范文一:卷积公式的推广
52
高等数学研究
STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSV01.12.No.4Jul.,2009
卷积公式的推广。
姜红燕
摘要
高峰
(淮阴工学院信息与计算科学系江苏淮安
223003)
从教材中的习题出发,利用含参变量二重积分的求导方法,把卷积公式推广列三个独立
随机变量和的情形。得到其概率密度函数计算公式,并且说明该方法同样适用于随机变量不相互独立的情形.
关键词
独立;随机变量和;卷积公式.中图分类号0212
教材[1]中有一道如下的习题:
例itl3
已知三个独立的随机变量X,y,Z都服从下列分布,
.M:r‘,‘>o’10,f≤0,
。
。
.厂(£)={
求W—X+y+Z的概率分布.
(1)
由于教材中仅仅介绍了计算两个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式,因此上题的一
般做法都是先求S=X+Y的概率密度函数,再求W一’S+Z的概率密度函数.文[2]介绍了一种
立体几何法来求解三个服从同一均匀分布的独立随机变量和的概率密度函数,文[3]则通过列举一些特例,用数学归纳法得到了服从均匀分布的多个独立随机变量和的概率密度函数公式.但对于服从一般分布的三个随机变量,求它们和的概率密度函数则比较困难.
本文从计算两个随机变量和的概率密度函数的做法出发,利用文[4]中介绍的二维含参量积分的求导方法,得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式.
定理
若三个随机变量X,y,Z的联合概率密度函数为f(x,Y,z),则W=X+y+Z的概率
密度函数为^(叫)一I
证明
l
f(x,Y,W—z—y)dydx.
W的分布函数及其概率密度函数分别为
Fw(叫)一P{W≤硼}=P{X+Y+Z≤7,0)一
mf(x,y,z)dzdydz=e。(毯f(x,y,z)dyd幻虮
^(叫)一F7Ⅳ(叫)一f”剑!罟型dz,
其中,
fC
l(w,z)一
e”frr。’
根据文[4]相关结论可得,
一慧.z
|I
f(x,Y,z)dzdy.f(x,Y,z)dydz—II卜刚”
驾字一E化,,,叫一z—y)dy.
因此,W=X+y+Z的概率密度函数为
?收稿日期:2007—08—02.
基金项目t淮阴工学院青年教师科研基金项目HGQ0637.
第12卷第4期姜红燕.高峰:卷积公式的推广
53
fw(叫)=IIf(x,y,硼一z—y)dydx.J一∞J一∞
推论
当随机变量X,y,Z相互独立时,有
r∞r”
fw(硼)=lJ一∞J一∞Ifx(z)fY(y)fz(叫一X—y)dydx,
其中^(z),fY(y),fz(z)分别为X,Y,Z的边缘概率密度函数.
注
推广中的公式即为计算三个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式.
以下给出例1的解:
解
随机变量X,y,Z相互独立,由推论,知
r∞ro
^(叫):IJ—”J一”I^(z)fY(y)^(硼一z—y)dydx,
而X,y,Z的边缘概率密度函数均为(1)式,易知仅当工>0,Y>0,z+y0时,z+yO,y>0}所示的区域有交集.因而
图l
例1二重积分区域示图
^(训):JJ。j。zr。。Yel?(w--x--y)e。‘一’pdydx,硼>0’
【0,
化简,即得
r…5
硼o’硼0时上述两个区域方有交集.
