范文一:流体力学基本方程
流体力学基本方程:
流线迹线引入势函数
非惯性坐标系
Bernoulli
’
s equation: derived from the N-S momentum equation and the energy equation under various sets of conditions
N-S :
energy:
一:obtain from N-S equation 1:inviscid flow
,N-S equation change to Euler equation
2:
Constant density(常密度), isothermal(绝热), and isentropic(等熵) flows are barotropic(正压)
B=
3:
4:the flow is irrotational
3’:unsteady ,
irrotational
二:obtain from energy equation
1:
2:
In the absence of viscous stresses and heat transfer
3:constant-viscosity ,constant-density , irrotational flow,
incompressible
4:
constant-viscosity ,constant-density , irrotational flow
The Boussinesq Approximation
The Boussinesq approximation applies if the Mach number of the flow is small, propaga- tion of sound or shock waves is not considered, the vertical scale of the flow is not too large, and the temperature differences in the fluid are small. Then the density can be treated as a constant in both the continuity and the momentum equations, except in the gravity term.
范文二:流体力学三大方程推导
流体力学连续性方程,动量方程,能量守恒方程推导过程
——广州新宿一次狼
我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程,动量方程和能量守恒方程,就整理出来,分享一下。其中涉及到欧拉法,场论,随体导数,流体力学连续性方程(即质量守恒方程),流体力学N-S 方程(即动量方程),动量方程在流体力学中有两种,一种是理想流体动量方程,一种是粘性流体动量方程,粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程,也简称N-S 方程。最后就是能量守恒方程。
首先要讲一下流体力学的欧拉法,在课本中还讲了拉格朗斯法,因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的,和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法,以免产生混乱。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道,则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式:假设空间一点的坐标(x,y,z,t),其中x,y,z 是该空间的坐标,t是此刻时间。u,v,w是这一空间点的三个方向速度。p,ρ,T 是这一空间点的压力,密度和温度。这样就有了每一个点的速度,压力,密度,温度,就可以描述运动流体的状态。这里需要强调一点的是下面这六个式子,可以换一个角度把他们看成方程,对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助,比如u=x+2y+3z
u =u (x , y , z , t );
v =v (x , y , z , t );
w =w (x , y , z , t );
p =p (x , y , z , t );
ρ=ρ(x , y , z , t );
T =T (x , y , z , t )
因为后面需要随体导数的概念,还需要把速度函数表示成矢量的形式。前面u,v,w 是标量,是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
ν=ν(r , t )
d ν导数。上面定义了空间一点速度,那么加速度就是。设有一流体质点在运动,t时刻在dt M 点(x,y,z,t),速度为ν(M , t ) ,过了?t 之后,在M '点,速度为ν(M ', t +?t ) 。根据定义,加速度表达式可以写成如下:随体导数表示流体质点在欧拉场内(见流体运动学)运动时所具有的物理量对时间的全 d νν(M ', t +?t ) -ν(M , t ) =lim ?t →0? ν(M ', t +?t ) -ν(M ', t ) ν(M ', t ) -ν(M , t ) =lim lim ?t →0?t →0??基于时间?t 的变化基于空间位置M →M '的变化 ν(M ', t +?t ) -ν(M ', t ) M M 'ν(M ', t ) -ν(M , t ) =lim +lim lim ?t →0?t →0?M M '→0?' ?ν(M , t ) ν(M ', t ) -ν(M , t ) =+νlim M M '→0? '?t →0, M 和M '靠近,M →M '的变化会引起ν三个方向速度的变化
用M 点速度
d ν可以分解成这两部分,是因为从M →M '点,一方面有时间?t 的变化,一方面有空间位置的变化,分解成这两部分,正是基于这两个原因。
写成直角坐标系,用u,v,w 三个方向速度表示成如下:
u =u (x , y , z , t );
v =v (x , y , z , t );
w =w (x , y , z , t );
代入上面加速度公式,得到
d ν?ν(M , t ) ν(M ', t ) -ν(M , t ) =+νlim ?M M '→0'? ?t →0, M 和M '靠近,M →M '的变化会引起ν三个方向速度的变化用M 点速度
du ?u (x , y , z , t ) ?u (x , y , z , t ) ?u (x , y , z , t ) =+u (x , y , z , t ) +v (x , y , z , t ) ????u (x , y , z , t ) +w (x , y , z , t ) ?z
?u ?u ?u ?u =+u +v +w ????至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合函数求导的方法得到。用复合函数链导法则会更容易理解一些。后面接下来要推导的是流体力学连续方程。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。它的前提是对流体采用连续介质模型,速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。
x
?u dx ?
假设有一个微体积正六面体,正六面体的中心三个方向的速度是u,v,w。?u dx
??u dx 右表面的流速u N =u +?左表面的流速u M =u -
单位时间内x 方向流出和流进的质量流量差:
1?(ρu ) ?1?(ρu ) ??(ρu ) ??M 出-M 进=?ρu +dx ?dydz -?ρu -dx ?dydz =dxdydz ???????
同理y 方向和z 方向的质量流量差:
?(ρv ) dxdydz ??(ρw ) dxdydz ?在dt 时间内因为密度变化而减少的质量为:
ρdxdydz -(ρ+?ρ?ρdxdydz =-dxdydz ??由质量守恒,单位时间内流出与流入六面体的流体质量差综合应等于六面体因密度变化而减少的质量。
??(ρu ) ?(ρv ) ?(ρw ) ??ρ++dxdydz =-dxdydz ?????????
