范文一:三角形面积的向量方法
三角形面积的向量方法
向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应
用.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景.
??????????
公式 ?ABC中,若向量CB?a,CA?b,则S?ABC?
证明 S?ABC
?
?1???absin?a,b??2
?
1.利用公式求三角形的面积.
例1.已知?ABC,点A(1,1),B(4,2),C(3,5),求?ABC的面积.
????????????2????2????????
解:∵AB?(3,1),AC?(2,4),∴AB?10,AC?20,AB?AC?10,
∴S?ABC
?
?5. ?????????00
例2.已知?ABC中,向量BA?(cos23,cos67),BC?(2cos680,2cos220),求?ABC的
面积.
????????????????0000
解:由已知,得BA?(cos23,sin23),BC?(2sin22,2cos22),∴BA?1,BC?2,
???????
?0
∴BC?BA?2(sin220cos230?cos220sin230)?2sin45?
∴S?ABC
?
?.
2.利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值.
例3.平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx),Q(cosx,sinx),x?[?求?OPQ面积的最值.
,],O为坐标原点,2412
??
解:S?OPQ
?
1
??cos2x. ?
2
∵x?[?大值为
??
2412,
], ∴当x?
?
12
时,?
OPQ面积的最小值为
;当x?0时,?OPQ面积的最4
1. 2
3.利用公式和均值不等式求三角形面积最值.
??????????????
例4.已知?OAB中,OA?a,OB?b,且a?b?3,a?b?2,求?OAB面积的最大值.
??5?????2???2?2???2
解:∵a?b?3,a?b?2,∴a?2a?b?b?9,a?2a?b?b?4,解得a?b?,
4
?2?
213
3
?,
? a?b?,∴S?OAB??22??当且仅当a?b?时,取“=”号.
????????????
例5.已知向量OA?a?(cos?,sin?),OB?b?(cos?,sin?),a与b之间有关系
式
???ka?b??kb,(k?
0,且k?2,O为坐标原点,求?AOB面积的最大值,并求
??
此时a与b的夹角?.
?2???2?2???2???22
解:将ka?b??kb两边平方,得ka?2ka?b?b?3(a?2ka?b?kb)
??1??????2112
∵a?b?1,∴k?2ka?b?1?3(1?2ka?b?k),又∵k?0,∴a?b?(k?)?,
4k2
?
?当且仅当k?1时取“=
”号.∴S?AOB ?4??
??1a?b1000
os???,∴?
AOB此时a?b?,∴c∵0???180,∴??60. 2ab2
?
范文二:坐标法求三角形面积
坐标法求三角形面积
设?ABC的三个顶点坐标分别是A(x,y), B(x,y), 1122C(x,y),过三角形的三个顶点作矩形,使矩形的边分别与两33
条坐标轴平行,且至少有一个顶点与三角形的顶点重合(如图1)。
,y) A(x11
C(x,y) ,y) C(x3333
B(xB(x,y,y)) 2222
图1
显然,?ABC的面积等于矩形面积减去周边几个直角三角形的面积。即
1 S=(x,x)(y,y),[(x-x)(y,y),(x,x)(y,y),(x,x)(y,y)]?ABC31123113211232322
=xy+xy-xy-xy-(xy+xy-xy-xy+xy+xy-xy-xy+xy+xy3112113231131133211211223322-xy-xy)/2 2332
= xy+xy-xy-xy-(xy+xy-xy+xy+xy-xy -xy-xy)/2 311211323113112112112332= ( xy+xy-xy+xy-xy-xy-xy+xy)/2 3112111132132123
= ( xy+xy -xy-xy-xy+xy)/2=(xy+xy+xy-xy-xy-xy)/2 311232132123122331132132
xy1111xy1若用行列式表示,则S。 =?ABC222
xy133
A(0,3)
C(4C(4,,0)0) B(0,0) B(0,0)
图2
很容易知道图2中三角形的面积是6,若用面积行列式计
031
11001,(3,4),6算,则这个三角形的面积为S=。 22401
A(-2,5) C(18,5)
B(2,-5)
图3 又如图3中三角形的底为20,高为10,易知面积为100,
用三角形面积行列式公式计算,则
,251
112,51,(10,90,10,10,90,10),100S=。 221851
C(5,4)C(5,4)
A(3,2)A(3,2) A(3,2)
B(7,-1)
图图图444
图4中三角形的底可由两点间的距离公式求出,高可由点到直线的距离公式确定,但都比较麻烦,若用坐标法三角形面积公式计算这个三角形的面积,就简便得多了,
321
11S=。 7-11(-3,10,28 14 12,5),7.522541
这个公式的行列式中每一行的前两个数分别是三角形顶点的横坐标和纵坐标,要注意自上而下按逆时针排列,否则结果会是负数。
范文三:坐标系中三角形面积
用坐标求几何图形的面积
引入:如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1.
