范文一:直言命题的逻辑形式
在直言命题的逻辑形式中,只有量项和联项的涵义是确定的,因
此我们就只能根据量项和联项的不同来区分直言命题的逻辑类型。
全称命题与特称命题的区分是由量项决定的。量项全称的直言命
题是全称命题,量项特称的则是特称命题。
量项是对主项外延量的描述。全称量项描述了主项的全部外延,
全称命题则描述的是主项所指称的全部对象都具有(或不具有)谓项
所指称的属性。如下命题都是全称命题:
“所有有选举权的中国公民都是年满18年的。”
“所有企业法人都不是自然人。”
如果一个直言命题的量项只描述了主项的部分外延,这个量项就
是特称的。我们称这样的命题是特称命题。如下命题都是特称命题:
“有些语句是直接表达命题的。”
“有些水生动物不是用鳃呼吸。”
特称命题的量项“有”或“有些”的涵义是“至少有一个”,它在对主项外延量的描述上具有不确定性。
“至少有一部分”与“只有一部分”在表意上有很大区别,没有
特殊的语言背景,“有”不能表达“只有一部分”的涵义。
正因为特称量项对主项外延量的描述不确定,由“有S是P”推不出“有S不是P”。
显然,在全称命题和特称命题中,主项都应该是普遍词项。如果
主项是单独词项,我们要对其区分部分或全部是没有意义的,因此,
量项对于它不起作用。这种主项是单独词项的命题我们称之为单称命
题。例如:
“鲁迅是《祝福》的作者。”
“世界最高峰不是在印度境内。” 都是单称命题。
单称命题与带有量项的全称或特称命题有着不同的逻辑结构和性
质特征,对这一点,后面的谓词逻辑一章中有讨论。
在传统逻辑看来,可以把单称命题归入全称命题的范围内。就是
说,在传统逻辑理论中,全称命题既包括量项全称的命题,又包括单
称命题。
肯定命题与否定命题的区分是由联项决定的。
直言命题的联项表达主项与谓项之间的关系。联项有肯定与否定
之分。肯定联项表示主项与谓项之间具有相容关系,即主项的外延与
谓项的外延至少有一部分是重合的。联项肯定的命题我们称之为肯定
命题。如下命题都是肯定命题;
“所有命题都是用语句表达的”。
“有些金属是固体。”
在汉语表达习惯中、肯定命题的联项可以省略。如“命题都用语
句表达”。
否定联项表示主项与谓项之间具有不相容关系,即主项外延的全
部或部分被排斥在谓项外延之外。联项否定的命题我们称之为否定命
题。例如:
“所有无行为能力人的签章都不是有效的”
“有些劳动产品不是商品”
A EIO
如果把量项和联项结合起来对直言命题进行划分,可以把直言命
题分为四种类型。
一是全称肯定命题,即量项全称联项肯定的命题。全称肯定命题
的逻辑形式为
“所有S是P”
在传统逻辑中,全称肯定命题被叫做A命题。加上主项S和谓
项P,“SAP”代表的就是全称肯定命题。
在自然语言中,A命题有多种表达方式,如“无一S不是p”,“没
有不是p的S”,“凡S皆p”等等。
二是全称否定命题,即量项全称联项否定的命题。全称否定命题
的逻辑形式为
“所有s不是P”
在传统逻辑中,全称否定命题叫做E命题。加上主项S和谓项P,
“SEP”代表的就是全称否定命题。
在自然语言中,E命题也有多种表达方式。如“‘无一S是P”,“没有是P的S”,“凡S皆非P”等等。
三是特称肯定命题,即量项特称联项肯定的命题。特称肯定命题
的逻辑形式为
“有S是P”
在传统逻辑中,特称肯定命题叫做I命题。加上上主项S和谓项P,“S I P”代表的就是特称肯定命题。
第四类直言命题是特称否定命题,即量项特称联项否定的直言命
题。特称否定命题的逻辑形式为
“有S不是P”
在传统逻辑中,特称否定命题被叫做O命题。 “SOP”代表的就是特称否定命题。
至此我们看到,传统直言命题有四种类型,它们分别是:
A命题:形式为“所有S是P”,简写为“SAP”;
E命题:形式为“所有S不是P”,简写为“SEP”;
I命题:形式为“有S是P”,简写为“SIP”;
O命题:形式为“有S不是P”,简写为“SOP”。
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范文二:关于简易逻辑的复合命题
关于简易逻辑的复合命题
教材p 25有这样一段文字:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词,像①、②、③这样的命题,不含逻辑联结词,是简单命题;像④、⑤、⑥这样的命题,它们由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题. 从这段文字出发,多数教师就认为:如果命题中不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”,则该命题就不是复合命题. 实际上,这种理解是片面的. 文中并未说复合命题就是由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成, 而是说由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题. 实际上,对于不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的有些命题,是复合命题,教材上出现的大致有以下两种情况:
o 情况一 如:(1)3≥2, (2)有两个角为45的三角形是等腰直角三角形,(3)他不是好
人. 它们都不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”,但(1)等值于“3>2或3=2”,(2)等值于“有两个角为45的三角形既是等腰三角形又是直角三角形”,(3)等值于“并非他是好人”, 所以,它们分别是“或”命题,“且”命题,“非”命题. 在日常生活中,我们常说的“或者?, 或者?”与“或”等值, “并且”、“以及”、“和”、“不仅?, 而且?”与“且”等值,“并非”、“不是”与“非”等值. 但日常生活中的这些词,并不完全与逻辑联结词“或”、“且”、“非”一样,它们还是有区别的. 比如,2+2=4或雪是白的. 这个命题的简单命题是“2+2=4”和“雪是白的”,两者风马牛不相及,但它却是一个“或”命题. 对于“或”命题,只从逻辑或真值方面来考察,不管构成“或”命题的简单命题是否有意义上的关联. 在日常生活中,“2+2=4或雪是白的”这种说法是不妥的,在逻辑上它却是可以的. 再比如,实数a ,或大于零,或小于零,或等于零;这个命题的三个简单命题就有意义上的关联, 因为如果实数a 不大于零,也不小于零,那么它必定等于零,也即实数a 必是三种情况中的一种. 这便是从日常思维的角度来考察的命题. 在实际考察命题时,我们只从逻辑或真值方面考察,不考虑简单命题是否有意义上的关联,那么在这个意义上,生活中的“或”、“且”、“非”就与逻辑联结词“或“、“且”、“非”一样了.