例2t23解
已知三个独立的随机变量X,y,Z,都服从[口,6]上的均匀分布,求其和的概率密度.同例1,设W—X+Y+Z,则有
/-oo/-”
^(z)^(y)fz(硼一z—y)dydx.知(叫)一lIJ一”J一”
易知仅当a≤x≤b,a≤Y≤b,叫一b≤z+Y≤叫一a时上
,
\
、
b
‘\
j
7
1、3
1,不等于零.参考图2,此时有两条述积分的被积函数为(f一.It、c,一“,
直线z+Y=叫一(£,X+Y一叫一6,要看7.1.3落在什么范围内时,这两条直线所夹的区域与{(z,y)Ia≤z≤6,a≤Y≤b}所示的区域有公共的交集.讨论可得:
\7\a。\
\
工十y2w-b、
\
b
\
x+y。w,?口
\
图2例2二重积分区域示图
fw(硼)一
rr。(士)3圳z,
L。厂7(击)3圳z+r4fb一(士)3州z忍q-b≤w0,铆0)内存在偏导数;另外一W(z)一l在R内连
续,R(“)=_毛≠0在(o,+oo)或(一oo,o)内连续.依上述的方法,解关于“一,(z)的可分
J
l“
离变量方程:
n≥d摊=cdz(c≠o),
得函数方程(9)的逐段严格单调的可微的形式解为
U一厂(z)一tan(cx十C1)(c1为任意常数).
将此代入方程(9)有:
tan瞰z+y,h]一芒篆昔葛等割与.
当令z=Y一0,就有tancl=tan(2c1),从而有2cl—C1+nn(为,l整数),当取,l=0时,得fI一0.这样函数方程(9)的可微解为:
厂(z)一tancx.
参考文献
[1]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法EM].长沙:湖南科学技术出版社。1981;383—384.[zl
TomM.Apostol,Calculus(V01.II)[-MI,2ed.JohnWiley&SonsInc.,1969:533—535.
?●o●。争●-o.e.o.eo●o●o●o●‘o'●‘oP●o●?夸●。≯●1=H?o●●●o●o●o●‘o?●o●o●o●‘C'●o●●o■
(上接第53页)
3n≤锄<2a+6;
E^(叫)一
志(6ub+6uu一12曲一3a2志(36一训)2,
362—2w2),2口+6≤叫<26+‘I;
26+口≤伽<36;0,
叫<3a≥3b.
综上,我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式,此公式应用起来比较简便,有
一定的实际利用价值.另外,本文所举的例子均是三个独立随机变量的情形,其实对于三个不独立也不同分布的随机变量和的概率密度函数,定理同样适用,就不再一一举例赘述了.
参考文献
F1]盛骤.谢式千.潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2001:106.
[2]李国玉.三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法D].伊犁教育学院学刊.996.5:22一丛[3]李瑞阁.黄尧.服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[J].南阳师范学院学报,2007.6:18—20.[4]王泽晖.含参变量积分求导的推广[J].大学数学.2005.21:104—105.
这与文[2]的结果也是完全一致的.
卷积公式的推广
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
姜红燕, 高峰
淮阴工学院信息与计算科学系,江苏淮安,223003高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009,12(4)0次
参考文献(4条)
1. 盛骤. 谢式千. 潘承毅 概率论与数理统计 2001
2. 李国玉 三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法 1996(05)
3. 李瑞阁. 黄尧 服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[期刊论文]-南阳师范学院学报 2007(06)4. 王泽晖 含参变量积分求导的推广[期刊论文]-大学数学 2005
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈光曙 独立随机变量偶次幂之和的极限定理 -安徽师范大学学报(自然科学版)2003,26(4)
设{Xi}为相互独立的随机变量序列,研究了更一般的Sn(k)=n∑i=1 Xki,(k≥2的偶数)的极限定理,并且推广了文[1]的结论.
2.期刊论文 郑发美. ZHENG Fa-mei 离散型随机变量的条件独立及其性质 -齐齐哈尔大学学报(自然科学版)2009,25(5)
应用条件概率引入条件独立的概念,给出了离散型随机变量条件独立的含义及其性质.
3.期刊论文 董晴. DONG Qing 独立随机变量的中心极限定理 -重庆工学院学报(自然科学版)2007,21(7)
中心极限定理表明,某些原来并不服从正态分布的独立随机变量,其总和却渐近地服从正态分布.运用3个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理.