(1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1<>
(2)如果y轴上有两点P(0,y1),Q(0,y2)(y1<>
(3)如果 A(2,2),B(2,5),那么AB=______________ (4) 如果 A(2,3),B(-5,3),那么AB=_________
一、求三角形面积
(1)有一边在坐标轴上
例1 如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(-3,0),(0,3),(0,-1),
求三角形ABC的面积?
(2)、有一边与坐标轴平行
例2 如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(4,5),C(-1,2),求三角形ABC的面积.
1
(3)、三边均不与坐标轴平行
例3 如图2,平面直角坐标系中,已知点A(-3,-1),B(1,3),C(2,-3),
你能求出三角形ABC的面积吗?
练习:
1、 已知: △ABC 中,A(0,3), B(0,-2), C(-2, 1/2),画出图形,求△ABC的面积 ;
2, 如图,在三角形AOB中,A、B两点的坐标分别为(2,4)、(6,2),
求三角形 AOB的面积.
2
二,求四边形的面积:
(1)求规则四边形的面积
例1、已知: 四边形BCDE 中,B(3,0), C(3,2),D(1,3), E(1,0),画出图形,求四边形BCDE的面积 ;
(2)求不规则四边形的面积:
例2, 如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为
(0,0)。
确定这个四边形的面积,你是怎么做的?
3 – 2,8),(– 11,6),(– 14,0), (
练习:
1,在平面直角坐标系中,顺次连接点A(-2,0)、B(0,3)、C(3,3)、D(4,0).
(1)得到的是什么图形?
(2)求该图形的面积.
2, 已知: 四边形ABCD 中,A(-3,0),
求四边形ABCD的面积 ;
B(3,0),4 C(3,2),D(1,3), 画出图形,
范文四:三角形面积公式的向量坐标表示及其应用
三角形面积公式的向量坐标表示及其应用
236700 安徽省利辛县利辛高级中学 王耀辉
手机:15956742380 E-mail:wyh236700@126.com
2014年1月10日星期五
一、三角形面积公式的向量坐标表示及证明
三角形面积公式的坐标表示源于课本,普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)(北,,,,,,,,
,ABC,ABC师版)P48例3:如图1,在中,,,求证的面积ABxy,(,)ACuv,(,)1( Sxvyu,,||2
,,,,,,,,,,,,,,,,11222证明: ,,,||||(1cos)ABACASABACA,,||||sin22
,,,,,,,,,,,,,,,, 122 ,,,,(||||)(||||cos)ABACABACA图1 2
,,,,,,,,,,,,,,,,112222222 ,,,,(||||)()ABACABAC,,,,,()()()xyuvxuyv22
112,,()xuyv( ,,||xvyu22
说明:该证法,是根据学生学习了向量的坐标表示,向量的数量积运用,三角形的正弦
定理及用两边夹角正弦表示三角形面积公式后而给出的证明方法。
另外根据学情,还有其他证法(
CBDFDE另法一:如图2,过作平行于轴,过作平行于轴, yx
AEDF,, 则得矩形Syu=矩形AEDF
SSSSS,,,,() ,,,ABFACEBCD矩形AEDF图2 1111,,,,,,yuxyuvuxyv[()()],,||xvyu( 2222
,,,,AB另法二:如图3,设,,直线方程为:,顶A(0,0)Bxy(,)Cuv(,)yxxy,,0
,,||yuxv,CAB点到直线的距离, d,22,,xy,
,,,,,,111||yuxv,22,,,,SABd,,||,,||xvyu所以( ,,,xy22222,,xy, 说明:另法一,学生具备平面坐标知识,矩形、直角三角形面积的简单 图3
计算,即可证明(另法二,学生学过直线方程,点到直线的距离公式,即可证明(
xvyu,下面我们来讨论数式的几何意义: ,,,,,,,,,,,,,,,,
,0xvyu,ACAC1)当ABAB(时,向量与共线,此时向量与的模为邻边不能构