判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题,既要看它是否含有“或”、“且”、“非”,又要看它是否含有与“或”、“且”、“非”等值的联结词,还要与真值表联系起来考虑. 那么,是不是含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题都是复合命题呢?答案是否定的. 这一点可以从下面辨析的“3.1“或”命题”中得到解释.
情况二 如:(1)(如果)同位角相等,(那么)两直线平行;
(2)(若)两直线平行,(则)同位角相等.
在命题中,含有(或隐含有)“如果?, 那么?”(若?, 则?), 构成新命题“若p 则q ”,记为“p ?q ”,读作p 蕴涵q . 具有这种构成形式的命题叫做假言命题(又叫做条件命题) ,是复合命题中的一种. 假言命题有两个子命题,一个称作前件,一个称作后件. 假言命题是断定前件所反映的情况是后件所反映情况的某种条件.
o
范文三:逻辑复合命题
■ 一、复合命题概述
1.定义
? 复合命题(compound proposition) ,就是以命题作为直接构成成分的命题,或者,包含有其他命题成分的命题。
? 例如:
④ 如果王××是法官,那么他就熟悉法律;
⑤ 只有陈××去过作案现场,他才是本案作案人。
4.1.复合命题的真值(truth value)
? 复合命题也有真、假两种逻辑值。
? 从最终意义上说,一个命题的真假取决于其是否与它所反映的客观实际相符合。若符合,则真,反之,则假。
? 例如:“甲是四川人,并且,乙是四川人”这一命题的真假,就取决于它是否合符实际。
■ 二、负命题与直言命题的负命题
■ 2.负命题的典型模式
并非p ; ~p; ¬p ;
■ 3.负命题的常见非标准语句表达式
■ 4.负命题的真值表及其逻辑性质
■ 5. 负命题自身的负命题与双重否定律
■ 6.直言命题的负命题及其等值命题
■ 三、联言命题及其推理
1.定义
? 联言命题(conjunctive proposition) ,就是断定几种事物情况同时存在的命题。
? 例如:
①张××是律师,并且,张××是中共党员。
②不仅普通人会犯这种错误,而且,专家也会犯这种错误。
■ 2.逻辑结构与典型模式
其中:
p 、q —变项:肢命题,称为联言肢(conjunct )或“合取支”
并且(∧)—常项:联言联结词,亦称合取词
(p ∧q )—现代逻辑中称为合取式(conjunction )
■ 3.常见非标准语句表达式
(1)“S 1、S 2……Sn 是P”句式,表达一个N 肢的联言命题;
? 例如:
甲、乙、丙都是知情人
? 若令 p = 甲是知情人
q = 乙是知情人
r = 丙是知情人
? 则其逻辑形式为:
(p ∧ q ∧ r )
■ 4.联言命题的真值表及其逻辑性质
若已知( A ∧ ~ B ∧ C )为真,则可知:
① ~A 为( );
②( B ∧ D )为( );
③( C ∧ ~E )为( )。
■ 5.合取交换律(补充内容)
■ (二)联言推理
■ 3.运用联言推理应注意的问题
以“周××是妇女,并且,她是刑警”为前提进行演绎推理,可必然推出结论( )。
①周××是女刑警
②周××是刑警
③有的刑警是妇女
④有的妇女是刑警
⑤所有刑警都是妇女
■ 四、选言命题及其推理
1.定义
? 选言命题(disjunctive proposition; alternative proposition ),就是断定几种可能的事物情况中至少有一种情况存在的命题。
? 例如:
①或者是你听错了,或者是他说错了
②本案被害人要么是自杀,要么是他杀
■ 2.选言命题的种类
? 根据选言肢反映的事物情况是否可以并存,选言命题可分为相容(compatible )选言命题和不相容(exclusive )选言命题两类。
? 例如:
①学习效果不好,可能是学生的原因,也可能是教师的原因
②这个作案人或者是本地人,或者是外地人
③本案作案人或者是张三,或者是李四
1.定义
? 相容选言命题是断定选言肢中至少有一个为真,并且可同为真的选言命题。 ? 例如:
①或者是你听错了,或者是他说错了
②本案或者是内部的人作案,或者是外部的人作案。
■ 2.逻辑结构与典型模式
其中:
p 、q ——变项:肢命题,称为选言肢或析取支( Disjunct )
或者(∨)——常项:选言联结词,亦称析取词
(p ∨q )在现代逻辑中称为析取式(disjunction )
■ 3.常见非标准语句表达式
(1) “……或……”
(2) “……或者……”
(3) “可能……,可能……”
(4) “或许……,或许……”
(5) “也许……,也许……”等等
■ 4.相容选言命题的真值表及其逻辑性质
(1)若已知( A ∨ B ∨ ~ C )为假,则可知:
① (~ A ∧ C ) 为( );
②( B ∨ D )为( );
③( C ∨ E )为( )。
(2)若已知( A ∨ B ∨ C )为真,且已知A 假,B 假,
则可知 C 为( )。
(3)若已知( A ∨ B ∨ C )为真,且已知A 真,B 真,
则可知 C 为( )。
1.定义
? 不相容选言命题是断定选言肢中有且只有一个为真的选言命题。 ? 例如:
①作案人要么是本地人,要么是外地人。