4.期刊论文 刘徽. LIU Hui 关于独立随机变量列部分和乘积的一个极限定理 -苏州科技学院学报(自然科学版)2006,23(4)
讨论了一类独立非负随机变量列部分和乘积的渐进结构,在一定条件下给出了一个中心极限定理.假设X1,X2,…,Xn,…为二阶矩存在的非负独立随机变量列,证明收敛性[n∏k=1(Sk/μk)1/γk]1/√Tnd→e√2N成立,其中N是标准正态随机变量,Sk=k∑i=1Xi,μk=E(Sk),σk=Var(Sk),γk=σk/μk,且Tn=n∑k=1k/σk.
5.期刊论文 金秀岩. JIN Xiu-yan 一类二元正态分布随机变量的线性函数相互独立的充要条件 -河北北方学院学报(自然科学版)2007,23(2)
根据随机变量相互独立的条件,推导了二元正态分布随机变量的线性函数η1=pξ1+qξ2与η2=mξ1+nξ2相互独立的充要条件是
nqσ22+rσ1σ2(np+mq)+mpσ21=O(其中m、n、P、q为非零实数,且np-mq≠O),并做了详细证明.在此基础上说明了随机变量ξ1+ξ2与ξ1-ξ2以及ξ1cosα+ξ2sinα与-ξ1sinα+ξ2cosα相互独立的充要条件是本文的特例.
6.期刊论文 来向荣. 程维虎. Lai Xiangrong. Cheng Weihu 复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性 -北京工业大学学报2000,26(3)
利用概率不等式,研究了复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性,得到复值独立同分布随机变量序列部分和同完全收敛性有关的几个定理.
7.期刊论文 朱永刚. 于林. Zhu Yonggang. Yu Lin Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi不等式 -三峡大学学报(自然科学版)2007,29(3)
证明了Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi型不等式,并利用该不等式证明了Banach空间值独立随机变量序列的强大数定律,所得结果刻画了Banach空间的p型性质.
8.期刊论文 王苏明. 赵人可. WANG Sum-ming. ZHAO Ren-ke 一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数 -长沙理工大学学报(自然科学版)2005,2(1)
给出了一类随机变量函数列i.i.d.的条件,并就一类满足某种条件独立的连续型随机变量序列,给出了其和的密度函数和分布函数.
9.期刊论文 丛玉华. 殷烁. 袁志琦 离散型随机变量相互独立的判别方法 -通化师范学院学报2006,27(2)
以二维离散型随机变量为例,给出了离散型随机变量相互独立的几个判别方法,并对其进行了比较.
10.期刊论文 幺志梅. 钱能生. YAO Zhi-mei. QIAN Neng-sheng 两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律
-湖州师范学院学报2008,30(1)
用概率论中常用的极限理论方法研究了两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律,并且在文中给出的条件下得到了强大数定律的结果,这些结论可以推广到r维参数的情形.
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范文二:卷积公式的应用注记
卷积公式的应用注记
第27卷第1期中南林业科技大学(自然科学版)
2007年2月
JournalofCentralSouthUniversityofForestry&Technology(NaturalScience) V01.27No.1
Feb.2007
文章编号:1OOO一2502(2007)01一O152一O3
卷积公式的应用注记
罗建华
(中南林业科技大学理学院,湖南长沙,410004)
摘要:介绍了连续型和离散型随机变量的卷积公式,研究其在几个重要分布的"可
加性"的证明中的应用,最后举例说明了连续
型随机变量卷积公式的一个应用.
关键词:数学;概率论;正态分布IPoisson分布}卷积
中图分类号;O211.6文献标志码:A
TheNotesofConvolutionFormulaandItsApplications
LU0Jian—hua
(SchoolofSciences,CentrMSouthUniversityofForestryandTechnology,Changsha410004,Hunan,China)
Abstract:Thispaperpresentsastudyoftheconvolutionformulaofcontinuousrandomvariableanddiscreterandomvariable?It
furtherdiscussesitsapplicationtotheproofoftheadditivepropertyforafewimportantdistributions.Anexampleoftheapplication
isgivenfortheillustrationoftheformula.
