范文一:计算行简化阶梯形矩阵
#include #define N 4 int main() {void print(float ar[][N]); float a[N][N],fir,t; int i,j,x,k; for(i=0;i<> {for(j=0;j<> scanf("%f",&a[i][j]);} printf("It's the matrix that you have input:\n"); print(a); for(x=0;x<> {for(i=x;i<> {fir=a[i][x]; if(fir==0) continue; for(j=x;j<> a[i][j]=a[i][j]/fir;} for(i=x;i<> {if(a[i][x]==1) for(j=x;j<> {t=a[i][j];a[i][j]=a[x][j];a[x][j]=t;} break;} for(i=x+1;i<> {if(a[i][x]==0) continue; for(j=x;j<> a[i][j]=a[i][j]-a[x][j];} }printf("The echelon matrix is:\n");print(a); for(i=0;i<> {if(a[i+1][i+1]==1) {for(k=1;k<> {t=a[i][i+k]; for(j=i;j<> } }printf("The row-reduced echelon matrix is:\n"); print(a); return 0;} void print(float ar[][N]) {int i,j; for(i=0;i<> {putchar('\|'); } for(j=0;j or i=b:n if A(i,j) && flag==0%找寻每一列中是否有非 零数 A(i,:) = A(i,:) / A(i,j);%首位化为1 flag=i; %标记这一列中首个元素不为零的行 i=i+1; %变量后移一位 if in break; end b=b+1; %若有非零数,则往后移一行,若没有,则往后移 一列 if bn break; end end if flag A(i,:) = A(i,:)-A(i,j)*A(flag,:);%逐行相减 end end if b~=flag%如果b与flag不相同,则换行,否则说明,已 1 经处于最适位置了A([b flag],:) = A([b flag],:);%换行 end flag=0; end %找寻每行首个不为零的数,进行简化 %用上面的行,减去这一行的多少倍,化为零 b=2; for i=2:n for j=b:m %找寻每行中首个不为零的数 if A(i,j) for k=1:i-1 if A(k,j) A(k,:)=A(k,:)-A(k,j)*A(i,:); %简化阶梯行 end end break; %找到则退出 end end end end 此函数处理列大于或等于行 function [ A ] = jieti( A ) 2 %UNTITLED Summary of this function goes here %Detailed explanation goes here [n m]=size(A); for j = 1:m if j<n+1 for i = j:n if A(i,j) A(i,:) = A(i,:) / A(i,j);%首个化为1 A([j i],:) = A([i j],:);%换行 end for k = i:n if A(k,j) && k& gt;i A(k,:) = A(k,:)-A(k,j)*A(i,:);%逐行相减 end end break; end end end z=rank(A); for i=1:z-1 for j=i:z-1 3 if A(i,(j+1)) A(i,:) = A(i,:)-A(i,(j+1))*A((j+1),:);end end end end 篇二:线性代数大纲 《线性代数》课程教学大纲 一、课程编码及课程名称 课程编码:3312000523 课程名称:线性代数 Linear Algebra 二、学时,学分,适用专业及开课时间 总学时数:45 学分:2 适用专业(本科):通讯工程 开课时间:第一学年第一学期 三、课程教学目标 《线性代数》是以讨论有限维空间线性理论为主的课程,具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习,使学生初步掌握线性代数的基本理论与方法,获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及其有关基本知识,并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力,从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 四、课程的性质和任务 《线性代数》是代数学的一门基础课程。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域,某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题,尤其在计算机日益普及的今天,解 4 大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为经常遇到的课题,因此本课程的作用与地位显得格外重要。所介绍的方法广泛地应用各个学科,这就要求学生具有本课程的基本知识,并熟练地掌握它的方法。 五、课程教学的基本要求 (1)理解下列概念 n阶行列式、 m×n矩阵、矩阵的秩及初等变换 ,初等矩阵、n维向量组的线性相关及线性无关,向量的线性组合,向量组的极大无关组与秩,n维向量空间齐次线性方程组的基础解系,齐次与非齐次线性方程组的通解,矩阵的特征值与特征向量 ,相似矩阵与相似变换,正交矩阵与正交变换,二次型及标准形,合同变换与合同矩阵,二次型和对应矩阵的正定性。 (2)掌握下列基本计算 行列式的计算方法,矩阵的计算,逆矩阵的求法,线性方程组的解法,矩阵的特征值和特征向量的求法 ,用正交变换化二次型为标准形。 六、课程教学内容 第一章 行列式( 共6学时) (一)本章教学基本要求 通过本章学习,使学生理解n阶行列式的定义,掌握用行列式的性质和按行(列)展开定理计算行列式的方法,了解克拉默法则求解线性方程组的方法。 5 1.1 二阶与三阶行列式 教学内容:二阶行列式的概念;二元线性方程组与二阶行列式;三阶行列式的概念;对角线法 1.2全排列及其逆序数 教学内容:全排列;逆序数的概念;奇排列;偶排列 1.3 n阶行列式的定义 教学内容:n阶行列式的定义;对角行列式;上(下)三角行列式 1.4对换 教学内容:对换的概念;排列的奇偶性 1.5行列式的性质 教学内容:转置行列式;行列式的性质 1.6行列式按行(列)展开 教学内容:余子式;代数余子式;行列式按行(列)展开 1.7克莱默法则 教学内容: (二)重点与难点 重点:二阶、三阶行列式、 n阶行列式定义、行列式性质 难点:按行(列)展开法则、克拉默法则 第二章 矩阵与其运算(6学时) (一)本章教学基本要求 通过本章的学习,使学生理解矩阵的概念、掌握矩阵的运算、理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质。 