范文一:【doc】两个耦合谐振子体系能量本征值和本征函数的三种求解方法
两个耦合谐振子体系能量本征值和本征函
数的三种求解方法 I2卷第l0期
1993年10月COLLEGEPHYSICSOct.】993 易,和
A摘要本文将耦旮项由+i的
两十谐振子体系为例,通过坐标,动量变挟,占有数表摹 中的矩阵变换和幺正算符变换,给出了求解耦台体系 能量本征值和本征函数的三种不同方法.这些方法可 适用于各种耦音谐振子体系的问题.
在量子力学,固体物理等理论中,我们经常遇到一 系列的谐振子耦台问题.解此类问题的本质就是使体 系的哈密顿量解除祸台对于不周的祸合彤式,可采用 不同的处理方法.在以往的文献中【..1,对耦台项为 2x,的两个耦台谐振子体系,通过坐标变换可将问题 化为两个独立的一维谐振子体系:在占有数表象中,用 玻戈留波夫变换可使耦台项为{b+ba)的哈密顿量 对角化.本文将对哈密顿量形如
(p{+p;)+?g.g.o(+x)+i(XlX24 +PiP2)…
的两个耦合谐振子体系'分别用坐标,动量变换方法以 及占有数表象中的矩阵变换方法和幺正算符变换方法 使耦台项解除,从而方便地求出能量本征值.并进一步 探讨波函数的求解方法.
N(3j式代人(J】式口J得
=
击(砰+)+?(+y;)+
i
[{mco2(Y2)+Ic州]
=
击竹{m+击+丁iyI4) 其中贵音,.}=(I+), (c】;=?(1一)(5)
可见,【4)式为两个独立的一堆谐振子体系的哈密顿最
故能量本征值和本征函数即可写为 Em:(月lTil+(2+丁1胁
=
古J+1)l+肯?(1一)2+. ,2=0,l,2-(6) 帅
(,)=()2().
一
,
动戢换方法.f
NN@(1)式中的耦台项,可作如F坐标,动量变换
[)]
一
半(+xi)1
(7)
y1=专(+x2),Y2=寺(一1)1二,占有数表象中的矩阵变换方法
寺……寺『【2J舫便无鞠的, 即ql..?—?'q2?-:l I
X2=
一
'v'
~-(YI+Y2)i,击=mj(8)
"
卫?
r
【日l,[q2,瑚I(9)
【日l,g【,瑚=【q1,1=【g2,1=0J. 则(1)式可用q,P表示为
=
【g}+g}砰+均+[ql叮2+PlP(IO) 再引入算符
古了}训1【I1)
6古(q2+i吼6+=古(q2-i)J 它们满足对易关系
【4m1【6,b-]11
【H,6J=【日,6+1=【d+,61=【4,6+1=0f'2
故(10)式可表示为
H---h-co【6/+4+66+11+肪功6+64)(13) 讹
()+I]?.
为使(I3)式对角化,引入幺正变换矩阵 u=(.\(14)\sln~pcOS~/ 作变换
(一)(:.)
可得
H=~co【?Hl(I+isin2~o)+66_(1一isin2) 由(19)式可得本征志}l,2>崔坐标表象中的 嫂函数为?
h1t)=<,ll,:> =
()?峨
<U-I
f1I\q2/
[n1,n2>=(into?1寺
()}s
+q2sin~o,q2cos~一qlsin~ol-,02>=
[zcos
?
c.s一ne{一?cos+
gn)+(.s一n)1l
将(8)式和(I6)式代人,得到
[2~1+"2n11n21
[厚]
…
{__lc加,三,占有数表象中的幺正算符变换方法 为使(I3)式对角化.引入幺正算符
S=exD『一口~btg1D『rdd+b~b+I】Inscc?1 为解除耦台,可令耦合项(?6_+口1)之系数为零,得怍幺正变换'.xp[6'g纠
sin~=cos~=(16)
故='舟山【(I+^)d4l+(I一卫)6+1】(17) 由于(I7)式已对角化,因而可得到体系的能量本征值和 本征志为
l2=(1+^)l十(1_五)十枥(I8)
1l,?t2>=Ufl,2>(19)
其中>:fO0>.. ?,f,
nl=S口S-bl:SbS
(21)
(22
利用算符公式eBe一=+[A,+—}[,【,
I
+
明1+寺【,[?【A,B1?……和【,e=,iCe 【c=【A,司,【A,cl=【B,cl=0)以及对易关系式 (12).可得
4l=4c0s+bsin~p,bl=bcos~一asin~(23) 其逆变换为
口=0lcos一b】sin~o,b=b【c0s+alsin,,o(24)
可见,(24)式与(15)式的变换是相同的.将(24)式代人 23
(13)式r整理后得
H-7~,j[nll+2sin2~o1+6l【l一2sin2cp) +2cos20(a~b1+?1)+1】
令耦台项(db.+6n.)之系数为零,得到
所以,幺JE肄符s在坐标表象中的形武为 sJJa-a:]qlcos~0-s-n,.s +qlsino>目l,叮2}l33)
c.s:sln:—三(25)山()式和【式c0s:sln妒=—旺5J 故=莉[d(I+i)+l(1一i1+I】(261
困(26)式已对角化,所以体系的能量本征值和本征态为 E,=WoJ(1+2h1.舡(1一i:+—方(271
l1:>:Sl!,>.(281 中nl,>::lO0>.同理,本征志
?!,!
>在坐标表象中的波函数为
(<XIX2lsl,n2(半)I,,
?
'q1,q2lSlnl,H2>(29)
要求出…,(,2J,还需给出幺正算符s在坐标表象 巾的具体形式.为此现作如'F讨论:
Q
即
Q
,l,X!)
得
(半)?峨
qltcoscpsino,g2cos~pg1sin~o>g1目2tIl,tJ2>
/,1;
l半)?Jm_cos?
?
[啦一(吼6oscp+q~sino)】<lg2'11,2> =
『2nl+"2nl!n21'~cos +)(s)exp{一?