Keywords:mathematics;probabi!ity;normaldistribution;Poissondistributionconvolution
离散型随机变量的二项分布,Poisson分布以及连续型随机变量的正态分布,r一分
布(其在推导数理统计中
有重要应用的一分布,,一分布,F一分布时起着关键性的作用)是概率统计中重要而基础的内容,准确而熟练地
掌握好它们的性质是学习好概率论与数理统计课程的前提条件.有关二项分布,Poisson分布,正态分布及r一
分布的"可加性"的证明,一般的教材中未见系统而完整地证明(见文献I-1~4-I).下面介绍卷积公式,然后讨论
它们在"可加性"的证明中的应用,最后举例说明它的一个应用. 1卷积公式
在求两个相互独立的随机变量(连续型或离散型)和的分布时,我们得出了卷积公式n一.
设连续型随机变量,相互独立,它们的密度函数分别为(z),(.y),则+7的密度函数+()为:
+(名)=*=竺o.(z)(z--x)dx=.f~_o.(z)(z--x)dx(1) 设离散型随机变量,相互独立,它们的概率函数(分布列)分别为P(=)=nt,k=0,1,2,…;P(,]----k)=
b,=0,1,2,….则+的概率函数为:
P(+=)=?以^一^=?以一t,=0,1,2,…
^=0t=0
2主要结果
(2)
定理1设随机变量,?(,),,?(.,),且与相互独立.则+,?(n+n.,?i+i). 1::!1—(x2--—
a2)2
证明这里-一去2《,z.去.-
根据卷积公式(1),我们有
收稿日期:2006—09—14
作者简介:罗建华(1965--),男,湖南铷阳人.讲师,硕士.研究方向:随机过程及应用
第1期罗建华:卷积公式的应用注记153
+
)一*:一J.竺oo)^—x)dx===去ooedx
一
J.竺ooexp{一:1獗uz2(x--a1).+~(z--al—az--x+口).]jdz 一
J.竺ooexp{一[(12+z~)(x--a1).一2~(x--a1)(z--a1--az)+~(z--al--az)2]}dz
一exp
{一22一(z--al--az)卜1'…aIa2)'
一—————l_===e2'+)
2兀?;+;
所以+,?(口+口.,?),证毕.
一
般地,依归纳法可证,若邑,?(口,ai),i=1,2,…,,且各,相互独立,则. Efi,~N[.a,,.)专].
由此可见个相互独立的具有正态分布的随机变量之和的分布类型不变.这一性质,
称之为"可加性"或
"再生性".
定理2设随机变量,r(口,),,r(口,),且与相互独立.则+~F(al+a2+l,).
证明这里(zt)一z;le—l,z?(0,..);:(z.)一/ze一2,zz?(o,..)? 根据卷积公式(1),我们有
+()一J.竺oo(z)^(一x)dx
1
一
l口2r(a1+1)(口2+1)
1
J.z.(一.z)口2e一专+一'dz
一两干.
1
一雨再而.
一
号J.5z口l(z--x)dx
一
号口l+口2+1.
即得+,r(口++1,).最后一等式,是由于公式
B(,)一loxm--1(1一z)一dz一
及,
J.z.(Z--.27)dz—zz~1a2(1一吾dx=/$(x-).ll(1一导d(X)-----(~oy.(1--y)*zdy)z~'+口2
证毕.
一
般地,依归纳法可证,若毫,r(?,),i----1,2,…,,且各相互独立,则. ,,r(互啦+一1,).
由此可见:r一分布亦具有"可加性".
定理3设随机变量,6(,户),,6(z,户),且与相互独立.则+,6(+z,户). 证明这里P(1一)一c,Pqnl-'9i=0,1,2,…,1;P(~:z----j)一,户g,_0,1,2,…,2;其中:q=l--p.
根据卷积公式(2),我们有
P(+一是)=户q,Ck-'g?L至Ck-户hq2
;c:+:q,愚一0,1,2,…,1+2
这就是说,+,6(+.,户),证毕.
一
般地,依归纳法可证,若,,b(n,户),一1,2,…,,且各,相互独立,则. 至,,6(至,户).
由此可见,二项分布亦具有"可加性".