教学内容: 2.1矩阵 6 教学内容:矩阵的概念;n阶方阵 2.2矩阵的运算 教学内容:矩阵的加法;数与矩阵相乘;矩阵与矩阵相乘;矩阵的转置;方阵的行列式;伴随矩阵;共轭矩阵 2.3逆矩阵 教学内容:逆矩阵的概念;用伴随矩阵求逆矩阵 2.4矩阵的分块法 教学内容:矩阵的子块;分块矩阵;矩阵的分块法 (二)重点与难点: 重点:矩阵运算、逆矩阵 难点:逆矩阵、分块矩阵 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(8学时) (一)本章教学基本要求 掌握矩阵的初等变换、能用初等变换化简矩阵、理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵秩的方法。 3.1矩阵的初等变换 教学内容:线性方程组的同解变换;增广矩阵;矩阵的初等行变换;矩阵的列初等变换;矩阵的初等变换;矩阵的等价;阶梯形矩阵;矩阵的标准形 3.2初等矩阵 教学内容:初等矩阵;初等变换与初等矩阵 3.3矩阵的秩 教学内容:矩阵的k阶子式;矩阵的秩;用初等变换求矩阵的秩 3.4线性方程组的解 教学内容:线性方程组解的判别定理;线性方程组的通解; 7 求解线性方程组的方法 (二)重点与难点: 重点:矩阵的初等变换,矩阵的秩 难点:线性方程组的消元解法 第四章 向量组的线性相关性(12学时) (一)本章教学基本要求 向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容,在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本章重点让学生掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法,理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4.1向量组及其线性组合 教学内容:n维向量;向量组;线性组合;线性表示 4.2向量组的线性相关性 教学内容:向量组的线性相关与线性无关的定义;向量组的线性相关与线性无关的充分与必要条件;向量组的部分组4.3向量组的秩 教学内容:最大线性无关向量组;向量组秩的概念;最大线性无关向量组的等价 4.4线性方程组的解的结构 教学内容:解向量;齐次线性方程组的基础解系;齐次线性方程组的通解;非齐次线性方程组解的结构及通解 4.5向量空间 教学内容:向量空间;线性方程组的解空间;向量空间的 8 基;向量空间的维数;基变换公式;坐标变换公式 (二)重点与难点: 重点:n维向量空间,向量间的线性关系 难点:线性方程组解的结构。 第五章 相似矩阵及其二次型(11学时) (一)本章教学基本要求 通过本章学习,使学生理解方阵特征值、特征向量、向量内积的概念,掌握特征值与特征向量的求法及Schmidt正交化方法,理解相似矩阵的概念和性质,掌握用正交变换化实对称阵为对角阵及二次型化标准型的方法及将矩阵化为相似对角矩阵的方法。了解二次型与对称矩阵的正定性。 5.1向量的内积、长度及正交性 教学内容:向量的内积;向量的长度;向量的夹角;向量的正交性;正交向量组;规范正交基;规范正交化;Schmidt正交化方法;正交矩阵;正交变换 5.2方阵的特征值与特征向量 教学内容:方阵的特征值与特征向量的概念;特征方程;特征多项式;求方阵的特征值与特征向量的方法 5.3相似矩阵 教学内容:相似矩阵与相似变换的概念;相似矩阵的性质;把矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.4对称矩阵的对角化 教学内容:对称矩阵的特征值与特征向量的性质;把对称 9 矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.5二次型及其标准形 教学内容:二次型的概念;二次型的标准形;二次型的规范形;二次型的矩阵;矩阵的二次型;二次型的秩;矩阵的合同;二次型化标准型的方法 5.6用配方法化二次型成标准形 教学内容:拉格朗日配方法;用拉格朗日配方法化二次型成标准形 5.7正定二次形 教学内容:惯性定理;惯性指数;正定二次形;正定矩阵;二次形的正定充分与必要条件;负定二次形;负定矩阵;矩阵正定及负定充分与必要条件 (二)重点与难点: 重点:向量的内积、长度及正交性、相似矩阵、对称矩阵的对角化 难点:二次型及其标准形、用配方法化二次型成标准形、正定二次形 *第六章 线性空间与线性变换(2学时) (一)本章教学基本要求 通过本章的学习,使学生明白线性空间及其相关概念是向量空间的概念进一步推广,这种推广以后的概念就更具有一般性,因而也就更加抽象化。 6.1线性空间的定义与性质 教学内容:线性空间的定义;线性空间的例子;线性空间的性质 6.2维数、基与坐标 10 教学内容:线性空间的维数与基的定义;线性空间中向量的坐标 6.3基变换与坐标变换 教学内容:基变换公式;坐标变换公式 6.4线性变换 教学内容:线性变换的定义;线性变换的性质 6.5线性变换的矩阵表示式 教学内容:线性变换的矩阵的定义;过渡矩阵;线性变换的矩阵的性质 (二)重点与难点: 重点:维数、基与坐标线性变换、线性变换 难点:线性变换的矩阵表示式 七、本课程与其它课程的关系 本课程是理、工等相关专业的第一基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习,事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。本课程学习结束后,以此为出发点,学生才能进入相关课程的学习阶段。 本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。 课程基础性、理论性强,与相关课程的学习联系密切,关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。 八、教学时数分配 《线性代数》课程教学时数分配表 九、教材及参考书 教材:同济大学应用数学系,《线性代数》(第四版),高 11 等教育出版社,2006年7月。 参考书:?同济大学应用数学系,《线性代数附册》(第四版),高等教育出版社,2006年7月。 ?陈卫星 ,崔书英,《线性代数》(第三版),清华大学出版社,2007年8月。 十、主要教学方法与教学条件要求 在具体了解学生数学知识基础状况后,可灵活采用重点知识回顾、例题剖析、一题多解等形式进行教学,围绕求解线性方程组的理论将所学知识进行总结和提高。在每一章结束教学内容后,通过习题课和补充学习指导,使学生不断巩固所学知识。教学中将以课堂教学为主,采用课堂讲授、讨论、问题分析等方法, 注重讲解知识背景、结构与应用,抓紧课下辅导答疑,采用多媒体教学手段,调动学生学习的积极性、主动性和创造性,不断提高其分析问题和解决问题的能力。 