『t.c.s+g:sin!+cgc.s一gn]}
由于Iq1,>兰1ql>I啦>是坐标算符将(25)式,(31)式代人,可得
寺+)—一++)的本征态?2
q1,q2>=田)_,.
I.吼>一q2I.q:>
(301
舯ql?詈-旷?半X2(31)
由【30)式得
SQSSIg1,g>q1S口l,g2>
sSS,q2>=q2S,qz)' 困Ql=SQlS-.=Qlc0+Q2sino Q2=SQ2S=Q2COS~'一Q1sin~,o
故QlSI可1.q2>=(QlCOS0+sin~o)l
'SIql,q2>=qlSIq1,q2l
Q2slq2>:(Q2c唧一Q1sin)f'' 'SIql,q2>=SIq1.啦>J
可见,S}目l,q2>是算符Ql伪本征值分剐为q1,g2 的本征态+由(32)式得到…
Sql,g2>fglCOS~9一g2sino.q2~OSO+qtsino>
24
:f叶?
『,xl+x~)1H.【庠]
…p卜(叫(34
四,讨论
l通过上述讨论知,分别用E上上三种不同的方法, 时两个耦台谐振子体系求解的结果是完全一致的. 2.在处理耦合问题时.方法一比较简便,但它井非 对各种耦合形式都适用.例如对于耦合项为 fx+2)的哈密顿量俸系,它就不能使耦合项消除. 3.虽然后两种方法较为复杂,但它们可适用于各 种耦合形式的『口J晒.根据耦合项的具体形式,使用相应 的或S,就可使哈密顿量对角化例如,为消除耦台 项一+ha1,可引八变换矩阵U=fh妒h1
作如换
由基本电荷的相互作用可知,_二带电为的粒 的最大电磁作用能是该粒子静能的倍,例如 电F,…xe-=-为keV的数量级被
束缚干.范围内的原子核中的核子其平均结合能为 ~ZM(IH)+NM(I,n)Mx) I,9Mev.
而y.m是与其不可相比拟的小量,故棱力不能用表
示,即不适用于强相互怍甩.
从本身来看它只与电荷e有关,而与粒子质 量无关大家知道,万有引力是与物体质量有关的 所以不可能用采表示万有引力.
总之.是描述带电粒子之间电磁相互作用的一 个常数.
从能量角度来分析,?并不小.以电子为例.是 一—
,而是电子电磁作用的最 !_与f之比
"c
,J,距离,相当于原子棱的线度.所.对于单电荷F 来说是一个很大的量因此,从这个角度来说,并 不精细.
然而,从电最的角度来看e是一个最小的量,任 何他电量部是它的整倍数因而-又是最小的(在 相距的情况下).所以又可以说是"精细的
这样,是描述电磁相互作用强弱的一个常数 它不仅可以标志产生原子能缎的多重精细结构,而且 可以表示微观世界中所有电磁相互作用的强翳.总之 它是描述电磁作片j强度的一个普适常数. 参考文献
『ll褚圣麟原物理学北京:人民教育出版社,1979. 【2】A?A-索科涪夫等量子力学原理厦其应用.f祖 望障.L海上海科技出版社,1983
(J:接27页)
口刚变为30ms,再用白纸遮住,又变为39ms而改用 s^档讣时重复上述实验,均为35ms
s^档计时可仿照前面的图示说明.对于同一光电 门,窗口形挡光片的前片进人光拄区某一位置时计时
开始后片进人光桂区的同一位置时,计时停止.计 时过程中挡光片的位移总是等于它的标定宽度不随 光强变化
所谓一次挡光计时不准确的说法欠确切,其蛮计 时是准确的,它所显示的时间,正是挡光片前进了A 的时间.但我们实验时,视光挂为光线,主理认为在
,挡光片的位移等于它的宽度.把挡光片 H'时过程中
的宽度当作位移所显示的时间当然不对. 现在,我们可以回答本文开头提出的问题因为 As=AS+d滑块的速度应为:=As/At= (As+d)/At而我们实验时表示为:u剥;?},如果 把它们代八加速度公式,且假设两光电门的d值相等 可得到如下结果:由口=(一)/f.得弃-a制+
dtAt1一Atl/(f?Atl?At2,由:'一)/2s得口=
4硎+(A一?畦).这两个式子可称
为利用S.档捆I加速度的修正式在本文首段的实例中 As>fdf;At.>At,如果属于强光,d<0.从修正式叶l 可以判定真<训因两式的.真相等,将具体数据 代^,可求得d-,O2IOcm,其值略小于光柱中部的 直径再将d代人其中一式,求得=l3.4cm/s 与崩S档测得加速度值相近.
由于As=As+d,当较小时仍把它视为计
时过程的位移,可能目l起的误差是很大的.从前述可 以看出对于1.O0cm的挡光片,测即时速度的相对误
%加速度的相对误差更大.甚至有时滑 差可达?30
块明显加速F滑,但测得的?<At,加速度为负值 给教学造成困难.S.挡计时误差,因光电门而异,与光 源电压,光挂对准程度等因素有美,难以控制和消除 因此在需测即时速度的有关实验中,不宜使用s.档.
(f:接24页)
(ch()
或引人幺正算符
S=exp【abth卅exp[b+6b+1)lnsech~ol 'exp[一bathcp】(36)
作幺变换口.=Sa5"~.,b1=SbS(37) 可使哈密顿量对角化.
参考文献
『l1谜怀新,柳盛典.玻戈留渔夫变换在量子力学中关于求 能量本止值的应用.大学物理,1989,8(6123,25 『21镘伯初,曾谨言量子力学习慝精选与剖析北京:科 学出版社,l98870
『31袅寿锦高等量子力学山东:科学技术出版社[985 66
一
口一
范文二:用一种算符计算氢原子的能量本征值和本征函数
用一种算符计算氢原子的能量本征值和本
征函数
2?1年4月
第2l卷第2期
天水师范学院学报
JournalofTianshuiNormalUnlveristy
ApL,2001
V01.2lNo.2
用一种算符计算氢原子的能量本征值和本征函数
刘保义张若峰
(天水师范学院物理系,数学系,甘肃夭水741001)
摘要:能量本征值和本征函数的计算是量子力学最基拳的问题.通常用级数法来求解,而用
—种阶梯算符
来求解也是非常有效的.