?ρ?ρu ?ρv ?ρw +++=0????以上就已经得到了连续性方程。对不可压缩流体,连续性方程可以简化,可以得到以下简化的连续性方程:
?u ?v ?w ++=0???这个不可压缩流体的连续性方程很重要,下面推导N-S 方程的时候要用到。
接下来要推导出流体力学的N-S 方程。在推导N-S 方程之前,有很多人都在这里有困惑。这里有两个概念要搞清楚,那就是什么是理想流体和粘性流体。我们很多课本在讲流体力学的时候是先讲了理想流体的动量方程,之后又没有接着讲粘性流体的动量方程,所以有些人到后面再讲N-S 方程就混淆了。另外就是很多人一听到N-S 方程就心里有点害怕,畏惧了,还没来得及去仔细研究就放弃了,如果仔细研究一下,其实也不难,很多流体力学的书是用场论的知识去推导出N-S 方程的,我们工科学校对场论没有接触,最好还是用正六面体的方法来推导N-S 方程。哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对N-S 方程的推导用的是正六面体法,很容易看懂。清华大学的书就比较难,可以参考。在这里得先推到一下理想流体的动量方程,后面再推导粘性流体的动量方程。
这里必须先分清理想流体和粘性流体的概念。理想流体是一种不可压缩、不计粘性(粘度为零)的流体。欧拉在忽略粘性的假定下,建立了描述理想流体运动的基本方程。实际上,理想流体在自然界中是不存在的,它只是真实流体的一种近似模型。但实际上由于流体中存
在着粘性,流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能,并使流体流动出现许多复杂现象,例如边界层效应、摩阻效应、非牛顿流动效应等。自然界中各种真实流体都是粘性流体。下面推导理想流体动量方程。理想流体和粘性流体的区别在于是否有粘性力,即切应力。
x
p +?p dx ?x 在理想流体内部取一微体积正六面体。中心点压力p(x,y,z),受力分析沿x 轴方向:
1.表面力,因为是理想流体,没有切应力,τ=0。?p dx ) dydz ??p dx dydz 右表面P N =p N A =(p +?左表面P M =p M A =(p -
2.质量力,单位质量力在三个坐标轴上分量是f x , f y , f z 。x轴方向质量力f x ρdxdydz 。在x 轴方向由牛顿第二定律:
∑F =ma ?
(p -?p dx ?p dx du ) dydz -(p +dydz +f x ρdxdydz =ρdxdydz ???1?p du 由前面速度随体导数f x -=??????→ρ?1?p ?u ?u ?u ?u f x -=+u +v +w ρ?????同样y 轴z 轴列方程,可以得到理想流体动量方程组。
1?p ?u ?u ?u ?u =+u +v +w ;ρ?????1?p ?v ?v ?v ?v f y -=+u +v +w ;ρ?????1?p ?w ?w ?w ?w f z -=+u +v +w ρ?????f x -
下面要推导粘性流体动量方程,也就是纳维斯托克斯方程,也叫做N-S 方程。
τ'zy
τxy
τxz σxx τ'yz σ'yy
στzx
τ'zx 'zz τyx σyy τyz 'yx τzy τ'xz σ'xx 'xy x
同样取一个微六面体,但粘性流体有切应力,分别对六个面做受力分析如图所示:
x 方向的受力,质量力,左右方向压力,前后面切力,上下面切力。由牛顿第二定律列方程:
?σ??f x ρdxdydz +?σxx dydz -(σxx +dx ) dydz ??x ??
?τyx ????τ?-?τyx dxdz -(τyx +dy ) dxdz ?-?τzx dydx -(τzx +dz ) dydx ???????
du =ρdxdydz 对粘性流体,切应力由广义牛顿内摩擦定律确定:
?u ?v +) =τyx ; ?y ?x
?v ?z τyz =μ(+) =τzy ; ???w ?u τzx =μ(+=τxz ??τxy =μ(
粘性流体中某一点三个方向的压力是不相等的,任意点的压力与三个方向的正应力有以下关系式:
1p =(σxx +σyy +σzz ); ?u σxx =p -2μ; ?x
?v σyy =p -2μ; ??w σzz =p -2μ?以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学,有相关的解释。代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程:
?σ??f x ρdxdydz +?σxx dydz -(σxx +dx ) dydz ????
?τyx ????τ?-?τyx dxdz -(τyx +dy ) dxdz ?-?τzx dydx -(τzx +dz ) dydx ??y ?z ????
du =ρdxdydz ?dt
?σ?τyx ?τdu f x ρ-++=ρ (1)???把σxx =p -2μ?u ?u ?v ?w ?u ; τyx =μ(+); τzx =μ(+) 代入上式(1)中:??????σ?τyx ?τdu ++=ρ?????u ?v ?u μ?(+μ?(?w +?u ) ?(p -2μ) ??+=ρdu ?f x ρ-+???f x ρ-
?p ?2u ?2u ?2v ?2w ?2u du f x ρ-+2μ+μ+μ+μ+μ=ρ??????????p ?2u ?2u ?2u ?2u ?2v ?2w du f x ρ-+μ+μ+μ+μ+μ+μ=ρ???????????p ?2u ?2u ?2u ??u ?v ?w du f x ρ-+μ+μ+μ+μ(++) =ρ??x ?x ?y ?z ?x ?x ?y ?z dt
由不可压缩流体连续性
可以得到这部分为0代入前面
随体导数
1?p ?2u ?2u ?2u ?u ?u ?u ?u f x -+ν+ν+ν=+u +v +w ρ????????
