 ,,,,,,,,,,,,,,,,U
12.?当时,ACBxxxR,,,,,|12或,?不合题意; a,1a,1,,,,U
?当时,ACBxxaxR,,,,,|2或,?不合题意; 12,,a12,,a,,,,U
?当时,ACBxxRR,,,,|符合题意 a,2,,,,U
所以实数取值范围是 aa,2
11,,2213. ?,?是方程和的解, 350xpx,,,3100xxq,,,,AB,,,,,33,,
1,,2 代入可得,? pq,,,14,3Axxx,,,,,,|31450,5,,,,3,,
11,,,,2, Bxxx,,,,,,,|31030,3AB,,,,,3,5,,,,,,33,,,,
,(,(,集合的基本运算(加强训练) 【课堂探究】
A,5,101. 若,,AB,,,不合题意 a,0B,,,,
11111,,,,或 B,,B,,,10,a,,5,a,,aa10a5,,
2. ?若, A,,aaa,,,32,3
aa,,32,1,?若, A,,21,2aa,,,,,,2,a,,35,
1综上:或 a,3,,,a22
3. 提示:,因为所以, A,,1,4ABA,,BA,,,,44x,,
4. 设54名同学组成的集合为U,会打篮球的同学组成的集合为A,会打排球的同学组成的集合为B,这两种球都会打
的同学的集合为X,设X中元素个数为,,由图得: xVenn
1,,,解得,所以两种球都会打的有28人。 x,283640154,,,,,,,xxxx,,,,,,4,,
【课堂练习】 1-3:BDD 4. 正方形,5. a,3,,
【达标检测】
一、选择题 1,5:BDADC
二(填空题
,,58,,6. 7. 5,6,7,8,9,10 8. 9. 直角三角形 10. R CXCT,,,,,,,UU,,33,,,,
三(解答题
a,5,11. (1)因为 所以A=B=2,3所以得 AB=AB,,a,5,,,2a,,196,
a,,2,(2)因为,所以,又因为C,2,4, 无解,所以不存在实数使。 aACC,,CA,ACC,,,,,2a,,,198,
CMxxCNxxx,,,,,|1,|05或CMCNxxx,,,,|01或12. , ,,,,,,UUUU
B,,1,613. ,,
AB,,,1,2,6当时A,2,, m,2AB,,,,,,,
A,,1,2AB,,,1,2,6AB,,,1当时, ,, m,,1,,,,,,
A,2,6AB,,,1,2,6AB,,6当时, ,,; m,6,,,,,,
Am,2,ABm,,,1,2,6,当时,,, mmm,,,,2,1,6AB,,,,,,,
范文四:高中数学抛物线ppt
篇一:高中数学专题讲解之抛物线
高中数学专题讲解之
抛物线
考点1 抛物线的定义:
平面上与一个定点F和一条直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
抛物线的定义中条件“F不在l上”不可遗漏,否则,如果F在l上,则轨迹为过F且与l垂直的直线。 题型: 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
例1、(1)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
(2)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是() A.
17157
B. C. D. 0
16816
1
例2、求平面内到原点与直线x?y?2?0距离相等的点的轨迹方程,并指出轨迹所表示的曲线。
例3、求到点A??2,0?的距离比到直线l:x?3的距离小1的点的轨迹方程。
巩固练习:
1.已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F,点Pxy1)P,)1(1,2x(2y2,
|P2F|、,且|PP,y3)在抛物线上,1F|、3(x3
|P3F|成等差数列, 则有 ( )
A(x1?x2?x3
B( y1?y2?y3
C(x1?x3?2x2 D. y1?y3?2y2
2. 已知点A(3,4),F是抛物线y?8x的焦点,M是抛物线上的动点,当?MF最小时, M点坐标是 ( )
A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,?26)
2
3.已知方程x??2py?p?0?的抛物线上有一点M?m,?3?,点M到焦点F的距离为5,求m的值。
2
4、在正方体ABCD?A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P 所在
2
的曲线的形状为????( )
AA
(A)
B1 AB1
AB1 AB1
B (B)
B (C)
B A
(D)
B
考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应
抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线x?2y?4?0上
巩固练习:
x2
?y2?1的右焦点重合,则p的值 1、若抛物线y?2px的
焦点与双曲线3
2
2、 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ?焦点在y轴上; ?焦点在x轴上;
?抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ?抛
3
物线的通径的长为5;
?由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.