关键词:中心势蝎:本征值:阶梯算符
中围分类号:O413.1文赫标识码:A文章编号:1371—1351(2001102-0015-03
0.引言标系,则能量的本征方程和库仑势为
无论在经典力学或量子力学中,中心势场问题都
占有特别重要的地位,因此求解它就是一个根基本的
问题,但由于描述这一问题的薛定谔方棵是一较难求
解的微分方程,对中心势v=r.c_2<V<一1很多问
题没有精确解,而值得注意的是,最重要的几种中心
势一库仑场,万有引力场,各向同性谐振子以及无
限深球方势,是量子力学能够求解的少数几个问题,
库仑场和各向同性谐振子在研究原子结构和原子核结
构中占有重要地位,下面引用一新的算符来求解库仑
场即氢原子问题的本征值和本征函数.
1.氢原子问题的能量本征值
在量子力学中力学量常用算符来表示,能量算符
的定义为
J奇一旦v+},rr1(1
2m
这样定态薛定谔方程表示成算符的奉征方程
H=E’2】
能量E是疗的本征值,具有该能量的定奄波函数是相
应的本征函数.
氢原子由一个质子和一个电子组成,其相互作用
为库仑势,由于质子比电子的质量大得多,所以氢原
子中的运动就是电子绕质子的运动,也就是电子在中
心势场中的运动.将坐标原点取在质了上,聚用球坐
卜+州
?
fr1:一
f41
将本征函数写成变量分离形式求解,即有’
:
NR(r)():u(r)y
im(0,)
,f51
代入(3)式得径向本征方程
+t等一一”?rrrm
上式方程的边界条件为u(0=0.(6)式含参量f,表
明能级和径向运动都应和道量子数有关,对一定的
,,方程(6)有一系列的本征值和本征函数.中心场中
一
个能级E一般由两个量子数,1.,所表征 州+?=D一
4—Z)A(O=一I
因此径向方程写为
,+1)嘶=【一]嘶
或+
(一1)():【一击]’I3)
fJ31以A,}作用于fl2)式得到
4()(+1)4(=
一
D
?
将』代成()则上式成为
4(一1)()4(一1)=
【一方】4(g-1)”f15)
再利用rl1)式上式成为
D(t)A+(—l?=一1A+(—1)”?rl6)
与f81式比较可知,如+r,.,JH,它就是DfJ1的
一
个本征函数,属于本征值w...,而W...是Df『.I)的
本征值,可见能级必有』简并.依此类推,则有
与』一相应的Il,.满足
4(,”…=0rl81
当』时,f121式右端为零.这样
l=0,1,2mn
令H=』.+1.将f171l91式合并为
W,;Itn.;Wf一0,1,….rn.1)
m』是两个量子数,对氢原子,其简并为一个量子
数.Fh(7)式得
一
zao
一
去an:21()其中H=1.2.3.…(21)式说明.氢原子的能量是量
子化的,取决于量子数.用以上方法也能得到氢原子
能量的本征值.
2.本征函数
上述推理已证明A.YSA为量子数』的升降算符,即
J4()-,+t?o【
正()川f221
其中b_和c,为常数.将径向变量改用
22
一——
,
nayf231
则有
杀一+
,
将(I8)式具体写为
(一2d一
2
+)”,
I:o一o
f25)
:(.=n一)
U
ns)-I
2,
f261
对(26)式积分得
“
f271
上式是』=n-I时的u…对于f<l时的unJ,用
降算符A作用于得,再用A.依次类推,降
.
I.』J次后则得,令
=P一
f28】
将上式和能级公式一起代入径向方程得
窘++2一篆廿1_妒_0f291
上式为台流超几伺方程,其多项式解为
,(,=1-
二+__l_+(-D
(z+z】(z+3】(z+2】…0-’0
下面求N,.由上式及(28)式可见,u,和u.中
E”e.项的系数分别为
I}
?
…
Rf?..,.IP1.天木师院学报200,.2新弟?帖
5
譬
古
f(一1)
I
l(一1)
由上两式可得
一
:蛳
fn++l1J…”…
K
“l,(+2)(2+3)l1
由(22)式左右两端中Ee-颂系数相等得
n-g扣
(30),(31)式比较可知
:一?!?三?
_,+l
(—一1)++1).
(33)
因为P—O,一时,O一0,所以有
f旦1+:一旦
(34)
r=(+1)1
M?r=—丑一1)
由于为实数,所以cn和为实数,用u,.乘以
(22)式再积分得
:<U
n,f-IIA()>(
取共辐
=<l_A+(—lI一l>=
一
<艟ICn,H0>—H
由r22)及c13)~
.】】
川一
112丽
?
?
一
-一
(37)
(38)
巫叵互
n(f+1)
上式代入(35)式,再利用递推关系得将
N
N
(2e+2)(2g+3,
ii们
1
N为归一化常数
-】l
m
n(2g+1)!
匝
(n-e-1)!x~o[43)
(参考文献]
III张启仁量子力学IMI.北京:高教出版社,1989.
I21张礼.近代物理学进展IMI.北京:清华大学出版社.1997
『3l余守宪’王肇庆’苏赢赢.构造阶梯算符的定理及其应用lJ】.大学物理,2001.20(1):12.
(贵任编辑王小凤)
Calculationofener~characteristicvalueandcharacteristicfunctionofhvdrosen
atomswithakindofcalculatin~siens
LIUBao?vj
cDeparmlenlofivsI鼯TianshuiNonmlUniversuv”Film~hnt,Ganst~7410001
Abstnct:Calculationofcnerk~chatacteristicx~a[ueandcharacteristicthnctionisthebasic~luestionof~
luanOlmm.char】ics.Series
methodisoftenusedtowokoutsolutionsItisalsoveryeffective
【ouseIadderfimctorstoworkOmsolutions
Keywords:centralootentialfield:characteristicva]ue:catculatin~.signs
J7
l??