本课程主要采取借助于多媒体的讲练结合教学方法,在教学过程中需要多媒体演示模型、多媒体教室等基本教学辅助设施。 十一、推荐的教学网站和相关专业文献网站 中国科技期刊数据库 十二、其他 考核方式为考查课考试成绩占80,,考勤与作业占20,。 注:*号标示内容为选讲内容 12 制 订:数学科学系 教研室:公共数学教研室 执笔人:张俊艺 审定人: 周厚勇 篇三:线性代数标准化作业 经济数学基础 线 性 代 数 标准化作业 吉林大学数学中心 2006.2 第 一 章 作 业 (行列式) 1、计算下列各行列式的值: 2?116 (1)D?4?150 ?120?5; 14?2?2 1111 222 1111 (2)D?222 111; 2212 111 13 2221 1b100 b3 1?b3(3)D??11?b1b20?11?b200?1; b?c (4)D?a a2 ?a (5)D?1 1 1c?aa?bbc; b2c2111?a1111?b1; 111?b 1 ????? 1????? 1????(???); (6)Dn?1??? ?????? 1??? 1 20 (7)D? 2003 0?2004。 14 2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3,第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1,第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2,且行列式的值为1,求m、k的值。 3、用克拉默法则解方程组 ??2x1?4x2?x3?1, ?x1?5x2?x?2, ?3 ??x1?x2?4x3?3. 4、已知齐次线性方程组有非零解,求λ。??2x1?3x2?x3?0, ?x1?2x?0, ?2?2x3 ??x1?x2?5x3?0. 15 轴用阶梯形组合密封(斯特封) 一、性能与用途 本密封是由一个填充PTFE材料的阶梯形密封环和一个O形橡胶圈组合而成,适用于液压往复运动单向密封。 二、适用工况条件 压力 /MPa 温度 /? 速度 /m/s 介 质 ?40 -50~+200 5 液压油、乳化液、水等 三、订货示例 订货型号 HMR071 — 80 或 TJ 80×6.3 四、规格参数 圆沟槽宽O形圈 径向间隙 Smax 轴径范围 沟槽直径 倒角 度 角 线径d0 d f8D H9 Z min+0.2 0~20MPa 20~40MPa LR 1.80 3~7 d+5.0 2.2 0.40 0.25 0.4 2 2.65 8~18 d+7.5 3.2 0.50 0.30 0.6 3 3.55 19~37 d+11.0 4.2 0.50 0.35 0.8 4 5.30 38~199 d+15.5 6.3 0.60 0.40 1.2 5 7.00 200~255 d+21.0 8.1 0.70 0.50 1.6 7 7.00 256~649 d+24.5 8.1 0.70 0.50 1.6 7 8.60 650~1000 d+28.0 9.5 1.00 0.60 2.5 8 注:轴径?30mm建议采用开式沟槽。 五、标准尺寸表 轴径 沟槽直径 沟槽宽度 轴径 沟槽直径 沟槽宽度 订货型号 订货型号 +0.2 +0.2 d f8 D H9 Ld f8 D H9 L HMR071-4 HMR071-125 4 9.0 2.2 125 140.5 6.3 HMR071-6 HMR071-130 6 11.0 2.2 130 145.5 6.3 HMR071-8 HMR071-135 8 15.5 3.2 135 150.5 6.3 HMR071-10 HMR071-140 10 17.5 3.2 140 155.5 6.3 HMR071-12 HMR071-150 12 19.5 3.2 150 165.5 6.3 HMR071-14 HMR071-160 14 21.5 3.2 160 175.5 6.3 HMR071-15 HMR071-170 15 22.5 3.2 170 185.5 6.3 HMR071-16 HMR071-180 16 23.5 3.2 180 195.5 6.3 HMR071-18 HMR071-190 18 24.5 3.2 190 205.5 6.3 HMR071-20 HMR071-200 20 31.0 4.2 200 221.0 8.1 HMR071-22 HMR071-210 22 33.0 4.2 210 231.0 8.1 HMR071-24 HMR071-220 24 35.0 4.2 220 241.0 8.1 HMR071-25 HMR071-230 25 36.0 4.2 230 251.0 8.1 HMR071-28 HMR071-240 28 39.0 4.2 240 261.0 8.1 HMR071-30 HMR071-250 30 41.0 4.2 250 271.0 8.1 HMR071-32 HMR071-260 32 43.0 4.2 260 284.5 8.1 HMR071-35 HMR071-270 35 46.0 4.2 270 294.5 8.1 HMR071-36 HMR071-280 36 47.0 4.2 280 304.5 8.1 HMR071-38 HMR071-290 38 49.0 4.2 290 314.5 8.1 HMR071-40 HMR071-300 40 55.5 6.3 300 324.5 8.1 HMR071-42 HMR071-310 42 57.5 6.3 310 334.5 8.1 HMR071-45 HMR071-320 45 60.5 6.3 320 344.5 8.1 HMR071-48 HMR071-330 48 63.5 6.3 330 354.5 8.1 HMR071-50 HMR071-340 50 65.5 6.3 340 364.5 8.1 HMR071-55 HMR071-350 55 70.5 6.3 350 374.5 8.1 HMR071-56 HMR071-360 56 71.5 6.3 360 384.5 8.1 HMR071-60 HMR071-370 60 75.5 6.3 370 394.5 8.1 HMR071-63 HMR071-380 63 78.5 6.3 380 404.5 8.1 HMR071-65 HMR071-390 65 80.5 6.3 390 414.5 8.1 HMR071-70 HMR071-400 70 85.5 6.3 400 424.5 8.1 HMR071-75 HMR071-420 75 90.5 6.3 420 444.5 8.1 HMR071-80 HMR071-450 80 95.5 6.3 450 474.5 8.1 HMR071-85 HMR071-480 85 100.5 6.3 480 504.5 8.1 HMR071-90 HMR071-500 90 105.5 6.3 500 524.5 8.1 HMR071-95 HMR071-550 95 110.5 