(要求填写合适条件的序号)
3、 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且
|AM|?,|AF|?3,求此抛物线的方程
考点3 抛物线的几何性质
抛物线的几何性质 (p?0):
题型:抛物线中的最值问题:
例5、求抛物线y2?4x上的点
P到直线3x?4y?15?0的距离的最小值,并求出P点的坐标。
例6、给定抛物线y2?2x,设A?a,0?,a?R,P是抛物线上的一点,且PA?d,求d的最小值。
例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线y2?x上运动,求AB的中点M到y轴的距离的最小值。
例8、设A、B(O为坐标原点)
例9、已知正方形另两个顶点C、D长。
例10、已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直
4
于x轴)但
AF?BF?8,线段AB的垂直平分线经过定点Q?6,0?,求抛物线的方程。
例11、设点O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若OF?a,PQ?b,求?OPQ的面
积。
例12、 如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为
?
的直线l4
与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求?AMN面积最大时直线l的方程,并求?AMN的最大面积.
例13、已知抛物线y2=2px(p,0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|?2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求?NAB面积的最大值
.
.解:(1)设直线l的方程为:y=x,a,代入抛物线方程得(x,a)2=2px,即x2,2(a+p)x+a2=0 ?|AB|=2?4(a?p)2?4a2?2p.?4ap+2p2?p2,即4ap?,p2 又?p,0,?a?,
5
p. 4
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y), 由(1)知,
y1=x1,a,y2=x2,a,x1+x2=2a+2p, 则有x=
x1?x2y?y2x1?x2?2a
=p. ?a?p,y?1?
222
?线段AB的垂直平分线的方程为y,p=,(x,a,p),
从而N点坐标为(a+2p
,0点N到AB的距离为从而S?NAB=
|a?2p?a|
2
?2p
1
?2?4(a?p)2?4a2?2p?2p2ap?p2 2
p
当a有最大值,时,S有最大值为2p2.
4
基础巩固训练
1.过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、
B两点,它们的横坐标之和等于a?
2a?4(a?R),则
2
6
2
这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在
2.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线x2?4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.两个正数a、b的等差中项是
9
,一个等比中项是a?b,则抛物线y2?(b?a)x的焦点坐标为( ) 2
12
14
A((0,?)B((0,)C((?,0)D((?,0)
2
4. 如果P1,P2,?,P8是抛物线y?4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,?,x8,F是抛物线的焦点,
1
414
若x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45,则|P( 5F|=( )A(5B(6C( 7D(9
5、抛物线y2?4x的焦点为F,准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60?的直线与抛物线在x轴上方的
7
部分相交于点A,AB?l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于( )
A(33B(4 C(6
D(8
6、设O是坐标原点,F是抛物线y2?4x的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60,则OA为 ( 题型、焦点弦问题
例14、已知抛物线y?2px?p?0?,过焦点F的弦AB的直线倾斜角为?,求AB的弦长。
2
p2例15、若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦(过焦点的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1x2?,y1y2??p2。
4
2
2
例16、已知直线AB是过抛物线y?2px(p?0)焦点F,求证:1?1为定值。
AFBF
篇二:高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线
平面内到两个定点,
的距离之差的绝对值是常数2a(2a<
8
)的点的轨迹。
考点
题型一 求双曲线的标准方程
nx2y2
1、给出渐近线方程y??x的双曲线方程可设为
2?2??(??0),与双曲线
mmn
x2y2x2y2
?2?1共渐近线的方程可设为2?2??(??0)。 2 abab
2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为
5; 4
(2) 焦距为26,且经过点M(0,12); x2y2
??1有公共渐进线,且经过点A?3,。 (3) 与双曲线 916
?
x2y2y2x2
解:(1)设双曲线的标准方程为2?2?1或2?2?1(a?0,b?0)。 abab
9
由题意知,2b=12,e??b=6,c=10,a=8。
c5=。 a4
x2y2x2
?36?1或??1。 ?标准方程为646436
(2)?双曲线经过点M(0,12), ?M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,
且a=12。
又2c=26,?c=13。?b?c?a?144。 2
2
2
y2x2
??1。 ?标准方程为
14425
x2y2
(3)设双曲线的方程为2? 2?