范文三:N模耦合谐振子的本征值和本征函数
N模耦合谐振子的本征值和本征函数 第32卷第3期
Vbl32.NO3
温州大学?自然科学版
JournalofWenzhouUniversity'NaturalSciences
2011年6月
Jun.2011
N模耦合谐振子的本征值和本征函数
刁心峰,何建勇,隆正文
(贵州大学理学院,贵州贵阳550025)
摘要:首先通过坐标变换,将N模谐振子耦合的哈密顿量表示为新基底下的标准二次型,消除了耦
合项.经过计算发现,新基底之间满足准正则对易关系.然后引入准粒子的产生和湮没算符,将哈密
顿量化简为N模独立谐振子情形,进而求出其相应的本征值和波函数. 关键词:N模谐振子;耦合;坐标变换;本征值;本征函数
中图分类号:O413.1文献标志码:A文章编号:1674—3563(2011)03—0013—05 DoI:10.3875~.issn.1674—3563.2011.03.003本文的PDF文件可以从xuebao.WZU.edu.cn获得
耦合谐振子模型可以用来描述相互作用的原子,分子,核子等,在物理学中具有很重要的应
用价值.许多实际物理问题的解决都依赖于耦合谐振子模型,如超导理论中~Bogoliubov一变换llJ,
光的二模压缩态,量子场论中的Lee,模型1等.所以,探究关于耦合谐振子哈密顿量的求解方
法,对研究许多物理问题有很大帮助.石国芳等人f4对双模耦合谐振子哈密顿量的一般解法进行
了研究,在此基础上,本文对N模耦合谐振子系统进行讨论,给出了其本征值和波函数.
1系统哈密顿量
文献[5—7】对一些各向同性谐振子之间的耦合体系进行了研究,但是很多实际物理问题都与质
量,频率不相等的耦合谐振子有关,本文将讨论更一般的情形,即各向异性N模谐振子耦合体系,
其哈密顿量为:
=
?+c+2?d+2?e,(1)i=1i,j=l,j=l 因为方程(1)是二次型,故可以将系统写成矩阵表示形式: 疗=[,,…,,,反,…,]
:
?
0
0
:
?
0
收稿B期:2010—10一l1
基金项目:国家自然科学基金(10865003);贵州大学研究生创新基金(2010042)
作者简介:刁心峰(1977一),男,河南夏邑人,硕士研究生,研究方向:凝聚态物理 ^
:
?
^
^
:
?
:
XBX,(2) ;
,,一
2"
O00q
;
0O;O
;
OO0
14温州大学?自然科学版(2011)第32卷第3期
其中X=[,:,…,q,p.,:,…,p],符号丁表示转置.由于矩阵B是实对称矩阵,故可被对
角化.首先,容易写出B的本征值方程:
bl一bl2…dl0…… d.:一…d20…
::…:
d.d2…一0…
00…0C1一+1el2…e1 00…02C2一+2… 00…0e2…c一
其对应的久期方程为: :
?
+.
+:
:
?
=
0,(3)
=
0.(4)
由(4)式可以直接求得,,…,的值,将其代入本征值方程(3),可求出2n个正交归一的
特征向量,依次为,,…,,然后可构建矩阵c=[,,…,].
2坐标变换
通过变换如果能将B写成{,,…,),即可消除(1)式中的耦合项.为了消除耦
合项,进行坐标变换:
X'=[,…,:,,…,:】=Ax=【.,…,:,,…,】,(5)
其中,
A==
L2n1…日2Hn2nn+1 利用新的基底,哈密顿日可表示为: (6)
OO
一
丑
一2
一纫
一一一
.2
一
一;
一
o;
一
00;0
O0;0
00O
;
,一,
州州
n十
q;
;;
刁心峰等:N模耦合谐振子的本征值和本征函数l5 =XTBX=汀fA一7BAXHXBXXBAX',=="f-1',
其中,
(A-1)BA,=
0
(7)
(8)
通过上述矩阵变换,可将(2)式对角化为:
疗:/i1++…+2nqn'++++:pA:I.+…+:,(9) 即实现了退耦合,得到二次标准型.
注意到变换矩阵A需要满足(8)式,利用矩阵理论,可以求得: A=(10)
式中的a……,a,…,a22均可根据(8)式计算得出,并且每一个矩阵元都为实数,即A
是实
正交矩阵,但是由于表达式非常复杂,这里不再给出. 由(5)式和(10)式,可得新旧算符之间满足下面的关系: =aA+2+…+aqqalqlaq2aiq,l':1,2,…,,+2+…+,l,Z,…,' :=++1p1++J肿2p2+…+肘2,J=l,2,…,n. 于是,新算符所满足的对易关系变为:
[AI引=朗=0,(,j=l,2,…,).
(11)
(12)
(13)
根据文献【4】的结论加以递推,!I!U口J判断 』[孕p;]=f力,==1,2,…,,z,(14)
,
朝=0,i?j;i,=1'2,2…,
其中,
=fl以n+fn+l+aiean"+2 +…+aina?f2,i=l,2,…,,z.(15) 由(9)式,(13)式和(14)式可知,哈密顿量在新基底下,不仅可以写成对角化的标准二
次型形式,而且新基底之间满足准正则对易关系. 为了满足通常Heisenberg对易关系,令=qi, Pi
,f=l,2'可以得孙
0
2
2
+
肘州
+n
n2
0O以;以
O0
????
????
????
1
以口0;O
16温州大学?自然科学版(2011)第32卷第3期 ,
P1J=ih,【X2,P2J=ih,…,【Xn,PJ=ih,(16) j[,]0,,=L2,…,,z,(17)lEXi,xj ]=EP?P]=0,(f,=1,2,…,)
将Xi和P代人(9)式,系统的哈密顿量可进一步写成:
=++.p+++p;+…++p.(18)
3本征值和本征函数
到此,哈密顿量中的耦合项已经被消除,并且x1,x2,…,xn,P1,P2,…,P满足正则坐标,正
则动量的对易关系,即(18)式为N模独立的谐振子体系,引入准粒子的产生和湮没算符,容易
.