6.3 550 574.5 8.1 HMR071-100 HMR071-600 100 115.5 6.3 600 624.5 8.1 HMR071-105 HMR071-650 105 120.5 6.3 650 678.0 9.5 HMR071-110 HMR071-700 110 125.5 6.3 700 728.0 9.5 HMR071-115 HMR071-750 115 130.5 6.3 750 778.0 9.5 HMR071-120 HMR071-800 120 135.5 6.3 800 828.0 9.5 2009 年 7 月 咸阳师范学院学报 Jul.2009 第 卷 第 期 Journal of Xianyang Normal University VolNo24 4 .24 .4 基础数学与应用数学研究,, 论矩阵的简化阶梯形 杨长恩 咸阳师范学院 数学与信息科学学院陕西 咸阳 :, 712000: 摘 要通过对矩阵施行初等行变换化成简化阶梯形矩阵的详细讨论在矩阵的简化阶梯 :, 形存在惟一性的基础上得出线性方程组一般解的存在惟一性并用计算机计算得以实现,。 关键词初等行变换简化阶梯形矩阵线性方程组矩阵: ;;; 中图分类号文献标识码文章编号:O151(23 : A :1672-2914:2009:04-0001-03 预备知识有解线性方程组一般解的惟一性1 。 m×n 定义 设 为数域 上 的矩阵集合矩 1 FF m×n ,任意矩阵都可通过初等行变换化成简化阶 2 梯形C m×nm×n阵 若 满足E?F,E= ,C=(c )?F,? c =0,i,j;??? 矩阵 ij ij O 定理 任意矩阵 都可通过初等行变换 化成简1 A=(a)ijm×n 的每行第一个非零元素都为 若 的第 行的 C 1;?C i 化阶梯形矩阵。 第一个非零元素 则 的第 列是单位列向量c=1,C j 。 ij证明 若 的第 列全为零可认为第 列已A 1 , 1 [1]为行简化阶梯形矩阵E 。 化好否则若直到 的第 列不全为零可设 ?;,A j ,a 1ij 11在不引起混乱时行简化阶梯形矩阵也称简化, 行交换使 A 变成 则 把 的第 行与第 1 A,A 0,A 1 j i i1 1 阶梯形矩阵关于矩阵的简化阶梯形与线性方程组。 a解关系的讨论许多专家在这方面都作过研究如文k j,, 位置为行的 然后第 分 别 乘 以1j a 0, 1 -?-1 i j 1 1 a1 1 ij 11中对线性方程组的增广矩阵的简化阶梯形与方[1,3] 依次加到其余各行使 的(k=2,3,噎,i-1,j+1,噎,n),A 111i 程组解的密切关系都作了深刻而严密的证明1 。 第 列除第 个元素外其余全为零这时j1 ,; 1 文所描述的行简化阶梯形矩阵或行最简形[4,6] b,噎 b矩阵在本质上与定义 是一致的文中断言对j +1 1 。 [1]:“ 0 噎 0 a 11n i j? 1 1 1 ? m×n??任何 易证下列结论总可以通过初等行A?F ,: A 0 噎 0 0 b ,噎 b 初等 j +1 ?B, ? 2 2 n? 。1 i A2行变换 变换化成简化阶梯形矩阵 即存在可逆方阵 使 E,P,A? ? 且 是惟一的实际上行等价于 PA,E,E。 ” (,A E, AA A0 噎 0 0 b,噎 b j+1 ?mmn ?1称为 的简化阶梯形矩阵计算中使用较多的就是 A )。 矩阵的初等行变换作初等行变换变成矩阵 矩阵 。 A 若 的第 列除第 个元素外全为零可认为第Bj,1 1 , 1i 1 称 与 是行等价的矩阵间的行等价是一种等B,A B 。 列已化好否则若直到 的第 列除第 个元j,1 ;,Bj1 12 i 1 价关系在国内的高等代数和线性代数教材中没有,, 素外不全为零可设 把 的第 ,a ?0(i ?1,j ?1),B 2 2 2 iij22 1 像处理矩阵间的等价合同相似关系那样从理论上、、 行与第 行交换使 变成 则 的 位置为iBB,B2-j 2 2 i i i [7-9]1 2 2 重视这种等价关系早就重视而国外的一些教材。 akj22了这一点既给出了严格的定义而且指出了每个矩然后第 行分别乘以,, a ?0,2 - (k =1,3,噎,i -1,i + ij2 2 2 22 a i j 2 2 阵 在行初等变换下都与惟一的简化阶梯形矩阵 A E A 行等价与 行等价这个结论的证明比较含糊。 “A E”, A 依次加到其余各行使 2 第 列除第 个元1,噎,m),Bj2 2 i 素外其余全为零这时,; 矩阵的简化阶梯形是惟一的 因而与所用的行初等“( b,噎 b,0 f,噎 fj +1 变换无关这一结论的证明或略去或在后面给出一11j -1 1j +1 1n )”, 0 噎 0 a ? i j?1 1 1 2 2 ?[8,10-13]?f,噎 f0 噎 0 0 0 噎 0 b 个较粗略的证明过程文所提出矩阵的i j2j +1 2n 然而。 ,[1]“ 2 2 2 ? ? 简化阶梯形是存在惟一这一结论在线性代数的讨论” 初等 0 噎 0 0 0 噎 0 0 f,噎 f 3j +1 3n ?AC,?2 ?噎 行变换 中有较大的实际意义我们来。 作为文 研究的继续 , ?[1] ? ? 严格证明矩阵的简化阶梯形的存在性与惟一性以及 0 噎 0 0 0 噎 0 0 f,噎 f ?mj+1 mn?2 噎 噎 收稿日期:2009-04-17 噎 基金项目咸阳师范学院教改项目:(200802017,200802018)。 噎 作者简介:杨长恩男陕西户县人咸阳师范学院数学与信息科学学院副教授 从事数论与代数研究:1957-:,,,,。 噎 噎 噎 噎 噎 噎 噎 噎 卷咸阳师范学院学报 第 ? 2? 24 由于 最多 步或到右 为 依次下去有限维单 位 列 向 量 ,m,n ,min{m,n},n X=(x,x,?,x,0,?,0)′,x,x, 12m12边不再有列或到下面不再有行或到某一步实际 是 可由 惟一线性表示的系数,,,?,xβ α,α,?,α。 m 12m 证明 因为矩阵的初等行变换的过程等价于解 上是 的秩 步时其下面的 行全为零行当然 A r ,m-r 。 线性方程组的过程从而由定理 引理 立即得 ,1,1、2 最严密的证明是对 的 作数学归纳法然 A min{m,n}。 到推论 的证明1 。 后所有非零行乘以该行第一个非零元素的倒数使其 为 于是可得1, 定理 任何矩阵都可由初等行变换化成惟一2 的简化阶梯形。 0 0 1 cc0 cc0 cc? ? ? ? ? 1n 1 , j+1 1 , j-1 1 , j+1 1, j1, j …1223-1 r+1 ……… 下面证明惟一性证明 存在性即定理? c? 0 c? c 0 ? 0 0 0 ? 0 1 c1,。 2, j 1, j 2n 2, j +1 2 31 r+1 -… … c? c0 0 0 3 n 3, j 0 ? ? 0 ? 0 设矩阵 为其列分块考虑第一…A=(β,β,?,β)。 0 ? 0 0 12n+r1 ? … … … 列分为两种情况若 则 的简化阶梯形的第 ,:β=0,A 1初等 ……AC,? 0 ? 0 0 c ? c ? 