定理4设随机变量,P(),,P(),且与相互独立.则-+,P(-+). 证明~_tgP(k;1)一P(1一是)一e,P(k;)一P(2一是)一是A21,一-a2,愚一0,1,2,…?
根据卷积公式(2),我们有
一
主e,主ik
:e-%+h),愚一o'12...
这就是说,,+,P(+.),证毕.
154中南林业科技大学(自然科学版)第27卷 一
般地,依归纳法可证,若,,P(),i=0,1,2,…,,l,且各,相互独立,则?毫,P(九).
由此可见,Poisson分布亦具有''可加性".
例设与相互独立,且在[0,1]内服从均匀分布,7在[0,zl~服从Simpson分布:
fyy?[0,1]
()一{2一yE[1,2]
【0其他
求+的分布.
解根据卷积公式(1),我们有
+()一R-()=()(z--x)dx=gf,(z--x)dx=I'-一l(y)dy, 当d0或(z--t)>2,fflJz>3时,+,)一0;当0<?1时,+)一一?.;当O<(z--1)?
1,即1
0
<?2时,+,()一—lydy+I~(2--y)dy=一+3一?;当l<(z--1)?2,即2<?3
时,+(Z,.2一l(2--/./
1n
)d一1一3+?.
综合各条件,得:
O
z
2
--
Z2他一专
丢3舛号
?0或z>3
0<z?1
l<z?2
2<z?3
对于连续型随机变量来说,求其分布等同于求其分布密度函数;对于分段函数卷积的求法,先限制(取定)
一
个函数,然后进行积分变换,最后利用函数的表达式分段讨论求出积分. 3小结
通过学习卷积公式应用于"可加性"的证明,必将有助于理解与记忆上述各分布的"可加性".当然,对于学
习了特征函数的读者来说,上述各分布的"可加性"均可利用特征函数的性质较简洁地加以证明,本文旨在系统
说明卷积公式在初等概率论中的一些应用,至于其在积分变换钉,随机过程.等课程中的应用这里不再赘
述.
参考文献:
E1]梁之舜,邓集贤.概率论及数理统计(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2005,145—147.
[2]KallenbergO.FoundationsofModernProbability(2ndedition)[M].NewYork;Springer,
2002.15,30.
[3]何书元.概率论[M].北京:北京大学出版社,2006.I13—115. [43盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001,95.
[53李红,谢松法.复变函数与积分变换(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003,201--205,225--227.
[63方世袒,罗建华.双复合Poisson风险模型[j].纯粹数学与应用数学,2006,22(2):271--278.
[73ChengShixue,GerberHU,ShiuESW.Discountedprobabilitiesandruintheoryinthecom
poundbinomialmodelEJ'].Insurance:Mathem—
aticsandEconomics,2000,26:239—250.
[8]EmbrechtsP,KluppelbergC,MikoschT.ModellingExtremalEventsforInsuranceandFinance[M].NewYork:Springer,1997,28—30.
[本文编校:邱德勇]
范文三:卷积公式
卷积公式
卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和(积分)表示,然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和,而时移量u (f(t-u)),再对u 积分,就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)
卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?
卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)
假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表
述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。
再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大, 它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算而已。就跟“蝶形运算”一样,怎么证明,这是数学系的人的工作。
在信号与系统里,f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。
学过信号与系统的都应该知道,时域的卷积等于频域的乘积,即有 Y(s)=F(s)×H(s)。(s=jw,拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式)
有一点你必须明白,在通信系统里,我们关心的以及 要研究的是信号的频域,不是时域,原因是因为信号的频率是携带有信息的量。
所以,我们需要的是Y(s)这个表达式,但是实际上,我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式,但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t),所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系,就要用到卷积运算。
系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积,而卷积为高等数学中的积分概念。建议你去看看定积分的内容。特别注意的是:概念中冲击函数的
幅度是由每个矩形微元的面积决定的。
信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间,通常就是时域到频域,(还有z 域,s 域),信号的能量就是函数的范数(信号与函数等同的概念),大家都知道有个Paserval 定理就是说映射前后范数不变,在数学中就叫保范映射,实际上信号处理中的变换基本都是保范映射,只要Paserval 定理成立就是保范映射(就是能量不变的映射)。
傅立叶变换的意义和卷积(ZZ) 收藏
(一)傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。但是该算法到底有何意义呢?