1?p ?2u ?2u ?2u ?u ?u ?u ?u f x -+ν+ν+ν=+u +v +w ρ????????1?p ?2v ?2v ?2v ?v ?v ?v ?v f y -+ν+ν+ν=+u +v +w ρ????????1?p ?2w ?2w ?2w ?w ?w ?w ?w f z -+ν+ν+ν=+u +v +w ρ????????这样对得到了粘性流体的动量方程,也叫运动微分方程,也叫纳维斯托克斯方程,也叫N-S 方程。
至此,从一个点开始,用欧拉法定义了速度,压力,密度,温度。再后来得到随体导数的概念,从随体导数到质量守恒方程,也即连续性方程。然后先推导了理想流体运动微分方程,后面加入了广义牛顿内摩擦定律得到了粘性流体运动微分方程,也就是N-S 方程。
下面推导流体力学能量守恒方程。取一个微元正六面体如下图。由能量守恒关系,导入微元体的净热量,一部分是微元体的对流换热量,一部分是使该微元体的热力学能增加。
++?φdx ?x ?φx , v dx ?x φx 表示微元体在x 轴方向的导热量,由于导热是由高温传导到低温,所以x 方向的净导热量必须是左面ADD ' A ' 减去右面BCC ' B ' ,得到
净导入的热量是:φx -?φdx ??φdx ??φ- φx +?=-dx (1)?x ??x ??x
?T dydz (2)??φdx =-??(-λ由傅里叶定律,φx =-λ把(2)代入(1)中,得到:-?T dydz ) ?2T ?2T dx =λdxdydz =λdV ???同样y 方向和z 方向的净导入热量可以求出。
?2T ?2T -dy =λdxdydz =λdV ????φy
?φ?2T ?2T -dz =λdxdydz =λdV ????2T ?2T ?2T 那么净导入热量总和为:λdV +λdV +λdV ???该微元体热力学能的增加值是:ρc p ?T dV ?最后计算微元体换热量,φx , v 表示因流动引起的热量变化:
x 方向流体的换热量增量
?φx , v dx ?φx , v dx ?φx , v φx , v +-(φx , v -) =dx (1)???φx , v =c p T ρ?udydz =c p T ρudydz (2)
得到x 方向体积流量
把(2)代入(1)中,得到:?φx , v dx =?(c p T ρudydz ) dx =c ρ?(uT ) dxdydz =c ρ?(uT ) dV p p ????同样y 方向和z 方向的换热量增量。c p ρ
c p ρ
故?(vT ) dV ??(wT ) dV ??2T ?2T ?2T ?T ?(uT ) ?(vT ) ?(wT ) λdV +λdV +λdV =c p ρdV +c p ρdV +c p ρdV +c p ρdV ??x ?y ?z ?t ?x ?y ?z
??T ?(uT ) ?(vT ) ?(wT ) ??2T ?2T ?2T λ+λ+λ=c p ρ?+++??????????
这就是能量守恒方程。
这样就有了质量守恒方程(即连续性方程),动量守恒方程(即N-S 方程),能量守恒方程。
范文三:流体力学 无量纲方程
Chapter3.2相似判据的求法
暂时考虑不可压黏性流体的运动简单情况
r
rrdV12,,,,,,FpV
,dt
对于原型流动,考虑运动方程在z方向的分量方程。
222,,,,,,,,,,,,wwwwpwww11111111,,,,,,,,,u,v,w,,g,,,,11111111222,,,,,,,,,txyzz,x,y,z11111,,111,,
以上方程反映实际流场的动力性质和过程。
模型流场,同样遵循牛顿运动定律,同样有:
222,,,,,,,,,,,,wwwwpwww22222222,,,,,,,,uvwg,,,,,,,,,22222222222,,,,,t,x,y,z,z,x,y,z22222,,222,,
上式则反映实验流场的动力性质和过程。
将以上相似系数代入方程,则变为:
2,,,,cccc,,wwww,,vv1111,,,,uvw,,,11111,,,,,,ctcxyztl1111,,
222,,ccc,,,,pwwwv,,1111,,,,ccg,,,,,,g111,2222,,,czc,x,y,zl1l111,, 考虑到实际流场所遵循的运动方程,只有满足:
2cccccccvvv,,,,cc,,,,g,2cccctlll
时,以上方程才能成立。
模型流场中其运动方程的各项(各动力学变量)跟原型流场相比较必须成相同的常数比例,它是动力相似的充分必要条件;
2cc/c,vl对上式稍作变换,各项同除以,最后可得:
ccccc,glpl,1,,1,,1,,122ccccccccvtvl,vv,
就是两流场相似时,各相似常数必须满足的关系式。
进一步可以得到:
22,,lluupplulu121212111222,,,,,,,22,,,,tutuglgluu11221122112212
而它们所反映的是没有量纲(单位)的数,称为无量纲数
其中:
lul,Re,St
,tu斯特劳哈尔数雷诺数
2u,p,Eu,Fr2,ugl欧拉数弗雷德数
对于所考虑的问题,只要以上四个无量纲数在两种流场中是相同的,那么原型和模型流
场相似,则两方程应反映同一事实。可见,利用无量纲数作为动力相似判据,比方程分
析法要简单的多。另外,对特定的流动,作为动力相似判据的无量纲数可能会更少。
例3-2-1:假定满足几何、运动相似,试求质量力仅为重力的理想流体运动的相似判据。
,,
,dV1dV1,,F,,p,g,,p
,,dtdt
,,,,,,,wwwwp
,,,uvwg,,,,,,,,,,,t,x,y,z,z,,
2u,p,Eu,Fr2l,ugl,St tu
Ch3.3
二、无量纲方程
在粘性流体中引进无量纲量:
,,,u,u/U,v,v/U,w,w/U
,,,,/,0
L
,t,t/()2,p,p/,UU0 (注意:特征时间、特征压力是非独立的)
,,,x,x/L;y,y/L,z,z/L
2,,p,,p/,U,,,u,,u/U,x,,x/L0
,,,,,wwwwp12,u,v,w,,,,,w,g
txyzz,,,,,, 将方程中的各物理量表示为特征量与无量纲量的乘积
2,,,,,,,,,,,,UwUUwUUwUUw1U1pU20,,,,,,u,v,w,(,),,w,g2,,,,,,L/UtLxLyLzLzL,,,,,,,0
222,,,2,,,,,其中,222,,,,x,y,z
整理后得:
,,,,,wwww1p,,,,,,22,,,,,,u,v,w,,,,w,gL/U
,,,,,,txyzzUL,,,,,,
2Fr,U/gLRe,UL/,定义特征无量纲数
,,,,,,,,,,wwww1p112,,,,,uvww,,,,,,,,
,,,,,,,t,x,y,z,,zReFr 无量纲方程
,,,,,wwwwp12,u,v,w,,,,,w,g
txyzz,,,,,, 而采用无量纲方程,具有如下优点:
(1)与单位制无关;
(2)可以比较相对大小或相对重要性;
(3)流场相似判据:对应的无量纲数相等。
范文四:流体力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题:流场和桥墩表面受力由(边界条件+控制方程组)决定。本章任务建立控制方程组,确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程(质量守恒方程) I-1方程的导出
物质体(或系统)的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似,分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下,对物质体τ有运定理,设t 时刻该系统所占控制体为CV ,对应控制面CS ,则有
d
ρd τ=0。根据输dt ?τ
?ρ d τ+ρv ?ds =0——质量守恒方程积分形式。 ?CV ?t ??CS
上式亦表明,CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。 由奥高公式得
??ρv ?ds =
CS
CV
?