0 ? ? 0 ? 0 0 0 0 一列只能为零而惟一若 则对 施行初等行;β?0,A r-1,j1行变换 (-r1) nr1+ … …? 变换的简化阶梯形的第一列只能为单位列向得 0 ? 0 0 0 ? 0 0 0 ? 0 ? 1 c? c , A r,jrn …r+1 ………0 ? 0 0 0 ? 0 0 0 ? 0 ? 0 0 ? 0 量 而惟一ε。 1 ? … …? 考虑第二列可分为两种情况若第一列为零 , : … … ? 0 ? 0 0 0 ? 0 0 0 ? 0 ? 0 0 ? 0 …… 时第二列可像第一列那样考虑而惟一若第一列非 ,;? ? 零这时分两种情 况 若 线 性 相 关 则 由 推 论 , : β,β, 12 ? 为简化阶梯形矩阵称为 的简化阶梯 我们也把 。 C A 可由 惟一线性表示由推论 对 施行初等 1,ββ,1 A 2 1 形由此得到定理 的证明,1 。 ? ? 行变换使 的简化阶梯形第一列为单位列向量 ,A ε1 矩阵的简化阶梯形的惟一性3 时第二列的第一个元素是 用 线性表示的惟一 ,ββ2 1 由于在上面用矩阵的初等行变换化为简化阶梯 ? 系数而其余元素必为零而惟一若 线性无关,;β,β, 12 ? 形的过程中每次考虑其不全为零的列这些列中不 ,,则对 施行初等行变换得 的简化阶梯形的第二 A ,A ? 全为零的数可以有许多因此在选择的过程中有可 , 列只能为单位列向量 而惟一ε。 2 能无法惟一可能导致矩阵的简化阶梯形不惟一即 ,,可分为四种情况若 再考虑第三列,:?β,β,β123 ? ? 每步所用的初等行变换可能不惟一但简化阶梯形 , 的秩为零的简化阶梯形的前三列全为零而惟 ? 则 , A ? ? ? 却一定是惟一的有为此。 , 一若 的秩为 则第一个非零列向量前 。 ?β,β,β1,123 ? 引理 面的列向量为零设向量组 线性无关后面的列向量在用初等行变换化 ? 1 α,α,?,α,α,α, , 12m 12 线性相关则 可由 惟一线性 ?,α,β ,β α,α,?,αm12m 为简化阶梯形的过程中由推论 第一个元素化 A , 1 表示。 成可用第一个非零向量惟一线性表示的系数其余 , 证明 因 线性相关则存在 α,α,?,α,β ,m+1 12m为零而惟一若 的秩为 当 时则 。 ?β,β,β2,β,0 ,123 1个不全为零的数 使 a,a,?,a,b,aα+aα+?+aα+ 12m1122mm线性无关用初等行变换化 为简化阶梯形 β,β。 A 23 bβ=0。 时第一列为零第二列与第三列是单位列向量 ,,ε, 1 若 与 线性无关矛盾则 b=0,α,α,?,α,b0, ?12m 而惟一当 且第一列与第二列线性无关时ε,;β0 , ?21从而 在用初等行变换化 为简化阶梯形的过程中第一A , a列与第二列是单位列向量 由推论 第三列的ε ,ε ,1, aa1 2 m β=- α - α -?- α 。 1 2 m b b b 1 2 前两个元素化为第三列向量可用第一列与第二列向 若 关于 有两种线性表示设为β α,α,?,α, 12m 量惟一线性表示的系数其余为零而惟一当 ,;β0 ?β=xα+xα+?+xα=yα+yα+?,yα。 11122mm1122mm 且第一列与第二列线性相关时在用初等行变换化则由 , (x-y)α+(x-y)α+?+(x-y)α=0, α,α,?,α111222mmm12m 线性无关可得 从而 可由 ,x-y=x-y=?=x-y=0,β 1122mm为简化阶梯形的过程中第一列化为单位列向量 A , 惟一线性表示α,α,?,α。 12m 由推论第二列的第一个元素是 用 线性表示 ε,,ββ12 1 引理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩从 2 ,的惟一系数而其余元素为零第三列化为单位列向 ,,而矩阵的初等行变换不改变列秩初等列变换不改 , 量 而惟一若 的秩为 则用初等行变 ε,。 ?β,β,β3,2123 变行秩。 换化 为简化阶梯形时第一列第二列第三列分 A ,、、 证明 见文献,12,。 别化为单位列向量 而惟一ε,ε,ε。 123 推论 仿照上面的方法继续下去设 维列向量组 线性无 就可通过初等行变 1 n α,α, ?,α, 12m 关线性相关 则存在 级 可 逆 矩 阵 ,α,α,?,α,β , n 12m换把矩阵 化成惟一的简化阶梯形A 。 使 P,P(α,α,?,α,β)=(ε,ε,?,ε,X),ε,ε,?,ε 12m12m12m推论 把矩阵 列分块化成2 A,(β,β,?,β)() 12n 第 期 杨长恩论矩阵的简化阶梯形 4 :? 3 ? 过程这便是有解线性方程组计算机计算实现的理 简化阶梯形后每行第一个非零元素所在列 , ,“1”j, 1 为 的秩对应 的列 是 的j,?,j(r A )A β,β,?,βA 论依据故在文中可以进行计算机计算有解线2rj j j ,[14], 1 2 r 性方程组的一般解列向量组的一个极大线性无关组。 且简化阶梯形其 , 如上例 的字符 中输 当在 2, mathematica Leq[ ]余列的前 个元素是用这个极大线性无关组惟一线 r 入增广矩阵时有, 性表示的系数。 3例 求向量组0 1 10 3 7 0 1 0 0 4 7 1 6 α=(1,0,2,4)α,=(0,3,1,2)α,=(3,3,7,14) ,1231], 0最后输出的矩阵是Leq[ : 01 7 2 5 α=(1,0,2,0)α,=(2,3,5,6) 2 450 000的秩一个极大无关组且把其余向量写成它们的线,, 35 14 -1 7 0 0 性组合1。 0 0 3 0 1 0 001 1 0 1 0 ′ ′ ′ ′ ′ 0 0, 解:A,(α,α,α,α,α), 123450 0 0 1 1 00001 1 0 3 1 2 0 3 0 1 00 00 00000 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 3 3 0 3 0 初等 0 0, 0 一般解是0? :x=1-3x,x=1-x,x=1。 13234行变换 0 其余的如求矩阵的特征向量相似对角化正交2 1 7 2 5 0 0 1 1 、、 0 0000004 0 0 0 0 0 2 14 0 6 00 00 对角化等均可由计算机来计算。 则其秩为 为其一个极大无关组 而 3,α,α,α, α, 1243 3α,α,α,α,α,α。 125124参考文献: 有解线性方程组的惟一解4 黄 承 绪论矩阵行标准形及其应用武汉理工大学学报 [1]〃[J]〃, 定理 对于有解线性方程组 2003 ,27 (2) :229-230〃 其增广矩 3 AX,β, 杨本立线性代数方程组通解行处理法四 川 大 学 学 报[2]〃[J] ., 阵可由行初等变换化成惟一的简化阶梯形该 (A,β),2006 ,43 (3) :479-483〃 简化阶梯形所对应的线性方程组把每一行第一个 , 曼瑜敏矩阵行标准形与同解线性方程组北华大学学报[3]〃[J]〃, 非零元素对应的未知数写在等号前面其余的项 “1”,2006,7(1):6-10〃 移到等号的后面所得线性方程组为原线性方程组的 居余马线性代数北京清华大学出版社[4].