②某甲的血型或者是A 型,或者是B 型,或者是AB 型,或者是O 型。 ■ 2.逻辑结构与典型模式
(1) “要么……,要么……”
(2) “或者……,或者……,二者必居其一”
■
■ 4. 不相容选言命题的真值表及其逻辑性质
■ (四)关于“选言肢是否穷尽”的问题
? 选言肢是否穷尽的问题:就是指一个选言命题的选言肢是否考虑到了某一事物情况的各种可能情况的问题。若是,则选言肢已穷尽,反之,选言肢未穷尽。
? 例如:
①该死者或者是自然死亡,或者是非自然死亡
②该死者或者是自杀,或者是他杀
③本案作案人或者是张三,或者是李四
④本案作案人只能或者是张三,或者是李四
■ (五)选言命题、联言命题的负命题与德·摩根律(De Morgan's Law) ? 联言命题的负命题、选言命题的负命题及其等值式,是英国著名逻辑学家德·摩根(Augustus De Morgan ,1806-1871)最先提出的一双对偶关联定理,数学、逻辑学中通称“德·摩根律” (De Morgan's Law) 。
~(p ∧q )←→(~p ∨~q )
~(p ∨q ) ←→(~p ∧~q )
? 课堂练习
“并非该犯罪团伙的成员都是北方人并且都是惯犯”这个负命题等值于( )。
①该犯罪团伙的成员都不是北方人,并且,该犯罪团伙的成员都不是惯犯
②该犯罪团伙的成员都不是北方人,或者,该犯罪团伙的成员都不是惯犯
③该犯罪团伙的成员不都是北方人,并且,该犯罪团伙的成员不都是惯犯
④该犯罪团伙的成员不都是北方人,或者,该犯罪团伙的成员不都是惯犯
? 课堂练习
总经理:我主张小王和小孙两人中至少提拔一人。
董事长:我不同意。
以下哪项,最为准确地表述了董事长实际上同意的意思?
A 、小王和小孙都得提拔。
B 、小王和小孙都不提拔。
C 、小王和小孙两人至多提拔一人。
D 、如果提拔小王,则不提拔小孙。
■ (六)选言推理
■ 2.相容选言推理有效式
■ 3.不相容选言推理有效式
■ 4.运用选言推理应注意的问题
? (1)运用肯定否定式时,
要考察选言肢是否相容
? (2)运用否定肯定式时,
要考虑选言肢是否穷尽
? 课堂练习
“已知:
第一, 《神鞭》的首先翻译出版用的或者是英语或者是日语, 二者必居其一。 第二,《神鞭》的首次翻译出版或者在旧金山或者在东京,二者必居其一。 第三,《神鞭》的译者或者是林浩如或者是胡乃初,二者必居其一。
如果上述断定都是真的,则以下哪项也一定是真的?
I. 《神鞭》不是林浩如用英语在旧金山首先翻译出版的,因此,《神鞭》是胡乃初用日语在东京首先翻译出版的。
II. 《神鞭》是林浩如用英语在东京首先翻译出版的,因此,《神鞭》不是胡乃初用日语在东京首先翻译出版的
III. 《神鞭》的首次翻译出版是在东京, 但不是林浩如用英语翻译出版的,因此一定是胡乃初用日语翻译出版的。
A. 仅I 。B. 仅II 。C. 仅III 。D. 仅II 和III 。
■ 五、假言命题及其推理
1.定义
? 假言命题(hypothetical proposition ),也叫条件命题(conditional proposition ),台港澳亦称设言命题:就是断定两种事物情况之间存在某种条件制约关系的命题。
? 例如:
① 如果张三直接参与本案犯罪,那么他有作案时间。
② 只有某人年满18周岁,某人才有选举权。
③ 当且仅当王××是党员,他才要缴党费。
■ 2.逻辑结构
? (1)逻辑变项:假言肢(前件和后件)
前件(antecedent ):表示某种条件(或原因)的假言肢,记为“p”; 后件(consequent ):表示依赖于某种条件的推断(或结果)的假言肢,
记为“q”。
? 例如:
欲写相思(q ),除非天样纸(p )
? (2)逻辑常项:假言联结词
蕴涵词: 如果……那么……
逆蕴涵词: 只有……才……
等值词: 当且仅当……才……
■ 3.客观事物情况间的条件制约关系
3.1.充分条件( Sufficient condition )
“有之必然”
? 两种事物情况p 和q ,有p 就必有q ,则p 就是q 的充分条件,二者之间具有充分条件关系。
? 例如:
磨擦(p ),生热(q )
天下雨( p ),露天的地面湿(q )
? 充分条件的实质在于:
仅仅有这一条件就足以出现某一结果,无须考虑别的条件
3.2.必要条件( necessary condition )
“无之必不然”
? 两种事物情况p 和q ,若无p 就必无q ,则p 就是q 的必要条件,二者之间具有必要条件关系。
? 例如:
有空气( p ),有生命(q )
有作案时间( p ),作案(q )
? 必要条件的实质在于:
没有这一条件就绝不会出现某一结果
3.3.充(分必)要条件
( sufficient and necessary condition )
“有之必然,且,无之必不然”
? 两种事物情况p 和q ,若有p 必有q ,且,无p 必无q ,则p 是q 的充分又必要条件,p 与q 之间具有充分必要条件关系。
? 例如:
① x 能被2整除( p ),x 是偶数(q )
② 张三是党员( p ),张三要缴党费(q )
3.4.既不充分又不必要条件
“有之未必然,无之未必不然”
? 两种事物情况p 和q ,若有p 未必有q ,且,无p 未必无q ,则p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件。