??(ρv ) d τ,于是有
???ρ+??(ρv ) ?d τ=0。 ???t ?CV ?
考虑到τ的任意性,故有
?ρ
+?(?ρv ) =0,即 ?t d ρ
+ρ??v =0 ——质量守恒方程微分形式 dt
I-2各项意义分析: 1)
d ρ?ρd ρ
=0;不可压缩流动=0;均质流体的不——流体微团密度随时间的变化率;定常流动
dt ?t dt 可压缩流动ρ=const . 。
2)由
d δm 1d ρ1d δτ
=0(δm 为微团的质量)知=-(δτ为该微团t 时刻体积),从而知??v =dt ρdt δτdt
流体微团体积随时间的相对变化率,即体膨胀率。
d ρ
=0,故有 ??v =0。 dt v ?ds =??vd τv 由奥高公式有 ,可见对于不可压缩流动,任意闭合曲面上有??? ???ds =0。
3)不可压缩流体
CS
CV
CS
不可压缩流动满足的??v =0或
v ???ds =0是对速度场的一个约束。
CS
例1、1)定常流场中取一段流管,则由
v ???ds =0易知:
CS
ρ1V 1S 1=ρ2V 2S 2;如为均质不可压缩流动,则V 1S 1=V 2S 2。
2)对于不可压缩球对称流动(如三维空间中的点源产生的流动)则有4πr V (r , t ) =m (t ) ,
即V (r ) ∝r ,其中m (t ) 代表点源强度(单位时间发出的流体体积)。
例2、均质不可压缩流体(密度为ρ)从圆管(半径为R )入口端以
-2
2
??r ?2?
速度V 0流入管内,经过一定距离后,圆管内流体的速度发展为抛物型剖面,即V =V m ?1- ??。通
???R ???
常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度V m 。 解:如图,将整个入口段取为控制体,对不可压缩流体有:可写为:V 0πR =
II 动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ? 其加速度
II-1方程的导出
1直角坐标系下推导微分形式的动量定理
t 时刻,考虑一个正六面体形状的流体微团,如图所示,该流体微团t 时刻所占控制体CV ,其边界CS 。 受力分析:
2
??
界面
V ?dS =0, 由于管壁无渗透故上式
?
R
V 2πrdr ,可得V m =2V 0。
体力合力=ρFd τ
面力合力=
??
CS
p n dS
δx δx ? ???
=p x x +, y , z ?δs x +p -x x -, y , z ?δs x
22????δy ?δy ? ? ?
+p y x , y +, z ?δs x +p -y x , y -, z ?δs y
22????δx ?δz ? ? ?
+p z x , y , z +δs +p x , y , z --z ?x ?δs z
2?2???δx δx ? ???
=p x x +, y , z ?δs x -p x x -, y , z ?δs x
22????
δy ?δy ? ? ?
+p y x , y +, z ?δs x -p y x , y -, z ?δs y
22????δx ?δz ? ? ?
+p z x , y , z +δs -p x , y , z -z ?x ?δs z
2?2??? ?p y ?p x ?p z
=δτ+δτ+δτ?x ?y ?z ?p ?p x ?p z dV y
于是有ρδτ=F ρδτ+δτ+δτ+δτ,
dt ?x ?y ?z ?p ?p ?p z dV y x
即ρ。
=ρF +++
dt ?x ?y ?z
??ρdv x =ρF ?p xx ?p yx ?p zx
x +++?
dt ?x ?y ?z 分量形式:???ρdv y
=ρF ?p xy ?p yy ?p zy ?dt
y +?x +?y +?z
????ρdv z dt
=ρF ?p
?p yx z +xx ?x +
?y +?p zx ?z 或写成ρ
dv i
dt =ρF ?p ji i +
?x , j
或ρdV
dt
=ρF +??P 。 ??P 意义:单位体积流体团所受面力的合力。
2积分形式的动量定理的导出
考虑体系τ,该流体团t 时刻所占控制体CV ,其边界CS 。由动量定理有
d dt
?τρVd τ=?CV ρFd τ+ ??CS p n dS 利用输运定理可得d ?
dt ?τρV δτ=?t
?CV ρV δτ+? CS (ρV )V ?δS 。 于是得到积分形式动量定理:
??t ?CV
ρV δτ+?CS (ρV )V ?δS =? ??
CV ρFd τ+ CS p n dS 该定理的应用:经常应用于求流体与边界的相互作用力。
例题1求流体作用于闸门上的力。(设渠宽w )
解:取控制体如图所示,根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。
x 方向动量通量=-V 22
1ρwD 1+V 2ρwD 2
x 方向合外力=-R +?D 1
w [P a +ρg (D 1-y ) ]dy -?D 2
w [P a +ρg (D 2-y ) ]dy -(h -D 2) P a 闸门受合力=R -P a (D 1-h ) =R ' 代入动量方程方程得
ρw (V 222D 2-V 1D 1) =-R '+
1
2
ρgw (D 21-D 22) 故
R '=
1
ρgw (D 2222
1-D 2) +ρw (V 22D 1-V 1D 2) 注:求R '时可直接设P a =0。
注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出,推导过程如下:
d ρV
dt ?τ
δτ=?
d (ρV δτ)
=? d (ρδττ
dt
τρdV
dt δτ+?
)τV
dt
其中
d (ρδτ)d δm
==0,因而得到 dt dt
d dV dV ρV δτ=ρδτ=ρ?τdt ?CV dt δτ。 dt ?τ
上式表明:流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。 另外,
??
CS
p n dS = n ???PdS =
CS
CV
???Pd τ,
?dV ?dV
=ρF +??P 。 综上可得? ρ-ρF -??P ?δτ=0,再考虑到系统大小形状的任意性可得ρdt dt ?CV ?