?
ab?A?3,在双曲线上
?3
??916
2
10
?2
?1 得??
1
4
4x2y2
??1 所以双曲线方程为94
题型二 双曲线的几何性质
方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的
等量关系,特别是e、a、b、c四者的关系,构造出e?
c222
和c?a?b的关系式。 a
x2y2
【例2】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦距为2c,直线l过
点(a,0)和(0,b),且
ab
点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距
离之和s?e的取值范围。 解:直线l的方程为
4
c。求双曲线的离心率5
xy
??1,级bx+ay-ab=0。 ab
由点到直线的距离公式,且a,1,得到点(1,0)到直
11
线l
的距离d1?
,
同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d2?
s?d1?d2?
由s?
?
2ab
。 c
42ab4c,得?c
,即5?2c2。
55c
4
2
于是得2e2,即4e?25e?25?0。 解不等式,得
5?e2?5。由于e,1,0,所以e 的取值范围是?e? 42 x2y2
【例3】设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点,
若双曲线上存在点A,使
ab
12
?F1AF2?90?,且,AF1,=3,AF2,,求双曲线的离心
率。
?
解:??F1AF2?90
?AF1?AF2
22
?4c2
又,AF1,=3,AF2,,
?AF1?AF2?2AF2?2a即AF2?a, ?AF1?AF2?
2
2
?9AF2?AF2?10AF2?10a2?4c2,
222
ce?。 ??
a题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通
过把直线方程与双曲线方程组成方程
?Ax?By?C?0组,即?22,对解的个数进行讨论,但必须
注意直线与双曲线有一个公共2222
?bx?ay?ab
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:
13
l?x2?x1?y2?y1 ????????? PF2?PF1?2的点P的轨迹【例4】如图, 已知两定点F1(F2,满足条件
是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点, 如果AB?,且曲线E上存在点C,
????????????
使OA?OB?mOC,求
(1)曲线E的方程; (2)直线AB的方程; (3)m的值和?ABC的面积S。
解:由双曲线的定义可知,
曲线E
是以F1(F2为焦点的双曲线的左支,
且c?
a=1
,易知b??1。
故直线E的方程为x2?y2?1(x?0), (2)设A(x1,y1),
B(x2,y2),
?y=kx-1
由题意建立方程组?22消去y,得(1?k2)x2?2kx?2?0。 ?x-y=1
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有 ?1?k2?0,?22
14
??
?(2k)?8(1?k)?0,? 解得k??1。 ?x1?x2??2k2?0,
1?k?
??2
?0.?x1x2?2
1?k?
又?
AB?x1?x2?
??依题意得?,整理后得28k4?55k2?25?0, ?k?
2
552
或k?。
74
但?k??1,
?k?。 2
x?y?1?0。 2
???????????? (3)设C(xc,yc),由已知OA?OB?mOC,得
(x1,y1)?(x2,y2)?(mxc,myc),
故直线AB
的方程为
15
?(xc,yc)?( x1?x2y1?y2 ,)(m?0)。
mm
2k2k22??y1?y2?k(x1?x2)?2?2?2?2?8, 又x1?x2?2
k?1k?1k?1 ?点C(
?8
)。 mm
8064??1, m2m2 将点C的坐标代入曲线E的方程,的
得m??4,但当m??4时,所得的点在双曲线的右支上,
不合题意。 ?m?4,C 点的坐标为(,
C到AB
?
11
??ABC
的面积S???