=
丢)2_o,l'2,…
)_f匾2.Hn~((],
=
丢)2瓜2,…
f,《小].
E=E七En,
+…+En,
n
())o()o…o().
4结论
子体系问题有指导意义.运用其它变换方法也可以求得二模耦合谐振子的能量本征值和波函数,
参考文献
【1】FetterAL,WaleckaJD.QuantumTheoryofManyParticleSystems[M1.NewYork:McGraw
—Hill,1971:527—536.
【2】CavesCM.Newformalismfortwo—photonquantumoptics:II.Mathematicalfoundationandcompactnotation【J】 刁心峰等:N模耦合谐振子的本征值和本征函数17
PhysRevA.1985.31:3093—3111.
[3】SchweberSS.AnIntroductiontoRelativisticQuantumFieldTheory[M].NewYork:Row,Pe
tersonandCo,1961
114—129.
[4】石国芳,惠小强,陈文学.双模耦合谐振子哈密顿量的一般解法【JJ.大学物
理,2008,27:7-9.
【5】SaxonDS.ElementaryQuantumMechanics【MI.SanFranisco:Holden—
Dar,1968:302—411.
【6】
FanHY.UnitarytransformationforfourHarmonicallycoupledidenticaloscillators[J1.PhysRevA,1990,42
4377—4380.
【7】FanHY.UnitarytransformationfordHarmonicallycoupledidenticaloscillators【J1.PhysRevA,1993,47
2379.2382.
【8】蒋继建,李洪奇,李传安.利用表象变换精确求解最一般双耦合谐振子的能量
本征值[J1.大学物理,2005,24
36—37.
EigenvaluesandEigenfunctionofNModesCoupled
HarmonicOscillators
DIAOXinfeng,HEJianyong,LONGZhengwen
(CollegeofScience,GuizhouUniversity,Guiyang,China550025)
Abstract:Throughcoordinatetransformation,HamiltonianofNmodescoupledharmonicoscillatorscould
beexpressedasthestandardquadricforminnewbasestoeliminatethecoupleditems.Asaresultof
calculation,afactcouldbefoundthatthenewbasessatisfyquasi—
canonicalcommutationrelation.By
introducingquasi—
particle'Screationandannihilationoperators,theHarniltoniancouldbesimplifiedasN modesindependentharmonicoscillators.Furthermore,thecorrespondingeigenvaluesandeigenfunction
couldbeobtained.
Keywords:NModesHarmonicOscillator;Coupling;CoordinateTransformation;Eigenvalue;Eigenfunction
(编辑:王一芳)
范文四:N模耦合谐振子的本征值和本征函数[1]
第32卷第3期 温 州 大 学 学 报·自 然 科 学 版 2011年6月 V ol 32, No 3 Journal of Wenzhou University · Natural Sciences Jun, 2011
N 模耦合谐振子的本征值和本征函数
刁心峰,何建勇,隆正文
(贵州大学理学院,贵州贵阳 550025)
摘 要:首先通过坐标变换,将N 模谐振子耦合的哈密顿量表示为新基底下的标准二次型,消除了耦合项.经过计算发现,新基底之间满足准正则对易关系.然后引入准粒子的产生和湮没算符,将哈密顿量化简为N 模独立谐振子情形,进而求出其相应的本征值和波函数. 关键词:N 模谐振子;耦合;坐标变换;本征值;本征函数
中图分类号:O413.1 文献标志码:A 文章编号:1674-3563(2011)03-0013-05
DOI :10.3875/j.issn.1674-3563.2011.03.003 本文的PDF 文件可以从xuebao.wzu.edu.cn 获得
耦合谐振子模型可以用来描述相互作用的原子、分子、核子等,在物理学中具有很重要的应用价值.许多实际物理问题的解决都依赖于耦合谐振子模型,如超导理论中的Bogoliubov -变换[1]、光的二模压缩态[2]、量子场论中的Lee -模型[3]等.所以,探究关于耦合谐振子哈密顿量的求解方法,对研究许多物理问题有很大帮助.石国芳等人[4]对双模耦合谐振子哈密顿量的一般解法进行了研究,在此基础上,本文对N 模耦合谐振子系统进行讨论,给出了其本征值和波函数.
1 系统哈密顿量
文献[5-7]对一些各向同性谐振子之间的耦合体系进行了研究,但是很多实际物理问题都与质量、频率不相等的耦合谐振子有关,本文将讨论更一般的情形,即各向异性N 模谐振子耦合体系,其哈密顿量为:
n
n
n
?=∑b q ?+c i p ?+2∑d ij q ?i q ?j +2∑e ij p ?i p ?j ,H (1)
2
i i
2i
i =1
i , j =1
i , j =1
因为方程(1)是二次型,故可以将系统写成矩阵表示形式:
?b 1?d 12?M ?d ?=[q ?1, q ?2, L , q ?n , p ?1, p ?2, L , p ?n ]??1n H
?0?0??M ?0?
收稿日期:2010-10-11
b 12
b 2M d 2n 00M 0
L L L L L L
d 1n d 2n M b n 00M L 0
0L L 0L 0c 1e 12M e 1n
?1???q ??q ?2???M ?????n ?L ???q (2) =X T BX ,?1?e 12L e 1n ??p ?2?c 2L e 2n ??p ???
M M ??M ?
?n ?e 2n L e n ????p ?
基金项目:国家自然科学基金(10865003);贵州大学研究生创新基金(2010042) 作者简介:刁心峰(1977- ),男,河南夏邑人,硕士研究生,研究方向:凝聚态物理
14
T
温州大学学报·自然科学版(2011)第32卷第3期
?1, q ?2, L , q ?n , p ?1, p ?2, L , p ?n ],符号T 表示转置.由于矩阵B 是实对称矩阵,故可被对其中X =[q
角化.首先,容易写出B 的本征值方程:
?b 1?λ1?d ?12?M ??d 1n ?0??0?M ???0?b 1?λ1?d ?12?M ??d 1n ?0??0?M ???0
b 12M d 2n 00M 0b 12M
d 2n 00M 0
L L L L L L L L L L L L
d 1n d 2n M
00
L L L c 2?λn +2M e 2n L L L c 2?λn +2M e 2n
b 2?λ2L
b n ?λn 0
e 12M e 1n 000e 12M e 1n
00M 0d 1n d 2n M
b n ?λn 00M 0
c 1?λn +1e 12
??ξ1???ξ???2???M ????ξ???n ?=0,
(3)
??ξ?L e 1n
??n +1?
