范文一:三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
椭圆, 双曲线, 抛物线可以统一定义为:与一个定点 (焦点 ) 的距离和一条定直线 (准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹.
以椭圆的左焦点 (双曲线的右焦点或抛物线的焦点 )F 为极点,过点 F 作相应准线的垂线,垂 足为 K , FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系.
椭圆,双曲线,抛物线统一的极坐标方程为:
其中 p 是定点到定直线的距离, p>0
当 0<><>
当 e>1时,方程表示双曲线;若 ρ>0,方程只表示双曲线右支,如果允许 ρ<0,方程就表示 整个双曲线="">0,方程就表示>
当 e=1时,方程表示开口向右的抛物线 .
范文二:圆锥曲线统一的极坐标方程及应用
圆锥曲线统一的极坐标方程及应用
以圆锥曲线的焦点(椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴,则圆锥曲线的统一极坐标方程为ρ=ep ,其中e 为离心率,p 是焦点到相应准线的距离。 1-e cos θ
例1、过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为105?的直线交双曲线于P , Q 两点,则|FP |?|FQ |的值为例2、 抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上
方的部分交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,则?AKF 的面积是( )
A. 4 B. 3 C. 43 D. 8
例3、中心在原点O 的椭圆右焦点为F (3,0),右准线l 的方程为x =12.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 在椭圆上任取三个不同的点P 1、P 2、P 3,使∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1, 证明:
111为定值,并求出此定值。 ++|FP 1||FP 2||FP 3|
范文三:圆锥曲线的统一极坐标方程
§3.8 圆锥曲线的统一极坐标方程
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程,了解统一方程中常数的几何意义.
(二)能力训练点
会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程,能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算.
(三)学科渗透点
通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程,对学生进行辩证统一的思想教育.
二、教材分析
1.重点:圆锥曲线统一的极坐标方程,会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程.
2.难点:运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题.
3.疑点:双曲线左支所对应的θ范围,双曲线的渐近线的极坐标方程.
三、活动设计
1.活动:思考、问答、讨论.
2.教具:尺规、挂图.
四、教学过程
(一)复习
大家已经学过,椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义,其中,第二定义把三种圆锥曲线统一起来了,请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义.
学生1答:
列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心
e∈(0,1)时椭圆,e∈(1,f∞)时双曲线,
e=1时抛物线.
(二)建立统一方程
在极坐标系中,同样可以根据圆锥曲线的几何定义,求出曲线的极坐标方程. 过F作FK⊥l于K,以F为极点,KF延长线为极轴,建立极坐标系.
设M(ρ,θ)是曲线上任一点,连MF,作MA⊥l于A,MB⊥l于B(如图3-24).
范文四:圆锥曲线在平面内的统一方程
圆锥曲线在平面内的统一方程
圆锥曲线的一般方程体现了圆锥曲线的普遍性质,但同时包含了其退化形式,如圆、直线等。这里我们所要做的,是用能够体现圆锥曲线的三种形式(椭圆、双曲线、抛物线)的特征的参数(离心率、焦点、焦准距、倾斜角)在平面内表示出任意的圆锥曲线。
首先,需要用到圆锥曲线在极坐标系中的标准方程: (e>0,p>0) 这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。其中极点为抛物线焦点,或椭圆左焦点,或抛物线右焦点。 这里我们规定其轴的方向向量
现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转α弧度(0≤α<>
,此时方程变为:,与极轴的夹角对应为α。 ,方向向右(即极轴的正方向),方便后文的解释说明.
展开方程,化简为
以极轴为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,则有ρcosθ=x,ρsinθ=y,代入方程,化简,得到如下方程:
横向平移g 个单位,纵向平移h 个单位,使圆锥曲线焦点从(0,0)平移到(g,h),对应方程为:
以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程(以e 为离心率,p 为焦点到准线距离)。 ①当e>1时,表示以F(g,h)为一个焦点,α为与极轴(x 轴正方向)所夹角的双曲线。 ②当e=1时,表示以F(g,h)为焦点,α为与极轴所夹角的抛物线。
③当e<>
同时,我们也可以看到,当e=0时,方程表示点F(g,h),这是圆锥曲线的一种退化形式。
分析这个方程,可以发现仅有五个参数(e 、p 、α、g 、h ),就可以在平面内表示任意圆锥曲线,这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线(不包含其退化形式)。
此外,根据这个方程还可以推导出其他相关量。
如F(g,h)对应的准线方程:
所在直线方程:
范文五:一类有心圆锥曲线方程的统一求法
12数学通讯 2001年第12期
一类有心圆锥曲线方程的统一求法
魏敬波
(河北赵县中学, 河北 )
中图分类号:O123. 3-42 :2001) 12-0012-02
1
几何的主要问题, 本刊1999年文[1]介绍了
方程的两点式及其应用, 对解题教学确有指导意义, 读后很受启发. 但感到此方法中定理涉及字母较多, 学生应用很不方便, 为此有必要寻求一种通俗易懂, 适合学生的方法. 众所周知, 直线方程可以通过两个不同点的坐标代入A x +B y +C =0中由方程组求得. 对于椭圆和双曲线而言, 若中心与对称轴的位置一经确定, 能否象直线一样, 通过解方程组而求得呢? 2 问题的探讨
上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A ?B <0)>0)>
显然上述设法是恰当、合理的, 所以有结论1 如果椭圆或双曲线的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (x 1, y 1) ,
N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设为A x +B y =1, 2
2
A x 1+B y 1=1A x 2+B y 2=1
2
2
22
求
得.
