范文一:常见几何体的表面展开图
常见何的表面展见见几体
将个几体礼装礼一何的外表面展见~就像打见一件物的包见,物外形不同~包装状几体棱见的形也各不相同,那见我见熟悉的一些何~如见柱、见见、柱的表面展见见是什见形,状呢
见柱的表面展见见是见两个作底面和一见方形个作见面,(1)()()
见见的表面展见见是一见个作底面和一扇形个作见面,(2)()()
棱两个柱的表面展见见是完全相同的多见形作底面和见方形几个作见面(3)()()
正方的平面展见见体(4)
在见本中、见见中见常遇到见大家辨见正方表面展见见的见目,下面列出正方会体体
的十一见展见见~供大家考,参
例下列四见见中~见见折可以见成一柱的是叠个棱1 ( )
1 / 3
分析,由平面见见成一柱~我见可以见手见操作~也可以展见富的想像个棱践丰~
但我见最见见的是要住柱的特征~柱的平面见是由完全一见的多见形抓棱棱两个且在(平面见的见两和见方形见成的,几个)
解,正答案见确,C
点见,特见要注意的是完全一见的多见形是柱的上下底面见形两个棱两个棱柱(展见后~见见形是位于展见见的见两个两~故不见~外定见方形~到底是另几个几个)D
呢它个数数~的就是上下底多见形的见~故见,C
例如见所示的平面见形是由见何见的表面展见的,哪几几体2
(1)(2)(3)
分析,何的表面展见见~见见是看见面和底面的形,找几体状
底面是见的何有见柱、见见、见台,几体
见面是扇形的何是见见,几体
见面是见方形的何是柱、见柱,几体棱
解答,见见~见柱~见台,(1)(2)(3)
例如见所示~在正方的相距最见的见点见体两个3
逗留着一只见见和一只蜘蛛~蜘蛛可以最短的从哪条
路爬到见见见径见明的理由,你?
分析,在解见道见见~正方的展见见见解见有大的体很
帮从助~由于作展见见有各见不同的方法~因而蜘蛛到见见可以用见不同方法见见最6短路~而其中每一路都通见见见正方径条径体个棱见点的的中点,2
解,由于蜘蛛只能在正方的表面爬行~所以只需作出见正方的展见见体个体并
用点见出见见和蜘蛛的位置~根据“点之见见段最短”见一常见可知~见见见点的见两两个
段就是最短的路,径
2 / 3
点见,见见求最短路程是多少及求的见角是多少等见见~同见容易犯的见见是与棱学,
用柱见算路程~可求出的却不是最短的,棱来
通见见见见容的见~我见一定要见成善于见察~见见见见律的良好见见~只有见见~内学随找
才能把所知见融见通,学会
3 / 3
范文二:常见几何体的表面展开图
常见几何体的表面展开图
将一个几何体的外表面展开,就像打开一件礼物的包装纸.礼物外形不同,包装纸的形状也各不相同.那么我们熟悉的一些几何体,如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢?
(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面) 和一个长方形(作侧面) .
(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面) 和一个扇形(作侧面) .
(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面) 和几个长方形(作侧面
)
(4)正方体的平面展开图
在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目.下面列出正方体的十一种展开图,供大家参考.
例1 下列四张图中,经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
1 / 3
分析:由平面图围成一个棱柱,我们可以动手实践操作,也可以展开丰富的想像,但我们最关键的是要抓住棱柱的特征,棱柱的平面图是由两个完全一样的多边形(且在平面图的两侧) 和几个长方形组成的.
解:正确答案选C .
点评:特别要注意的是两个完全一样的多边形是棱柱的上下两个底面图形(棱柱展开后,这两个图形是位于展开图的两侧) ,故不选D ,另外定几个长方形,到底是几个呢,它的个数就是上下底多边形的边数,故选C .
例2如图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的?
