范文一:《概率论》排列组合
排 列
一般地说,从 n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,这就叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列。
例如:已知 a、b 、c 、d 这四个元素,
写出每次取出3个元素的所有排列。 对于初学者可以先画下图来算出:
共 24个排列,这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为:做一件事,完成它需要分成几个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法??,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m2×m3×??×mn 种不同的方法。据此从a 、b 、c 、d 这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N =4×3×2=24种。
数学中有一个排列数公式:
从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号P n m 表示,(P
是“排列”一词的英文Permutation 的第一个字母) ,在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为:
P =n (n -1)(n -2) m
n (n -m +1)
公式中的 n,m∈N,且m ≤ n
例如:从 8个元素中每次取3个元素出来排
列,所得的排列数则为
P8=8×(8-1)(8-2)
=8×7×6
=336
例如:从 8个元素中每次取5个元素出来排
列所得的排列数为
5P8=8×(8-1)×(8-2)× (8-3)×(8-4)
=8×7×6×5×4
=6720
在排列数公式中,当 m=n 时,有: 3
P =n (n -1)(n -2) n
n 2?1 这表明, n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n 的连乘积。n 个不同元素,全部取出的一个排列叫做n 个不同元素的一个全排列。自然数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘,用n! 表示,所以n 个不同元素的全排列数公式则为:
P =n !
前面所讲的排列数公式可作如下变形: n n
P =n (n -1)(n -2) m
n (n -m +1)
2?1n (n -1)(n -2) (n -m +1)(n -m ) =(n -m ) 2?1
n ! =(n -m )!
(注意:为了使这个公式在m =n 时也成立,我们规定0! =1) 例如,从8个元素中全部取出来的排列数则为:8的阶乘。
8! =P =8?7?6?5?4?3?2?1 =40320
88
组 合
一般地说,从 n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素出来拼成一组,就叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的一个组合。
从 n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有组合的个数,就叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C m
n 表示,C
是“组合”的英文Combination 的第一个字 母。
前面讲到的从 a、b 、c 、d 这四个元素中取3 个元素出来的排列与组合的关系如下
组合数 排列数
由上分析可以看出,对于每一个组合都有 6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中
3取3个元素出来排列的排列数为P 4,可接下
列两步来考虑。
第一步:从 4个不同元素中取出3
3个元素作组合,共有C 4=4个组合;
第二步:对每一个组合中的 3个不
3同元素作全排列,各有P 3=6个排列。
这样,再根据乘法原理即得:
P =C ?P 3
43433
一般地说,求从 n个不同元素中取出m 个元素排列的排列数为P n m ,可按下列两步来考
虑:
第一步:先求出从这 n个不同的元
m 素中取出m 个元素的组合数为C n ;
第二步:求每一个组合中 m个不同
m 元素的全排列数P m 。根据乘法原理则得到:
P =C ?P
m
n m n m
m m n m n m m P n (n -1)(n -2) (n -m +1) C ==P m !
n ! =m !(n -m )!
例如:从 8个元素中每次取3个元素出来组
合所得的组合数为:
例如:从
例如:从
显见,这个组合数与前面从 4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为:
8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为:
8个不同元素中
每取3个元素出来组合所得的组合数
是相等的,即C 8=C8,
因此有公式:C m
n 53=C n -m (性质n 1)
(注意:为了使这个公式在n =m 时也成立,
0我们规定C n =1)
此外,组合数还有另一个性质为:
C m
n +1=C +C m n m -1 (性质n 2) 。
9832例如:计算 C100和C 20+C 20
解:由组合数的性质1可得:
而由组合数的性质2可得:
范文二:高中数学知识点总结之排列组合概率论篇
(2)排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一
列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .
A n =n (n -1)(n -2)??(n -m +1)=
m
n !
(m ≤n )
n -m !
规定:0! =1
(3)组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .
n (n -1)??(n -m +1)A m n ! C =n ==m
m ! m ! n -m ! A m
m
n
规定:C 0n =1 (4)组合数性质: C n =C n
m
n -m
m -101n n
,C m =C m n +C n n +1,C n +C n +??+C n =2
50. 解排列与组合问题的规律是:
例3 . 6人排成一排. 甲、乙两人必须相邻, 有多少种不的排法?