要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
" 任意" 的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!
1. 傅立叶变换是线性算子, 若赋予适当的范数, 它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出, 而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数, 从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解. 在线性时不变的物理系统内, 频率是个不变的性质, 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。
傅立叶变换是图像处理中最常用的变换。它是进行图像处理和分析的有力工具。
范文四:卷积公式
f (x , y ) =2x +y , 0
用z 替换y ,对x 积分可以得到z 的概率密度f (z ) =
现在分情况确定x 的上下限
当1<><>
当
1<><><><>
练习: ?f (x , z -x ) dx 其中0
0, ?(x +y ) e f (x , y ) =?2? 其他?0,
Z=X+Y
解:x>0且z-x>0,所以0<><>
练习:
?x +y , 0
Z=XY
解:替换后0<><1,>1,>
所以z<><>
练习 ?1, 0
求 Z=2X-Y的概率密度
解:
从而f (z ) =1-
z 2
教材例题:
x>0, 0<><>
解:x>0, 0<><>
z-20 0 z 如果z<><><>
如果z>20,交集z-20<><>
教材练习:
0<><><><>
Z=X+Y
解:换掉y ,得到0<><1,>1,><><>
0<><><><>
如果1<><><><>
如果2<><><><>
参考资料:概率论第3章. 百度文库. 光昌国
概率论与数理统计(14).百度文库. 刘春华00
概率论、数理统计与随机过程 第三章 张帼奋主编
范文五:卷积公式的妙用(可编辑)
卷积公式的妙用
第 5 卷 第 1 2 期 当 代 教 育 理 论 与 实 践 V o l . 5 N o . 1 2
2 0 1 3 年 1 2 月 T h e o r y a n d P r a c t i c e o f C o n t e m
p o r a r y E d u c a t i o n D e c . 2 0 1 3
?
卷 积 公 式 的 妙 用
胡 杨 利 , 李 应 求 , 赵 晓 芹
( 长 沙 理 工 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 , 湖 南 长 沙 4 1 0 0 0 4 )
摘 要 : 在 处 理 二 维 连 续 型 随 机 变 量 函 数 的 分 布 时 , 卷 积 公 式 不 仅 可 用 于 求 两 个 独 立 随 机 变 量 和 的 概 率 密 度 函 数 , 还
可 用 于 求 两 个 独 立 随 机 变 量 线 性 和 的 概 率 密 度 函 数 。
关 键 词 : 卷 积 公 式 ; 独 立 ; 概 率 密 度 函 数
中 图 分 类 号 : G 6 3 3 . 6 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 1 6 7 4 - 5 8 8 4 ( 2 0 1 3 ) 1 2 - 0 1 8 5 - 0 2
- x
概 率 论 与 数 理 统 计 是 普 通 高 校 经 济 管 理 类 和 工 科 类 e , x > 0
解 法 一 经 过 计 算 , f ( x ) = , f ( y ) =
X Y
专 业 的 一 门 重 要 公 共 基 础 课 . 对 这 些 非 数 学 专 业 的 学 生 来 0 , 其 它
- 2 y
说 , 处 理 二 维 连 续 型 随 机 变 量 函 数 的 分 布 是 一 大 难 点 , 因
2 e , y > 0
.
为 部 分 学 生 的 二 重 积 分 不 熟 练 , 计 算 容 易 出 错 . 很 多 教 材
0 , 其 它
在 处 理 独 立 随 机 变 量 和 的 分 布 时 , 都 介 绍 了 卷 积 公 式 : 借
显 然 , 对 任 意 的 x , y , f ( x ) f ( y ) = f ( x , y ) , 即 X 、 Y 独
X Y
助 一 重 积 分 , 直 接 根 据 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 的 概 率 密
立 . 由 卷 积 公 式 ( 2 ) ,
+ ?