(1) (2) (3)
分析:找几何体的表面展开图,关键是看侧面和底面的形状.
底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台.
侧面是扇形的几何体是圆锥.
侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱.
解答:(1)圆锥;(2)圆柱;(3)圆台.
例3 如图所示,在正方体的两个相距最远的顶
点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛,蜘蛛可以从哪条最
短的路径爬到苍蝇处? 说明你的理由.
分析:在解这道题时,正方体的展开图对解题有很大的帮助,由于作展开图有各种不同的方法,因而从蜘蛛到苍蝇可以用6种不同方法选择最短路径,而其中每一条路径都通过连结正方体2个顶点的棱的中点.
解:由于蜘蛛只能在正方体的表面爬行,所以只需作出这个正方体的展开图并用点标出苍蝇和蜘蛛的位置,根据“两点之间线段最短”这一常识可知,连结这两个点的线段就是最短的路径.
2 / 3
点评:这类求最短路程是多少及求与棱的夹角是多少等问题,同学们容易犯的错误是:用棱柱来计算路程,可求出的却不是最短的.
通过对该节内容的学习,我们一定要养成善于观察,随时寻找规律的良好习惯,只有这样,才能把所学知识融会贯通.
3 / 3
范文三:几何体的展开图
几何体的展开图
中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)
几何俸冁曩国
湖北省云梦县曲阳高级中学(432500)彭冶立
在研究空间几何体问题时,展开是一种常
见的图形变换形式,是”降维”思想的生动体
现,也是新课程标准的要求.人教A版《数学2》
的空间几何体是在初}】学习了空问几何体的
展开与折叠图后进一步学习,研究的,它在历
年高考巾多以选择题,填空题的形式出现,考
生得分率不高.如何准确快速地解决这类问题
呢?我将作如下的探究论述.
一
,空间几何体的展开与折叠
我们能够将窄问形平面化,同时也将平
面图形立体化,这是火家必须具备的基本功.
1.展开
把一些简单的多面体沿着多面体的某些
棱将它剪开平铺在同一平面内而成平面图形,
这个平面网形叫该多面体的平面展开图.着重
研究棱柱,棱锥,圆柱,圆锥的展开图.
例l作正方体的展开图
解正方体的展开网可以分为4类11种
图形.
(1)1—4—1型,如图1,中间一行4个作侧
面,两边各1个分别作上下底面,共有6种.
I1
(2)2—3—1型,如网2,中间3个作侧面.上
(或下)边2个那行相连的正方形作底面,不相
(3)222型,成阶梯状,如图3左
3
(4)33型,两行只有1个正方彤相连,如
图3右.
说明正方体的表面展开图的规律:一线
不过四,田凹应弃之,相问,”Z”端是对面,问
二,拐角临面知.这个特殊的空间几何体的展
开图,帮我们能将其它空间几何体的展开作了
预备.考查了我们空间想象力和实际动手力,
值得大家认真研究.
2.折叠
将一些平面图形沿着某边折叠成立体
几何图,这个立体几何图叫该平面图的折叠
图.将平面图形立体化时,要充分发挥我们的
空间想象力.着重研究棱柱,棱锥,圆柱,棱台,
圆台的展开图的立体化图形.
例2如图4是三个几何体的侧面展开
冈,请问各是什么几何体?
(2)(3)
图4
解展开图的空间几何体为(1)五棱柱;
(2)五棱锥;(3)三棱台,如图5所示.
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图2图5
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寸
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础
关口
口
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中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)
说明本题考查学生空问想象能力,要求
对一些常见的立体图要熟悉,甚至要用到棱
柱,棱锥,棱台的定义来判断几何体的形状.
例3给出两块正三角形纸片(如图6),要
求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的
三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角
形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方法,分别
用虚线标示在图中,并作简要说明.
??
??