23
1
, 3
16
一、抛物线 高考动向:抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。 (一) 知识归纳
(二)典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y?mx或x?my(m?0)。 【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
2
2
篇三:高中数学抛物线_高考经典例题
1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:高中数学抛物线ppt)点,
定直线l叫做抛物线的准线( 2抛物线的图形和性质:
?顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ?焦准距:FK?p
?通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ?顶点平分焦点到准线的垂线段:OF?OK?
p2
17
。
?焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
?焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
?焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式:
y
2
?2px,y
2
??2px,x
2
?2py,x
2
??2py。
4抛物线y2?2px的图像和性质:
?p?
?焦点坐标是:?,0?,
?2?
18
?准线方程是:x??
p2
。
?焦半径公式:若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点,
则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:PF?x0? p2
,
p2
2
?焦点弦长公式:过焦点弦长PQ?x1? y?
?x2?
p2
?x1?x2?p
?抛物线y?2px上的动点可设为P(2 2p
,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)其中y??2px? 22
抛物线的定义:
例2:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与
抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长( 分析:这是灵活运用抛物线定义的题目(基本思路是:
19
把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和(
解:如图8,3,1,y2=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x,1( ?y2?4x由?消去y得x2,6x+1=0( ?y?x?1
设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6( 又A、B两点到准线的距离为A?,B?,则
AA??BB???x1?1???x2?1???x1?x2??2?6?2?8
点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程;
(3) 已知抛物线方程为y=,mx2 (m0)求它的焦点坐标和准线方程; (4) 求经过P (,4,,2)点的抛物线的标准方程;
分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p0)(特
2
别是(3)题,要先化为标准形式:x??
2
1m
y,则2p?
1m
((4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因
20
此
有两解(
答案:(1) F?,0?,x??
?2
?
?5
?
52
((2) x2=12y (3) F?0,?
?
?
11?
;(4) y2=,x或x2=,8y( ?,y?
4m?4m
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(,3,2);
(2)焦点在直线x,2y,4=0分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论解:(1)设所求的抛物线方程为y2=,2px或x2=2py(p,0),
?过点(,3,2),
21
?4=,2p(,3)或9=2p?
?p=
23
或p2
?所求的抛物线方程为y=,
43
x或x=
2
92
y,前者的准线方程是x=
13
,后者的准线方程是y=(2)令x=0得y=,2,令y=0
得x=4, ?抛物线的焦点为(4,0)或(0,,2)当焦点为
(4,0)时,
p2
=4,
2
?p=8,此时抛物线方程y=16x; 焦点为(0,,2)时,
p2
=2,
?p=4,此时抛物线方程为x2=,8y?所求的抛物线的
方程为y2=16x或x2=,8y, 对应的准线方程分别是x=,4,
22
y=2
常用结论
? 过抛物线y2,2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
? 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2,2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2,,p2
? 设A, B是抛物线y,2px上的两点,O为原点, 则OA?OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)
例5:过抛物线y2=2px (p0)的顶点O作弦OA?OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=,4p2(
分析:由OA?OB,得到OA、OB斜率之积等于,1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系(又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程(从这几个关系式可以得到y1、y2的值(
证:由OA?OB,得KOA?KOB?
y1x1
?y2x2
??1,即y1y2=,x1x2,又x1?
y1
2
2
23
2p
,x2?
y2
2
2p
,所以:x1x2? y1y24p
2
22
,
即y1y2??
y1y24p
2
22
( 而y1y2?0(所以y1y2=,4p2(
弦的问题
例1 A,B是抛物线y=2px(p0)上的两点,满足
OA?OB(O为坐标原点求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵
坐标之积
2
为定值;
(2)直线AB
24
(3)作OM?AB于M,求点M解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2),
则y12=2px1, y22=2px2, ?y1y2=4px1x2,?OA?OB, ?
x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=?4p2 (定值)222
(2)直线AB的斜率k=
y2?y1x2?x1
=
y2?y1y
22
2p
?
y
21
=
2py1?y2
,
2p
y
?直线AB的方程为y?y1=(x1),
y1?y22p
2p
2py1?y2
25
2
即y(y1+y2)?y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0)(x?2p),
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=
2py1?y2
(x?2p) (i),
又AB?OM, 故两直线的斜率之积为?1, 即由(i),(ii)得x2?2px+y2=0 (x?0)2py1?y2
?