? 例如:
① 吸烟( p ),患肺癌(q )
② 甲爱吃辣椒( p ),甲是重庆人(q )
■ 4.假言命题的类型
? 由于事物情况间的条件关系有三种,相应地,假言命题也有三种,即:
(1)充分条件假言命题
(2)必要条件假言命题 (3)充要条件假言命题
■ 5.充分条件假言命题
5.1.定义
? 充分条件假言命题:断定前件是后件充分条件的假言命题。
? 例如:
①如果是犯罪行为,那么它一定具有社会危害性。
②如果某人服毒自杀,那么胃中一定能发现残余毒物。
③如果张三直接参与本案犯罪,那么他有作案时间。
(4)“p ,就(要)q”句式表达(p→q);
? 例如:
①你说的办法对人民有好处,我们就照你的办。(**)
②本案作案人不是张三,就是李四。
若 令 p=本案作案人是张三,
q=本案作案人是李四,
则 其逻辑形式为:
(~p→q)
■ 5.3.常见非标准语句表达式
(3)“只要p ,就q”句式表达(p→q);
? 例如:
①只要你说得对,我们就改正。(**)
②只要举报人反映的情况属实,被告就有罪。
■ 5.4.充分条件假言命题的真值表及其逻辑性质
◆ 若已知( A ∧ B )→ C 为假,则可知:
① ( A ∧ B ∧ ~ C ) 为( );
②( ~B ∨ ~ C )为( );
③( ~ C → D )为( )。
■ 5.5.充分条件假言命题的负命题与蕴涵否定等值律
? 等值式“~(p→q)←→(p ∧~q ) ”称为“蕴涵否定等值律”,简称为“蕴否律”。
? 根据蕴否律,则有:
~(~A→B) ←→(~A ∧~B )
~(A→~B ) ←→(A ∧B )
……
■ 5.6.蕴涵析取等值律
? 根据蕴析律,则有:
(p→~q ) ←→(~p ∨~q )
(p ∨q ) ←→ (~p→q)
……
? 左侧的等值式表明,蕴析律有如下规律:
假言前件互否,
假言后件相同;
蕴涵变析取,
析取变蕴涵。
■ 6.必要条件假言命题
6.1.定义
? 必要条件假言命题:断定前件是后件必要条件的假言命题。
? 例如:
② 有事实清楚,才能正确判决。
②只有使用了暴力,才构成抢劫罪。
只有p ,才q ; p ← q
? (p←q)称为“逆蕴涵式” (inverse implication ),或“反蕴涵式”(anti-implication ),因而必要条件假言命题也称为“逆蕴涵命题”或者“反蕴涵命题”。
■ 6.3.常见非标准语句表达式
(1)“除非p ,才q”句式表达(p ←q);
? 例如:
① 除非你去请,她才会来;
② 除非你去请,否则,她不会来;
③ 她不会来,除非你去请。
? 若 令 p=你去请她,
q=她会来,
? 则上述三个语句所表达命题,其逻辑形式为:
( p ← q )
(2)“必须p ,才q”句式表达(p←q)
? 例如:
① 人们首先必须吃、喝、住、穿,然后才能从事政治、科学、艺术、宗教等等;(马克思)
② 中国的社会必须经过这个革命,才能进一步发展到社会主义的社会去。(**)
③(美国的)民主党要起死回生,必须找回自己的灵魂,履行反对党的职责。
(3)“p ,才q”句式表达(p←q);
? 例如:
①敢拼才会赢。
②创新才能发展。
③年龄未满23周岁,且具有大专以上文化程度的,才能录用为本公司职员。
■ (4)某些“不p ,不q”句式可表达(p←q)
■ (4-2)某些“不p ,不q”句式表达联言命题,相当于(~p∧~q)
? 例如:
① 不闻不问 = (不闻 ∧ 不问)
② 不吃不喝 = (不吃 ∧ 不喝)
③ 不读书,不看报 = (不读书 ∧ 不看报)
■ (4-3)某些“不p ,不q”句式表达假言命题
? 例如:
① 不破不立;
② 不入虎穴,焉(不)得虎子;
③ 没有共产党,没有新中国。
? 对例③而言,若令 p = 有共产党,q = 有新中国,
? 则其逻辑形式为:
~p→~q 或者 p←q
■ 6.4.必要条件假言命题的真值表及其逻辑性质
■ 6.5.必要条件假言命题的负命题与逆蕴涵否定等值律
■ 6.6.逆蕴涵析取等值律
? 根据逆蕴析律,则有:
(~p←q)←→(~p ∨~q )
( p ∨ q )←→(p←~q )
……
? 左侧的等值式表明,逆蕴析律的规律是:
假言前件相同,
假言后件互否;
逆蕴涵变析取,
析取变逆蕴涵。
■ 课堂练习
◆ 若“鱼和熊掌不可兼得”是事实,则下列一定是事实的有
( )。
①或可得熊掌,或可得鱼
②鱼和熊掌皆不可得
③如果熊掌可得,则鱼不可得
④只要鱼可得,则熊掌不可得
⑤如果熊掌不可得,则鱼可得
⑥如果鱼不可得,则熊掌可得
⑦只有鱼不可得,熊掌才可得
⑧只有熊掌可得,鱼才不可得
⑨只有鱼可得,熊掌才不可得
⑩只有熊掌不可得,鱼才可得
■ 7.“蕴涵”与“逆蕴涵”间的等值关系
? 7.1.前、后件易位,逻辑常项互换,二者等值:
① (p→q)←→(q←p)
② (p←q)←→(q→p)
? 7.2.前、后件同时否定,逻辑常项互换,二者等值:
③ (p→q)←→(~p ←~q )
④ (p←q)←→(~p →~q )
? 7.3.前、后件同时否定再易位,逻辑常项不变,二者等值:
⑤ (p→q)←→(~q →~p )
⑥ (p←q)←→(~q ←~p )
■ 课堂练习
◆ “本案不可能既不是图财害命,也不是奸情杀害” 等值于