6
解如图?所示,沿正三角形三边中点连
线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱
锥.如图?所示,正三角形三个角上剪出三个
相同的四边形,其较长的一组邻边为三角形边
1
长为?,有一组对角为直角,余下部分按虚线
折起,可成为一个缺上底的底面为正三角形的
三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成
这个底面为正三角形的三棱柱的上底.
二,展开图的实际应用
具备了空间几何体展开与折叠的基本功,
是为了我们能够解答这种常见的题型,大致可
分为以下几种类型,也是高考常考内容之一.
1.正方体展开图的应用
主要考查正方体的展开与折叠的运用,注
意点,线,面之间的对应位置关系.
例4如图7是正方体的展开图,如图将
它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四
条线段所在直线是异面直线的有——
对.
解将正方体展开图还原为正方体如图
8,易知异面直线有:AB与CD,AB与GH,EF
与GH,共3对.
\\GD
,I\
图7
例5(2009全国卷
?)纸制的正方体的六个
面根据其方位分别标记为
上,下,东,南,西,北,现在
沿该正方体的一些棱将正
方体剪开,外面朝上展开,
图8
D
?
上东
图9
得到如图9的平面图形,则标”?”的面的方位
是().
(A)南(B)北(C)西(D)下
解将所给图形还原
为正方体,如图1O所示,
最上面为?,最里面为上,
将正方体旋转后让东面指
向东,让”上”面向上,可知
“?”的方位为北,故选
(B).
图1O
上
说明例4与例5主要由展开图形还原成
立体图形,需要沿某些边折叠和旋转,才能还
原成符合题意的正方体,要分清折叠和旋转前
后的位置关系的对应.
例6长方体AC.
的长,宽,高分别为3,2,
1,从A到C沿长方体
的表面的最短距离为
().图11
c
[二口(C)3Bc
(D)24?5-图l2
解如图12,将侧面ABB】A】和侧面
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4?电子邮箱:@.nnaj.rna.net.cn
寸鲞学黪豢?
中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)
BCCB展开,则有AC一~/5+1一?26.即经
过侧面ABBA和侧面BCCB时的最短距
离26.
如图13,将侧面ABBA和底面
AB(D展开,则有AC一~/3+3一3?2.即
经过侧面ABB.A和底面ABCD时的最
短距离是3?2.
D1
IAID
D
【刳13瞄l14
如图14,将侧面ADDA和底面
AB.cD展开,则有AC一~/4+2.===2?5.即
经过侧面ADDA和底面AB.CD时的最
短距离是2?5.
由于3?2<2?5<26,.?.由A到c的
正方体表面上的最短距离为3?2.
说明本题主要考查长方体以不同方式
展开成平面图形,求出表面最短距离,以及思
考问题的严密性.
2.三棱柱展开图的应用
三棱柱的侧面展开图为矩
形,两底展开图为三角形,注意
展开方式.
例7如图15,已知正三棱”
柱ABC—A.BC.的底面边长
为1,高为8,一质点自A出发,
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A
线的长为.
解将正三棱柱沿侧棱?
AA展开,其侧面展开图如
图16,沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达A点的最短路
线的长是AD+DA.,延长
AF至M,使AF=FM,则
/
/
/
7
图15
的最短路
E(A)
D
X\
,
/\
/
F(A】)
图l6
AD—DM,则AD+DA的最短路线长为
AM,即AM一干一10.
说明绕行两周应理解为展开图的每条
侧边经过两次,求线段最值时,用到了几何的
对称性,能有效考虑同学们运用综合知识的能
力.
3.三棱锥展开图的应用
沿三棱锥的某条棱
剪开,侧面展开图是三个
三角形构成的多边形.
例8正三棱锥
BCD的底面边长为n,侧
棱长为2n,过点B作与侧
棱AC,AD相交的截面,
如图17,在这样的截面三
角形中,求周长的最小
值.
解如图18,由展开
图知AMN一A
NM/BMC一/A
图17
fD
图18
D
MN.AMN一ACD===ACB,
.