2
第一步,把甲乙排列(捆绑) : 有A 2=2种捆法
5
第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队: 有A 5=120种排法
∴共有2?120=240种排法
例2 . 7人排成一排. 甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法?
5
第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A 5=120种排法
2
第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔) 有A 6=30种插入法
∴共有120?30=3600种排法
例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?
5
将5个人依次站成一排,有 A 5 种站法
5
甲站在乙的右侧的机会跟乙站在甲的右侧 的机会一样大 所以 A 5 /2
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取2件都是次品;
?C 22?4
P 1=2=?
C 1015??
(2)从中任取5件恰有2件次品;
3
?C 210?4C 6
P 2==? 5
21?C 10?
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n =103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213
∴m =C 2 ·46+43
23
C 2443·4·6+4= ∴P 3= 3
12510
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
23
C 2104A 5A 6
∴n =A ,m =C A A ∴P 4= =5
21A 10
5
10242536
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法: (1)算数据极差(x max -x min ); (2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。
其中,频率=小长方形的面积=组距× 样本方差:S = 51. 二项式定理
(a +b ) =C n a +C n a
n
n
1
n -1
n -22n -r r n
b +C 2b +?+C r b +?+C n n a n a n b
r
n -r
2
1频率
x 1+x 2+??+x n =n 组距
()
1
(x 1-)2+(x 2-)2+??+(x n -)2 n
[]
二项展开式的通项公式:T r +1=C n a
r
b r (r =0,1??n )
C n 为二项式系数(区别于该项的系数) 性质:
r n -r
r =0,1,2,??,n (1)对称性:C n =C n
()
(2)系数和:C n +C n +?+C n =2 C n +C n +C n +?=C n +C n +C n +?=2
1
3
5
2
4
n -1
01n n
(3)最值:n 为偶数时,n +1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第 又如:(1-2x )
2004
=a 0+a 1x +a 2x 2+??+a 2004x 2004(x ∈R ),则
(用数字作答)
(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+??+(a 0+a 2004)=
(令x =0,得:a 0=1
令x =1,得:a 0+a 2+??+a 2004=1
∴原式=2003a 0+a 0+a 1+??+a 2004=2003?1+1=2004)
1. (2010江西理)
6. 2()
(展开式中不含..x 项的系数的和为( )
8
4
A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反。采用赋值
80
法,令x=1得:系数和为1,减去x 项系数C 82(-1) 8=1即为所求,答案为0.
4
2. (2010全国卷1理)
(5)(1+3(15的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【答案】
C
二、填空题
a
(x -) 9
x 的展开式中x 3的系数是-84,则a = . 1. (2010全国卷2理)(14)若
3333C (-a ) =-84a =-84, ∴a =1. x 9【解析】展开式中的系数是
(23. (2010四川理)(13
)
33
C 62(6
的展开式中的第四项是 .
解析:T4
=
3160=-x 2
4
1. (2009浙江卷理)在二项式(x -) 的展开式中,含x 的项的系数是( ) 1x
5
A .-10 B .10 C .-5 D .5答案 B
解析 对于T r +1=C 5(x )
2C 5(-1) 2=10
r
25-r
1r
(-) r =(-1)C 5r x 10-3r ,对于10-3r =4, ∴r =2,则x 4的项的系数是x
6. (2009四川卷理)(2x -解析 由题知(2x -
3
(-1) 3C 6=-20。
16
) 的展开式的常数项是(用数字作答)2x
16r 6-2r 6-2r ) 的通项为T r +1=(-1) r C 6,令6-2r =0得r =3,故常数项为2x 2x
3数学期望:
则称 E ξ
=x 1p 1+x 2p 2+?+x n p n +? 为ξ的数学期望,简称期望.
+b ) =aE ξ+b
6期望的一个性质: E (a ξ
7方差:
D ξ=(x 1-E ξ) 2?p 1+(x 2-E ξ) 2?p 2+?+(x n -E ξ) 2?p n +?.衡量数据波动大小的量据波动越大
标准差:D ξ的算术平方根
D ξ叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ.