yx
= ?1 (ii)
解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点立即可求出
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标2
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
, 22
////
又设点A,B,M在准线l:x=?1/4上的射影分别为A,B,M, MM与y轴的交点为N, 则|AF|=|AA|=x1+
/
26
x1?x2
, y=
y1?y2
14
,|BF|=|BB|=x2+ /
14
,
?x=
12
(x1+x2)=
12
(|AF|+|BF|)? 2
112
(|AB|2
11
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为
y=k(x)4
1?
y?k(x?)?2222由?8(k+2)x+k=04得16kx??y2?x?
依题意|AB|=?k|x1?x2|=?k×
27
22
?16k 2
=
1?kk 2
2
=3,
?k=1/2, 此时x=
2
1254 (x1+x2)=
8(k
2
?2)
2
2?16k 54
?
M(
,
22
28
), N(,22
)例A(2, 0)且与抛物线y?x2?2相交于B、C两点,点B、
C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段 BC上的点,且适合
BPPC
?
BB1CC1
,求?POA的重心Q的轨迹方程,解析: 设
B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)
y1y2
?
BPPC
?
BB1CC1
?
y1y2
y1??y2
?
??, ?y0?
2y1y2y1?y2
1?
y1y2
29
?y?x2?2222由?得y?(k?4k)y?6k?0 ?y?k(x?2)
2?6kk
2
2
?y0?
?4k
?
12kk?4
?
又
y0x0?2
?k代入?式得y0?4x0?4 ?
x0?2?x???x0?3x?2?3由?得? 代入?式得:12x?3y?4?0
y?3yy?0?y?0
?3?
由??0得k?4?26或k?4?26, 又由?式知y0关于k是减
函数且y0?12
?12?46?y0?12?46, 4?
463
?y?4?
463
且y?4
30
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x?3y?4?0
463
463
(4??y?4?且y?4)
例4 已知抛物线y2?2px,(p?0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?BF?8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)?求抛物线方程; ?求?ABS解: ?设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0) 由AF?BF?8得x1?x2?p?8,?x0?4?
p2
2?p?y1?2px122
又? 得y1?y2?2p(x1?x2),?y0?
2
k??y2?2px2
p
所以 M(4?
p2
,
pk
) 依题意
4?
k
31
p2
?k??1, ?p?4 ?6 抛物线方程为 y2?8x 4y0
2
?由M(2,y0)及kl?
14
, lAB:y?y0?
4y0
(x?2)
令y?0得xK?2?y0
又由y?8x和lAB:y?y0? 12
12
2
4y0
(x?2)得: y?2y0y?2y0?16?0
22
?S?ABS??KS?y2?y1? (4?
14
y0)4y0?4(2y0?16)
32
222
?S?ABS?
142
(16?y0)(32?2y0)? 22
28
(
643
2
)
3
?
649
6
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x上
移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此
时点M
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
x1?x2
2
, y=
/
33
/
y1?y2
2
/
/
,
又设点A,B,M在准线l:x=?1/4上的射影分别为A,B,M,
MM与y轴的交点为N, 则|AF|=|AA/|=x1+?x=
12
14
,|BF|=|BB/|=x2+ 1
14
, (|AB|21
(x1+x2)=
12
(|AF|+|BF|)? 2
12
1
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为
y=k(x)4
34
35
范文五:高中数学椭圆ppt
篇一:高中数学_椭圆习题精选精讲素材_
椭圆知识点
知识要点小结:知识点一:
椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若(PF1?PF2?F1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2;若(PF1?PF2?F1F2),则动点P的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的标准方程
x2y2222
1(当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程:2?2?1(a?b?0),其中c?a?b
ab
y2x2222
2(当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:2?2?1(a?b?0),其中c?a?b;注意:1(只有当椭
ab
1
圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;2(在椭圆的两种标准方程中,都有(a?b?0)和c2?a2?b2;3(椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0),(?c,0); 当焦点在y轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,?c) 知识点三:椭圆的简单几何性质
x2y2
椭圆:2?2?1(a?b?0)的简单几何性质
ab
x2y2
(1)对称性:对于椭圆标准方程2?2?1(a?b?0):说明:
ab
或把y换成?y、或把x、y同时换成?x、?y、原方程都不变,
把x换成?x、所以椭圆原点为对称中心
x2y2
?2?1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,并且是以2ab
的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线x??a和y??b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足x(3)顶点:?椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
2
?a,y?b。
x2y2
?椭圆2?2?1(a?b?0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1(?
a,0),
ab
A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)
?线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A2长和短半轴长。 (4)离心率:
?椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e?