ABC成平行四边形,当然面积为零; ,,,,,,,,,,,,,,,,
,0xvyu,ACACABAB(2)当时,向量与不共线,表示以向量与的||xvyu,
11,ABCSxvyu,,||xvyu,||模为邻边的平行四边形的面积,则为的面积,即( ,ABC22
二、三角形面积公式的应用
CA例1.如图4,已知定点A(6,4)、B(10,10)和动点Ctt(,4),经过点、
lt,1BCDDx的直线与轴正半轴的交点为,当时,求三角形面积的最小值(
l解:直线(44)(6)(6)(4)0txty,,,,,,的方程为, ,,,,,,,,5t5t5t图4 x,D(,0)BD,,,(10,10)y,0令,则,得,, BCtt,,,(10,410)t,1t,1t,1
1
15tBCD的面积为: 则三角形,,,,,,Stt|(10)(10)(10)(410)|,BCD,21t
15 ,,,,,5(1)20(1)ttt,1
t,1因为,所以(当且仅当时取等号)( t,,13S?20103,,BCD
22例2.如图5,已知圆,、、为圆上按逆时计方向排列的三点:APQxy,,4
,,求出的面积的最大值( ,,:QAP30,APQA(1,3),,
,OPQOx,,POx,解:连接、,令,则, ,,,OQ,3
,,,则, Q(2cos(),2sin()),,P(2cos,2sin),,(02)?,,,,, 33图5 ,,,,,,,,,,其中,AQ,,,,,(2cos()1,2sin()3), ,,AP,,,(2cos1,2sin3),,33
1,,所以S,,,,,,,, |(2cos1)(2sin()3)(2sin3)(2cos()1)|,,,,,APQ233
,,=|2cos()+3|,,23,,当时,面积的最大值为( ,,,APQ66
22xylC:1,,例3.(2011山东高考数学理22)已知动直线与椭圆交于32
6O两不同点,且的面积,其中为坐标原点( PxyQxy(,),(,)S,,OPQ,OPQ11222
2222(?)证明:和均为定值;(?)(?)略( xx,yy,1212
2222xyxy1122,,1,,1证明:(?)点满足……?,……? PxyQxy(,),(,)11223232
16由三角形面积公式Sxyxy,,,,得, ||xyxy,,,6,OPQ1221122122
22xyxy22xyxy12211221即……?或……? ,,2,,,26666
xyxy221221?+??,配方得, ()()0,,,,,
3232
xyxy1221所以,,0且,,0……?,
3232
22222222再由???得,;同理由???也得,( xx,,3yy,,2xx,,3yy,,2121212122222综上所述,和均为定值( xx,yy,1212
112yx,AByx,,4例4.直线与抛物线交于、两点,线段的垂直平分线与直AB28
PABQ线y,,5交于点(当为抛物线上位于线段下方(含、)的动点时,求,OPQAB
面积的最大值(
12Pxx(,4),解:A(4,2),,B(8,4)Q(5,5),(48),??x,,,设,所以811122x,,4Sxx,,,,62S|55(4)|,,,|(4)48|x,当时,最大值为( ,OPQ,OPQ2882
2
范文五:三角形面积公式的向量坐标表示及其应用
三角形面积公式的向量坐标表示及其应用
王耀辉
一、三角形面积公式的向量坐标表示及证明
三角形面积公式的坐标表示源于课本,普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)(北,,,,,,,,
,ABC,ABC师版)P48例3:如图1,在中,,,求证的面积ABxy,(,)ACuv,(,)1( Sxvyu,,||2
,,,,,,,,,,,,,,,,11222证明: ,,,||||(1cos)ABACASABACA,,||||sin22
,,,,,,,,,,,,,,,, 122 ,,,,(||||)(||||cos)ABACABACA图1 2
,,,,,,,,,,,,,,,,112222222 ,,,,(||||)()ABACABAC,,,,,()()()xyuvxuyv22
112,,()xuyv( ,,||xvyu22
说明:该证法,是根据学生学习了向量的坐标表示,向量的数量积运用,三角形的正弦
定理及用两边夹角正弦表示三角形面积公式后而给出的证明方法。
另外根据学情,还有其他证法(