尽管得到了流动的动量方程,但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样,流体运动的动
量方程中应力张量等于什么我们还不知道,并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数,使得我们不仅需要初始条件,还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
? ??V V 2
ρ +?+rot V ?V ?=ρF +??P
2??t ?
II-2地转参照系下的动量方程
就很多空间和时间尺度都较小的流动而言,地球参照系通常课近似看作惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题,必须考虑地球自转的影响。在海洋和大气的大尺度运动问题中,通常把地心看成惯性参照系,地球相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程,为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。
地球上运动质点的绝对速度V a =V r +V e ,其中V r 代表质点相对于地球表面的运动速度,牵连速度
,ω为地球自转角速度。 V e =ω?r (牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度)
绝对加速度:w a =w r +w e +w c ,
d ω
?r +ω?(ω?r ),科氏加速度w c =2(ω?V r )。 其中w r 代表相对加速度,牵连加速度w e =dt
1d 'V r
动量方程:=F +??P -w e -w c
dt ρ
'd V r ?V r ?'=+V r ??V r ,?'= 。 其中i
dt ?t ?x i '
因为真实力与参照系无关,故??P =?'?P '
d ω
=0,于是有 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化,认为dt
1?V r '+V r ??V r =F +??P -ω?(ω?r )-2ω?V r 。
?t ρ
III. 能量方程
III -1能量方程的推导:t 时刻流体团τ所占控制体CV ,其边界CS ,能量平衡关系式:
t 时刻系统能量增加率
(1)
=外力的功率+单位时间内通过边界流入的热量+单位时间内从外界吸收的其他能量
(2)
(3)
(4)
其中
d V 2
(1)=?ρ(U +) δτ,U 代表单位质量流体的内能(分子热运动动能+分子间相互作用势能)
dt τ2
(2)=?ρF ?V δτ+ p ??n ?V δs
CV
CS
(3) =- ??
CS
f ?δs = ??k ?T ?δs ,f 为热流强度,根据付利叶热传导定律对各向同性流体
CS
f =-k ?T
(4) 设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q ,则(4)=?ρqd τ
CV
故能量方程积分形式为:
d V 2
ρ(U +) δτ=ρF ?V δτ+p ?V δs +k ?T ?δs +?ρq δτ ?CV ??CS n ??CS CV dt ?τ2
因为
?d V 2?d ??V 2??
ρ U +?δτ=?τ?ρ U +?δτ??τdt 2?dt ??2???
=?ρδτ
τ
?d ?V ?V ?d (ρδτ)d ?V ?
U ++U +ρU + ??τ ? ?δτ?τdt ?2?2?dt dt ?2??
2
2
2
CS
CS
CS
?? ??
CS
p n ?V δs = ??
CS
(n ?P )?V δs = ??n ?(P ?V )δs = ??
(P ?V )?δs = ????(P ?V )δτ
CS
k ?T ?δs = ????(k ?T )δτ
CS
d ?V 2
所以得到能量方程微分形式:ρ U +
dt ?2 ?
=ρF ?V +??(P ?V ) +??(k ?T ) +ρq , ??
?p ji ?p ji ?V i ?
其中??(P ?V ) =(p ji V i ) =V i +p ji =V i +p ji s ji +p ji a ji 。
?x j ?x j ?x j ?x j
由于旋转运动张量A 是反对称张量,而应力张量P 是对称张量,故有p ji a ji =0(因p ij 是对称张量) 记p ji s ji =p ij s ji =P :S 。另外V i
?p ji ?x j
=V ?(??P ) ,于是有如下形式的能量方程:
V 2
d (U +) =ρF ρ?V +V ?(??P ) +P :S +??(k ?T ) +ρq 。
dt
方程中各项意义分析:
V 2
d (U +)
代表单位体积流体能量变化率; ρ
dt
ρF ?V 代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率;
V ?(??P ) 代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率;
??(k ?T ) +ρq 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。
III -2动能方程
dV dV =ρF +??P 两边同时点积V 得: ρV ?=ρF ?V +V ?(??P ) 。 将动量方程ρdt dt
dV 1d (V ?V ) 1dV 2
==其中V ?,故有动能定理 dt 2dt 2dt
d ?V 2
ρ dt ?2 ?=ρF ?V +V ?(??P ) 。 ??
上式表明:单位体积流体微团动能变化率=作用于该微团上的体力的功率+作用于该微团上的合面力的功率。
III -3热流量方程:ρ
面力的功率包含两项V ?(??P )+(P :S ) ,其中合面力的功率V ?(??P ) 转化为系统的宏观运动动能,另一部分(P :S )转化为系统的内能。
尽管系统内部的应力是内力,但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如果系统要维持定常状态,必须有外力对系统做功,补充其机械能损耗。参考本章后面的例题。
IV. 本构方程 数学预备:
记?V =E ,根据二阶张量定义,将坐标系旋转,从原坐标系o-xyz 到旋转后的坐标系o-x 'y 'z ',二阶张量E 的张量元满足变换:
dU
=P :S +??(k ?T ) +ρq dt
?V n
,
?x i '?x m
?i ?i '
其中变换矩阵β= i ?j '
i ?k '?
=βim βjn
逆变换:
?V j '
j ?i 'k ?i '? ?j ?j 'k ?j '。 ?j ?k 'k ?k '??