( )。
① 本案既是图财害命,又是奸情杀害
② 本案或者是图财害命,或者是奸情杀害
③如果本案是图财害命,就不是奸情杀害 ④只要本案不是奸情杀害,就是图财害命 ⑤只有本案是图财害命,才不是奸情杀害 ⑥只有本案不是图财害命,才是奸情杀害 ⑦如果本案不是图财害命,就是奸情杀害 ⑧只有本案是奸情杀害,才不是图财害命
■ 8.关于充分必要条件假言命题
? 8.1.定义
( p←→q )≡df. ((p→q)∧(p←q))
? 充分必要条件假言命题的实质,在于它是充分条件假言命题和必要条件假言命题的合取。
8.2.常见语句表达式
? (1)“如果p 那么q ;并且,只有p 才q”句式可表达充要条件假言命题,例如:
只要x 能被2整除,x 就是偶数;并且,只有x 能被2整除,x 才是偶数 ? (2) “如果p 那么q ;并且,如果q 那么p”句式可表达充要条件假言命题,例如:
寡欲则心清,心清则寡欲。(冯曦晴:《颐养诠要》)
? (3) “如果p 那么q ;并且,如果非p 那么非q”句式可表达充要条件假言命题,例如:
人不犯我,我不犯人;人若犯我,我必犯人。
■ (二)假言推理
1.假言推理(hypothetical reasoning)之界定
(1)狭义的假言推理:前提中有一个假言命题,并且根据该假言命题的逻辑性质进行的演绎推理。
(2)广义的假言推理:前提中至少有一个假言命题,并且根据假言命题的逻辑性质进行的演绎推理。
广义的假言推理,包括纯粹假言推理(如假言易位推理、假言联锁推理)和混合假言推理(如假言直言推理、假言联言推理、假言选言推理)。 狭义的假言推理,仅指假言直言推理。
■ 2.假言推理的种类
? 由于假言命题有充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要假言命题三种,相应地,假言推理也有三类:
充分条件假言推理:以充分条件假言命题为大前提的假言推理。 必要条件假言推理:以必要条件假言命题为大前提的假言推理。
充分必要条件假言推理:以充分必要条件假言命题为大前提的假言推理。
■ 3.充分条件假言推理
充分条件假言命题的逻辑性质
■ 3.1.充分条件假言推理的有效式
■ 3.2.充分条件假言推理的无效式
(1)否定前件式
实例解析一:过于执的“逻辑”
? 我国司法实践中,也不乏“过于执”式的执法者。
? 近年来,各地不断爆出的“处女卖淫”一类冤案、假案,如陕西泾阳县麻旦旦冤案、四川珙县处女卖淫冤案、南京处女卖淫冤案、山东东营处女卖淫冤案、陕西榆林“军嫂卖淫冤案”、福建莆田“恋人嫖娼卖淫冤案” 、重庆万州“夫妻嫖娼卖淫冤案”等冤案假案的频繁重演,若仅从思维方式方面看,实则“过于执”式的法律思维惹的祸:
如果某对男女卖淫嫖娼,则一定独处一处;
现这对男女独处一处;
所以,这对男女是卖淫嫖娼。(?)
实例解析二:痞子蔡的“逻辑”
? 如果我有一千万,我就能买一栋房子。我有一千万吗?没有。所以我仍然没有房子。
(痞子蔡《第一次亲密接触》)
? 该段议论中包含一个充分条件假言推理,其推理形式为:
((p→q) ∧~p )→ ~q
? 该推理属于充分条件假言推理的否定前件式,是无效式,即使前提都真也不能保证其结论必然真。
? 类似的推理模式(叙述方式),在《第一次亲密接触》中俯拾皆是: 如果把整个太平洋的水倒出,也浇不熄我对你的爱情的火焰。整个太平洋的水全部倒得出吗?不行。所以我并不爱你。
如果我有翅膀,我要从天堂飞下来看你。我有翅膀吗?……没有。所以,很遗憾。我从此无法看到你。
……
? 早些年,随着《第一次亲密接触》在网络上迅速窜红,类似的推理模式/叙述方式,一度成为新新人类的流行酷语。
? 课堂练习
“如果某人是杀人犯,那么案发时他在现场。据此,我们可以
推出: ( )
A .张三案发时在现场,所以张三是杀人犯
B .李四不是杀人犯,所以李四案发时不在现场
C .王五案发时不在现场,所以王五不是杀人犯
D .许六不在案发现场,但许六是杀人犯
■ 4.必要条件假言推理
必要条件假言命题的逻辑性质
■ 4.1.必要条件假言推理的有效式
■ 4.2.必要条件假言推理的无效式
(1)肯定前件式
? 课堂练习
“在中国,只有富士山连锁店经营日式快餐。
如果上述断定为真,以下哪项不可能为真?( )
(1)苏州的富士山连锁店不经营日式快餐。
(2)杭州的樱花连锁店经营日式快餐。
(3)温州的富士山连锁店经营韩式快餐。
A 、只有(1) B 、只有(2)
C 、只有(3) D 、只有(1)和(2)
? 课堂练习
“如大嘴鲈鱼只在有鲦鱼出现、河中长有浮藻的水域里生活。漠亚河中没有大嘴鲈鱼。
从上述断定能得出以下哪项结论?( )
(1)鲦鱼只在长有浮藻的河中才能发现。
(2)漠亚河中既没有浮藻,又发现不了鲦鱼。
(3)如果在漠亚河中发现了鲦鱼,则其中肯定不会有浮藻。
A 、只有(2) B 、只有(3)
C 、只有(1)和(2) D 、(1)(2)(3)都不是
■ 5.充分必要条件假言推理
充分必要条件假言命题的逻辑性质
■ 5.1.充分必要条件假言推理的有效式
■ 5.2.充分必要条件假言推理的有效式
(1)否定前件式
? 课堂练习
“刑警队需要充实缉毒组的力量,关于队中有哪些人来参加该组,已商定有以下意见:
(1)如果甲参加,则乙也参加;
(2)如果丙不参加,则丁参加;