[M]〃:,2002〃 一个一般解且这样得到的一般解是惟一的,。 同济大学应用数学系线 性 代 数北 京 高 等 教 育 出 版 [5] 〃 [M]〃 : 证明 由线性方程组一般解的定义对增广矩 , ,2004〃 社 陈建华线性代数北京高等教育出版社[6]〃[M]〃:,2004〃 阵施行初等行变换的过程就是对应解线性方程组的 [7]Birkhoff G, Maclance S〃 A Survey of Modern Algebra 过程并由定理 结论成立,2,。 [M]〃New York : Macmilan ,1977,183-184〃 这样由于线性代数的计算问题几乎都与线性, [8]Kenneth Hoffnian,Ray Kange〃 Linear Algebra [M]〃 Prentice 方程组的解有关而一般解惟一时可选取自由未知 ,,2Hill :J uc〃Englewood Cliffs Newjersey,1971:11 -12 ,5 - 量构成向量取单位向量得到的解也惟一于是线性 ,,66,397-395〃 代数的几乎所有计算问题均可使答案惟一。 [9] Assen S〃, Deif 〃 Advanced Mat rix Theory for Scientists and Engineers[M]〃 New York : Halsted press,1982:2-3,49-52〃[10] 3x,x,10x,3x,70 1234袁 立 玲简化梯形矩阵 及 其 应 用 曲阜师范学院学报 〃[J]〃 , 00 ,4x ,7x ,x ,6 x1 2 3 41982 , (2) :27-32〃 例 解下列线性方程组 02 : 谭思文关于矩阵的行等价的一些问题吉林师范学院 [11] 〃[J]〃2x,x,7x,2x,5 123400 ,1985 (1):54-59. 学报3x,5x,14x-x,7 01234王萼芳邱维声高等代数讲义 上册 北京北 京 大 学[12],〃:[M]〃: 解其增广矩阵 :A= 出版社,1983:62-64〃 1 017 3 01 10 3 0 0 同济大学应用数学系线性代数学习辅导与习题选解 第[13]〃: 0 3 0 0001 初等 版北京高等教育出版社1 6 4 [M]〃:,2004〃 4 7 1 1 1 0 0, 0 0 0 0 01 7 2 0 0 1 ? 行变换 丁大全用 解线性代数北京高等教育出[14]〃Mathematica [M] 〃: 5 14 -1 0 0 0 2 5 1 0 00000000版社,2004〃 3 7 0 00 0 0 0 故它的一般解为 全部解 x=1-3x,x=1-x,x=1。 X= 13234 均惟一(1,1,0,1)+k(-3,-1,1,0)。 有解线性方程组求解计算的计算机实现5 由于解线性方程组就是对它的增广矩阵施行初 下转第 页:51 : 等行变换化成唯一简化阶梯形矩阵的机械化的模式 第 期 李玉红等三乙基苄基氯化铵相转移催化性能研究 4 ,: 51 ??大学学报自然科学版94-99.的合成苏盐科技(),2000,36:1:: [J].,2003,14:2::1-3. 覃超国李红缨郭海福精细有机合成实验中苯甲酸制备 韩恩山来 蕊高长虹有机合成中相转移催化剂的研究进 [6],,.[2],,. 河北工业大学学报方法的改进期肇庆学院学报[J].,2001,30:2::89-95. [J].,2006,27:2::47-49. 展 张跃文董金龙三乙基苄基氯化铵催化合成乙酸苄酯工艺 刘绍岩鲁荆林韩小平连续法合成都对峭基苯甲醚精 [3],.[7],,.()[J].研究太原师范学院学报自然科学版[J].(),2008,7:1::115- ,2002:8::19-21. 细与专用化学品 116. 李 金刘京萍姜 巍等三乙基苄基氯化铵合成反应动 [4],,,. 力学研究北京联合大学学报[J].,1998,12:2::61-64. 于希军相转移催化剂四丁基溴化铵和苄基三乙基氯化铵 [5]. Studies on Phase-Transfer Catalysis Properties of Triethyl Benzyl Ammonium Chloride LI Yu-hong, MENG Xiao-hua (School of Chemistry and Chemical Engineering, Xianyang Normal University, Xianyang ,Shaanxi 712000, China) Abstract: In This paper, the phase transfer catalyst three ethyl benzyl chloride(TEBA) was prepared from tri- ethylamin and benzyl chloride After quaternized reactive, the yield was higher than 80%. Through experiments to explore, the optimum reaction conditions were determined:isopropanol as the solvent,(N(CH))(CHCHCl)=1n:n: 2536621,=82?,84?,=8h; Its structure was confirm by IR.The three ethyl benzyl ammonium chloride used in the syn-Tt thesis reaction of Benzoic acid (aromatic hydrocarbon oxidation) and p-nitroanisole (nucleophilic substitution), the product yield significantly improved, reaction time was significantly shorter,and further identified as a phase trans- fer catalyst TEBA in the above two reactions in the best application conditions. Key words: three ethyl benzyl ammonium chloride; benzoic acid; p-nitroanisole; phase transfer catalysis 上接第 页:3 : On the Simplified Step-formed of the Matrix YANG Chang-en (School of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang ,Shaanxi 712000, China) Abstract: In this paper, we studied to transform the matrix into