?V j ?x i
=βmi βnj
?V n '。 '?x m
本构方程的导出
1应力张量分解:P =-p I+P '
P '——偏应力张量,代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量(记为-p I)的差异。记作P '=τij ;
P '是对称二阶张量。
2线性假设(Newton 粘性定律的推广,对于剪切流动u 1=kx 2,τ21=μ
?u 1
) ?x 2
偏应力产生于速度场的不均匀性。
线性假设:假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系:
τij =c ijkl
?u k
。 ?x l
'=βim βjn βkp βlq c mnpq 。 c ijkl 是四阶张量,满足变换关系c ijkl
c ijkl 是由81个系数组成的一组系数,这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之间
的关系,由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义,于是有
'=βim βjn τmn =βim βj n c mnp q τij
?u q ?x p
=βim βjn c mn pq βkp βlq
?u l '
'?x k
'=βim βjn βkp βlq c mnkl 。数学上定义,由81个元素组成的量,若其元素满足该变换的则称之为四可知c ijkl
阶张量。
3各向同性流体及其四阶张量c ijkl 的表达式
3-1各向同性流体:若在原坐标系o-xyz 和旋转后的坐标系o-x 'y 'z '中偏应力张量分别表示为
τij =c ijkl
?u l '?u '?u l ?u l
'=c ijkl ''=τij ,于是要求c ijkl =c ijkl '。 和τij ,若l =则应当有τij
''?x k ?x k ?x k ?x k
*****************************************************************************************
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性:水池中插入并移动平板引起的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个速度梯度,就对应一个粘性应力,粘性系数与速度梯度的方向无关。
τ21=c 21kl
'?u l ?u '?u ?u ?u 1?u '
'=c 21'kl l =c 2121'=c 21211=μ1 τ21=μ1
'''?x k ?x 2?x 2?x k ?x 2?x 2
*****************************************************************************************
3-2对于各向同性流体,可以证明(参见吴书p75)四阶张量c ijkl 可表示为
c ijkl =λδij δkl +αδik δjl +βδil δjk ,其中λ, α, β是标量,即
?λ+α+β, when i =j =k =l ?λ, when i =j ≠k =l ?
。 =?
?α, when i =k ≠j =l ??β, when i =l ≠j =k
c ijkl
3-3偏应力张量是对称张量c ijkl =c jikl ,于是α=β=μ,于是c ijkl =λδij δkl +μδik δjl +δil δjk 。 另外,由上式还可知c ijkl =c ijlk 。 4分解
()
?u l
=s kl +a kl ,于是τij =c ijkl s kl +c ijkl a kl =c ijkl s kl ?x k
如果流体只有旋转运动而没有变形运动,那么偏应力张量=0。偏应力与变形运动相关联。 5将c ijkl 的表达式带入上式,得
τij =λδij δkl s kl +μ(δik δjl +δil δjk )s kl =λs kk δij +2μs ij
最后得到:
p ij =-p δij +λs kk δij +2μs ij
12????
=-p δij +2μ s ij -s kk δij ?+ λ+μ?s kk δij
33????1??
=-p δi j +2μ s ij -s kk δi j ?+μ's kk δi j
3??
其中 s ij -
?
?1?
s kk δij ?代表无体积变化的纯剪切运动,s kk δij 代表各向同性膨胀运动。 3?
6Stokes 假设
对于不可压缩流体,μ's kk δij =0。对于可压缩流体μ's kk δij 表示流体发生膨胀或收缩时引起的法向应力,
μ'被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。
Stokes 假设:系统处于准热力学平衡状态时,可近似认为μ'=0。 7μ的意义
考虑纯剪切运动,u =ky ,粘性应力τ=τ21=2μs 21=μ8-p 的意义
设流体满足Stokes 假设,可以证明
-p =作用于球形微团上的法应力的平均值。
So, it?s a measure of the local intensity of the “squeezing ” of the fluid.
证明:The average value of the normal component of the stress on a surface element at position r over all
directions of the normal n to the element is
?u
,可知μ为动力学粘性系数。 ?y
证明:
1 1
n ?P ?nd Ω=n i p ij n j sin θd θd φ. 4π?4π?
Since n =(sinθcos φ,sin θsin φ,cos θ) , p nn =
111
n p n sin θd θd φ=p δ=p ii =-p i ij j ij ij ?4π33
或者在球坐标系下n =(1,0,0) =e r ,
p nn =
p nn =
1
e ?P ?e r r sin θd θd φ=p rr =-p 4π?
Hence ,-p characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it?s a measure of the local intensity of the ?squeezing ? of the fluid. (关于p 与热力学压强的关系,建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章节。)
9关于偏应力张量P '
A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by μ and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress? tensor and d ij =2μ(s ij -
?
δij ) may of cause be regarded 3
as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between s ij and a symmetrical tensor d ij whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9) 引自Batchlor,1994)
本构方程(广义牛顿公式)的适用范围: 1)大多数液体;
2)非高温、非高频振动的气体;
非牛顿流体:油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203,23
1) 平板上的切应力τ21=2μs 21=
μ
u u ?u
=μ0,平板所受总阻力=2τ21?bl =2bl μ0。
h ?y h
2) y =3h /2处流体内摩擦力为0。 例3 吴书p203,22
柱坐标系下应力张量的表达式见p190。 除p rz =p zr =μ
?u
外,应力张量其他非对角元均为零。 ?r
管壁处的切应力p rz =μ
?u
=-2c μr 0,单位长圆管对流体的阻力=p rz ?2πr 0=-4πc μr 02。
?r r =r 0
2
与圆管共轴的半径为r =r 0/2的单位长流体柱表面的总摩擦力=-πc μr 。
V 流体力学基本方程组
V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组
??ρ
+??(ρV ) =0, ??t ?
?ρdV =ρF +??P , ?dt
?
?dU
=P :S +??(k ?T ) +ρq , ?ρ
dt ?
? ?1?'P =-pI +2μS -IdivV +μIdivV , (μ=μ(T ), μ'=μ'(T )) ??
3???
?p =p (ρ, T ). ??
内能 U =U (T , V ),具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体 U =C v T 。 V-2 N-S方程
?p 1s kk dV Δ
I ) 代入动量方程即得:将P =-pI +2μ(S - =F -+??[2μ(S -I )],其中Δ=s kk 。3dt ρρ3
当流场温度变化不大时,μ近似为常数,故有
??V 2μ
??[2μ(S -I )]=2μ??S -?(??V ),
33
其中
?
2μ??S =2μ
?x i
最后得到
?1??u j ?u i
+? ??2??x i ?x j ?????u j ??u i
=μ+?? ?? ?x ?x ?x ?x
i j ???i i ?