L e 2n ??ξn +2?
??M ?M
???
L c n ?λ2n ??ξ2n ????L
?
????
?=0.
(4) ?L e 1n
?
L e 2n ?
?M
?
L c n ?λ2n ??L
T
其对应的久期方程为:
b 2?λ2L
c 1?λn +1e 12
,可求出2n 个正交归一的由(4)式可以直接求得λ1, λ2, L , λ2n 的值,将其代入本征值方程(3)特征向量,依次为ξ1, ξ2, L , ξ2n ,然后可构建矩阵C =[ξ1, ξ2, L , ξ2n ].
2 坐标变换
通过变换如果能将B 写成diag {λ1, λ2, L , λ2n },即可消除(1)式中的耦合项.为了消除耦合项,进行坐标变换:
′, K , q ′, p ′, K , p ′]=AX =A [q ?1?n ?1?n ?1, K , q ?2, p ?1, K , p ?n ],X ' =[q (5)
T
T
其中,
?a 11
??M ?a n 1A =?
?a n +11??M ?a 2n 1?
L L L L
a 1n M a nn M a 2n n
a 1n +1M a n n +1M a 2n n +1
a n +1n a n +1n +1
L a 12n ?
?M ?L a n 2n ?
?. (6)
L a n +12n ?
?M ?L a 2n 2n ??
?可表示为: 利用新的基底,哈密顿H
刁心峰等:N 模耦合谐振子的本征值和本征函数
15
?=X T BX =X ' T (A ?1)T BA ?1X ' ,H (7)
其中,
(A ?1)
T
?λ1
?λ2??O BA ?1=?
λ2n ?2
?????0
λ2n ?1
0?
???
(8) ?.???λ2n ??
通过上述矩阵变换,可将(2)式对角化为:
?=λq ?′2?′2?′2?′2?′2?′2 (9) H 11+λ2q 2+L +λn q n +λn +1p 1+λn +2p 2+L +λ2n p n ,
即实现了退耦合,得到二次标准型.
注意到变换矩阵A 需要满足(8)式,利用矩阵理论,可以求得:
?a 11
?M ??a n 1A =?
0??M ?0?
L L L L
a 1n M a nn 0
0L M 0L a n +1n +1L M
a 2n n +1L
M 0
2n
????, (10)
a n +12n ?
?M ?a 2n 2n ??
式中的a 11, L , a nn , L , a 2n
均可根据(8)式计算得出,并且每一个矩阵元都为实数,即A 是实
正交矩阵,但是由于表达式非常复杂,这里不再给出.
由(5)式和(10)式,可得新旧算符之间满足下面的关系:
?i ′=a i 1q ?1+a i 2q ?2+L +a in q n ,q (11) i =1, 2, L , n ,?′j =a n +j p
n +11
?+a n +j p
n +2
?2+L +a n +j p
2n
?n ,j =1, 2, L , n .p (12)
于是,新算符所满足的对易关系变为:
?i ′, q ?′j ??i ′, p ?′j ?? (13) (i , j =1, 2, L , n ).?q ?=??p ?=0,
根据文献[4]的结论加以递推,则可判断
??q ?′j ??=i h θi , i =j =1, 2, L , n ???i ′, p
, (14) ?
?i ′, p ?′j ???q ?=0, i ≠j ; i , j =1, 2, L , n ??
其中,
θi =a i 1a n +i n +1+a i 2a n +i n +2+L +a in a n +i 2n ,i =1, 2, L , n . (15)
由(9)式、(13)式和(14)式可知,哈密顿量在新基底下,不仅可以写成对角化的标准二次型形式,而且新基底之间满足准正则对易关系.
为了满足通常Heisenberg
对易关系,令x i =
,p i =
i =1, 2,3, L , n ,可以得到:
16
温州大学学报·自然科学版(2011)第32卷第3期
(16) L ,[x 1, p 1]=i h ,[x 2, p 2]=i h ,[x n , p n ]=i h ,
??x i , p j ?=0,
???(i ≠j ; i , j =1, 2, L , n )
, (17) ?
?x i , x j ??=??p i , p j ??=0, (i , j =1, 2, L , n )???
将x i 和p i 代人(9)式,系统的哈密顿量可进一步写成:
?=λθx 2+λθp 2+λθx 2+λθp 2+L +λθx 2+λθp 2.H (18) 1112222n n n n +111n +222n n n
3 本征值和本征函数
到此,哈密顿量中的耦合项已经被消除,并且x 1, x 2, L , x n , p 1, p 2, L , p n 满足正则坐标、正则动量的对易关系,即(18)式为N 模独立的谐振子体系,引入准粒子的产生和湮没算符,容易求得它们各自的能量本征值和本征函数,分别是:
1??
E n 1=?n 1+?2θn 1=0,1, 2, L , n ,
2??
Ψn 1(
x 1)=?
M
M
?
14
(
2
n 1
n 1! )21
1
???H n 1?(λ1n +1)4x 1?,
??
1??
E n n =?n n +?2θn n =0,1, 2, L , n ,
2??
?
14
Ψn n (
x n )=?
(
2
n n
n n !
)
2n
1
???H ?(λn λ2n )4x n ?.
??
所以系统能量本征值和波函数分别为:
E =E n 1+E n 2+L +E n n ,
Ψ(x )=Ψn 1(x )?Ψn 2(x )?L ?Ψn n (x ).
(19)
式(19)中的各个参数均可由式(1)中的系数确定.