?2a,B1B2?2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴
2cc?。 2aa
?因为(a?c?0),所以e的取值范围是(0?e?1)。e越接近1,则c就越接近a,从而b?a2?c2越小,因
c?0,此椭圆越扁;反之,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a?b时,e越接近于0,c就越接近0,
x2y2
这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x?y?a。注意: 椭圆2?2?1的图像中线段的几何特征(如下
ab
3
2
2
图):(1)(PF1?PF2
?2a);
PF1PM1
?
PF2PM2
?e;
(PM1?PM2
(BF1?BF2
2a2
?);
c
?a);(OF1?OF2
?c);
(2)
A1B?A2B?a2?b2;
(3)A1F1
?A2F2?a?c;A1F2?A2F1?a?c;a?c?PF1?a?c;
x2y2y2x2
知识点四:椭圆2?2?1 与 2?2?1(a?b?0)的区别和联系
abab
4
x2y2y2x2
注意:椭圆2?2?1,2?2?1(a?b?0)的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有(a?b?0)和
abab
e?
c
(0?e?1),a2?b2?c2;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。 a
规律方法:
1(如何确定椭圆的标准方程,
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2(椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:(a?b?0),(a?c?0),且(a2?b2?c2)。
可借助右图理解记忆:
5
显然:a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、
c为两条直角边。椭圆的焦点
2
3(如何由椭圆标准方程判断焦点位置
总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x,y的分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4(方程Ax?By?C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
2
2
2
分母的大小,哪个
x2By2Ax2By2
??1,所以只有A、B、C同号,且A?B时,方程表示??1,即方程Ax?By?C可化为
CCCC
AB
2
2
椭圆。当
CCCC
?时,椭圆的焦点在x轴上;当?时,椭圆的焦点在y轴上。
6
ABAB5(求椭圆标准方程的常用方法:
?待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的
参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
?定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6(共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2y2x2y2
?2?1(m??b2),此类共焦点,则c相同。与椭圆2?2?1(a?b?0)
共焦点的椭圆方程可设为2
aba?mb?m
问题常用待定系数法求解。
7(判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
? 若把曲线方程中的x换成?x,方程不变,则曲线关于y轴对称; ? 若把曲线方程中的y换成?y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
? 若把曲线方程中的x、y同时换成?x、?y,方程不变,则曲线关于原点对称。
8(如何求解与焦点三角形?PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题,
思路分析:与焦点三角形?PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、
7
1
三角形面积公式S?PF1F2?PF1?PF2?sin?F1PF2相结合的方法进行计算解题。
2将有关线段PFPF2F1F2,有关角?F1PF2 (?F1PF2??F1BF2)结合起来,建立PF1?PF2、1PF1?PF2之间的关系.
9(如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系, 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e?
c
(0?e?1),因为c2?a2?b2,a?c?0,用a
a、b表示为e??()2(0?e?1)。
ba
显然:当圆。
bb
越小时,e(0?e?1)越大,椭圆形状越扁;当越大,e(0?e?1)越小,椭圆形状越趋近于aa
椭圆习题精选精讲
(1)第一定义——把椭圆从圆中分离
椭圆从圆(压缩)变形而来,从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长,但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义,是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.
8
【例1】 若点M到两定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线F1F2 C.线段F1F2D.线段F1F2的中垂线.
【解析】注意到
F1F2?2,且MF1?MF2?2,故点M只能在线段F1F2上运动,即点M的轨迹就是线段F1F2,选C.
【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件,那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点,就会错误地选A.