CBDFDE,过作平行于轴,过作平行于轴, 另法一:如图2yx
AEDF则得矩形,, Syu=矩形AEDF
SSSSS,,,,() ,,,ABFACEBCD矩形AEDF
图2 1111,,,,,,yuxyuvuxyv[()()],,||xvyu( 2222
,,,,AB另法二:如图3,设,,直线方程为:,顶A(0,0)Bxy(,)Cuv(,)yxxy,,0
,,||yuxv,CAB点到直线的距离, d,22,,xy,
,,,,,,111||yuxv,22,,,,SABd,,||,,||xvyu所以( ,,,xy22222,,xy, 说明:另法一,学生具备平面坐标知识,矩形、直角三角形面积的简单 图3
计算,即可证明(另法二,学生学过直线方程,点到直线的距离公式,即可证明(
xvyu,下面我们来讨论数式的几何意义: ,,,,,,,,,,,,,,,,
,0xvyu,ACAC(1)当ABAB时,向量与共线,此时向量与的模为邻边不能构
ABC成平行四边形,当然面积为零; ,,,,,,,,,,,,,,,,
,0xvyu,ACACABAB(2)当时,向量与不共线,表示以向量与的||xvyu,
11,ABCSxvyu,,||xvyu,||模为邻边的平行四边形的面积,则为的面积,即( ,ABC22
二、三角形面积公式的应用
CAA(6,4)B(10,10)Ctt(,4)例1.如图4,已知定点、和动点,经过点、
lt,1BCDDx的直线与轴正半轴的交点为,当时,求三角形面积的最小值(
l(44)(6)(6)(4)0txty,,,,,,解:直线的方程为,
图4
1
,,,,,,,,5t5t5t,则,得,, 令x,D(,0)BD,,,(10,10)y,0BCtt,,,(10,410)t,1t,1t,1
15tBCD则三角形的面积为: ,,,,,,Stt|(10)(10)(10)(410)|,BCD,21t
15 ,,,,,5(1)20(1)ttt,1
t,1因为,所以(当且仅当时取等号)( t,,13S?20103,,BCD
22例2.如图5,已知圆,、、为圆上按逆时计方向排列的三点:APQxy,,4
,,求出的面积的最大值( ,,:QAP30,APQA(1,3),,
,OPQOx,,POx,解:连接、,令,则, ,,,OQ,3
,,,则Q(2cos(),2sin()),,, P(2cos,2sin),,(02)?,,,,, 33图5 ,,,,,,,,,,其中,AQ,,,,,(2cos()1,2sin()3), ,,AP,,,(2cos1,2sin3),,33
1,,S,,,,,,,,所以 |(2cos1)(2sin()3)(2sin3)(2cos()1)|,,,,,APQ233
,,=|2cos()+3|,,23,,当时,面积的最大值为( ,,,APQ66
22xylC:1,,例3.(2011山东高考数学理22)已知动直线与椭圆交于32
6O两不同点,且的面积,其中为坐标原点( PxyQxy(,),(,)S,,OPQ,OPQ112222222(?)证明:和均为定值;(?)(?)略( xx,yy,1212
2222xyxy1122,,1,,1证明:(?)点PxyQxy(,),(,)满足……?,……? 11223232
16由三角形面积公式Sxyxy,,,,得, ||xyxy,,,6,OPQ1221122122
22xyxy22xyxy12211221即……?或……? ,,2,,,26666
xyxy221221?+??,配方得, ()()0,,,,,
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xyxy1221所以,,0,,0且……?,
3232
22222222再由???得,;同理由???也得,( xx,,3yy,,2xx,,3yy,,2121212122222综上所述,xx,和yy,均为定值( 1212
112yx,AByx,,4例4.直线与抛物线交于、两点,线段的垂直平分线与直AB28
PABQ线y,,5,OPQ交于点(当为抛物线上位于线段下方(含、)的动点时,求AB
面积的最大值(
12Pxx(,4),A(4,2),,B(8,4)Q(5,5),(48),??x解:,,,设,所以8
2
11122x,,4,当时,最大值为( Sxx,,,,62S|55(4)|,,,|(4)48|x,OPQ,OPQ2882
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