4 结 论
本文对N 模耦合谐振子进行了研究,并给出了系统的能量本征值和波函数,这对于研究多粒子体系问题有指导意义.运用其它变换方法[8]也可以求得二模耦合谐振子的能量本征值和波函数,但这些方法的变换过程非常复杂,很难对多模谐振子求解.本文所给方法可以借助计算机程序辅助完成,能够对N 模谐振子进行求解.
参考文献
[1] Fetter A L, Walecka J D. Quantum Theory of Many Particle Systems [M]. New York: McGraw-Hill, 1971: 527-536. [2] Caves C M. New formalism for two-photon quantum optics: II. Mathematical foundation and compact notation [J].
刁心峰等:N 模耦合谐振子的本征值和本征函数
Phys Rev A, 1985, 31: 3093-3111.
17
[3] Schweber S S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory [M]. New York: Row, Peterson and Co, 1961:
114-129.
[4] 石国芳, 惠小强, 陈文学. 双模耦合谐振子哈密顿量的一般解法[J]. 大学物理, 2008, 27: 7-9. [5] Saxon D S. Elementary Quantum Mechanics [M]. San Franisco: Holden-Dar, 1968: 302-411.
[6] Fan H Y. Unitary transformation for four Harmonically coupled identical oscillators [J]. Phys Rev A, 1990, 42:
4377-4380.
[7] Fan H Y. Unitary transformation for d Harmonically coupled identical oscillators [J]. Phys Rev A, 1993, 47:
2379-2382.
[8] 蒋继建, 李洪奇, 李传安. 利用表象变换精确求解最一般双耦合谐振子的能量本征值[J]. 大学物理, 2005, 24:
36-37.
Eigenvalues and Eigenfunction of N Modes Coupled
Harmonic Oscillators
DIAO Xinfeng, HE Jianyong, LONG Zhengwen
(College of Science, Guizhou University, Guiyang, China 550025)
Abstract: Through coordinate transformation, Hamiltonian of N modes coupled harmonic oscillators could be expressed as the standard quadric form in new bases to eliminate the coupled items. As a result of calculation, a fact could be found that the new bases satisfy quasi-canonical commutation relation. By introducing quasi-particle’s creation and annihilation operators, the Hamiltonian could be simplified as N modes independent harmonic oscillators. Furthermore, the corresponding eigenvalues and eigenfunction could be obtained.
Key words: N Modes Harmonic Oscillator; Coupling; Coordinate Transformation; Eigenvalue; Eigenfunction
(编辑:王一芳)
范文五:二维耦合量子谐振子的本征值和本征函数_徐秀玮
第25卷第9期2006年9月大 学 物 理COLLEGE PHYSICS Vol. 25No. 9Sep. 2006
二维耦合量子谐振子的本征值和本征函数
徐秀玮, 郭 春, 迟永江, 田丽杰, 孙中涛
1
2
1
1
1
(1. 烟台师范学院物理与电子工程学院, 山东烟台 264025; 2. 烟台师范学院教务处, 山东烟台 264025)
摘要:运用广义线性量子变换理论, 给出一类二维耦合量子谐振子的能量本征值、本征函数、坐标和动量算符在能量表象中的矩阵元及演化算符.
关键词:二维耦合量子谐振子; 广义线性量子变换; 能量本征值; 本征函数
中图分类号:O 413. 1 文献标识码:A 文章编号:1000-0712-(2006) 09-0026-02
量子谐振子是量子理论诸多领域中的重要模型之一, 在一般的教科书中对一维谐振子或多维无耦合谐振子介绍得较多, 而对多维耦合谐振子则涉及得较少. 文献[1]运用坐标变换给出了一类耦合谐振子的本征值和本征函数, 但未给出变换的算符. 有的教科书则给出了荷电粒子在磁场中的能量本征值, 但没有给出具体的本征函数. 对于涉及本征函数的量子计算比较困难, 而运用广义线性量子变换的普遍理论
[3~6]
[2]
^=exp U
+(ln M ) 2B +2i ü
(4)
1 能量本征值和本征函数
具有式(1) 形式哈密顿量的二维耦合量子谐振子的本征方程为
H ^|W n 4=E n |W n 4(5)
根据广义线性量子变换的普遍理论, 存在线性幺正变换U 1, 将方程(5) 变换为二维无耦合量子谐振子的本征方程
H ^0|U n 4=E n |U n 4
这里
(6) (7)
m 0
-1
可以很好地解决这个问题. 本文将运用广义线^2^2222
H ^=(p 1+p 2) +m X (x ^1+x ^2) +
2m 2 f (p ^1x ^2+x ^1p ^2) =+N 2B +
2
(1)
性量子变换理论求解如下二维耦合谐振子:
1^-|U n 4=U 1|W n 4
其中
+=(p ^1, p ^2, x ^1, x ^2) , N =
2=
0I
I 0
f 2m X
, 2B =
0-I
2
-m -f 2I (2)
^H ^U ^1=1+N 02B H ^0=U +, N 02B =
2
-11
0m 0X 0
(8)
2
由式(1) ~(3) 及式(8) , 有
N 02B =M 1N 2B M 1
的4@4实相似变换矩阵
M 1=
-1
-1
-1-1
-1
(9)
求解方程(9) , 可得到满足辛条件M 12B M 1=2B
a --a +2
I 为2@2单位矩阵.
在二维相空间中, 广义线性量子变换U 满足如下关系:
^+U ^-1=+M , M U 2B M =2B
(3)
a +2a -(10)
其中
a ? =
2
1-? o
其中M 是4@4的复辛矩阵. 当M 为实辛矩阵时, ^为线性幺正变换, 即U ^+=U ^-1. 线性量子则变换U
^的普通表示、变换算符U 正规乘积表示和反正规乘积表示可由M 唯一确定到只差一个常数性算子因^的普通表示为子, 其中U
收稿日期:2005-08-29; 修回日期:2006-04-17
2-1
K ? =[m X +m ? 2
4f +(m X -m ) ]
(11)
将式(10) 代入式(9) , 并同式(8) 比较, 给出
) .