the simplified step-formed matrix by using ele- mentary row transformation methods for matrices. On the basis of the existence and uniqueness of the simplified step-formed matrix; we acquired the existence and uniqueness of the general solution of linear equation systems and the realization of computer calculation. Key words: matrix; elementary row transformation; simplified step-formed matrices;linear equation sys- tems 求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 (由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法,要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵A *. 当A 的阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的. 下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法. 在介绍这种方法之前,先给出矩阵初等行变换的定义. ) 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换: (1) 将矩阵中某两行对换位置; (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ; (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换,称(2)为倍乘变换,称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ,用 A →B 表示,并称矩阵B 与A 是等价的. , ” (下面我们把)第i 行和第j ;把第 i 行遍乘k 倍的倍 k ” + k ”. ;第j 行的k 倍加至第i ?a 1 例如,矩阵 A = ?b 1 ???c 1?a 1 ?b 1 ???c 1 ?a 1 ?b ?1??c 1 a 2b 2 c 2 a 2b 2c 2a 2b 2c 2 a 3? ①,② ? c 3?? a 3?③k c 3?? ?b 1 ?a ?1??c 1 b 2a 2 c 2a 2b 2kc 2 b 3?a 3? ?c 3??a 3?b 3? ?kc 3??a 2b 2+ka 2c 2 ? b 3+ka 3? ?c 3??a 3 ?a 1 ?b ?1??kc 1 a 3? ②+①k 3 ?c 3???a 1 ?b +ka 1?1 ??c 1 (关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材) 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知,对于任意一个n 阶可逆矩阵A ,经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ,那么用一系列同样的初等行 变换作用到单位阵I 上,就可以把I 化成A -1. 因此,我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法:在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ,构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I ),用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ,与此同时,右半部分的I 就被化成了A -1. 即 ( A , I )????→( I , A -1 ) ?1-11? 例1 设矩阵 A = ?113? ????2-32?? 初等行变换 求逆矩阵A -1 . 解 因为 0?1-1110②?①(-1) + ? ( -2) 0[A , I ] =?11301③ +① ???2-320? ?1-11100? ?022-110? ????0-10-201?? ? ?1-111②(1/2) ?1 ③+② ?011- 2? ?001-5?2? 11?100 ①+② ?2? 0102?5001-? 2? 1212 -12012 ?①+③(-1) 0? ?②+③(-1) 0? ?1??? ?-2?-1? ?1?? 7? 1-10?2?0102?5?001- 2? - 1 2012 ?-1?-1? ?1?? ?11?2 所以 A -1= ?2 ?5?-?2 - 12012 ?-2?-1? ?1?? 所求逆矩阵A -1是否正确,可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证. 如果A A -1=I 成立,则 A -1正确,否则不正确. 对给定的n 阶矩阵A ,用上述方法也可以判断A 是否可逆. 即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中,如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行,说明矩阵A 是奇异的,即A =0,可以判定A 不可逆;如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ,说明A 是非奇异的,可以判定A 是可逆的,而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1,它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的. ?-2-16? 05?,问A 是否可逆? 例2 设矩阵 A = ?4????-6-11?? 解 因为 6100??-2-1?-2-16100? 05010?→?0-217210? [ A , I ] =?4???? 2-17-301????0??-6-11001?? ?-2-16100? →?0-217210? ?? 00-111???0? [ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行,所以矩阵A 是奇异的,A 不可逆. (下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程. ) ?1-12??1-1? 例3 解矩阵方程AX = B ,其中 A =?2-35?,B =?-23? ???????3-24???5-4?? 