9 D (a ξ
+b ) =a 2D ξ;D ξ=E (ξ
2) -(E ξ) 219. 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率;
(Ⅱ)记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列和数学期型。
解(I )P (“当天商品不进货”)=P (“当天商品销售量为0件”)+P (“当天商品销售量为1件”)
=
153+=. 202010
(Ⅱ)由题意知,X 的可能取值为2,3.
P (X =2) =P (“当天商品销售量为1件”)
=
51=; 204
P (X =3) =P (“当天商品销售量为0件”)+P (“当天商品销售量为2件”)+P (“当天商品
=
销售量为3件”) 故X 的分布列为
1953++=. 2020204
EX =2?
X
的数学期望为
1311+3?=. 444
23. (广东理17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取
14件和5
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175,且y ≥75时, 该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的
优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值(即
数学期望)。
98
=7,5?7=35
解:(1)14,即乙厂生产的产品数量为35件。
2
, 5 (2)易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品
35?
故乙厂生产有大约
2
=145(件)优等品,
(3)ξ的取值为0,1,2。
11
C 32C 3?C 2C 32331
P (ξ=0) =2=, P (ξ=1) ==, P (ξ=2) ==
5C 510C 52C 5
210
所以ξ的分布列为
ξ的均值为E ξ=0?
故
3314+1?+2?+=. 105105
21. (北京理17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确
认,在图中以X 表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树
Y 的分布列和数学期望。
s 2=
(注:方差
1?
x -x ?1n ?
()(
2
+x 2-x
)
2
2
+ +x n -x ?
?,其中x 为x 1,x 2,…… x n 的平均数) ?
()
解:(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,
所以平均数为
=
8+8+9+1035
=;
44
13535353511
s 2=[(8-) 2+(8-) 2+(9-) 2+(10-) 2]=.
4444416 方差为
(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学
21=.
植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P (Y=17)=168 P (Y =18) =
同理可得
1111; P (Y =19) =; P (Y =20) =; P (Y =21) =. 4448
EY=17×P (Y=17)+18×P (Y=18)+19×P (Y=19)+20×P (Y=20)+21×P (Y=21)
11111=17×8+18×4+19×4+20×4+21×8
=19
24. (辽宁理19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行
田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ,求X 的分布列和数学期望; 解:
(I )X 可能的取值为0,1,2,3,4,且
P (X =0) =
11=, 4
C 870
13C 4C 48
P (X =1) ==, 4
35C 822
C 4C 418
P (X =2) ==, 4
35C 831
C 4C 48
P (X =3) ==,
35C 84
P (X =4) =
11=. C 8470
即X 的分布列为
X 的数学期望为
E (X ) =0?
181881+1?+2?+3?+4?=2. 7035353570
30. (天津理16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个
白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在1次游戏中,
(i )摸出3个白球的概率; (ii )获奖的概率;
(Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ) .
解:本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等
基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 满分13分. (I )(i )解:设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件
1
C 32C 21
P (A 3) =2?2=.
C 5C 35
A i =(i =0,1,2,3), 则
(ii )解:设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则
B =A 2 A 3,又
2111
C 32C 2C 2C 2C 21117P (A 2) =2?2+?=, P (B ) =P (A 2) +P (A 3) =+=. 22
C 5C 3C 5C 32 且A2,A3互斥,所以2510
(II )解:由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.
729
) =, 10100
72117P (X =1) =C 2(1-) =, 101050749
P (X =2) =() 2=.
10100
P (X =0) =(1-
E (X ) =0?
X 的数学期望
921497+1?+2?=. 100501005
31. (重庆理17)某市公租房的房源位于A ,B ,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且
申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中: (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率;
(Ⅱ)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 解:这是等可能性事件的概率计算问题.
22C ?2 (I )解法一:所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A 片区房源的申请方式4种,从而恰有2
2
C 4?228
=. 4
27 人申请A 片区房源的概率为3
解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.
1P (A ) =.
3从而,由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算记“申请A 片区房源”为事件A ,则
821222
P 4(2)=C 4() () =.
3327公式知,恰有2人申请A 片区房源的概率为
(II )ξ的所有可能值为1,2,3. 又
31
=, 4
273
1322
C 32(C 2C 4+C 4C 2) 14C 32(24-2) 14
P (ξ=2) ==(或P (ξ=2) ==) 44
2727 33P (ξ=1) =
12123
C 3C 4C 24C 4A 34
P (ξ=3) ==(或P (ξ=3) ==). 44
99
33
从而有
E ξ=1?