(3)如果甲不参加而丙参加,则队长戊参加;
(4)队长戊和副队长己不能都参加;
(5)上级决定副队长己参加。
根据以上意见,下列推理完全正确的是: ( )
A .甲、丁、己参加 B .丙、丁、己参加
C .甲、丁、己参加 D .甲、乙、丁、己参加
? 课堂练习
“万通集团规定,它的下属连锁分店,年营业额超过800万元的,雇员可获得年超额奖。年终统计显示,该集团所属10个连锁分店,其中7个年营业额超过800万元,其余的不足500万元。万通集团又规定,只有年营业额超过500万元的,雇员才能获得敬业奖。
如果上述断定都是真的,那么以下哪项关于该集团的断定也一定是真的?( )
(1)得敬业奖的雇员,一定得年超额奖。
(2)得年超额奖的雇员,一定得敬业奖。
(3)万通集团的大多数雇员都得了敬业奖。
A 、仅(1) B 、仅(2)
C 、仅(1)和(2) D 、(1)、(2)和(3)
? 课堂练习
“一本小说要畅销,必须有可读性;一本小说,只有深刻触及社会的敏感点,才能有可读性;而一个作者如果不深入生活,他的作品就不可能深刻触及社会的敏感点。
以下哪项可以从题干的断定中推出?( )
(1)一个畅销小说作者,不可能不深入生活。
(2)一本不触及社会敏感点的小说,不可能畅销。
(3)一本不具有可读性的小说的作者,一定没有深入生活。
A 、只有(1)和(2) B 、只有(2)和(3)
C 、只有(1)和(3) D 、只有(1)
■ 附录:“语句翻译”的两个原则:
? (一)凡相同的逻辑变项(词项或肢命题)必须用同一符号表示;而不相同的逻辑变项必须用不同的符号表示。
? (二)不相容的逻辑变项,应采用同一符号的肯定与否定来表示。
范文四:1.3简单的逻辑联结词(复合命题)学案
1.3简单的逻辑联结词(复合命题)学案 学习目标:加深对“或”“且”“非”的含义的理解,能利用真值表判断复合命题的真假; 学习重点:判断复合命题真假的方法;
一、课前准备:
1.逻辑联结词有那些?简单命题: ,复合命题: 。
2.复合命题的构成形式是什么?
二、我参与学习:(阅读教材P14-17)
问题1: 判断下列复合命题的真假
(1)8≥7 (2)2是偶数且2是质数; (3)?不是整数;
(学生自练?个别回答?教师点评)
三、师生探究
1.“非p”形式的复合命题真假:(阅读教材P17)
例1:写出下列命题的非,并判断真假:
22(1)p:方程x+1=0有实数根 (2)p:存在一个实数x,使得x-9=0.
2(3)p:对任意实数x,均有x-2x+1≥0; (4)p:等腰三角形两底角相等
(教师引导?学生书写?教师点评)
2.“p且q”形式的复合命题真假:(阅读教材P14)
例2:判断下列命题的真假:
(1)正方形ABCD是矩形,且是菱形;(2)5是10的约数且是15的约数
2(3)5是10的约数且是8的约数 (4)x-5x=0的根是自然数
(教师引导?学生书写?教师点评)
3.“p或q”形式的复合命题真假:(阅读教材P15)
例3:判断下列命题的真假:
(1)5是10的约数或是15的约数;(2)5是12的约数或是8的约数;
2(3)5是12的约数或是15的约数;(4)方程x-3x-4=0的判别式大于或等于零
(教师引导?学生书写?教师点评)
四、达标训练:(学生自练?个别回答?教师点评)
例4:把下列命题写成p或q的形式,并判断出命题的真假:
(1))4≥5 (2)对一切实数x,x2?x?1?0
例5:教材P18 A组 1
五、课后练习:
1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是( )
A.简单命题 B.非p形式的命题 C.p或q形式的命题 D.p且q的命题
2.如果命题p是假命题,命题q是真命题,则下列错误的是( )
A.“p且q”是假命题 B.“p或q”是真命题
C.“非p”是真命题 D.“非q”是真命题
3.(1)如果命题“p或q”和“非p”都是真命题,则命题q的真假是_________。
(2)如果命题“p且q”和“非p”都是假命题,则命题q的真假是_________。
4.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x-52.(4)若A∩B=?,则A=?或B=?.
6.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围。
范文五:复合命题的形式和真假性的认识
复合命题的形式和真假性的认识 第1卷第3期柳州职业技术学院
2GO1年9月JOURNALOF1B3ZHOUVOCATIONAL&TECHNICALCOLLEGE
V0l.23
sep.2G01
复合命题的形式和真假性的认识
黄荣光
(柳州地区民族师范学校)
摘耍:本文通过对具体不同的实例分析,较为直观通俗地论述丁复合命题的结构形式和真假性,并介绍
丁复合命题真假性的判断.
关?词:联言命题;选言命题;负命题;假言命题;真假.
中田分类号:0141.1文棘标识码:^文章编号:1671一lo~~(2OO1)O3—0038—05 一
.
命题的概念
众所周知,判断是对事物情况有所肯定或者否定的思维形式.用来表示判断的语句称为命
题;因而命题是判断的外显形式,本质上命题也就是判断.
例:下面几个语句是不是命题?
(1)所有的正三角形都是等腰三角形.