=μ???V +μ???V ()?()。 ??
?p γ dV 2=F -+γ?V +?(??V ) 。 dt ρ3
?p dV
又,若流体不可压缩,方程化为N —S 方程:=F -+γ?2V 。
dt ρ
?p dV
又,若流体粘性可略,方程化为理想流体Euler 方程:。 =F -
dt ρ
V-3耗散函数
耗散函数Φ——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。
??div V ??
P :S =p ij s ji =?-p δij +2μ s ij -δij ??s ji
3????
2 222
=-ps ii +2μs ij s ji -μ(s ii ) =-p ??V +2μS :S -μ(??V ) =-p ??V +Φ
33
2 2
其中-p ??V 为压缩功,而2μS :S -μ(??V ) 为粘性力的功,它将导致机械能转化成内能。
3 22
定义耗散函数Φ=2μS :S -μ(??V ) ,它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化成的
3
内能。它可以化成如下形式:
Φ=4μ(s 122+s 132+s 232) +μ[(s 11-s 22) 2+(s 11-s 33) 2+(s 22-s 33) 2]。
可见,Φ恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能,这个过程不可逆。
例题:拖动上板引起的剪切运动u =ky ,k =常数。设平板面积∑间距h ,忽略边缘效应, ①写出该流动的耗散函数。
23
??0?k S =?
?2?0??
k
200
?0??
0?,??V =0, ?0???
Φ=2μ(s 122+s 212) =k 2μ
②证明Φ∑h =外力拉动上板的功率
上板受外力=上板受流体摩擦力=μk ∑, 力功率==μk ∑U =μk 2∑h =Φ∑h ,得证。 例题 N —S 方程应用于静止流体
?p d V 2
N —S 方程:=F -+γ?V
dt ρ
1)若流体静止,N —S 方程化成什么形式?
2)推导阿基米德定律(Archimeder ) 答:1)ρF =?p 。
若仅受重力这唯一体力,F =-gk 则?p =-ρgk ,即p =-ρgz +C (均质流体)。
2)如图物体浸没在静止流体中,求作用于物体上的合面力。
S
=-pnds =-?pd τ=ρgkd τ=ρg τk 合面力 。 0????????0
τ
τ
注:其中利用了吴书公式18 on page20,该公式的导出如下所示。
??Φ ?Φ ?Φ ?
grad Φd τ=? i +j +k ?d τ ??y ?z ?ττ??x
将τ分割成无数个正六面体微元,如图所示: 下面计算
?Φ
d τ ?τ?x
Φsr , ds l n l
Φsl , ds r n r
对任一个正六面体微元上,
?Φ
dxdydz =(Φ(x +dx , y , z )-Φ(x , y , z ))dydz ?x
将上式在给定y 和z 的情况下对x 积分,即对给定y 和z 的一串流体微团积分上式,得到
11
?Φ
dxdydz =?(Φsr -Φsl )dydz ?τ?x τ
其中Φsr 和Φsl 分别代表该流体微团串左、右两端的Φ值,即流体团表面上给定y 和z 的两点的Φ值。
在图中,对于流体团右侧表面上的面元ds r n r 有dydz =ds r cos (n r , i );同样对于流体团左侧表面上的面
元ds l n l 有dydz =ds l cos (n l , -i )=-ds l cos (n l , i )。
于是
?Φ d τ=?Φsr cos (n r , i )ds r +?Φsl cos (n l , i )ds l
??x τ右半表面左半表面
=?Φcos (n , i )ds
整个表面
VI 边界条件
流体力学方程组是支配流体运动的普适的方程组。要确定某个具体的流动,就要找出流体力学方程组的一种确定的解。为此,就必须给出决定这个解的定解条件。这通常包括边界条件和初始条件。本节讨论几种常用的边界条件。 1无穷远边界条件
e.g. 飞机在天空飞行,天空边界无穷远,在无穷远处流体的运动状态不受飞机的影响,并且通常是
已知的,因此有边界条件:r =∞, V =V ∞, p =p ∞, ρ=ρ∞, T =T ∞。
如果无穷远处空气静止,在固定在地球上的参照系中,
V ∞=0, p ∞=p a , ρ∞=ρ0, T ∞=T 0,
其中p a 代表大气压强。如果把参照系固定在飞机上(设飞行速度U ),则
V ∞=-U , p ∞=p a , ρ∞=ρ0, T ∞=T 0
在绕流问题中,一般情况下,当流体的空间尺度远大于明显受物体扰动的流动区域的尺度时,即可将扰动可略的区域视为无穷远。 2两种流体分界面上的边界条件 2-1液体的表面张力
表面张力的概念:液体表面上任一面元边界上的线元都要受到与该线元垂直的,沿界面切向的作用力,称为表面张力。单位长度边界线元上的表面张力设为γ,被称为表面张力系数。作用于单位面积界面上的表面张力的合力为γ(
11 +) n ,其R 1R 2
中,R 1,R 2是任意两个包含n 的正交平面和界面交线的曲率半径(若n
指向曲率中心,曲率半径为正,否则为负)。
2-2应力边界条件:(吴书图3.7.2,以下公式与吴书图3.7.2相协调)
在界面两侧对称的取微元小柱体,柱高<><>
两底上的面力+作用在柱体侧面与边界面的交线上的表面张力=0
P n (2)P -(1)n
12
(2)(1)
即 P +P +γ(n -n
11
+) n =0 R 1R 2
由此可见,界面两侧切应力连续,法应力在界面平均曲率不为零时有一个突变。
11?
当流体静止时有p =p +γ(+) 21?
R R 特别地? 12
?当界面为平面时,法应力与切应力均连续?