?
.BMC一MCB,
..BM一BC一&.
同理』\,B一?,
.
?
.
?ACD??BCM,
C?M一a
,
AM一号口,
一MNAM
义?
..
MN一?&.
.
0
.
B?B=2n+寻n一n,
周长最小值为.
说明求解这类最短问题时,一般策略是
空间几何体平面化,利用平面几何知识进行求
解.
(下转第6页)
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中学生数学?2011年5月上?第417期(高中)
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北京(100048)玲珑后士
两个非零向量的数量积指的是它们长度
的乘积再乘以它们之间夹角的余弦.也就是”
?
b=Ja1.Jb1.COSOf,其中是向量和之
问的角.
因为JC08a?I?1,
所以1a?b1?1a1.1b1?
和口?6?fa1.f6f?
在不等式?中,当n和b共线时达到等号;
在不等式?中,当n和b同向时达到等号.
此外,我们注意,如果在直角坐标系中已
知向量的坐标,那么向量n(a,a)和b(6,6.)
的数量积以及向量n的长可根据公式n?b===
a?6+n?b:,IaI一~/n+a;求得.因此
ab+a.6?~/n+ai?~/6+.?
类似的公式对于三维空间的向量也是正
确的:
以?b=&l?b1+a2?b2+a3?b3(1.a)
lal一?a+&;+口j(2.a)
albl+a2b2+ab3?~/d+&;+n:?
~/6++b;(3.a)
下面考察向量的数量积在解方程,求最值
以及证明不等式中的一应用.
(上接第5页)
4.圆柱展开图的应用
圆柱的侧面展开图为矩形,宽
为底面网的周长,长为母线长.一
例9如图l9,底面半径为
l,高为2的圆柱,在A点有一只
蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由
A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最
短距离是多少?
一
,解方程或方程组
例1解方程,//z一2+~/4一一2.
解研究向量”(v/z一2,,//4一z)和(1,1).
则lUl一?2,l一?2,因为”??l”l?{l,所以
“?=~/一2+,/4z?lM?ll一2.在已知
的不等式中向量同向时达到等式,也就是
一
,即一3.1
f+y4+Z,4=:=1,
例2解方程组{z++2一
解我们考察三维向量,则不等式??
l”1.}I,对于向量”(&l,a2,a.)和(b1,b2,
b.)的坐标形式为:ab+ab+a.b.?
~/”+czi+.i?~/6+6i+6;.
为了解问题,我们考察向量”(z,Y,.)和
(1,1,2).方程组意味着第一个向量的长等于1,
而这两个向量的数量积等于?7.就是说??7一”?
?I二1.1I一1?,一,得出矛盾.
由此得方程组没有解.
(下转第7页)
解将圆柱的侧面沿AB
剪开,展开成为矩形,如图2O,
AB为蚂蚁爬行的最短距离.
即AB一丽一
2,/1.图20
)
B(鳓
说明处理圆柱表面上两点的最小值时,
要充分利用它的展开图来解决问题.
(责审张思明)
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6?电子邮箱:@cnimtjm.nct.cn
q参学黪黪
范文四:第3课 常见几何体的平面展开图
第3课 常见几何体的平面展开图
姓名 班级 学号
一、学习目标:
使学生了解常见几何体的展开图,重点理解是正方体的平面展开图, 体会一个正方体的
平面展开图是如何形成的以及一个平面图形怎样围成一个正方体。
二、重点和难点
重点:正方体的平面展开图;
难点:平面展开图是如何形成的以及一个平面图形怎样围成立体图形。
三、新课学习
我们把一些像墨水瓶盒、粉笔盒这样的纸盒沿它的表面适当剪开,可以展平成平面图形。
这样的平面图形叫做相应立体图形的展开图。
1、 观察下列各立体图形的平面展开图:
长方体
圆柱
三棱柱
正方体
圆锥
2、剪一剪、画一画:动手把一个正方体的包装盒沿一边剪开,铺平,看看它的展开图由哪些平面图形组成;再把展开的纸板复原,你有什么体会? 再把你想到的展开图画出来,
。即学即练:
同一个立体图形,按不同的方式展开图是不一样的,以下的图形是正方体的展开图的有 (只要求填编号)。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨ ⑩
四、课堂练习
A 组
1、以下是一些常见图形的平面展开图,你能说出它们是由哪些图形展开:
(1) (2) (3) (4) (5)
(1):______________;(2):______________;(3):______________;
(4):______________;(5):______________.