114465+2?+3?=. 2727927
范文三:概率论中排列组合的常用方法分类总结
概率论中排列组合的常用方法分类总结
【摘要】排列组合在概率计算中有着相当基础的地位,尤其在古典概型的计算中,它不仅是我们中学中概率学习的重点,也是我们概率思维思想的基础训练和进一步学习的基础,现在我们就把我们中学中学到的那些经典排列组合方法罗列详解一下,希望对以后的学习有所帮助。 【关键词】 概率 排列 组合 原理
【正文】一、两个基本计数原理及应用
(1) 加法原理
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重) ;完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)
(2) 乘法原理
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。
分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c, 可知b 由a,c 决定,
又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,因而本题为2=180。
例2.在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A ,B 两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A ,B 两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种。
分析:条件中“要求A 、B 两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。
第一类:A 在第一垄,B 有3种选择;
第二类:A 在第二垄,B 有2种选择;
第三类:A 在第三垄,B 有一种选择,
同理A 、B 位置互换 ,共12种。
例3.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试,至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能?
分析:本题意指第五次测试的产品一定是次品,并且是最后一个次品,因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。
第一步:第五次测试的有种可能;
第二步:前四次有一件正品有中可能。
第三步:前四次有种可能。
∴ 共有种可能。
【注意】加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合
二、下面介绍一些经典的排列组合计算小方法
(1)、捆绑法
例4.停车场划一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空车位连在一起,不同的停车方法是________种。
分析:把空车位看成一个元素,和8辆车共九个元素排列,因而共有9*8*7*6*5*4*3*2*1种停车方法。
(2)、插空法
例5. 马路上有编号为l ,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析:即关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共=20种方法。
例6、7个人带12瓶汽水参加春游,每人至少带一瓶汽水,有多少种不同的带法?
分析:建立隔板模型,问题相当于用6块隔板“|”任意插入有12个小球“○”形成的11个缝隙中,而每一种分法就恰好反映了带汽水的一种情况,从而满足条件的带法共有种。
中青在线专稿(J-03)
(3)特殊对待法,即特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑
例7.六人站成一排,求
(1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数
分析:(1)先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。
第一类:乙在排头,有种站法。
第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种站法,
共+种站法。
(2)第一类:甲在排尾,乙在排头,有种方法。
第二类:甲在排尾,乙不在排头,有种方法。
第三类:乙在排头,甲不在排头,有种方法。
第四类:甲不在排尾,乙不在排头,有种方法。
共+2+=312种。
(4).间接计数法.
例8.正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,
∴ 共-12=70-12=58个。
(5).挡板的使用 (隔板法)
例20.10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
分析:把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
(6)、从抽象或现实问题中建立排列组合模型
例9. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。
分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c, 可知b 由a,c 决定,
又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,因而本题为=180
(7)排除法
对于含有否定字眼的问题,可以从总体中把不符合要求的除去,此时需注意不能多减,也不能少减。
例10、四面体的顶点和各棱中点共10个点中,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )
(A ) 150种 (B )147种 (C )144种 (D )141种
分析:10个点任取4个点取法有种,当所取4个点是从每个侧面上的6个点中选取时不满足题意,要删除,共有种;当所取4个点是每条棱上的3点及对棱的中点时,也不满足题意,要删除,共有6种;当所取4个点是各棱中点时,四点共面的有3种情况也不满足题意,要删除。故不同的取法共有种,选D 。
(8)顺序固定问题用 对等法
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
例11、由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?