解 [思路] 如果矩阵A 可逆,则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1,可得 A -1AX = A -1B , X = A -1B 因此,先用初等行变换法判别A 是否可逆,若可逆,则求出A -1,然后计算A -1B ,求出X . 100??1-12100??1-12 因为 [ A , I ] = ?2-35010?→?0-11-210? ???????3-24001???01-2-301??13-10?0-201??10?10 →?0-11-210?→?0-10-721? ???????00-1-511???00-1-511??1??100-20 →?0107-2-1? ????0015-1-1??1??-20 所以 A 可逆,且 A -1=?7-2-1? ????5-1-1?? 1??1-1??3-2??-20 X = A -1B = ?7-2-1??-23?=?6-9? ????????5-1-1????5-4????2-4?? 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法,除了这种方法外,还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前,先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A 中,位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的k 2个元素,按原来次序组成的k 阶子阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式. 如果子式的值不为零. 就称为非零子式. ?3211? 例4 设矩阵 A =?12-32? ????44-23?? 取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式 2122 =2 称为A 的一个二阶子式,而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩,记作r (A ) 或秩(A ) . 规定:零矩阵O 的秩为零,即r (O ) = 0. 例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式,通过计算可知,矩阵A 的所有三阶子式均为零,(该矩阵没有四阶子式),所以 r (A ) = 2 . 例5 设A 为n 阶非奇异矩阵,求r (A ) . 解 由于A 为非奇异矩阵,即A 对应的行列式A ≠0,所以A 有n 阶非零子式,故 r (A ) = n . 例5的逆命题亦成立,即对一个n 阶方阵A ,若r (A ) = n ,则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r (A ) = n . 称r (A ) = n 的n 阶方阵为满秩矩阵. 用定义求矩阵的秩,需要计算它的子式,计算量常常是较大的. 利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的. 定理2.10 设A 为m ?n 矩阵,则r (A ) = k 的充分必要条件为:通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵. 例如,阶梯阵 ?26-135??-135?A =?00401?, B =?04-1? ???????00000???002?? 因为A 的非零行有二行,而B 的非零行有三行,所以A 的秩等于2,B 的秩等于3,即r (A ) = 2,r (B ) = 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后,它的秩是否会发生变化呢?不会的. 教材中 的定理2.9已经说明这一点. 定理2.9 矩阵经过初等行变换后,其秩不变. (证明见教材) 定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法,即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵,然后算出矩阵A 的秩. 例6 设矩阵 40??-11 ?3-25-3? ?2052?? A =?, B =??0-64??2?-2410? ?? 112??0 求r (A ) ,r (B ) ,r (AB ) . ?2052?②+① 解 因为 A = ??→???-2410?? 所以 r (A ) = 2 ?2052? ?0462? ?? 40??-11 ?3-25-3?②+①3 +①2 ??③ 因为 B =???→ 0-64??2?? 112??0?-1 ?0??0??0140?117-3? ? 224? ? 112? ?-1 ③+②(-2) ?0④+②(-1) ????→? ?0??0 所以 r (B ) = 3 140??-1 1 117-3?④+③(-2) ?0 ?????→? 0-3210??0 ?? 0-165??0140? 117-3? ? 0-3210? ? 000? 40??-11 ??4-2024??2052??3-25-3??8 因为 AB = ?= ???-8?0-64??16-106?-2410??2 ??0112??4-2024?②+①(-2) ?84-2024??8 AB =? ????→???-8??16-106?0-1846-56? 所以 r (AB ) = 2 由例6可知,乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩,即 r (AB ) ≤ min{r (A ) , r (B )}. ?03 ?30 例7 设矩阵 A =? ?2-2? ?1-1求r (A ) 和r (A ') . 006-14-221 1?1?? 0??0? ?03?30 解 因为 A =? ?2-2? ?1-1 006-14-221 1??1-1211?(①, ④) ?306-1????→?0??2-24-2??0??03000? 1?? 0??1? ?1-1 ②+①(-3) ?03③+①(-2) ????→? ?00? ?03 所以 r (A ) =3 同理可得 r (A ') =3 210??1-1 ?03+③(-1) 0-41?②④+②(-1) ?????→?0-40??00 ?? 001??00 21 000-400 0?1?? 0??0? 由例7可知,矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6,例7的结论具有一般性. 定理2.11 设A 为m ?n 矩阵,则 (1) 0≤r (A ) ≤min{m , n }; (2) r (A ) = r (A T ) 转载请注明出处范文大全网 » 计算行简化阶梯形矩阵范文二:规范的阶梯形矩阵
范文三:轴用阶梯形组合密封
范文四:论矩阵的简化阶梯形
范文五:都是阶梯形矩阵,而