对于中心不在原点, 对称轴平行于坐标轴的椭圆或双曲线, 同样有
结论2 如果椭圆或双曲线的中心在(h , k ) , 对称轴平行于坐标轴且经过M O ′
(x 1, y 1) , N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设
设椭圆中心在原点, 若焦点在x 轴上,
则该椭圆方程可表示为2+2=1, 其中a
a b 22
>b >0, 不妨设A x +B y =1(0
a +2=1, 其中a >b >0, 不妨设A y 2+B x 2
b
=1(0
2
2
2
2
为A (x -h ) 2+B (y -k ) 2=1, 并且可由方22
A (x 1-h ) +B (y 1-
k ) =1
A (x 2-h ) 2+B (y 2-k ) 2=1
求得.
3 结论的应用
椭圆和双曲线方程的上述结论, 不仅形式简单、易懂, 并且将两种曲线方程和每种曲线方程的两种形式的求法统一了起来, 对于解决已知两点求曲线方程的问题, 切实可行.
例1 已知圆锥曲线中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (2, -5) 和N (3, ) , 求此圆锥曲线方程并指出曲线是椭圆2
不论其焦点在x 轴还是y 轴上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A >0, B >0) . 同理, 对于中心在原点, 焦点分别在x 轴、y 轴上的双曲线方程, 可设为A x 2+B y 2=1和A y 2+B x 2=1(A >0, B <0) .="" 同样又得到对于双曲线的标准方程,="" 不论其焦点在x="" 轴还是y="">0)>
还是双曲线?
收稿日期:2000-11-28
) , 男, 河北赵县人, 河北赵县中学一级教师. 作者简介:魏敬波(1969—
2001年第12期 数学通讯13
求动圆圆心轨迹的规律性解法
于忠凤
(莱西市第二中学, 山东 266614)
中图分类号:O123. 3-44 文献标识码:(2001) 12-0013-02
在我们常见的, 这几种条件是经常出现的:1) ; 2) 与定直线相切; 3) 与定直线相交所得弦长为定值l ; 4) 与定圆相切(包括外切和内
切) .
笔者认为, 万变不离其宗, 动圆也是圆, 始终抓住圆的特征, 利用圆的特性来列关系式, 这类题都可迎刃而解. 总结如下.
解 设此圆锥曲线方程为A x 2+B y 2=
4A +25B =1,
1, 曲线过M , N 两点, 解9A +=1,
4
之得A =-, B =. 1620
∴所求曲线方程为点在y 轴上的双曲线.
例2 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐
标轴上, 且经过M (1, 2) 和N (2, ) , 求椭圆方程(文[1]例1) .
解 设此椭圆方程为A x 2+B y 2=1, 把
A +4B =1,
M (1, 2) 和N (2, ) 解
4A +3B =1,
之得A =, B =.
1313
22
∴所求椭圆方程为+=1.
1313
例3 求过P (-3, , 2) 和Q (-6, -7)
(解析几何》两点的双曲线的标准方程《第89页1(2) ) .
解 设双曲线方程为A x 2+B y 2=1(A ?B <0) ,="" 将p="" ,="" q="" 两点坐标代入,="">0)>
2
9A +28B =1, 72A +49B =1,
解之得A =-
, B =. 7525
2
2
-=1. 2575
(4, 0) , 对称例4 已知椭圆中心在O ′
∴所求双曲线标准方程为
20
-
2
16
=1. 它是焦
轴与坐标轴平行, 并且经过M (1, 2) 和N (2,
8) 两点, 求椭圆方程. (文[1]例3)
解 设椭圆方程为A (x -4) 2+B y 2=1, 将M , N 的坐标代入得
2
A (1-4) +B ?22=1,
A (2-4) 2+B ?82=1,
即
9A +4B =1, 4A +64B =1,
解
之得A =
,
B =. 故所求椭圆方程为28112
2
2+=1.
28112
4 结束语
本文针对文[1]所给曲线方程的两点式, 提出自己的观点, 将其两点式求方程加以改造, 使之转化为解方程组问题. 希望本文能对学生起到抛砖引玉的作用.
参考文献
[1] 王奇, 钱军先. 标准椭圆与双曲线的两点式方程及其
应用. 数学通讯, 1999(7) .
收稿日期:2001-02-28
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