2-3速度边界条件
假设1)两介质的界面是物质面,即假设界面上不发生蒸发、渗透、凝结和相互融解等的现象,那么,在运动过程中,分界面始终由同一批质点所组成;2)两介质的界面不发生分离。
在以上两个假设下,界面的两侧质点速度必满足连续性条件:V n (1)=V n 2。
在流体的分界面上同样有分子的输运效应,它的效果就是减小界面上物理量的法向梯度。如果界面两侧流体切向速度不连续,那么就会出现动量输运(粘性应力),直至切向速度达到一致。由此我们假设切向速度连续,V t (1)=V t (2)。此条件称为无滑移条件,对粘性流体的界面成立。对于理想流体,没有切向速度边界条件。 2-4热力学边界条件
同样,考虑到在流体分界面上的分子输运效应,假设边界两侧温度连续,T
(1)
=T (2) 。
再考虑前面提到的界面上的小柱体内的由于热传导引起的能量的变化,有平衡方程:
柱体内内能的增加率=其表面的热通量的负值
由于柱体内的能量和侧面上的热通量的量阶低于两底面上的热通量,因此有
上底面的热通量=-下底面的热通量 即-k 1?T
(1)
?(-n ) S 1=-(-k 2?T (2)?nS 2),
?T (1)?T (2)
=k 2即k 1。 ?n ?n
3固壁边界条件和自由表面边界条件(两介质界面边界条件的两个重要特例)
与分界面两边都是求解对象的问题相比,运动方程数就减少了一半。边界条件的关系式也需相应的减少一半,或者说,此时只能满足一半数目的边界条件。 3-1固壁边界条件
固体边界的运动通常作为已知条件给出,即已知V 固,在不发生渗透和分离的情况下,有V 流n =V 固n 。若流体有粘性,还有切向速度的无滑移条件V 流t =V 固t 。
无应力边界条件。
事实上,在固壁边界附近存在边界层,在边界层内流体粘性必须考虑,因而在固壁表面实际上是满足无滑移条件。如果边界层很薄,在求解边界层外部的理想流体流动时,仍将固壁作为理想流体流动的边界,但不加无滑移条件约束。
在固壁边界热力学边界条件仍成立。 3-2自由表面边界条件
液体的自由表面指它与真空或大气的接触面。很多情况下我们仅关心液体的流动,并且,考虑到大气的密度和粘性系数都很低,有些情况下不会对液体流动产生显著影响,此时忽略大气对液体运动的影响。作为近似,气体中的应力张量处处可取为-p a I 。应力边界条件为:
13
切应力 n ?P ?t =0 法应力
11 1
p -2μ(n ?S ?n -??V ) =p a +γ(+)
3R 1R 2
4分界面上的运动学边界条件
若已知界面曲面方程,法向速度连续这一边界条件还可以表述为另一种
形式。设界面曲面方程为F (x , y , z , t ) =0, (x , y , z ) ∈S ,考虑界面上的一质点,t 时刻该质点在
M (x , y , z )点,t +dt 时刻运动到M '(x +dx , y +dy , z +dz ),有
F (x , y , z , t ) =0,
和
F (x +dx , y +dy , z +dz , t +dt ) =0。
由以上二式得 ?F ?d r
?F dr +??F =0。 即
?t dt dr 而为界面上质点的速度,于是得到 dt ?F (i ) dF +V ??F =0,=0。 , 1)(i =2,即?t dt
?F (i )
+V n ?F =0。 考虑到曲面法线方向n =?F /?F , 上式还可以表述为?t
例1:椭圆柱以速度作垂直于其轴线的直线运动,试写出椭圆柱的曲面方程式。设该圆柱在无界水中
运动,写出柱面边界上的速度应满足的运动学边界条件,设无其他扰动源。 解:此系二维流动V =(u , v ) ,,取x 轴方向沿椭圆柱运动方向,边界曲面方程为:
?F
d t =0, ?t
(x -) 2y 2
+2-1=0 F (x , y , z , t )=
a 2b
运动学边界条件:即
dF
=0 dt
-2(x -t ) 22(x -t ) 2y
+u +v =0 22
b a a
或从V 流n =固n 出发,利用V 流??F =??F 得到与上面相同的结论。
14
范文五:流体力学基本方程
流体力学基本方程:
基
本质量守恒定律 备注 定
律
输
运
定 律
:
高
斯
公
式
物
质
导 数
拉使用氏输运描积定律 分述
形
式 欧
拉 描 述
拉氏
描述
下的
质量
守恒
定律连续性 运用方程 高斯
公式
引入
物质
导数
分量形 式
柱坐标 下 球坐标 下
定常
不可压
流线迹线引入势函数
基
本备动量守恒定律 定注 律
输
运
定 律
:
高
斯
公
式
物
质
导 数
使
拉用
氏输 积描运
述 定分
形律 式 欧
拉 描
述
拉
氏
描
述
下
的
质
量
守
恒
定
律
运
用
高
斯
公
式
引
入
物
质
导 数
The stress in a moving fluid
引
入
本
构与
方速
程 度
的
关
系
不
可
压
Stokes assumption Without using Stokes assumption
N-S
方 程
可 压 不
可 压
When the fluid density is constant
不
可 压
无 粘
角
动
量 定
理
雷
诺
输
运 定
理
展
开
非惯性坐标系
基本备能量守恒定律 定律 注 输运
定 律:
高斯
公式
物质
导数
使
拉用积分氏输
形式 描运
述 定
律
欧
拉 描 述
拉氏描
述下的质
量守恒定 律运用 高斯 公 式
引入物
质导数
引入熵
Bernoulli’s equation: derived from the N-S momentum equation and the energy equation
under various sets of conditions
N-S :
energy:
一:obtain from N-S equation
1:inviscid flow,N-S equation change to Euler equation
2:
Constant density(常密度), isothermal(绝热), and isentropic(等熵)
flows are barotropic(正压)
B=
3:
4:the flow is irrotational
3’:unsteady ,irrotational
二:obtain from energy equation
1:
2:In the absence of viscous stresses and heat transfer
3:constant-viscosity ,constant-density, irrotational flow,incompressible
4:
constant-viscosity ,constant-density, irrotational flow
The Boussinesq Approximation
The Boussinesq approximation applies if the Mach number of the flow is small, propaga- tion of sound or shock waves is not considered, the vertical scale of the flow is not too large, and the temperature differences in the fluid are small. Then the density can be treated as a constant in both the continuity and the momentum equations, except in the gravity term.