(2)勾股数组——椭圆方程的几何特征
椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c,满足错误~未找到引用源。.在a、b、c三个参数中,只要已知或求出其中的任意两个,便可以求出第3个,继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆
方程的标准式有明显的几何特征,这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.
【例2】已知圆A:
?x?3?2?y2
,圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. ?100,圆A内一定点B(3,0)
【解析】如图,设两圆内切于C,动点P(x,y), 则A、P、C共线. 连AC、PB,?
9
PA?PB?AC?10
为定长,而A(-3,0),B(3,0)为定点,?圆心P的 轨迹是椭圆.且a
?5,c?3,?b?4.所求轨迹方程为:
x2y2??1. 2516
(3)第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟
如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程,那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释,我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
【例3】已知椭圆例中项.
【解析】由椭圆方程知:a椭圆的左准线为:l:x
x2y2
??1,能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P,使它到左准线的距离是它到两焦点F1,F2距离的比43
?2,b??c?1,e?
1
. 2
Y
H
??4.设存在椭圆上一点P(x,y)
d
(x<0)符合所设条件.作PH?l于H.令
10
P(x,y)PH?d,PF1?r1,PF2?r2,则有:
PH?PF1?PF2?d2?r1r2.但是
2
F2(X
11
r1?ed?d,r2?2a?r1?4?d.
22
?d
2
?
8121?1?8
d??4?d??d?.又d?x?4,?x??4??.
552?2?5
篇二:高二数学知识点讲练-椭圆
高考要求
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程 知识点归纳
1.定义:?平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|,即
PF1?PF2?2a?F1F2),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)(
?点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比
11
是常数e(0<e<1),则P点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义,如下图所示:
|PF1||PF2|2a2
(1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|=,==e;
c|PM1||PM2|
(2
)A1F1?A2F2?a?c,
A(3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2b2
(4)|F1K1|=|F2K2|=p=,
c
A2B?A1B?
3.标准方程:x2y2y2x22?2?1和2?2abab
x2y2椭圆2?2?1(a?bacb2b2
是e?p?,焦参数(通径长的
aca
一半){{x?b?y?b},长轴长=2a,短轴长=2b,焦距,2c ,
a2a2
焦半径:PF1?e(x?)?a?ex,PF2?e(?x)?a?ex.
cc
4.?PF、三角形面积公式1F2中经常利用余弦定理(((((((((((S?PF1F2?btan
2
12
?F1PF2
将有关线段2
PF1、PF2、2c,有关角?F1PF2(?F1PF2??F1BF2)结合起来,建立PF1+PF2、PF1?PF2等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元:?
?x?acos?
;
?y?bsin?
题型讲解
例1已知椭圆的焦点是F1(0,?1),F2(0,1),直线y?4是椭圆的一条准线. ? 求椭圆的方程;
? 设点P在椭圆上,且PF1PF2. 1?PF2?1,求?F
a2y2x2
?4,?a?2,???1 . 解:?c?1,c43
17?22
?m?n?4?m?n?
?设PF ??2 1?m,PF2?n则?
m?n?1???4mn?15
3 又 4?m2?n2?2mncos?F1PF2 ?cos?P1FP2?, ??P1FP2?arccos5
例2 求中心在原点,一个焦点为(0,52)且被直线y?3x?2截得的弦中点横坐标为1
13
的椭圆方程. 2
y2x2
解: 设椭圆方程 2?2?1(a?b?0),A(x1,y1),B(x2,y2),
ab11
因为弦AB中点M(,?),所以x1?x2?1,y1?y2??1
2?y12x12
??1??a2b2由 ?得a2) 22
?y2?x2?1??a2b2
2
y12?y2a2
所以 2??2?2
bx1?x2?a?3b又a?b ???17510
2
2
2
2
例3 已知F1A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,
当PF1?F1A,PO为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.
c
,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有a
具体数值,因此只需把a、c用同一量表示,由PF1?F1A,
14
PO?AB易得b=c,a=2b.
x2y2
解:设椭圆方程为2+2=1(a,b,0),F1(,c,0),c2=a2
,b2,
abb2c2
则P(,c,b1?2),即P(,c,).
aa
?AB?PO,?kAB=kOP,
b?b2
即,=.?b=c.
aca
又?a=b2?c2=2b, ?e=
2bc
==.