2、下面形状的四张纸板,经过折叠可以围成一个直三棱柱的是( )
3、下列图形折叠起来,它能变成正方体的是( )
4、下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是( )
A
C D
5、如图是正方体的展开图,则“祝、你、学”
三个字的对面分别是( )
A 、习、愉、快 B 、习、快、愉
C 、快、愉、习 D 、愉、快、习
6、下面的图形是三棱柱的展开图吗? (你能不能发现它们的一些规律)
B 组
1、下面是一多面体的展开图,平面图形的旁边都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果A 面在多面体的底部,面会在上面?
(2)如果面F 在前面,面B 在左面,?
(3)如果面C 在右面,面D 在后面,?
2、一个正方体相对的面上所标的两个数互为相反数,
如图是这个正方体的展开图,则x + y = 。
3、如图,将图示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是( )
(提示:用排除法)
C 组
1、如图,一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点,哪条路径最短? 说明理由。
范文五:第3课常见几何体的平面展开图
第3课 常见几何体的平面展开图
姓名 班级 学号
一、学习目标:
使学生了解常见几何体的展开图,重点理解是正方体的平面展开图, 体会一个正方体的平面展开图是如何形成的以及一个平面图形怎样围成一个正方体。
二、重点和难点
重点:正方体的平面展开图;
难点:平面展开图是如何形成的以及一个平面图形怎样围成立体图形。 三、新课学习
我们把一些像墨水瓶盒、粉笔盒这样的纸盒沿它的表面适当剪开,可以展平成平面图形。
这样的平面图形叫做相应立体图形的展开图。
1、 观察下列各立体图形的平面展开图:
长方体
圆柱
三棱柱 正方体 圆锥
2、剪一剪、画一画:动手把一个正方体的包装盒沿一边剪开,铺平,看看它的展开图由哪些平面图形组成;再把展开的纸板复原,你有什么体会? 再把你想到的展开图画出来,
1
。即学即练:
同一个立体图形,按不同的方式展开图是不一样的,以下的图形是正方体的展开图的有
(只要求填编号)。
? ? ?
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四、课堂练习
A组
1、以下是一些常见图形的平面展开图,你能说出它们是由哪些图形展开:
(1) (2) (3) (4) (5)
(1):______________;(2):______________;(3):______________;
(4):______________;(5):______________.
2、下面形状的四张纸板,经过折叠可以围成一个直三棱柱的是( )
D、 B、 C、 A、 2
3、下列图形折叠起来,它能变成正方体的是( )
4、下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是( )
A B C D
5、如图是正方体的展开图,则“祝、你、学”
三个字的对面分别是( )
A、习、愉、快 B、习、快、愉
C、快、愉、习 D、愉、快、习
6、下面的图形是三棱柱的展开图吗?(你能不能发现它们的一些规律)
B组
1、下面是一多面体的展开图,平面图形的旁边都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果A面在多面体的底部, 面会在上面?
(2)如果面F在前面,面B在左面, 面会在上面? (3)如果面C在右面,面D在后面, 面会在上面?
3
2、一个正方体相对的面上所标的两个数互为相反数,
如图是这个正方体的展开图,则x + y = 。
3、如图,将图示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是( ) (提示:用排除法)
C组
1、如图,一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点,哪条路径最短?说
明理由。
4
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