分析: 所有组成四位数的情况为:6*5*4*3=360种,奇数为尾数为 1 3 5 的数字,所以占所有情况的一半,因此答案为*360=180种。 【结论】排列组合在概率计算中的基础地位要求我们从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词) 准确理解,并掌握基本的排列组合计算方法,并在此基础上多加练习,形成自己的概率思想,这样才能为以后的学习打下好的基础。
范文四:[小学]高中数学知识点总结之排列组合概率论篇
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
m
()分类计数原理:??1Nmmm,,,,12n
(为各类办法中的方法数)mi
分步计数原理:???Nmmm,12n
(为各步骤中的方法数)mi
(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素,按照一定的顺序排成一
m列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列,所有排列的个数记为nmA.n!n
m
Annnnm,,,,,,121??mn, ,,,,,,,,n
m规定:0!1, ,,
nm,! (3)组合:从n个不同元素中任取m(m?n)个元素并组成一组,叫做从n个不nnnm,,,11??Amn!n 同元素中取出个元素的一个组合,所有组合个数记为mC.n
mnmmmmnn,,,,C,,, nm0
规定:C,1n
m!mnm!!,Am
()组合数性质:4 ,,
,,101 CCCCCCCC,,,,,,,,,??2nnnnnnnn
50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
xixxxx,,,,,89909192931234,,,,,,,,且满足,(),,i1234,1
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析:可分成两类:
()中间两个分数不相等,1
4
有(种)C,55
(2)中间两个分数相等
xxxx,,,1234rnrr,
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,?有10种。
?共有5,10,15(种)情况
51. 二项式定理 r
n011222nn,,,nrnrrnnrnr ()abCaCabCabCabCb,,,,,,,,??
二项展开式的通项公式:,??TCabrn,,()01rn,1
01nn C为二项式系数(区别于该项的系数)n
1350241n 性质: n
, ()对称性:,,,??,1012CCrn,,,,nn
nnnnn ()系数和:?2CCC,,,,2nnnnn
11, CCCCCC,,,,,,,,??2nnnnnn,,
(3)最值:n为偶数时,n,1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
nn
n2 ,项,二项式系数为;为奇数时,为偶数,中间两项的二项式(),n2,,
,,11,,11 系数最大即第项及第项,其二项式系数为CCnn
Cnn,,11 如:在二项式的展开式中,系数最小的项系数为(用数字x,1,,12
,,1表示)
22(?,n11
?共有项,中间两项系数的绝对值最大,且为第或第项12,67
6522rrr11, 由,?取即第项系数为负值为最小:Cxr(),,156
,,,,,CC426 1111
2
11
2004 又如:??,则12,,,,,,,xaaxaxaxxR,,,,
22004 aaaaaaaa,,,,,,,,,??(用数字作答),,,,,,,,01020302004
(令,得:xa,,010
令,得:??xaaa,,,,,11022004
?原式??),,,,,,,,,20032003112004aaaa,,0012004
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗,
0122004 ()必然事件,,不可能事件,110,,PP,,,)(),,
()包含关系:,“发生必导致发生”称包含。2ABABBA,
A B
()事件的和(并):或“与至少有一个发生”叫做与3ABABABAB,:
的和(并)。
()事件的积(交):?或“与同时发生”叫做与的积。4ABABABAB:
(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
AB?,,
(6)对立事件(互逆事件):
“不发生”叫做发生的对立(逆)事件,AAA
AAAA::,,,,,
(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
ABABABAB与独立,与,与,与也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
Am包含的等可能结果
PA(),,
()若、互斥,则2ABPABPAPB,,,()(),,n一次试验的等可能结果的总数
()若、相互独立,则??3ABPABPAPB,,,,,,,nk
kk
()41PAPA()(),,
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
, k次的概率:PkCpp(),,1,,nn
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品; 2
C4,,2P 12,,,,C1015,,23 (2)从中任取5件恰有2件次品;
CC46,,10P 25,,,,C1021,, (3)从中有放回地任取3件至少有2件次品; 32213 解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),?n,10
223 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
??mC,,464 3C??3
464,44?P 33
,,
12510
5223
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:?一件一件抽取(有顺序)
223 ?,nAmCAA,,10456
CAA45610 ?P45,,
A10 分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。21
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
()算数据极差;1xx,,,maxmin
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表; 频率222 (5)画频率直方图。
21其中,频率小长方形的面积组距×,,
样本平均值:??x,,,,xxx,,12n组距
1 样本方差:??Sxxxxxx,,,,,,12n,,
n 如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
42CC105() ,,,,,,,6C15n
范文五:高中数学知识点总结之排列组合概率论篇
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。 (1)分类计数原理:N =m 1+m 2+??+m n (m i 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N =m 1·m 2??m n (m i 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一
列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .
A n =n (n -1)(n -2)??(n -m +1)=
m
n !
(m ≤n )
n -m ! 规定:0! =1
(3)组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .
n (n -1)??(n -m +1)A m n !
C =n ==m
m ! m ! n -m ! A m
m
n
规定:C n =1 (4)组合数性质: C n =C n
m
n -m
m -101n n
,C m =C m n +C n n +1,C n +C n +??+C n =2
50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
x i ∈89,90,91,92,93,(i =1,2,3,4) 且满足x 1
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( ) A. 24 B. 15 解析:可分成两类:
C. 12
D. 10
{}
(1)中间两个分数不相等,
4
有C 5=5(种)
(2)中间两个分数相等 x 1
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。 ∴共有5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
n 1n -1n -22n -r r n
(a +b ) n =C 0b +C 2b +?+C r b +?+C n n a +C n a n a n a n b n -r r 二项展开式的通项公式:T r +1=C r a b (r =0,1??n ) n
C r n 为二项式系数(区别于该项的系数) 性质:
r n -r
r =0,1,2,??,n (1)对称性:C n =C n
()
1n n
(2)系数和:C 0n +C n +?+C n =2 35024n -1 C 1 n +C n +C n +?=C n +C n +C n +?=2
(3)最值:n 为偶数时,n +1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?n ?2
;n 为奇数时,(n +1) 为偶数,中间两项的二项式 +1?项,二项式系数为C n
?2?
n +1n +1
系数最大即第项及第+1项,其二项式系数为C n 2=C n 2
22
如:在二项式(x -1)的展开式中,系数最小的项系数为表示)
(∵n =11
∴共有12项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 由C 11x
6r
11-r
11
n
n -1n +1
(用数字
12
=6或第7项 2
(-1) r ,∴取r =5即第6项系数为负值为最小:
5
-C 11=-C 11=-426 又如:(1-2x )
2004
=a 0+a 1x +a 2x 2+??+a 2004x 2004(x ∈R ),则
(用数字作答)
(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+??+(a 0+a 2004)=
(令x =0,得:a 0=1
令x =1,得:a 0+a 2+??+a 2004=1
∴原式=2003a 0+a 0+a 1+??+a 2004=2003?1+1=2004) 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?
(1)必然事件Ω,P (Ω) =1,不可能事件φ,P (φ) =0
(2)包含关系:A ?B ,“A 发生必导致B 发生”称B 包含A 。
A B
()
(3)事件的和(并):A +B 或
A B “A 与B 至少有一个发生”叫做A 与B 的和(并)。
(4)事件的积(交):
A ·B 或A B “A 与B 同时发生”叫做A 与B 的积。
(5)互斥事件(互不相容事件):“A
与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。 A ·B =φ
(6)对立事件(互逆事件):
“A 不发生”叫做A 发生的对立(逆)事件, A =Ω,A =φ
(7)独立事件:A 发生与否对B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
A 与B 独立,A 与B 也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即 P (A ) =
A 包含的等可能结果m
=
一次试验的等可能结果的总数n
(2)若A 、B 互斥,则P (A +B )=P (A ) +P (B ) (3)若A 、B 相互独立,则P A ·B =P (A )·P (B ) (4)P () =1-P (A )
(5)如果在一次试验中A 发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生
k
k 次的概率:P n (k ) =C k n p (1-p )
n -k
()
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取2件都是次品;
?C 22?4
P 1=2=?
C 1015??
(2)从中任取5件恰有2件次品;
3
?C 210?4C 6
P 2==? 5
21?C 10?
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n =103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴m =C 3·46+4
23
C 2443·4·6+4= ∴P 3= 3
12510
2213
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序) ∴n =A 10,m =C 4A 5A 6
5
2
2
3
23
C 2A A 1056
∴P 4=45=
21A 10
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法: (1)算数据极差(x max -x min ); (2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。
其中,频率=小长方形的面积=组距× 样本平均值:=
频率
组距
1
x 1+x 2+??+x n n 12
样本方差:S =(x 1-)2+(x 2-)2+??+(x n -)2
n
()
[]
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
42C 10C 5
() 6
C 15