2a2b
点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与
垂直的性质是解决本题的关键.
x2y2
例4如下图,设E2+2=1(a,b,0)的焦点为F1与F2,
且P?E,?F1PF2=2θ. 求
ab
证:?PF1F2的面积S=b2tanθ.
15
分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S=
1
r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决. 2
证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2
则S=
1
r1r2sin2θ,又|F1F22
由余弦定理有
(2c)2=r12+r22,2r1r2cos2θ=(r1+r2)2,2r1r2,=(2a)2,2r1r2(
于是2r1r2(1+cos2θ)=4a22b2
所以r1r2=.
1?cos2?
2b21从而有 S=?21?cos2?
点评:?解与?PF1F2为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合|PF1|+|PF2|=2a?我们设想点PA向B运动,由于?PF1F2的底边F1F2为定长,而高逐渐变大,故此时SP运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大.因2θ2θ?(0,π),θ?(0,
π
).这样,θ也逐渐变大,当2
16
P运动到B时,?F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题,
例5 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为
2
,且OA?OB,求椭圆的方程. 2
分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率
为
2
.OA?OB,易得a、b的两个方程. 2
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(由 ?
x1?x2y?y2
,1). 22
?x?y?12
,?(a+b)x,2bx+b,1=0. 22
?ax?by?1
x1?x2y?y2x?x2ba
=,1=1,1=. 2a?b22a?bba
?M(,).
a?ba?b2
?kOM=,?b=2a.?
17
2
?
?OA?OB,??x1x2+y1y2=0.
y1y
?2=,1. x2x1
b?1
,y1y2=(1,x1)(1,x2), a?b
2bb?1a?1
?y1y2=1,(x1+x2)+x1x2=1,+=.
a?ba?ba?b
b?1a?1?+=0. a?ba?b
?x1x2=?a+b=2.
?
由??得a=2(2,1),b=22(2,1). ?所求方程为2(2,
A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、.由OA?OB得x1x2+y1y2=025x2例6 已知椭圆C1:2?x?
,其左、右顶点分
4a别是A、B的一条渐进线方程为3x?5y?0.
(1)求椭圆C1;
(2)P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1
于点N,若?0
18
?a225
???c4 (c为椭圆半焦距), ?a?5,b?3,c?4
(1) 解:?
?b?3??a5
x2y2??1;C2的离心率为e2? ?C1: . 2595
(2) 证明:设M(x0,y0),则P(2x0?a,2y0)即P(2x0?5,2y0)
22?x0y0
??1??2592
??消去y0得2x0?5x0?25?0
22
?(2x0?5)?4y0?1?259?
33)?P(10,3)?l:y?(x?5) 25
52
代入椭圆方程得: 2x?15x?25?0?xN?
2
因为点M在第一象限?M(,
所以点M、N关于x轴对称. ???点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.
52
19
x2y2
?例7 已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于yM,使它到43
左准线的距离是它到两焦点F1,F2的距离的等比中项?
解:由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件,
22x0y0
?即 =1且x0?[?2,0), 43
有d2=|MF1||MF2|(d为M到准线的距离),
? |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a?ex000, ? (4+x0)2=4?x02/4,
?x0=?12/5或x0=?4,这与x0?, 故点M不存在.
,而且一般是二次的.
例8 ,焦点在x轴上,离心率e?
3)到这个椭.已知点P(0,22
. 并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.
c3x2y2
解:设椭圆方程为2?2?1(a?b?0), M(x,y)为椭圆上的点,由?得a?2b
a2ab
3212222
AM?x?(y?)??3(y?)?4b?3,(?b?y?b)
22
132312
20
若b?,则当y??b时AM最大,即(?b?)?7, ?b?7??,故矛盾.
23221122
若b?时,y??时4b?3?7, b?1
22
x2
?y2?1 所求方程为
4
篇三:高中数学_椭圆,知识题型总结
21