度 函 数 求 出 其 和 的 概 率 密 度 函 数 , 从 而 简 化 计 算 . f ( z ) = f ( z - 2 y ) f ( y ) d y . Z X Y
?
- ?
卷 积 公 式 设 X 、 Y 是 两 个 独 立 的 连 续 型 随 机 变 量 , 概 因 为 f ( z - 2 y ) f ( y ) > 0 y > 0 , z - 2 y > 0 0 < y=""><>
? ?
X Y
率 密 度 函 数 分 别 为 f ( x ) 和 f ( y ) , 则 其 和 Z = X + Y 的
概
X Y
z / 2 , 所 以 z > 0 时 ,
率 密 度 函 数 为
z / 2 z / 2
+
?
- ( z - 2 y ) - 2 y - z - z
f ( z ) = e ? 2 e d y = 2 e d y = z e , f ( z ) = f ( x ) f ( z - x ) d x ( 1 ) Z
Z X Y ? ?
?
0 0
-
?
- z
+ ?
z e , z > 0 ,
( 2 )
= f ( z - y ) f ( y ) d y . 即 f ( z ) =
X Y
? Z
- ?
0 , z 0 .
?
虽 然 卷 积 公 式 针 对 的 是 两 个 独 立 随 机 变 量 直 接 求 和 在 此 解 法 中 , 独 立 , 虽 然 不 是 求 的 分 布 , 而 X 、 Y X + Y
的 情 形 , 但 它 一 样 可 以 巧 妙 地 用 于 计 算 两 个 独 立 随
机 变 量
要 求 X+ 2 Y 的 分 布 , 用 y 表 示 Y 的 取 值 , 将 2 Y 看 作 一 个
整
线 性 和 的 概 率 密 度 函 数 .
体 , 根 据 直 接 用 来 表 示 的 取 值 , 从 而
Z = X + 2 Y , z - 2 y X
例 1 设 二 维 连 随 机 变 量 的 联 合 概 率 密 度 函 数
( X , Y )
套 用 卷 积 公 式 ( 2 ) 一 样 得 到 了 以 上 正 确 答 案 .
为
以 下 介 绍 两 个 定 理 , 分 别 见 文 献 [ 1 ] , P 1 3 8 , 引 理 3 . 1
- x - 2 y
2 e , x > 0 , y > 0 ,
f ( x , y ) =
和 文 献 [ 2 ] , P 1 1 8 , 定 理 2 . 6 . 1 .
0 , 其 它 ,
定 理 1 设 随 机 变 量 X 、 Y 相 互 独 立 , 若 g ( x ) 、 h ( x ) 是
令 Z = X + 2 Y , 求 f ( z ) .
Z
两 个 连 续 或 逐 段 连 续 的 函 数 , 则 g ( X ) 与 h ( Y ) 相 互 独 立 .
求 解 此 题 常 用 的 方 法 是 先 求 Z 的 分 布 函 数 , 再 求 其
概
定 理 2 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f ( x ) , y=
X
率 密 度 函 数 , 但 在 求 Z 的 分 布 函 数 时 , 须 利 用 二 重 积 分 计
- 1
严 格 单 调 , 且 反 函 数 有 连 续 的 导 数 , 那 么
算 . 在 此 , 我 们 尝 试 利 用 卷 积 公 式 解 此 题 . g ( x ) g ( y )
Y =
收 稿 日 期 : 2 0 1 3 - 0 8 - 3 0
?
基 金 项 目 : 湖 南 省 普 通 高 校 教 学 改 革 研 究 项 目 ( 湘 教 通 〔 2 0 1 1 〕 3 1 5 号 ) ; 大 学 生 创 新 性 实 验 项 目 “ 浅 析 贝 叶 斯 方 法 在 生 活 中 的 应 用 ” 阶
段 性 成 果
作 者 简 介 : 胡 杨 利 ( 1 9 7 6 - ) , 女 , 湖 北 松 滋 人 , 副 教 授 , 博 士 , 主 要 从 事 随 机 环 境 中 分 枝 过 程 研 究 。
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1?1-(x>