第9期
-1
2
徐秀玮等:二维耦合量子谐振子的本征值和本征函数
27
m 0=K -, m 0X 0=K +, X 0=
X -f
(12)
(n 1+1) (n 2+1) D m 1, n 1+1D m , n +1+22(n 1+1) n 2D m 1, n 1+1D m 2, n 2-1+D m , n -1D m , n +1+1122
n 1(n 2+1) #
显然, 二维耦合谐振子的能量本征值和本征函数分别为:
E n =(n 1+n 2+1) üX0^1|U ^|W =U n 4n 4=U 1|n 14|n 24(n =n 1+n 2; n 1, n 2=0, 1, 2, , )
为X 0的一维量子简谐振子的第n i 个本征态.
(14) (13)
12D m , n -1D m , n -1
1122
(18)
3 耦合谐振子的演化算符
具有式(1) 形式哈密顿量的耦合谐振子的演化算符U 满足如下方程:
^5U ^(0) =I ^i ü=H ^, U 用U 1对上式进行变换, 得
^05U ^0(0) =I ^i ü=H ^0, U 其中
1^^^0=U ^-U 1U U 1
这里|n i 4(n i =0, 1, 2, , ; i =1, 2) 是质量为m 0、频率
2 坐标和动量算符在能量表象中的矩阵元
[1]
坐标和动量算符在H ^0表象中的作用为
(19)
_j |n j 4=x
(2A 0
n j +1|n j +14+n j +1|n j +14-
n j |n j -14) n j |n j -14)
(15)
(20)
A 0
p ^j |n j 4=i ü(
(21) (22) (23)
由式(4) 和(20) , 有:
^0=exp ^0=e xp +(ln M 0) 2B U +
i ü2i ü
M 0=e
N t
其中j =1, 2; A 0=
-
1
. 利用式(3) 、(10) 、
(11) 和(15) , 可以得到坐标和动量算符在H ^表象中的矩阵元为:3W m m |x ^j |W n n 4=j j c j j c A 0a +
i ü(
2
a -(2A 0
n j +1D m , n +1+j j
n j D m , n -1) D m , n -j j j c j c n j c D m j c , n j c -1) D m j , n j
(16)
a +
^n n 43W =(m m |p j |W j j c j j c
2A 0 i ü
A 0a -2(
n j c +1D m , n +1+j c j c
n j c D m , n -1) D m , n +j c j c j j
=cos X 0t +
sin X 0t
N 0
具有式(1) 形式哈密顿量的二维耦合谐振子的演化算符和演化矩阵则为:
1^=U ^1U ^0U ^- U xp 1=e
n j c +1D m j c , n j c +1-
1
+(ln M ) 2B +2i ü
sin X 0t
N 0
(24) (25)
M =M 1M 0M 1=cos X 0t +
-1
再运用广义线性量子变换的普遍理论, 给出二维耦合谐振子演化算符的正、反正规乘积形式, 可以进一步简化有关的量子计算.
综上所述, 本文给出了耦合谐振子与无耦合谐振
n j +1D m j , n j +1-n j D m j , n j -1) D m j c ,
n j c
(17)
其中j , j c =1, 2且j X j c . (16)、(17) 两式是H ^表象中的基
本矩阵元, 据此可以给出其他力学量的矩阵元, 如^|W 3W m m |x n n 4=1212
n 2+a -2A 0
21
子之间的线性幺正变换算子和变换关系式, 使得涉及到本征函数的量子计算简单易行. 先定出由耦合谐振子到无耦合谐振子的线性幺正变换, 再利用式(23) 、(24)给出耦合谐振子演化算符的方法是确定一般耦合谐振子演化算符的有效方法. 运用广义线性量子变换普遍理论求解多维耦合谐振子是一种普遍有效的简单方法, 可将复杂的算符运算转化为简单的c 数运算.
n 1+
2
a -0
2
+
12
(üA D m 1, n 1D m 2, n 2+0a +) 2
2
(n 1+1) (n 2+2) D m 1, n 1+2+
参考文献:
[1] 钱伯初, 曾谨言. 量子力学习题精选与剖析[M]. 北京:
科学出版杜, 1984. 58~63, 70~71.
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社, 2003. 134~140.
(下转页)
11D m , n -2D m , n -11
22(üA a ) 20+
2
(n 2+1) (n 2+2) D m , n +2+
22
36
大 学 物 理
概率[J]. 大学物理, 2005, 24(9) :25~28.
第25卷
[1]给出的光致跃迁满足的守恒定律由其式(19) 描述, 本文则由式(17) 给出. 以上这些问题都涉及对量子力学基本概念的理解和认识, 是我们在讨论问题的过程中应该分辨清楚的.
[2] 周世勋. 量子力学教程[M ]. 北京:高等教育出版社,
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620.
参考文献:
[1] 张益才. 用含时微扰理论计算Landau 体系的光致跃迁
Discuss about a transition matrix element
HU Kun -ming, WANG Jian -bo
(Department of Physics, Shangqiu Normal College, Shangqiu, Henan 476000, China)
Abstract :The fact that when computing transition of Landau system due to light, the integration variable of comput -ing matrix element x m , k , y m , k isn . t d S =d x d y d p but d S =d x d y is indicated, and that the matrix element y m , k should be expressed as y m p y , kp 0is also indicated, and the transition selection principle of Landau system due to light is revised. y
Key words :Landau syste m; transition due to light; matrix element
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The eigenvalue and eigenfunction of a coupled quantum oscillator
XU Xiu -wei , G UO Chun , CHI Yong -jiang , TIAN L-i jie , SUN Zhong -tao
(1. Department of Physics, Yantai Teachers University, Yantai, Shandong 264025, China; 2. Office of Teaching Affairs, Yantai Teachers Universi ty, Yantai, Shandong 264025, China)
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Abstract :The energy eigenvalue, eigenfunction, matrix elements of coordinate and momentum operators in energy representation, and evolution operator for a two -dimentional coupled oscillator are presented by using the general linear quantum transformation theory.
Key w ords :two -dimensional coupled quantum oscillator; general linear quantum transform; energy eigenvalue; eigenfunction
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