(2)有的奇数不是质数.
(3)数a除以数b.
【分析】:(1)是个肯定判断,(2)是个否定判断,他们都是命题.(3)不是判断,故不能作为
命题.
一
个命题所反映的判断,有可能是真实正确的,也有可能是虚假错误的.比如说命题:(4)
凡对顶角必相等i(5)一切偶数都都是合数.前者是真实正确的判断,后者就是个错误的判断.
反映正确判断的命题称为真命题;反映错误判断的命题称为假命题. 任何一个命题,要么是真命题,要么是假命题,二者必居其一.
依命题的结构特点,通常划分成简单命题和复合命题两大类.所谓简单命题,就是指本身
不再包含其它命题.当简单命题所反映的判断是对事物的属性作出肯定或否定的论断时,称之
为性质命题;而当简单命题所反映的判断是对两种或多种事物之间是否具有某种关系时,称之
为关系命题.
例如下面的命题:
(6)所有自然数不是无理数.(所有P不是q)
(7)一切整数是有理数.(所有P是q)
(8)有些偶数是合数.(有些P是q)
(9)有些奇数不是合数.(有些P不是q)
【收稿日期】2001—05—21
[作者简舟】黄荣光(1962一).男(汉族),广西荔浦人,柳州地区民族师范学枝讲师,从事数学教学研究.
第1卷第3期重苤堂!星鱼鱼星盟型耋塑墨堡笪盟i
(10)2小于3.(pRq)
它们都是简单命题,其中(6)至(9)题是性质命题,iliiOo)~是个关系命题. 二.复合命题的结构形式
复合命题,就是指运用逻辑联结词把两个或多个的简单命题整台而成的新命题.比如说下
面的两个命题:
(11)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
(12)当且仅当两直线斜率相等时,这两直线才平行.
命题(11)是使用逻辑联结词"如果,那么",把简单命题"两个角是对顶角.,"两个 角是相等的.".进行整合而成.
命题(12)使用了逻辑联结词"当且仅当"把简单命题"两直线斜率相等.","两直线平 等."进行整合而成.
构建复合命题,使用不同的逻辑联结词,可以获得不同结构形式的复合命题.常见的复合
命题有:负命题,选言命题,联言命题,充分条件假言命题,必要条件假言命题,充要条件假
言命题(后三者统称为假言命题).
1负命题:在一个命题的前面冠以"并非"之类的逻辑联结词而得到的新命题,称为原命
题的负命题(即否定).表示为"一p(或)",读作:非P,又称为P的否定式,P是该复合命 题的支命题.比如说命题"并非分数是无理数.",就是个负命题,这里P意为命题:"分数
是无理数".
2选言命题:把已知命题P,q用逻辑联结词"或"联结起来得到的新命题"P或q",称 为选言命题.表示为"PVq",读作:P或q,又称为P,q的析取式,P,q称为析取项(析取 支l.例如命题"~.ABC是锐角三角形或是钝角三角形.,即为一个选言命题.这里P代表
"?ABc是锐角三角形",而q代表"/xABC是钝角三角形.
3联言命题:用与"之类的逻辑联结词,把已知命题P,q联结起来得到的新命题"P与 q,称为联言命题.表示为"p^q'',读作:p且q,又称为P,q的合取式,P,q称为合取项 (合取支).例如命题"2是质数且是偶数.",就是个联言命题.此外p为"2是质数.",q 为"2是偶数.".
4充分条件假言命题:用"如果,那么."之类的逻辑联结词,把命题P,q联结起来, 得到的新命题"如果P,那么q."称为充分条件假言命题.记作"—q',,其中P称为条
件,q
称为结论.也称之为命题蕴涵,或简称蕴涵式.例如命题"如果两个角是对顶角,那么这两个
角相等."就是个充分条件假言命题,这里P表示"两个角是对顶角.",而q表示"两个角
相等".
5必要条件假言命题:用"只有,才."之类的逻辑联结词,把命题P,q联结起来,得 到的新命题"只有P,才qo"称为必要条件假言命题.表示为"p—q"("一"表逆蕴涵关 系).例如命题"只有两三角形相似,才能两三角形全等.",就是个必要条件假言命题.此处
P是"两三角形是相似的.",q为"两三角形是全等的.".
6充要条件假言命题:用"当且仅当"之类的逻辑联结词,把两个命题p,q联结起来, 得到的新命题"q当且仅当P"称为充要条件假言命题.表示为"p—q",读作:P等价于q;当
且仅当P.则q,称为p,q的等价式.例如命题"一个数是偶数,当且仅当它能被2整除."就
40梆州职业技术学院2C01年9月
是个充要条件假言命题,在这里,P为"一个数能被2整除.",q为"一个数是偶数. 三.复合命题的真假性
复合命题的真假,既决定于组成它的简单命题的真假,同时也决定于所使用的逻辑联结词.
对于负命题"p"的真假性,其恰好与命题P的真假性相反.当P真时,则P为假;当 P假时,则P为真.
对于联言命题"PAq"的真假性,必须所有的支命题P,q都同为真时,联言命题才是真 的;当支命题P,q中至少有一个是假命题时,联言命题就是个假命题. 对于选言命题"pVq"的真假性,首先对逻辑联结词"或(V)"的涵义进行分析,"或"通 常有两种解释:一种是"不可兼有"的不相容涵义,例如"你来或他来,理解为仅是二人中的
一
人来,而排斥你,他二人同来这种可能.另一种是"可兼有"的相容涵义.数学文献中,通常
是指第二种涵义."P真或q真",应该理解为"可能仅有P真,也可能仅有q真,也可能仅有
q真,还可能P和q都真.但应注意到"可兼有"并不意味着"一定兼有".由此易知,必须
在所有的支命题p,q都为假命题时,选言命题才是假命题;而当支命题P,q中至少有一个为真
命题时,选言命题就是个真命题.
对充分条件假言命题"P-q的真假性,当P真而q假时,则"p—q为假命题;否则,当 P和q都真,或者P和q都假,或者P假而q真时,"p—q"是真命题.后两情形的真假论断可
举例说明如下,考虑命题:
(13)如果X<0,则x<2.
不论其中x是什么实数,命题(13)都是真命题.当x=一1,命题就是:如果一1<0,则一1
<2.
其中"一1<0"和"一1<2''都是真的,故有P和q都是真时,"p—q是真的.又令 X=1,那么命题(13)就是:如果1<0,则1<2.
其中"1<0"是假的,"1<2''是真的,故当P假而q真时,"p—q也是真的.令x=3, 那么命题(13)即为:如果3<0,则3<2.
其中"3<0为假,"3<2"也为假,故当P假q也假时,"P-q"还是真的. 对必要条件假言命题"p—q",其真假取决于它反映的条件,结论之间的必要条件关系是否
属实,单从条件与结论的真假同整个假言判断的真假关系而言,只有"P假而q真"时,整个判
断(命题)才是假的;其它情况,如"P真,q假","P假,q假"以及"p真,q真",整个判 断(命题)都是真的.而结合考虑P,q之间内容的联系,那么后述三种"真"的情况,仅
是可能
真,而不是必然真了.
对充要条件假言命题"p—q",其真假性决定于P和q的真假是否相同.当p,q都是同真
或都是同假时,"p—q"其真假性决定于P和q的真假是否相同.当p,q都是同真或都是同假
时,"p—q"是真命题;当P,q一真一假时,"p—q"则是假命题.
若用符号…1,…0分别表示命题的"真","假"结果,则上述的复合命题的真假性情 况,可用真值表归纳如下:
第1卷第3期黄荣光:复合命题的形式和真假性的认识41
pppqp^qpVqp_+qp.qp"q
0llllllll
10l00l0l0
0l0ll00
0000lll
四.复合命题的事例说明
例1,分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.
1.圆周率不是有理数.
2./"ABC是等腰直角三角形.
3.a>2时,方程一aX+1=0就有实数解.
4.四边形必须邻边相等,才可能成为正方形.
5.三点共园必须且仅须这三点不共线.
解:
1.此题是个负命题"p",其中简单命题p为:是有理数.
2.此题是个联言命题"pAq",其中的p:/"ABC是等腰三角形;而且q:/"ABC是直角三 角形.
3.此题是个充分条件假言命题"p—q",其中的p为:a>2;而且q是:方程—aX+1= 0有实数解.
4.此题是个必要条件假言命题"p—q",其中的p:四边形的邻边相等;而q为:四边形是
正方形.
5.此题是个充要条件假言命题"p—q",其中的p为:三点不在同一条直线上;而q为: 三点是共园的三点.
例2,写出下面各命题的负命题(p).
1.数a,b都是正实数.
2./"ABC是锐角三角形或钝角三角形.
3.存在有xE-【a,b】使f(x】>0成立.
解:
1.因为"都是正实数"的否定应为:"不同时是正实数",即意为"至少有一个不是正实 数",因此命题:"数a,b都是正实数."的负命题是:"数a,b至少有一个不是正实数. ''
2.因为"是锐角三角形或钝角三角形"的否定意为:锐角三角形和纯角三角形这两者同时
都不是.故命题"/"ABC是锐角三角形或钝角三角形."的负命题为"/"ABC既不是锐角三角形
也不是钝角三角形".
3.因为"存在有"的否定是"不存在有(即没有)"的意思,故命题"存在有E-【,b】使f (x】>0成立."的负命题为"没有xE-【a,b】使f(x】>0成立."进而是"对任意的?【,b】都
使f(x)?0成立."
注释:(1)"p且q"的否定为"非P或非q",{(pAq):(p)V(q)). (2)"p或q"的否定为"非p且非q",{(pVq)=(p)^(q)).
柳州职业技术学院2001年9月
(3)"都是"的否定为"不都是",即"至少有一个不是".
(4)"至多有n个"的否定为"至少有rl+1个".
(5)"至少有n个"的否定为"至多有rl一1个".
例3.判断由命题P,q所构成的各类复合命题(P,pVq,pAq,q,p—q,p—q)的真 假.
1.p:3(P<6(P;q:C?3(P<c0s6(P.
2.P:正方形是菱形;q:正方形是矩形.
解:
1.因为在此P为真,而q为假;所以其选言命题(pVq)为真,联言命题(p^q)为假,负命 题(p)为假,(q)为真,充分条件假言命题(p—q)为假,岿要条件假言命题(p+_q)为真,充要
条件假言命题(p—q)为假.
2.因为在此P为真,而q也为真.所以有结论:选言命题(pVq)为真,联言命题(PAq)为 真,负命题(P)为假,(q)为假,充分条件假言命题(p—q)为真,必要条件假言命题(p+_q)为
真,充要条件假言命题(p—q)为真.
参考资料
[1]胡世华,陆钟万.现代数学基础丛书,数理逻辑基础.科学出版社,1981 l2]喻平,孙杰远.数学教育学导论.广西师范大学出版,1998
UnderstandingOllltheformofsentenlial combinationanditstruthand蠡II蛐嘴
HuangR棚唱昏m呜.
[Abstract】:tllisarticlep0Ilndsthetruth—and—falseandstructuralm0fsentential~m~bination all—mu|Idandaudio—visuallybyanalysinsdifferentconcr~eexamples,whichcmprovide
?lnehelpforthe
personwhobe西llstolearn.
IKeywords】:Cunetivep~position;Disjunctivep~pooition;
Negativep~position;hypotheticalproposition; 1lm山andfseI1ess.